二次函数难题压轴题中考精选(一)

二次函数压轴题精选

1．如图，二次函数c x y +-

=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-29,3，与x 轴交于A 、B 两点．

⑴求c 的值；

⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）

2．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．

（1）求证：

AH

AD ＝

EF

BC

；

（2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值；

（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点

C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面

积为S ，求S 与t 的函数关系式．

3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝1

6x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点

P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横

坐标；若不存在，请说明理由

x=4

x

y

E

D

C

B

A O

4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，

0）和（2，0），BC =23．设直线AC 与直线x =4交于点E ．

（1）求以直线x =4为对称轴，且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E ； （2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ，M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一动点，求△CMN 面积的最大值．

5．（2010湖南邵阳）如图，抛物线y ＝2

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x x -

++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为点(图1) (图2)

D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴交于点F。

（1）求直线BC的解析式；

（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P。

①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交，求r的取值范围；

②若r45，是否存在点P使⊙P与直线BC相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理

由．

6．（2010年上海）如图8，已知平面直角坐标系xOy，

抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .

（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，

点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.

7．（重庆綦江县）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12,0）和C（0，－6），与x轴的另一个交点是A，对称轴为x＝2．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；

x

y

O

Q

P

D

B

C

A

第8题图

（3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M 使，△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点

M 的坐标，若不存在，请说明理由．

8．（2010山东临沂）如图，二次函数2

y x ax b =++的图象与x 轴交于1

(,0)2

A -,(2,0)

B 两点，且与y 轴交于点

C .

（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC ∆的形状；

（2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ,且以A C D B 、、、四点为顶点的

四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P ,使得以A C B P 、、、四点为顶点的四边形是直角梯形？若存

在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由

.9．（2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、

A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点

B (–3，0)．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当 △APE 的面积最大时，求点P 的坐标；

(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G ，使△AGC 的面积与（2）中△APE 的最 大面积相等?若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2010 山东省 ） (已知二次函数c bx ax y ++=2

的图象经过点A (3，0)，B (2，-3)，C (0，-3)．