正比例函数的图像与性质公开课

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正比例函数的图象和性质【公开课教案】

4.3 一次函数的图象第1课时正比例函数的图象和性质一、学生起点分析八年级学生已在七年级学习了“变量之间的关系”，对利用图象表示变量之间的关系已有所认识，并能从图象中获取相关的信息，对函数与图象的联系还比较陌生，需要教师在教学中引导学生重点突破函数与图象的对应关系．二、教学任务分析《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》的第三节．本节内容安排了2个课时，第1课时是让学生了解函数与对象的对应关系和作函数图象的步骤和方法，明确一次函数的图象是一条直线，能熟练地作出一次函数的图象。

第2课时是通过对一次函数图象的比较与归类，探索一次函数及其图象的简单性质．本课时是第一课时，教材注重学生在探索过程的体验，注重对函数与图象对应关系的认识．为此本节课的教学目标是:1．了解一次函数的图象是一条直线，能熟练作出一次函数的图象．2．经历函数图象的作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．3．已知函数的代数表达式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力．4．理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系．教学重点是:初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．教学难点是:理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系．三、教学过程设计本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境引入课题；第二环节：画一次函数的图象；第三环节：动手操作，深化探索；第四环节：巩固练习，深化理解；第五环节：课时小结；第六环节：拓展探究；第七环节：作业布置．第一环节：创设情境引入课题内容：一天，小明以80米/分的速度去上学，请问小明离家的距离S （米）与小明出发的时间t （分）之间的函数关系式是怎样的？它是一次函数吗？它是正比例函数吗？ S=80t （t ≥0）下面的图象能表示上面问题中的S 与t 的关系吗？我们说，上面的图象是函数S=80t （t ≥0）的图象,这就是我们今天要学习的主要内容：一次函数的图象的特殊情况正比例函数的图象。

正比例函数的图象和性质课件

们只相交于原点。
06
CHAPTER
03
正比例函数的性质
增减性
01
02
03
增减性
正比例函数在定义域内是单调的，即随着x的增大（或减小），y也相应增大（或减小）。
增减性的判断
根据斜率k的正负来判断。当k>0时，函数为增函数；当k<0时，函数为减函数。
增减性的应用
在解决实际问题时，可以利用增减性判断函数的值域或最值。
y=-3/x
提升练习题
01
总结词
深化理解与运用
02
03
04
题目1
已知某物体的速度v与时间t的关系为v=kt，其中k为常数。求该物体在t=3时的速度v。
题目2
画出函数y=0.5x和y=-0.2x的图象，并比较它们的性质。
题目3
已知某物体的位移s与时间t的关系为s=2t^2，求该物体在
t=5时的位移s。
斜率
1 2 3
斜率定义
正比例函数y=kx（k≠0）的斜率是k。
斜率与函数图像的关系
斜率决定了函数图像的形状和倾斜程度。当k>0 时，图像从左下到右上上升；当k<0时，图像从左上到右下下降。
斜率的应用
在解决实际问题时，可以利用斜率判断函数的单调性和变化趋势。
截距
截距定义
正比例函数y=kx（k≠0）的截距是0。
正比例函数的图象和性质ppt课件
CONTENTS
目录
• 正比例函数的概念 • 正比例函数的图象 • 正比例函数的性质 • 正比例函数的应用 • 练习与思考
CHAPTER
01
正比例函数的概念
正比例函数的定义

19.2.1正比例函数的图像公开课课件

A.a>b>c
y ③
② ① x
B.c>b>a
C.b>a>c D.b>c>a
例1. 如果正比例函数y=(8-2a)x的图像经过二、四象限，求a的取值范围。解：∵该函数图像经过二、四象限
∴比例系数k=8-2a<0
∴a>4 问：如果正比例函数y=(8-2a)x,y的值随 x的值增大而减少，求a的取值范围。
二、四象限
3.如果 y (1 m) x 是正比例函数,且y 随x的增大而减小,试求m的值
m 2 2
例3.在水管放水的过程中，放水的时间x（分）与流出的水量y（立方米）是两个变量，已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程持续10分钟，写出y与x之间的函数解析式，并指出函数的自变量取值范围，再画出函数的图像
a>4
2 m 例2.已知正比例函数y=(m+1)x ，它的
图像经过第几象限？
解：
∵该函数是正比例函数

{ m2=1
m 1 0
m 1
m=±1，
m 1
根据正比例函数的性质，k>0可得
该图像经过一、三象限。
比例系数k=m+1=2>0
2.已知:正比例函数y= (2-k)x的图像经过第二.四象限,则函数y=-kx的图像经过哪些象限？
x … -3 -1 0
动动
…
手
y
… -1
1 3
0
1 1 3
2
4
…
1 y=3x
例1 画出下列正比例函数的图象（2）y＝－1.5x
x y … -2 -1 0 1 2
动动

《正比例函数的图象与性质》课件精品 (公开课)2022年数学PPT

练一练
1.正比例函数y =2x的图象上有两点〔3 ,y1〕 , 〔5 ,y2〕 ,那么y1 < y2. 2.正比例函数y =kx(k<0)的图象上有两点〔 -3 ,y1〕 , 〔1 ,y2〕 ,那么y1 > y2.
分析：因为k<0 ,所以y的值随着x值的增大而减小 , 又 -3<1 ,那么y1<y2.
y = - yx
发现：这两个函数图象都4x是经过原点和第二、四象限的直线.
要点归纳
另外：函数y =kx 的图象我们也称作直线y =kx
做一做
用你认为最||简单的方法画出以下函数的图象：
〔1〕 y = -3x；〔2y〕 3 x .
2
两点作图法
由函于数两图怎点象样确时画定我正一们比条只例直需函线描数点,画的(0正图,0比象)和例点 (1 ,k最) 简,连单线？即为可什. 么？
思考：数轴上到原点的距离相等的点所表示的数有什
么特点 ?借助数轴填一填：来自1.数轴上与原点距离是2的点有_两___个 ,这些点表示的
2和
数是________；
-2
两
2.与原5和点的-距离是5的点有____个 ,这些点表示的数是
__5______-.
-02
5
5
2
要点归纳
1.互为相反数的两个数分别位于原点的两侧〔0除外〕； 2.互为相反数的两个数到原点的距离相等.
第十九章一次函数
19.2.1 正比例函数
第2课时正比例函数的图象和性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1.理解正比例函数的图象的特点 ,会利用两点〔法〕
画正比例函数的图象．〔重点〕

《正比例函数的图像和性质》人教版八年级下册 (公开课课件)

总结性质
4.你还发现哪些性质？
（1）当图象经过一、三象限时，直线与x轴正方向的夹角越大，k值就越大; （2）当图象经过二、四象限时，直线与x轴负方向的夹角越大，k值就越小.
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1） y=-3x；（2） y 3 x. 2
x
0
1
y=-3x
y3x 2
y=-3x 0 -3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
4.观察这些点的摆放有何规律？
5.你能保证以上两点之间一定靠直线连接的吗？以点（0，0）与（1，1）之间为例，为什么是靠直线连接的呢？
• 在（0，0）与（1，1）之间描出十等分点，画出y=x的图象的一段.
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
y 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
O
• 在（0，0）与（1，1）之间描出二十等分点，画出y=x的图象的一段；(表格在前面的基础上加下列)
x 0 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95
5
4
y=-x
2 1 0 -12
y=-x 3
y=-2x … -4 -2 0 2 4 …
2
1
2. 描点 3. 连线
-3 -2 -1 O
-1 -2 -3 -4
1 23x
总结性质
K>0
K<0
1.正比例函数的图象都是经过__原__点___的直线，那么你画正比例函数有什么简便方法？为什么？你一般选取哪些点画它的图象呢？选两点坐标就可以，一般选（0,0）和（1，k)

正比例函数的图象与性质课件

THANKS
感谢观看
函数值的变化规律
总结词
正比例函数值随自变量的变化而变化
详细描述
对于正比例函数$y=kx$，当自变量 $x$增大或减小时，函数值$y$也会等比例地增大或减小。
函数的极限状态
总结词
正比例函数的极限状态取决于函数的斜率
详细描述
正比例函数的极限状态是指当自变量$x$趋于无穷大或无穷小时，函数值$y$的极限状态。当$k>0$时，$y$的极限为无穷大；当$k<0$时，$y$的极限为无穷小。
05
实例分析
实际应用场景
物理学中的速度与时间关系
正比例函数可以描述物体在恒定加速度下速度与时间的关系，即$v = v_0 + at$，其中$v_0$ 是初速度，$a$是加速度，$t$是时间。
经济学中的收入与工作时间关系
在经济学中，正比例函数可以用来描述收入与工作时间的关系，即$y = kx$，其中$y$是收入，$k$是每小时的工资率，$x$是工作时间。
伸缩变换
正比例函数的图象可以在x轴和y轴方向上进行伸缩，但伸缩不改变函数的性质。
04
正比例函数的性质
函数的增减性
总结词
正比例函数在定义域内具有单调性
详细描述
正比例函数是指形如$y=kx$（$k neq 0$）的函数，当$k>0$时，函数在定义域内单调递增；当$k<0$时，函数在定义域内单调递减。
正比例函数的图象与性质课件
• 引言 • 正比例函数的概念 • 正比例函数的图象 • 正比例函数的性质 • 实例分析 • 练习与思考
01
引言
主题简介
01
正比例函数是数学中一种基本的函数类型，它描述了当一个变量增加时，另一个变量按固定比例增加的关系。

《正比例函数的图象与性质》PPT课件

第一、第三
象限的直线.
和
01
知识讲解
（2）函数y=-1.5x，y=-4x的图象如下：
y=-4x
y=-1.5x
发现：这两个正比例函数的图象都是经过原点
和
第二、第四
象限的直线.
01
归纳
正比例函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过
原点的直线.我们称它为直线y=kx.
y=kx(k≠0)
经过的象限
（1）y=2x，y= ；
（2）y=-1.5x，y=-4x.
解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.
①列表如下：
x
y
…
…
-3 -2 -1 0
-6 -4 -2 0
1
2
2
4
3 …
6 …
01
知识讲解
y=2x
②描点.
y=
③连线.
1

3
同样可以画出
1
函数y=3 的图象.
发现：这两个正比例函数的图象都是一条经过原点
k＞0
第一、三象限
k＜0
第二、四象限
01
思考
画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比
例函数y=kx (k是常数，k≠0) 的图象.
画正比例函数的图象时，我们只需描点(0，0)和
点 (1，k)，连线即可.
02
练一练
LEARNING
OBJECTIVES
图象必经过的点
图象必经过（0，0）和（1，k）这两个点
谢谢观看！
1
（2）正比例函数y= -2x和y =-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中

《正比例函数的图像和性质》公开课课件人教版八年级下册

函数 y 2x 的比例系数 K=-2 , 图像从左向右下降趋势，经过第二、四象限，
合作探究：在同个平面直角坐标系中画y=3x 和 y 1 x 的图像 3
猜想： 1、自己画得的两个图像是直线还是曲线？
2、 y=3x和y 1 x图像的相同点和不同点？ 3
正比例函数图像是一条过原点的直线
讨论：
画正比例函数的图像时，怎样画最简单？为什么？
动手画一画：
用最简单的方法画(1)y= 3 x (2)y=-3x的函数的图像 2
猜想：
y=-2x
y=3x
1、哪些正比例函数过一、三象限？
y 1 x 3
2、哪些正比例函数过二、四象限？
3、过一、三象限的函数有什么共同点？
4、过二、四象限的函数有什么共同点？ 5、它们由什么量决定？
则m 的取值范围是
；
(2) 已知正比例函数 y mx|m|的图像，
y 随 x 的增大而减小，则m的值是______;
(3) 已知正比例函数 y mx (m2 4)的图像过第
一、三象限，则 m 的值是
。
小结： 1、怎样画正比例函数？ 2、正比例函数图像的性质？
自主学习：
例1、在同个平面直角坐标系中画出下列正
比例函数的图像
y 2x
y 2x
这两个函数图像分别有哪些什么
画图步骤：
特点？
1、列表 2、描点 3、连线
观察并找出这两个函数的共同点和不
同点
共同点：两个图像都是直线线，都经过原点点
不同点：函数 y 2x 的比例系数 K=2 ,图像从左向右上升趋势，经过第一、三象限，
性质 ⑴图像过一、三象限
⑵ y 随 x 的增大而

正比例函数的图象及性质公开课一等奖课件

人教版八年级数学下册第十九章<一次函数>第二节第二课时19.2.2正比例函数的图象及性质正比例函数的图象 Y=x1、会画正比例函数的图象，知道正比例函数的图象是过原点的一条直线。

2、熟记正比例函数的性质，并能运用正比例函数的性质解题。

知识回顾：1、正比例函数的定义2、画函数图象的一般步骤一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

（1）列表（2）描点（3）连线（4）写解析式活动一：画出下列正比例函数的图象（1）y＝2x；（2）y＝－2x 思考：正比例函数的图象是什么形状？小结：一般的，正比例函数y=kx（k为常数， k≠0）图象的是一条经过原点（0,0）的直线，我们称它为直线y=kx。

画正比例函数图象有没有简便的画法呢？小结：用两点法画出正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）图象。

（选择原点和原点之外的任意一点）观察函数图象，这些函数图象有哪些相同点和不同点？（图象形状、象限、函数的增减性）函数图象的变化规律与哪一个量有关？y=kx(k≠0)图象形状k ＞0k ＜0函数图象经过的象限函数的增减性是一条经过原点（0,0）和（1，k ）的直线一、三象限 y 随x 增大而增大二、四象限 y 随x 增大而减小123 456 78学以致用1、正比例函数y=-3x 的图象是经过点（0，）与（1，）的一条直线。

0 -3学以致用B变式：A学以致用变式：下列函数中， y 随x 的增大而减小的是（）A 、 y=10 xB 、 y=x -1C 、y=-3+11xD 、y=-2x +1二、四减小 D学以致用4、正比例函数y = kx 的图象经过第一、三象A限，则( )A、y随x的增大而增大。

B、y随x的增大而减小。

C、当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小。

D、不论x如何变化，y不变。

学以致用B变式：k＞0或y随x的增大而增大变式：已知正比例函数的图象y随x的增大而增大，x1＞x2,则y1 y2 学以致用6、已知函数y=3x的图象经过点A（-1， y1）、B（-2，y2），则y1 y2 （填“＞”“＜”或“＝” ）＞＞学以致用7、点A（x 1,y 1）和B（x 2,y 2）都在直线y=-2x上，y 1＞y 2，则x 1与x 2 的关系是（） A、x 1≥x 2 B、x 1=x 2 C、x 1＜x 2 D、x 1＞x 2 C学以致用8、比较k 1， k 2， k 3， k 4大小。

12.2.1第1课时正比例函数的图象和性质(上课课件) (共25张PPT)

画般函步数骤图有象哪的些一？
动手操作，深化探索（做一做）
在同一个平面直角坐标系中
（1）画出正比例函数y=-2x的图象．
x … -2 y=-2x … 4
y=-2x
-1 0 20
y
5 4 3 2 1
1 2… -1 -2 …
y=2x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
-1 -2 -3 -4 -5
y y=-2x
4
2
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
y
y=2x
4
2
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
相同点：两图象都是经过原点的一条直线
不同点：函数y=2x的图象经过第一、三象限，从左向右呈上升状态，函数y=－2x的图象经过第二、四象
练习1、在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图像：
y 1 x，
y
5
2
y x，
4
3
y 3x.
2
1
-4 -3 -2
k < 0时， y = k x的图像在二、四象限且函数值随 x 增加而减小.
-1 0 -1 -2 -3
-4
1 2 3 4 5x
y1x 2
y x
y 3x
练习2. 结合下图及第1题中的图像，就数的概念 • 2、正比例的定义 • 本节课学习一类特殊的函数
第1课时正比例函数的图象和性质
(1)h=30t+1800 (2)Q =-25t+300 (3)y=2x (4)y=- 2 x (5)s=80t
观察上面的几个函数，在形式上它们有什么样的共同特征？

正比例函数的图象和性质上课课件PPTppt文档

限.从左向右呈下降状态。
小结：
正比例函数y=kx的图象特征：
正比例函数y=kx的图象是一条经过原点的直线。
因此，画正比例函数图象时，只要再确定
一个点，过这点与原点画直线就可以了。
为什么？
两点法
正比例函数y=kx图像的画法
正比例函数图象经过点(0,0)和点(1,k)
y y= kx (k＞0)
y
练习1、在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图像：
y 1 x，
y
5
2
y x，
4
3
y 3x.
2
1
-4 -3 -2
k < 0时， y = k x的图像在二、四象限且函数值随 x 增加而减小.
-1 0 -1 -2 -3
-4
1 2 3 4 5x
y1x 2
y x
y 3x
练习2. 结合下图及第1题中的图像，就下面问题思考后回答：
y= kx
k
(k＜0)
01
x
两点法
01
x
k
例题解析用两点法
例1. 在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图像：
y
1 2
X
x，y
1 2
x
y=x
… …
…
0 0
0
y x， Y=3x …
0
1
…
1
…
2
1
…
3
…
y 3x.
结合图像，就下面问题思考后回答：
当k > 0时y = k x的图像在一、三象限且函数值也即y随 x 增加而增加
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系；

湘教版八年级数学下册第四章《4.3.1 正比例函数的图象和性质》公开课课件(12张)

• 连线：观察描出的这些点的分布，我们可以猜测y=2x的图象是经过原点的一条直线，数学上可以证明这个猜测是正确的.因此，用一条直线将平面直角坐标系中的各点连接，即可得到y=2x的图象，如图4-7所示.
结论
类似地，数学上已经证明：正比例函数y=kx（k为常数， k≠0）的图象是一条直线.由于两点确定一条直线，因此画正比例函数的图象，只要描出图象上的两个点，然后过这两点作一条直线即可.我们常常把这条直线叫作“直线y=kx”.
（1）求电梯运行高度h（m）随运行时间t（s）而变化的函数表达式；
（2）画出这个函数的图象. 解（1）由路程=速度×时间，可知h=3t，0≤t≤100. （2）当t=0时，h=0；当t=100时，h=300，在平面直角坐标系中描出两点O（0，0），A（100，300）.过这两点作线段 OA，线段OA即函数h=3t（0≤t≤100）的图象，如图.
一般地，直线y=kx（k为常数，k≠0）是一条经过原点的直线.
当k>0时，直线y=kx经过第三、一象限从左向右上升，y随x的增大而增大；
当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限从左向右下降，y随x的增大而减小.
例题
例2 某国家森林公园的一个旅游景点的电梯运行时，以 3m/s的速度上升，运行总高度为300m.
过了自己的智力，
You made my day!
我们，还在路上……
4.3 一次函数的图象
1 正比例函数的图象和性质
探究
画出正比例函数y=2x的图象.
• 列表：先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值，列成表格如下：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -6 -4 -2 0 2 4 6 …