转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究模板

转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究

摘要: 采用三线摆, 双线摆, 扭摆, 测量不同刚性物体的转动惯量, 并进一步验证平行轴定理, 同时应用扭摆的特性测量切边模量。

关键字: 转动惯量; 平行轴定理; 切变模量

转动惯量是刚体转动惯性的量度, 它与刚体的质量分布和转轴位置有关。根据物体的规则与否, 转动惯量的获得分为理论公式法与实验法。对于规则物体, 测量其尺寸和质量, 即可经过理论公式计算获得; 对于不规则、 质量分布不均匀的物体则要经过实验测定。

一． 实验原理

（一） 双线摆

本实验中, 认为双线摆是纯转动的理想模型。这样, 双线摆摆锤的运动可分解为: 水平面上的转动以及竖直方向上的振动。 设均匀细杆质量、 长为l 、 绕经过质心竖直轴转动的惯量为; 两相同圆柱体

的质量之和为2m 1,之间距离为2c; 双绳之间

距离为d, 绳长L 。

由右图

几何关系分析, 当很小时, , 得

81 )2cos -L(1=h 2θθL = ( 1) 图2几何分析

图１双线摆结

由上式可得系统的势能为

2

001 8p E m gh m gL θ== ( 2)

杆的转动动能为2

0)(21dt d I E k θ

= ( 3)

由能量守恒得

22

000011() 28d I m gL m gh dt θθ+= ( 4)

用( 4) 关于时间求导, 并除以, 得

2020

04m

gL d dt I θθ+= ( 5)

解上面的简谐振动方程, 得杆的转动惯量:

2020

016T gL

m I π= ( 6)

测量物体的转动惯量:

202()16x m m gL

I T π+= (7)

待测物体的转动惯量为:

22200000222()()161616x x x m m gL m m gL m gL

I T I T T πππ++=-=- (8)

（二） 三线摆和扭摆

① 三线摆

左图是三线摆示意图。上、

下圆盘均处于水平, 悬挂在

横梁上。三根对称分布的等长悬线将两圆盘相连。

拨动转动杆使圆盘进行小角度转动, 当转动角很小时, 忽律空气阻力, 以及悬线扭力的影响, 由刚体转动定理, 得圆盘的转动惯量为

(9)

式中, m 0为下圆盘的质量; r 和R 分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离; H 0为平衡时上下圆盘间的垂直距离; T 0为下圆盘的摆动周期, g 为重力加速度。

将质量为m 的待测刚体放在下圆盘上, 使其质心与转抽重合, 测量出此时的周期T 和上下圆盘的距离H, 则总转动惯量为:

2201T H

4gRr )m m (J π+=

( 9) 待测物的转动惯量为: J=

( 10)

②扭摆

将一金属丝上端固定, 下端悬挂一刚体就构成扭摆。如下图

忽略空气阻尼力矩的作用, 根据刚体转动定理有

( 11) θ=

0J M

式中, 0J 为刚体对悬线轴的转动惯量, θ

为角加速度。弹性恢复力矩M 转角θ的关系为

θ-=K M ( 12)

式中, K 称为扭转模量。它与悬线长度L, 悬线直径d 及悬线材料的切变模量G 有如下关系 ( 13)

扭摆的运动微分方程为

( 14) 可见, 圆盘作简谐振动。其周期0T 为

( 15)

实验中K 未知, 将金属环放在圆盘上时复合体的转动惯量为J 0+J 1, 转动周期为:

T 0= (16)

由式( 15) ( 16) 得:

( 17)

( 18)

测出T 和T 0就能够求得圆盘的转动惯量J 0与切边模量G 。

120

2200J T T T J -=12022

J T T 4K -π=L

32G d K 4

π=θ-=θ0

J K

K J 2T 00π=