十字相乘法进行因式分解详案

十字相乘法进行因式分解

【基础知识精讲】

（1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式；

（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．

【重点难点解析】 1．二次三项式

多项式c bx ax ++2

，称为字母x 的二次三项式，其中2

ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例

如，322

--x x 和652

++x x 都是关于x 的二次三项式．

在多项式2

286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．

在多项式3722

2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22

+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项

式．同样，多项式12)(7)(2

++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．

十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容

利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：

（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2

，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且

a ＋

b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式

))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++

分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2

(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整

数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，

那么c bx ax ++2

))(()(22112112212

21c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，

这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：

)45)(2(86522-+=-+x x y xy x

3．因式分解一般要遵循的步骤

多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．

【典型热点考题】

例1 把下列各式分解因式：

（1）1522

--x x ；（2）2

2

65y xy x +-．

点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；

（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项2

6y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．

解：（1）)5)(3(1522

-+=--x x x x ；

（2）)3)(2(652

2

y x y x y xy x --=+-．

例2 把下列各式分解因式：

（1）3522

--x x ；（2）3832

-+x x ．

点悟：我们要把多项式c bx ax ++2

分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而

b c a c a =+1221．

解：（1）)3)(12(3522

-+=--x x x x ；

（2）)x )(x (x x 3133832

+-=-+．

点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．

例3 把下列各式分解因式： （1）9102

4

+-x x ；

（2）)(2)(5)(72

3

y x y x y x +-+-+；

（3）120)8(22)8(2

2

2

++++a a a a ．

点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2

x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2

a a +为整体，转化为关于)8(2

a a +的二次三项式．

解：（1） )9)(1(9102

2

2

4

--=+-x x x x

＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．

（2） )(2)(5)(72

3

y x y x y x +-+-+

]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x

＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2] ＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)． （3） 120)8(22)8(2

2

2

++++a a a a

)108)(128(22++++=a a a a )108)(6)(2(2++++=a a a a

点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．