函数的单调性知识点总结与经典题型归纳

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函数的单调性

知识梳理

1. 单调性概念

一般地,设函数()f x 的定义域为I :

(1)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数;

(2)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x >,那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.

2. 单调性的判定方法 (1)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。

(2)定义法步骤;

①取值:设12,x x 是给定区间内的两个任意值,且12x x < (或12x x >);

②作差:作差12()()f x f x -,并将此差式变形(注意变形到能判断整个差式符号为止); ③定号:判断12()()f x f x -的正负(要注意说理的充分性),必要时要讨论; ④下结论:根据定义得出其单调性.

(3)复合函数的单调性:

当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”)

3. 单调区间的定义

如果函数()y f x =,在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数在这个区间上具有单调性,区间D 叫做()y f x =的单调区间.

例题精讲

【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图.

(1)从左向右看,图形是如何变化的?

(2)在哪些区间上升?哪些区间下降?

解:(1)从左向右看,图形先下降,后上升,再下降;

(2)在区间[0,4]和[14,24]下降,在区间[4,14]下降。

【例2】画出下列函数的图象,观察其变化规律:

(1)f (x )=x ;

①从左至右图象上升还是下降?

②在区间(-∞,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着怎么变化?

(2)f (x )=x 2.

①在区间(-∞,0)上,随着x 的增大,f (x )的值随着怎么变化?

②在区间[0 ,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着怎么变化?

解:(1)①从左至右图象是上升的;

②在区间(-∞,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着增大.

(2)①在区间(-∞,0)上,随着x 的增大,f (x )的值随着减小;

②在区间[0 ,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着增大.

【例3】函数()y f x =在定义域的某区间D 上存在12,x x ,满足12x x <且12()()f x f x <,那么函

数()y f x =在该区间上一定是增函数吗?

解:不一定,例如下图:

【例4】下图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数.

解:函数()y f x =的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---;

其中在区间[5,2),[1,3)--上是减函数,在区间[2,1),[3,5)-上是增函数.

【例5】证明函数()32f x x =+在R 上是增函数.

证明:设12,x x 是R 上的任意两个实数,且12x x < (取值)

则1212()()(32)(32)f x f x x x -=+-+ (作差)

123()x x =-

由12x x <,得 120x x -<

于是12()()0f x f x -< (定号)

所以12()()f x f x <

所以,函数()32f x x =+在R 上是增函数。 (下结论)

课堂练习

仔细读题,一定要选择最佳答案哟!

1. 若函数()f x 在区间(,)a b 上是增函数,在区间(,)c d 上也是增函数,则函数()f x 在区间

(,)(,)a b c d 上 ( )

A.必是增函数

B.必是减函数

C.先增后减

D.无法确定单调性

2. 在区间(,0)-∞上为增函数的是( )

A .1=y

B .21+-=x x y

C .122---=x x y

D .21x y +=

3.函数,在上是( )

A.增函数

B.减函数

C.先增后减

D.无单调性

4.如果函数f (x )在[a ,b ]上是增函数,对于任意的x 1,x 2∈[a ,b ](x 1≠x 2),下列结论不正确的是( )

A.f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2

>0 B .(x 1-x 2) [f (x 1)-f (x 2)]>0 C .f (a )

>0 5.函数11y x =-的减区间是 .

6.证明:函数1()f x x

=

在(0,)+∞上是减函数。

7.已知f (x )在(0,+∞)上是减函数,判断f (a 2-a +1)与f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫34的大小关系.

8.若函数f (x )=4x 2-kx -8在[5,8]上是单调函数,求k 的取值范围.

9.已知函数()1ax f x x =

-,若. (l)求的值.

(2)利用单调性定义证明函数

在区间的单调性.

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