九年级数学下册第24章圆24.2圆的基本性质第2课时垂径分弦学案沪科版
沪科版数学九年级下册24.2《圆的基本性质》教学设计1
沪科版数学九年级下册24.2《圆的基本性质》教学设计1一. 教材分析《圆的基本性质》这一节内容是沪科版数学九年级下册第24章第2节的内容。
本节课主要让学生了解和掌握圆的基本性质，包括圆的定义、圆心、半径等。
通过本节课的学习，为学生后续学习圆的方程、圆的性质等知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平面几何的基本知识，如点、线、面的基本概念，以及相互之间的关系。
但学生对圆的概念和性质可能还不够熟悉，因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、讨论等方式，自主探索和发现圆的基本性质。
三. 教学目标1.了解圆的定义，掌握圆心、半径等基本概念。
2.能够运用圆的性质解决一些简单的几何问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和合作能力。
四. 教学重难点1.圆的定义和圆心的概念。
2.圆的性质的发现和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索圆的基本性质。
2.运用多媒体辅助教学，展示圆的性质和应用。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.圆的模型或图片。
3.教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些与圆相关的图片，如圆形的桌面、轮子等，引导学生思考：什么是圆？圆有哪些特点？2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现圆的定义和性质，如圆心、半径等概念，以及圆的性质。
同时，教师可以结合多媒体动画，展示圆的性质，如圆的直径、半径相等，圆心到圆上任意一点的距离相等等。
3.操练（10分钟）教师提出一些有关圆的问题，如：如何判断一个图形是否为圆？如何找到圆的心？如何计算圆的面积？让学生分组讨论，并进行实际操作。
4.巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生巩固所学知识。
如：判断题、填空题、选择题等。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：圆的性质在生活中有哪些应用？如何运用圆的性质解决实际问题？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，如圆的定义、圆心的概念、圆的性质等。
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综合能力提升练
【变式拓展】如图所示,☉O的直径AB垂直弦CD于点P,且P是半径OB的中点,CD=6 cm, 则直径AB的长是( D )
A.2 3 cm
B.3 2 cm C.4 2 cm D.4 3 cm
综合能力提升练
8.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长( C )
知识点1
知识点2
知识要点基础练
知识点3
垂径定理的实际应用 5.( 教材改编 )如图,一条公路的转弯处是一段圆弧( 图中的������������ ),点 O 是这段弧的 圆心,C 是������������上一点,OC⊥AB,垂足为 D,AB=300 m,CD=50 m,则这段弯路的半径是 250 m.
A.2米 B.2.5米 C.2.4米 D.2.1米
综合能力提升练
10.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=16 m,半径OA=10 m,则蔬 菜大棚的高度CD= 4 m.
11.( 烟台中考 )如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格 点( 两条网格线的交点叫格点 )上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆 的圆心坐标为 ( -1,-2 ) .
垂径定理及其推论 3.( 教材改编 )如图,已知☉O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论错误的是( B )
A.CE=DE B.AE=OE C.������������ = ������������ D.△OCE≌△ODE 4.( 教材改编 )如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C和D两点, AB=10 cm,CD=6 cm,则AC长为 2 cm.
A. 15
B.2 5
201x版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.2 圆的基本性质教案 沪科版
2019版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.2 圆的基本性质教案（新版）沪科版教学过程（一）、复习提问：1.你还记得我们学过图形中轴对称图形有哪些吗？分别有几条对称轴？（等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰三角形。
）2.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？3.你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．（可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．）教师板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．（二）、探究新知问题1：作⊙O的直径CD，然后沿着CD对折⊙O，会出现什么现象，说明了什么？（说明圆是轴对称图形，它的对称轴是任意一条过圆心的直线.）问题2：在⊙O上取一点A，作AB⊥CD，垂足为E，在图中，你猜想一下会有那些等量关系。
（AE=BE，=，=．）这些等量关系如果用语言来叙述的话，我们可以说成什么？垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
首先我们分析一下这个定理的题设和结论。
题设：垂直于弦的直径。
结论：平分弦和弦所对的弧。
（学生完成）根据题设和结论，结合图形，我们找出已知、求证，并进行证明。
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE=BE，=，=分析：我们知道等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边垂线所在的直线，那么我们如何把等腰三角形和圆联系起来呢？连结OA，OB后我们可以得到一个等腰三角形，CD所在的直线既是等腰三角形的对称轴又是⊙O的对称轴，那么当把圆沿直径CD折叠时，会发现哪些部分重合（连结OA，OB, 并且有OA=OB。
两个半圆重合；A点、B点重合；弧AC、弧BC重合；弧AD、弧BD重合）既然AE，BE重合，我们就可以得到AE=BE；弧AC、弧BC重合，我们就可以得到=；弧AD、弧BD重合，我们就可以得到=。
沪科版数学九年级下册24.2《圆的基本性质》教学设计1
沪科版数学九年级下册24.2《圆的基本性质》教学设计1一. 教材分析《圆的基本性质》是沪科版数学九年级下册第24章第2节的内容。
本节课主要学习了圆的性质，包括圆的直径、半径、圆心角、弧、弦等。
这些性质对于学生理解和掌握圆的相关知识至关重要，也为后续学习圆的方程和应用打下了基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质有一定的了解。
但是，对于圆的特殊性质和特点，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、实践等方式，逐步理解和掌握圆的基本性质。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握圆的直径、半径、圆心角、弧、弦等基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、实践等方式，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：圆的直径、半径、圆心角、弧、弦等基本性质。
2.难点：圆的性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.引导发现法：通过提问、引导等方式，激发学生的思考，引导学生发现圆的基本性质。
2.实践操作法：通过观察、测量、画图等方式，让学生亲身体验和实践圆的性质。
3.案例分析法：通过分析实际问题，让学生学会运用圆的性质解决问题。
六. 教学准备1.教具：圆规、直尺、多媒体设备等。
2.学具：学生用书、练习本、铅笔、橡皮等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生展示一些与圆相关的实际问题，引导学生思考圆的性质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示，向学生介绍圆的直径、半径、圆心角、弧、弦等基本性质，并解释这些性质的含义和作用。
3.操练（10分钟）教师提出一些关于圆的性质的问题，让学生用圆规和直尺进行测量和画图，亲身实践和体验圆的性质。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，巩固对圆的性质的理解和掌握。
2016春九年级数学下册24.2圆的基本性质教案2沪科版
第24章 圆24.2 圆的基本性质（2） 【教学内容】垂径定理。
【教学目标】 知识与技能了解圆的轴对称性； 了解拱高、弦心距等概念； 过程与方法使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
情感、态度与价值观学生经历观察、发现、探究……，感受数学源于生活又服务于生活。
【教学重难点】重点：垂径定理”及其应用 。
难点：垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明【导学过程】 【知识回顾】⒈叙述：请同学叙述圆的集合定义？⒉连结圆上任意两点的线段叫圆的________，圆上两点间的部分叫做_____________， 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______________。
3.课本有关“赵州桥”问题。
【情景导入】⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试，有方 法的同学请举手。
⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆 _______②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每 一条_________。
【新知探究】 探究一、⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？⒊要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD 折叠,实验后提出猜想。
C D D⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知，求证。
然后让学生阅读课本P81证明，并回答下列问题：①书中证明利用了圆的什么性质？②若只证AE=BE，还有什么方法？⒌垂径定理：分析：给出定理的推理格式推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且6．辨析题：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？【知识梳理】垂径定理及逆定理【随堂练习】1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（）．A．CE=DE B．BC BDC．∠BAC=∠BAD D．AC>AD(图1) (图2) (图3) （图4）2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．83．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（）A．1mm B．2mmm C．3mm D．4mm4．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．5．如图4，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）6、已知，如图所示，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、Ｂ和C、D。
2024-2025学年沪科版初中数学九年级(下)教案第24章圆24.2圆的基本性质(第2课时)
第24章圆24.2 圆的基本性质第2课时垂径分弦教学反思教学目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.教学重难点重点：理解垂径定理及其推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.教学过程导入新课宝宝要过生日了！妈妈买来了蛋糕，要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？教师提问：在切蛋糕的过程中，你有什么发现？探究新知合作探究1.动手操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？师生活动：学生按要求进行操作，教师引导发现规律.教师追问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？【归纳总结】圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.教师强调：圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线（直径所在的直线），它有无数条对称轴.2.垂径定理及其推论（1）垂径定理问题情境：如图，AB是⊙O的一条弦，直径垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?师生活动：教师巡视并指导.【解】相等线段：AE＝BE.相等劣弧：AC＝BC，AD＝BD.理由：连接OA，OB，把圆沿着直径CD点A与点B重合，AE与BE重合，AC与BC重合，教师追问：你能用语言来描述我们的发现吗？师生活动：【归纳总结】对的两条弧.教师追问：师生活动：（引发学生思考）要证明垂径定理，么？用什么方法证明?【解】已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AB⊥CD，垂足为E.求证：AE＝BE，AC⏜＝BC⏜，AD⏜＝BD⏜.证明：如图，连接OA，OB.∵OA＝OB，CD⊥AB，∴AE＝BE.又∵⊙O关于直径CD对称，∴A点和B点关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B因此AC⏜＝BC⏜.同理得到AD⏜＝BD⏜.【归纳总结】角形“三线合一”的性质，证得结论成立.推导格式∵CD是直径，CD⊥AB，垂足为E，∴AE＝BE，AC⏜＝BC⏜，AD⏜＝BD⏜.定理辨析：①②③师生活动：因为CD没过圆心（或AB没过圆心）.【归纳总结】（学生总结，老师点评）两个条件缺一不可.【归纳总结】垂径定理的几个基本图形：教学反思① ② ③ ④ （2）垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 推导格式,.CD AB CD AE BE AC BC AB AD BD ⊥⎧⎧⎪⎪⎪−−→⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩，是直径，＝，＝不是直径＝ 教师追问：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.师生活动：学生独立思考并举反例，师生共同归纳. 【归纳总结】圆的两条直径是互相平分的，但是不一定相互垂直一条直线满足下面五个条件中的两个条件，即可推出其他三个.①过圆心； ②垂直于弦； ③平分弦（非直径）；④平分弦所对优弧；⑤平分弦所对劣弧.⎧⎫⎪−−→⎬⎨⎭⎪⎩③①④②⑤ ⎧⎫⎪−−→⎬⎨⎭⎪⎩②①④③⑤ ⎧⎫⎪−−→⎬⎨⎭⎪⎩②①③④⑤⎧⎫⎪−−→⎬⎨⎭⎪⎩②①③⑤④ ⎧⎫⎪−−→⎬⎨⎭⎪⎩①②④③⑤ ⎧⎫⎪−−→⎬⎨⎭⎪⎩①②③④⑤⎧⎫⎪−−→⎬⎨⎭⎪⎩①②③⑤④ ⎧⎫⎪−−→⎬⎨⎭⎪⎩①③②④⑤ ⎧⎫⎪−−→⎬⎨⎭⎪⎩①③②⑤④⎧⎫⎪−−→⎬⎨⎭⎪⎩①④②⑤③【新知应用】例1 赵州桥建于1 400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度（弧所对的弦长）为 37.4 m ，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2 m ，求桥拱所在圆的半径.（精确到0.1 m ）师生活动：学生尝试解决问题，教师引导.【解】如图，过桥拱所在圆的圆心O 作AB 的垂线，交AB 于点C ，交AB 于点D ，则CD ＝7.2 m.由垂径定理，得AD ＝12AB ＝12×37.4＝18.7（m ）.设⊙O 的半径为R m ，在Rt △AOD 中，AO ＝R ，OD ＝R -7.2，AD ＝18.7. 由勾股定理，得 AO 2＝OD 2+AD 2.∴ R 2＝（R -7.2）2+18.72. 解方程，得R ≈27.9.答：赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9 m.【归纳总结】在圆中解决有关弦长、半径等问题，常常需要作垂直于弦的直径或半径，连接弦的端点与圆心作半径，这样就可以把垂径定理与勾股定理结合起来，得到圆的半径r 、弦心距d 、弦长a 的一半之间的关系式：2222a r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【拓展延伸】例2 已知⊙O 的半径为13，弦AB ＝24，弦CD ＝10，AB ∥CD ，求这两条平行弦AB ，CD 之间的距离.师生活动：（引发学生思考）要求两条平行弦AB ，CD 之间的距离，想到垂直，又在圆中已知弦长，则可以想到垂径定理和勾股定理，根据这些怎么作图呢？根据题中数据怎样求解呢？【解】分两种情况讨论：（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图①，过点O 作OF ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，连接OC ，OA .由题意可知，OA ＝OC ＝13.∵ AB ∥CD ，OF ⊥CD ，∴ OE ⊥AB . 又∵ AB ＝24，CD ＝10，∴ AE ＝12 AB ＝12，CF ＝12 CD ＝5，∴ OE ＝22OA AE -＝5，OF ＝22OC CF -＝12，∴ EF ＝OF -OE ＝7.（2）当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图②，过点O 作OF ⊥CD 于点F ，反向延长OF 交AB 于点E ，连接OC ，OA .同（1）可得，OE ＝5，OF ＝12，∴ EF ＝OF+OE ＝17. 综上，两条平行弦AB 与CD 之间的距离为7或17.① ②【归纳总结】（学生总结，老师点评）解此类题时，要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧，再结合实际作出半径和弦心距（圆心到弦的距离），利用勾股定理和垂径定理求解即可.【拓展归纳】（1）涉及垂径定理时辅助线的添加方法在圆中有关弦长a ，半径r ， 弦心距d （圆心到弦的距离），弓形高h 的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.（2）弓形中重要的数量关系弦长a ，弦心距d ，弓形高h ，半径r 之间有以下关系：,d h r +=2222a r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.课堂练习1.判断下列说法的正误.（1）垂直于弦的直径平分这条弦. （ ） （2）平分弦的直线必垂直弦 . （ ） （3）弦的垂直平分线是圆的直径 . （ ） （4）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. （ ） （5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 2.下列说法中正确的是（ ） A.在同一个圆中最长的弦只有一条 B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴3.⊙O 的弦AB 垂直于半径OC ，垂足为D ，则下列结论中错误的是（ ）A.∠AOD ＝∠BODB.AD ＝BDC.OD ＝DCD.AC BC =4.半径为5的⊙O 内有一点P ，且OP ＝4，若过点P 的最长弦的长是10，则最短弦的长是 .5.已知⊙O 中，弦AB ＝8 cm ，圆心到AB 的距离为3 cm ，则此圆的半径为 .6.⊙O 的直径AB ＝20 cm ，∠BAC ＝30°，则弦AC ＝ .7.如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，则弦AB 的长是多少？8.一条排水管的截面如图所示.已知排水管的半径OB ＝10 cm ，水面宽AB教学反思＝16 cm .求截面圆心O 到水面的距离.第8题图 9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，其中CD ＝600 m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为点F ，EF ＝90 m ，求这段弯路的半径. 参考答案1.（1）√（2）×（3）×（4）×（5）√2.B3.C4.65.5 cm6.7.解：如图，连接AO .由题意可知，OA ＝OC ＝5，则OD ＝OC -CD ＝5-1＝4. ∵ OC ⊥AB ，∴ ∠ODA ＝90°，∴ AD ＝3. 又∵ AB 为⊙O 的弦， ∴ AB ＝2AD ＝6.8.解：如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C . ∵ OC ⊥AB ，AB ＝16 cm ，∴ ∠OCB ＝90°，BC ＝12AB ＝8 cm .又∵ OB ＝10 cm ，∴ OC 6 cm ，即截面圆心O 到水面的距离为6 cm.第8题答图 9.解：如图，连接OC .设弯路的半径为R m ，则OF ＝（R -90）m . ∵ OE ⊥CD ，CD ＝600 m ，∴ ∠OFC ＝90°，CF ＝12CD ＝300 m .在Rt △OFC 中， 根据勾股定理，得 OC 2＝CF 2＋OF 2， 即R 2＝3002＋（R -90）2， 解得R ＝545.即这段弯路的半径为545 m .布置作业教材第17页练习，第25页第3题教学反思板书设计24.2 圆的基本性质 第2课时 垂径分弦1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 推导格式∵ CD 是直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，∴ AE ＝BE ，,AC BC AD BD ==. 2.垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 推导格式,.CD AB CD AE BE AC BC AB AD BD ⊥⎧⎧⎪⎪⎪−−→⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩，是直径，＝，＝不是直径＝3.方法：将垂径定理与勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题，经常需要添加辅助线——半径、弦的垂线.教学反思。
沪科版数学九年级下册24.2《圆的基本性质》教学设计2
沪科版数学九年级下册24.2《圆的基本性质》教学设计2一. 教材分析《圆的基本性质》是沪科版数学九年级下册第24章第2节的内容。
本节主要介绍了圆的性质，包括圆的轴对称性、圆的周长和面积的计算公式、圆的标准方程等。
在学习本节内容之前，学生已经掌握了相似多边形的性质和判定，为本节课的学习提供了基础。
本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生在学习数学方面已经有了一定的基础，对于图形的性质和判定有一定的了解。
但是，对于圆的性质和计算公式的理解还需要通过实例和练习来加强。
此外，学生的学习动机和学习习惯也会影响到他们对本节课内容的理解和掌握。
三. 教学目标1.了解圆的基本性质，包括圆的轴对称性、圆的周长和面积的计算公式、圆的标准方程等。
2.能够运用圆的性质解决一些实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.圆的轴对称性2.圆的周长和面积的计算公式3.圆的标准方程五. 教学方法1.讲授法：通过讲解圆的性质和计算公式，让学生理解和掌握。
2.实例分析法：通过分析实例，让学生更好地理解圆的性质。
3.练习法：通过布置练习题，让学生巩固所学知识。
六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，以便进行教学展示。
2.练习题：准备一些相关的练习题，以便进行课堂练习和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾相似多边形的性质和判定，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）讲解圆的性质，包括圆的轴对称性、圆的周长和面积的计算公式、圆的标准方程等。
在此过程中，结合实例进行分析，让学生更好地理解圆的性质。
3.操练（10分钟）布置练习题，让学生运用所学知识进行解答。
在此过程中，引导学生互相讨论，共同解决问题。
4.巩固（10分钟）对学生的练习情况进行反馈，针对存在的问题进行讲解和巩固。
同时，引导学生总结圆的性质，加深对知识点的理解。
九年级数学下册 24.2 圆的基本性质教案2 沪科版
第24章 圆24.2 圆的基本性质（2） 【教学内容】垂径定理。
【教学目标】 知识与技能了解圆的轴对称性； 了解拱高、弦心距等概念； 过程与方法使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
情感、态度与价值观学生经历观察、发现、探究……，感受数学源于生活又服务于生活。
【教学重难点】重点：垂径定理”及其应用 。
难点：垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明【导学过程】 【知识回顾】⒈叙述：请同学叙述圆的集合定义？⒉连结圆上任意两点的线段叫圆的________，圆上两点间的部分叫做_____________， 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______________。
3.课本有关“赵州桥”问题。
【情景导入】⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试，有方 法的同学请举手。
⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆 _______②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每 一条_________。
【新知探究】 探究一、⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？ 垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？⒉若把AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？⒊要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD 折叠,实验后提出猜想。
ABC DO A C D O B C D O EBDAOCPFE⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知， 求证。
然后让学生阅读课本P81证明，并回答下列问题： ①书中证明利用了圆的什么性质？ ②若只证AE=BE ，还有什么方法？⒌垂径定理： 分析：给出定理的推理格式 推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且6．辨析题：下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？【知识梳理】垂径定理及逆定理 【随堂练习】 1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ）．A ．CE=DEB ．»»BCBD C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD B ACEDOBAOMBA CEDOF (图1) (图2) (图3) （图4）2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．83．如图3，已知⊙O 的半径为5mm ，弦AB=8mm ，则圆心O 到AB 的距离是（ ） A ．1mm B ．2mmm C ．3mm D ．4mm4．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；• 最长弦长为_______．5．如图4，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论） 6、已知，如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别 交于点A 、Ｂ和C 、D 。
沪科版九年级数学下册-24.2 圆的基本性质-学案设计(2课时)
圆的基本性质【学习内容】垂径分弦【学习目标】1．掌握点和圆的位置关系及其判定方法。
2．理解圆、弧、弦等有关概念。
3．学会圆、弧、弦等的表示方法。
4．理解圆的轴对称性。
5．掌握垂径定理。
6．学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
【学习重难点】重点：1．弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系。
2．垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。
难点：1．点和圆的位置关系及判定。
2．对垂径定理及其推论的探索和证明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。
【学时安排】2学时【第一学时】【学习过程】一、自学——因自学而养成习惯1．圆的半径为r，直径为R，则半径与直径的关系为。
2．圆的半径为r，直径为R，则圆的周长为，面积为。
3．在平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，则另一个端点P所形成的线叫做，固定的端点O叫做，线段OP叫做。
4．圆可以被看成：平面内到（圆心O）的距离等于（半径r）的所有点组成的图形。
5．平面上一点P与⊙O（半径为r）的位置关系有以下三种情况：（1）点P在⊙O上⇔OP r；（2）点P在⊙O内⇔OP r；（3）点P在⊙O外⇔OP r。
6．圆上任意两点间的部分叫做，简称。
7．连接圆上任意两点的线段叫做，经过圆心的弦叫做。
8．同圆中：（1）半径；（2）直径等于半径的。
9．圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做，大于半圆的弧叫做，小于半圆的弧叫做。
10．由弦及其所对弧组成的图形叫做。
11．能够重合的两个圆叫做，等圆的半径。
12．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做。
二、交流——因交流而提升能力例1：如图，已知AB、CB为⊙O的两条弦，试写出图中的所有弧。
解：一共有条弧：。
例2：如图，已知矩形ABCD中AC交BD于点O。
求证：A、B、C、D4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上。
例3：已知⊙O的半径为6cm，A为线段OP的中点，当OP＝8cm时，点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定【达标检测】1．下列说法正确的是（）A．直径是弦B．弦是直径C．半圆包括直径D．弧是半圆2．在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是________。
沪科版数学九年级下册《第24章 圆 24-2 圆的基本性质 第2课时 垂径分弦》教学课件
下列结论中错误的是( C )
A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD
C.OD=DC
D.A⌒C=B⌒C
3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E. 求证：四边形ADOE是正方形.
证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC. ∴四边形ADOE是矩形. 又∵OD垂直平分AB，OE垂直平分AC，AB＝AC， A E ＝ 1 2A C ＝ 1 2A B ＝ A D , ∴四边形ADOE是正方形.
1 2
AB=150m.
在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，
即(r-45)2+1502=r2, 解得r=272.5m.
因此，这段弯路的半径为272.5m.
课后小结
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且
平分弦所对的两条弧.
垂
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的
径
直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
谢谢 大家
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第2课时 垂径分弦
沪科版 九年级下册
新课导入
等腰三角形
矩形
平行四边形
等腰三角形、平行四边形、矩形具有对称性
菱形
正方形
圆
菱形、正方形具有对称性，那么圆是否也 具有对称性呢？
探究
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径 所在的直线对折，重复做几次，你发现了 什么？由此你能得到什么结论？
沪科版数学九年级下册24.2《圆的基本性质》教学设计2
沪科版数学九年级下册24.2《圆的基本性质》教学设计2一. 教材分析《圆的基本性质》这一节内容，主要让学生了解和掌握圆的基本性质，包括圆的轴对称性，以及圆心角、弧、弦的关系。
教材通过生动的实例，引导学生探索圆的性质，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对圆有了初步的认识。
但是，对于圆的深层次性质和规律，还需要通过实例和探究来进一步理解和掌握。
此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力还需要在这一阶段得到加强和提高。
三. 教学目标1.让学生了解和掌握圆的基本性质。
2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.引导学生运用圆的性质解决实际问题。
四. 教学重难点1.圆的轴对称性。
2.圆心角、弧、弦的关系。
五. 教学方法1.实例教学法：通过生动的实例，让学生直观地理解圆的性质。
2.问题驱动法：引导学生提出问题，探究问题，解决问题，从而深入理解圆的性质。
3.合作学习法：鼓励学生分组讨论，共同完成任务，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示圆的性质。
2.实例材料：准备一些关于圆的实例，用于引导学生探究圆的性质。
3.练习题：准备一些有关圆的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的圆形物体，如地球、篮球等，引导学生关注圆的形状，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解圆的轴对称性，通过实例演示和讲解，让学生直观地理解圆的轴对称性。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，找出圆心角、弧、弦的关系，并给出解释。
每组选一名代表进行汇报，总结圆心角、弧、弦的关系。
4.巩固（10分钟）出示一些有关圆的练习题，让学生独立完成，检验学生对圆的性质的掌握情况。
5.拓展（10分钟）引导学生运用圆的性质解决实际问题，如圆的弧长、面积等计算。
6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学内容，教师进行补充和讲解。
2019_2020学年九年级数学下册第24章圆24.2圆的基本性质教案(新版)沪科版
24.2 圆的基本性质第1课时圆的概念和性质┃教学过程设计┃的信息写下来.教师点拨,学生看教材写：圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.如右图,以A、B为端点的弧记作AB,读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦,弦CD是⊙O的一条直径.大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫半圆弧,简称半圆.半圆是弧,但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧,也不是优弧.直径是弦,但弦不一定是直径.教师还要说明弓形,等圆,等弧的定义.通过小组交流,教师点拨,实现知识系统化.三、运用新知,解决问题1.教材练习第2题.2.教材练习第3题.主要是通过练习题来巩固学生所学习的知识,提高小组合作能力和水平.四、课堂小结,提炼观点今天我们学习了什么知识？你有哪些收获？还有什么问题吗？通过简短的总结,让学生对本节知识形成整体框架.五、布置作业,巩固提升教材习题24.2第1题.加深认识,深化提高.┃教学小结┃24.2 圆的基本性质第2课时垂径定理及其逆定理┃教学过程设计┃一、创设情境,导入新课你知道赵州桥吗？它是1400多年前我国建造的,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶,它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出桥拱所在圆的半径吗？通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题.什么？由此你得到了什么结论？结论：圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.2.探究活动1：垂径定理如下图,在圆形纸上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为E,再将纸片沿CD对折.思考：①上图是轴对称图形吗？如果是,其对称轴是什么？②你能发现图中有哪些等量关系？与同伴说一说你的想法.通过讨论,可得下面定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 验证：你能用逻辑的方法验证垂径定理吗？例1 已知,如图,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB,垂足为E.求证：AE＝EB,»AD＝»DB (或»AC＝»CB) 分析：如图,连接OA、OB,则OA＝OB.可通过证明Rt△OAE和Rt△OBE全等,结合轴对称证明.3.探究活动2：垂径定理的推论.你能写出垂径定理的逆命通过该问题引导学生探究、发现垂径定理,初步感知.引导学生自主、合作探究,培养学生逻辑推理能力.三、运用新知,解决问题1.教材练习第1题.2.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点M.»BC＝1cm,»AD＝1cm,那么»BD＝(1)»AC＝______cm,⊙O的周长是______cm,五、布置作业,巩固提升1.教材练习第1,3题.2.在直径为20cm的圆柱形油桶内装入一些油后,截面如图,如果油面宽AB＝12cm,那么油的最大深度是多少？┃教学小结┃24.2 圆的基本性质第3课时弦、弧、圆心角、弦心距间的关系【教学目标】┃教学过程设计┃二、师生互动,探究新知1.教师出示两张透明纸,指导学生分别作半径相等的⊙O和⊙O′,然后把两张纸叠在一起,使⊙O与⊙O′重合,用图钉钉住圆心,将上面一个圆旋转任意一个角度.指出问题：两个圆还能重合吗？归纳：圆是旋转对称图形,对称中心为圆心.2.将⊙O绕圆心O旋转任意角度以后,出现一个角∠AOB,请同学们观察一下这个角有什么特点？如图：圆心角的概念：顶点在圆心的角叫做圆心角.3.教师用多媒体课件出示教材图24－25.4.提问：当∠AOB＝∠A′O′B′时,根据圆的旋转对称性,你能推测出,两个圆心角所对的┃教学小结┃24.2 圆的基本性质第4课时圆的确定┃教学过程设计┃┃教学小结┃。
九年级数学下册24.2圆的基本性质(第2课时)垂径定理学案沪科版
24．2 圆的对称性第2课时垂径定理学前温故1．在Rt△ABC中,∠C＝90°，AC＝2，BC＝4,CM是中线,以C为圆心，错误!为半径画圆，则A、B、M与圆的位置关系是( ）．A．A在圆外，B在圆内，M在圆上B．A在圆内，B在圆上,M在圆外C．A在圆上，B在圆外，M在圆内D．A在圆内，B在圆外，M在圆上解析：Rt△ABC中，AB＝错误!＝错误!＝2错误!，CM＝错误!AB＝错误!，又2＜错误!＜4，故A在圆内，B在圆外, M在圆上．答案：D2．已知平面上一点到⊙O的最长距离为8 cm,最短距离为 2 cm，则⊙O的半径是__________．解析:本题分两种情况：(1)点P在⊙O内部时，如图①所示，PA＝8 cm，PB＝2 cm，直径AB＝8＋2＝10(cm）,半径r＝错误!AB＝错误!×10＝5（cm）；(2）点P在⊙O外部时，如图②所示，直径AB＝PA－PB＝8－2＝6（cm）,半径r＝错误!×6＝3（cm）．答案：3 cm或5 cm新课早知1．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．3．定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．4．圆心到弦的距离叫做弦心距．1．垂径定理【例1】赵州桥是我国古代劳动人民勤劳智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，半径为27。
9米,跨度（弧所对的弦长)为37。
4米，你能求出赵州桥的拱高(弧的中点到弦的距离）吗？分析:根据实物图画出几何图形，把实际问题转化为数学问题解决．解：如图，AB表示主拱桥，设AB所在圆的圆心为O.过点O作OC⊥AB于D，交AB于点C。
根据垂径定理，则D是AB的中点,C是AB的中点，CD为拱高．在Rt△OAD中，AD＝错误!AB＝37.4×错误!＝18。
7(m），OA＝27。
9 m，∴OD＝错误!＝错误!≈20.7(m）．∴CD＝OC－OD≈27.9－20。
(完整版)沪科版九年级(下)数学：24.2《圆的基本性质》教案
24.2.3圆的确定教材分析：“圆的确定”是沪科版初中数学教材九年级下册第24章《圆》的内容之一，它是在学生学习了圆的基本性质等相关知识之后的延续学习，也为后面深入学习圆周角定理等相关内容奠定基础。
其重点内容是“过不在同一直线上三个点作圆”和反证法，本节课的学习，对于培养学生规范地操作技能、探索问题能力及条理地思维能力具有重要作用。
从解决问题的思想方法来看，渗透了分类讨论、类比、化归等数学思想方法。
所以本课时无论从知识性还是思想性来讲，在教学中都占有重要的地位，起着承上启下的作用。
学情分析：学生已经学习了确定圆的条件是圆心和半径，还学习了线段的垂直平分线的性质、判定和画法，这些知识的学习会为本节课的学习打下良好的基础。
而作一个符合要求的圆，发现圆心的分布规律是学生不易发现的，因此会产生一定的思维障碍，另外在圆心的找取上，由于学生不能建立圆与垂直平分线两者之间的关联而产生知识生成的困难；用反证法证明命题时，学生在运用反证法证明命题的过程中，可能会存在很大的困难。
大多数的学生在遇到困难懒于思索，在课堂活动中习惯性充当旁观者，而不是积极主动的探究者。
教学目标：知识技能目标：1、理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
2、了解三角形的外接圆和三角形外心的概念及相关知识。
3、理解和掌握反证法的证明方法。
数学思考与问题解决目标：1、经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程和三角形的外心的性质、培养学生的探索能力。
2、通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略。
3、经历用反证法证明命题成立的方法，体会辩证的数学方法。
情感态度价值观1、形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神。
2、感知数学来源于生活并服务于生活，树立探究数学问题的意识，通过问题解决过程中的相互合作和独立思考能力，体验成功的喜悦。
教学重点：1、过不在同一条直线上的三个点作圆的方法及其运用。
沪科版九年级数学下册 24.2 第2课时 垂径分弦【名校课件】
D
A
B
A
B
.
O
O.
E
.O
AC
DB
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心 距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为 应用垂径定理创造条件.
三 垂径定理的实际应用
例4 赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长) 为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州 桥主桥拱的半径.
解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交弧
22
O·
又∵OA=5cm，∴在Rt△OEA中，有
OE OA2 AE2 52 32 4cm.
E
A
B
答：圆心到弦AB的距离是4cm.
【变式题】如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB = 16 cm.
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AE OA2 OE2 102 62 8cm，
定理和勾股定理求解.
C
弓形中重要数量关系
1/2a h
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r A
D
B
之间有以下关系：
d+h=r
r2
d2
a 2
2
rd O
当堂练习
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为 3cm，则此圆的半径为 5cm . 2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦 AC= 10 3cm .
讲授新课 垂径定理及其推论
合作探究
问题1 在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折 痕，把⊙O折叠，你发现了什么？
圆是轴对称图形，对称轴
是圆所在平面内任意一条 过圆心的直线.
O
问题2 已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦， 并且CD⊥AB，垂足为E.
沪科版数学九年级下册24.2《圆的基本性质》教学设计
沪科版数学九年级下册24.2《圆的基本性质》教学设计一. 教材分析《圆的基本性质》是沪科版数学九年级下册第24章第2节的内容，主要讲述了圆的定义、圆的性质、圆的方程及其应用。
本节内容是学生对圆的基本概念和性质的掌握，为后续学习圆的方程和其他相关知识打下基础。
教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探索和发现圆的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了平面几何的基本知识，如点、线、面的基本性质，对图形的变换有一定的了解。
但圆的概念和性质较为抽象，对学生来说是新的挑战。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生从实际问题中发现圆的性质，激发学生的学习兴趣，帮助学生建立圆的概念和性质。
三. 教学目标1.理解圆的定义，掌握圆的基本性质；2.学会用圆的性质解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象力；4.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.圆的定义及其性质；2.圆的方程及其应用；3.圆的性质在实际问题中的运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现圆的性质；2.运用多媒体辅助教学，展示圆的性质和图形变换，增强学生的直观感受；3.采用分组讨论、合作学习的方式，培养学生的团队协作能力；4.注重练习，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关教学课件和教学素材；2.安排学生分组讨论和合作学习的时间和空间；3.准备一些实际问题，用于课堂练习和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如自行车轮子、地球等，引导学生思考这些问题的共同特点，从而引出圆的概念。
2.呈现（10分钟）介绍圆的定义，讲解圆的基本性质，如圆的轴对称性、中心对称性、旋转对称性等。
通过多媒体展示，让学生更直观地理解圆的性质。
3.操练（10分钟）分组讨论，让学生结合圆的性质，解决一些实际问题。
如：如何判断一个图形是否为圆？如何计算圆的周长和面积？4.巩固（10分钟）对圆的性质进行总结，强调重点知识点。
2021版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.2 圆的基本性质教案 (全国通用版)沪科
科版的基本性质教案（全国通用版）沪科版科版教学过程（一）、复习提问：1.你还记得我们学过图形中轴对称图形有哪些吗？分别有几条对称轴？（等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰三角形。
）2.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？3.你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．（可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．）教师板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．（二）、探究新知问题1：作⊙O的直径CD，然后沿着CD对折⊙O，会出现什么现象，说明了什么？（说明圆是轴对称图形，它的对称轴是任意一条过圆心的直线.）问题2：在⊙O上取一点A，作AB⊥CD，垂足为E，在图中，你猜想一下会有那些等量关系。
（AE=BE，=，=．）这些等量关系如果用语言来叙述的话，我们可以说成什么？垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
首先我们分析一下这个定理的题设和结论。
题设：垂直于弦的直径。
结论：平分弦和弦所对的弧。
（学生完成）根据题设和结论，结合图形，我们找出已知、求证，并进行证明。
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE=BE，=，=分析：我们知道等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边垂线所在的直线，那么我们如何把等腰三角形和圆联系起来呢？连结OA，OB后我们可以得到一个等腰三角形，CD所在的直线既是等腰三角形的对称轴又是⊙O的对称轴，那么当把圆沿直径CD折叠时，会发现哪些部分重合（连结OA，OB, 并且有OA=OB。
两个半圆重合；A点、B点重合；弧AC、弧BC重合；弧AD、弧BD重合）既然AE，BE重合，我们就可以得到AE=BE；弧AC、弧BC重合，我们就可以得到=；AE OA BDC科版 弧AD 、弧BD 重合，我们就可以得到=。
兴宁区七中九年级数学下册第24章圆24.2圆的基本性质第2课时垂径分弦教案新版沪科版
11.反比例函数y= 的图象既是_________图形又是_________图形，它有_________条对称轴，且对称轴互相_________，对称中心是_________.
12.如果点(a，－3a)在双曲线y= 上，那么k_________0.
求：(1)口袋里黄球的个数；(2)任意摸出1个红球的概率．
15．请你设计一种均匀的正方体骰子，使得它掷出后满足下列所有条件：
(1)奇数点朝上的概率为
(2)大于6的点数与小于3的点数朝上的概率相同．
实际问题与反比例函数
一、填空题
1.函数y=－x，y= ，y＝－x2，y= ，y=－ 中________表示y是x的反比例函数.
方式总结 : 将实际问题转化为数学问题,再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．
[类型三]动点问题
如以下图, ⊙O的直径为10cm ,弦AB＝8cm ,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围．
解析 : 当点P处于弦AB的端点时,OP最长,此时OP为半径的长 ; 当OP⊥AB时,OP最短,利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长．
图3
参考答案
一、1.y= ，y=－ 2. 3.2 4.双曲线 5.二、四 增大 一、三 增大 6.1 7.－1 8.－4 9.＝ y= 10.1 11.轴对称 中心对称 2 互相垂直 原点 12.＜
二、13.C 14.C 15.D
三、16.(1)A(2， 2)(2)函数解析式为y=
17.(1)A(1+ ，1－ ) B(1－ ，1+ )(2)S=2
二、选择题
13.若反比例函数y= 的图象经过点(－2， 4)，那么这个函数是（ ）
2019秋九年级数学下册第24章圆24.2圆的基本性质第2课时垂径分弦学案(无答案)(新版)沪科版
124.2 圆的基本性质 第2课时 垂径分弦［学习目标］1．理解圆的轴对称性；2．掌握垂径定理及其推论，能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明. ［学法指导］本节课的学习重点是“垂径定理”及其应用，学习难点是垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明；学习中通过动手操作、观察、猜想、归纳、验证得出相关结论，并加以应用.［学习流程］一、导学自习1．阅读教材p16有关“赵州桥”问题，思考能用学习过的知识解决吗？2. 阅读教材p14“探究”内容，自己动手操作，发现了什么？由此你能得到什么结论？ 归纳：圆是__ __对称图形， ____________ ________都是它的对称轴；3. 阅读教材内容，自己动手操作： 按下面的步骤做一做：（如图1）第一步，在一张纸上任意画一个O e ，沿圆周将圆剪下，作O e 的一条弦AB ； 第二步，作直径CD ,使CD AB ⊥，垂足为E ； 第三步，将O e 沿着直径折叠. 你发现了什么？归纳：（1）图1是 对称图形，对称轴是 .（2）相等的线段有 ，相等的弧有 .二、研习展评活动1：（1）如图2，怎样证明“自主学习3”得到的第（2）个结论. 叠合法证明：(2)垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 的两条弧.定理的几何语言：如图2 Q CD 是直径（或CD 经过圆心），且CD AB ⊥ ____________,____________,_____________∴ (3)推论：___________________________________________________________________________． 活动2 ：垂径定理的应用 如图3，已知在O e 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离（弦心距）为3cm ，求O e的半径.(分析：可连结OA ，作OC AB ⊥于C ) 解：（图1）（图2）（图3）2小结：（1）辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。
【沪科版九年级数学下册教案】24.2圆的基本性质(第2课时)
24.2 圆的基天性质第二课时教课目的【知识与能力】1 研究圆的对称性，从而获得垂径定理；2. 可以利用径定理解决有关的实质问题。
【过程与方法】在研究问题的过程中培育学生着手操作的能力，使学生感觉圆的对称性，领会圆的性质，经历研究圆的对称性及有关性质的过程。
【感情态度价值观】使学生领悟数学的谨慎性和研究精神，培育学生脚踏实地的科学态度和踊跃参加的精神。
教课重难点【教课要点】垂径定理的应用。
【教课难点】利用垂径定理解决实质问题。
课前准备课件、圆规、直尺、三角板等。
教课过程教课师生活动设计企图步骤从已有的知识出将一个等腰三角形对折，启迪学生共同回首等腰三角发，激发学生学习的兴回首形是轴对称图形，复习轴对称图形的观点．趣，创造主动思虑、积师生活动：学生自由回答，教师实时鼓舞、评论．极研究的气氛.【讲堂引入】活动对于赵州桥的引例：你知道赵州桥吗？它是我国隋代从历史遗迹引入本课，一：建筑的石拱桥，距今约有1400 年的历史，是我国古代能较好地激起学生的创建人民勤奋与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的学习兴趣，建议使用时情境跨度为 37.4 m ，拱高为7.2 m ，如何才能求出桥拱所多收集一些对于赵州导入在圆的半径呢？桥的历史、图片等信新课师生活动：学生动脑思虑问题，解答受阻，教师引入息 .课题．活动一：学生着手操作把预先准备好的一个圆形纸片沿着圆的随意一条直径对折，重复做几次，能有什么发现？由此你能获得什么结论？师生活动：学生着手操作，教师察看操作结果，在学生概括的过程中注意学生语言的正确性和连接性.结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴 .活动二：出示问题活动二：实践研究沟通新知从上边的着手操作可知，如图，假如⊙O的直径 CD垂直于弦 AA′，垂足为 M，那么点 A 和点 A′是对称点，把⊙O沿着直径 CD折叠时，点 A 与点 A′重合，你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为何？师生活动：学生进行察看、剖析，经过合情推理总结结论，教师指导学生剖析题意中的条件和结论．学生试试概括垂径定理后，教师增补、完美，最后用几何语言进行描绘．教师板书：垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，而且均分这条弦所对的两条弧．几何语言：∵ CD⊥AA′， CD是⊙O的直径，︵︵︵︵∴AM＝MA′， AC＝ A′ C， AD＝ A′D.活动三：教师针对图形，提出问题 1：垂径定理是由几个条件获得几个结论？师生剖析得：①直径；②直径垂直于弦；③均分弦 ( 不是直径 ) ；④均分优弧；⑤均分劣弧，垂径定原因①②推出③④⑤.问题 2：把垂径定理条件中的“垂直”和“均分”交换，能否仍旧建立呢？学生议论、沟通，并用语言进行总结，教师指引、点拨，获得结论：均分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧．1.在研究问题的过程中培育学生着手操作的能力，使学生感觉圆的对称性，掌握证明轴对称图形的方法 .2.研究垂径定理，培育学生的思想能力和语言表达能力 .【应用举例】例 1如图24－2－41，在⊙O 中，若弦AB的长为 8 cm ，圆心 O到 AB的距离 OE为 3 cm，求⊙O 的半径．重申弦心距在垂径定理中的应用，领会用半径、弦心距、二分之一弦结构直角三角形的重要作用.师生活动：教师指引学生剖析，圆心到弦的距离为则需要作弦心距，并连结半径，从而结构直角三角形进行解答．学生书写解答过程，教师做好评论．3 cm，活动三：开放【拓展提高】训练例 2解答赵州桥的问题.表现教师指引学生剖析：应用1.依据赵州桥的实物图画出几何图形，如图；领会转变思想，化未知为已知，从而解决问题，同时掌握一类题的解题方法.2.联合所绘图形思虑：圆的半径、弦心距、弦、拱高之间有如何的数目关系？学生试试解答问题，小组内沟通、议论，书写解答过程，教师做好指导工作.教师总结：在圆中解决有关弦或半径的问题，常需要作垂直于弦的直径或弦心距，把垂径定理和勾股定理联合，22a 2获得半径r 、弦心距 d、弦长 a 之间的关系： r ＝ d ＋2.活动四：讲堂总结反省【达标测评】1．以下命题中错误的有 ( C ) ①弦的垂直均分线经过圆心；②均分弦的直径垂直于弦；③圆的对称轴是直径．A．0 个B．1个 C．2个 D ．3个2．如图，AB 是⊙O的弦，半径 OC⊥AB 于点 D，且 AB＝ 8 cm，OC＝5 cm，则 OD的长是( A )达标测评是为了加深学生对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，使学生思想获得拓展、A.3 cm B． 2.5 cm能力得以提高 .C．2 cm D．1 cm3．已知 P 为⊙O内一点， OP＝ 3 cm，⊙ O的半径为 5 cm ，则经过点 P的最短弦长为__8_cm__，最长弦长为 __10_cm__．4.⊙O的半径为 10，弦 AB＝ 12，CD＝16，且 AB∥CD，求 AB与 CD之间的距离 .师生活动：学生进行当堂检测，达成后，教师进行个别发问，并指导学生解说做题原因和做题方法，使学生在思虑解答的基础上，共同沟通、形成共鸣、确立答案．1.讲堂总结：(1) 你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？稳固、梳理所学知(2) 学习本节课后，你还存在哪些疑惑？识，对学生进行鼓教师解说主要内容：在圆内求弦的长度，经常需要作弦心励，并进行思想教距，利用勾股定理进行解答.育.2. 部署作业：教材第 25 页习题 24.2 第 3， 4，5 题．【知识网络】纲要挈领，要点突出.【教课反省】① [ 讲课流程反省]在创建情境环节中，经过比较熟习的赵州桥背景进行引入，提高学生的踊跃性，经过折叠圆使学生达到着手动脑的目的，经过议论让学生互相沟通，培育学生独立思虑问题的能力．② [ 解说成效反省]活动教师重申以下几点：反省教课过四：(1) 垂径定理中协助线的作法；程和教师表现，进讲堂(2) 垂径定理推论中的特别状况，弦不可以是直径；一步提高操作流总结(3) 常用的计算公式．程和自己素质.反省③ [ 师生互动反省]从讲堂表现来看，学生可以深入讲堂，经过着手、动脑、沟通、议论等活动，擅长讲话、总结，讲堂上表现出谨慎、仔细的学习状态．④[ 习题反省 ]好题题号 __________________________________________错题题号 __________________________________________。
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24.2 圆的基本性质
第2课时垂径分弦
［学习目标］
1. 理解圆的轴对称性；
2•掌握垂径定理及其推论，能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明
［学法指导］
本节课的学习重点是“垂径定理”及其应用，学习难点是垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明；学习中通过动手操作、观察、猜想、归纳、验证得出相关结论，并加以应用.
［学习流程］
一、导学自习
1. 阅读教材p16有关“赵州桥”问题，思考能用学习过的知识解决吗？
2•阅读教材p14 “探究”内容，自己动手操作，发现了什么？由此你能得到什么结论？归纳：圆是__ _ 对称图形，____________________________________ _____ _ 者E是它的对称轴; 3•阅读教材内容，自己动手操作：
按下面的步骤做一做：（如图1）
第一步，在一张纸上任意画一个，沿圆周将圆剪下，作的一条弦；
第二步，作直径，使，垂足为；
第三步，将沿着直径折叠•
你发现了什么？
归纳：（1 ）图1是对称图形，对称轴是______________________ . _______________
（2）相等的线段有___________________ ，相等的弧有_____________ . ___________
二、研习展评
活动1 : （1）如图2,怎样证明“自主学习3”得到的第（2）个结论.
叠合法证明：
（2）垂径定理：垂直于弦的直径_______ 弦，并且________________ 的两条弧.
定理的几何语言：如图2是直径（或经过圆心），且
⑶推论活动2 :垂径定理的应用
如图3,已知在中，弦的长为8,圆心到的距离（弦心距）为3,求的半径•（分析：可连结，作于）解：
小结：(1辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。
(2)如图4,根据垂径定理和勾股定理，“半弦、半径、弦心距”构成
直角三角形，则的关系为_____________________ ，知道其中任意两个量，
1
可求出第三个量•
［课堂小结］
1. 垂径定理是________________________________________________________ ,定理有两个条件,
个结论。
2. 定理可推广为：在五个条件①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧⑤平
分弦所对的劣弧中，知____________ 推 __________ 。
［当堂达标］
1. 圆的半径为5，圆心到弦的距离为4,则.
2. 如图5，是O O的直径，为弦，于，则下列结论中不成立的是( )
A. B. C. D.
3. 如图6, CD为O 0的直径，AB丄CD于E, DE=8cm, CE=2cm 贝U AE=____ cm.
［拓展训练］
已知：如图7, AB是O 0的直径，弦CD交AB于E点，BE=1, AE=5，/ AE(=30°, 求CD的长.
［课后作业］
［学后反思］
2。