随机信号通过线性系统的仿真

实验报告
实验课程：随机信号分析实验项目：随机信号通过线性系统的仿真学员姓名：学号：
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实验日期：实验成绩：
教员签字：
内容要求：一、实验目的; 二、实验内容或任务；三、实验仪器设备（名称、型号、精度、数量）；四、实验原理与线路图；五、实验步骤与结果记录（数据、图表等）；六、实验结果分析与结论。

一、实验目的
（1）掌握对随机过程通过线性系统后的统计特性的分析方法。

（2）掌握典型系统对随机过程的影响。

二、实验内容
（1）白噪声通过线性系统的仿真和分析；
（2）高斯过程通过线性系统的仿真和分析。

三、实验仪器和设备
（1）计算机一台。

（2）Matlab软件。

四、实验原理
随机信号通过线性系统分析的中心问题是：给定系统的输入函数（或统计特性：均值和自相关函数）和线性系统的特性，求输出函数。

设L为线性变换，信
号)
(t
(t
Y为系统的输出，也是随机信号。

即有：X为系统输入，)
t
L=
Y
X
)(
)]
(
[t
众所周知，LTI系统又可以表示为
=)
*
(
y⎰+∞∞--
)(
)(
)(
t
(
)
=
u
h
u
x
t
du
t
y
t
x
其中)]
t
hδ
L
=是系统的冲激响应。

如果考虑傅里叶变换，令
[
(
)
(t
)()(),()(),()(ωωωj Y t y j X t x j H t h ↔↔↔
则
)()()(ωωωj H j X j Y =
下面来分析输出随机信号的均值和相关函数。

依定理5.1，对于任何稳定的线性系统有
{}{})]([)]([t X E L t X L E =
依定理5.2，如果)(t X 为平稳过程，)(t h 为实LTI 系统，)()()(t h t X t Y *=,则)()(t Y T X 和是联合广义平稳的，并且有
)
()()()()
()()()
()()()
0(ττττττττττ-**=-*=*==h h R R h R R h R R j H m m X Y X XY X YX X Y 其中，dt t h j H j H ⎰+∞∞-===)()()0(0ωω，是系统的直流增益。

进一步得到推论：若系统的频率响应函数为)(ωj H ，则其功率谱与互功率谱关系如下：
)()()()()()()
()()(2
ωωωωωωωωωj H S S j H S S j H S S X XY X Y X YX *===
五、实验步骤与结果记录
在本实验中我利用simulink 模拟的方法分析了随机信号通过LTI 系统的具体过程:图1 是用MATLAB 的sumulink 模拟白噪声通过图1 的RC 电路，用示波器观察输入和输出的波形，改变RC
的值，使电路时间常数改变，观察输出波形的变化。

图1 实验RC 电路
对于上述低通RC 滤波器， 用传递函数描述，令RC
1=α，则有 αα
+=S S H )(
在 Similink 里，有时域连续系统的传递函数模块，如图2所示：
图2 传递函数参数设定窗口
在上图中，三个选项分别为“分母系数”、“分子系数”和“误差限制”，根据上面的分析， 可知
αα
+=S S H )(，RC
1=α 这里的“分母系数”、“分子系数”分别对应)(S H 分子中的α和分母中的S 的系数以及α的值。

在仿真中，可以根据实际情况自由选择。

比如可以选取1=α，这样便有
1
1)(+=S S H 输入的白噪声可以直接调用Simulink 里面的“带限白噪声”模块产生
图3 “带限白噪声”参数设定窗口
上述的带限白噪声模块中Seed 参数代表了随机数发生器初始化的状态，可以自行设定。

下面是实验的原理框图：
1
s +1
Trans fer Fcn1
s +0.1
0.1
Trans
fer Fcn Scope3
Scope2
Scope1
Band-Limited
White Nois e
图4 实验框图
实验观察到的波形如下所示:
图5 原始白噪声信号
图6 输出信号波形）（1
1)(+=S S H
图7 输出信号波形
）（1
0.1.0)(+=S S H 高斯信号通过线性系统可以按照同样的方法进行仿真。

实验框图如下所示 1
s +1
Trans fer Fcn11
s
+1Trans fer Fcn Sine Wave Scope5
Scope4
Scope3
Scope2
Scope1
Gaus s ian
Gaus s ian Nois e
Generator
图8 高斯信号通过LTI 系统框图
该实验仿真了高斯信号通过低通线性系统的过程，以及正弦信号加高斯信号通过低通线性系统的过程，实验结果如下图所示
图9 原始高斯信号
图10 高斯信号通过低通滤波器输出波形）（1
1)(+=S S H
图11 正弦信号波形
图12 高斯加正弦信号
图13 高斯加正弦信号通过低通滤波器
通过观察系统输出信号的时域波形可以看出，低通LTI系统滤除了输入信号的高频成分。

对低频正弦信号而言，高斯信号包含了大量的高频成分，他们叠加在一起表现为正弦信号附带显著的毛刺。

将他们作为低通滤波器的输入信号，输出信号的毛刺得到了明显平滑，显现了滤波的功能。

六、实验总结。