转动惯量的计算平行轴定理
最全的转动惯量的计算
dl
R
例题3 求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘 对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取 任一半径为r，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转 动惯量为
dJ r dm
2
dm为薄圆环的质量。以 表示圆盘的质量体密度
dm dV 2rhdr
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又 已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度 变化的规律。 已知：M0 J M1= –a |t=0= 0 求：（t）=？ 解： 1）以刚体为研究对象； M+ 2）分析受力矩 M 0 J M1 3）建立轴的正方向； 4）列方程：
M 0 M1 J
4）列方程： 解：
M 0 M1 J
M+ M0
分离变量：
M1=–a M 0 M 1 M 0 a J J d M 0 a M 0 a 1 t dt J (ln )
a
d dt M dJ
1 2 2 2 ( R Z ) dZ 2 R
R
4 8 2 3 5 2 m R R mR 3 15 5
（1）平行轴定理
JC JD
J D J C md2
d
C
（2）薄板的正交轴定理
z o x
Jz Jx J y
y
常见刚体的转动惯量
1 RT J MR 2 2
M
T1 T2 a mg h
对物体m，由牛顿第二定律，
mg T ma
滑轮和物体的运动学关系为 a R
平行轴定理的证明
平行轴定理的证明嘿，你知道平行轴定理不？这可是个超厉害的定理呢！它在物理学中那可是有着重要的地位。
咱先来看看平行轴定理到底是啥。
简单说，就是对于一个刚体，它对任意轴的转动惯量，等于对通过质心的平行轴的转动惯量加上刚体质量乘以两轴之间距离的平方。
听起来有点复杂？别急呀，咱慢慢理解。
就好比一个大圆盘，你可以把它想象成一个超级大披萨。
如果这个大披萨绕着中心轴转，那它的转动惯量是一种情况。
但要是把这个大披萨稍微挪一下位置，让它绕着一个离中心有点距离的平行轴转呢？这时候平行轴定理就派上用场啦。
它能告诉你这个新的转动惯量是怎么来的。
为啥平行轴定理这么重要呢？你想想看，在现实生活中，很多物体的转动可不是都绕着质心转呀。
比如说自行车的轮子，它在转动的时候，轴可不是正好在轮子的质心位置吧。
这时候就得靠平行轴定理来帮忙计算转动惯量啦。
要是没有这个定理，那我们要计算这些物体的转动可就难上加难喽。
那平行轴定理是怎么被证明的呢？这可不是一件容易的事儿。
咱得从转动惯量的定义开始说起。
转动惯量呢，就是衡量一个物体绕某一轴转动时惯性大小的物理量。
对于一个质点，它的转动惯量就是质量乘以它到转轴距离的平方。
但对于一个刚体，那就得把刚体分成无数个小质点，然后把每个小质点的转动惯量加起来。
假设我们有一个刚体，质量为M。
先考虑它对通过质心的轴的转动惯量，记为Ic。
然后再考虑这个刚体对另一个与通过质心的轴平行的轴的转动惯量，记为I。
这两个轴之间的距离为d。
咱可以把刚体上的任意一个小质点的质量记为dm。
这个小质点到通过质心的轴的距离为r。
那么这个小质点对通过质心的轴的转动惯量就是dm×r²。
把所有小质点的转动惯量加起来，就得到了Ic。
现在来看这个小质点到另一个平行轴的距离。
根据几何关系，这个距离就是r+d。
所以这个小质点对平行轴的转动惯量就是dm×(r+d)²。
把所有小质点对平行轴的转动惯量加起来，就得到了I。
平行轴定理适用条件
平行轴定理适用条件平行轴定理是物理学中的一个重要定理，它可以帮助我们计算物体的转动惯量。
在这篇文章中，我们将讨论平行轴定理适用的条件。
平行轴定理是指一个刚体绕通过其重心的轴的转动惯量等于该刚体绕过与重心平行的任意轴的转动惯量与该刚体质量乘以该轴与重心的距离平方之和的总和。
也就是说，如果我们知道了一个刚体绕过某个轴的转动惯量，我们可以使用平行轴定理来计算它绕过另一个与之平行的轴的转动惯量。
但是，平行轴定理并不是在所有情况下都适用的。
平行轴定理适用的条件如下：1. 刚体必须是一个刚性物体，也就是说，它的形状和大小不能随意改变。
2. 刚体必须是一个连续体，也就是说，它的所有部分都必须连接在一起，不能有任何间隙。
3. 刚体必须是一个均匀物体，也就是说，它的密度必须在整个物体内保持恒定。
如果密度不均匀，我们需要将物体分成若干个小部分，然后对每个小部分分别计算转动惯量，最后再将它们相加。
4. 轴必须是与刚体平行的轴，也就是说，它们之间的距离在整个物体内保持恒定。
如果轴是斜的或者不平行的，我们需要将它分解成两个平行的轴，然后对每个轴分别计算转动惯量，最后再将它们相加。
5. 轴必须在刚体的平面内，也就是说，它们之间不能有任何偏移或旋转。
如果轴不在平面内，我们需要将它旋转回平面内，然后再计算转动惯量。
平行轴定理只适用于均匀、连续、刚性的物体，而且要求轴与物体平行且在同一平面内。
如果不满足这些条件，我们就不能使用平行轴定理计算转动惯量。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来判断是否可以使用平行轴定理，以避免出现错误的结果。
平行轴定理适用的条件是物体要求均匀、连续、刚性，并且轴必须与物体平行且在同一平面内。
只有在满足这些条件的情况下，我们才能使用平行轴定理计算物体的转动惯量。
转动惯量平移轴定理
转动惯量平移轴定理平行移轴定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心，并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。
一、转动惯量的平移定理：I=I0+d2m其中，m为物体质量，I0为通过物体质心的某定轴转动惯量，I为与I0转轴平行且相距d的定轴转动惯量。
二、惯性积的平移定理：J'xy=J xy+x1y1mJ'xz=J xz+x1z1mJ'yz=J yz+y1z1m其中，J xy、J xz、J yz为空间直角坐标系原点在物体质心的三个惯性积，J'xy、J'xz、J'yz为将坐标系原点从质心平移到(x1，y1，z1)的三个惯性积。
三、转动惯量的不等式：0＜Ix ≤ Iy+Iz、 0＜Iy ≤ Ix+Iz、 0＜Iz ≤ Ix+Iy其中，Ix、Iy、Iz分别是物体以三个坐标轴为转轴的转动惯量。
对非线段物体，只有一个等号有可能成立。
四、惯性积的取值范围：1、三个惯性积的一次不等式：|J xy|＜(I z)/2、 |J xz|＜(I y)/2、|J yz|＜(I x)/22、当三个惯性积“三非正”或“一非正二非负”时，还有以下条件：|J xy|+|J xz|+|J yz|＜(I x+I y+I z)/43、三个惯性积的二次不等式：(J xy)2＜(I x)(I y)、(J xz)2＜(I x)(I z)、(J yz)2＜(I y)(I z)；由“斜轴惯量公式”或“椭圆判别式”得之。
五、斜轴转动惯量公式：I=I x cos2α+I y cos2β+I z cos2γ-2J xy cosαcosβ-2J xz cosαcosγ-2J yz cosβcosγ其中，I为通过坐标系原点的斜轴转动惯量，cosα、cosβ、cosγ分别为斜轴在x、y、z轴上的方向余弦。
六、惯性主轴位置方程(回转曲率方程)：x2I x+y2I y+z2I z=m+2xyJ xy+2xzJ xz+2yzJ yz.1、方程坐标（x，y，z）是表示斜轴回转曲率矢量。
转动惯量平行轴定理
转动惯量平行轴定理转动惯量平行轴定理是物理学中重要的定理之一，可以帮助我们了解物体的运动规律。
首先我们来了解一下它的定义。
定义：转动惯量平行轴定理是指当物体处于惯性系统中，其转动惯量可以按照平行轴来分解，即由物体自身质心平行轴所分解而得出。
它最早是由美国物理学家伯恩斯提出的，他以发表于1717年的《转动惯量平行轴定理》一文而建立它。
它最初只是一个简单的假设，即物体可以按照一个等分的轴来分解惯量。
然而，研究这一定理的理论还有很多歧义，因此需要进一步的解释和实验来解决。
转动惯量平行轴定理的应用十分广泛，涉及地球物理学、力学、化学、天文学、电动学等多个领域。
在地球物理学中，它可以帮助我们解释地球的旋转运动；在力学中，它可以帮助我们了解任何物体运动的惯量分解规律；在化学中，它可以帮助我们解释分子键之间的转动惯量；在天文学中，它还可以帮助我们正确分析天体的相对速度；在电动学中，转动惯量平行轴定理还可以帮助我们计算电机的电动力、牵引力等。
简而言之，转动惯量平行轴定理是一种在物理学中重要的定义，它可以帮助我们了解物体运动的惯量分解规律，以及在地球物理学、力学、化学、天文学和电动学等领域的应用，为我们在研究物理学提供了重要的参考依据。
转动惯量平行轴定理的研究一直处于活跃状态，各大院校及科研机构都在持续努力，为我们深入理解它带来更多的见解。
例如，中科院物理所的学者曾经提出了基于极坐标的解析方程，用于描述物体不同角度的转动惯量分解；哈尔滨工业大学的学者利用有限元方法，推导出了针对复杂形状物体的惯量分解解析方程；而实验研究也更加精进，一些新技术也在应用中得到了不断地发展，例如可以使用激光测试技术测量物体在不同方向上的惯量。
从上述内容可以看出，转动惯量平行轴定理为物理学研究提供了重要的理论准备，而且正在不断地发展。
研究者们正在持续努力，为我们进一步理解转动惯量带来更多的方法和参考。
希望在不久的将来，我们能够更加深入的理解转动惯量平行轴定理，从而为物理学的研究带来更多的收获。
3_2转动定律 转动惯量 平行轴定理
平行轴定理 质量为m的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为JC ，则 对任一与该轴平行，相距为d 的转轴的转动惯量
d
C
m
O
J O J C md
JP 1 2 mR mR
2 2
2
圆盘对P 轴的转动惯量 P
R
O m
四 转动定律应用举例 对平动的物体应用牛顿定律；对转动的物体应 用转动定律；建立平动与转动之间的关系。
对质量面分布的刚体： d m
dS
：质量面密度
对质量体分布的刚体：d m
dV
：质量体密度
第三章 刚体的转动
3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理
例3-1 一质量为m、长为l的均匀细长棒，求通 过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。
O r
l 2
O
dr
l 2
r
dr
O
O´
l
解: 设棒的线密度为，取一距离转轴 OO 为r 处的质量元dm=dr . d J r 2 d m r 2 d r
(m A m C 2)m B g mA mB mC 2
A
mA
FT1
C
F T1
F T2
mC F T2
mB B
如令 m C 0，可得
F T1 F T2
mAmBg mA mB
第三章 刚体的转动
3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理
F T1 F T2
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
M
rj
j
d
ji
iF ri ij
F ji
最全的转动惯量的计算
J dJ R 2r3hdr 1 R4h
0
2
m
R2h
代入得
J 1 mR2
2
J与h无关
一个质量为m、半径为R的实心圆柱体对其中心 轴的转动惯量也与上述结果相同。
例4）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z
解：一球绕Z轴旋转，离球
Zr
d Z 心Z高处切一厚为dz的薄圆 盘。其半径为
O X
R
Y r R2 Z2
其体积：
dV r2dZ (R2 Z 2)dZ
其质量： dm dV (R2 Z 2 )dZ
其转动惯量：dJ 1 r2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
dJ 1 r 2dm 2
1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
J dJ
R 1 (R2 Z 2 )2 dZ R2
F l ac f
纯滚动条件为： aC R
圆柱对质心的转动惯量为：
JC
1 mR2 2
联立以上四式，解得：
2F(R l) aC 3mR
由此可见
f R 2l F 3R
当l < R 2时，f > 0，静摩擦力向后；
当 l > R 2时，f < 0，静摩擦力向前。
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又
8 R5 2 mR2
15
5m 4 R33源自（1）平行轴定理J D JC md 2
JC JD
d
C
z （2）薄板的正交轴定理
o
y
Jz Jx Jy
平行轴定理验证实验报告
平行轴定理验证实验报告背景平行轴定理是静力学中的一个基本原理，用于计算物体绕一轴的转动惯量。
该定理表明，一个物体绕通过其质心的轴的转动惯量等于该物体绕平行于通过其质心的轴且距该轴距离为d的轴的转动惯量与物体质量的乘积之和。
平行轴定理的公式表达如下：I = Icm + md^2其中，I表示物体绕通过质心轴的转动惯量，Icm表示物体绕通过质心的轴的转动惯量，m表示物体的质量，d表示通过质心轴与通过质心的轴的距离。
本实验旨在通过实际测量验证平行轴定理的正确性，并进一步了解物体的转动惯量及其与物体几何形状、质量分布等因素的关系。
实验设计实验材料和仪器1.轴：一个长而细的圆柱体，用于支撑物体以及作为转动轴2.轴夹：用于固定轴和物体3.各类几何形状的挂块：长方体、圆环、圆盘等4.千分秤或天平：用于测量物体的质量5.钢直尺：测量物体质心与通过质心的轴的距离实验操作步骤1.测量各类挂块的质量，并记录下来。
2.确定轴的位置，在轴上用轴夹固定一个挂块。
3.按照固定轴的原则，将其他的挂块一次性地固定在轴上，确保它们平行于质心轴且距离相等。
4.依次测量并记录各个挂块组合的质心与通过质心的轴的距离。
5.移动轴的位置，分别测量固定在不同位置的挂块组合的质心与通过质心的轴的距离。
6.根据实验数据计算每个挂块组合的转动惯量，并与质心轴的转动惯量进行对比验证平行轴定理。
分析根据平行轴定理，我们可以得到以下结论：1.一个物体的转动惯量与它的质量和质心位置有关。
2.一个物体绕通过它的质心的轴转动的转动惯量最小。
3.一个物体绕通过质心的轴与通过其他轴的转动惯量之间的差异等于物体质量与这两条轴的距离平方的乘积。
通过实验操作步骤中的实验设计，我们可以得到实验数据。
利用实验数据，我们可以计算每个挂块组合的转动惯量，并与通过质心轴的转动惯量进行比较。
通过对比实验数据和计算结果，我们可以验证平行轴定理的准确性。
如果实验数据和计算结果一致，则可以得出结论，实验验证了平行轴定理的正确性；如果实验数据和计算结果存在差异，则需要进一步分析差异的原因，并提出改进的建议。
转动惯量的计算平行轴定理
速度.
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
m FN
l2
l oP
1 mgl sin J
2
式中
J 1 ml2
3
得 3g sin
2l
由角加速度的定义
m FN
l2
l oP
d d d d dt d dt d
d 3g sind
2l
代入初始条件积分 得
l
r 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的
质量元 dm dr dJ r2dm r2dr
转轴过中心垂直于棒 转轴过端点垂直于棒
J 2 l / 2 r2dr 1 ml2
0
12
J l r 2dr 1 ml2
0
3
2.3 用刚体转动定理解题
例1 如图, 有一半径为 R 质量为 m的匀质圆盘,
可绕通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动. 转轴与圆盘之 间的摩擦略去不计. 圆盘上绕有轻而细的绳索, 绳的一
端固定在圆盘上, 另一端系质量为 m 的物体. 试求物体
下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度.
m
Ro
m
oR
m
T
m
T'
Py
解：1） 分析受力 2）选取坐标
注意：转动和平 动的坐标取向要一致.
J 4 MR
dr r
dFf
dl
停止转动需时 t 0 3 mR0
4 N
例3 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动. 由于此竖
直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰
平行轴定理——精选推荐
四、平行轴定理前例中J C 表示相对通过质心的轴的转动惯量， J A 表示相对通过棒端的轴的转动惯量。
两轴平行，相距L/2。
可见：222231411212mLmL mL L m J J C A =+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛＋＝推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d ，刚体对其转动惯量为J ，则有：这个结论称为平行轴定理。
2C J J md＝＋例：右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球体半径为R）2131L m J L L =225o oJ m R =2002dm J J L +=22212()35L o o J m L m R m L R =+++作业： P1504-8 4-9Lom oR Lm zz ′解：棒绕zz ’轴的转动惯量：球体绕球心O 的转动惯量：利用平行轴定理：五、刚体定轴转动的转动定律的应用例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。
忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。
解：如图所示，M、m的受力图得知：: m mg T ma a R α−==21 2M M T R J J MRα′′：＝＝＝MmM g�m g�T�T ′�N�a�T T ′=M m mghR R v +==241ω例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。
现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。
求闸瓦对轮子的压力N为多大？242Mm mgh ah v +==gM m ma 2+=解方程得：F ω0解：飞轮制动时有角加速度tωωα−=20rad/s9.20s 5 0rad/s 7.104min /r 1000−=∴====αωωt 外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。
ααµ2mR J NR R f M r ==−=−＝αµ2mR NR =−N784=−=µαmR N αω0Nf r例3、一根长为l 、质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。
验证转动平行轴定理
验证转动平行轴定理
转动平行轴定理是指，一个刚体绕着通过它质心的轴旋转的转动惯量等于它绕着平行于该轴且距离为d的轴旋转的转动惯量与质量m乘以距离的平方的乘积之和。
即：
I = Icm + md^2
其中，I表示绕着距离为d的平行轴旋转的转动惯量，Icm表示绕着通过质心的轴旋转的转动惯量，m表示物体的质量，d表示平行轴到质心的距离。
为了验证转动平行轴定理，我们可以进行以下实验：
1. 实验装置：一根长杆，两个质量相等的物体（例如两个球体或两个砝码），一根细线，一个滑轮，一把卷尺。
2. 实验过程：
（1）将一根长杆固定在水平面上，把两个质量相等的物体悬挂在杆的两端。
（2）在杆的中央固定一个滑轮，并将一根细线穿过滑轮。
（3）将一端系在杆的一个端点，另一端系上一把卷尺。
（4）拉动细线，使杆绕水平方向旋转，并记录下旋转的时间。
（5）重复上述步骤，但这次将物体移动到杆的中央，使它们离杆的两端距离相等。
（6）再次拉动细线，使杆绕水平方向旋转，并记录下旋转的时间。
3. 实验分析：
（1）根据实验数据，计算出物体的质量、距离d和旋转惯量I。
（2）根据转动平行轴定理，计算出通过质心的轴旋转的转动惯量Icm。
（3）比较实验得到的I和Icm是否符合转动平行轴定理的公式。
如果符合，说明转动平行轴定理成立。
4. 实验注意事项：
（1）实验时需要保持杆的水平。
（2）为了减小误差，可以多次进行实验，取平均值。
（3）实验时需要注意安全，避免物体掉落或伤人。
《平行轴定理》课件
本PPT课件介绍了《平行轴定理》的概念和应用，通过丰富的内容和精美的 图片，以简洁生动的方式向大家阐释这一物理定律。
平行轴定理的概述平行Fra bibliotek定理是物体转动惯量的关键概念，它定义了在平行于质心轴的离散质点系统中，转动惯量与质点 质量、距离及运动轴的关系。 了解和应用平行轴定理对于理解转动力学和解决工程问题非常重要。
应用实例
通过平行轴定理求解转动惯量
通过实际例子和计算方法演示如何使用平行轴定 理计算具有复杂形状的物体的转动惯量。
通过平行轴定理求解转动惯量分布
展示如何利用平行轴定理来计算物体各个部分的 转动惯量，并分析转动惯量在物体中的分布情况。
练习题
应用平行轴定理求解转动惯量
提供一些实践练习，帮助学习者通过应用平 行轴定理计算不同形状物体的转动惯量。
应用平行轴定理求解转动惯量分布
提供一些挑战性问题，让学习者应用平行轴 定理计算物体各个部分的转动惯量，并分析 转动惯量在不同位置的分布情况。
总结
平行轴定理的应用范围非常广泛，它不仅在物理学中起到重要作用，还在工程领域中发挥着重要的作用， 例如机械设计、航天工程等。 通过掌握和理解平行轴定理，我们能更好地解决问题并实现更精确的设计。 让我们一起总结一下我们所学的知识。
平行轴定理的公式
1
惯性矩的公式
对于单个质点的惯性矩公式为$I = mr^2$，其中$I$表示惯性矩，$m$表示质点 的质量，$r$表示质点到转轴的距离。
2
平行轴定理的公式
平行轴定理的公式为$I_p = I_{cm} + md^2$，其中$I_p$表示平行轴定理计算得 到的转动惯量，$I_{cm}$表示质心轴上的转动惯量，$m$表示整个物体的质量， $d$表示质点质心轴到新转轴的距离。
扭摆法验证转动惯量平行轴定理
扭摆法验证转动惯量平行轴定理转动惯量是一个质量物体在围绕一个轴线旋转时的惯性，它与物体的质量、形状、轴线的位置等因素有关。
转动惯量平行轴定理是指，一个刚体绕着某一轴旋转的转动惯量等于该刚体绕着另一条平行于第一条轴线和距离第一条轴线距离为d的轴线旋转的转动惯量与该刚体质量乘以d的平方的积之和。
本文将介绍如何通过扭摆法验证转动惯量平行轴定理。
1. 实验介绍扭摆法是一种测量转动惯量的方法，基于扭力和角位移之间的线性关系。
在本实验中，我们将利用扭摆法测量一根细长的铝棒绕两条平行轴旋转时的转动惯量，并验证平行轴定理。
实验设备包括铝棒、扭转仪、计时器、卡尺、电子秤等。
2. 操作步骤（1）将铝棒固定在两个相距较远的支架上，保证铝棒水平放置。
（2）用计时器测量铝棒的长度l和质量m，利用电子秤测量铝棒的质量。
（3）将支架固定在扭转仪上，并将扭转仪固定在水平的工作台上。
（4）用卡尺测量铝棒两端距离第一条平行轴的距离d1和距离第二条平行轴的距离d2。
调整扭转仪的旋转角度，使铝棒绕第一条轴旋转。
（5）用扭转仪测量铝棒绕第一条轴旋转时受到的扭力，通过统计测量多次的平均值来减少误差。
（6）将数据记录到实验记录表中。
（7）重复以上操作，但是这一次绕第二条平行轴旋转，并用扭转仪测量受到的扭力。
（8）通过处理数据来计算铝棒绕两条平行轴旋转的转动惯量，并验证平行轴定理。
3. 实验数据处理与分析（1）通过扭转仪测量铝棒绕第一条轴旋转时受到的扭力F1和绕第二条轴旋转时受到的扭力F2，记录到实验记录表中。
（2）根据扭力和角度之间的线性关系，得到转动惯量的公式：I = (F×r)/k其中，I为转动惯量，F为扭力，r为铝棒距离轴心的距离，k为扭转仪的回复力系数，通过对在0-360°范围内多次测量的平均值来计算。
（3）根据转动惯量平行轴定理，得到第一条轴和第二条轴的转动惯量：I1 = Icm + md1^2I2 = Icm + md2^2其中，Icm为铝棒绕质心旋转的转动惯量，m为铝棒的质量，d1和d2为铝棒两端距离两个平行轴的距离。
转动惯量平行轴定理公式
转动惯量平行轴定理公式转动惯量是描述物体对转动的惯性的物理量，它与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。
在物理学中，有一个重要的定理被称为转动惯量平行轴定理，它提供了一种计算物体绕任意轴旋转的转动惯量的方法。
转动惯量平行轴定理的公式可以表达为：I = Icm + md²其中，I表示物体绕任意轴的转动惯量，Icm表示物体绕质心轴的转动惯量，m表示物体的质量，d表示任意轴到质心轴的距离。
这个公式的意义在于，它允许我们通过已知物体绕质心轴的转动惯量和质心到任意轴的距离，来计算物体绕任意轴的转动惯量。
这在解决实际问题时非常有用，特别是当我们需要考虑物体不规则形状或质心不在旋转轴上的情况时。
转动惯量平行轴定理的推导思路如下：首先，我们知道质心轴是通过物体的质心且与任意轴平行的轴线。
根据转动惯量的定义，我们可以写出物体绕质心轴的转动惯量为Icm = Σmiri²，其中ri表示质点i到质心轴的距离。
将这个式子中的ri替换为d + ri'，其中ri'表示质点i到任意轴的距离，我们可以得到Icm = Σmiri'² + Σmid²。
注意到Σmid²正好是物体绕任意轴的转动惯量，因此我们可以得到I = Icm + md²。
转动惯量平行轴定理的应用非常广泛。
例如，在工程领域中，我们经常需要计算旋转机械部件的转动惯量，以评估其动力学性能和稳定性。
通过使用转动惯量平行轴定理，我们可以将复杂形状的机械部件转化为简单形状的计算问题，从而简化计算过程。
除了计算转动惯量，转动惯量平行轴定理还可以帮助我们理解物体的转动行为。
根据公式I = Icm + md²，我们可以看到当物体的质量分布越集中于质心轴附近时，转动惯量越小；而当物体的质量分布越离散时，转动惯量越大。
这与我们的直观感受相符，质量越集中的物体更容易转动。
转动惯量平行轴定理是一个重要的物理学定理，它提供了计算物体绕任意轴转动惯量的方法。
刚体转动惯量计算方法
刚体绕轴转动惯性的度量。
其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。
；求和号（或积分号）遍及整个刚体。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。
不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。
由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。
还有垂直轴定理：垂直轴定理一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。
表达式:Iz=Ix+Iy刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。
由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为_____，式中M为刚体质量；I为转动惯量。
转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。
刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。
惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。
补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。
E=(1/2)mv^2 （v^2为v的2次方）把v=wr代入上式(w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r)得到E=(1/2)m(wr)^2由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量K代替,K=mr^2得到E=(1/2)Kw^2K就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。
平行轴定理例题
平行轴定理（Parallel Axis Theorem）是刚体转动中的一个重要定理。
它的表述如下：对于刚体上的一个通过质心的直轴（质心轴）的转动惯量，如果知道刚体对于另一支平行于质心轴的直轴的转动惯量，那么可以通过平行轴定理计算出刚体对于任意其他与质心轴平行的直轴的转动惯量。
下面是一个简单的平行轴定理的例题：
题目：一个质量为5kg的物体，其质心位于几何中心O，现在我们需要计算该物体对于通过O点且与x轴成45°的直轴L的转动惯量。
已知该物体对于通过质心的z轴的转动惯量为5kg·m^2。
解：根据平行轴定理，物体对于L轴的转动惯量I可以由下式计算：
I = Ic + md^2
其中，Ic是物体对于通过质心的z轴的转动惯量，m是物体的质量，d是L轴与z轴之间的距离。
在本题中，d = hsin45° = √2/2h，其中h为O点到L轴的高度。
代入已知条件Ic = 5kg·m^2，m = 5kg，d = √2/2h，得到：
I = 5 + 5 × (√2/2h)^2 = 5 + 5/2 × (h^2/2)
这就是通过平行轴定理计算得到的物体对于L轴的转动惯量。
转动惯量
0 R2
2
3. 与转轴的位置有关
例题. 求长为L、质量为m的均匀细棒AB的转动惯量. (1) 对于通过棒的一端与棒垂直的轴; (2) 对于通过棒的中心与棒垂直的轴.
解：设 为单位长度的质量，棒沿x轴放置，则:
m L dm dx
x x
(1) 对于通过棒一端的转轴：
JA
x2dm L x2 dx 0
转动惯量
一、转动惯量的定义
刚体对转轴的转动惯量等于刚体上各质点的质量与 各质点到转轴的距离平方的乘积之和，即
说明：
J Δmiri2
i
1) 刚体对转轴的转动惯量由刚体上各质点相对于转轴 的分布所决定，与刚体的运动状态及所受的外力无关；
2) 转动惯量反映了刚体转动状态发生改变的难易程度，
即刚体转动的惯性，其单位为 kg m2；
1 L3 1 mL2
33
(2) 对于通过棒中心的转轴：
L
JC
x2dm
2 L
x2
dx
2
1 L3 1 mL2
12
12
A
dm
B
o
x dx
L
A
C dm B
o x dx
L2
L2
三、关于转动惯量的两个定理
1. 平行轴定理
若质量为m的刚体对过其质心C的某一转轴的转动惯量
为JC，则这个刚体对于平行于该轴并和它相距为d的另一 转轴的转动惯量J 为
例题. 求质量 m、半径 R 的细圆环和均匀薄圆盘对其 中心垂直轴的转动惯量.
解: J r2dm
细圆环：在圆环上取质量元dm
o R dm
J r度为dr的圆环作为
质量元dm
dm
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5.2 转动惯量的计算 平行轴定理 垂直轴定理 【例5.2～5.4】 一、转动惯量的计算（自学） 二、平行轴定理
如果刚体的一个轴与过质 心轴平行并相距 d ，则质量为 m 的刚体绕该轴的转动惯量， 等于刚体绕过质心轴的转动惯 量与 md2 之和
I IC md
定理的证明（自学）
2
三、垂直轴定理 对薄平板刚体，有
证明：
xi
x z yi ri Δ mi y
Jz Jx Jy
【思考】为什么要薄？
【例】
R
1 mR 2 2
1 mR 2 4
一些均匀刚体的转动惯量
细棒绕中心轴
细棒绕一端轴 薄圆环(筒)绕中心轴1 mL2 12源自1 mL2 3mR
2
圆盘(柱)绕中心轴
薄球壳绕中心轴 球体绕中心轴
1 mR 2 2
2 mR 2 3 2 mR 2 5