随机信号通过线性系统的仿真
第4章 随机过程通过线性系统分析
上述积分可用极限形式表示：
、 固定时， 为确定的常用，上式是正态变量 的线性组合，而正态的线性组合还是正态分布。
2．高斯过程的均值与方差近似计算
对于高斯过程，只要均值与方差确定，则整个分布函数便确定。
由于
取定一个合适的 ，利用
可求出求出 均值与方差的近似值。
作业：P1515.1，5.2，5.7，5.8，5.9，5.11，5.14，5.15，5.26，5.28。
等效原则：理想系统与实际系统的输出平均功率相等。
例：设理想输出为 ，理想系统是矩形传输函数
为等效带宽。
如何确定 ？
依等效原则，理想系统的平均功率为 ，而
所以
称 为等效噪声带宽。
3．白噪声通过理想低通线性系统
在实际应用中，设
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
但求输入的概率分布不是一件容易的事为使问题得到简化一般我们假设高斯随机过程通过线性系统定理
第4章随机过程通过线性系统分析
引言：信号与系统的传统理论方法的基础是卷积运算。如图，
图1：系统的物理示意图
是系统的输入， 是系统的输出， 是系统的冲激响应函数
其中 ，为冲激函数。
对于线性系统，系统的数学运算为：
相关时间为
4．白噪声通过理想带通线性系统
理想带通线性系统具有理想矩形频率特性
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
可写成
称为相关函数的包络。
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
相关时间为
5．白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统
随机信号通过线性系统的分析
信息与通信工程学院实验报告（软件仿真性实验）课程名称：随机信号分析实验题目：随机信号通过线性系统的分析 指导教师：陈友兴班级： 学号： 学生姓名：一、 实验目的和任务1、掌握随机信号通过线性系统的分析方法2．掌握系统输出信号的数字特征和功率谱密度的求解二、 实验内容及原理实验内容：1．产生一信号为123()sin 2sin 2sin 2()X t f t f t f t N t πππ=+++，其中1f nkHz =(n 为学号)，22f nkHz =，33f nkHz =，()N t 为高斯白噪声；求出()X t 的时域信号、频谱、自相关、功率谱密度、期望、方差等。
2.设计一FIR 低通滤波器()h t ，通带截止频率为1f ，阻带截止频率为2f ，通带最大衰减为40dB ，阻带最小衰减为1dB 。
3. 将信号()X t 通过()h t 得到响应()Y t ，求出()Y t 的时域信号、频谱、自相关、功率谱密度、期望、方差等，并分析与()X t 性能参数的差异；实验原理：1、线性系统的时域分析方法系统输入和输出的关系为：ττ-τ=ττ-τ==⎰⎰∞∞-∞∞-d )t (x )(h d )t (h )(x )t (h *)t (x )t (y输出期望：∑∞===0m X Y )m (h m )]t (Y [E m输出的自相关函数：)(h )(h )(R )(R X Y τ*τ-*τ=τ输出平均功率：⎰⎰∞∞-∞∞--=τdvdu )u (h )v (h )u v (R )(R X Y 互相关：)()()()()(ττσσσττh R d h R R X X XY *=-=⎰∞∞-2、线性系统的频域分析方法输入与输出的关系：)(H )(X )(Y ωω=ω 输出的功率谱：2X X Y )(H )(S )(H )(H )(S )(S ωω=ωω-ω=ω功率谱：)(H )(S )(S X XY ωω=ω 三、 实验步骤或程序流程1. 产生三个正弦信号和高斯白噪声叠加的信号，求叠加信号的均值、方差、自相关函数，计算功率谱密度以及傅里叶变换；绘出叠加信号时域特性曲线、傅里叶变换特性曲线、自相关函数曲线、功率谱密度曲线；2. 设计低通滤波器；3. 分析滤波后信号时域、频域的各参数的特性。
实验三 随机过程通过线性系统
实验名称线性系统对随机过程的响应一、实验目的通过本仿真实验了解正态白色噪声随机过程通过线性系统后相关函数以及功率谱的变化；培养计算机编程能力。
二、实验平台MATLAB R2014a三、实验要求(1)运用正态分布随机数产生函数产生均值为m=0,根方差σ=1的白色正态分布序列{u(n)|n=1,2,…,2000}，画出噪声u(n)的波形图。
(2)设离散时间线性系统的差分方程为x(n)=u(n)-0.36u(n-1)+0.85u(n-2)(n=3,4,…,2000).画出x(n)的波形图。
(3)随机过程x(n)的理论上的功率谱函数为在[0,π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图。
(4)根据步骤二产生的数据序列x(n)计算相关函数的估计值与理论值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0的差异。
(5)根据相关函数的估计值对随机过程的功率谱密度函数进行估计在[0，π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图，比较其与理论上的功率谱密度函数S(w)的差异。
(6)依照实验1的方法统计数据x(n)在不同区间出现的概率，计算其理论概率，观察二者是否基本一致。
四、实验代码及结果A、运用正态分布随机数产生函数产生均值为m=0,根方差σ=1的白色正态分布序列{u(n)|n=1,2,…,2000}，画出噪声u(n)的波形图。
代码实现：波形图：分析：运用正态分布随机数产生函数产生均值为0，根方差σ=1的白色噪声样本序列。
B、设离散时间线性系统的差分方程为x(n)=u(n)-0.36u(n-1)+0.85u(n-2)(n=3,4,…,2000).画出x(n)的波形图。
代码实现：波形图：分析：正态随机序列通过离散时间线性系统生成的仍是正态随机序列。
C、随机过程x(n)的理论上的功率谱函数为在[0,π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图。
随机过程通过线性系统
随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论 中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络） 后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线 性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应 vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即
度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
E［ξo(t)］= e[h( ) ξi(t-τ)dτ ]
＝
h(
0
)E[1[i
(t
)]d
a
h( )d
0
式中利用了平稳性假设E［ξi(t-τ)］=E［ξi(t)］=a(常数)。 又因为
H(W)=
h(t)e
jwtd
t
0
求得
H(0)= h(t)dt
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1 无关。
若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平 稳的。
3. 输出过程ξo(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
p0(w)
R0
(
)e
jw
d
0
[h(a)h(
0
)Ri (
)dad ]e jwrd
噪声平均功率。理想低通的传输特性为
H(ω)=
K0e-jwt 0
w wH
其他
解 由上式得|H(ω)|2=
K02
，|ω|≤ωH。输出功率谱密度为
随机信号分析实验报告(基于MATLAB语言)
随机信号分析实验报告——基于MATLAB语言姓名：_班级：_学号：专业：目录实验一随机序列的产生及数字特征估计 (2)实验目的 (2)实验原理 (2)实验内容及实验结果 (3)实验小结 (6)实验二随机过程的模拟与数字特征 (7)实验目的 (7)实验原理 (7)实验内容及实验结果 (8)实验小结 (11)实验三随机过程通过线性系统的分析 (12)实验目的 (12)实验原理 (12)实验内容及实验结果 (13)实验小结 (17)实验四窄带随机过程的产生及其性能测试 (18)实验目的 (18)实验原理 (18)实验内容及实验结果 (18)实验小结 (23)实验总结 (23)实验一随机序列的产生及数字特征估计实验目的1.学习和掌握随机数的产生方法。
2.实现随机序列的数字特征估计。
实验原理1.随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。
进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布， U(0,1)。
即实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：，序列为产生的(0,1)均匀分布随机数。
定理1.1若随机变量X 具有连续分布函数，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有2.MATLAB中产生随机序列的函数(1)(0,1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。
(2)正态分布的随机序列函数：randn用法：x = randn(m,n)功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。
通信原理 3-5平稳随机过程通过线性系统
输出o(t)的统计特性
2
第3章 随机过程
1.输出过程o(t)的均值 对下式两边取统计平均：
0 (t ) h( ) i (t )d
得到
E[ 0 (t )] E
h( ) iFra bibliotek(t )d
h( )E[i (t )]d
H ( ) (1 e jT ). j 2 cos
所以
2
T
2
e
j
t
2
. j
pY ( ) H ( ) p X ( ) 2(1 cos T ). 2 p X ( )
8
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
R0 (t1 , t1 )
h( ) i (t1 )d h( ) i (t1 )d
h( )h( ) E[ i (t1 ) i (t1 )]dd
设输入过程是平稳的 ，则有
E[ i (t )] E[ i (t )] a
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出 过程的均值和时间无关。
3
第3章 随机过程
2. 输出过程o(t)的自相关函数：
0 (t ) lim
由于已假设i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项
在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程
k 0
(t
k 0 i
实验三 随机信号通过线性时不变系统
实验三 随机信号通过线性系统的分析一、实验目的1 模拟产生特定相关函数的连续随机序列或者离散的随机序列，考察其特性。
2 模拟高斯白噪声环境下信号通过系统的问题，实现低通滤波。
3 掌握系统输出信号的数字特征和功率谱密度的求解。
二、实验设备1计算机2 Matlab 软件三、实验原理随机信号通过线性系统分析的中心问题是：给定系统的输入函数（或统计特性：均值和 自相关函数）和线性系统的特性，求输出函数。
如下图所示，H 为线性变换，信号X (t )为系统输入， Y (t )为系统的输出，它也是随机信号。
图3.1 随机信号通过系统的示意图并且满足： H [X (t )] = Y (t )在时域：若X(t)时域平稳，系统冲激响应为h(t),则系统输入和输出的关系为：()()*()()()()()Y t X t h t X h t d h X t d ττττττ∞∞-∞-∞==-=-⎰⎰ 输出期望：∑∞===0m XY )m (h m )]t (Y [E m 输出的自相关函数：)(h )(h )(R )(R X Y τ*τ-*τ=τ输出平均功率：⎰⎰∞∞-∞∞--=τdvdu )u (h )v (h )u v (R )(R X Y 互相关：)()()()()(ττσσσττh R d h R R X X XY *=-=⎰∞∞-在频域：输入与输出的关系：)(H )(X )(Y ωω=ω输出的功率谱：2X X Y )(H )(S )(H )(H )(S )(S ωω=ωω-ω=ω功率谱：)(H )(S )(S X XY ωω=ω四、实验内容与步骤1已知平稳随机过程X(n)的相关函数为：5),()(22==σδσm m R ； 线性系统的单位冲击响应为111,0,)(+-=≥=实验者学号后两位r k r k h k 。
编写程序求：1）输入信号的功率谱密度、期望、方差、平均功率；2）利用时域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；3）利用频域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；4）利用频域分析法或时域分析法求解输入输出的互相关函数、互功率谱密度。
随机过程通过线性系统
▪ 频域： 若 h(t)dt 物理可实现，且x(t)有界，则有：
Y ( ) H ( )X ( ) 。 所以对于确定信号，总可以用数学式或列表形式给定其 时域的描述，或用变换的方式给出其“频域”的表述，而且 对于其通过线性时不变系统的表述为：
x(t)
X ()
h(t )
H ( )
e
H ( ) 2 d
0
H ( 0 ) 2
e
o
0
o
e 表示：系统对噪声功率谱的选择性。
线性系统的通频带宽与等效噪声带宽 e 的关系
线性系统通频带的一般定义：系统频率特性曲线半功
率点的通频带宽 （也称为三分贝带宽）。其表示系
统对有用信号的选择性。
因为 ，e 都取决于系统的传输函数H ( )，
E[Y (t )] m X h( )d m X H (0) ，其中 h( )d H (0)
➢ 输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。
2. 系统输出Y(t) 的自相关函数:
RY (t, t ) E[Y (t )Y (t )]
h( )h( )E[ X (t )X (t )]dd
3．输入X(t) 与输出Y(t) 的互相关函数和互谱密度
RXY ( ) RX 1Y1 ( ) RX 1Y2 ( ) RX 2Y1 ( ) RX2Y 2 ( )
G XY ( ) G X 1Y1 ( ) G X 1Y2 ( ) G X 2Y1 ( ) G X2Y 2 ( )
四、白噪声通过线性系统
RXY ( ) RX ( ) h( ) (N 0 / 2) ( ) h( ) (N 0 / 2)h( )
即有
h( )
2 N0
RXY ( )
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实验报告
实验课程：随机信号分析实验项目：随机信号通过线性系统的仿真学员姓名：学号：
专业班次：队别：
实验日期：实验成绩：
教员签字：
内容要求：一、实验目的; 二、实验内容或任务；三、实验仪器设备（名称、型号、精度、数量）；四、实验原理与线路图；五、实验步骤与结果记录（数据、图表等）；六、实验结果分析与结论。
一、实验目的
（1）掌握对随机过程通过线性系统后的统计特性的分析方法。
（2）掌握典型系统对随机过程的影响。
二、实验内容
（1）白噪声通过线性系统的仿真和分析；
（2）高斯过程通过线性系统的仿真和分析。
三、实验仪器和设备
（1）计算机一台。
（2）Matlab软件。
四、实验原理
随机信号通过线性系统分析的中心问题是：给定系统的输入函数（或统计特性：均值和自相关函数）和线性系统的特性，求输出函数。
设L为线性变换，信
号)
(t
(t
Y为系统的输出，也是随机信号。
即有：X为系统输入，)
t
L=
Y
X
)(
)]
(
[t
众所周知，LTI系统又可以表示为
=)
*
(
y⎰+∞∞--
)(
)(
)(
t
(
)
=
u
h
u
x
t
du
t
y
t
x
其中)]
t
hδ
L
=是系统的冲激响应。
如果考虑傅里叶变换，令
[
(
)
(t
)()(),()(),()(ωωωj Y t y j X t x j H t h ↔↔↔
则
)()()(ωωωj H j X j Y =
下面来分析输出随机信号的均值和相关函数。
依定理5.1，对于任何稳定的线性系统有
{}{})]([)]([t X E L t X L E =
依定理5.2，如果)(t X 为平稳过程，)(t h 为实LTI 系统，)()()(t h t X t Y *=,则)()(t Y T X 和是联合广义平稳的，并且有
)
()()()()
()()()
()()()
0(ττττττττττ-**=-*=*==h h R R h R R h R R j H m m X Y X XY X YX X Y 其中，dt t h j H j H ⎰+∞∞-===)()()0(0ωω，是系统的直流增益。
进一步得到推论：若系统的频率响应函数为)(ωj H ，则其功率谱与互功率谱关系如下：
)()()()()()()
()()(2
ωωωωωωωωωj H S S j H S S j H S S X XY X Y X YX *===
五、实验步骤与结果记录
在本实验中我利用simulink 模拟的方法分析了随机信号通过LTI 系统的具体过程:图1 是用MATLAB 的sumulink 模拟白噪声通过图1 的RC 电路，用示波器观察输入和输出的波形，改变RC
的值，使电路时间常数改变，观察输出波形的变化。
图1 实验RC 电路
对于上述低通RC 滤波器， 用传递函数描述，令RC
1=α，则有 αα
+=S S H )(
在 Similink 里，有时域连续系统的传递函数模块，如图2所示：
图2 传递函数参数设定窗口
在上图中，三个选项分别为“分母系数”、“分子系数”和“误差限制”，根据上面的分析， 可知
αα
+=S S H )(，RC
1=α 这里的“分母系数”、“分子系数”分别对应)(S H 分子中的α和分母中的S 的系数以及α的值。
在仿真中，可以根据实际情况自由选择。
比如可以选取1=α，这样便有
1
1)(+=S S H 输入的白噪声可以直接调用Simulink 里面的“带限白噪声”模块产生
图3 “带限白噪声”参数设定窗口
上述的带限白噪声模块中Seed 参数代表了随机数发生器初始化的状态，可以自行设定。
下面是实验的原理框图：
1
s +1
Trans fer Fcn1
s +0.1
0.1
Trans
fer Fcn Scope3
Scope2
Scope1
Band-Limited
White Nois e
图4 实验框图
实验观察到的波形如下所示:
图5 原始白噪声信号
图6 输出信号波形）（1
1)(+=S S H
图7 输出信号波形
）（1
0.1.0)(+=S S H 高斯信号通过线性系统可以按照同样的方法进行仿真。
实验框图如下所示 1
s +1
Trans fer Fcn11
s
+1Trans fer Fcn Sine Wave Scope5
Scope4
Scope3
Scope2
Scope1
Gaus s ian
Gaus s ian Nois e
Generator
图8 高斯信号通过LTI 系统框图
该实验仿真了高斯信号通过低通线性系统的过程，以及正弦信号加高斯信号通过低通线性系统的过程，实验结果如下图所示
图9 原始高斯信号
图10 高斯信号通过低通滤波器输出波形）（1
1)(+=S S H
图11 正弦信号波形
图12 高斯加正弦信号
图13 高斯加正弦信号通过低通滤波器
通过观察系统输出信号的时域波形可以看出，低通LTI系统滤除了输入信号的高频成分。
对低频正弦信号而言，高斯信号包含了大量的高频成分，他们叠加在一起表现为正弦信号附带显著的毛刺。
将他们作为低通滤波器的输入信号，输出信号的毛刺得到了明显平滑，显现了滤波的功能。
六、实验总结。