组合数学作业答案
组合数学题目及标准答案
组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
组合数学参考答案(卢开澄第四版)
组合数学第一章作业答案
2 = 2 Cm2 1 Cn 1 k 1 k 1
若 k 是偶数，则要么
k k 个 1 插入 m-1 个空挡，要么首尾各有 1 个 1，并把 1 个 1 2 2
插入 m-1 个空档，剩下的 1 同上处理共计：
C C
附加题：
k 2 m 1ຫໍສະໝຸດ k 1 2 n 1Ck 1 2 m 1
2n 2n n n 1
(2n)! 2n ! 1 n C2 n n !n ! (n 1)!( n 1)! n 1
1.50 (a)先排好 5 个 0 在 5 个 0 中插入 2 个 1，可以产生 4 个 01/10。 在 5 个 0 中插入 1 个 1，在首尾各插入 1 个 1，可以产生 4 个 01/10。 剩下的 1 插入在原有 1 的前面，对 01/10 无贡献。
同理，也是求符合正方形约束的对角线条数 1 1 2 C10 + C10 = 96 1.25 (1) 1 + C5 3 3 (2) C15 − C5 = 445 1.26 2*200*800+200*200=360000 或者 179900 1.27 (1) 5! * 6! =86400 (2) 5! * 6! =86400 (3) 6*5*8! = 1209600 1.33 先将 r 个球放入 n 个盒子里，每个盒子里放 k 个球，然后将余下的(r-kn)个球放入 n 个
字典序法 递增法 递减法 邻位对换法
r 1 Cn 1 相当于在 n 个球的 n-1 个空中选取 r-1 个作为间隔。
40
30
40 40
60 30
40 30
3 1.18 5! ∗ C6 = 2400, 5 个有球的盒子的全排列，再将 3 个空盒插入 5 个盒子相邻的 6 个 空隙内
组合数学7章作业答案
第7章 递推关系和生成函数7.8 练习题16、求解初始值10=h ，01=h 和02=h 的递推关系3223---=n n n h h h ，（3≥n ）。
解：□18、确定长为n 、不包含两个相连的0或相连的1的三进制串（即由一些0、1和2组成的串）的个数n a 的公式。
解：□23、求解非齐次递推关系nn n h h 2341⨯+=-（1≥n解：由定理3.4.46个没有区别的车放在66⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有6！种。
2个红车4个蓝车，那么放置方法是!4!2)!6(2⨯=6！×15种。
□19、给定8个车，其中5个红车，3个蓝车。
ⅰ) 将8个车放在88⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有多少？ⅱ) 将8个车放在1212⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有多少？解：ⅰ) 由定理3.4.48个没有区别的车放在88⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯38!8 种。
□ⅱ) 将8个车放在1212⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛38!8812812种。
□21、单词ADDRESSES 的字母有多少排列？这9个字母有多少8-排列？解：因为有1个A ，2个D ，1个R ，2个E ，3个S所以，字母的排列共有!3!2!2!9⨯⨯个。
8-排列的个数是!2!2!2!8!3!2!8!3!2!2!8!3!2!8!3!2!2!8⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯种。
□。
组合数学习题解答
第一章：1.2. 求在1000和9999之间各位数字都不相同，而且由奇数构成的整数个数。
解：由奇数构成的4位数只能是由1，3，5，7，9这5个数字构成，又要求各位数字都不相同，因此这是一组从5个不同元素中选4个的排列，所以，所求个数为：P(5,4)=120。
1.4. 10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式？如果其中有两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？解：这显然是一组10个人的全排列问题，故共有10！种就坐方式。
如果两个人坐在一起，则可把这两个人捆绑在一起，如是问题就变成9个人的全排列，共有9！种就坐方式。
而这两个人相捆绑的方式又有2种（甲在乙的左面或右面）。
故两人坐在一起的方式数共有2*9！，于是两人不坐在一 起的方式共有 10！- 2*9！。
1.5. 10个人围圆桌而坐，其中两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？ 解：这是一组圆排列问题，10个人围圆就坐共有10!10 种方式。
两人坐在一起的方式数为9!92⨯,故两人不坐在一起的方式数为：9！-2*8！。
1.14. 求1到10000中，有多少正数，它的数字之和等于5？又有多少数字之和小于5的整数？解：(1)在1到9999中考虑，不是4位数的整数前面补足0， 例如235写成0235,则问题就变为求：x 1+x 2+x 3+x 4=5 的非负整数解的个数，故有 F （4，5）=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=515456 (2)分为求：x 1+x 2+x 3+x 4=4 的非负整数解，其个数为F （4，4）=35 x 1+x 2+x 3+x 4=3 的非负整数解，其个数为F （4，3）=20 x 1+x 2+x 3+x 4=2 的非负整数解，其个数为F （4，2）=10 x 1+x 2+x 3+x 4=1 的非负整数解，其个数为F （4，1）=4 x 1+x 2+x 3+x 4=0 的非负整数解，其个数为F （4，0）=1 将它们相加即得，F （4，4）+F （4，3）+F （4，2）+F （4，1）+F （4，0）=70。
组合数学课后习题答案
组合数学课后习题答案问题1求解以下组合数：(a)C(5, 2)(b)C(7, 3)(c)C(10, 5)解答：(a)C(5, 2) 表示从5个不同元素中选取2个的组合数。
根据组合数的定义，我们可以使用公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算组合数。
计算 C(5, 2)： C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3!) / (2! * 3!) = (5 * 4) / 2 = 10所以 C(5, 2) = 10。
(b)C(7, 3) 表示从7个不同元素中选取3个的组合数。
计算 C(7, 3)： C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5 * 4!) / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / 3 = 35 * 2 = 70所以 C(7, 3) = 70。
(c)C(10, 5) 表示从10个不同元素中选取5个的组合数。
计算 C(10, 5)： C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252所以 C(10, 5) = 252。
问题2在一个集合 {a, b, c, d, e} 中，求解以下问题：(a)有多少种不同的3个元素的子集？(b)有多少种不同的4个元素的子集？(c)有多少种不同的空集合？(a)在一个集合 {a, b, c, d, e} 中选取3个元素的子集。
子集的元素个数为3，所以我们需要从5个元素中选取3个。
利用组合数的公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，我们可以计算组合数。
《组合数学》姜建国著(第二版)-课后习题答案完全版
组合数学(第2版)-姜建国,岳建国习题一（排列与组合）1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？ 解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数；（1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；（4）选4个，即构成4位数，共有45P 个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。
2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1）每位的数字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字2与7；解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：① 一位数，可从1～9中任取一个，共有9个；② 两位数。
十位上的数可从1～9中选取，个位数上的数可从其余9个数字中选取，根据乘法法则，共有9981⨯=个；③ 三位数。
百位上的数可从1～9中选取，剩下的两位数可从其余9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有299648P ⨯=个；④ 四位数。
又可分三种情况：⏹ 千位上的数从1～4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有3942016P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数从1～3中选取，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有283168P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数取0，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有2856P =个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：9816482016168562978+++++=个；（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：设{0,1,3,4,5,6,8,9}A =① 一位数，可从{0}A -中任取一个，共有7个；② 两位数。
十位上的数可从{0}A -中选取，个位数上的数可从A 中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有7749⨯=个；③ 三位数。
最新组合数学习题答案(1-4章全)
第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=1，2，…，45时，b ＝6，7，…，50。
满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5，a=5，6，…，50时，b ＝0，1，2，…，45。
满足a=b+5的点共45个点. 所以，共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有：7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有(7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有mn C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
组合数学试题及答案
组合数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在组合数学中，从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示为：A. C(n, m)B. P(n, m)C. A(n, m)D. nCm答案：A2. 如果一个集合有10个元素，从中任取3个元素的组合数为：A. 120B. 210C. 1001D. 1000答案：B3. 组合数学中的排列数与组合数的关系是：A. P(n, m) = C(n, m) * m!B. C(n, m) = P(n, m) / m!C. P(n, m) = C(n, m) + m!D. P(n, m) = C(n, m) * n!答案：B4. 以下哪个公式用于计算组合数？A. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)B. P(n, m) = n! / (n-m)!C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A5. 如果一个集合有8个元素，从中任取2个元素的排列数为：A. 28B. 56C. 8!D. 7!答案：B6. 组合数学中，排列数P(n, m)的定义是：A. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的排列方式的数量B. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的组合方式的数量C. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的排列方式的数量，不考虑顺序D. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的组合方式的数量，考虑顺序答案：A7. 以下哪个公式用于计算排列数？A. P(n, m) = n! / (n-m)!B. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A8. 如果一个集合有15个元素，从中任取5个元素的组合数为：A. 3003B. 3000C. 1365D. 15504答案：D9. 组合数学中的二项式系数表示为：A. C(n, m)B. P(n, m)C. A(n, m)D. B(n, m)答案：A10. 以下哪个公式用于计算二项式系数？A. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)B. P(n, m) = n! / (n-m)!C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 从5个不同元素中取出3个元素的组合数为 ________。
(完整版)排列组合经典练习(带答案)
排列与组合习题1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为() A．40B．50C．60D．70[解析]先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种[解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个[解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有() A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人[解析]设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()A．45种B．36种C．28种D．25种[解析]因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种[解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34 C．35 D．36[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A．72 B．96 C．108 D．144[解析]分两类：若1与3相邻，有A22·C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33·A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种[解析]先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25＝120种，故选C.10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49·C25·C33＝1260(种)排法．12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．[解析]先将6名志愿者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A 44种分法，故所有分配方案有：C 26·C 24A 22·A 44＝1 080种． 13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种 解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 （A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A ＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个 答案：C17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
小学组合数学试卷及答案
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项不是组合数学中的概念？A. 排列B. 组合C. 集合D. 树2. 从5个不同的水果中取出3个，有多少种不同的组合方式？A. 10种B. 15种C. 20种D. 25种3. 下列哪个公式表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数？A. C(n, m) = n! / [m! (n-m)!]B. P(n, m) = n! / [m! (n-m)!]C. nCm = n! / [m! (n-m)!]D. nPm = n! / [m! (n-m)!]4. 一个班级有10名学生，要从中选出3名学生参加比赛，有多少种不同的选法？A. 120种B. 720种C. 120种D. 720种5. 从0到9这10个数字中，任取4个数字组成一个四位数，共有多少种不同的组合？A. 10种B. 90种C. 100种D. 256种6. 在一个3x3的拉丁方格中，填入1到9这9个数字，使得每行、每列、每条对角线上都不重复，有多少种不同的填法？A. 9种B. 36种C. 72种D. 81种7. 下列哪个选项不是二项式定理的应用？A. 展开二项式 (a+b)^nB. 计算组合数C. 解决排列问题D. 解决概率问题8. 下列哪个选项不是图论中的概念？A. 节点B. 边C. 集合D. 路径9. 从6个不同的球中取出3个，有多少种不同的组合方式，不考虑顺序？A. 15种B. 20种C. 30种D. 60种10. 一个班级有8名学生，要从中选出4名学生参加比赛，有多少种不同的选法？A. 70种B. 56种C. 28种D. 14种二、填空题（每题2分，共20分）11. 从5个不同的水果中取出2个，有______种不同的组合方式。
12. 组合数 C(n, m) 表示从n个不同元素中取出m个元素的______。
13. 在一个3x3的拉丁方格中，填入1到9这9个数字，每行、每列、每条对角线上都不重复的填法共有______种。
组合练习题答案
组合练习题答案在回答组合练习题答案之前，需要先了解组合的基本概念和相关的计算方法。
组合是数学中的一个分支，用于计算选取对象的排列方式。
它与排列相似，但是不考虑对象的顺序。
在解决实际问题中，组合经常被用于计算不同元素的组合情况，比如从一组数字或字母中选取指定个数的组合方式。
下面将通过几个实例来解答组合练习题。
题目一：从10个人中选取3个人作为组合，共有多少种可能性？解答一：根据组合的计算公式C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]，我们可以得到答案：C(10,3)=10!/[3!(10-3)!]=10!/(3!7!)=10*9*8/(3*2*1)=120。
所以，从10个人中选取3个人作为组合，共有120种可能性。
题目二：某个班级共有12名男生和18名女生，要从中选取5名学生组成一个小组，其中至少有2名男生和2名女生，请问有多少种可能的组合方式？解答二：根据题目要求，我们可以将问题分为两种情况来计算：情况一：选取2名男生和3名女生的组合数量。
C(12,2)*C(18,3)=66*816=54096。
情况二：选取3名男生和2名女生的组合数量。
C(12,3)*C(18,2)=220*153=33660。
所以，根据加法原理，总的组合数量为54096+33660=87756。
综上所述，在题目给定的情况下，共有87756种可能的组合方式。
题目三：某台球比赛中共有9个奖杯，其中3个分别是金奖、银奖和铜奖。
要将这9个奖杯颁发给4名选手，每个选手至少获得一个奖杯，请问有多少种可能的组合方式？解答三：根据题目要求，我们可以将问题分为四种情况来计算：情况一：选手A获得金奖，选手B获得银奖，选手C获得铜奖，选手D获得剩下的6个奖杯的组合数量。
C(6,6)=1。
情况二：选手A获得金奖，选手B获得银奖，选手C获得铜奖，选手D还获得另外3个奖杯的组合数量。
C(3,3)=1。
情况三：选手A获得金奖，选手B获得银奖，选手C还获得另外3个奖杯，选手D获得剩下的3个奖杯的组合数量。
组合练习题答案
组合练习题答案一、选择题1. 下列哪个选项不属于组合数学中的基本概念？A. 排列B. 组合C. 乘法原理D. 除法原理答案：D2. 在n个不同的元素中取出m个元素的组合数可以用以下哪个公式表示？A. C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)B. C(n, m) = (n - m)! / (m! * (n - m)!)C. C(n, m) = n! / (m! * n!)D. C(n, m) = m! / (n - m)!答案：A3. 如果一个排列中元素的顺序是重要的，那么它是一个：A. 组合B. 排列C. 子集D. 集合答案：B4. 假设有5个不同的球和3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，不同的放球方式有多少种？A. 15B. 20C. 25D. 30答案：C5. 以下哪个不是组合数学中的计数问题？A. 计算不同排列的数量B. 计算不同组合的数量C. 计算不同分割的数量D. 计算不同方程的解答案：D二、填空题1. 如果有7个不同的数字，从中选取3个数字进行排列，总共有______ 种不同的排列方式。
答案：5042. 一个班级有30个学生，需要选出5个学生组成一个委员会，不同的委员会组成方式有 ______ 种。
答案：1425063. 如果一个组合问题中元素的顺序不重要，我们通常使用 ______ 来计算可能的组合数。
答案：组合公式4. 假设有10个不同的球，需要将它们分成3组，每组至少有一个球，不同的分法有 ______ 种。
答案：905. 一个排列问题中，如果元素的顺序是重要的，我们通常使用______ 来计算可能的排列数。
答案：排列公式三、解答题1. 一个班级有40名学生，需要选出一个由5名学生组成的篮球队。
如果不考虑性别，不同的组队方式有多少种？解答：根据组合公式 C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)，我们可以计算出不同的组队方式为 C(40, 5) = 40! / (5! * 35!) = 658008种。
组合练习题及答案
组合练习题及答案练习题一：组合的基本运算1. 给定集合A={1, 2, 3, 4}，求A的所有子集。
2. 集合B={a, b, c}，求B的所有真子集。
3. 若集合C={1, 2, 3}，求C的幂集。
4. 集合D={x | x是小于10的正整数}，求D的元素个数。
答案一：1. 集合A的子集有：∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}。
2. 集合B的真子集有：∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}。
3. 集合C的幂集为：∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}。
4. 集合D的元素个数为9，因为D={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。
练习题二：组合的应用问题1. 从5个不同的球中选出3个球，有多少种不同的选法？2. 有6个人参加一个会议，需要选出3个人组成委员会，有多少种不同的组合方式？3. 一个班级有30个学生，需要选出5个学生代表，有多少种不同的组合方式？4. 一个团队有10名成员，需要选出队长和副队长各一名，有多少种不同的选择方式？答案二：1. 从5个不同的球中选出3个球的选法为C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10种。
2. 从6个人中选出3个人组成委员会的组合方式为C(6, 3) = 6! / (3! * (6-3)!) = 20种。
3. 从30个学生中选出5个学生代表的组合方式为C(30, 5) = 30! / (5! * (30-5)!)。
4. 从10名成员中选出队长和副队长的组合方式为C(10, 1) * C(9, 1) = 10 * 9 = 90种。
组合数学习题答案（部分）
n 阶幻方的构造
分三种情况：n 为奇数、n 为 4 的倍数、n 为其它偶数(4n+2 的形式)
⑴ n 为奇数时，最简单
(1) 将 1 放在第一行中间一列; (2) 从 2 开始直到 n×n 止各数依次按下列规则存放：
按 45°方向行走，（如向右上） 每一个数存放的行比前一个数的行数减 1，列数加 1 (3) 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。 例如 1 在第 1 行，则 2 应放在最下一行，列数同样加 1; (4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第 1 行 第 n 列时， 则把下一个数放在上一个数的下面。
置的元素。 （4）调换 A 区和 D 区，B 区和 C 区中选定的对应元素。
30 39 48 1 10 19 28 38 47 7 9 18 27 29 46 6 8 17 26 35 37 5 14 16 25 34 36 45 13 15 24 33 42 44 4 21 23 32 41 43 3 12 22 31 40 49 2 11 20
1
)
34
2 42
3!
43
2(1 1 1 1 ) 2(1 0.083 0.0069) 2.1522 12 9 16
第四章 容斥原理
2.
4.
5.
6.
7. 求集合{1，2，…，n}的排列数，使得在排 列中正好有k个整数在它们的自然位置上。
8.
13.
14.
16.
⑵ n 为 4 的倍数时
采用对称元素交换法。 1.把 数 1 到 n×n 按从 上至下，从左到 右顺序填入矩阵 2.将方 阵的所有 4×4 子方阵中的两对角 线上位置的数关 于方阵 中心作对 称交换 ，即 a(i,j)与 a(n+1-i,n+1-j) 交换，所有其它位置上的数不变。
组合数学习题答案.
第一章答案 第二章答案 第三章答案 第四章答案第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。
8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。
12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。
当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。
组合数学题目及标准答案
组合数学题目及标准答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
组合数学题目及答案
组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
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解令S为 的全部 个循环排列的集合， 为出现模式 的循环排列的集合（ ）， 为出现模式 的循环排列的集合。若 且 是集合 中的不同整数，则 。 。因此，
她们可以有1625种方法改变座位。
第七章作业答案
(b)数字2和7不出现。
解因为只能出现数字0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9，所以整数的位数至多为8。
①考虑8位整数。最高位不能为0，因此8位整数有 个。
②考虑7位整数。最高位不能为0，因此8位整数有 个。
③考虑6位整数。最高位不能为0，因此8位整数有 个。
④考虑5位整数。最高位不能为0，因此8位整数有 个。
1.设 表示斐波那契序列。通过用小的n值为下列每一个表达式赋值，猜测一般公式，然后用数学归纳法和斐波那契递归证明之。
（c）
（d）
解(c)对于小的n值，列出 和 的值如下。
n012345678
01123581321
0 0 1 4 12
猜测：
当 时， ，结论成立。
当 时， ，结论成立。
设 且 ，则
(d)对于小的n值，列出 和 的值如下。
解(a)用E表示向东步行1个街区，用N表示向北步行1个街区。因为该秘书需要向东步行9个街区，向北步行7个街区，总共步行16个街区，因此他的上班路线是多重集 的排列。这样的排列的个数为 11440。
(b)若他从水下的街区走过，则他先要走到离家以东4个街区、以北3个街区的地方，再向东走一个街区，最后走到工作的大楼。他从家走到离家以东4个街区、以北3个街区的地方的路线的数目是多重集 的排列数，即 35。他从离家以东5个街区、以北3个街区的地方走到工作的大楼的路线的数目是多重集 的排列数，即 70。所以，如果他从水下的街区走过，则他可能有的路线数是 。因此，如果他不从水下的街区走过，则他可能有的路线数是 。
解法二该序列的生成函数 。
因此， 。
30.确定苹果、桔子、香蕉和梨的袋装水果的袋数 的生成函数，其中各袋要有偶数个苹果，最多两个桔子，3的倍数个香蕉，最多一个梨。然后从该生成函数求出 的公式。
解生成函数
因此， 。
32.令 是由 定义的序列（ ）。确定该序列的生成函数。
解
两边求导数得到
两边再求导数得到
9.确定方程
满足
， ， ，
的整数解的个数。
解引入新变量
则方程
满足
， ， ，
的整数解的个数等于方程
满足
， ， ，
的整数解的个数。设S是方程 的所有非负整数解的集合，则 。设 为方程 的所有满足 的非负整数解的集合， 为方程 的所有满足 的非负整数解的集合， 为方程 的所有满足 的非负整数解的集合， 为方程 的所有满足 的非负整数解的集合，则 ， ， 。若 ，则 。因此，方程
⑤考虑4位整数。若千位数字大于5，有 个。若千位数字等于5，则百位数字必须大于等于4，有 个。
根据加法原理，符合条件的整数的个数为
8. 15人围坐一个圆桌。如果B拒绝挨着A坐，有多少种围坐方式？如果B只拒绝坐在A的右侧，又有多少种围坐方式？
解15人围坐一个圆桌，有 种围坐方式。若B固定坐在A的左侧，则可将 看作一个整体，有 种围坐方式。若B固定坐在A的右侧，则可将 看作一个整体，有 种围坐方式。因此，B不挨着A坐的围坐方式有 种，B不坐在A的右侧的围坐方式有 种。
令 为 ， 为 ， 为 ，n为9，得到
因此， 的系数是
42.用牛顿二项式定理近似计算 。
解
第六章作业答案
3.求出从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数。
解设S是从1到10000的整数的集合， 是从1到10000的完全平方数的集合， 是从1到10000的完全立方数的集合。因为 ，所以 。因为 ，所以 。因为一个整数既是完全平方数也是完全立方数的充分必要条件是它是完全六次方数， ，所以 。从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数
第二章作业答案
7.证明，对任意给定的52个整数，存在两个整数，要么两者的和能被100整除，要么两者的差能被100整除。
证明用100分别除这52个整数，得到的余数必为0, 1,…, 99这100个数之一。将余数是0的数分为一组，余数是1和99的数分为一组，…，余数是49和51的数分为一组，将余数是50的数分为一组。这样，将这52个整数分成了51组。由鸽巢原理知道，存在两个整数分在了同一组，设它们是a和b。若a和b被100除余数相同，则 能被100整除。若a和b被100除余数之和是100，则 能被100整除。
满足
， ， ，
的整数解的个数
24.把六个非攻击型车放到具有如下所述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数是多少？
(c)
×
×
×
×
×
×
×
×
解禁放位置可分成两个“独立”部分，左上角的 部分，包含5个位置，右下角的 部分，包含3个位置。用 表示把k个非攻击型车都放在禁止位置的方法数。 。若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有 种方法；若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有1种方法；若在 部分和 部分的禁止位置各放一个非攻击型车，则有 种方法。因此， 。若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，在 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有 种方法；若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，在 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有 种方法；若在 部分的禁止位置放三个非攻击型车，则有1种方法。因此， 。若在 部分的禁止位置放三个非攻击型车，在 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有 种方法；若在 部分和 部分的禁止位置各放两个非攻击型车，则有 种方法。因此， 。若在 部分的禁止位置放三个非攻击型车，在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有1种方法， 。把六个非攻击型车放到具有上述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数是
6.面包店出售巧克力的、肉桂的和素的炸面包圈，并在一特定时刻有6个巧克力、6个肉桂和3个素炸面包圈。如果一个盒子装12个面包圈，那么可能有多少种不同的盒装面包圈组合？
解用a，b，c分别表示巧克力的、肉桂的和素的炸面包圈。本题要求的是多重集 的12-组合的个数。设S为 的所有12-组合的集合，则 。设 为 的所有至少有7个a的12-组合的集合， 为 的所有至少有7个b的12-组合的集合， 为 的所有至少有4个c的12-组合的集合。每个 的5-组合再加上7个a就得到一个至少有7个a的12-组合，所以 的至少有7个a的12-组合的个数等于 的5-组合的个数， 。同样可得到 ， 。 的至少有7个a和7个b的12-组合的个数 ， 的至少有7个a和4个c的12-组合的个数 ， 的至少有7个b和4个c的12-组合的个数 ， 的至少有7个a、7个b和4个c的12-组合的个数 。因此，T的12-组合的个数
14.一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个桔子和100个梨。如果我每分钟从袋子里取出一个水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？
解由加强形式的鸽巢原理知道，如果从袋子中取出 个水果，则能肯定至少已拿出12个相同种类的水果。因此，需要45分钟。
17.证明：在一群 个人中，存在两个人，他们在这群人中有相同数目的熟人（假设没有人与他/她自己是熟人）。
11.从15个球员的集合中选人组成11个球员的足球队，其中5人只能踢后卫，8人只能踢边卫，2人既能踢后卫又能踢边卫。假设足球队有7个人踢边卫4个人踢后卫，确定足球队可能的组队方法数。
解设甲和乙既能踢后卫又能踢边卫。
若甲和乙均不入选，组队方法数为 。
若甲和乙均入选，组队方法数为 + + 。
若甲入选且乙不入选，组队方法数为 + 。
证明因为每个人都不是自己的熟人，所以每个人的熟人的数目是从0到 的整数。若有两个人的熟人的数目分别是0和 ，则有人谁都不认识，有人认识所有的人，这是不可能的。因此，这n个人的熟人的数目是 个整数之一，必有两个人有相同数目的熟人。
第三章作业答案
6.有多少使下列性质同时成立的大于5400的整数？
(a)各位数字互异。
26.计算 的排列 的个数，其中
； ； ； 以及 。
解所要求的排列个数等于把六个非攻击型车放到具有如下所述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数。
×
×
×
×
×
×
×
×
×
禁放位置可分成两个“独立”部分，左上角的 部分，包含5个位置，右下角的 部分，包含4个位置。用 表示把k个非攻击型车都放在禁止位置的方法数。 。若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有4种方法；若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有2种方法；若在 部分和 部分的禁止位置各放一个非攻击型车，则有 种方法。因此， 。若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，在 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有 种方法；若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，在 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有 种方法。因此， 。若在 部分和 部分的禁止位置各放两个非攻击型车，则有 种方法。因此， 。 。把六个非攻击型车放到具有上述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数是
解对应齐次递推关系的特征方程为 ，它的特征根为4。设该非齐次递推关系的特解为 ，则 ，因而 ，因此 。
该非齐次递推关系的一般解为 。
令 ，得 ，解得 。因此， 。
26.求解非齐次递推关系
（ ）
解法一对应齐次递推关系的特征方程为 ，它的特征根为4。设该非齐次递推关系的特解为 ，则 ，解得 。该非齐次递推关系的一般解为 。令 ，得 。因此， 。
S的有3个a3个b4个c的10-排列的个数为 。
S的10-排列的个数为 。
31.方程 有多少满足 ， ， ， 的整数解？
解进行变量代换：
， ， ，
则方程变为
原方程满足条件的解的个数等于新方程的非负整数解的个数。新方程的非负整数解的个数为