平行轴定理及垂直轴定理

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平行轴及垂直轴定理

平行轴及垂直轴定理

平行轴定理转动惯量与转动轴的位置有关。

绕着一个固定轴转动的物体的动能是2z I 21K ω= 之前我们可以将动能用质心的动能和相对于质心的内能之和的形式表示出来: int 2cm K Mv 21K +=一个刚体上的两个平行轴。

Z 轴是固定的,质心轴绕着z 轴运动。

相对于任意一个轴物体都处于运动状态。

考虑绕不经过质心的固定轴(假设是z 轴)的转动。

质心绕着这个固定轴转动,设它与轴之间的距离为d :因此 ωd v cm =222cm Md 21Mv 21ω= 一个物体以角速度ω绕固定轴z 轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z 轴且通过质心的固定轴的转动。

也就是说,绕z 轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加。

绕通过质心的固定轴转动的动能为:2cm int I 21K ω=所以 222cm Md 21I 21K ωω+= 22cm 2z ]Md I [21I 21ωω+= 两相比较可得:2cm z Md I I +=,这就是平行轴定理。

例:木棒细木棒绕着它长度的中点转动,转动惯量为:2cm ML 121I = ——那么,当木棒绕着它的一端转动时,它的转动惯量是多少?3ML I )2L (M 12ML I 2Ld 222=+== 垂直轴定理一个薄平板,它可以绕着三个坐标轴中的任意一个转动。

表明了一个平板状物体绕着它的三个互相垂直的坐标轴转动的转动惯量之间的关系。

考虑一个薄板,它可以绕着它的三个垂直的坐标轴中的任意一个转动。

设与之相对应的转动惯量分别为z y x I I ,I 和假设平板处于xy 平面上,从z 轴到参考点P 的垂直距离为22y x R +=∫∫+==dV )y x (dV R I 222z ρρ∫=dV y I 2x ρ∫=dV x I 2y ρ所以 ,这便是垂直轴定理。

y x z I I I +=例:1) 圆盘•处于xy 平面上的一个圆盘,其转动惯量为2z MR 21I = 由对称性可知,y x I I =因此由垂直轴定理即可得到:x z 2I I =4MR 2I I I 2z y x === 2) 正方形平板•正方形的变长为a通过对称性可知,y x I I =因此由垂直轴定理即可得到:2z x Ma 61I 2I == 例:当圆柱体转动时,绳子开始释放,物体m 向下落。

转动惯量公式表

转动惯量公式表

常见几何体]转动惯量公式表对于细杆当回转轴过杆的中点并垂直于杆时;J=m(L^2)/12 其中m是杆的质量,L是杆的长度。

当回转轴过杆的端点并垂直于杆时:J=m(L^2)/3 其中m是杆的质量,L是杆的长度。

对于圆柱体当回转轴是圆柱体轴线时;J=m(r^2)/2其中m是圆柱体的质量,r是圆柱体的半径。

对于细圆环当回转轴通过中心与环面垂直时,J=mR^2;当回转轴通过边缘与环面垂直时,J=2mR^2;R为其半径对于薄圆盘当回转轴通过中心与盘面垂直时,J=﹙1/2﹚mR^2;当回转轴通过边缘与盘面垂直时,J=﹙3/2﹚mR^2;R为其半径对于空心圆柱当回转轴为对称轴时,J=﹙1/2﹚m[(R1)^2+(R2)^2];R1和R2分别为其内外半径。

对于球壳当回转轴为中心轴时,J=﹙2/3﹚mR^2;当回转轴为球壳的切线时,J=﹙5/3﹚mR^2;R为球壳半径。

对于实心球体当回转轴为球体的中心轴时,J=﹙2/5﹚mR^2;当回转轴为球体的切线时,J=﹙7/5﹚mR^2;R为球体半径对于立方体当回转轴为其中心轴时,J=﹙1/6﹚mL^2;当回转轴为其棱边时,J=﹙2/3﹚mL^2;当回转轴为其体对角线时,J=(3/16)mL^2;L为立方体边长。

只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。

下面给出一些(绕定轴转动时)的刚体动力学公式。

角加速度与合外力矩的关系:角加速度与合外力矩式中M为合外力矩,β为角加速度。

可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。

角动量:角动量刚体的定轴转动动能:转动动能注意这只是刚体绕定轴的转动动能,其总动能应该再加上质心动能。

只用E=(1/2)mv^2不好分析转动刚体的问题,是因为其中不包含刚体的任何转动信息,里面的速度v 只代表刚体的质心运动情况。

由这一公式,可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。

转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性(回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性)的量度,用字母I或J表示。

刚体定轴转动定律

刚体定轴转动定律
角称为角坐标(或角位置)。 角坐标为标量。但可有正负。
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量:
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向:满足右手定则,沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量,但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个,在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向,不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环,绕垂直于圆环平面的 质心轴转动,求转动惯量J。
解: J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘,绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动,求转动惯量 J。
解:分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体, 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上,滑轮半径为 R,质量为 M,求:m1 下落的加速度,和 绳子的张力 T1、T2。
解:m1 g T1 m1a (1)
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L= r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量;
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt

运动生物力学复习资料

运动生物力学复习资料

●运动生物力学是生物力学的一个重要分支,是研究体育运动中人体机械运动规律的科学。

它是将体育运动中人体(或器械)复杂的运动形式及变化规律结合力学和生物学的原理进行研究的一门科学。

●根据力学观点,人体运动可以描述为:在神经系统控制下,以肌肉收缩为动力,以关节位支点,以骨骼为杠杆的机械运动。

●运动生物力学的任务:1.改进运动技术。

根据人体的形态机能特点,研究最合理、最有效的运动技术,以求达到最好的运动成绩。

2.改善训练手段。

通过改善训练手段可增加运动训练的适应性,并能提高运动成绩。

2.预防运动损。

预防运动损伤是生物力学研究的一大基本任务,从运动损伤发生的机制,到其检测与研究方法,相关应用研究越来越普及与深入。

3.运动康复与健康促进。

运动损伤的性质和康复治疗有赖于生物学、运动手段和力学的综合知识,而运动生物力学恰恰能够很好地提供完整的视角。

3.设计与改革运动器材。

运动生物力学理论与方法的运用在改革运动器材方面起着举足轻重的作用,它通过改良各项运动器材来帮助运动员实现运动成绩的提高。

●运动生物力学的测量方法有:运动学测量、动力学测量、人体测量及肌电图测量。

运动学测量参数---肢体的(角)位移、(角)速度、(角)加速度等。

运动学参数---主要界定在力的测量。

人体测量参数----人体环节的长度、围度及惯性参数如质量、转动惯量。

肌电图参数----测量肌肉收缩时的神经支配特性。

●人体动作结构--运动时所组成的各动作间相互联系、相互作用的方式或顺序称为动作结构。

●人体动作结构特征1.运动学特征---时间特征、空间特征、时空特征。

2.动力学特征---力的特征、能量特征、惯性特征。

●动作系统---大量单一动作按一定规律组成为成套的动作技术,这些成套的动作技术称为动作系统。

●动作系统的分类及特点1.周期性动作系统---是指以周期性循环的规律出现的动作组合的成套连续动作。

跑,泳特点---反复性和连贯性、节律性、交互性、惯性作用。

平行轴定理和垂直轴定理的讲解

平行轴定理和垂直轴定理的讲解

三. 转动动能定理 —— 合力矩功的效果
dA Md (J
对于一有限过程
d )d
dt
Jd
d( 1 2
J 2 )
dEk
A
2 dA
1
2 1
d( 1 2
J 2 )
1 2
J22
1 2
J12
Ek
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量,等于在该过程中
作用在刚体上所有外力所作功的总和。 —— 动能定理
刚体的机械能 刚体重力势能
1)
l' 2l 3
Nx 0
N y mg
质心运动定理与转动定律联用
§6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能
z
设系统包括有 N 个质量元
m1, m2
r1, r2,..., ri,
,.......,
..., rN
mi,......,mN
v1,v2,...,vi ,...,v N
取第 i 个质元 ,其动能为
Ny
J 1 ml,2 现有一水平力作用于距轴为 l' 处
O
3
求 轴对棒的作用力(也称轴反力)。
Nx
解 设轴对棒的作用力为 N
Nx, Ny
由转动定律 Fl' J
由质心运 动定理
F
Nx
macx
m
l 2
Ny
mg
macy
ml 2
2
0
l' C F mg
质点系
打击中心
Nx
ml 2
Fl ' J
F
F (3l ' 2l
d
O
r' ri

转动惯量公式表

转动惯量公式表

常见几何体]转动惯量公式表对于细杆当回转轴过杆的中点并垂直于杆时;J=m(L^2)/12 其中m是杆的质量,L是杆的长度。

当回转轴过杆的端点并垂直于杆时:J=m(L^2)/3 其中m是杆的质量,L是杆的长度。

对于圆柱体当回转轴是圆柱体轴线时;J=m(r^2)/2其中m是圆柱体的质量,r是圆柱体的半径。

对于细圆环当回转轴通过中心与环面垂直时,J=mR^2;当回转轴通过边缘与环面垂直时,J=2mR^2;R为其半径对于薄圆盘当回转轴通过中心与盘面垂直时,J=﹙1/2﹚mR^2;当回转轴通过边缘与盘面垂直时,J=﹙3/2﹚mR^2;R为其半径对于空心圆柱当回转轴为对称轴时,J=﹙1/2﹚m[(R1)^2+(R2)^2];R1和R2分别为其内外半径。

对于球壳当回转轴为中心轴时,J=﹙2/3﹚mR^2;当回转轴为球壳的切线时,J=﹙5/3﹚mR^2;R为球壳半径。

对于实心球体当回转轴为球体的中心轴时,J=﹙2/5﹚mR^2;当回转轴为球体的切线时,J=﹙7/5﹚mR^2;R为球体半径对于立方体当回转轴为其中心轴时,J=﹙1/6﹚mL^2;当回转轴为其棱边时,J=﹙2/3﹚mL^2;当回转轴为其体对角线时,J=(3/16)mL^2;L为立方体边长。

只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。

下面给出一些(绕定轴转动时)的刚体动力学公式。

角加速度与合外力矩的关系:角加速度与合外力矩式中M为合外力矩,β为角加速度。

可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。

角动量:角动量刚体的定轴转动动能:转动动能注意这只是刚体绕定轴的转动动能,其总动能应该再加上质心动能。

只用E=(1/2)mv^2不好分析转动刚体的问题,是因为其中不包含刚体的任何转动信息,里面的速度v 只代表刚体的质心运动情况。

由这一公式,可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。

转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性(回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性)的量度,用字母I或J表示。

最新《力学》漆安慎(第二版)答案07章

最新《力学》漆安慎(第二版)答案07章

力学(第二版)漆安慎习题解答第七章刚体力学第七章 刚体力学 一、基本知识小结⒈刚体的质心定义:∑⎰⎰==dm dm r r mr m r c i i c //求质心方法:对称分析法,分割法,积分法。

⒉刚体对轴的转动惯量定义:∑⎰==dm r I r m I ii 22平行轴定理 I o = I c +md 2 正交轴定理 I z = I x +I y.常见刚体的转动惯量:(略) ⒊刚体的动量和质心运动定理∑==c c a m F v m p⒋刚体对轴的角动量和转动定理∑==βτωI I L⒌刚体的转动动能和重力势能c p k mgy E I E ==221ω⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程:∑∑==c c c c I a m F βτ(不必考虑惯性力矩)动能:221221cc c k I mv E ω+= ⒎刚体的平衡方程∑=0F, 对任意轴∑=0τ二、思考题解答7.1 火车在拐弯时所作的运动是不是平动?答:刚体作平动时固联其上的任一一条直线,在各时刻的位置(方位)始终彼此平行。

若将火车的车厢看作一个刚体,当火车作直线运行时,车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度,选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动,这就是火车的平动。

但当火车拐弯时,车厢上各部分的速度和加速度都不相同,即固联在刚体上任一条直线,在各时刻的位置不能保持彼此平行,所以火车拐弯时的运动不是平动。

7.2 对静止的刚体施以外力作用,如果合外力为零,刚体会不会运动?答:对静止的刚体施以外力作用,当合外力为了零,即0i c F ma ==∑时,刚体的质心将保持静止,但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体的同一点。

所以,对某一确定点刚体所受合外力的力矩i i iM M r F ==⨯∑∑不一定为零。

由刚体的转动定律M J α=可知,刚体将发生转动。

比如,置于光滑水平面上的匀质杆,对其两端施以大小相同、方向相反,沿水平面且垂直于杆的两个作用力时,杆所受的外力的合力为零,其质心虽然保持静止,但由于所受合外力矩不为零,将作绕质心轴的转动。

平行轴定理及垂直轴定理

平行轴定理及垂直轴定理

1 2
mi
ri
2
2
各质元速度不同,
刚体对定轴的总动能为
但角速度相同
Eki
(
1 2
mi
ri 2
2
)

1 2
miri2 2
Ek

1 2
J 2
结论 定轴转动刚体的动能等于转动惯量与其角速度平方乘积的一半
转动物体具有储能、稳速等作用:……
二.
力矩的功
dA

F

dr
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例 一根长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒,可绕轴 O 在竖直平
面内转动,初始时它在水平位置
求 它由此下摆 角时的 和
O
m

l
x
解 M 1 mglcos
Fl ' J

F

F (3l' 2l
1)
l' 2l 3
N y mg
质心运动定理与转动定律联用
Nx 0
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University Physics
§6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能
z
设系统包括有 N 个质量元
m1,
m2
,.......,

mi,......,mN
r1, r2,..., ri,..., rN v1,v2,...,vi ,...,v N
取第 i 个质元 ,其动能为
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例 一根长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒,可绕轴 O 在竖直平 m l x 面内转动,初始时它在水平位置 O 求 它由此下摆 角时的 和 1 C 解
M mglcos 2 l 由动能定理 A Md mgcosd 0 0 2 lmg 1 2 sin 0 J 0 2 2 3 gsin 3gsin 1/ 2 2 ( )
mgr 2 常量 a 2 mr J Z
2 mgr h 1 at 2 1 2 t2 2 2 mr J Z
2 gt J Z mr 2 ( 1) 2h
若滑轮质量不可忽略,怎样?
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l d 3gcos d 2 dt l dt l
mg
1 2 J ml 3
d 3gcos dt 2l 1 2 1 J mglsin 0 此题也可用机械能守恒定律方便求解 2 2
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Nx 0
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§6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
z
一. 转动动能
设系统包括有 N 个质量元

m1 , m2 ,......., mi ,......, mN
r1 , r2 ,..., ri , ..., rN v1 ,v 2 ,...,v i ,...,v N
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例 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转 动架上,转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮,绳的一端缠绕 在鼓轮上,另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。 重物下落时,由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得 重物由静止下落一段距离 h,所用时间为t, 求 物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子
i
i i
C
mi
m
C
质心的势能
hc
hi EP 0
刚体的 机械能
1 2 E J mghC 2
刚体的机械能守恒
1 2 J mghC C 2
对于包括刚体的系统,功能原理和机械能守恒定律仍成立
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绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量,等于在该过程中 作用在刚体上所有外力所作功的总和。 —— 动能定理
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刚体的机械能 刚体重力势能
E Ek E p
Ep
i
m gh m h mg mgh
C
z
M
z
L
Jz Jx Jy
—— (薄板)垂直轴定理
xy 轴 —— 在薄板内 z 轴 —— 垂直于薄板 例如:
1 J z mR 2 2 Jz Jx Jy 1 J x J y mR2 Jx Jy 4
z
z
m C x
圆盘
R
y
x
y
薄板
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O
取第 i 个质元 ,其动能为 1 1 2 2 Eki miv i mi ri 2 2 2 各质元速度不同, 但角速度相同 刚体对定轴的总动能为 1 2 Ek J 1 1 2 2 2 2 2 Eki ( 2 mi ri ) 2 mi ri 结论 定轴转动刚体的动能等于转动惯量与其角速度平方乘积的一半
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘,在绳端施以F=98 N 的拉力,飞轮的转动惯量 J=0.5 kg· m2,飞轮与转轴间的摩擦 不计,绳与滑轮间无相对滑动,(见图)
求 (1) 飞轮的角加速度; (2) 如以重量P =98 N 的物体挂在绳端,试计算飞轮的角加速度. 解 (1) Fr J
J z ML2 2MLxc
J z ' J z ML
2
(m x L)
i i
M (mi xi ) L M
MxC L
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四. 转动定律的应用举例
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例 匀质圆盘以 0 在水平桌面上转动,受摩擦力而静止 求 到圆盘静止所需时间 解 取一质元 dm ds 2π rdr 摩擦力矩
R 0

dM z rdf r gdm
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机械能守恒
mgh v 2 (mr 2 J Z ) / (2r 2 ) 0
2 v mgh 2 (mr 2 J Z ) 2r mg dh 2v dv 1 2 (mr 2 J Z ) dt dt 2r
dh dv v, a dt dt
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例 一个刚体系统,如图所示,已知,转动惯量
1 2 J ml,现有一水平力作用于距轴为 l' 处 3
求 轴对棒的作用力(也称轴反力)。 解 设轴对棒的作用力为 N 由转动定律 由质心运 动定理
1 1
i i i
(2) 内力矩作功之和为零。
三. 转动动能定理 —— 合力矩功的效果 d 1 dA Md ( J )d Jd d( J 2 ) dEk
dt 2 对于一有限过程 2 2 1 1 1 2 2 2 A dA d( J ) J2 J1 Ek 1 1 2 2 2
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ri ri ro
ri ri ro 2ri ro
2 2 2
J z'
x
z'
r i'
Jz mi
z
ri L 2 xi L
2
2
r
o
L
ri
O C M
2 2 2 m r m ( r L 2 xi L) ii i i i i
不可伸缩,绳子、各轮质量及轮轴 处的摩擦力矩忽略不计。
解 分析(机械能): Ek 1 0
Ek 2 mv 2 / 2 J Z 2 / 2
v 2 (mr 2 J Z ) / (2r 2 ) E p EP 2 EP1 mgh
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R
M z dM z
R
2 2gr dr mgR 0 3 d 由转动定律 M z J
2

3R 0 dt 0 4gd 3R 0 t 4g
0
t
2 1 d mgR mR 2 3 2 dt dt 4 g 2 1 2 mgR mR 3R 3 2 4 g 0 t t 0 4 g t 3R 3R
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平行轴定理及垂直轴定理
J z' J z ML
2 ——
平行轴定理
(Parallel-Axis Theorem)
z' L
z M
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Jz —— 刚体绕通过质心轴的转动惯量 例如: 2 1 1 1 L J Z M ML2 ML2 ML2 JZ 4 3 2 12
Fr 98 0.2 39.2 rad/s 2 J 0.5
mgr J mr 2
两者区别
rO
T mg
(2) mg T ma
T F
Tr J a r
98 0.2 2 21 . 8 rad/s 0.5 10 0.22
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xdm mxC
C
mg
dm
重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩
Mz 1 3 3g cos d d 3g cos mgl cos 2 dt d 2l J 2 ml 2l ω θ 3 gcos 3 gsin 0 d 0 2l d l
r' vi F dr ri • m P i
d


转动物体具有储能、稳速等作用:……
二. 力矩的功 dA F dr Fcosds Frcosd F rd Md
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dA Md
对一有限过程
(力矩的功就是力的功)
若M=C
A Md (
1
2
积分形式 )
A M ( 2 1 )
1
讨论 2 2 2 (1) 合力矩的功 A Md ( M i )d M i d Ai
Ny
O
Nx
Nx, N y
Fl ' J
l F N x macx m 2 l 2 N y mg macy m 0 2
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