随机过程通过线性系统

GYX ( ) G X ( )H ( )
❖ 当X(t)为白噪声，即GX(ω)=N0/2时，则
GXY ( )
N0 2
H ( ) ，或
GYX ( )
N0 2
H ( )
上式说明：如果能设法获得GXY(ω) 或GYX(ω) ，则可估计 线性系统的传输函数 H(ω) 。
平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析小结：
设白噪声的功率谱密度为GX ( ) N0 / 2, ( , ) ，
线性时不变系统的传输函数为H() ，则系统输出 Y (t ) 的 ， 功率谱密度为:
GY ( )
N0 2
H( ) 2 ,
( , )。 ― 双边功率谱密度
，
FY ( ) N0 H( ) 2 , (0, )。 ― 单边功率谱密度
随机信号——函数值无法用数学式或列表形式确切的表述。
其原因是：
1.随机性，即任何时刻点上的取值不能预先确定。因为
随机过程（信号）是随时间或依时序组成的每个时间点上
的随机变量的集合，所以随机信号每个时间点上对应的函
数值都是一个随机变量。即便通过一个具体的实验所得到
的确定函数，也只能是该随机过程的一个样本x(t函,数i )
由 E[Y(t)] ≡常数和 RY(τ) 可知： 平稳随机过程通过线性时不变系统的输出过程也是平稳的。
且有：
E[Y (t )] m X H (0)
RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
RY ( ) h( )h( )RX ( )dd
h( )[
h(
)RX
(
)d ]d
3．输入X(t) 与输出Y(t) 的互相关函数和互谱密度
RXY ( ) RX 1Y1 ( ) RX 1Y2 ( ) RX 2Y1 ( ) RX2Y 2 ( )
G XY ( ) G X 1Y1 ( ) G X 1Y2 ( ) G X 2Y1 ( ) G X2Y 2 ( )
四、白噪声通过线性系统
问题的提出：用统计的方法如何来具体地表征随机过 程通过线性时不变系统的行为，从中我们能获得什么结 论？
一、平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析
1．系统输出Y(t)的均值:
Y (t ) h( )X (t )d
E[Y (t)] mX h( )d mX H(0) ，其中 h( )d H(0)
GY ( ) H ( ) 2 GX ( )
RY ( )
1
2
H
(
)
2
GX
(
)e
j
d
E[Y 2 (t )]
RY (0)
1
2
百度文库
H
(
)
2
G
X
(
)d
GXY ( ) GX ( )H ( )
GYX ( ) GX ( )H ( )
三、多个随机过程之和通过线性系统
X( t ) X1 ( t ) X2 ( t )
RY
( )
1
2
GY
(
)e
j
d
1
2
H
(
)
2
G
X
(
)e
j
d
➢ 系统的输出的均方值或平均功率
E[Y
2(t)]
RY
(0)
1
2
H
(
)
2
G
X
(
)d
2. 系统输入与输出之间的互谱密度
RXY ( ) RX ( ) h( ) RYX ( ) RX ( ) h( )
由付氏变换性质可得:
GXY ( ) GX ( )H ( )
h( t )
Y( t ) Y1 ( t ) Y2 ( t )
设 X1(t) 和 X2(t)单独平稳，且联合平稳，则线性系统的输 出Y(t)的特性为： 1．输出Y(t)的均值
mY E[Y (t )] mY 1 mY 2
2．输出Y(t)的自相关函数和功率谱密度
RY ( ) RY 1 ( ) RY 2 ( ) RY 1Y 2 ( ) RY 2Y 1 ( )
RX 1 ( ) RX 2 ( ) RX 1 X 2 ( ) RX 2 X 1 ( ) h( ) h( )
GY () GX 1 () GX 2 () GX 1 X 2 () GX 2 X 1 () H() 2
推论：
➢ 若X1(t) 和 X2(t)互不相关，则
RY ( ) RX 1 ( ) RX 2 ( ) 2m X 1 m X 2 h( ) h( )
第五章 随机过程通过线性系统
确定信号通过线性时不变系统，我们已经很熟悉。 例如：
x(t)
h(t)
y(t )
确知信号x(t), 线性时不变系统h(t)：
时域：
非因果系统： y(t ) h( )x(t )d
因果系统： y(t) h( )x(t )d
0
▪ 频域： 若 h(t)dt 物理可实现，且x(t)有界，则有：
Y () H()X () 。 所以对于确定信号，总可以用数学式或列表形式给定其 时域的描述，或用变换的方式给出其“频域”的表述，而且 对于其通过线性时不变系统的表述为：
x(t)
X ()
h(t )
H ()
y(t) x(t) h(t)
Y() X ()H()
问题：随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、输出以 及与系统函数间的关系如何？
GY ( )
h( )e j d h( )e j d
0
0
[RX
(
)e
j
]d
H * ( )H ( )G X ( ) H ( ) 2 G X ( )
其中，|H(ω)|2称为系统的功率传输函数。所以， ➢ 系统的输出功率=系统的输入功率× |H(ω)| 2。
➢ 系统输出Y(t)的自相关函数
➢ 系统输出功率谱密度不再是均匀的，其完全取决于 系统的频率特性H(ω)。系统输出Y(t)也不再是白噪声。
系统输出Y(t) 的平均功率为:
1
RY (0) 2
N 0 H ( ) 2 d
2
N 0 H ( ) 2 d
2 0
➢ GY(ω)、 RY(τ)的求解都需要知道|H(ω)|，因此 |H(ω)| 越复杂， GY(ω)和 RY(τ)的计算就越困难。
X(t )
GX ( )
H( )
Y(t )
GY ( )
GX(ω) ：输入平稳随机过程X(t)的功率谱密度; H(ω) ： 线性时不变系统的传输函数;
|H(ω)|2 ：线性时不变系统的功率传输函数; GY(ω) ：输出平稳随机过程Y(t)的功率谱密度； GXY(ω) ：输入X(t)与输出平稳随机过程Y(t)的互谱密度。
GY ()
GX
1
( )
GX
2
( )
4m X
1
m
X
2
( )
H() 2
➢ 若X1(t) 和 X2(t)互不相关，且均值为零，则
RY ( ) RX 1 ( ) RX 2 ( ) h( ) h( ) RY 1 ( ) RY 2 ( ) GY () GX 1 () GX 2 () H() 2 GY 1 ( ) GY 2 ( )
h( )[h(
)
RX
(
)]d
h( ) h( ) RX ( )
3. 系统输入与输出之间的互相关函数:
RXY (t, t ) E[ X (t )Y (t )] E[ X (t )_h( )X (t )d ]
E[
X
(
t
)
X
(t
)]h( )d
R X
(
)]h( )d
RXY ( ) RX ( ) h( ); RYX ( ) RX ( ) h( )
注意：物理可实现系统的条件。
二、平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析
1．系统输出Y(t)的功率谱密度
GY ( )
RY
(
)e
j
d
令 ，则
d
d
0
0 [h( )h( )RX
(
)e j ]d
，
令： ，则 d d ,
RXY ( ) RX ( ) h( ) 同理可证，
RYX ( ) RX ( ) h( ) RX ( ) h( )
RY ( ) RX ( ) h( ) h( ) RXY ( ) h( ) RYX ( ) h( )
当X(t)为白噪声，即 RX ( ) (N0 / 2) (t) 时，则
，
它也无法表征整个随机过程的行为 。
2.波及性，随机过程可以认为是某个随机系统中某一个
端口的输出，各时间点上随机变量的取值往往具有前后的
波及影响，既不同时间点上随机变量间的关联性。这种波
及或关联性是由随机系统的各种惯性决定的。
针对随机信号所具有的随机性和波及性，可 用统计方法来描述其随时间变化的函数关系：
RXY ( ) RX ( ) h( ) (N 0 / 2) ( ) h( ) (N0 / 2)h( )
即有
h( )
2 N0
RXY ( )
➢ 该式说明：如果能用互相关函数测量设备测得 RXY ( ) ， 则可用功率谱密度为 N0 / 2 的白噪声激励线性系统来估计 该线性系统的冲击响应。
X(t)
RXY ( ) 0 RX ( )h( )d
注意：卷积关系不再成立。
平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结：
X(t )
h(t )
Y(t )
X(t)：平稳随机过程
h(t)：线性时不变系统的冲击响应
E[Y (t )] m X H (0)
RY ( ) RX ( ) h( ) h( ) RXY ( ) h( ) RYX ( ) h( )
RX (t1 , t2 ) Ex(t1 )x(t2 ) RX ( ), t2 t1
E X 2 (t )
由于随机过程的自相关函数，自协方差函数绝对可积， 故其存在Z变换，或付氏变换。
物理解释：能量无限的信号，一般功率有限。
由此可知：随机过程只能用统计的方法来表征，不存 在频谱，但可用功率谱描述。
H ( ) 2
e
H ( ) 2 d
0
H (0 ) 2
e
o
0
o
e表示：系统对噪声功率谱的选择性。
线性系统的通频带宽与等效噪声带宽 e 的关系
线性系统通频带的一般定义：系统频率特性曲线半功
线性时不变系统 h(t) ：
时域表示：
非因果系统： y(t,i ) h( )x(t ,i )d
因果系统： y(t,i ) h( )x(t ,i )d
0
即，系统输出 y(t,i ) 也只能是随机过程的一个样本且有界。
其无法代表系统输出随机过程的全体。只有当每个输入样本
x(t, ) 都是有界的，才有
e e
e
则实际系统的等效噪声带宽 e 定义为
H ( ) 2 d
e 0 H (0) 2
H() 2
0
e
设理想带通线性系统的功率传输函数为
H I ( ) 2
H
(
0
)
2
,
0 ,
0 e / 2 0 e / 2
其中， 0为带通线性系统的中心频率，则实际系统的等效
噪声带宽为 e
1．等效噪声带宽
等效思想：对于理想系统和实际系统，当输入相同的 白噪声时，用输出噪声平均功率相等的方法，寻求一 个在频带中心的功率传输函数值与实际系统相等的， 且具有矩形传输函数特性的理想系统来代替实际系统。 以简化系统分析中的运算。
设理想低通线性系统的功率传输函数为
H I ( ) 2
H (0) 2 , 0,
RX
(
)
N0 2
( )
Y (t)
h(t )
相
关
器
RXY ( )
4．物理可实现(因果)系统的响应
物理可实现系统的条件：
h(t ) 0, t 0
将该条件代入上述关系式，可得
因果性
E[Y (t)] mX h( )d mX H(0)
0
RY ( ) 0 0 h( )h( )RX ( )dd
1. 对于每一时间点上的函数值是随机变量的特 征，可用一维统计特性来描述：
函数值的概率密度、均值、方差等； 2. 对于各时间点随机变量的波及性，用多维统 计特性来描述：
函数值的多维概率密度、相关函数等。
随机过程通过线性时不变系统的表示
随机过程的一个样本 x(t,i ) , 若 x(t,i )是有界的，则对于
Y (t ) h( )X (t )d
▪频域表示：
∵ 随机过程X(t)是无限时宽，无限能量，非周期的, ∴ X(t) 的付氏变换、Z变换以及付氏级数都不存在， 故不能用频谱表述。
但是，若随机过程是平稳的，则其频域特性可用功率
谱来描述。
平稳随机过程通过线性时不变系统：
平稳条件：
E[X (t)] = 常数；
➢ 输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。
2. 系统输出Y(t) 的自相关函数:
RY (t, t ) E[Y (t )Y (t )]
h( )h( )E[ X (t )X (t )]dd
h( )h( )RX ( )dd RY ( )
➢ 输出过程 RY(τ) 只与时间差 τ 有关，而与时间起点 t 无关。