专题：电磁感应现象中有关电容器类问题及答案

专题：电磁感应现象中有关电容器类问题

1、电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为L，电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。首先开关S接1，使电容器

完全充电。然后将S接至2，导轨间存在垂直于

导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图

中未画出），MN开始向右加速运动。当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨。问：

（1）磁场的方向；

（2）MN刚开始运动时加速度a的大小；

（3）MN离开导轨后的最大速度v m的大小。

试题分析：（1）根据通过MN电流的方向，结合左手定则得出磁场的方向．（2）根据欧姆定律得出MN刚开始运动时的电流，结合安培力公式，根据牛顿第二定律得出MN刚开始运动时加速度a的大小．（3）开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值时，根据电动势和电荷量的关系，以及动量定理求出MN 离开导轨后最大速度.

解：（1）电容器上端带正电，通过MN的电流方向向下，由于MN向右运动，根据左手定则知，磁场方向垂直于导轨平面向下．

2、一对无限长平行导轨位于竖直平面内，轨道上串联一电容器C （开始未充电）.另一根质量为m 的金属棒ab 可沿导轨下滑，导轨宽度为L ，在讨论的空间范围内有磁感应强度为B 、方向垂直

整个导轨平面的匀强磁场，整个系统的电阻可以忽略，ab 棒由静止开始下滑，求它下滑h 高度时的速度v.

解：设ab 棒下滑过程中某一瞬时加速度为a i ，则经过一微小的时间间隔Δt ，其速度的增加量为Δv=a i ·Δt.

棒中产生的感应电动势的增加量为：ΔE=BL Δv=BLa i ·Δt 电容器的极板间电势差的增加量为：ΔU i =ΔE=BLa i ·Δt 电容器电荷量的增加量为：ΔQ=C ·ΔU=CBLa i ·Δt 电路中的充电电流为：I=

t

Q

∆∆=CBLa i ab 棒所受的安培力为：F=BLI=CB 2L 2a i

由牛顿第二定律得：mg-F=ma i ，即mg-CB 2L 2a i =ma i ，所以，a i =

2

2L CB m mg

+，可见，

棒的加速度与时间无关，是一个常量，即棒ab 向下做匀加速直线运动.所以要求

的速度为v=2

222L CB m mgh

ah +=.

3、如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长且电阻不计的平行金属导轨相距L ，导轨平面与水平面重合，左端用导线连接电容为C 的电容器（能承受的电压足够大）．已知匀强磁场的磁感应强度大小为B 、方向竖直向上．一质量为m 、电阻不计的直金属棒垂直放在两导轨上，一根绝缘的、足够长的轻绳一端与棒的中点连接，另一端跨过定滑轮挂一质量为m 的重物．现从静止释放重物并通过轻绳水平拖动金属棒运动（金属棒始终与导轨垂直并保持良好接触，不计滑轮质量和所有摩擦）．求：

（1）若某时刻金属棒速度为v ，则电容器两端的电压多大？ （2）求证：金属棒的运动是匀加速直线运动；

（3）当重物从静止开始下落一定高度时，电容器带电量为Q ，则这个高度h 多大

解：（1）电容器两端的电压U 等于导体棒上的电动势E ，有：U=E=BLv

（2）金属棒速度从v 增大到v+△v 的过程中，用时△t （△t →0），加速度为a ，有：

电容器两端的电压为：U=BLv 电容器所带电量为：

式中各量都是恒量，加速度保持不变，故金属棒的运动是匀加速直线运动．（3）由于金属棒做匀加速直线运动，且电路中电流恒定

4、如图所示，有一间距为L且与水平方向成θ角的光滑平行轨道，轨道上端接有电容器和定值电阻，S为单刀双掷开关，空间存在垂直轨道平面向上的匀强0磁场，磁感应强度为B。将单刀双掷开关接到a点，一根电阻不计、质量为m的

后沿着轨道向上运动，到达最高点时，单刀双导体棒在轨道底端获得初速度v

掷开关接b点，经过一段时间导体棒又回到轨道底端，已知定值电阻的阻值为R，电容器的电容为C，重力加速度为g，轨道足够长，轨道电阻不计，求：

（1）导体棒上滑过程中加速度的大小；

（2）若已知导体棒到达轨道底端的速度为v，求导体棒

下滑过程中定值电阻产生的热量和导体棒运动的时间。

解：（1）导体棒上滑的过程中，根据牛顿第二定律得：

又，有：

联立解得：

（2）导体棒上滑过程中，有

导体棒下滑的过程中，由动量定理得：

而

联立解得：

导体棒下滑的过程中，由能量守恒定律得：

解得：

5、如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面．在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.忽略所有电阻．让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：

(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的

关系；

(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系．

解：(1)设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为

E ＝BLv ①

平行板电容器两极板之间的电势差为

U ＝E ②

设此时电容器极板上积累的电荷量为Q ，按定义有

C ＝Q U ③ 联立①②③式得

Q ＝CBLv ④

(2)设金属棒的速度大小为v 时经历的时间为t ，通过金属棒的电流为i .金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为

F ＝BLi ⑤

设在时间间隔(t ，t ＋Δt )内流经金属棒的电荷量为ΔQ ，按定义有

⑥

ΔQ 也是平行板电容器极板在时间间隔(t ，t ＋Δt )内增加的电荷量．由④式得 ΔQ ＝CBL Δv ⑦

式中，Δv 为金属棒的速度变化量．按定义有

⑧

金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为F f ＝μF N ⑨ 式中，F N 是金属棒对于导轨的正压力的大小，有

F N ＝mg cos θ⑩

金属棒在时刻t 的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a ，根据牛顿第二定律有

mg sin θ－F －F f ＝ma ⑪ 联立⑤至⑪式得

⑫

由⑫式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动．t 时刻金属棒的速度大