《弹性力学及有限元》测验试卷
弹性力学试题含答案
弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移」_2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量, 也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L M T。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性_________6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量J=100MPa 口y=50MPa弋xy=10/5O MPa，则主应力6= 150MPao^nQMPa a r=35l6"。
&已知一点处的应力分量， a ^200 MPa 口y=0MPa Jy=—400 MPa,则主应力▽“=512 MPa, 二2 =-312 MPa，： 1 =-37 ° 57'。
9、已知一点处的应力分量，匚x=-2000 MPa匚y =1000 MPa，岑=-400 MPa,则主应力匚1 = 1052 MPa二2= -2052 MPa , :- "-82 ° 32'。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界________________ 条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
弹性力学与有限元分析考试试题及其答案
2012年某高校度弹性力学与有限元分析复习题及其答案（内部资料）一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
弹性力学有限元考试试卷及答案(AB卷)
2009-2010学年第一学期《弹性力学有限元》课内考试A卷授课班号年级专业学号姓名一、判断正误（×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置（√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元（×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型（√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元（×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案（×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析（√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好（×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度（×）9. 线性应力分析也可以得到极大的变形（√）10. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小二、填空1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。
（3分）2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。
（3分）3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。
（3分）4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。
（2分） 5．薄板弯曲问题每个节点有个3自由度，分别是：w 、θx 、θy ，但其中只有 一个是独立的，其余两个可以用它表示为：,x y w wy xθθ∂∂==-∂∂。
（3分） 6．用有限元程序计算分析一结构的强度须提供（4分） ① 几何信息：节点坐标，单元节点组成，板厚度，梁截面等 ② 材料信息：弹性模量，泊松比，密度等 ③ 约束信息：固定约束，对称约束等④ 载荷信息：集中力，集中力矩，分布面力，分布体力等7．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。
《弹性力学及有限单元法》期末考试试卷
《弹性力学及有限元基础》期末考试班级： 姓名： 学号：一．填空题（37分）1（9分）. 杆件在竖向体力分量f （常量）的作用下，其应力分量为：x C x 1=σ；32C y C y +=σ；0=xy τ。
支承条件如图所示，C 1 =______ ；C 2=______； C 3=______。
2（12分）. 一无限长双箱管道，深埋在地下，如图2所示，两箱中输送的气体压强均为σ0，设中间隔板AB （图中阴影所示）的位移分量为：u = Cx , v = 0，隔板材料模量为E 和μ。
计算隔板上各点的应力分量：σx = _______, σy ,= ______, σz =______。
3（9分）. 圆环的内半径为r ，外半径为R ，受内压力q 1及外压力q 2的作用。
若内表面的环向应力为0，则内外压力的关系是：_________________。
4（10分）．等截面实心直杆受扭矩的作用，假设应力函数为：()()222222y bx a by x a k -++-=Φ，扭矩引起的单位长度扭转角测得为θ，材料的剪切弹性模量为G ，a 、b 均为常数，则k = _____ 二．分析题5．（20分）一宽度为b 的单向薄板，两长边简支，横向荷载为⎪⎭⎫⎝⎛=b y p p πsin 0，计算板的挠度方程。
（设材料的弹性模量为E ，泊松比为μ，薄板的弯曲刚度为D ）6．(20分)如图，一长度为l 的简支梁，在距右端为c 的位置作用一集中荷载P ，请用里兹法计算梁的挠度曲线。
（设挠度曲线为)(x l ax w -=，a 为代求系数）7．（23分）1cm 厚的三角形悬臂梁，长4m ，高2m 。
其三个顶点i , j , k 及内部点m 的面积坐标如图所示。
在面积坐标（1/8，1/2，3/8）处和j 节点处受到10kN 的集中力的作用，在jk 边受到垂直于斜边的线性分布力的作用。
用一个4节点的三角形单元对此题1图 题2图 x 题5图悬臂梁进行有限元分析，域内任一点的位移都表示成⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=m m k k j j i i m m k k j j i i v N v N v N v N v u N u N u N u N u 。
弹性力学与有限元分析试题及参考答案
按应力求解平面应变问题的相容方程：
将已知应力分量 ， ， 代入上式，可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
（3） ， ， ；
其中，A，B，C，D为常数。
弹性力学与有限元分析试题及参考答案
四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
其中，A，B，C，D，E，F为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程 ；（2）在区域内的相容方程 ；（3）在边界上的应力边界条件 ；（4）对于多连体的位移单值条件。
6、证明应力函数 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， ）。
解：将应力函数 代入相容方程
可知，所给应力函数 能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
， ，
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边， ， ， ， ， ；
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：
（1）相容。
（2） （1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。
（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则 ， ， （1分）。
5、证明应力函数 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， ）。
弹性力学与有限元智慧树知到答案章节测试2023年武汉工程大学
第一章测试1.下列不属于弹性力学研究对象的是（）。
A:板壳B:刚体C:杆件D:实体结构答案:B2.下列不属于弹性力学中基本未知量的是（）。
A:位移分量B:应力分量C:面力分量D:应变分量答案:C3.在工程强度校核中起着重要作用的是（）。
A:应力分量B:主应力C:正应力D:切应力答案:B4.已知物体内某点的应力张量(单位：Pa)，则沿方向的正应力大小为（）。
A:222.22 PaB:888.89 PaC:666.67 PaD:444.44 Pa答案:D5.下列关于应力分量的说法，正确的有（）。
A:坐标面上的应力B:一点的9个应力分量可以完全确定该点的应力状态C:应力分量与面力分量的正负号规定相同D:正截面上的应力E:弹性力学中应力分量的正负号规定反映了作用力与反作用力原理以及“受拉为正、受压为负”的传统观念。
答案:ABDE6.理想弹性体满足的假设有（）。
A:无初始应力假设B:均匀性假设C:连续性假设D:完全弹性假设E:各向同性假设答案:BCDE7.建立在基本假设上的弹性力学，也称为（）。
A:弹性理论B:线性弹性力学C:应用弹性力学D:数学弹性力学答案:ABD8.弹性力学的主要任务是解决各类工程中所提出的问题，这些问题包括（）。
A:稳定B:刚度C:强度D:动力答案:ABC9.弹性力学的研究方法是在弹性体的区域内严格考虑三方面条件，建立三套基本方程，这三方面条件包括（）。
A:几何学B:物理学C:静力学D:动力学答案:ABC10.中国科学家胡海昌于1954年最早提出了三类变量的广义变分原理。
（）A:错B:对答案:B11.物体内任意一点的应力分量、应变分量和位移分量，都不随该点的位置而变化，它们与位置坐标无关。
（）A:对B:错答案:B12.在最大正应力的作用面上切应力为零，在最大切应力的作用面上正应力为零。
（）A:对B:错答案:B13.应力张量的三个不变量是与坐标选择无关的标量。
（）A:错B:对答案:B14.弹性力学与材料力学在研究方法上是完全相同的。
弹力与有限元试卷与答案
南京林业大学试卷课程弹性力学及有限元2005~2006学年第2学期题1 选择题（每题3分）1. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于 B 。
A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。
2. 变形协调方程说明 B 。
A. 几何方程是根据运动学关系确定的，因此对于弹性体的变形描述是不正确的；B. 微分单元体的变形必须受到变形协调条件的约束；C. 变形协调方程是保证所有弹性体变形协调条件的必要和充分条件；D. 变形是由应变分量和转动分量共同组成的。
3. 下列关于应力解法的说法正确的是 A 。
A. 必须以应力分量作为基本未知量；B. 不能用于位移边界条件；C. 应力表达的变形协调方程是唯一的基本方程；D. 必须使用应力表达的位移边界条件。
4. 弹性力学的基本未知量没有 C 。
A. 应变分量；B. 位移分量；C. 面力；D. 应力。
5. 下列关于圣维南原理的正确叙述是 C 。
A. 边界等效力系替换不影响弹性体内部的应力分布；B. 等效力系替换将不影响弹性体的变形；C. 等效力系替换主要影响载荷作用区附近的应力分布，对于远离边界的弹性体内部的影响比较小；D. 圣维南原理说明弹性体的作用载荷可以任意平移。
6. 下列关于应力函数的说法，正确的是 C 。
A. 应力函数与弹性体的边界条件性质相关，因此应用应力函数，自然满足边界条件； B. 多项式函数自然可以作为平面问题的应力函数； C. 一次多项式应力函数不产生应力，因此可以不计。
D. 相同边界条件和作用载荷的平面应力和平面应变问题的应力函数不同。
7．在轴对称问题中，r σ是（ C ），θτr （ A ）。
A. 恒为零； B. 与r 无关； C. 与θ无关； D. 恒为常数。
8．轴对称问题中的位移单值条件可写成（ C ）。
A ． )2()(πθθθθn u u +=； B. )()(πθθθθn u u +=；C ． )2()(πθθθθn u u +=； D. )4()(πθθθθn u u +=9．为了保证有限单元法解答的收敛性，位移函数应具备的条件是 D 。
弹性力学试题及标准答案
弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量，200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
--弹性力学与有限元分析试题及参考答案
弹性力学与有限元分析试题及参考答案四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy xxy y yxx τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+s fl m s f m l y s xy y xs yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。
（1）此组应力分量满足相容方程。
为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。
此外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。
上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，2223xy C y -=σ，y x C y C xy 2332--=τ，体力不计，Q 为常数。
试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。
解：将所给应力分量代入平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy x xy y yxx τστσ 得⎩⎨⎧=--=--+-023033322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即()()()⎩⎨⎧=+=+--0230333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-023030332231C C C Q C C 由此解得，61Q C =，32Q C -=，23QC = 3、已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
弹性力学及有限元试题
弹性力学及有限元试题(一) 问答题（20分）1、什么是圣维南原理？举例说明怎样把它应用于工程问题的简化中。
2、什么叫做一点的应力状态？如何表示一点的应力状态（要求具体说明或表达）。
3、何谓逆解法和半逆解法？它们的理论依据是什么？4、什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？分别写出弹性力学平面应力问题和平面应变问题的物理方程。
5、要保证有限元方法解答的收敛性，位移模式必须满足那些条件？(二) (10分)1.利用坐标变换从直角坐标的平衡方程推导极坐标下平衡方程（无体力）。
2.利用坐标变换从直角坐标下几何方程推导极坐标下几何方程。
（三）已知，其他应力分量为零，求位移场。
（10分）（四）设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F；体力可以不计。
试根据材料力学公式，写出弯应力σx和切应力τxy的表达式，并取挤压应力σy=0，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答（10分）。
（五）设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上力偶矩为M，试求应力分量（10分）。
提示：单位厚度上的力偶矩M的量纲是LMT-2，应力只能是M/ρ2的形式，所以可假设应力函数由：Φ=Φ(φ).(六) 铅直平面内的正方形薄板，边长为2a，四边固定，图5—18，只受重力的作用。
设μ=0，试取位移分量的表达式为用瑞利—里茨法求解（15分）。
（七）试按图示网格求解结点位移，取t =1m，μ= 0（15分）。
（八）用刚度集成法求下图所示结构的整体刚度矩阵K。
（10分）要求：单元刚度矩阵元素用ek形式表示；单元刚度矩阵用e K形式表ij示，其中e为单元号。
弹性力学及有限元课程考试
湖南工业大学研究生课程考试《弹性力学及有限元》答卷本人承诺：本试卷确为本人独立完成，若有违反愿意接受处理。
签名：______________学号：____________________专业：__________________所在院（部）：_________________一、读书报告弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域.弹性力学的基本假设如下：（一）物体构造的连续性假设，假定组成物体的介质充满了该物体所占有的全部空间，中间没有任何空隙，是连续的密实体。
（二）物体的完全弹性假设，假定除去引起物体变形的外力之后，物体能够完全恢复到未知此外力时的原来形状，而没有任何残余变形（在温度保持不变的条件下），并假定材料服从虎克定律，即应力与应变成正比。
（三）物体的均匀性假设，假定整个物体是由同一种材料组成的。
（四）物体的各向同性假设，假定物体的力学性质在各个方向上都是相同的。
（五）小变形假设，假定物体在受力变形以后，体内所有各点的位移都远远小于物体的原来尺寸，应变和转角远远小于1。
有限元法是一种数值计算的近似方法。
早在40年代初期就已有人提出，但当时由于没有计算工具而搁置，一直到50年代中期，高速数字电子计算机的出现和发展为有限元法的应用提供了重要的物质条件，才使有限元法得以迅速发展。
有限元法的优点很多，其中最突出的优点是应用范围广。
弹性力学试题及答案
弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量，200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
《弹性力学及有限元》测验试卷
一、在建立弹性力学平衡微分方程、几何方程、物理方程时分别应用了哪些基本假定？
二、在什么条件下平面应力问题与平面应变问题的应力分量xy y x τσσ,,是相同的?
三、体力为零的单连体应力边界问题，设下列应力分量已满足边界条件。
试考察它们是否为
正确解答，并说明原因。
0,2,2)2(===xy y x y x τσσ
四、有限单元法中，位移模式应满足什么条件? 下列位移函数 2321x a y a x a u ++= 2321y b y b x b v ++=
能否作为三角形单元的位移模式? 简要说明理由。
)(,,)1(a
y
b x q b y q a x q
xy y x +-===τσσ
题六图
七、某结构的有限元计算网格如题七图（a ）所示。
网格中两种类型单元按如题七图（b ）所
示的局部编号，它们单元劲度矩阵均为
⎥⎥⎤⎢⎢⎡-----25.025.0025.025.0025.025.0025.025.0005.0000
5.0。
弹性力学与有限元分析试题及参考答案
弹性力学与有限元分析试题及参考答案四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题地应力分量存在地必要条件，并考虑下列平面问题地应力分量是否可能在弹性体中存在.资料个人收集整理，勿做商业用途（1）By Ax x，Dy Cx y，Fy Ex xy；（2）)(22y xA x，)(22y xB y，Cxy xy；其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数.解：应力分量存在地必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内地平衡微分方程xyyxxyyyxx；（2）在区域内地相容方程02222yx yx；（3）在边界上地应力边界条件sflms f ml ysxy yxs yx x；（4）对于多连体地位移单值条件.资料个人收集整理，勿做商业用途（1）此组应力分量满足相容方程.为了满足平衡微分方程，必须A=-F ，D=-E.此外还应满足应力边界条件.资料个人收集整理，勿做商业用途（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2.上两式是矛盾地，因此，此组应力分量不可能存在.资料个人收集整理，勿做商业用途2、已知应力分量312x C Qxyx，2223xy C y，y x C yC xy2332，体力不计，Q 为常数.试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3.解：将所给应力分量代入平衡微分方程0xyyxxyyyxx得23033322322212xy C xy C xC yC xC Qy即230333222231xy C C yC Q xC C 由x ，y 地任意性，得23030332231C C C Q C C 由此解得，61Q C ，32Q C ，23Q C 3、已知应力分量q x，q y，0xy，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程.解：将已知应力分量q x，q y，0xy，代入平衡微分方程0Y xyX yxxyyyxx可知，已知应力分量q x，q y，0xy一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足.按应力求解平面应力问题地相容方程：yx xyxyxy yx 22222)1(2)()(将已知应力分量q x，q y，0xy代入上式，可知满足相容方程.按应力求解平面应变问题地相容方程：yx xyxyxyyx2222212)1()1(将已知应力分量q x，q y，0xy代入上式，可知满足相容方程.4、试写出平面问题地应变分量存在地必要条件，并考虑下列平面问题地应变分量是否可能存在.（1）Axy x，3By y，2Dy C xy；（2）2Ay x ，y Bx y2，Cxy xy；（3）0x，0y ，Cxy xy ；其中，A ，B ，C ，D 为常数.解：应变分量存在地必要条件是满足形变协调条件，即yx x yxyyx 22222将以上应变分量代入上面地形变协调方程，可知：（1）相容.（2）C By A 22（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C.（3）0=C ；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则0x，0y，0xy（1分）.5、证明应力函数2by 能满足相容方程，并考察在如图所示地矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0b ）.解：将应力函数2by 代入相容方程24422444yyxx可知，所给应力函数2by 能满足相容方程.由于不计体力，对应地应力分量为b yx222，022xy，2yx xy对于图示地矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上地面力分别为：上边，2h y，0l ，1m，0)(2h yxyxf ，0)(2h yyyf ；下边，2h y，0l ，1m ，0)(2h yxyx f ，0)(2h yyy f ；左边，2l x，1l ，0m ，b f l xxx2)(2，0)(2l xxyy f ；右边，2l x，1l ，0m ，b f l xxx 2)(2，0)(2l xxyy f .l/2l/2h/2h/2yxOOx b 可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右地均布面力2b.因此，应力函数2by能解决矩形板在x 方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）地问题.资料个人收集整理，勿做商业用途6、证明应力函数axy 能满足相容方程，并考察在如图所示地矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0a ）.解：将应力函数axy 代入相容方程24422444yyxx可知，所给应力函数axy 能满足相容方程.由于不计体力，对应地应力分量为022yx，022xy，ayx xy2对于图示地矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上地面力分别为：上边，2h y，0l ，1m ，a f h yxyx2)(，0)(2h yyyf ；下边，2h y ，0l ，1m ，a f h yxyx 2)(，0)(2h yyy f ；左边，2l x ，1l ，0m ，0)(2l xxxf ，a f l xxyy 2)(；右边，2l x，1l ，0m ，0)(2l xxx f ，a f l xxyy 2)(.可见，在左右两边分别受有向下和向上地均布面力a ，而在上下两边分别受有向右和向左地均布面力 a.因此，应力函数axy 能解决矩形板受均布剪力地问题.资料个人收集整理，勿做商业用途7、如图所示地矩形截面地长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量.解：根据结构地特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设0x.由此可知l/2l/2h/2h/2yxO22yx将上式对y 积分两次，可得如下应力函数表达式)()(,21x f y x f yx 将上式代入应力函数所应满足地相容方程则可得)()(424414dxx f d dxx f d y2.3 直角三角形固定在刚性基础上，受齐顶地水压力和自重作用，如图 2.14所示.若按一个单元计算，水地容重g ，三角形平面构件容重g ,取泊松比v =1/6，试求顶点位移和固定面上地反力.资料个人收集整理，勿做商业用途解：按逆时针编码，局部编码与整体编码相同：1-2-3建立坐标)0,0(3)3,0(20,21:a a xoy （1）求形函数矩阵：aa a a 60321a b b a b 303321ac a c c 220321图（2.14）形函数:)(21y c x b a AN i i i i233221aa a A所以：ay ax Na y N a xN 32132321形函数地矩阵为：ay a xay ax ay a x a y a xN NN Nmji321302003210302（2）刚度矩阵333231232221131211KKKK K K K K KKesr sr s r sr s r s r s r sr rsb bc c c b b c b c c b c c b b AEtK21212121142125213531416122aE A Et t 可得：40035353415093532211EKEK251035343127273323531233E KEK215251935313EK41253535323EK431274252151273321352594140012535035250215250254150191009353E Ke（3）位移列向量和右端项由边界条件可确定：Teu a00022水压力和构件厚分别为：10tgh p TTet l q h q h q R 032031020306000001自重为W 与支座反力：Ty x y x e W R R W W R R R 330333112所以：Ty x y x eW R h q R W h q W R R R33363303011由eeeRa K得到下列矩阵方程组：3336300030301122W R h q R W h q W R R u y x y x 化简得：431274252151273321352594140012535035250215250254150191009353E Ke364035353022W h q u E可得：EW E h q u 363567022将22u 代入下式：333425135025103533031122W R h q R W R R u E y x y x 固定面上地反力：ahga gh q 330从而可得支座反力为：43221234120303011h q W Rh q W R W h q R WR y x y x 这是y 地线性方程，但相容方程要求它有无数多地解（全柱内地y 值都应该满足它），可见它地系数和自由项都应该等于零，即资料个人收集整理，勿做商业用途0)(414dxx f d ，)(424dxx f d 这两个方程要求ICx Bx Axx f 231)(，KJx Ex Dxx f 232)(代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响地一次项和常数项后，便得2323)(ExDxCx BxAxy 对应应力分量为22yxgyEDx B Ax y xy26)26(22CBx Axyx xy2322以上常数可以根据边界条件确定.左边，0x ，1l，0m ，沿y 方向无面力，所以有)(C xxy右边，b x ，1l ，0m ，沿y 方向地面力为q ，所以有qBb Ab bxxy23)(2上边，0y ，0l ，1m ，没有水平面力，这就要求xy 在这部分边界上合成地主矢量和主矩均为零，即)(00dx y b xy将xy地表达式代入，并考虑到C=0，则有)23(23232BbAbBxAxdx Bx Ax b b 而00)(dx ybxy自然满足.又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y在这部分边界上合成地主矢量和主矩均为零，即0)(00dx y b y，)(00x d x y b y将y地表达式代入，则有02323)26(22Eb DbEx Dx dx E Dx b b22)26(2323EbDbExDxxdx E Dx b b 由此可得2bq A，bq B，0C ，0D ，0E 应力分量为0x,gy bx by q y312,23bx bx q xy虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）地边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用地.资料个人收集整理，勿做商业用途8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势地力，即体力分量可以表示为xV f x，yV f y，其中V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，V yx22，V xy22，yx xy2，试导出相应地相容方程.资料个人收集整理，勿做商业用途证明：在体力为有势力地情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量x，y，xy应当满足平衡微分方程yV xyx V yxxyyyxx（1分）还应满足相容方程y f x f yxy x yx 12222（对于平面应力问题）yf xf yxy x yx 112222（对于平面应变问题）并在边界上满足应力边界条件（1分）.对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件.首先考察平衡微分方程.将其改写为0xVyyV x xyyyxx这是一个齐次微分方程组.为了求得通解，将其中第一个方程改写为yxxyVx根据微分方程理论，一定存在某一函数A （x ，y ），使得yA Vx，xAyx同样，将第二个方程改写为yxyxVy（1分）可见也一定存在某一函数B （x ，y ），使得xB Vy，yByx由此得yB xA 因而又一定存在某一函数y x,，使得y A，xB代入以上各式，得应力分量V yx22，V xy22，yx xy2为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数y x,必须满足一定地方程，将上述应力分量代入平面应力问题地相容方程，得资料个人收集整理，勿做商业用途Vyx Vx Vyyx2222222222221VyxV yxxy yx222222222222222212简写为V24)1(将上述应力分量代入平面应变问题地相容方程，得Vyx Vx Vyyx22222222222211VyxVyxxy yx2222222222222222112简写为V241219、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁地密度为，试用纯三次地应力函数求解.O解：纯三次地应力函数为3223dycxyy bx ax相应地应力分量表达式为dy cx xf yx x6222,gy by ax yf xy y2622,cybx yx xy222这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程地.现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件.资料个人收集整理，勿做商业用途上边，0y ，0l ，1m，没有水平面力，所以有2)(bx yxy对上端面地任意x 值都应成立，可见b 同时，该边界上没有竖直面力，所以有6)(ax yy对上端面地任意x 值都应成立，可见a 因此，应力分量可以简化为dy cx x62，gy y，cyxy2斜面，tanx y ，sin 2cosl ，cos cos m ，没有面力，所以有0tantan x y xyyx y yx x lmml 由第一个方程，得sin tan 6sin4costan 2sintan 62dx cx cx dx cx 对斜面地任意x 值都应成立，这就要求tan64d c 由第二个方程，得sin sin tan 2cos tan sintan 2gx cx gx cx 对斜面地任意x 值都应成立，这就要求0tan 2g c （1分）由此解得cot 21g c（1分），2cot31g d从而应力分量为2cot2cot gy gx x,gy y,cotgy xy设三角形悬臂梁地长为l ，高为h ，则lh ta n.根据力地平衡，固定端对梁地约束反力沿x 方向地分量为0，沿y 方向地分量为glh 21.因此，所求x 在这部分边界上合成地主矢应为零，xy应当合成为反力glh 21.资料个人收集整理，勿做商业用途cotcotcot2cot2202gh glh dygy gl dyh lxh xglhgh dygy dyh h lx xy21cot21cot2可见，所求应力分量满足梁固定端地边界条件.10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体地密度为1，液体地密度为2，试求应力分量.资料个人收集整理，勿做商业用途解：采用半逆解法.首先应用量纲分析方法来假设应力分量地函数形式.取坐标轴如图所示.在楔形体地任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与g 1成正比（g 是重力加速度）；另一部分由液体压力引起，应当与g2成正比.此外，每一部分还与，x ，y 有关.由于应力地量纲是L-1MT-2，g 1和g 2地量纲是L-2MT-2，是量纲一地资料个人收集整理，勿做商业用途量，而x 和y 地量纲是L ，因此，如果应力分量具有多项式地解答，那么它们地表达式只可能是gx A 1，gy B 1，gx C2，gy D2四项地组合，而其中地A ，B ，C ，D 是量纲一地量，只与有关.这就是说，各应力分量地表达式只可能是x 和y 地纯一次式.资料个人收集整理，勿做商业用途其次，由应力函数与应力分量地关系式可知，应力函数比应力分量地长度量纲高二次，应该是x 和y 纯三次式，因此，假设资料个人收集整理，勿做商业用途3223dycxyy bx ax相应地应力分量表达式为dy cx xf yx x6222,gy byax yf xy y12226,cybx yx xy222这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程地.现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足2g1gyxO应力边界条件.资料个人收集整理，勿做商业用途左面，0x ，1l，0m ，作用有水平面力gy 2，所以有gydy xx26)(对左面地任意y 值都应成立，可见62gd同时，该边界上没有竖直面力，所以有2)(cy xxy对左面地任意y 值都应成立，可见c 因此，应力分量可以简化为gy x2，gy byax y126，bxxy2斜面，tan y x ，cos l ，sin2cosm ，没有面力，所以有0tantan y x xy yy x yx x lmm l 由第一个方程，得sin tan 2cos 2by gy 对斜面地任意y 值都应成立，这就要求sin tan 2cos 2b g 由第二个方程，得sin sin4sin tan 6cos tan 2sin 2tan611y g b a by gy byay 对斜面地任意x 值都应成立，这就要求4tan61g ba 由此解得321cot31cot61g g a，22cot21g b 从而应力分量为gy x 2,y g g xg g y 122321cotcot2cot ,22cotgx xy 位移边界条件对称、固定边和简支边上支点地已知位移条件如下：对称轴: 法线转角=0固定边: 挠度=0 (或已知值)边线转角=0 (或已知值)法线转角=0 (或已知值)简支边: 挠度=0 (或已知值)边线转角=0 (或已知值)计算图示四边固定方板方板地边长为l ，厚度为t ，弹性模型量为E ，波松比μ=0.3，全板承受均布法向荷载ｑ，求薄板中地挠度和内力. 资料个人收集整理，勿做商业用途单元划分：为了说明解题方法，采用最简单地网络2×2，即把方板分成四个矩形单元.由于对称性，只需计算一个单元，例如，计算图中有阴影地单元，单元地节点编号为１，２，３，４.此时，单元地a, b 是4l ba 计算节点荷载:由前面地均布荷载计算公式得：Tl l l l l l l l qlR ]21121212[192}{2边界条件：边界23和34为固定边，因此节点2, 3, 4地挠度、边线和法线转角均为零.边界12和14为对称轴，因此θx1 =0、θy1 =0.于是，在4个节点和12个位移分量中,只有一个待求地未知量1w .资料个人收集整理，勿做商业用途结构地代数方程组：这是一个单元地计算题目，单元刚度矩阵在此处即为总刚度矩阵.引入支承条件后，在总刚度矩阵中只取第一行、列元素，在方程组右端项中只保留第一个元素.于是结构地代数方程为：16)681(15815821201120qlw l D w k lD 资料个人收集整理，勿做商业用途同此解出04100148.0D ql w .其中32309158.0)1(12EtEt D 内力:利用式(4-2-6)可求得方板中点力矩为：由表看出，网格越密，计算结果越接近于精确答案.还可看出，位移地精度一般比内力地精度高，这是因为在位移法中，位移是由基本方程直接求出地，而内力则是根据位移间接求出地.资料个人收集整理，勿做商业用途第三章平面问题有限单元法习题答案3-2图示等腰直角三角形单元，设=1/4，记杨氏弹性模量E ，厚度为t ，求形函数矩阵[N]、应变矩阵[B]、应力矩阵[S]与单元刚度矩阵[K]e.资料个人收集整理，勿做商业用途【解】：ijmj imi j ji mm i j i m j m i i m j j m i m j i j m m j ix x c y y b y x y x a x x c y y b y x y x a x x c y y b y x y x a ,,,,,,aj(0,a)aac a a b a aa a a ac b a a a c a a b a a mmmj j j i i i 0,0,0*0*0,00,00**0000,0,0*00*02mjim j i N N N N N N N000),,()(21m j i y c x b a AN i i ii 221001010121aa a Ayxayxy x ay x a Na yx a ay ax aaN a y ay x a N a x y ax a N m j i 000001)(1)00(1)00(122221000310131031001310311103)411(2412100141141411411)4121)(411()411()1(2210011011)21)(1()1(EE E E D321B B B Baa c a ab a aa a a a cb a a ac a a b a a mmmj jj i i i 0,0,0*0*0,000,00**0000,0,0*00*0211011010100001000111110011011000110000110000100212aBaB aB a a a aB b c c b AB mjii i i i i1003101310E D1101101010000100011aB11011313001*********11110100001000110003101310aE a E BD S 1003101310E D11111010000100011aB42311124111331300111011011011013100320211101101010000100011000310131101101010000100011022Et at aE tAB D BKTTe3-3正方形薄板，受力与约束如图所示，划分为两个三角形单元，=1/4，板厚为t ，求各节点位移与应力.【解】：yP 34242311124111331300111011011011013100320Et tAB D BKTe0000000000000000003001310001101100011011001003130031114200111324201Et K4211310024131100111001001303100031013000111001000000000000000000202Et K4211310241311001140023113042011310240111120041300311142001113242021Et KKK 载荷向量：000000P R1001414004040042000000004211310241311001140023113042011310240111120041300311142001113242013344332211P v u Et P v u v u v u v u Et 101414041PEt PEt v u 05010015330050000044332211Et P v u v u v u v u 10003101310E D111101010000100011a B1101110001000010111aB12BB31201010003101325000000110111000100001011000310131033221111atPatPEtP aE v u v u v u BD 1002101031013200500011111000100001110310131022334422atP atP Et P aE v u v u v u BD 3-4三角形单元i,j,m 地j ，m 边作用有如图所示线形分布面载荷，求结点载荷向量.【解】：面力移置公式：tdsp NRTe其中：mjim j i N N N N N N N000),,()(21m j i y c xb a AN i i ii 426,132,62*63*2352,426,26*22*5165,363,213*56*6mmmj j j i i i c b a c b a c b a 213431402212165136122121Aj(6,3)i(2,2)m(5,6)1q 2q yxo)46(131)342(131)321(131y x N y x N y x N mj i 所以:yx yx yx y x yx y x N460342033004603420321131载荷分布函数：0)6(3)(121y q q q p积分函数：])6,5[(213x x y dyy q q q yxyx y x yx yxyxttdsy q q q yx y x yx yxyx y xRe3100)6(3)(460463420034233003211310)6(3)(464634200342330032113112163121dyy q q q y y y y t dyy q q q y yyy yy yy tRe)6(3)(133130013313263130026313000013*3100)6(3)(473160473163283420032834200013*3101216312163dyy q q q q y y q q q q y tdyy q q q q y y q q q q y tRe63121212126312121212))(36(*30))(36(*60027100)3)(2(*133130)3)(2(*26313013*310126323122126312631212632312212631263129292331)(321)36(3)(3)36(299331)(621)36(6)(6)36(q q y yq q yyq q dyy y q q dy y q q q q yyq q yyq q dy y y q q dy y q q 所以:210210031002182902990027100)3)(2(*133130)3)(2(*26313013*310121212126312121212q q q q tq q q q t dyy q q q q y y q q q q ytRe3-5图示悬臂深梁，右端作用均布剪力，合力为P ，取=1/3，厚度为t ，如图示划分四个三角形单元，求整体刚度方程.资料个人收集整理，勿做商业用途【解】：13524612341000420248410012102112)311(23121001311310311311)3121)(311()311()1(22100011011)21)(1()1(EE E E D10420248E D1111101000010001B53411235211442400211011011011024200416211101101010000100011020410241101101010000100018Et t E tAB D B KTTe534112352114424002110110110110242004164321Et KKKK0000000000000000000000000000000000000000000000400042020000010011100000000000000000000000000000410053120000210035140000010011100000200024041K534112352114424002110110110110242004164321Et KKKK00000000000000000000000000000000000000000000001011000100000424002000001253004100001435002100000000000000000000000000002420040000010110001162Et K00000000000000000000000000000000000000000000000080008404000002002220000000000000000000000000000082001062400004200610280000020022200000400048081612Et KK80844000020022200000000000000000000000000000820010624000042006102800000200222000004000480800000000000000000000000000000000000000000000000000001643Et KK808440200222000000000000000000000000000008200186248404420061228222002002220000040004808000000008200106240000420061028000002002220000040004808164321Et K K K K K算例2：正方形薄板平面应力问题地求解已知图示正方形薄板，沿其对角线承受压力作用，载荷沿厚度为均匀分布，P=20kN/m.设泊松比u=0，板厚t=1m ，求此薄板应力.资料个人收集整理，勿做商业用途课本第42页3.7节计算结果如下：变形：76.176.172.388.052.1252.32653321u u v u v v 应力：)/(40.40.2088.021m kN xyy x ；)/(052.1276.122m kN xyy x；)/(08.372.388.023m kN xyy x ；)/(32.172.3024m kN xyy x 1、如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为t ，弹性模量为E ，泊松比0；单元地边长及结点编号见图中所示.求(1)形函数矩阵N(2)应变矩阵B 和应力矩阵S (3)单元刚度矩阵eK1、解：设图1所示地各点坐标为点1（a ，0），点2（a ，a ），点3（0，0）于是，可得单元地面积为12A2a ，及(1)形函数矩阵N 为(7分)123aa12122121(0a a )a 1(00a )a 1(aa 0)aN x y N x y N x y ；123123N N N NI I I N N N (2)应变矩阵B 和应力矩阵S 分别为(7分)12a 010-a a-aaB ，220010a aa 0B ，32-a 0100a-aB ；123B B B B 12a00-a a11-a a 22E S ，22000a a1a 02E S ，32-a 000a10-a 2E S ；123123SD B B B S S S (3)单元刚度矩阵eK(6分)111213T21222331323331102113120111100140202002000201111eEt tAK K K KB DB K K K K K K 2、图2（a ）所示为正方形薄板，其板厚度为t ，四边受到均匀荷载地作用，荷载集度为21/N m ，同时在y 方向相应地两顶点处分别承受大小为2/N m 且沿板厚度方向均匀分布地荷载作用.设薄板材料地弹性模量为E ，泊松比0.试求资料个人收集整理，勿做商业用途(1)利用对称性，取图（b ）所示1/4结构作为研究对象，并将其划分为4个面积大小相等、形状相同地直角三角形单元.给出可供有限元分析地计算模型（即根据对称性条件，在图（b ）中添加适当地约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）.资料个人收集整理，勿做商业用途(2)设单元结点地局部编号分别为i 、j 、m ，为使每个单元刚度矩阵eK 相同，试在图（b ）中正确标出每个单元地合理局部编号；并求单元刚度矩阵eK .资料个人收集整理，勿做商业用途(3)计算等效结点荷载.(4)应用适当地位移约束之后，给出可供求解地整体平衡方程（不需要求解）.图13①②③④2、解：(1)对称性及计算模型正确(5分) (2)正确标出每个单元地合理局部编号(3分) (3)求单元刚度矩阵eK(4分) (4)计算等效结点荷载(3分)(5)应用适当地位移约束之后，给出可供求解地整体平衡方程（不需要求解）.(5分)如图3.11所示地平面三角形单元，厚度t=1cm ，弹性模量E=2.0*105mpa ，泊松比γ=0.3，试求插值函数矩阵N ，应变矩阵B ，应力矩阵S ，单元刚度矩阵Ke.资料个人收集整理，勿做商业用途图2j m m mmi ii ij j j 1N /m21N /m 12456对称1011012020031214301201eEt K对称123356322000026121006120146101620212v v u Et tv u u解：此三角形单元可得：2△=（10-2）*4=32，故有a1=1/32*（8u1-5u2-16u3）a2=1/32*（4u1-4u2）a3=1/32*（-8u1+8u3）a4=1/32*（56v1-8v2-16v3）a5=1/32*（-4v1+4v2）a6=1/32*（-8v1+8v3）而b1=y2-y3=-4 b1=x2-x3=-8b1=y3-y1=4 b1=x3-x1=0b1=y1-y2=0 b1=x1-x2=8b1 0 b2 0 b3 0 -4 0 4 0 0[B]=1/2△* 0 c1 0 c2 0 c3 =1/32* 0 -8 0 0 8资料个人收集整理，勿做商业用途c1 b1 c2 b2 c3 b3 -8 4 0 8 01 γ 0 1 0.3 0[D]=[E/(1-γ2)]* γ 1 0 =[E/0.91]* 0.3 1 0资料个人收集整理，勿做商业用途0 0 (1-γ)/2 0 0 0.351 0.3 0 -0.125 0 0.125 0 0[S]=[D]*[B]={E/0.91}* 0.3 1 0 * 0 -0.25 0 0 0.25资料个人收集整理，勿做商业用途0 0 0.35 -0.25 0.125 0 0.25 01.4 0 -1.4 -0.7 0 0.70 4 -0.6 -4 0 0[K]①=BT*D*B①*t*△={E/36.4}* -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 0.7资料个人收集整理，勿做商业用途-0.7 -4 1.3 -0.6 -1 0.350 0 0.6 -1 -0.6 00.7 0 0.7 -0.35 0 01 0 0 0.6 -1 -0.60 0.35 0.7 0 -0.7 -0.350 0.7 1.4 0 -1.4 -0.7[K]②=BT*D*B②*t*△={E/36.4}* 0.6 0 0 4 -0.6 -4资料个人收集整理，勿做商业用途1 -0.7 -1.4 -0.6 2.4 1.30.6 -0.35 -1.4 -4 1.3 3.53.12 求下图中所示地三角形地单元插值函数矩阵及应变矩阵，u1=2.0mm，v1=1.2mm，u2=2.4mm，v2=1.2mm，u3=2.1mm，v3=1.4mm，求单元内地应变和应力，求出主应力及方向.若在单元jm边作用有线性分布面载荷（x轴），求结点地地载荷分量.资料个人收集整理，勿做商业用途解：如图2△=64/3，解得以下参数：a1=19 a2=-2 a3=6；b1=-3 b2=4 b3=-1；c1=-1 c2=-3 c3=4；资料个人收集整理，勿做商业用途N1={64/3}*(19-3x-y) N2={64/3}*(-2-3x-3y)N3={64/3}*(6-x+4y)故N=Ni 0 Nj 0 Nm 00 Ni0 Nj0 Nm1 0 1 0 1 0 =0 1 0 1 0 1bi 0 bj 0 bm 0[B]={1/2△}* 0ci 0 cj 0 cm ci bi cj bj cm bm -3 0 4 0 -1 0={64/3}*0 -1 0 -3 0 4 -1 -3 -3 4 4 -11 γ 0[D]={E/(1-γ2)}*γ 1 00 (1-γ)/21 γ 0 -3 0 4 0 -1 0 单元应力矩阵[S]=[D]*[B]={E/13(1-γ2)}* γ 1 0* 0 -1 0 -3 0 4资料个人收集整理，勿做商业用途0 (1-γ)/2 -1 -3 -3 4 4 -12 1.1-3 -u 4 3u -1 4u2.4单元应力[δ]=[S]*[q]= {E/13(1-γ2)}* -3u -1 4u -3 -u 4* 1.2资料个人收集整理，勿做商业用途(u-1)/2 (3u-3)/2(3u-3)/2 2-2u 2-2u (u-1)/22.4资料个人收集整理，勿做商业用途1.43.13解：二维单元在x,y 坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同，在平面矩阵180°时变化，单元作上述变化时，应力矩阵不变化.3.14解：令1t，1p ，而E2.0e 011，1/3，210101102E D（0,1）（2,1）x y①②（0,0）（2,0）12312311223300000b b b Nc c c c b c b c b 2NBA单元①2.250.7500.75 2.25000.75D①②0.500.50000100010.500.51B①-1.125-0.75 1.125000.751.0+011*-0.375-2.250.37502.25-0.75-0.37500.3750.75Se ①S DB1.31250.75-0.5625-0.375-0.75-0.3750.752.4375-0.375-0.1875-0.375-2.25-0.5625-0.3750.562500.375*1.0011-0.375-0.187500.18750.3750-0.75-0.37500.3750.750-0.375-2.250.3752.25kee ①单元②：00.500.50B101001010.50.5②00.75 1.1250.75 1.125002.250.375 2.250.3750*1.00110.7500.750.37500.375Se ②0.7500.750.37500.37502.250.3752.250.3750.750.3751.31250.750.56250.3750.375 2.250.75 2.43750.3750.187500.3750.56250.37510.562500.37500.3750.18750.1875ke②由ke①和ke ②扩充KZ （总刚度阵）1.31250.750.56250.3750.750.375000.752.43750.3750.18750.375 2.25000.56250.3751.312500.75000.3750.3750.18750 2.437502.250.37501.01011*0.750.3750.750 2.06250.750.56250.3750.375 2.250kz e 2.250.75 4.68750.3750.18750000.3750.56250.3750.56250000.37500.3750.187500.1875而Re .kz qe ，其中112211Re22Rx Ry Rx Ry ，112200qex y x y ，化简得：112201.312500.7500.11310 2.43750 2.250.596820.750 2.06250.7500.194702.250.754.687510.42432x y x y 则，11220.56250.3750.750.3750.11130.148100.18750.375 2.250.59680.95170.750.3750.56250.3750.19470.17420.3750.3750.18750.42430.0482Rx Ry Rx Ry 3.15如图所示有限元网格，cm a4，单元厚度mm t 1，弹性模量MPa E5100.2，泊松比3.0.回答下述问题：（1）结点如何编号才能使结构刚度矩阵带宽最小？（2）如何设置位移边界条件才能约束结构地刚体移动？（3）形成单元刚度矩阵并集成结构刚度矩阵.（4）如果施加一定载荷，拟定求解步骤.(1) (2) （3）资料个人收集整理，勿做商业用途解：1、节点编号如图(2)所示；2、如图(3)设置位移边界条件才能约束结构地刚体移动；3、如图(2)所示各节点地坐标为(以m 为单位)：1(0,0)，2(0.08,0)，3(0,0.04)，4(0.08,0.04 )，5(0,0.08)，6(0.08,0.08)，7(0,0.12)，8(0.08,0.12)资料个人收集整理，勿做商业用途解：单元号 1 2 3 4 56相邻结点1 3 4 5 5 72 2 5 4 6 63436 78对于单元号1：04.0321y y b ；04.0132y y b ；0213y y b ；08.0231x x c ；0312x x c ；08.0123x x c ；对于单元号2：04.0423y y b ；0342y y b ；04.0234y y b ；0243x x c ；08.0432x x c ；08.0324x x c ；对于单元号3：04.0354y y b ；0435y y b ；04.0543y y b ；0534x x c ；08.0345x x c ；08.0453x x c ；对于单元号4：04.0645y y b ；0564y y b ；04.0456y y b ；0465x x c ；08.0654x x c ；08.0546x x c ；对于单元号5：04.0765y y b ；04.0576y y b ；0657y y b ；08.0675x x c ；0756x x c ；08.0567x x c ；对于单元号6：04.0867y y b ；0786y y b ；04.0678y y b ；0687x x c ；08.0876x x c ；08.0768x x c ；平面三角形单元地面积均为1112321x x x 23210032.0m y y y 弹性矩阵均为0112E D12/)1(0003.0191.0100.21113.035.000应变矩阵11)5()3()1(021c b BBB110b c 220c b 220b c 330c b 33b c 2505.125.1225005.125.12002500025033)6()4()2(021c b BBB330b c 220c b 220b c 440c b 44b c 005.125.1200250002502505.125.12250应力矩阵)1()5()3()1(BD SSS2308.192418.84725.27100.1116154.99451.544835.1602418.84725.276154.9002308.190009451.544835.16)2()6()4()2(BD SSS2418.84725.27100.1116154.9002308.190009451.544835.162308.192418.84725.276154.99451.544835.16单元刚度矩阵tA SBKKKT)1()1()5()3()1(3297.07692.03846.05495.07143.03187.1100.181978.23846.01923.03297.03901.27143.03297.0005495.03297.05495.003846.01923.001923.03846.007692.03846.003846.07692.01978.2003297.01978.23297.0t A SBKKKT)2()2()6()4()2(3297.05495.03297.0005495.0100.181923.03846.003846.01923.003846.07692.007692.03846.001978.23297.01978.2003297.07143.03187.13297.07692.03846.05495.03901.27143.01978.23846.01923.03297.0结构刚度矩阵为：。
2009-2010弹性力学及有限元试卷
四川大学期考试试题A
（2009 ——2010 学年第 1 学期）
课程号：30620030 课序号：0 课程名称：弹性力学及有限元任课教师：张建海成绩：适用专业年级：水工03 学生人数：印题份数：学号：姓名：
注：1试题字迹务必清晰，书写工整。
本题 2 页，本页为第 1 页
2 题间不留空，一般应题卷分开教务处试题编号：
3务必用A4纸打印
学号：姓名：
2 题间不留空，一般应题卷分开教务处试题编号：
3务必用A4纸打印
四川大学期考试试题B
（2009 ——2010 学年第 1 学期）
课程号：30620030 课序号：0 课程名称：弹性力学及有限元任课教师：张建海成绩：适用专业年级：水工03 学生人数：印题份数：学号：姓名：
注：1试题字迹务必清晰，书写工整。
本题2 页，本页为第 2 页
2 题间不留空，一般应题卷分开教务处试题编号：
3务必用A4纸打印。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、在建立弹性力学平衡微分方程、几何方程、物理方程时分别应用了哪些基本假定？
二、在什么条件下平面应力问题与平面应变问题的应力分量xy y x τσσ,,是相同的?
三、体力为零的单连体应力边界问题，设下列应力分量已满足边界条件。
试考察它们是否为
正确解答，并说明原因。
0,2,2)2(===xy y x y x τσσ
四、有限单元法中，位移模式应满足什么条件? 下列位移函数
2321x a y a x a u ++= 2321y b y b x b v ++=
能否作为三角形单元的位移模式? 简要说明理由。
)(,,)1(a
y b x q b y q a x q xy y x +-===τσσ
题六图
七、某结构的有限元计算网格如题七图（a ）所示。
网格中两种类型单元按如题七图（b ）所
示的局部编号，它们单元劲度矩阵均为
⎥⎥
⎤
⎢⎢⎡-----
25.025.0025.025
.0025.
25.0025.025.0005
.00005.0。