实验三 随机过程通过线性系统
实验三 随机过程通过线性系统
实验名称线性系统对随机过程的响应一、实验目的通过本仿真实验了解正态白色噪声随机过程通过线性系统后相关函数以及功率谱的变化；培养计算机编程能力。
二、实验平台MATLAB R2014a三、实验要求(1)运用正态分布随机数产生函数产生均值为m=0,根方差σ=1的白色正态分布序列{u(n)|n=1,2,…,2000}，画出噪声u(n)的波形图。
(2)设离散时间线性系统的差分方程为x(n)=u(n)-0.36u(n-1)+0.85u(n-2)(n=3,4,…,2000).画出x(n)的波形图。
(3)随机过程x(n)的理论上的功率谱函数为在[0,π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图。
(4)根据步骤二产生的数据序列x(n)计算相关函数的估计值与理论值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0的差异。
(5)根据相关函数的估计值对随机过程的功率谱密度函数进行估计在[0，π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图，比较其与理论上的功率谱密度函数S(w)的差异。
(6)依照实验1的方法统计数据x(n)在不同区间出现的概率，计算其理论概率，观察二者是否基本一致。
四、实验代码及结果A、运用正态分布随机数产生函数产生均值为m=0,根方差σ=1的白色正态分布序列{u(n)|n=1,2,…,2000}，画出噪声u(n)的波形图。
代码实现：波形图：分析：运用正态分布随机数产生函数产生均值为0，根方差σ=1的白色噪声样本序列。
B、设离散时间线性系统的差分方程为x(n)=u(n)-0.36u(n-1)+0.85u(n-2)(n=3,4,…,2000).画出x(n)的波形图。
代码实现：波形图：分析：正态随机序列通过离散时间线性系统生成的仍是正态随机序列。
C、随机过程x(n)的理论上的功率谱函数为在[0,π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图。
随机过程通过线性系统
随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论 中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络） 后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线 性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应 vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即
度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
E［ξo(t)］= e[h( ) ξi(t-τ)dτ ]
＝
h(
0
)E[1[i
(t
)]d
a
h( )d
0
式中利用了平稳性假设E［ξi(t-τ)］=E［ξi(t)］=a(常数)。 又因为
H(W)=
h(t)e
jwtd
t
0
求得
H(0)= h(t)dt
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1 无关。
若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平 稳的。
3. 输出过程ξo(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
p0(w)
R0
(
)e
jw
d
0
[h(a)h(
0
)Ri (
)dad ]e jwrd
噪声平均功率。理想低通的传输特性为
H(ω)=
K0e-jwt 0
w wH
其他
解 由上式得|H(ω)|2=
K02
，|ω|≤ωH。输出功率谱密度为
随机信号分析实验报告(基于MATLAB语言)
随机信号分析实验报告——基于MATLAB语言姓名：_班级：_学号：专业：目录实验一随机序列的产生及数字特征估计 (2)实验目的 (2)实验原理 (2)实验内容及实验结果 (3)实验小结 (6)实验二随机过程的模拟与数字特征 (7)实验目的 (7)实验原理 (7)实验内容及实验结果 (8)实验小结 (11)实验三随机过程通过线性系统的分析 (12)实验目的 (12)实验原理 (12)实验内容及实验结果 (13)实验小结 (17)实验四窄带随机过程的产生及其性能测试 (18)实验目的 (18)实验原理 (18)实验内容及实验结果 (18)实验小结 (23)实验总结 (23)实验一随机序列的产生及数字特征估计实验目的1.学习和掌握随机数的产生方法。
2.实现随机序列的数字特征估计。
实验原理1.随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。
进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布， U(0,1)。
即实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：，序列为产生的(0,1)均匀分布随机数。
定理1.1若随机变量X 具有连续分布函数，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有2.MATLAB中产生随机序列的函数(1)(0,1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。
(2)正态分布的随机序列函数：randn用法：x = randn(m,n)功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。
通信原理 3-5平稳随机过程通过线性系统
输出o(t)的统计特性
2
第3章 随机过程
1.输出过程o(t)的均值 对下式两边取统计平均：
0 (t ) h( ) i (t )d
得到
E[ 0 (t )] E
h( ) iFra bibliotek(t )d
h( )E[i (t )]d
H ( ) (1 e jT ). j 2 cos
所以
2
T
2
e
j
t
2
. j
pY ( ) H ( ) p X ( ) 2(1 cos T ). 2 p X ( )
8
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
R0 (t1 , t1 )
h( ) i (t1 )d h( ) i (t1 )d
h( )h( ) E[ i (t1 ) i (t1 )]dd
设输入过程是平稳的 ，则有
E[ i (t )] E[ i (t )] a
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出 过程的均值和时间无关。
3
第3章 随机过程
2. 输出过程o(t)的自相关函数：
0 (t ) lim
由于已假设i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项
在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程
k 0
(t
k 0 i
实验三 随机信号通过线性时不变系统
实验三 随机信号通过线性系统的分析一、实验目的1 模拟产生特定相关函数的连续随机序列或者离散的随机序列，考察其特性。
2 模拟高斯白噪声环境下信号通过系统的问题，实现低通滤波。
3 掌握系统输出信号的数字特征和功率谱密度的求解。
二、实验设备1计算机2 Matlab 软件三、实验原理随机信号通过线性系统分析的中心问题是：给定系统的输入函数（或统计特性：均值和 自相关函数）和线性系统的特性，求输出函数。
如下图所示，H 为线性变换，信号X (t )为系统输入， Y (t )为系统的输出，它也是随机信号。
图3.1 随机信号通过系统的示意图并且满足： H [X (t )] = Y (t )在时域：若X(t)时域平稳，系统冲激响应为h(t),则系统输入和输出的关系为：()()*()()()()()Y t X t h t X h t d h X t d ττττττ∞∞-∞-∞==-=-⎰⎰ 输出期望：∑∞===0m XY )m (h m )]t (Y [E m 输出的自相关函数：)(h )(h )(R )(R X Y τ*τ-*τ=τ输出平均功率：⎰⎰∞∞-∞∞--=τdvdu )u (h )v (h )u v (R )(R X Y 互相关：)()()()()(ττσσσττh R d h R R X X XY *=-=⎰∞∞-在频域：输入与输出的关系：)(H )(X )(Y ωω=ω输出的功率谱：2X X Y )(H )(S )(H )(H )(S )(S ωω=ωω-ω=ω功率谱：)(H )(S )(S X XY ωω=ω四、实验内容与步骤1已知平稳随机过程X(n)的相关函数为：5),()(22==σδσm m R ； 线性系统的单位冲击响应为111,0,)(+-=≥=实验者学号后两位r k r k h k 。
编写程序求：1）输入信号的功率谱密度、期望、方差、平均功率；2）利用时域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；3）利用频域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；4）利用频域分析法或时域分析法求解输入输出的互相关函数、互功率谱密度。
随机过程通过线性系统
▪ 频域： 若 h(t)dt 物理可实现，且x(t)有界，则有：
Y ( ) H ( )X ( ) 。 所以对于确定信号，总可以用数学式或列表形式给定其 时域的描述，或用变换的方式给出其“频域”的表述，而且 对于其通过线性时不变系统的表述为：
x(t)
X ()
h(t )
H ( )
e
H ( ) 2 d
0
H ( 0 ) 2
e
o
0
o
e 表示：系统对噪声功率谱的选择性。
线性系统的通频带宽与等效噪声带宽 e 的关系
线性系统通频带的一般定义：系统频率特性曲线半功
率点的通频带宽 （也称为三分贝带宽）。其表示系
统对有用信号的选择性。
因为 ，e 都取决于系统的传输函数H ( )，
E[Y (t )] m X h( )d m X H (0) ，其中 h( )d H (0)
➢ 输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。
2. 系统输出Y(t) 的自相关函数:
RY (t, t ) E[Y (t )Y (t )]
h( )h( )E[ X (t )X (t )]dd
3．输入X(t) 与输出Y(t) 的互相关函数和互谱密度
RXY ( ) RX 1Y1 ( ) RX 1Y2 ( ) RX 2Y1 ( ) RX2Y 2 ( )
G XY ( ) G X 1Y1 ( ) G X 1Y2 ( ) G X 2Y1 ( ) G X2Y 2 ( )
四、白噪声通过线性系统
RXY ( ) RX ( ) h( ) (N 0 / 2) ( ) h( ) (N 0 / 2)h( )
即有
h( )
2 N0
RXY ( )
随机信号分析实验：随机过程通过线性系统的分析
实验三 随机过程通过线性系统的分析实验目的1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。
2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。
实验原理1.白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ⋅=ωω （3.1） 输出自相关函数为⎰∞∞-=ωωπτωτd e H N R j Y 20)(4)( （3.2）输出相关系数为)0()()(Y Y Y R R ττγ=（3.3） 输出相关时间为⎰∞=00)(ττγτd Y （3.4）输出平均功率为[]⎰∞=202)(2)(ωωπd H N t Y E （3.5）上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。
2.等效噪声带宽在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。
等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。
实际系统的等效噪声带宽为⎰∞=∆022max)()(1ωωωωd H H e （3.6）或⎰∞∞--=∆j j e ds s H s H H j )()()(212maxωω （3.7）3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。
（2）随机过程的正态化随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。
任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
实验内容设白噪声通过图3.1所示的RC 电路，分析输出的统计特性。
图3.1 RC 电路（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。
北京理工大学随机信号分析实验报告
北京理工大学随机信号分析实验报告本科实验报告实验名称：随机信号分析实验实验一随机序列的产生及数字特征估计一、实验目的1、学习和掌握随机数的产生方法。
2、实现随机序列的数字特征估计。
二、实验原理1、随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。
进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即 U(0，1)。
实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：)(m od ,110N ky y y n n -=Ny x n n /=序列{}nx 为产生的(0，1)均匀分布随机数。
下面给出了上式的3组常用参数： 1、10N 10,k 7==，周期7510≈⨯；2、（IBM 随机数发生器）3116N 2,k 23,==+周期8510≈⨯；3、（ran0）315N 21,k 7,=-=周期9210≈⨯；由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。
定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有)(1R F X x -=由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。
2、MATLAB 中产生随机序列的函数（1）(0，1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。
通信原理 3-5平稳随机过程通过线性系统
通信原理
3.5 平稳随机过程通过线性系统
1
第3章 随机过程
一 确知信号通过线性系统：
y(t ) h(t ) f (t ) h( ) f (t )d
式中 f(t)－ 输入信号， y(t)－ 输出信号 二 随机信号通过线性系统：
3
第3章 随机过程
2. 输出过程o(t)的自相关函数：
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
R0 (t1 , t1 )
h( ) i (t1 )d h( ) i (t1 )d
8
4. 输出过程o(t)的概率分布
因为 可以表示为：
0 (t ) h( ) i (t )d
0 (t ) lim
由于已假设i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项
在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程
k 0
(t
k 0 i
k
)h( k ) k
h( )E[i (t )]d
设输入过程是平稳的 ，则有
E[ i (t )] E[ i (t )] a
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出 过程的均值和时间无关。
微分
延时T
7
第3章 随机过程
解 （1）因为线性系统的的输入是平稳信号，所以其输出 Y（t）也是平稳的。 （2）该线性系统的传输函数为：
随机信号分析实验报告(基于MATLAB语言)
随机信号分析实验报告——基于MATLAB语言姓名：_ 班级：_ 学号：专业：目录实验一随机序列的产生及数字特征估计2实验目的 2实验原理 2实验内容及实验结果 3实验小结 6实验二随机过程的模拟与数字特征7实验目的7实验原理7实验内容及实验结果8实验小结11实验三随机过程通过线性系统的分析12实验目的12实验原理12实验内容及实验结果13实验小结17实验四窄带随机过程的产生及其性能测试18实验目的18实验原理18实验内容及实验结果18实验小结23实验总结23实验一随机序列的产生及数字特征估计实验目的1.学习和掌握随机数的产生方法。
2.实现随机序列的数字特征估计。
实验原理1.随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。
进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布，U(0,1)。
即实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：序列为产生的(0,1)均匀分布随机数。
定理1.1若随机变量X 具有连续分布函数，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有2.MATLAB中产生随机序列的函数(1)(0,1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。
(2)正态分布的随机序列函数：randn用法：x = randn(m,n)功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。
《随机信号分析》第3章 随机过程的线性变换
+
RXY (t1 , t2 ) - RX (t1 , t2 u)h(u)du
+
- RX (t1 t2 u)h(u)du
+
- RX ( u)h(u)du
其中，τ = t1-t2，即
RXY ( ) h( ) RX ( )
21
3.2 随机过程通过线性系统分析
类似地
RYX ( ) h( ) RX ( ) RY ( ) h( ) RYX ( )
23
3.2 随机过程通过线性系统分析
平稳随机过程通过线性系统输入输出相关 函数之间的关系
RX ( )
h( )
RXY ( )
h( )
RY ( )
RX ( )
RYX (t1, t2 )
h( )
h( )
RY ( )
证明（续） 根据大数定理，当n→∞时，有
X (t) E[ X (t)],Y (t) E[Y (t)] 所以
E[Y (t)] L{E[ X (t)]}
9
3.1 变换的基本概念和基本定理
定理2 设Y(t)=L[X(t)]，其中L是线性变换， 则
RXY (t1 , t2 ) Lt2 [RX (t1 , t2 )] RY (t1 , t2 ) Lt1 [RXY (t1 , t2 )] Lt1 • Lt2 [RX (t1 , t2 )]
解 系统传递函数为
H ( )
1
j
RC
输入X(t)的功率谱为
GX( )
RX( )e j d
2 2 2
33
3.2 随机过程通过线性系统分析
进一步可得
GY( )
GX( ) |
第三章随机过程通过系统分析
3.1 随机过程通过线性系统分析 线性变换
L[ A1 X 1 (t ) + A2 X 2 (t )] = A1 L[ X 1 (t )] + A2 L[ X 2 (t )]
其中A1,A2为随机变量，X1(t),X2(t)为随机过程。 对于线性变换 Y (t ) = L[ X (t )] 若有 Y (t + ε ) = L[ X (t + ε )] 则称线性变换L是线性时不变的。
N0 / 2 GX (ω ) = 0
ω < ωc
其它
RX (τ )
N 0ωc sin ωcτ RX (τ ) = ⋅ 2π ωcτ
N 0ω c R X (0) = 2π
−
π ωc
0
π ωc
τ
理想低通随机过程的自相关函数
13
3.1 随机过程通过线性系统分析 带通过程
N0 / 2 GX (ω ) = 0
mY (t ) = L[mX (t )] = h(t ) ⊗ mX (t ) = ∫ h(τ)mX (t − τ)d τ
−∞
5
∞
3.1 随机过程通过线性系统分析 若X(t)平稳 X(t)平稳
mY = ∫ m X h(τ )dτ = m X ∫ h(τ )dτ = m X H (0)
−∞ −∞
+∞
+∞
0 ∞
F (ω) Y
∆ωe
F (ω0 ) Y
0
ω0 图3.12 噪声等效通能带示意图
ω
16
3.1 随机过程通过线性系统分析 对带通系统
∆f e
∫ =
∞
0
FY (ω)d ω
2πFY (ω0 )
随机过程通过线性系统
平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结：
X(t )
h(t )
Y(t )
X(t)：平稳随机过程 h(t)：线性时不变系统的冲击响应
E[Y (t )] m X H (0)
RY ( ) RX ( ) h( ) h( ) RXY ( ) h( ) RYX ( ) h( )
h( )[
h(
)RX
(
)d
]d
h( )[h( ) RX ( )]d
h( ) h( ) RX ( )
输出过程 RY(τ) 只与时间差 τ 有关，而与时 间 起点 t 无关。
E[Y (t )] m X H (0)
(1 )
1
0
RY
(
)
N0 2
e1 e (1 )d1
0
1 0;1 0有物理意义 对 0时
RY ( )
N0 2
e
e21 d1
0
N0 e
4
对 0时
RY ( )
N0 2
e
输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。
2．系统输出Y(t) 的自相关函数:
RY (t, t ) E[Y (t)Y (t )]
h( )h( )E[ X (t )X (t )]dd
h( )h( )RX ( )dd
常数
RY ( ) RX ( ) h( ) h( ) 的函数
0203_平稳随机过程通过线性系统
1、平稳随机过程通过线性系统后，输出随机过程的均值等于输入随机过程的均值与系统直流传递函数的乘积：
[]0()()()o i E t E h t d ετεττ∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
⎰ []0
()()()(0)i i i h E t d a h d a H τεττ
ττ∞
∞=-==⎰⎰
2、平稳随机过程通过线性系统后，输出随机过程也是平稳的：
[]
[]0000
00
(,)()()()()()()()()()()()()()()
o o o i i i i i o R t t E t t E h t d h t d h h E t t d d h h R d d R τεεταεααβετββαβεαετβαβ
αβταβαβτ∞∞∞∞∞∞+=+⎡⎤=-+-⎢⎥
⎣⎦
=-+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
3、平稳随机过程通过线性系统后，输出随机过程的功率谱密度等于输入随机过程的功率谱密度与系统传递函数模平方的乘积：
4、平稳高斯过程经过线性系统后，输出随机过程也是高斯过程，但数字特征可能已经发生改变。
例：若信道中高斯白噪声的均值为零，其双边功率谱密度为0
2n ，接收端理想带通滤波器中心频率为
c f ，带宽为B ，求：
（1）接收端理想带通滤波器输出噪声的自相关函数；
（2）接收端理想带通滤波器输出噪声的平均功率；
（3）接收端理想带通滤波器输出噪声的一维概率密度函数。
随机过程通过线性系统59页PPT
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
5.随机过程通过线性系统
5.随机过程通过线性系统5.随机过程通过线性系统- 随机信号分析实验报告计算机与信息工程学院设计性实验报告一、实验目的了解随机信号自身的特性，并研究随机信号通过线性系统后的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度有何变化，分析线性系统所具有的性质二、实验仪器或设备1、一台计算机2、MATLAB r2013a三、实验内容输入信号为x1(t)加上白噪声n(t)变成x(t),用软件仿真x(t)通过滤波器后的信号y1(t),框图如下:其中：x1(t)=sin(2000×2πt)+2sin(5000×2πt)计算x(t)、y1(t)的均值、均方值、方差、频谱、功率谱密度，自相关函数，并绘出函数曲线。
四、MATLAB仿真程序%输入信号x的产生clct=0:1/*****:0.01;x1=sin(2000*2*pi*t)+2*sin(5000*2*pi*t);x=awgn(x1,5,'measured'); %加入高斯白噪声n=x-x1;%输入信号x的均值，方差，均方值和自相关系数x_mean=mean(x) x_var=var(x)x_st=x_var+x_mean^2 x_arr=xcorr(x);tau = (-length(x)+1:length(x)-1)/*****;5.随机过程通过线性系统- 随机信号分析实验报告%输入信号的频谱和功率谱x_mag=abs(fft(x,2048)); f=(0:2047)******/2048; x_cm=abs(fft(x_arr,2048));%画输入信号的时域,频谱图和频谱图subplot 221 plot(t,x)title('输入信号x') xlabel('t/s'); ylabel('x(t)'); grid on; subplot 222 plot(tau,x_arr)title('输入信号x的自相关系数') xlabel('\tau/s')ylabel('R_x_1(\tau)') subplot 223plot(f(1:length(f)/2),x_mag(1:length(f)/2)) title('输入信号x的频谱') xlabel('f/Hz') ylabel('幅值') grid on; subplot 224 plot(f(1:length(f)/2),x_cm(1:length(f)/2)) title('输入信号x的功率谱') xlabel('f/Hz')ylabel('S_x_1（f)')%---------------高通滤波器的频谱和相频特性-----------------------------% [B,A]=butter(20,4500/(*****/2),'high'); figure(2)freqz(B,A,2048);title('高通滤波器的频率特性曲线') grid on%---------------输入信号通过高通滤波器后的信号y1-----------------------% y1=filter(B,A,x);%信号y1的均值，方差，均方值和自相关系数y1_mean = mean(y1) y1_var=var(y1)y1_st=y1_var+y1_mean^2 y1_arr=xcorr(y1);%信号y1的频谱和功率谱y1_mag=abs(fft(y1,2048)); y1_cm=abs(fft(y1_arr,2048));%画出信号y1的时域图，频谱图和功率谱图figure(3) subplot 2215.随机过程通过线性系统- 随机信号分析实验报告plot(t,y1)title('通过高通滤波器后的信号y1') xlabel('t/s'); ylabel('y_1(t)'); subplot 222plot(tau,y1_arr)title('信号y1的自相关系数') xlabel('\tau/s')ylabel('R_y_1(\tau)') subplot 223plot(f(1:length(f)/2),y1_mag(1:length(f)/2)) title('信号y1的频谱') xlabel('f/Hz') ylabel('幅值') subplot 224plot(f(1:length(f)/2),y1_cm(1:length(f)/2)) title('信号y1的功率谱') xlabel('f/Hz') ylabel('S_y_1(f)')五、程序输出结果输入信号x5***-*****0-500-0.01输入信号x的自相关系数-50.005t/s输入信号x的频谱0.01Rx1( )x(t)200Sx1（f)321000.005 /s4输入信号x的功率谱-0.0050.01150幅值***-*****20004000f/Hz60008000020004000f/Hz***-*****5.随机过程通过线性系统- 随机信号分析实验报告高通滤波器的频率特性曲线Magnitude (dB)0.10.20.30.40.50.60.70.8Normalized Frequency ( rad/sample) 0.91Phase (degrees)-1000-20000.10.20.30.40.50.60.70.8Normalized Frequency ( rad/sample) 0.91通过高通滤波器后的信号y150-5500信号y1的自相关系数Ry1( )0.005t/s信号y1的频谱0.01y1(t)0-500-0.01x 10-0.005400.005 /s信号y1的功率谱0.01500020004000f/Hz60008000Sy1(f)幅值***-*****20004000f/Hz60008000六、实验结果分析1、从输入信号x(t)及输出信号y1(t)的频谱可知，输入信号经高通滤波器后，仅保留了高频成分；2、从输入信号x(t)及输出信号y1(t)的图形可知，y1(t)的图形是输入信号x(t)的包络，即高通滤波器把输入信号x(t)的低频成分滤除了，仅保留了高频成分。
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实验名称线性系统对随机过程的响应
一、实验目的
通过本仿真实验了解正态白色噪声随机过程通过线性系统后相关函数以及功率谱的变化；培养计算机编程能力。
二、实验平台
MATLAB R2014a
三、实验要求
(1)运用正态分布随机数产生函数产生均值为m=0,根方差σ=1的白色正态分布
序列{u(n)|n=1,2,…,2000}，画出噪声u(n)的波形图。
(2)设离散时间线性系统的差分方程为
x(n)=u(n)-0.36u(n-1)+0.85u(n-2)(n=3,4,…,2000).
画出x(n)的波形图。
(3)随机过程x(n)的理论上的功率谱函数为
在[0,π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图。
(4)根据步骤二产生的数据序列x(n)计算相关函数的估计值
与理论值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0的差异。
(5)根据相关函数的估计值对随机过程的功率谱密度函数进行估计
在[0，π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图，比较其与理论上的功率谱密度函数S(w)的差异。
(6)依照实验1的方法统计数据x(n)在不同区间出现的概率，计算其理论概率，
观察二者是否基本一致。
四、实验代码及结果
A、运用正态分布随机数产生函数产生均值为m=0,根方差σ=1的白色正态分布序列{u(n)|n=1,2,…,2000}，画出噪声u(n)的波形图。
代码实现：
波形图：
分析：运用正态分布随机数产生函数产生均值为0，根方差σ=1的白色噪声样本序列。
B、设离散时间线性系统的差分方程为
x(n)=u(n)-0.36u(n-1)+0.85u(n-2)(n=3,4,…,2000).
画出x(n)的波形图。
代码实现：
波形图：
分析：正态随机序列通过离散时间线性系统生成的仍是正态随机序列。
C、随机过程x(n)的理论上的功率谱函数为
在[0,π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图。
代码实现：
波形图：
分析：虽然看到的波形是连续的，但是是由于横坐标范围过大，采样点过密，将横轴范围缩小至[0,100]后，可看到离散的功率谱采样点。
D、根据步骤二产生的数据序列x(n)计算相关函数的估计值
与理论值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0的差异。
代码实现：
注：由于MATLAB中矩阵计数从1开始，所以m取1-6，Rx(m)=sum/(1999-m)。
运行结果及波形图：
分析：Rx(0)到Rx(5)实验值与理论值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0存在一定的差异，从波形图中[400,500]区间处也看到误差的存在。
E、根据相关函数的估计值对随机过程的功率谱密度函数进行估计
在[0，π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图，比较其与理论上的功率谱密度函数S(w)的差异。
代码实现：
波形图：
分析：采样计算得到的功率谱密度函数和理论上的功率谱密度函数相比，没有完全为偶对称。
数据的概率分布属于大量统计的结果，没有理论上那样均匀。
F、依照实验1的方法统计数据x(n)在不同区间出现的概率，计算其理论概率，
观察二者是否基本一致。
代码实现：
（注：计算x(n)的区间概率理论值，首先需要计算x(n)的根方差，根据差分方程得到根方差约为1.262.）
分析：统计值与理论值相比较发现，x(n)函数在区间[-∞,-1][-1,0][0,1][1,∞]四个区间的概率基本上一致。
五、实验体会
本次实验验证了正态随机序列通过离散线性系统仍为正态随机序列。
通过功率谱密度理论值与统计值的对比发现，存在一定的误差，但比较相近。
从采样统计和理论意义上的功率比较、区间概率比较，明白了统计学意义与理论值始终存在误差，但在实际工程应用中对于理论计算比较复杂的一些情
况，可以根据大量的数据统计来近似分析相关的随机过程，而且具有可靠性。