第16讲 正比例函数的图像及性质(解析版)

第16讲 正比例函数的图像及性质

【学习目标】

正比例函数的图像及性质是八年级数学上学期第三章第二节内容，主要对正比例函数的图像及性质进行讲解，重点是对正比例函数的性质的理解，难点是正比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习正比例函数的应用提供依据．

【基础知识】

一、正比例函数的图像

1.一般地，正比例函数y kx =(k 是常数, 0k ≠)的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =；

2.图像画法：列表、描点、连线． 二、正比例函数的性质：

（1） 当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 也随着逐渐增大．

（2） 当0k <时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值

则随着逐

渐减小．

【考点剖析】

考点一：正比例函数的图像

例1．已知正比例函数2y x =．

列表：取自变量x 的一些值，根据正比例函数的解析式，填写下表．

x

…… 1.5- -1 0.5- 0 0.5 1 1.5 2 …… 2y x =

……

-4

-3 -2

-1 0

1 2

3

4

……

描点：分别以所取x 的值和相应函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出相应点． 连线：用光滑的曲线（包括直线）把描出的点按照横坐标由小到大的顺序连接． 【难度】★

【解析】考查正比例函数图像的画法．

例2．在同一直角坐标平面内画出下列函数图像．

（1）4y x =；

（2）1

4y x =

；

（3）3

2

y x =-；

（4）3

2

y x =．

【难度】★

【解析】考查正比例函数图像的画法．

例3．函数1

5

y x =-的图像是经过点________、________的________．

【难度】★

【答案】，，一条直线．

【解析】考查正比例函数图像的特点．

例4．（1）正比例函数y kx =的图像是____________，它一定经过点_______和_______．

（2）函数y kx =的图像经过点1

(5)2

A -，，写出函数解析式，并说明函数图

像经过哪几个象

限？ 【难度】★★

【答案】（1）一条直线，，； （2）x y 10-=，经过二、四象限．

【解析】考查正比例函数解析式的解法和图像性质．

例5．已知2y -与x 成正比例，且x =2时，y =4； （1）求y 与x 之间的函数关系式；

（2）若点(m ，2m +7)，在这个函数的图象上，求m 的值．

【难度】★★

【答案】（1）2+=x y ；（2）-5．

【解析】（1）设kx y =-2，将x =2时，y =4代入其中可得：1=k ，则2+=x y ；

（2）点(m ，2m +7)在这个函数的图象上，则272+=+m m ，解得：5-=m ．

【总结】本题一方面考查利用待定系数法求函数解析式，另一方面考查根据函数解析式求函数值或者是自变量的值．

例6．已知正比例函数图像上的一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1:2，则此正比例函数的解析式

是________________． 【难度】★★

【答案】x y 21=

或x y 2

1

-=． 【解析】由题意可知，该点的横坐标的绝对值是纵坐标绝对值的两倍，然后再求解析式． 【总结】注意距离需要分正负．

例7．如果正比例函数的图像经过点(24)-，，说明是否在这个图像上，并作出该正比例函数的图像．

【难度】★★

【答案】x y 2-=，不在这个图像上，图像略．

【解析】设正比例函数解析式为，将点(24)-，代入，可得：2k =-，所以该正 比例函数的解析式为

x y 2-=．当4x =-时，，所以点不在

该函数的图像上．

【总结】考查正比例函数解析式的求法、图像的画法．

例8．已知函数2(2)21y t x t =-+-,当t 为何值时该函数图像经过原点？此时函数解析式是什么？

【难度】★★ 【答案】21=t ；x y 4

7

-=．

【解析】函数2(2)21y t x t =-+-经过原点，则012=-t ，解得：2

1

=t ．

代入表达式中可得，函数解析式为：x y 4

7

-=．

【总结】本题主要考查正比例函数的概念．

例9．一个正比例函数的图像经过点A ，B ，求a 的值．

【难度】★★

【答案】4

1

-=a ．

【解析】设正比例函数的解析式为， ∵图像经过点A ， ∴3=-k ，则3-=k ． ∵图像经过点B ，

∴a a 31=--，则4

1

-=a ．

【总结】本题一方面考查利用待定系数法求正比例函数的解析式，另一方面考查利用解析式求图像上点的坐标．

考点二：正比例函数的性质：

例1．直线经过一、三象限，则m ________．

【难度】★

【答案】2

【解析】考查的图像经过一、三象限．

例2．已知正比例函数的图像经过第二、四象限，求k 的取值范围．

【难度】★ 【答案】2

5>

k ． 【解析】由题意，可得：520k -<，解得：2

5>k ． 【总结】考查的图像经过二、四象限．

例3．若正比例函数(3)y m x =-，y 的值随x 的增大而减小，则m _______．

【难度】★ 【答案】3

【解析】由题意，可得：30m -<，解得：3m <． 【总结】考查的图像性质y 的值随x 的增大而减小．

例4．(3)y x π=-图像经过_______象限，y 的值随x 的值增大而_______．

【难度】★

【答案】一、三；增大．

【解析】由题意，可得：30π->，所以图像过一、三象限． 【总结】考查的图像y 的值随x 的增大而增大．

例5．当a =_______时，2(3)(9)y a x a =-+-是正比例函数，图像经过第______象限．

【难度】★ 【答案】；二、四．

【解析】因为正比例函数，所以，解得：3a =-，所以图像过二、四象限． 【总结】考查的图像y 的值随x 的增大而减小．

例6．已知点（11,x y ），（22,x y ）在正比例函数()2y k x =-的图像上，当12x x >时，12y y <，那

么k 的取值范围是多少？ 【难度】★★ 【答案】2

【解析】当12x x >时，12y y <，可以理解成y 的值随x 的增大而减小． 【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质．

例7．已知正比例函数2

5

(3)m

m y m x +-=+，那么它的图像经过____________象限．