第14章图论基本概念

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数学中的图论与网络知识点

数学中的图论与网络知识点图论是数学中一个重要的分支领域，研究图的结构、性质以及与实际问题的应用。

而网络则是现代社会中的重要组成部分，图论在网络上的应用也日益广泛。

本文将介绍数学中的图论基本概念和网络知识点，以及它们在现实中的应用。

一、图论基本概念1. 图的定义与表示图是由节点（顶点）和边组成的一种数学结构。

节点表示对象，边表示节点之间的连接关系。

图可以用邻接矩阵或邻接表等方式进行表示与存储。

2. 图的分类图可以分为有向图和无向图。

有向图中的边有方向，无向图中的边没有方向。

根据边是否具有权重，图又可以分为带权图和无权图。

3. 图的性质图具有很多重要的性质，例如连通性、度、路径等。

连通性表示图中任意两个节点之间存在一条路径，度表示节点的相邻节点个数，路径是连接节点的边的序列。

二、图论中的常见算法1. 最短路径算法最短路径算法用于求解两个节点之间的最短路径，其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。

Dijkstra算法适用于边权重为非负的图，而Floyd-Warshall算法适用于任意带权图。

2. 深度优先搜索与广度优先搜索深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是图的遍历算法。

DFS以深度优先的方式探索图中的节点，BFS以广度优先的方式探索。

这两种算法在解决连通性、拓扑排序等问题中有广泛应用。

3. 最小生成树算法最小生成树算法用于在带权图中找到权重和最小的生成树。

其中Prim算法和Kruskal算法是两种常用的最小生成树算法。

三、网络中的图论应用1. 社交网络与关系分析社交网络是图的一种应用，其中节点表示人，边表示人与人之间的社交关系。

基于图论的算法可以分析社交网络中的社区结构、关键人物等信息。

2. 网络流与最大流问题网络流是指在图中模拟流动的过程，最大流问题是求解从源节点到汇节点的最大流量。

网络流算法可以用于优化问题的求解，如分配问题、进程调度等。

3. 路由算法与网络优化路由算法是网络中常用的算法之一，用于确定数据从源节点到目的节点的传输路径。

图论--图的基本概念

图论--图的基本概念1.图：1.1⽆向图的定义：⼀个⽆向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。

E是⽆序积V&V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素称作⽆向边，简称边。

注意：元素可以重复出现的集合称作多重集合。

某元素重复出现的次数称作该元素的重复度。

例如，在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中，a,b,c,d的重复度分别为2，3，1，1。

从多重集合的⾓度考虑，⽆元素重复出现的集合是各元素重复度均为1的多重集。

1.2有向图的定义：⼀个有向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。

E是笛卡尔积V✖V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素为有向边，简称为边。

通常⽤图形来表⽰⽆向图和有向图：⽤⼩圆圈（或实⼼点）表⽰顶点，⽤顶点之间的连线表⽰⽆向边，⽤带箭头的连线表⽰有向边。

与1.1，1.2有关的⼀些概念和定义：（1）⽆向图和有向图统称为图，但有时也把⽆向图简称作图。

通常⽤G表⽰⽆向图，D表⽰有向图，有时也⽤G泛指图（⽆向的或有向的）。

⽤V(G),E(G)分别表⽰G的顶点集和边集，|V(G)|,|E(G)|分别是G的顶点数和边数，有向图也有类似的符号。

（2）顶点数称作图的阶，n个顶点的图称作n阶图。

（3）⼀条边也没有的图称作零图，n阶零图记作N n。

1阶零图N1称作平凡图。

平凡图只有⼀个顶点，没有边。

（4）在图的定义中规定顶点集V为⾮空集，但在图的运算中可能产⽣顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记作Ø。

（5）当⽤图形表⽰图时，如果给每⼀个顶点和每⼀条边指定⼀个符号（字母或数字，当然字母还可以带下标），则称这样的图为标定图，否则称作⾮标定图。

（6）将有向图的各条有向边改成⽆向边后所得到的⽆向图称作这个有向图的基图。

（7）若两个顶点v i与v j之间有⼀条边连接，则称这两个顶点相邻。

图论知识点

图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。

图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。

本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。

1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。

边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。

1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。

环是一条起点和终点相同的路径。

1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。

对于有向图，分为入度和出度。

1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。

2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。

2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。

多重图中，可以有多条边连接同一对节点。

2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。

有向图的连通性称为强连通性。

2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。

3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。

3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。

3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。

4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。

4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。

4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。

5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。

它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。

随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。

本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。

图论的基础概念和算法

图论的基础概念和算法图论是数学的一个分支，研究的对象是图。

图是由一组互不相连的节点（顶点）和连接这些节点的边（边）组成的数学结构。

图论的基础概念包括顶点、边、路径、环、度数等。

本文将介绍图论的基础概念以及常用的图算法。

一、基础概念1. 图的定义和表示图由顶点集合和边集合组成。

顶点集合用V表示，边集合用E表示。

图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。

邻接矩阵是一个二维数组，用来表示图中顶点之间的连接关系。

邻接表是一个链表数组，用来表示每个顶点相邻顶点的列表。

2. 顶点和边顶点是图的基本组成单位，用来表示图中的一个节点。

边是连接两个顶点的线段，用来表示两个顶点之间的关系。

3. 路径和环路径是由一系列相邻顶点连接而成的顶点序列。

路径的长度是指路径上经过的边的数目。

环是起点和终点相同的路径。

4. 度数顶点的度数是指与其相邻的边的数目。

入度是指指向该顶点的边的数目，出度是指由该顶点指向其他顶点的边的数目。

图中顶点的度数可以用来判断顶点的重要性。

二、常用算法1. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是一种用来遍历和搜索图的算法。

从一个起始顶点开始，逐层扩展，先访问距离起始顶点最近的顶点，然后访问它们的相邻顶点，并逐渐向外扩展。

广度优先搜索可以用来计算两个顶点之间的最短路径。

2. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是另一种常用的图遍历算法。

从一个起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入地访问图，直到不能再继续深入为止，然后回溯到上一个顶点，继续探索其他路径。

深度优先搜索可以用来计算连通分量、拓扑排序和寻找环等。

3. 最小生成树最小生成树是指图中通过连接所有顶点的子图，并且该子图的边权重之和最小。

常用的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法从一个顶点开始，逐步扩展最小生成树的边，直到包含所有顶点为止。

Kruskal算法则是从边的权重最小的边开始，逐步增加边到最小生成树中，直到包含所有顶点为止。

4. 最短路径算法最短路径算法用来计算两个顶点之间的最短路径。

图论常考知识点总结

图论常考知识点总结1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合构成的。

顶点之间的连接称为边，边可以有方向也可以没有方向。

若图的边没有方向，则称图为无向图；若图的边有方向，则称图为有向图。

图的表示方式：邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵适合存储稠密图，邻接表适合存储稀疏图。

2. 图的连通性连通图：如果图中任意两点之间都存在路径，则称该图是连通图。

强连通图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相同的路径，称为强连通图。

弱连通图：有向图中，去掉每条边的方向之后，所得到的无向图是连通图，称为弱连通图。

3. 图的遍历深度优先搜索（DFS）：从起始顶点出发，沿着一条路往前走，走到不能走为止，然后退回到上一个分支点，再走下一条路，直到走遍图中所有的顶点。

广度优先搜索（BFS）：从起始顶点出发，先访问它的所有邻居顶点，再按这些邻居顶点的顺序依次访问它们的邻居顶点，依次类推。

4. 最短路径狄克斯特拉算法：用于计算图中一个顶点到其他所有顶点的最短路径。

弗洛伊德算法：用于计算图中所有顶点之间的最短路径。

5. 最小生成树普里姆算法：用于计算无向图的最小生成树。

克鲁斯卡尔算法：用于计算无向图的最小生成树。

6. 拓扑排序拓扑排序用于有向无环图中对顶点进行排序，使得对每一条有向边(u,v)，满足排序后的顶点u在顶点v之前。

以上就是图论中一些常考的知识点，希望对大家的学习有所帮助。

当然，图论还有很多其他的知识点，比如欧拉图、哈密顿图、网络流等，这些内容都值得我们深入学习和探讨。

图论在实际应用中有着广泛的应用，掌握好图论知识对于提升计算机科学和工程学的技能水平有着重要的意义。

图论的基本概念

图论的基本概念一个图G 是指一个有序三元组(V(G)，E(G)，G⎰ )，其中V(G)是非空的顶点集，E(G) 是不与V(G)相交的边集，而G⎰是关联函数，它使G 的每条边对应于G 的无序顶点对(不必相异)，若e 是一条边，而u 和v 是使得G⎰(e)=uv 的顶点，则称e 连接u 和v ；顶点U 和v 称为e 的端点。

将己知图的顶点放在平面上，并绘制这些对应点和连通它们之间的边，这就是图的绘制，对于表示地图的应用，图绘制可能包含相当多的信息，因为顶点对应于平面中的点，而且与它们之间的距离有关，我们称这类图为殴几米德图(Euclidean graph)。

G 的一条途径(或通道)是指一个有限非空序列011222...kWv e v e v e v =，它的项交替为顶点和边，使得对1≤i ≤k ，i e 的端点1i v -和i v 。

称w 是从0v 到k v 的一条途径，或一条（0v ，k v ）途径顶点。

0v 和k v 分别称为W 的起点和终点，而1v ，2v ，....，1k v -称为它的内部顶点。

整数k 称为w 的长。

若途径W 的边1e ，2e ，…，k e 互不相同，则W 称为迹：这时W 的长恰好是e （W ）。

又如果途径W 顶点1v ，2v ，....，k v 也互不相同，则称W 为路。

起点和终点相同的路是环。

如果在图中，从每个顶点到其他每个顶点之间都存在一条路径，则此图为连通图。

无环连通图称为树，树的集合是森林。

连通图的生成树是包括该图所有顶点的一个子图，是一棵单一树。

图的生成森林是包括该图所有顶点的一个子图。

是一个森林。

图的Hamilton 性是一个非常重要的概念，它有着广泛的应用，尤其是在LRP 的VRP 问题中。

如果图G 存在一条长为|V(G)|的圈，则称图G 是一个Hamilton 图，或称该图具有Hamilton 性。

到目前为止所定义的图都是无向图。

在有向图中，边是单向的，定义每条边的顶点对看作是一个有序对，它指定了一个单向邻接，有向图中的边称为有向边，有时也称为弧t 有向边的第一个点称为是源或弧尾，边的最后一个点称为目标或弧首。

图论的基本概念与应用

图论的基本概念与应用图论作为一门理论研究和应用探索的数学学科，不仅在学术和工程领域发挥着巨大作用，而且在现代科技和日常生活中也处处体现。

本文将简单介绍图论的基本概念、应用领域，以及一些相关案例。

一、基本概念图论的研究对象是图。

图是由一些点和连接这些点的线组成的，表示事物之间的某种关系，如网络中的路由、社交网络中的朋友等等。

根据点与线的不同特征，图被分为有向图和无向图。

有向图中的边是有方向的，表示两个节点之间是起点和终点的关系。

无向图中的边没有方向，表示两个节点之间是双向的。

图的另一个重要概念是网络，网络是在边上赋予权值用以表示边的强度或距离的图。

在图论中，我们常用的还有度数和路径的概念。

度数是一个点相邻边的数量，路径是由若干个顶点和它们之间的边所构成的序列，且顶点之间按照连接的顺序排列。

二、应用领域图论被广泛应用于计算机科学、运筹学、生物学、化学、经济学等领域。

在计算机科学中，图论被用于构建搜索引擎、路由算法等多个方面。

在运筹学中，最短路径算法、匹配算法、流量分配算法等问题可通过图论求解。

生物学中，图以蛋白质相互作用网、基因调控网等方式表现生物体内的复杂关系。

在化学中，图被用于描述分子之间的行为和作用。

在经济学中，图常常被用于解决网络流量调度和供应链计算。

三、相关案例1. 社交网络在社交网络中，我们可以将人视为节点，人与人之间的关系视为边，从而构建出一个网络模型。

通过对网络模型的分析，可以发现一些有趣的现象或规律，比如弱连接理论、六度分离理论等，这些理论不仅仅能被应用于社交网络，还可以用于其他领域的研究。

2. 铁路路径优化一个问题是如何生成铁路的最短路径，它既可以被看作是一个有向图问题，也可以看作是一个网络流问题。

由于铁路上存在许多互联的节点，因此在这种情况下，图论技术可以用于优化路径，解决径路选择和路径总长度最小化等问题。

3. 分子结构预测化学家常常利用图论的相关技术来模拟和预测分子的结构。

在这种情况下，节点表示原子，边表示原子之间的化学键。

图论的基本概念和应用

图论的基本概念和应用图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。

图论的基本概念包括图的类型、图的表示方法、图的遍历算法等。

图论在计算机科学、网络分析、社交网络等领域有着广泛的应用。

一、图的类型图可以分为有向图和无向图两种类型。

有向图中的边有方向，表示从一个节点到另一个节点的关系；无向图中的边没有方向，表示两个节点之间的关系是相互的。

有向图和无向图都可以有权重，表示边的权值。

二、图的表示方法图可以用邻接矩阵和邻接表两种方式来表示。

邻接矩阵是一个二维数组，数组的行和列分别表示图中的节点，数组中的元素表示节点之间的边；邻接表是一个链表数组，数组的每个元素表示一个节点，链表中的每个节点表示与该节点相连的边。

三、图的遍历算法图的遍历算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

深度优先搜索从一个节点开始，沿着一条路径一直遍历到最后一个节点，然后回溯到上一个节点，再继续遍历其他路径；广度优先搜索从一个节点开始，先遍历与该节点相邻的所有节点，然后再遍历与这些节点相邻的节点，依次类推。

四、图论的应用1. 计算机科学：图论在计算机科学中有着广泛的应用。

例如，图可以用来表示计算机网络中的节点和连接关系，通过图的遍历算法可以实现网络路由和路径规划；图可以用来表示程序中的依赖关系，通过图的遍历算法可以实现代码的分析和优化。

2. 网络分析：图论在网络分析中有着重要的应用。

例如，社交网络可以用图来表示，节点表示用户，边表示用户之间的关系，通过图的遍历算法可以实现社交网络的分析和预测；互联网中的网页可以用图来表示，节点表示网页，边表示网页之间的链接关系，通过图的遍历算法可以实现搜索引擎的排名和推荐算法。

3. 运筹学：图论在运筹学中有着重要的应用。

例如，图可以用来表示物流网络中的节点和路径，通过图的遍历算法可以实现最短路径和最小生成树的计算；图可以用来表示任务调度中的依赖关系，通过图的遍历算法可以实现任务的优化和调度。

图论—基本概念

2) 在无向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有几条边，则这几条边称为平行边；
3) 两结点vi，vj间相互平行的边的条数称为边(vi，vj) 或<vi，vj>的重数；
4) 含有平行边的图称为多重图； 5) 非多重图称为线图； 6) 无自回路的线图称为简单图。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
G3＝<V3,E3>＝<{1,2,3,4,5},{<1,2>,(1,4),<4,3>,
<3,5>,<4,5>}>
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第9页
几个基本概念
1) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和 vj称为邻接点，否则称为不邻接的；
设V＝{v1, v2,…,vn}为图G的结点集，称 (deg(v1),deg(v2),…,deg(vn))为G的度数序列。
上图的度数序列为（3,3,5,1,0）。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第18页
例
1) （3,3,2,3），（5,2,3,1,4）能成为图的度数序列吗？为什么？
2) 已知图G中有10条边，4个度数为3的结点，其余结点的度数均小于等于2，问G中至少有多少个结点？为什么？
对任意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者
(u,v)∈V&V相对应。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第6页
图的分类(按边的方向)
1) 若边e与无序结点对(u，v)相对应，则称边e为无向边, 记为e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；

离散数学第十四章图论基本概念

8
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
d(vi ) 2m
i 1
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.
定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)：中所有顶点各异，则称为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相同且所有的边各异，则称为初级回路(圈)
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现
20
几点说明
表示法 ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
3
有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的多重子集图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下是一一对应的
4
相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图
定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
25
点割集与割点
例3 {v1,v4}，{v6}是点割集，v6是割点. {v2,v5} 是点割集吗？ {e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}， {e8}等是边割集，e8是桥，{e7,e9,e5,e6} 是边割集吗？
3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的.

图论知识点总结笔记

图论知识点总结笔记一、图的基本概念1. 图的定义图是由节点（顶点）和连接节点的边构成的一种数据结构。

图可以用来表示各种关系和网络，在计算机科学、通信网络、社交网络等领域有着广泛的应用。

在图论中，通常将图记为G=(V, E)，其中V表示图中所有的节点的集合，E表示图中所有的边的集合。

2. 节点和边节点是图中的基本单位，通常用来表示实体或者对象。

边是节点之间的连接关系，用来表示节点之间的关联性。

根据边的方向，可以将图分为有向图和无向图，有向图的边是有方向的，而无向图的边是没有方向的。

3. 度度是图中节点的一个重要度量指标，表示与该节点相连的边的数量。

对于有向图来说，可以分为入度和出度，入度表示指向该节点的边的数量，出度表示由该节点指向其他节点的边的数量。

4. 路径路径是图中连接节点的顺序序列，根据路径的性质，可以将路径分为简单路径、环路等。

在图论中，一些问题的解决可以归结为寻找合适的路径，如最短路径问题、汉密尔顿路径问题等。

5. 连通性图的连通性是描述图中节点之间是否存在路径连接的一个重要特征。

若图中每一对节点都存在路径连接，则称图是连通的，否则称图是非连通的。

基于图的连通性，可以将图分为连通图和非连通图。

6. 子图子图是由图中一部分节点和边组成的图，通常用来描述图的某个特定属性。

子图可以是原图的结构副本，也可以是原图的子集。

二、图的表示1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图表示方法，通过矩阵来表示节点之间的连接关系。

对于无向图来说，邻接矩阵是对称的，而对于有向图来说，邻接矩阵则不一定对称。

2. 邻接表邻接表是另一种常用的图表示方法，它通过数组和链表的组合来表示图的节点和边。

对于每一个节点，都维护一个邻接点的链表，通过链表来表示节点之间的连接关系。

3. 关联矩阵关联矩阵是另一种图的表示方法，通过矩阵来表示节点和边的关联关系。

关联矩阵可以用来表示有向图和无向图，是一种比较灵活的表示方法。

三、常见的图算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常见的图遍历算法，通过递归或者栈的方式来遍历图中所有的节点。

3图论-图基本概念9-14

边集合E＝｛<v1,v2>,<v1,v2>,<v2,v3>,<v3,v2>,<v2,v2> ,<v1,v3>,<v3,v1>｝尖括号（与前面的关系的图表示相当）
3、有关图的术语 1）用G表示无向图，D表示有向图。有时用V(G)，E(G)分别表示G的顶点集和边集， 2）用｜V(G)｜，｜E(G)｜分别表示G的顶点数和边数(有向图类似）若｜V(G)｜＝n，则称G为n阶图。对有向图可做类似规定。 3）在图G中，若边集E(G)＝ø ，则称G为零图若G为n阶图，则称G为n阶零图，记作Nn，特别是称N1为平凡图 4) 常用ek表示无向边(vi，vj)( 或有向边<vi，vj> ) 设G＝<V，E> 为无向图，ek = (vi，vj)∈E，则称vj，vj为ek的端点， ek与vi、vj是彼此相关联的．起终点相同的边称为环不与任何边关联的结点称为孤立点（包括有向向图) 5）邻接：边的相邻：ek，el∈E．若ek与el至少有一个公共端点，则称ek与el是相邻的顶点的相邻：若∃et∈E，使得et = < vi，vj>，则称vi为et的始点，vj为et的终点，并称vi邻接到vj，vj邻接于vi 两个结点为一条边的端点，则称两个结点互为邻接点，也称边关联于这两个结点，或称两个结点邻接于此边。
二、图的同构定义设G1＝<Vl，E1> ，G2=<V2，E2>为两个无向图(两个有向图)，若存在双射函数f：V1 → V2 顶点的一一对应对于∀ vi，vj∈V1，(vi，vj) ∈E1 (<vi，vj>∈ E1) 当且仅当(f(vi)，f(vj))∈E2 (<f(vi)，f(vj)> ∈E2)，边的对应并且(vi，vj) (<vi,vj>)与(f(vi),f(vj))(<f(vi),f(vj)>)的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作Gl ≅ G2

《离散数学》课件第14章图的基本概念

像这种形状不同，但本质上是同一个图的现象称为图同构。
定义14.5（图同构）设两个无向图G1=<V1，E1>， G2=<V2，E2>，如果存在双射函数f：V1→V2，使得对于任意的 e=（vi，vj）∈E1 当且仅当 e’=（f(vi)， f(vj)）∈E2，并且e与e’的重数相同，则称G1和G2是同构的，记作G1≌G2。
若vi=vj，则称ek与vi的关联次数为2；
若vi不是ek的端点，则称ek与vi 的关联次数为0。
无边关联的顶点称为孤立点（isolated vertex）。
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定义(相邻) 设无向图G=<V，E>，若∃et∈E且et=（vi,vj），则称vi和vj是相邻的若ek,el∈E且有公共端点，则称ek与el是相邻的。
素称为有向边，简称边。由定义，有向图的边ek是有序对<vi，vj>，称vi，
vj是ek的端点，其中vi为ek的始点（origin），vj为ek 的终点（terminus）。
当vi=vj时，称ek为环，它是vi到自身的有向边。
11
每条边都是无向边的图称为无向图（undirected graph）。
定义(邻接与相邻) 设有向图D=<V，E>，若∃et∈E且et=<vi,vj>，则称vi邻接到vj，vj邻接于vi。若ek,el∈E且ek的终点为el的始点，则称ek与el是相邻的。
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定义14.4（度）设G=<V，E>为一无向图，∀v∈V，称 v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称为度（degree），记为d(v)。
定理14.2 （有向图握手定理）设D=<V，E>为任意的有向图，V={v1,v2,…,vn}，|E|=m，则

图论基础：图的基本概念和应用

图论基础：图的基本概念和应用图论是数学中的一个分支领域，研究的是图的性质和图上的问题。

图被广泛应用于计算机科学、电子工程、运筹学、社交网络分析等领域。

本文将介绍图论的基本概念和一些常见的应用。

一、图的基本概念1. 顶点和边图是由顶点和边组成的，顶点代表图中的元素，边则代表元素之间的关系。

通常顶点表示为V，边表示为E。

2. 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图。

在无向图中，边是没有方向的，顶点之间的关系是双向的；而在有向图中，边是有方向的，顶点之间的关系是单向的。

3. 权重在一些应用中，边可能具有权重。

权重可以表示顶点之间的距离、成本、时间等概念。

有权图是指带有边权重的图，而无权图则是指边没有权重的图。

4. 路径和环路径是指由一系列边连接的顶点序列，路径的长度是指路径上边的数量。

环是一种特殊的路径，它的起点和终点相同。

5. 度数在无向图中，顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。

在有向图中分为出度和入度，出度是指从该顶点出去的边的数量，入度是指指向该顶点的边的数量。

二、图的应用1. 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题，它研究如何在图中找到两个顶点之间的最短路径。

这个问题有许多实际应用，例如在导航系统中寻找最短驾驶路径，或者在电信网络中找到最短的通信路径。

2. 最小生成树最小生成树是指一个连接图中所有顶点的无环子图，并且具有最小的边权重之和。

这个概念在电力网络规划、通信网络优化等领域有广泛的应用。

3. 路由算法在计算机网络中，路由算法用于确定数据包在网络中的传输路径。

图论提供了许多解决路由问题的算法，如最短路径算法、Bellman-Ford 算法、Dijkstra算法等。

4. 社交网络分析图论在社交网络分析中起着重要的作用。

通过构建社交网络图，可以分析用户之间的关系、信息传播、社区发现等问题。

这些分析对于推荐系统、舆情监测等领域具有重要意义。

5. 电路设计图论在电路设计中也有应用。

通过将电路设计问题转化为图论问题，可以使用图论算法解决电路布线、最佳布局等问题。

探究初中图论基本概念

探究初中图论基本概念初中数学中的图论基本概念图论是数学中的一个分支，研究的是图及其相关的性质和应用。

在初中数学中，图论也有一定的涉及。

本文将探究初中图论的基本概念，包括图的定义、顶点和边的关系、路径和回路等内容。

1. 图的定义图由顶点集合和边集合组成，用G(V, E)表示，其中V是顶点集合，E是边集合。

顶点可以用字母或数字标记，边则是连接两个顶点的线段。

顶点之间的连线可能有方向，形成有向图；也可以没有方向，形成无向图。

图可以用图形表示，顶点用圆圈表示，边则用线段连接。

2. 顶点和边的关系顶点之间可以通过边进行连接，从而形成网络结构。

顶点和边之间的关系是图论的基础。

每个边都连接两个顶点，这两个顶点称为该边的端点。

在有向图中，边由一个顶点指向另一个顶点，可以表示单向路径。

在无向图中，边是双向的，两个顶点之间可以互相到达。

3. 路径和回路在图中，从一个顶点出发，经过若干个顶点，最后到达另一个顶点所经过的边的集合，称为路径。

路径的长度是指经过的边的数量。

如果路径起点和终点是同一个顶点，且经过的边都不重复，称为回路。

回路的长度是路径长度加1。

4. 连通图和完全图在图中，如果任意两个顶点都存在一条路径连通，则称该图为连通图。

连通图能够保证任意两个顶点之间的可达性。

完全图则是指图中的任意两个顶点之间都有边相连。

完全图的边数达到了顶点数的最大值，是图论中的一个重要概念。

5. 度和度数顶点的度是指与该顶点相连的边的数量。

在有向图中，分为入度和出度，分别表示指向该顶点的边和由该顶点发出的边的数量。

度数是指所有顶点度之和。

图的度数与顶点和边的数量有一定的关系，是判断图特征的一个重要指标。

在初中数学学习中，图论基本概念的学习为后续的图的性质和应用打下了基础。

通过了解图的定义、顶点和边的关系、路径和回路等概念，学生可以更好地理解和分析问题，培养逻辑思维和解决问题的能力。

总结起来，初中图论基本概念主要包括图的定义、顶点和边的关系、路径和回路、连通图和完全图以及度和度数等内容。

图论的基本概念及其应用

图论的基本概念及其应用图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图由节点和连接节点的边组成，以解决现实生活中的许多问题。

本文将介绍图论的基本概念，并探讨它在不同领域中的应用。

一、图的基本概念1. 节点和边图由节点（顶点）和边组成，节点代表某个实体或概念，边表示节点之间的关系。

节点和边可以有不同的属性，如权重、方向等。

2. 有向图和无向图有向图中，边有固定的方向，表示节点之间的单向关系；无向图中，边没有方向，节点之间的关系是相互的。

3. 连通图和非连通图连通图是指图中任意两个节点之间都存在路径；非连通图则存在至少一个节点无法到达其它节点。

4. 网络流每条边上有一个容量限制，网络流通过边传输，满足容量限制的条件下尽可能多地进行。

二、图论在计算机科学中的应用1. 最短路径通过图论中的最短路径算法，可以计算出两个节点之间的最短路径。

最短路径在无人驾驶、物流配送等领域中具有重要的应用价值。

2. 最小生成树最小生成树算法用于寻找连接图中所有节点的最小总权重的树形结构。

在通信网络、电力输送等领域中，最小生成树被广泛应用。

3. 网络流问题图论中的网络流算法可以用于解决诸如分配问题、路径规划等优化问题。

例如，在医疗资源调度中，网络流算法可以帮助医院优化资源分配。

三、图论在社交网络分析中的应用1. 社交网络社交网络可以用图模型来表示，节点代表个体，边表示个体之间的联系。

利用图论分析社交网络，可以发现用户群体、影响力传播等信息。

2. 中心性分析中心性分析用于评估节点在网络中的重要性，衡量指标包括度中心性、接近中心性等。

中心节点的识别对于广告投放、信息传播等决策具有指导意义。

3. 社团检测社团检测可以发现社交网络中具有紧密联系的节点群体，进一步分析社交群体的行为模式、用户偏好等。

四、图论在物流优化中的应用1. 供应链管理供应链中的各个环节可以用图模型表示，通过图论算法优化物流路径，提高物流效率。

2. 仓库位置问题通过图论中的最短路径算法和最小生成树算法，可以找到最佳的仓库位置，使物流成本最小化。

图论的基本定义和应用

图论的基本定义和应用图论是一门数学分支，它以图这一数学结构为基础，研究各种图上的问题。

图是一种结构，包括顶点和边，顶点代表图中的元素，边描述元素之间的关系。

图论是研究图这一数学结构的性质和应用的学科。

图的基本定义在图论中，一个图由顶点集合V和边集合E组成，一般记为G = (V, E)。

其中，V是图中所有顶点的集合，E是图中所有边的集合。

如果边是由独立的顶点对构成的，就称这种图为无向图；如果边是由有序的顶点对构成的，就称这种图为有向图。

每条边都可以表示为(e,u,v)，其中e是边的标识，u和v是与边相连的两个顶点。

图的结构在图论中，有些图具有特定的结构，这些结构可以被用于解决各种各样的问题。

下面是一些常见的图结构。

树型结构：树是一种无环连接的图，其中有一个特殊的顶点称为根。

在树中，从根到任意一个顶点所经过的边所构成的路径都是唯一的。

树是一种重要的数据结构，被广泛应用于计算机科学和其他领域。

环型结构：环也是一种无向图，但是它具有特定的环形结构，其中每个顶点都与它相邻的两个顶点相连。

环型结构被广泛应用于通信网络和其他领域的设计中。

网状结构：网状结构是由多个环型结构和其他结构组合而成的图，其中有多个顶点是连接到其他顶点上的。

网状结构在物流和电力等领域中被广泛应用。

图的应用图论被广泛应用于计算机科学、工程和管理学等领域。

下面是一些常见的图论应用。

路由算法：在通信网络中，路由算法被用来确定包从源节点到目标节点的最佳路径。

路由算法可以利用图的结构来计算最短路径或其他优化路径。

最优化问题：许多最优化问题可以被转换为图的形式，例如最短路径问题和最小生成树问题。

通过使用图的模型来解决这些问题可以提高效率和可靠性。

社交网络分析：社交网络可以用图的形式进行建模，每个人都是一个顶点，他们之间的关系可以表示为边。

通过社交网络分析，可以了解网络中的信息流动模式和社交结构。

总结图论是一门广泛应用于各种学科的数学分支，其基本定义包括顶点和边。

图论中的基本概念与算法

图论中的基本概念与算法图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图是由一些点和连接这些点的边组成的数学结构。

在图论中，我们探索了一些基本的概念和算法，本文将就这些内容进行探讨。

一、图的基本概念1. 顶点（Vertex）：图中的一个点被称为顶点，也可以被称为节点或者结点。

2. 边（Edge）：图中的边是连接两个顶点的线段，用于表示两个顶点之间的关系。

3. 有向图（Directed Graph）：有向图是一种图，其中的边是有方向的，即从一个顶点指向另一个顶点。

4. 无向图（Undirected Graph）：无向图是一种图，其中的边没有方向，即两个顶点之间的关系是互相的。

5. 加权图（Weighted Graph）：加权图是一种图，每条边都有一个权重或者距离，用于表示顶点之间的距离或者代价。

6. 路径（Path）：路径是图中连接两个顶点的边的序列。

7. 环（Cycle）：环是一种路径，其起点和终点相同。

二、图的基本算法1. 广度优先搜索（Breadth-First Search，BFS）：BFS是一种用于图中遍历或者搜索的算法。

它从一个起始顶点开始，依次访问与之相邻的顶点，然后再访问与这些顶点相邻的顶点，依次类推。

2. 深度优先搜索（Depth-First Search，DFS）：DFS是一种递归的遍历算法。

它从一个起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深地访问顶点，直到不能继续为止，然后回退并选择另一条路径。

3. 最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）：最小生成树是一个无环连通子图，它包含图中的所有顶点，并且总权重最小。

常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。

4. 最短路径问题（Shortest Path Problem）：最短路径问题是找出图中两个顶点之间的最短路径。

常用的算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。

5. 拓扑排序（Topological Sorting）：拓扑排序是一种对有向无环图进行排序的算法。