转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究
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Determination of moment of inertia and verification of the parallel axis theorem experimental
Abstrat:Using three-wire pendulum, double pendulum, torsion, to measure different rigid body moment of inertia, and further validating parallel axis theorem, and application characteristics of torsion modulus to measure trimming
打开计数器，调节适当的 柱
周期次数。分别使摆进行小角度摆动，并记录周期，
带入操作原理中得转动惯量计算式，求得待测物体的
转动惯量，并验证平行轴定理。
三． 数据记录及结果讨论
双 线 摆 ： L=12.00 ㎝
=30.00 ㎝
=0.266 ㎏
小圆柱参数： l=2.970 ㎝
=2.760 ㎝ X=13.75
惯量为 Ic ，当转轴平行移动距离 x 时（如
右图所示），则此物体对新轴 OO 的转动惯
量为 I x Ic m1x2
（19）
这一结论称为转动惯量的平行轴定理。
O
x
'
xC
m
O
平行轴定理
①用双线摆验证平行轴定理：
将质量均为 m2，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体 对称地放置在均匀细杆上。按同样的方法，测出两小圆
扭摆平均周期的计算：
周期
盘 25 盘环 25
52.7 89.7
52.7 89.7
52.7 89.7
52.8 89.7
52.7 89.7
52.72 89.7
由以上数据计算得： 双线摆转动惯量的计算：
由式（6）（8）带入实验数据:
细杆 I 0.00178
单圆柱 0.0000742
双圆柱 0.00179
H=38.35 ㎝
=1.013 ㎏
三线摆各组实验项目平均周期的计算：
=0.137 ㎏ 三线摆双圆柱实验平均周期的计算：
距离 周
d
期
6.430 25
32.7
32.6
32.6
32.6
32.6
32.62
r=4.574
扭摆 =0.539 ㎏
=11.990 ㎝ d=0.050 ㎝
=10.030 ㎝ L=42.50 ㎝
将质量为 m 的待测刚体放在下圆盘上，使其质心与转
抽重合，测量出此时的周期 T 和上下圆盘的距离 H，则总
转动惯量为：
J1
(m0 m)gRr 42H
T2
（9）
待 测 物 的 转 动 惯 量 为 ： J= （10）
②扭摆
将一金属丝上端固定，下端悬挂一刚体就构成扭摆。如下图
忽略空气阻尼力矩的作用，根据刚体转动定理有
Keyword: Moment of inertia; Parallel axis theorem;
Shear modulus
T0 2
J0 K
（15）
实验中 K 未知，将金属环放在圆盘上时复合体的转 动惯量为 J0+J1，转动周期为：
T0= 由式（15）（16）得：
J0
T02 T2 T02
J1
(16) （17）
K
42 T2 T02
J1
（18）
测出 T 和 T0 就可以求得圆盘的转动惯量 J0 与切边模量 G。
（三） 验证平行轴定理 若质量为 m1 的物体绕过其质心轴的转动
T02
（二） 三线摆和扭摆 ① 三线摆 左图是三线摆示意图。上、下圆盘均处 于水平，悬挂在横梁上。三根对称分布 的等长悬线将两圆盘相连。 拨动转动杆使圆盘进行小角度转动， 当转动角 很小时，忽律空气阻力，以及 悬线扭力的影响，由刚体转动定理，得
圆盘的转动惯量为
(9)
式中，m0 为下圆盘的质量；r 和 R 分别为上下悬点离各自 圆盘中心的距离；H0 为平衡时上下圆盘间的垂直距离； T0 为下圆盘的摆动周期，g 为重力加速度。
=0.1 ㎏
双线摆各组实验项目平均周期的计算：
周期
=2.260 ㎝
细杆
25
23.6 23.8 23.7 23.7 23.7 23.7
单圆柱
25
20.7 20.6 20.6 20.6 20.6 20.62
双圆柱
25
31.2 31.0 31.1 31.0 31.1 31.08
周期单位：s,下同
三 线 摆 ： R=9.430 ㎝
转动ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量的测定与平行轴定理 验证的实验研究
转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究
摘要：采用三线摆，双线摆，扭摆，测量不同刚性 物体的转动惯量，并进一步验证平行轴定理，同时应用 扭摆的特性测量切边模量。
关键字：转动惯量；平行轴定理；切变模量
转动惯量是刚体转动惯性的量度，它与刚体的质量 分布和转轴位置有关。根据物体的规则与否，转动惯量 的获得分为理论公式法与实验法。对于规则物体，测量 其尺寸和质量，即可通过理论公式计算获得；对于不规 则、质量分布不均匀的物体则要通过实验测定。
将二个同样大小的圆柱体放置在对称分布于半径为 R1 的圆周上的 二个孔上。测出二个圆柱体对中心轴 OO＇的转动惯量 Jx。 如果测得的 Jx 值与由（19）式右边计算得的结果比较时 的相对误差在测量误差允许的范围（≤5%），则平行轴定
理得到验证。
二． 实验装置与实验方法
本实验使用的设备有：双线摆、扭摆及三线摆、水
M J0
（11）
式中，J0为刚体对悬线轴的转动惯量， 为角加速度。弹 性恢复力矩 M 转角θ的关系为
M K
（12）
式中，K 称为扭转模量。它与悬线长度 L，悬线直径
d 及K悬线G材d 4 料的切变模量 G 有如下关系 32 L （13）
扭摆的运动微分方程为
K
（14）
J0
可见，圆盘作简谐振动。其周期T0 为
影范围（或者处于其中时），用于力矩作用，使圆盘
的摆动更趋于水平的小角度摆动。
四． 结论
转动惯量的平行轴定理成立；转动惯量的测定符合 实际情况。
参考文献： 【1】 《大学物理》2011 年第 06 期 作者： 王永超;朱
力 【2】 《长春理工大学学报(自然科学版)》2007 年 03
期 【3】 《辽宁科技大学学报》 2011 年 04 期
柱体和细杆的转动周期 TX，则可求出每个柱体对中心转
轴 OO 的转动惯量:
Ix
(m0
2m1 32 2
)
gL
Tx 2
I0 2
(m0
2m1)gL 32 2
Tx 2
m0 gL 32 2
T02
由平行轴定理计算得
（20）
I'x
m1 x 2
m1 16
D外2 D内2
m1 12
L2
（21）
比较 Ix 与 I'x 的大小，相差 5%以内则平行轴定理得证。 ② 用三线摆验证平行轴定理
时，
，得
h = L(1- cos ) 1 L 2 28
（1）
由上式可得系统的势能为
图 2 几何分 析
Ep
m0 gh
1 8
m0 gL
2
（2）
杆的转动动能为
Ek
1 2
I0
( d dt
)2
（3）
由能量守恒得
1 2
I0
( d dt
)2
1 8
m0 gL
2
m0 gh0
（4）
用（4）关于时间求导，并除以 ，得
准仪、米尺、游标卡尺及待测物体等。
实验方法如下：
（一）
测量前，根据水准泡得指示，调平底座平台。
双线摆实验开始前先调
周
节摆线长等于两线间的 期
距离，即 d= .
圆 25 32.8 盘
32.7
32.7
32.6
32.6
32.68
（二）
单 25 30.7 30.8 30.8 30.8 30.6 30.74
圆
d 2 dt 2
m0 gL 4I0
0
（5）
解上面的简谐振动方程，得杆的转动惯量：
I0
m0 gL 16 2
T0
2
（6）
测量物体的转动惯量：
I
(m0
mx )gL 16 2
T2
(7)
待测物体的转动惯量为：
(8) Ix
(m0 mx 16 2
)
gL
T
2
I0
(m0 mx )gL 16 2
T2
m0 gL 16 2
一． 实验原理
（一） 双线摆 本实验中，认为双线摆是纯转动的理想模型。
这样，双线摆摆锤的运动可分解为：水平面上的转 动以及竖直方向上的振动。
设均匀细杆质量 、长为
l 、绕通过质心竖直轴转动的
惯量为 ；两相同圆柱体的质量
之和为 2m1,之间距离为 2c；双绳
之间距离为 d，绳长 L。
图１双线
由
右摆图结几构何图关系分析，当 很小
验证
(二).对于三线摆，在测量过程中我们发现在距离转
轴中心较远和较近的测量数据都与实际符合的很好，但
在之间却有很大的偏差（超过允差 0.033），经过分析认
为带来这种误差增大的原因在于以下几点：
1.实验过程中，使三线摆摆动时，转轴 OO；发生偏移：
2. 圆柱在处于较远和较近的位置时，超出了上圆盘的投
双圆柱理论 相对误差
0.00189
0.052
三线摆转动惯量级相对误差的计算：
由式（9）（10）带入数据计算得
圆盘
单圆柱
I
0.004832 0.000021
：
d/c 双圆柱
理论值
m
I 8.430 0.00105 0.000995
相对误差
0.053
I 6.430 I 4.443
0.00064 0.00030
0.000588 0.00029
0.083 0.042
扭摆转动惯量及切变模量的计算：
由式（13）（17）（18）带入数据得
J1
J0
K
G
0.00165 0.000871 0.00773 5.5*10^11
切变模量单位：GPa
由以上结果我们给出以下讨论:
(一).通过双线摆的测量和通过三线摆的测量，。精
度能达到要求，能用于转动惯量的测量和平行轴定理得
Abstrat:Using three-wire pendulum, double pendulum, torsion, to measure different rigid body moment of inertia, and further validating parallel axis theorem, and application characteristics of torsion modulus to measure trimming
打开计数器，调节适当的 柱
周期次数。分别使摆进行小角度摆动，并记录周期，
带入操作原理中得转动惯量计算式，求得待测物体的
转动惯量，并验证平行轴定理。
三． 数据记录及结果讨论
双 线 摆 ： L=12.00 ㎝
=30.00 ㎝
=0.266 ㎏
小圆柱参数： l=2.970 ㎝
=2.760 ㎝ X=13.75
惯量为 Ic ，当转轴平行移动距离 x 时（如
右图所示），则此物体对新轴 OO 的转动惯
量为 I x Ic m1x2
（19）
这一结论称为转动惯量的平行轴定理。
O
x
'
xC
m
O
平行轴定理
①用双线摆验证平行轴定理：
将质量均为 m2，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体 对称地放置在均匀细杆上。按同样的方法，测出两小圆
扭摆平均周期的计算：
周期
盘 25 盘环 25
52.7 89.7
52.7 89.7
52.7 89.7
52.8 89.7
52.7 89.7
52.72 89.7
由以上数据计算得： 双线摆转动惯量的计算：
由式（6）（8）带入实验数据:
细杆 I 0.00178
单圆柱 0.0000742
双圆柱 0.00179
H=38.35 ㎝
=1.013 ㎏
三线摆各组实验项目平均周期的计算：
=0.137 ㎏ 三线摆双圆柱实验平均周期的计算：
距离 周
d
期
6.430 25
32.7
32.6
32.6
32.6
32.6
32.62
r=4.574
扭摆 =0.539 ㎏
=11.990 ㎝ d=0.050 ㎝
=10.030 ㎝ L=42.50 ㎝
将质量为 m 的待测刚体放在下圆盘上，使其质心与转
抽重合，测量出此时的周期 T 和上下圆盘的距离 H，则总
转动惯量为：
J1
(m0 m)gRr 42H
T2
（9）
待 测 物 的 转 动 惯 量 为 ： J= （10）
②扭摆
将一金属丝上端固定，下端悬挂一刚体就构成扭摆。如下图
忽略空气阻尼力矩的作用，根据刚体转动定理有
Keyword: Moment of inertia; Parallel axis theorem;
Shear modulus
T0 2
J0 K
（15）
实验中 K 未知，将金属环放在圆盘上时复合体的转 动惯量为 J0+J1，转动周期为：
T0= 由式（15）（16）得：
J0
T02 T2 T02
J1
(16) （17）
K
42 T2 T02
J1
（18）
测出 T 和 T0 就可以求得圆盘的转动惯量 J0 与切边模量 G。
（三） 验证平行轴定理 若质量为 m1 的物体绕过其质心轴的转动
T02
（二） 三线摆和扭摆 ① 三线摆 左图是三线摆示意图。上、下圆盘均处 于水平，悬挂在横梁上。三根对称分布 的等长悬线将两圆盘相连。 拨动转动杆使圆盘进行小角度转动， 当转动角 很小时，忽律空气阻力，以及 悬线扭力的影响，由刚体转动定理，得
圆盘的转动惯量为
(9)
式中，m0 为下圆盘的质量；r 和 R 分别为上下悬点离各自 圆盘中心的距离；H0 为平衡时上下圆盘间的垂直距离； T0 为下圆盘的摆动周期，g 为重力加速度。
=0.1 ㎏
双线摆各组实验项目平均周期的计算：
周期
=2.260 ㎝
细杆
25
23.6 23.8 23.7 23.7 23.7 23.7
单圆柱
25
20.7 20.6 20.6 20.6 20.6 20.62
双圆柱
25
31.2 31.0 31.1 31.0 31.1 31.08
周期单位：s,下同
三 线 摆 ： R=9.430 ㎝
转动ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量的测定与平行轴定理 验证的实验研究
转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究
摘要：采用三线摆，双线摆，扭摆，测量不同刚性 物体的转动惯量，并进一步验证平行轴定理，同时应用 扭摆的特性测量切边模量。
关键字：转动惯量；平行轴定理；切变模量
转动惯量是刚体转动惯性的量度，它与刚体的质量 分布和转轴位置有关。根据物体的规则与否，转动惯量 的获得分为理论公式法与实验法。对于规则物体，测量 其尺寸和质量，即可通过理论公式计算获得；对于不规 则、质量分布不均匀的物体则要通过实验测定。
将二个同样大小的圆柱体放置在对称分布于半径为 R1 的圆周上的 二个孔上。测出二个圆柱体对中心轴 OO＇的转动惯量 Jx。 如果测得的 Jx 值与由（19）式右边计算得的结果比较时 的相对误差在测量误差允许的范围（≤5%），则平行轴定
理得到验证。
二． 实验装置与实验方法
本实验使用的设备有：双线摆、扭摆及三线摆、水
M J0
（11）
式中，J0为刚体对悬线轴的转动惯量， 为角加速度。弹 性恢复力矩 M 转角θ的关系为
M K
（12）
式中，K 称为扭转模量。它与悬线长度 L，悬线直径
d 及K悬线G材d 4 料的切变模量 G 有如下关系 32 L （13）
扭摆的运动微分方程为
K
（14）
J0
可见，圆盘作简谐振动。其周期T0 为
影范围（或者处于其中时），用于力矩作用，使圆盘
的摆动更趋于水平的小角度摆动。
四． 结论
转动惯量的平行轴定理成立；转动惯量的测定符合 实际情况。
参考文献： 【1】 《大学物理》2011 年第 06 期 作者： 王永超;朱
力 【2】 《长春理工大学学报(自然科学版)》2007 年 03
期 【3】 《辽宁科技大学学报》 2011 年 04 期
柱体和细杆的转动周期 TX，则可求出每个柱体对中心转
轴 OO 的转动惯量:
Ix
(m0
2m1 32 2
)
gL
Tx 2
I0 2
(m0
2m1)gL 32 2
Tx 2
m0 gL 32 2
T02
由平行轴定理计算得
（20）
I'x
m1 x 2
m1 16
D外2 D内2
m1 12
L2
（21）
比较 Ix 与 I'x 的大小，相差 5%以内则平行轴定理得证。 ② 用三线摆验证平行轴定理
时，
，得
h = L(1- cos ) 1 L 2 28
（1）
由上式可得系统的势能为
图 2 几何分 析
Ep
m0 gh
1 8
m0 gL
2
（2）
杆的转动动能为
Ek
1 2
I0
( d dt
)2
（3）
由能量守恒得
1 2
I0
( d dt
)2
1 8
m0 gL
2
m0 gh0
（4）
用（4）关于时间求导，并除以 ，得
准仪、米尺、游标卡尺及待测物体等。
实验方法如下：
（一）
测量前，根据水准泡得指示，调平底座平台。
双线摆实验开始前先调
周
节摆线长等于两线间的 期
距离，即 d= .
圆 25 32.8 盘
32.7
32.7
32.6
32.6
32.68
（二）
单 25 30.7 30.8 30.8 30.8 30.6 30.74
圆
d 2 dt 2
m0 gL 4I0
0
（5）
解上面的简谐振动方程，得杆的转动惯量：
I0
m0 gL 16 2
T0
2
（6）
测量物体的转动惯量：
I
(m0
mx )gL 16 2
T2
(7)
待测物体的转动惯量为：
(8) Ix
(m0 mx 16 2
)
gL
T
2
I0
(m0 mx )gL 16 2
T2
m0 gL 16 2
一． 实验原理
（一） 双线摆 本实验中，认为双线摆是纯转动的理想模型。
这样，双线摆摆锤的运动可分解为：水平面上的转 动以及竖直方向上的振动。
设均匀细杆质量 、长为
l 、绕通过质心竖直轴转动的
惯量为 ；两相同圆柱体的质量
之和为 2m1,之间距离为 2c；双绳
之间距离为 d，绳长 L。
图１双线
由
右摆图结几构何图关系分析，当 很小
验证
(二).对于三线摆，在测量过程中我们发现在距离转
轴中心较远和较近的测量数据都与实际符合的很好，但
在之间却有很大的偏差（超过允差 0.033），经过分析认
为带来这种误差增大的原因在于以下几点：
1.实验过程中，使三线摆摆动时，转轴 OO；发生偏移：
2. 圆柱在处于较远和较近的位置时，超出了上圆盘的投
双圆柱理论 相对误差
0.00189
0.052
三线摆转动惯量级相对误差的计算：
由式（9）（10）带入数据计算得
圆盘
单圆柱
I
0.004832 0.000021
：
d/c 双圆柱
理论值
m
I 8.430 0.00105 0.000995
相对误差
0.053
I 6.430 I 4.443
0.00064 0.00030
0.000588 0.00029
0.083 0.042
扭摆转动惯量及切变模量的计算：
由式（13）（17）（18）带入数据得
J1
J0
K
G
0.00165 0.000871 0.00773 5.5*10^11
切变模量单位：GPa
由以上结果我们给出以下讨论:
(一).通过双线摆的测量和通过三线摆的测量，。精
度能达到要求，能用于转动惯量的测量和平行轴定理得