平行轴定理及垂直轴定理

mgr 2 常量 a 2 mr J Z
2 mgr h 1 at 2 1 2 t2 2 2 mr J Z
2 gt J Z mr 2 ( 1) 2h
若滑轮质量不可忽略，怎样？
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
Ny
O
Nx
Nx, N y
Fl ' J
l F N x macx m 2 l 2 N y mg macy m 0 2
l' F
C
mg
质点系
打击中心
ml Fl ' 3l ' 2 Nx F F ( 1) l' l 2 J 2l 3 N y mg 质心运动定理与转动定律联用
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中 作用在刚体上所有外力所作功的总和。 —— 动能定理
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刚体的机械能 刚体重力势能
E Ek E p
Ep
i
m gh m h mg mgh
R
M z dM z
R
2 2gr dr mgR 0 3 d 由转动定律 M z J
2

3R 0 dt 0 4gd 3R 0 t 4g
0
t
2 1 d mgR mR 2 3 2 dt dt 4 g 2 1 2 mgR mR 3R 3 2 4 g 0 t t 0 4 g t 3R 3R
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例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 m l x 面内转动，初始时它在水平位置 O 求 它由此下摆 角时的 和 1 C 解
M mglcos 2 l 由动能定理 A Md mgcosd 0 0 2 lmg 1 2 sin 0 J 0 2 2 3 gsin 3gsin 1/ 2 2 ( )
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ri ri ro
ri ri ro 2ri ro
2 2 2
J z'
x
z'
r i'
Jz mi
z
ri L 2 xi L
2
2
r
o
L
ri
O C M
2 2 2 m r m ( r L 2 xi L) ii i i i i
r' vi F dr ri • m P i
d


转动物体具有储能、稳速等作用：……
二. 力矩的功 dA F dr Fcosds Frcosd F rd Md
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xdm mxC
C
mg
dm
重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩
Mz 1 3 3g cos d d 3g cos mgl cos 2 dt d 2l J 2 ml 2l ω θ 3 gcos 3 gsin 0 d 0 2l d l
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例 匀质圆盘以 0 在水平桌面上转动,受摩擦力而静止 求 到圆盘静止所需时间 解 取一质元 dm ds 2π rdr 摩擦力矩
R 0

dM z rdf r gdm
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例 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转 动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕 在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。 重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得 重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t， 求 物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
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例 一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量
1 2 J ml，现有一水平力作用于距轴为 l' 处 3
求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。 解 设轴对棒的作用力为 N 由转动定律 由质心运 动定理
1 1
i i i
(2) 内力矩作功之和为零。
三. 转动动能定理 —— 合力矩功的效果 d 1 dA Md ( J )d Jd d( J 2 ) dEk
dt 2 对于一有限过程 2 2 1 1 1 2 2 2 A dA d( J ) J2 J1 Ek 1 1 2 2 2
i
i i
C
mi
m
C
质心的势能
hc
hi EP 0
刚体的 机械能
1 2 E J mghC 2
刚体的机械能守恒
1 2 J mghC C 2
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立
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C
z
M
z
L
Jz Jx Jy
—— (薄板)垂直轴定理
xy 轴 —— 在薄板内 z 轴 —— 垂直于薄板 例如:
1 J z mR 2 2 Jz Jx Jy 1 J x J y mR2 Jx Jy 4
z
z
m C x
圆盘
R
y
x
y
薄板
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例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg· m2，飞轮与转轴间的摩擦 不计，绳与滑轮间无相对滑动，(见图)
求 (1) 飞轮的角加速度; (2) 如以重量P =98 N 的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度. 解 (1) Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s 2 J 0.5
mgLeabharlann Baidu J mr 2
两者区别
rO
T mg
(2) mg T ma
T F
Tr J a r
98 0.2 2 21 . 8 rad/s 0.5 10 0.22
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l d 3gcos d 2 dt l dt l
mg
1 2 J ml 3
d 3gcos dt 2l 1 2 1 J mglsin 0 此题也可用机械能守恒定律方便求解 2 2
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴 处的摩擦力矩忽略不计。
解 分析（机械能）： Ek 1 0
Ek 2 mv 2 / 2 J Z 2 / 2
v 2 (mr 2 J Z ) / (2r 2 ) E p EP 2 EP1 mgh
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dA Md
对一有限过程
(力矩的功就是力的功)
若M=C
A Md (
1
2
积分形式 ）
A M ( 2 1 )
1
讨论 2 2 2 (1) 合力矩的功 A Md ( M i )d M i d Ai
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Nx 0
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§6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
z
一. 转动动能
设系统包括有 N 个质量元

m1 , m2 ,......., mi ,......, mN
r1 , r2 ,..., ri , ..., rN v1 ,v 2 ,...,v i ,...,v N
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机械能守恒
mgh v 2 (mr 2 J Z ) / (2r 2 ) 0
2 v mgh 2 (mr 2 J Z ) 2r mg dh 2v dv 1 2 (mr 2 J Z ) dt dt 2r
dh dv v， a dt dt
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例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动（光滑无摩擦），初始时它在水平位置
求 它由此下摆 角时的 和
解 取一质元 M z xdm g g xdm
O



m
l
x

M z mgxC 1 M z mgl cos 2
J z ML2 2MLxc
J z ' J z ML
2
(m x L)
i i
M (mi xi ) L M
MxC L
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四. 转动定律的应用举例
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平行轴定理及垂直轴定理
J z' J z ML
2 ——
平行轴定理
(Parallel-Axis Theorem)
z' L
z M
Jz —— 刚体绕通过质心轴的转动惯量 例如: 2 1 1 1 L J Z M ML2 ML2 ML2 JZ 4 3 2 12
O
取第 i 个质元 ,其动能为 1 1 2 2 Eki miv i mi ri 2 2 2 各质元速度不同， 但角速度相同 刚体对定轴的总动能为 1 2 Ek J 1 1 2 2 2 2 2 Eki ( 2 mi ri ) 2 mi ri 结论 定轴转动刚体的动能等于转动惯量与其角速度平方乘积的一半