【数学】3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大版选修2-2)
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2018年高中数学 第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性课件4 北师大版选修2-2
复习目标与考试要求
1.理解导数与函数的单调性的关系; 2.熟练掌握求可导函数单调区间的导数法; 3.能利用导数讨论含参数的单调性问题.
用导数确定函数的单调性的结论:
(理论基础）
定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在
这个区间内y'>0那么函数y=f(x)为在这个区间内的
的交集.
探究提高
讨论含参函数的单调性，大 多数情况下归结为对含有参 数的不等式的解集的讨论， 注意根据对应方程解的大小 进行分类讨论．
能力提高 例的单2:讨调论性函. 解数:函f数(x 的) 定1 2 义a 域2是x ( (2 0,a + ∞1 ),)x 2 ln x ,(a 0 )
(0,) 上单调递减;
③是由当 函数 12 的(aa 两01 )个时零2 a 点1 则0,a x 设1 2 2 a x(a 1 ,1 x1 )2a (2 x2 a 1a 1 1 ,xx 22 ) (a 1 )a 2 a 1 ,
x 1 a
区间;解不等式 f '(x) <0得f（x）的单调递减
区间.
说明:往往也可以求出f′(x)＝0的根，用‘穿根 法’进行判断
牛刀小试 例1:求函数 f(x)lnxx2x的单调区间:
解:函数的定义域是(0,+∞),
f'(x ) 1 2 x 1 2 x 2 x 1 (x 1 )2 x ( 1 )
当 a 0 时, f'(x)0函, 数f(x)在(0,) 上单调递增;
当 a 0 时,令 g ( x ) a 2 x ( 2 a 2 ) x a , 4 ( 2 a 1 )
1.理解导数与函数的单调性的关系; 2.熟练掌握求可导函数单调区间的导数法; 3.能利用导数讨论含参数的单调性问题.
用导数确定函数的单调性的结论:
(理论基础）
定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在
这个区间内y'>0那么函数y=f(x)为在这个区间内的
的交集.
探究提高
讨论含参函数的单调性，大 多数情况下归结为对含有参 数的不等式的解集的讨论， 注意根据对应方程解的大小 进行分类讨论．
能力提高 例的单2:讨调论性函. 解数:函f数(x 的) 定1 2 义a 域2是x ( (2 0,a + ∞1 ),)x 2 ln x ,(a 0 )
(0,) 上单调递减;
③是由当 函数 12 的(aa 两01 )个时零2 a 点1 则0,a x 设1 2 2 a x(a 1 ,1 x1 )2a (2 x2 a 1a 1 1 ,xx 22 ) (a 1 )a 2 a 1 ,
x 1 a
区间;解不等式 f '(x) <0得f（x）的单调递减
区间.
说明:往往也可以求出f′(x)＝0的根，用‘穿根 法’进行判断
牛刀小试 例1:求函数 f(x)lnxx2x的单调区间:
解:函数的定义域是(0,+∞),
f'(x ) 1 2 x 1 2 x 2 x 1 (x 1 )2 x ( 1 )
当 a 0 时, f'(x)0函, 数f(x)在(0,) 上单调递增;
当 a 0 时,令 g ( x ) a 2 x ( 2 a 2 ) x a , 4 ( 2 a 1 )
3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大选修2-2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)函数的定义域为R，y′＝3x2－1. 3 3 令3x －1<0，解得－ <x< ； 3 3
2
3 3 令3x －1>0，解得x<－ 或x> . 3 3
2
因此－
3 3 ， 为函数的单调递减区间， 3 3
3 3 ， ，＋∞为函数的单调递增区间． 3 3
1 解得a≥ . 3 1 当a＝ 时，f′(x)＝x2－2x＋1＝0， 3 有且只有f′(1)＝0. 1 所以，实数a的取值范围为[ ，＋∞)． 3
[一点通] 已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数 的取值范围的步骤：
(1)求导数y＝f′(x)；
(2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立问题；
3．判断y＝ax3－1(a∈R)在R上的单调性． 解：∵y′＝3ax2，又x2≥0. (1)当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增； (2)当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减； (3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性.
[例2]
求下列函数的单调区间：
(1)y＝2x－ln x； x (2)y＝ ＋cos x； 2 (3)y＝x3－x.
②判断f′(x)的符号；
③给出单调性结论．
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增加的是 A．y＝sin x C．y＝x3－x B．y＝x·x e
(
)
D．y＝ln x－x
解析：(sin x)′＝cos x， (x·x)′＝ex＋x·x＝(1＋x)·x， e e e 1 (x －x)′＝3x －1，(ln x－x)′＝x－1，
3 2
当x∈(0，＋∞)时，只有(x·x)′＝(1＋x)·x>0. e e
(3)函数的定义域为R，y′＝3x2－1. 3 3 令3x －1<0，解得－ <x< ； 3 3
2
3 3 令3x －1>0，解得x<－ 或x> . 3 3
2
因此－
3 3 ， 为函数的单调递减区间， 3 3
3 3 ， ，＋∞为函数的单调递增区间． 3 3
1 解得a≥ . 3 1 当a＝ 时，f′(x)＝x2－2x＋1＝0， 3 有且只有f′(1)＝0. 1 所以，实数a的取值范围为[ ，＋∞)． 3
[一点通] 已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数 的取值范围的步骤：
(1)求导数y＝f′(x)；
(2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立问题；
3．判断y＝ax3－1(a∈R)在R上的单调性． 解：∵y′＝3ax2，又x2≥0. (1)当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增； (2)当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减； (3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性.
[例2]
求下列函数的单调区间：
(1)y＝2x－ln x； x (2)y＝ ＋cos x； 2 (3)y＝x3－x.
②判断f′(x)的符号；
③给出单调性结论．
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增加的是 A．y＝sin x C．y＝x3－x B．y＝x·x e
(
)
D．y＝ln x－x
解析：(sin x)′＝cos x， (x·x)′＝ex＋x·x＝(1＋x)·x， e e e 1 (x －x)′＝3x －1，(ln x－x)′＝x－1，
3 2
当x∈(0，＋∞)时，只有(x·x)′＝(1＋x)·x>0. e e
3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大版选修2-2)
x (2,3) 时，f ( x ) 0 则 f ( x )
∴ f ( x ) 2 x 3 3 x 2 36 x 16 的增区间为 ( ,2) 和 ( 3, ) ，减区间为 ( 2,3) 。 图形
2 2 f ( x ) 3 x 3 3 ( x 1) ∵ 解 : （ 1）
0
f ( x)
y log 0.5 x
1 y k切线 x ln 0.5
0
f ( x)
y x 的导数与其单调性又如何？？试描述其中关系。 2 yx
2
x ( ,0)时，
y k切线 2 x 0
f ( x ) 在 ( ,0)上
x (0,) 时， y k切线 2 x 0
再观察指数、对数函数的导数及单调性： x y y 2x 1 y y 2
x
y k切线 2 ln 2 0
x
f ( x)
(递增)
y k切线 0.5 x ln 0.5 0 f ( x) (递减)
x
y log 3 x
y k切线
1 x ln 3
y 6 x 1
y
y = 2x + 5
y=x
y = -3x + 4 的导数是-3 ，
是负数，其图像单调递减。 再画 y 0.5 x 2 ，
x
y= -0.4x + 1
y 0.5 x 2
y 6 x 1及 y 0.4 x 1
的图像，观察规律。
y = -3x + 4
引例
观察下列函数的导数，它们与函数的单调性是 否有关系？？
(1) y x , y 1
( 2) y 2 x 5 , y 2
2019-2020学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：3.1 函数的单调性与极值3.1.2.2 .pdf
A.a> 2
B.a> 2或 a<- 2
C.a<- 2
D.a<-1
解析:∵函数 f(x)=x3-32ax2+a 在 R 上存在三个零点,∴函数 f(x)的极大
值与极小值异号.∵f'(x)=3x2-3ax,∴当 f'(x)=0 时,x=0 或 x=a.∴
f (0)·f (a)=a· ������3
-
3 2
以a-2=0,即a=2.如图②.综上,当a=2或a=-2时,方程恰有两个实数根.
图①
图②
由 f'(x)>0,得 x<-2 或 x>2; 由 f'(x)<0,得-2<x<2.
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二
由表可知,当 x=-2 时,f(x)有极大值 f(-2)=238; 当 x=2 时,f(x)有极小值 f(2)=-43. 又当 x→+∞时,f(x)→+∞;当 x→-∞
时,f(x)→-∞.
所以其大致图像如图所示.
由图像知,函数 f(x)有 3 个零点.故方程 13x3-4x+4=0 有 3 个解.
题型一 题型二
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
反思用求导的方法确定方程解的个数,是一种很有效的方法.它通 过函数的变化情况,运用数形结合思想来确定函数图像与x轴的交 点个数,从而判断方程解的个数.
典例透析
高中数学 北师大选修2-2 3.1.1导数与函数的单调性
只需证
g(1) g(1)
0,0即11
a a
2 2
0, 0
解得
:
1
a
1
例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间．
(1) f (x) x3 3x
(2) f (x) x2 2x 3
(3) f (x) sin x x x (0, ) (4) f (x) 2x3 3x2 24x 1
解 : (1) f (x) x3 3x f (x) 3x2 3 3(x2 1) 0 因此, f (x) x3 3x在R上单调递增.如图1所示.
x 在(, 0)上单调递减,在(0, )上单调递减.
而y
1 x2
,因为x
0, 所以y
0.
再观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
0 ....2
.. .
该函数在区间（－∞，2） 上单减,切线斜率小于0, 即其导数为负;
在区间（2，+∞）上单 增,切线斜率大于0,即
x 其导数为正.
而当x=2时其切线斜率 为0,即导数为0. 函数在该点单调性发 生改变.
解: (3) f (x) sin x x x (0, ) f (x) cos x 1 0
因此,函数f (x) sin x x 在(0, )单调递减, 如图
解: (4) f (x) 2x3 3x2 24x 1
当f (x) 0,即
时,函数f (x) 2x3 3x2 24x 1
函数的单调性与导数的关系:
一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,
则函数在该区间 如果f´(x)>0, 则f(x)在这个区间为增函数; 如果f´(x)<0, 则f(x)在这个区间为减函数. 如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数.
2018学年北师大版高中数学选修2-2课件：3.1.1导数与 函数的单调性 精品
若a>0, f (x) 0 对一切实数恒成立,此时f(x)只有一 个单调区间,矛盾.
若a=0, f (x) 1 0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
若a<0,则 f ( x) 3a( x
1 )( x 3a
1 3a
),易知此时f(x)
恰有三个单调区间.
故a<0,其单调区间是: 单调递增区间:(
v
v2
(v≠0).
引入
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1,x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数；
从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:
在区间(2,+∞)内,切线的斜率
为而正增,大函,即数y=>f(0x)时的,值函y随数着y=xf(的x)增在大
y
区间(2, +∞)内为增函数.
在区间(-∞,2)内,切线的斜
1 1
率增为大负而,减函小数,y即=f(x<)0的y时值,随函着数x的
o
－1
x
பைடு நூலகம்
y=f(x) 在区间(-∞,2)内为减函数.
3
3
因此, f(x)的递增区间是: (2k 2 ,2k 2 )(k Z);
3
3
递减区间是: (2k 2 ,2k 4 )(k Z ).
3
3
(2) f(x)=x/2-ln(1+x)+1
解:函数的定义域是(-1,+∞), f (x) 1
若a=0, f (x) 1 0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
若a<0,则 f ( x) 3a( x
1 )( x 3a
1 3a
),易知此时f(x)
恰有三个单调区间.
故a<0,其单调区间是: 单调递增区间:(
v
v2
(v≠0).
引入
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1,x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数；
从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:
在区间(2,+∞)内,切线的斜率
为而正增,大函,即数y=>f(0x)时的,值函y随数着y=xf(的x)增在大
y
区间(2, +∞)内为增函数.
在区间(-∞,2)内,切线的斜
1 1
率增为大负而,减函小数,y即=f(x<)0的y时值,随函着数x的
o
－1
x
பைடு நூலகம்
y=f(x) 在区间(-∞,2)内为减函数.
3
3
因此, f(x)的递增区间是: (2k 2 ,2k 2 )(k Z);
3
3
递减区间是: (2k 2 ,2k 4 )(k Z ).
3
3
(2) f(x)=x/2-ln(1+x)+1
解:函数的定义域是(-1,+∞), f (x) 1
高中数学 导数应用3.1函数的单调性与极值3.1.1.2导数与函数单调性的应用课件北师大版
������2 -1 ∵x∈(1,4), ∴x-1∈(0,3), ∴a≥ =x+1. ������- 1
∵x+1∈(2,5), 且 a≥x+1 恒成立, ∴a≥5.
由 f'(x)≥0, 得 x2 -ax+a-1≥0. ∵x∈(6, +∞), ∴x-1∈(5, +∞),
������2- 1 ∴a≤ =x+1. ������-1
������������ +1 在区间(-2, +∞)上是减少的, 则实数 a 的取值范 ������ +2
.
2 , 由题意得
f'(x)≤0 在(-2, +∞)上恒成立,
1 1 所以解不等式得 a≤ , 但当 a= 时, f'(x)=0 恒成立,不合题意, 应舍去, 2 2 1 所以 a 的取值范围是 -∞, 2 . 1 答案: -∞, 2
������
1
故 k ≥������在区间(1, +∞)上恒成立. 因为在区间(1, +∞)上,0<������<1, 所以 k ≥1. 故 k 的取值范围是[1, +∞).
答案:[1,+∞)
1
1
1
2
3
4
5
6
3 已知函数 f (x)= 围为 解析:f'(x)=
2������- 1 (������+2)
答案:(-∞,-1]
1
234Fra bibliotek56
5 已知函数 f (x)=ax3 +3x2 -x+1 在 R 上是减函数, 求实数 a 的取 值范围. 解:f'(x)=3ax2 +6x-1.
∵x+1∈(2,5), 且 a≥x+1 恒成立, ∴a≥5.
由 f'(x)≥0, 得 x2 -ax+a-1≥0. ∵x∈(6, +∞), ∴x-1∈(5, +∞),
������2- 1 ∴a≤ =x+1. ������-1
������������ +1 在区间(-2, +∞)上是减少的, 则实数 a 的取值范 ������ +2
.
2 , 由题意得
f'(x)≤0 在(-2, +∞)上恒成立,
1 1 所以解不等式得 a≤ , 但当 a= 时, f'(x)=0 恒成立,不合题意, 应舍去, 2 2 1 所以 a 的取值范围是 -∞, 2 . 1 答案: -∞, 2
������
1
故 k ≥������在区间(1, +∞)上恒成立. 因为在区间(1, +∞)上,0<������<1, 所以 k ≥1. 故 k 的取值范围是[1, +∞).
答案:[1,+∞)
1
1
1
2
3
4
5
6
3 已知函数 f (x)= 围为 解析:f'(x)=
2������- 1 (������+2)
答案:(-∞,-1]
1
234Fra bibliotek56
5 已知函数 f (x)=ax3 +3x2 -x+1 在 R 上是减函数, 求实数 a 的取 值范围. 解:f'(x)=3ax2 +6x-1.
优课系列高中数学北师大版选修22 3.1.1导数与函数的单调性 课件(19张)
例1 已知导函数 f (x) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f(x)0;
当 x > 4 , 或 x < 1时, f(x)0;
当 x = 4 , 或 x = 1时, f(x)0. 试画出函数 f (x) 的图象的大致形状.
解: 当1 < x < 4 时, f(x)0;可知 f (x) 在此区间内
Hale Waihona Puke 1 xlna（5）指数函数的导数:
(ex) ex (a x) a xln a (a 0 ,a 1 )
2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意
义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处 的切线的斜率.
即: k切线 f '(x0)
二、复习引入:
1．要判断 f (x) = x2 的单调性，如何进行？
2.函数 yf(x) 的图象如图所示, 试画出导函数
图象的大致形状
1、已知 f(x)x3bx2cxd的图像过点 P (0 , 2 )且在 x 1
处的切线方程为 6xy70，
求：（1）的解析式；（2）求函数的单调区间. 2、已知函数 f(x)a3x3x2x在1R上是减函数，求a的取值范围.
3） 解 f ' (x) 0和 f '(x) 0； 4）写出单调区间。
3、单调区间不能合并。
4、端点有意义时，单调区间为闭区间。
例4．已知函数
，试讨论出此函数的单调区间.
解：函数的定义域为 （ -， 0） （ 0， ）
.
令
，解得
∴
的单调增区间是：
令
，解得
∴
的单调减区间是：
试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？
3.1.1导数与函数的单调性 课件(北师大版选修2-2)
§1 函数的单调性与极值 1．1 导数与函数的单调性
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
●三维目标 1．知识与技能 (1)引导学生发现函数的单调性与导数的关系， 探索研究 其关系的方法； (2)运用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间．
菜 单
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
演示结束
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
1.掌握函数的单调性与导数的关系． 2.能利用导数研究函数的单调性．(重点、难点) 课标解读 3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其 他函数的单调区间．(重点)
教学时，可借助具体实例发现函数单调性与导数之间 的关系，然后可以从导数的几何意义给予直观解释，再结 合单调性定义和导数定义从代数角度肯定这一关系，这样 就能突破难点，同时加深对导数本质特征的认识． 引导学生解答相应问题，掌握用导数研究函数的单调 性和求函数单调区间的方法和步骤，强化重点．
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x
x
3e x 3 解: y 3e 3 0, e 1, x 0,
x
单调增区间为 0,); ( 3e 3 0, e 1, x 0,
x x
单调减区间为 ,0); (
知识应用
二、应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x 3时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0.
1 2 x
y f '( x )
2 x
o
o
(A)
y
(B)
y
y f ( x)
2
y f ( x)
1 2
x
o
1
x
o
(C)
(D)
课堂练习
1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( A ) (A)(-1,1) （B)(1,2) (C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞) 2、函数y=a(x3-x)的减区间为
函数y=x2－4x＋3的图象： y
0 2
x
单增区间：（２，+∞）. 单减区间：(－∞，２).
那么如何求出下列函数的单调性呢?
(1) y x 2 x x;
3 2
(2) y x ln x;
(3) y e x 1.
x
发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，尤其是在不知道函数图 象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更 为简捷的方法呢？下面我们通 过函数的y=x2－4x＋3图象来考 察单调性与导数有什么关系：
知识应用
一、应用导数求函数的单调区间
求函数
解 : y 6 x 3 6 x 3 0, x
y 3x 3x
2
的单调区间。
1 1 , 单调增区间为 ,); ( 2 2 1 1 6 x 3 0, x , 单调减区间为 , ). ( 2 2
变1：求函数
解 : y 9 x 2 6 x
a的取值范围为( A
(A)a>0
)
3 3 ( , ) 3 3
(B)–1<a<1
(C)a>1
(D) 0<a<1
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个
值，且x1< x2.
(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形. (3)判断差的符号(与０比较)，从而
得函数的单调性.
例1：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
解：取x1<x2∈R， f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3） =（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－4） 则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)， 那么 y=f(x)单调递减。 当2<x1<x2时， x1+x2－4>0， f(x1)<f(x2)， 那么 y=f(x)单调递增。 综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞） y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。
y 3x 3x
3
2 的单调区间。
2 2 9 x 2 6 x 0, x 或x 0, 单调增区间为 ,0) ( ,); ( 3 3 2 2 2 9 x 6 x 0,0 x , 单调减区间为 0, ). ( 3 3
变2：求函数
y 3e 3 x 的单调区间。
第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性
复习引入：
问题1：怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域的单调性
1.一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果 对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1， x2，当x1<x2时， (1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个区间上 是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 y A y f ( x) B o 2 3 x
y 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数， f '( x )的图象如 右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
y y
y f ( x)
1 2
x o
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y f ( x)
x-x+1的单调区间. 例3、判定函数y=e 解: f’(x) =ex-1 当ex-1>0时,解得 x>0. 则函数的单增区间为(0,+∞). 当ex-1<0时,解得x<0. 即函数的单减区间为(-∞,0).
总结：根据导数确定函数的单调性
1.确定函数f(x)的定义域.
2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.
例2：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x 令6x2-12x>0,解得x<0或x>2， 则f(x)的单增区间为（－∞，0）和 （2，＋∞）. 再令6x2-12x<0,解得0<x<2, 则f(x)的单减区间(0,2).
注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单 调性发生改变.
f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x
(2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间 上是减函数 此时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即
f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x
2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：
增函数时有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x 减函数时有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x
这表明：导数的正、负与函数的单调性密 切相关
再观察函数y=x2－4x＋3的图象： y
0
. . . . . ..
2
x
总结:该函数在区间 （－∞，2）上单减, 切线斜率小于0,即其 导数为负,在区间（2， +∞）上单增,切线斜 率大于0,即其导数为 正.而当x=2时其切线 斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发 生改变.
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0,则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数.
x
3e x 3 解: y 3e 3 0, e 1, x 0,
x
单调增区间为 0,); ( 3e 3 0, e 1, x 0,
x x
单调减区间为 ,0); (
知识应用
二、应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x 3时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0.
1 2 x
y f '( x )
2 x
o
o
(A)
y
(B)
y
y f ( x)
2
y f ( x)
1 2
x
o
1
x
o
(C)
(D)
课堂练习
1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( A ) (A)(-1,1) （B)(1,2) (C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞) 2、函数y=a(x3-x)的减区间为
函数y=x2－4x＋3的图象： y
0 2
x
单增区间：（２，+∞）. 单减区间：(－∞，２).
那么如何求出下列函数的单调性呢?
(1) y x 2 x x;
3 2
(2) y x ln x;
(3) y e x 1.
x
发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，尤其是在不知道函数图 象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更 为简捷的方法呢？下面我们通 过函数的y=x2－4x＋3图象来考 察单调性与导数有什么关系：
知识应用
一、应用导数求函数的单调区间
求函数
解 : y 6 x 3 6 x 3 0, x
y 3x 3x
2
的单调区间。
1 1 , 单调增区间为 ,); ( 2 2 1 1 6 x 3 0, x , 单调减区间为 , ). ( 2 2
变1：求函数
解 : y 9 x 2 6 x
a的取值范围为( A
(A)a>0
)
3 3 ( , ) 3 3
(B)–1<a<1
(C)a>1
(D) 0<a<1
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个
值，且x1< x2.
(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形. (3)判断差的符号(与０比较)，从而
得函数的单调性.
例1：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
解：取x1<x2∈R， f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3） =（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－4） 则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)， 那么 y=f(x)单调递减。 当2<x1<x2时， x1+x2－4>0， f(x1)<f(x2)， 那么 y=f(x)单调递增。 综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞） y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。
y 3x 3x
3
2 的单调区间。
2 2 9 x 2 6 x 0, x 或x 0, 单调增区间为 ,0) ( ,); ( 3 3 2 2 2 9 x 6 x 0,0 x , 单调减区间为 0, ). ( 3 3
变2：求函数
y 3e 3 x 的单调区间。
第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性
复习引入：
问题1：怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域的单调性
1.一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果 对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1， x2，当x1<x2时， (1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个区间上 是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 y A y f ( x) B o 2 3 x
y 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数， f '( x )的图象如 右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
y y
y f ( x)
1 2
x o
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y f ( x)
x-x+1的单调区间. 例3、判定函数y=e 解: f’(x) =ex-1 当ex-1>0时,解得 x>0. 则函数的单增区间为(0,+∞). 当ex-1<0时,解得x<0. 即函数的单减区间为(-∞,0).
总结：根据导数确定函数的单调性
1.确定函数f(x)的定义域.
2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.
例2：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x 令6x2-12x>0,解得x<0或x>2， 则f(x)的单增区间为（－∞，0）和 （2，＋∞）. 再令6x2-12x<0,解得0<x<2, 则f(x)的单减区间(0,2).
注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单 调性发生改变.
f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x
(2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间 上是减函数 此时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即
f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x
2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：
增函数时有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x 减函数时有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x
这表明：导数的正、负与函数的单调性密 切相关
再观察函数y=x2－4x＋3的图象： y
0
. . . . . ..
2
x
总结:该函数在区间 （－∞，2）上单减, 切线斜率小于0,即其 导数为负,在区间（2， +∞）上单增,切线斜 率大于0,即其导数为 正.而当x=2时其切线 斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发 生改变.
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0,则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数.