集合的概念难题汇编(附答案)

. ... ..2013年9月犀利哥的高中数学组卷一．选择题（共11小题）1．（2011•）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的2．（2007•）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3} 3．（2010•延庆县一模）将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组如下：则2010位于（）A．第7组B．第8组C．第9组D．第10组4．（2009•闸北区一模）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A={1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（）A．10个B．11个C．12个D．13个5．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=，若A={1，2}，B={x||x2+ax+1|=1}，且A*B=1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么C（S）等于（）A．4B．3C．2D．16．（2013•模拟）设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3﹣a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为（）A．78 B．76 C．84 D．837．下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合；（3）这些数组成的集合有5个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限的点集．A．0个B．1个C．2个D．3个8．若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A．15 B．16 C．28D．259．定义A⊗B={z|z=xy+，x∈A，y∈B}．设集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（）A．3B．9C．18 D．2710．已知元素为实数的集合A满足条件：若a∈A，则，那么集合A中所有元素的乘积为（）A．﹣1 B．1C．0D．±111．设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0•y0，则（）A．a∈P，b∈Q B．a∈Q，b∈P C．a∈P，b∈P D．a∈Q，b∈Q二．填空题（共14小题）12．（2004•虹口区一模）定义集合A，B的一种运算“*”，A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B中所有元素的和_________．13．（2011•模拟）已知集合，且2∈A，3∉A，则实数a的取值围是_________．14．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是_________．15．（2006•）非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G={非负整数}，⊕为整数的加法．②G={偶数}，⊕为整数的乘法．③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法．④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法．⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是_________．（写出所有“融洽集”的序号）16．（2012•模拟）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下五个结论：①集合A={﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；②正整数集是闭集合；③集合A={n|n=3k，k∈Z}是闭集合；④若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合；⑤若集合A1，A2为闭集合，且A1⊆R，A2⊆R，则存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）．其中正确的结论的序号是_________．17．（2011•三模）设集合A⊆R，对任意a、b、c∈A，运算“⊕具有如下性质：（1）a⊕b∈A；（2）a⊕a=0；（3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c给出下列命题：①0∈A②若1∈A，则（1⊕1）⊕1=0；③若a∈A，且a⊕0=a，则a=0；④若a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，则a=c．其中正确命题的序号是_________（把你认为正确的命题的序号都填上）．18．已知集合A={a1，a2，…，a n，n∈N*且n＞2}，令T A={x|x=a i+a j}，a i∈A，a j∈A，1≤i≤j≤n，card（T A）表示集合T A中元素的个数．①若A={2，4，8，16}，则card（T A）=_________；②若a i+1﹣a i=c（1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（T A）=_________．19．设集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，S k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S i={a i，b i}，S j={a j，b j}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是_________．20．设集合A=，B=，函数f（x）=若x0∈A，且f[f（x0）]∈A，则x0的取值围是_________．21．（文）设集合A⊆R，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合A的聚点．则在下列集合中：（1）Z+∪Z﹣（2）R+∪R﹣（3）（4）以0为聚点的集合有_________（写出所有你认为正确结论的序号）．22．用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）_________．23．设，则A∩B用列举法可表示为_________．24．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，即，其中a，b∈Q．则下列元素：①；②；③；④．其中是集合M的元素是_________．（填序号）25．用列举法表示集合：=_________．三．解答题（共5小题）26．（2007•）已知集合A={a1，a2，…，a k（k≥2）}，其中a i∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a∉A，则称集合A具有性质P．（I）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（II）对任何具有性质P的集合A，证明：；（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．27．对于集合A={x|x=m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}，因为16=52﹣32，所以16∈A，研究下列问题：（1）1，2，3，4，5，6六个数中，哪些属于A，哪些不属于A，为什么？（2）讨论集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素属于A，试给出一个一般的结论，不必证明．28．已知集合A={x|x=m+n，m，n∈Z}．（1）设x1=，x2=，x3=（1﹣3）2，试判断x1，x2，x3与集合A之间的关系；（2）任取x1，x2∈A，试判断x1+x2，x1•x2与A之间的关系．29．已知集合A的全体元素为实数，且满足若a∈A，则∈A．（1）若a=2，求出A中的所有元素；（2）0是否为A中的元素？请再举例一个实数，求出A中的所有元素；（3）根据（1）、（2），你能得出什么结论？30．设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10﹣x∈S．（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；（2）是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；（3）由（1）、（2）的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论（要求至少写出两个结论）？2013年9月犀利哥的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2011•）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的考点：元素与集合关系的判断．专题：压轴题；阅读型；新定义．分析：本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T，V 的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可．解答：解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确故选A．点评：此题考查学生理解新定义的能力，会判断元素与集合的关系，是一道比较难的题型．2．（2007•）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3}考点：元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：首先分别对P，Q两个集合进行化简，然后按照P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，求出P﹣Q即可．解答：解：∵化简得：P={x|0＜x＜2}而Q={x||x﹣2|＜1}化简得：Q={x|1＜x＜3}∵定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，∴P﹣Q={x|0＜x≤1}故选B点评：本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题．3．（2010•延庆县一模）将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组如下：则2010位于（）A．第7组B．第8组C．第9组D．第10组考点：元素与集合关系的判断；集合的表示法；等差数列；等比数列．专题：计算题．分析：首先将正偶数集合按大小顺序排列是一个等差数列，先求出2010是此数列中的第几项，然后按第n组有2n 个偶数进行分组，每组中集合元素的个数正好是等比数列，求出解答：解：正偶数集按从小到大的顺序排列组成数列2，4，6…2n2n=2010，n=1005由第一组{2，4}的元素是2个第二组{6，8，10，12}的元素是4个第三组{14，16，18，20，22，24，26，28}的元素是8个…第m组的元素是2n个2+4+8+…+2n==2m+1﹣22m+1﹣2＜1005，解得2m＜503.5m∈z，28=256，29=512，256＜503.5＜512所以，m=9，故选C．点评：此题表面是一个集合题，实际上考查等差数列的通项公式和等比数列求和公式，但过程中一定要思路清晰，否则容易出错．4．（2009•闸北区一模）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A={1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（）A．10个B．11个C．12个D．13个考点：元素与集合关系的判断．专题：综合题；压轴题．分析：本题考查的是新定义和集合知识联合的问题．在解答时首先要明确集合A的所有子集是什么，然后严格按照题目当中对“孤立元”的定义逐一验证即可．当然，如果按照“孤立元”出现的情况逐一排查亦可．解答：解：“孤立元”是1的集合：{1}；{1，3，4}；{1，4，5}；{1，3，4，5}；“孤立元”是2的集合：{2}；{2，4，5}；“孤立元”是3的集合：{3}；“孤立元”是4的集合：{4}；{1，2，4}；“孤立元”是5的集合：{5}；{1，2，5}；{2，3，5}；{1，2，3，5}．点评：本题考查的是集合知识和新定义的问题．在解答过程当中应充分体会新定义问题概念的确定性，与集合子集个数、子集构成的规律．此题综合性强，值得同学们认真总结和归纳．5．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=，若A={1，2}，B={x||x2+ax+1|=1}，且A*B=1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么C（S）等于（）A．4B．3C．2D．1考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；压轴题；新定义；分类讨论．分析：根据A={1，2}，B={x||x2+ax+1|=1}，且A*B=1，可知集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程|x2+ax+1|=1的根的个数进行讨论，即可求得a的所有可能值，进而可求C（S）．解答：解：|x2+ax+1|=1⇔x2+ax+1=1 或x2+ax+1=﹣1，即x2+ax=0 ①或x2+ax+2=0 ②，∵A={1，2}，且A*B=1，∴集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，∴a=0；2°集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即，解得a=±2，综上所述a=0或a=±2，∴C（S）=3．故选B．点评：此题是中档题．考查元素与集合关系的判断，以及学生的阅读能力和对新定义的理解与应用．6．（2013•模拟）设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3﹣a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为（）A．78 B．76 C．84 D．83考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：从集合S中任选3个元素组成集合A，一个能组成C93个，再把不符合条件的去掉，就得到满足条件的集合A的个数．解答：解：从集合S中任选3个元素组成集合A，一个能组成C93个，其中A={1，2，9}不合条件，其它的都符合条件，所以满足条件的集合A的个数C93﹣1=83．故选D．点评：本题考查元素与集合的关系，解题时要认真审题，仔细思考，认真解答．7．下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合；（3）这些数组成的集合有5个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限的点集．A．0个B．1个C．2个D．3个考点：集合的含义．专题：计算题．分析：（1）（3）中由集合元素的性质：确定性、互异性可知错误；（2）中注意集合中的元素是什么；（4）中注意x=0或y=0的情况．解答：解：（1）中很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性；（2）中集合{y|y=x2﹣1}的元素为实数，而集合{（x，y）|y=x2﹣1}的元素是点；（3）有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}中还包括实数轴上的点．故选A点评：本题考查集合元素的性质和集合的表示，属基本概念的考查．8．若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A．15 B．16 C．28D．25考点：元素与集合关系的判断．专题：综合题；压轴题；新定义．分析：先找出具有伙伴关系的元素：﹣1，1，、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，利用组合知识求解即可．解答：解：具有伙伴关系的元素组有﹣1，1，、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，个数为C41+C42+C43+C44=15故选A点评：本题考查集合的子集问题、排列组合等知识，考查学生利用所学知识分析问题、解决问题的能力．9．定义A⊗B={z|z=xy+，x∈A，y∈B}．设集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（）A．3B．9C．18 D．27考点：元素与集合关系的判断．专题：新定义．分析：首先根据题意，求出A⊗B中的元素，然后求出（A⊗B）⊗C中所含的元素，最后求和即可．解答：解：由题意可求（A⊗B）中所含的元素有0，4，5，则（A⊗B）⊗C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．故选C点评：本题考查元素与集合关系的判断，通过集合间的关系直接判断最后求和即可，属于基础题．10．已知元素为实数的集合A满足条件：若a∈A，则，那么集合A中所有元素的乘积为（）A．﹣1 B．1C．0D．±1考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；新定义．分析：根据若a∈A，则，依据定义令a=代入进行求解，依次进行赋值代入进行化简，把集合A中元素所有的形式全部求出，再求出它们的乘积．解答：解：由题意知，若a∈A，则，令a=，代入==；令a=代入==，令a=，代入==a，A={a，，，，}，则所有元素的乘积为1，故选B．点评：本题主要考查集合的应用，题目比较新颖，以及阅读题意的能力，有一定的难度，主要对集合元素的理解．11．设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0•y0，则（）A．a∈P，b∈Q B．a∈Q，b∈P C．a∈P，b∈P D．a∈Q，b∈Q考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：据集合中元素具有集合中元素的属性设出x0，y0，求出x0+y0，x0•y0并将其化简，判断其具有Q，P中哪一个集合的公共属性．解答：解：∵x0∈P，y0∈Q，设x0=2k﹣1，y0=2n，n，k∈Z，则x0+y0=2k﹣1+2n=2（n+k）﹣1∈P，x0y0=（2k﹣1）（2n）=2（2nk﹣n），故x0y0∈Q．故a∈P，b∈Q，故选A．点评：本题考查集合中的元素具有集合的公共属性、元素与集合关系的判断、等基础知识，考查化归与转化思想．属于基础题．二．填空题（共14小题）12．（2004•虹口区一模）定义集合A，B的一种运算“*”，A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B中所有元素的和14．考点：集合的含义．专题：新定义．分析：由A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}，A={1，2，3}，B={1，2}，知A*B={2，3，4，5}，由此能求出集合A*B 中所有元素的和．解答：解：∵A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．A={1，2，3}，B={1，2}，∴A*B={2，3，4，5}，2+3+4+5=14．故答案为：14．点评：本题考查集合的概念，解题时要认真审题，注意新定义的灵活运用．13．（2011•模拟）已知集合，且2∈A，3∉A，则实数a的取值围是．考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；转化思想．分析：根据集合，且2∈A，3∉A，知道2满足不等式，3不满足该不等式，即，解此不等式组即可求得实数a的取值围．解答：解：∵，且2∈A，3∉A，∴，解得：．故答案为．点评：此题是个中档题．考查了元素与集合之间的关系，以及分式不等式的求解，对题意的正确理解和转化是解决此题的关键．14．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是6．考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；压轴题．分析：由S={1，2，3，4，5，6}，结合x∈A时，若有x﹣1∉A，且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案．解答：解：∵S={1，2，3，4，5，6}，其中不含“孤立元”的集合4个元素必须是：共有{1，2，3，6}，{1，3，4，6}，{1，4，5，6}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是6个．故答案为6．点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，我们要根据定义列出满足条件列出所有不含“孤立元”的集合，及所有三元集的个数，进而求出不含“孤立元”的集合个数．15．（2006•）非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G={非负整数}，⊕为整数的加法．②G={偶数}，⊕为整数的乘法．③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法．④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法．⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是①③．（写出所有“融洽集”的序号）考点：集合的含义．专题：压轴题；新定义；对应思想．分析：根据题意对给出的集合和运算对两个条件：运算的封闭性和单位量e进行验证，分别用加法、乘法和平面向量的线性运算的法则判断，只有都满足时才是G关于运算⊕为“融洽集”．解答：解：①G={非负整数}，⊕为整数的加法，满足任意a，b∈G，都有a⊕b∈G，且令e=0，有a⊕0=0⊕a=a，∴①符合要求；②G={偶数}，⊕为整数的乘法，若存在a⊕e=a×e=a，则e=1，矛盾，∴②不符合要求；③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法，两个向量相加结果仍为向量；取，满足要求，∴③符合要求；④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，∴④不符合要求；⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴⑤不符合要求，这样G关于运算⊕为“融洽集”的有①③．故答案为：①③．点评：本题考查了学生对新定义的理解和运用能力，可结合学过的运算性质进行类比理解，比如：第一条是运算的封闭性，第二条如加法中的“0”或乘法中的“1”．16．（2012•模拟）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下五个结论：①集合A={﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；②正整数集是闭集合；③集合A={n|n=3k，k∈Z}是闭集合；④若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合；⑤若集合A1，A2为闭集合，且A1⊆R，A2⊆R，则存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）．其中正确的结论的序号是②③⑤．考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：明确闭集合的定义，然后严格按照题目当中对“闭集合”的定义逐一验证即可．解答：解：对于①：集合A={﹣4，﹣2，0，2，，4}；例如﹣4+（﹣2）=﹣6∉A，故不是闭集合，故不正确；对于②：任意a，b∈A，有a+b∈A，所以正整数集是闭集合，正确．对于③：由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3 的倍数，故③是闭集合，故正确；对于④：假设A1={n|n=3k，k∈Z}，A2={n|n=5k，k∈Z}，3∈A1，5∈A2，但是，3+5∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，故错．对于⑤：设集合A1={n|n=3k，k∈Z}，A2={n|n=2k，k∈Z}都为闭集合，但5∉（A1∪A2）．故⑤正确．正确结论的序号是②③⑤．故答案为：②③⑤．点评：本题考查的是集合知识和新定义的问题．充分体会新定义问题概念的确定性，与集合子集个数、子集构成的规律．此题综合性强，值得总结和归纳．17．（2011•三模）设集合A⊆R，对任意a、b、c∈A，运算“⊕具有如下性质：（1）a⊕b∈A；（2）a⊕a=0；（3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c给出下列命题：①0∈A②若1∈A，则（1⊕1）⊕1=0；③若a∈A，且a⊕0=a，则a=0；④若a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，则a=c．其中正确命题的序号是①③④（把你认为正确的命题的序号都填上）．考点：元素与集合关系的判断．专题：压轴题；新定义；综合法．分析：根据定义中所给的规则（1）a⊕b∈A；（2）a⊕a=0；（3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c，对四个命题逐一进行验证，得出正确命题．解答：解：①由（1）a⊕b∈A；（2）a⊕a=0，0∈A，故①正确；②由（2）a⊕a=0；（3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c知1∈A，则（1⊕1）⊕1=1，故②不正确；③当a=0时，若a∈A，且a⊕0=a，则a=0显然成立，当a≠0时，若若a∈A，且a⊕0=a，则在（3）中令c=0，发现此时（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c无意义，故a=0，③正确；④a⊕0=a或得a=0，又a⊕b=c⊕b，故有a=c=0，所以④正确；综上①③④正确故答案为①③④点评：本题考查元素与集合关系的判断，正确解答本题，关键是掌握并理解新定义中所给的规则，以及灵活选用规则判断命题是否正确．本题比较抽象，应好好总结做题规律．18．已知集合A={a1，a2，…，a n，n∈N*且n＞2}，令T A={x|x=a i+a j}，a i∈A，a j∈A，1≤i≤j≤n，card（T A）表示集合T A中元素的个数．①若A={2，4，8，16}，则card（T A）=10；②若a i+1﹣a i=c（1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（T A）=2n﹣3．考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；新定义．分析：对于①若A={2，4，8，16}，直接计算出T A={6，10，18，12，20，24}，即可得出答案；②若a i+1﹣a i=c（1≤i≤n﹣1，c为非零常数），说明数列a1，a2，…，a n，构成等差数列，利用特殊化思想，取特殊的等差数列进行计算，结合类比推理可得card（T A）=2n﹣3．解答：解：①若A={2，4，8，16}，则T A={6，10，18，12，20，24，4，8，16，32}，∴card（T A）=10；②若a i+1﹣a i=c（1≤i≤n﹣1，c为非零常数），说明数列a1，a2，…，a n，构成等差数列，取特殊的等差数列进行计算，取A={1，2，3，…，n}，则T A={3，4，5，…，2n﹣1}，由于（2n﹣1）﹣3+1=2n﹣3，∴T A中共2n﹣3个元素，利用类比推理可得若a i+1﹣a i=c（1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（T A）=2n﹣3．故答案为：10；2n﹣3．点评：本题考查集合与元素的位置关系和数列的综合应用，综合性较强，解题时注意特殊化思想和转化思想的运用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属基础题．19．设集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，S k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S i={a i，b i}，S j={a j，b j}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是11．考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，由此能求出满足条件的两个元素的集合的个数．解答：解：含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个．故答案为：11．点评：本题考查元素与集合的关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答．20．设集合A=，B=，函数f（x）=若x0∈A，且f[f（x0）]∈A，则x0的取值围是．考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：这是一个分段函数，从x0∈A入手，依次表达出里层的解析式，最后得到1﹣2x0∈A，解不等式得到结果．解答：解：x0∈A，即，所以，，即，即f（x0）∈B，所以f[f（x0）]=2[1﹣f（x0）]=1﹣2x0∈A，即，解得：，又由，，所以．故答案为：（，）点评：本题考查元素与集合间的关系，考查分段函数，解题的关键是看清自变量的围，代入适合的代数式．21．（文）设集合A⊆R，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合A的聚点．则在下列集合中：（1）Z+∪Z﹣（2）R+∪R﹣（3）（4）以0为聚点的集合有（2）（4）（写出所有你认为正确结论的序号）．考点：元素与集合关系的判断．专题：阅读型；新定义．分析：根据集合聚点的新定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．解答：解：（1）对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z+∪Z﹣，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是Z+∪Z﹣的聚点；（2）集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点；（3）中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合的聚点；（4）集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a∴0是集合的聚点故答案为（2）（4）点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义﹣﹣集合的聚点的含义，是解答本题的关键．22．用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）{（x,y)|xy＞0,且．考点：集合的表示法．专题：计算题．分析：利用图中的阴影部分的点的坐标满足的条件即为集合的元素的公共属性．解答：解：图中的阴影部分的点设为（x，y）则{x，y）|﹣1≤x≤0，﹣或0，0≤y≤1}={（x，y）|xy＞0且﹣1}故答案为：{（x，y）|xy＞0，且}点评：本题考查用集合表示平面图形，注意代表元素是数对．23．设，则A∩B用列举法可表示为{（1，1），（0，1），（0，﹣1）}．考点：集合的表示法．专题：计算题．分析：欲求出A∩B中的元素，只须求解方程组的解．将方程组的解用列举法写出来即得答案．解答：解：∵求解方程组的解，或或由此可知集合A∩B用列举法可表示为{（1，1），（0，1），（0，﹣1）}故答案为{（1，1），（0，1），（0，﹣1）}点评：本题考查集合的表示法、集合的性质和应用，解题时要注意不重复、不遗漏．24．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，即，其中a，b∈Q．则下列元素：①；②；③；④．其中是集合M的元素是①③④．（填序号）考点：元素与集合关系的判断．专题：新定义．分析：通过a，b取值直接判断①②，是否正确，通过化简③④，确定a，b的值判断③④是否满足题意．解答：解：对于①，显然a=0，b=1，满足题意；对于②；显然a=3，b=π，π是无理数，所以②不满足题意；对于③==3+2，所以a=3，b=2满足题意；对于④==4，a=4，b=0，满足题意．是集合M的元素是①③④．故答案为：①③④．点评：本题考查元素与集合关系的判断，考查计算能力，逻辑推理能力．25．用列举法表示集合：={﹣11，﹣6，﹣3，﹣2，0，1，4，9}．考点：集合的表示法．专题：计算题．分析：首先根据，对m值进行分析，当为整数时记录m的值，最后综合m的值构成集合M解答：解：∵；m=﹣11时，；m=﹣6时，=﹣2；m=﹣3时，=﹣5；m=﹣2时，=﹣10；m=0时，=10；m=1时，=5；m=4时，=2；m=9时，=1；∴M={﹣11，﹣6，﹣3，﹣2，0，1，4，9}故答案为：{﹣11，﹣6，﹣3，﹣2，0，1，4，9}点评：本题考查集合的表示方法，根据已知题意进行分析，通过对m值的分析为解题的关键，属于基础题．三．解答题（共5小题）26．（2007•）已知集合A={a1，a2，…，a k（k≥2）}，其中a i∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a∉A，则称集合A具有性质P．（I）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（II）对任何具有性质P的集合A，证明：；（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．考点：元素与集合关系的判断；集合的含义．专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（I）利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，利用集合S，T的定义写出S，T．（II）据具有性质P的集合满足a∈A，总有﹣a∉A，得到0∉A得到（a i，a i）∉T；当（a i，a j）∈T时，（a j，a i）∉T，求出T中的元素个数．（III）对应S中的元素据S，T的定义得到也是T中的元素，反之对于T中的元素也是s中的元素，得到两个集合中的元素相同．解答：（I）解：集合{0，1，2，3}不具有性质P．集合{﹣1，2，3}具有性质P，其相应的集合S和T是S=（﹣1，3），（3，﹣1），T=（2，﹣1），（2，3）．（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（a i，a j）共有k2个．因为0∉A，所以（a i，a i）∉T（i=1，2，，k）；又因为当a∈A时，﹣a∉A时，﹣a∉A，所以当（a i，a j）∈T时，（a j，a i）∉T（i，j=1，2，，k）．从而，集合T中元素的个数最多为，即．（III）解：m=n，证明如下：（1）对于（a，b）∈S，根据定义，a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T．如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素．可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，（2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A，且a﹣b∈A，从而（a﹣b，b）∈S．如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a﹣b=c﹣d与b=d中也不至少有一个不成立，故（a﹣b，b）与（c﹣d，d）也是S的不同元素．可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，由（1）（2）可知，m=n．点评：本题考查利用题中的新定义解题；新定义题是近几年常考的题型，要重视．27．对于集合A={x|x=m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}，因为16=52﹣32，所以16∈A，研究下列问题：（1）1，2，3，4，5，6六个数中，哪些属于A，哪些不属于A，为什么？（2）讨论集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素属于A，试给出一个一般的结论，不必证明．考点：元素与集合关系的判断．专题：探究型．分析：（1）根据集合A的元素的性质证明1，3，4，5∈A，对于2和6用反证法进行证明，证明过程注意根据整数是奇（偶）进行分类说明；（2）根据集合A的元素的性质，在偶数中找出是集合A的元素和一些不是的A的元素，由这些数的特征进行归纳得出结论．解答：解：（1）∵1=12﹣02；3=22﹣12；5=32﹣22；4=22﹣02；∴1，3，4，5∈A，且2，6∉A；（5分）设2∈A，得存在m，n∈Z，使2=m2﹣n2成立．（m﹣n）（m+n）=2当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与2不是4倍数矛盾．当m，n同分别为奇，偶数时，m﹣n，m+n均为奇数（m﹣n）（m+n）为奇数，与2是偶数矛盾．∴2∉A同理6∉A（8分）（2）4=22﹣02；8=32﹣12；12=42﹣22；2，6，10，14，∉A，结论：是4的倍数的数属于A．（12分）点评：本题考查了元素与集合的关系，只要根据集合元素满足的性质进行判断，利用归纳推理思想方法进行归纳出集合元素的性质的结论，考查了分析和解决问题的能力．28．已知集合A={x|x=m+n，m，n∈Z}．（1）设x1=，x2=，x3=（1﹣3）2，试判断x1，x2，x3与集合A之间的关系；（2）任取x1，x2∈A，试判断x1+x2，x1•x2与A之间的关系．考点：元素与集合关系的判断．专题：证明题．分析：（1）经过分母有理化、开方、平方化简即可判断出x1，x2，x3是否属于集合A．（2）经过计算可判断出是否属于集合A．解答：解：（1）∵===﹣﹣．∴x1∉A．∵==．∴x 2∈A．∵=19﹣6．∴x3∈A．（2）设，m，n∈Z，，c，d∈Z，则x1+x2=（m+c）+（n+d），∵（m+c），（n+d）∈Z，∴（x1+x2）∈Z．x1x2==mc+2nd+（md+cn），∵（mc+2nd），（md+cn）∈Z，∴x1x2∈Z．点评：本题考查了元素与集合之间的关系，正确理解和化简是解决问题的关键．29．已知集合A的全体元素为实数，且满足若a∈A，则∈A．（1）若a=2，求出A中的所有元素；（2）0是否为A中的元素？请再举例一个实数，求出A中的所有元素；（3）根据（1）、（2），你能得出什么结论？考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：（1）由已知中若a∈A，则∈A，由a=2∈A，可得∈A，再由∈A，可得2∈A，进而得到A中的所有元素；。