组合数学大作业

2016 组合数学大作业题目及解答1. 用母函数法解决下面的问题。

从n 双互相不同的鞋中取出r 只（n r ≤），要求其中没有任何两只是成对的，问共有多少种不同的取法？解：母函数法，由定理2.1.1得()()∑==+=nr r r r n nx C x x 0221G 由于每类元素最多只能出现一次，故()()n x x 21G +=中不能有2x 项，再由同双的两只鞋子有区别，x 的系数应为2。

2.（Hanoi 塔问题）n 个圆盘按从小到大的顺序一次套在柱A 上。

规定每次只能从一根柱子上搬动一个圆盘到另一根柱子上，且要求在搬动过程中不允许大盘放在小盘上，而且只有A 、B 、C 三根柱子可供使用。

用n a 表示将n 个盘从柱A 移到柱C 上所需搬动圆盘的最少次数，试建立数列{}n a 的递推关系。

A B C解：将n 个盘从A 转移到C 过程中，考虑到A 柱的底下的最大的盘，那么某时刻前n-1个盘一定落在B 柱上（否则不满足要求在搬动过程中不允许大盘放在小盘上），接着将最大盘从A 转移到C ，将前n-1个盘从B 再次转移到C ，假设n a 表示将n 个盘从柱A 移到柱C 上所需搬动圆盘的最少次数：则易知递推关系为： ⎩⎨⎧=+-=11)1(**21a n s a n公式解：12-=n n a3. 设G ＝{全部整数}，a, b G ，定义a*b ＝a ＋b －2，则G 关于运算*构成一个群。

试证明之。

证：(1) G b a b a ∈-+=*2∈(2)()()()()()()c b a c b a c b a c b a c b a c b a **2*22222***=-+=--++=-+-+=-+= (3)单位元为2：a a a a a *222222=-+==-+=*(4)a 的逆元为()()()()a a a a a a a a a a *4242244*:44-=-+-==--+=--=+-（5）满足交换律：a b a b b a b a *22*=-+=-+=所以G 关于*构成一个群。

4. 已知n a a a ,...,21与n b b b ,...,21是n 2个正数，且1......22221=+++n a a a ，1......22221=+++n b b b ，求证：nn b a b a b a b a ......,,332211中存在一个值一定不大于1。

解：用反证法 若nn b a b a b a b a ......,,332211中不存在一个值不大于1，,即式子的每一项都大于1 即：1......1,1,1332211>>>>n n b a b a b a b a 即：n n b a b a b a b a >>>>......,,332211 即a 的每一项都比b 大 22232322222121......,,nn b a b a b a b a >>>>⇒ 22322212232221............nn b b b b a a a a +++>++++⇒ 与题设条件1......1......22322212232221=+++==++++n n b b b b a a a a 不符合所以假设失败，即nn b a b a b a b a ......,,332211中存在一个值一定不大于15.翻译下面一段文章。

Theorem 11.5.3 Graph isomorphism is an equivalence relation.Proof It suffices to show that graph isomorphism is reflexive, symmetric, and transitive.(i)(Reflexive)—In this case, the required bijection is the identity map. Hence,G ≈ G.(ii) (Symmetric)—Suppose that G ≈ H. Then, there exists a bijection φ : V(G) → V (H) such tha t uv∈ E(G) if and only if φ(u)φ(v) ∈ E(H). Sinceφis a bijection, it has an inverse, φ−1. Since G ≈ H, if wz∈ E(H), thenthere exists xy∈ E(G) such that φ(x) = w and φ(y) = z. Thus, φ−1(w) =x and φ−1(z) = y. It follows that φ−1(w)φ−1(z) = xy∈ E(G). So, φ−1 is anisomorphism. Therefore, H ≈ G.(iii) (Transitive)—Suppose that G ≈ H and H ≈ K. Thus, there exists a bijection φ : V (G) → V (H) such that uv∈ E(G) if and only if φ(u)φ(v) ∈ E(H).Similarly, there exists a bijection ψ: V (H) → V (K) such that wz∈ E(H)if and only if ψ(w)ψ(z) ∈ E(K). Note that the composition of bijectionsis likewise a bijection (see Exercise 1.4.8). We claim that ψ◦φis therequired bijection. Suppose that uv∈ E(G). Thus, φ(u)φ(v) ∈ E(H). Thisimplies that ψ(φ(u))ψ(φ(v)) ∈ E(K). A similar argument holds if uv∈/ E(G). Ergo, G ≈ K.定理11.5.3图同构是一种等价关系。

证明它可以表明,图同构具有自反性,对称性,和传递性。

1)(自反性)——这种情况下,需要双射函数是恒等映射。

因此,G≈G。

(2)(对称性)假设G≈H.然后,存在一个双射函数φ:V(G)→V(H)使得uv∈E(G)当且仅当φ(u)φ(V)∈E(H)。

由于φ是一个双射函数,它有一个逆函数,φ−1。

由于G≈H,如果wz∈E(H),然后存在xy∈E(G),可得φ(x)= w和φ(y)= z。

因此,φ−1(w)= x和φ−1(z)= y。

由此可见,φ−1(w)φ−1(z)=xy∈E(G)。

所以,φ−1是一个同构。

因此,H≈G。

(3)(传递)假设G≈H和H≈k.因此,存在一个双射函数φ:V(G)→V(H),当且仅当φ(u)φ(V)∈E(H)可得uv∈E(G)。

同样,存在一个双射ψ:V(H)→V(K),当且仅当ψ(w)ψ(z)∈E(K)可得wz∈E(H)。

同样注意,复合双射函数同样是一个双射(参见练习1.4.8)。

我们声明ψ，φ被要求是双射函数。

假设uv∈E(G)。

因此,φ(u)φ(v)∈E(H)。

这意味着ψ(φ(u)ψ(φ(v))∈E(K)。

如果uv∈/E(G)，类似的论证支持。

因此,G≈K。

6.用组合数学的方法分析韩信点兵的策略。

由下面的“韩信点兵”的数学分析可以总结出如下关系：假设有一个数num，被x除余a，被y除余b，被z除余c，求满足条件的num的最小值值？又：被y、z整除，而被x除余1的最小正整数是n；被x、z整除，而被y除余1的最小正整数是m；被x、y整除，而被z除余1的最小正整数是t。

x,y,z的最小公倍数是s所以，这三个数的和是num = n * a + m * b + t * c - s，必然具有被x除余a，被y除余b，被z除余c的性质。

若num的值小于s，则num即为所要求的最小值；若num大于s，则num逐次减去s的值，直至小于s即可（num的值不可能等于s，除非a,b,c都为0）根据上面的算法，韩信点兵时，必须先知道部队的大约人数，否则他也是无法准确算出人数的。

，被5、7整除，而被3除余1的最小正整数是70；被3、7整除，而被5除余1的最小正整数是21；被3、5整除，而被7除余1的最小正整数是15。

所以，这三个数的和是15×2＋21×3＋70×2，必然具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性质。

原因在于：被3、5整除，而被7除余1的最小正整数是15；被3、7整除，而被5除余1的最小正整数是21；被5、7整除，而被3除余1的最小正整数是70。

因此，被3、5整除，而被7除余2的最小正整数是15×2＝30；被3、7整除，而被5除余3的最小正整数是21×3＝63；被5、7整除，而被3除余2的最小正整数是70×2＝140。

于是和数15×2＋21×3＋70×2，必具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性质。

但所得结果233（30＋63＋140＝233）不一定是满足上述性质的最小正整数，故从它中减去3、5、7的最小公倍数105的若干倍，直至差小于105为止，即 233－105－105＝23。

所以23就是被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小正整数。