第2部分 专题6 第2讲 导数的简单应用

集 训
题
举 题 固 法
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·
18
·
自 主 练
考
点 整
考点 1 导数的运算及其几何意义 专
合
■高考串讲·找规律·
题
限
研
[高考解读·教师授课资源]
以导数的几何意义为载体，考查曲线 时 集
考 题
切线方程的求法，注意方程思想的应用及复合函数的求导问题.
训
举 题 固 法
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·
19
·
自 主 练
考
法
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·
26
·
自 主 练
考
点 整 合
所以 k＝xy11－－xy22＝2，
专 题
研
所以 x1＝1k＝12，y1＝ln21＋2＝2－ln 2，
限 时 集
考 题
所以 b＝y1－kx1＝2－ln 2－1＝1－ln 2.]
训
举 题 固 法
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27
·
自
主 练
与切线有关问题的处理策略
考
点 整
(1)已知切点 A(x0，y0)求斜率 k，即求该点处的导数值，k＝f′(x0)． 专
合
(2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1))，即解方程 f′(x1)＝k.
题 限
研
(3)求过某点
M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点
A(x0，f(x0))，
时 集
考 题
则切线方程为
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点
M(x1，y1)代入切线方
训
举 题
程，求
x0.
固
法
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·
D [f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，
自
主 练
f′(x)＝0 时，x＝2，
考
点 整
f′(x)＜0 时，0≤x＜2，f′(x)＞0 时，2＜x≤3.
专
合
所以 f(x)在[0,2)上是减函数，
题
限
在(2,3]上是增函数．
研
时 集
考 题
又 f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.
训
·
举 题
所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，
集 训
举 题
x≤1，故选 B.]
固
法
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·
7
·
自
4．若函数 f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则 k 的取
主
练 值范围是( )
考
点 整
A．(－∞，－2]
B．(－∞，－1]
专
合
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
题 限
wenku.baidu.com
时
研 考
D
[f′(x)＝k－1x，由题意知 k－1x≥0，即 k≥1x在(1，＋∞)上恒
固
法 4 2，当且仅当 n＝ 2m 时，取得最小值 6＋4 2，故选 C.] 返
首
页
·
33
·
自 主 练
考
点
整
专
合
3．(求切点的坐标)设曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y＝1x(x
题 限
时
研 ＞0)上点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为________．
集
考
训
题
举 题 固 法
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考
点 整 合
∴f′(x)＝2f′12x－2＋fx1.
专 题
研
令 x＝12得 f′12＝2f′12×21－2＋2f(1)，
限 时 集
考 题
即 f(1)＝1.
训
举
题 固 法
又 f(1)＝f′21－2，∴f′12＝3，
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·
30
·
自 主 练
考
点
整 合
∴f′(1)＝2f′21－2＋f(1)＝6－2＋1＝5.
主
练 所示，则 y＝f(x)的图象最有可能是以下选项中的( )
考
点
整
专
合
题
限
时
研
集
考
训
题
·
举 题 固 法
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5
·
自 主 练
考
点 整
C [由题图知，当 x＜0 时，f′(x)＞0，所以 y＝f(x)在(－∞，0) 专
合
上单调递增．因为当 0＜x＜2 时，f′(x)＜0，所以 y＝f(x)在(0,2)上单 题 限
－6，解得 s＝2，t＝2 或 s＝－32，t＝－236.由点 A 在直线 mx＋ny－1
专 题
限
研
＝0(其中 m＞0，n＞0)，可得 2m＋2n＝1s＝－23，t＝－236，舍去，
时 集
考
训
题
举 题
则
1 m
＋
2 n
＝
(2m
＋
2n)
m1 ＋2n
＝
2
3＋mn ＋2nm
≥2
3＋2
mn ·2nm ＝ 6 ＋
集 训
题
举 题 固
成立，又当 x∈(1，＋∞)时，0＜1x＜1，所以 k≥1，故选 D.]
法
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·
8
·
自
主
练
考 点
5．函数 f(x)＝31x3－4x＋m 在[0,3]上的最大值为 4，则 m 的值为
整
合( )
专
题
A．7
研
28 B. 3
限 时 集
考 题
C．3
D．4
训
举 题 固 法
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·
9
时 集
考 题
＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x.故选 D.]
训
举 题 固 法
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·
22
·
自
主
练
考
2．(2011·大纲版高考)曲线 y＝e－2x＋1 在点(0,2)处的切线与直线
点
整 合
y＝0 和 y＝x 围成的三角形的面积为(
)
专
题
1
1
限
A.3
B.2
研
时 集
考 题
举
2 C.3
D．1
·
34
·
自 主
(1,1) [∵函数 y＝ex 的导函数为 y′＝ex，
练
考
∴曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k1＝e0＝1.
点
整 合
设 P(x0，y0)(x0＞0)，
专
题
∵函数 y＝1x的导函数为 y′＝－x12，
研
限 时 集
考 题
举
∴曲线 y＝1x(x＞0)在点 P 处的切线的斜率 k2＝－x120，
研
调递减．又当 x＞2 时，f′(x)＞0，所以 y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递
时 集
考 题
增．]
训
举 题 固 法
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·
6
·
自
主
练 考
3．函数 y＝21x2－ln x 的单调递减区间为(
)
点
整 合
A．(－1,1]
B．(0,1]
专
题
C．[1，＋∞)
D．(0，＋∞)
限 时
研 考 题
B
[函数定义域为(0，＋∞)，由 y′＝x－1x＝x2－x 1≤0 得，0＜
合
如函数 f(x)＝x3，f′(0)＝0，但 x＝0 不是极值点．如 T5.
题 限
研
(2)极值点不是一个点，而是一个数 x0，当 x＝x0 时，函数取得极
时 集
考 题
值，在 x0 处，f′(x0)＝0 是函数 f(x)在 x0 处取得极值的必要不充分条
训
举 题
件．
固
法
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16
·
自 主 练
考
·
28
·
自
主
练
■考题变迁·提素养·
考
点
整 合
1．(考查导数的运算)设函数 f(x)＝f′12x2－2x＋f(1)ln x，曲线 f(x)
专 题
限
在(1，f(1))处的切线方程是( )
时
研
集
考
A．5x－y－4＝0
B．3x－y－2＝0
训
题
举
C．x－y＝0
题
固
法
D．x＝1
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·
29
·
自 主 练
A [∵f(x)＝f′21x2－2x＋f(1)ln x，
训
举 题
y＝x.故选 D.
固
法
返 首 页
·
21
·
自 主 练
考
点 整
法二：(特值法)因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 专
合
f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得 a＝1， 题 限
研
所以 f(x)＝x3＋x，所以 f′(x)＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1，所以曲线 y
题
固 法
S△OBC＝12OB×32＝21×1×32＝31.]
返
首
页
24
·
自 主 练
考
点
整
专
合
3．(2016·全国卷Ⅱ)若直线 y＝kx＋b 是曲线 y＝ln x＋2 的切线， 题
限
也是曲线 y＝ln(x＋1)的切线，则 b＝________.
研
时 集
考
训
题
举 题 固 法
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25
·
自
主 练
考
点 整
所以 f(－x)＝－f(x)，
专
合
所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以 题 限
研
2(a－1)x2＝0，因为 x∈R，所以 a＝1，所以 f(x)＝x3＋x，所以 f′(x)
时 集
考 题
＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1，所以曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为
专
题
2n的最小值为( )
研
限 时 集
考 题
A．4 2
B．3＋2 2
训
举
题
C．6＋4 2
固
D．8 2
法
返 首 页
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32
·
自
C [设 A(s，t)，y＝x3－2x2＋2 的导数为 y′＝3x2－4x，可得切
主
练 线的斜率为 3s2－4s，切线方程为 y＝4x－6，可得 3s2－4s＝4，t＝4s
考
点 整 合
主
练
f(1)＝1＋a＋b＋a2＝10，②
考
点 整 合
由①②得ab＝ ＝4－，11 或ba＝＝3－，3，
专 题
限
而要在 x＝1 处取到极值，则 Δ＝4a2－12b＞0，
研
时 集
考 题
举 题
故舍去ba＝＝3－，3， 所以只有ab＝ ＝－ 4，11，
训
固
法
所以 a＋b＝－7，故选 B.]
返
首
页
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12
·
自
点 整
1．[一题多解](2018·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若 专
合
f(x)为奇函数，则曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
题
限
A．y＝－2x
研
B．y＝－x
时 集
考 题
C．y＝2x
D．y＝x
训
举 题 固 法
返 首 页
·
20
·
自
主 练
D [法一：(直接法)因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，
考
1－ln 2 [求得(ln x＋2)′＝1x，[ln(x＋1)]′＝x＋1 1.
点
整 合
设曲线 y＝ln
x＋2 上的切点为(x1，y1)，曲线 y＝ln(x＋1)上的切
专 题
点为(x2，y2)，
限 时
研 考 题
则 k＝x11＝x2＋1 1，所以 x2＋1＝x1.
集 训
举
题 固
又 y1＝ln x1＋2，y2＝ln(x2＋1)＝ln x1，
主
练
考
■扣要点·查缺补漏·
点
整 合
1．导数的几何意义
专
题
(1)f′(x0)的几何意义是曲线
y＝f(x)在点
P(x0，y0)处切线的斜率．
限 时
研 考
(2)函数
y＝f(x)在点
x＝x0 处的切线方程为
y－f(x0)＝f′(x0)(x－
集 训
题
举 x0)，如 T1.
题
固
法
返 首 页
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13
·
自
主 练
2．导数与函数的单调性
固
法
返 首 页
·
14
·
自 主 练
考
点
整
专
合
(3)若已知函数的单调性，则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 题
限
在单调区间上恒成立问题来求解．如 T4.
研
时 集
考
训
题
举 题 固 法
返 首 页
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15
·
自
主 练
3．导数与函数的极值、最值
考
点 整
(1)可导函数极值点的导数为 0，但导数为 0 的点不一定是极值点， 专
专 题
限
∴曲线在点(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝5(x－1)，
时
研
集
考
即 5x－y－4＝0，故选 A.]
训
题
举 题 固 法
返 首 页
·
31
·
自
主 练
2．(与不等式交汇)若曲线 y＝x3－2x2＋2 在点 A 处的切线方程为
考
点 整 合
y＝4x－6，且点 A 在直线 mx＋ny－1＝0(其中 m＞0，n＞0)上，则m1 ＋
训
题
固
法
返 首 页
·
23
A [由题意，得：y′＝(e－2x＋1)′＝e－2x(－2x)′
自
主 练
＝－2e－2x，
·
考 点
则在点(0,2)处的切线斜率为 k＝－2e0＝－2，
整
专
合
∴切线方程为 y＝－2x＋2.
题
限
·
研 考
联立yy＝ ＝－x，2x＋2， 得 C23，23.
时 集 训
题
举
∴与 y＝0 和 y＝x 围成三角形的面积为
第二部分 讲练篇
专题六 函数、导数和不等式 第2讲 导数的简单应用
2
·
自
主
自 主 练 练
考 点
整
专
合
题
限
时
研 考
考点整合
集 训
题
举 题 固 法
返 首 页
·
3
·
自
主
练
■做小题·激活思维·
考
点 整
1．(2019·全国卷Ⅰ)曲线 y＝3(x2＋x)ex 在点(0,0)处的切线方程为 专
合
________．
固
法
所以 m＝4，故选 D.]
返
首
页
10
·
自 主 练
考
点 整
6．已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2 在 x＝1 处的极值为 10，则 a＋b 专
合
等于( )
题
限
A．0 或－7
研
B．－7
时 集
考 题
C．0
D．7
训
举 题 固 法
返 首 页
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11
·
自
B [因为 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以 f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①
题 限
研
y＝3x
[因为 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以
时 集
考 题
曲线在点(0,0)处的切线的斜率 k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为
训
举 题
y＝3x.]
固
法
返 首 页
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4
·
自 2.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图
点
整 合
(3)一般地，在闭区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断 专
题
的曲线，那么函数 y＝f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，函数的最
限 时
研 考
值必在极值点或区间的端点处取得．如 T6.
集 训
题
举 题 固 法
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17
·
自
主
研 考 题 练
考 点
整
专
合
题
限
时
研 考
举题固法
考
点 整
(1)函数单调性的判定方法：在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)＞0， 专
合
那么函数 y＝f(x)在此区间内单调递增；如果 f′(x)＜0，那么函数 y 题
限
＝f(x)在此区间内单调递减．如 T2.
研
时 集
考 题
(2)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证 训
举 题
明)不等式 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0.如 T3.