组合数学 课后答案

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(完整word版)组合数学课后答案

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习题二证明:在一个至少有2人的小组中,总存在两个人,他们在组内所认识的人数相同。

证明:假设没有人谁都不认识:那么每个人认识的人数都为[1,n-1],由鸽巢原理知,n个人认识的人数有n-1种,那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识:那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2],由鸽巢原理知,n-1个人认识的人数有n-2种,那么至少有2个人认识的人数相同。

假设至少有两人谁都不认识,则认识的人数为0的至少有两人。

任取11个整数,求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。

证明:对于任意的一个整数,它除以10的余数只能有10种情况:0,1,…,9。

现在有11个整数,由鸽巢原理知,至少有2个整数的余数相同,则这两个整数的差必是10的整数倍。

证明:平面上任取5个坐标为整数的点,则其中至少有两个点,由它们所连线段的中点的坐标也是整数。

证明:有5个坐标,每个坐标只有4种可能的情况:(奇数,偶数);(奇数,奇数);(偶数,偶数);(偶数,奇数)。

由鸽巢原理知,至少有2个坐标的情况相同。

又要想使中点的坐标也是整数,则其两点连线的坐标之和为偶数。

因为奇数+奇数= 偶数;偶数+偶数=偶数。

因此只需找以上2个情况相同的点。

而已证明:存在至少2个坐标的情况相同。

证明成立。

一次选秀活动,每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”,至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明:根据推论2.2.1,若将3*(100-1)+1=298个人得到3种结果,必有100人得到相同结果。

一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。

那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明:根据推论2.2.1,若将4*(20-1)+ 1 = 77个水果取出,必有20个相同种类的水果。

证明:在任意选取的n+2个正整数中存在两个正整数,其差或和能被2n整除。

(书上例题2.1.3)证明:对于任意一个整数,它除以2n的余数显然只有2n种情况,即:0,1,2,…,2n-2,2n-1。

组合数学卢开澄课后习题答案

组合数学卢开澄课后习题答案

组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科,它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。

卢开澄是中国著名的组合数学家,他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。

在学习组合数学的过程中,课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。

下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。

第一章:集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1:设集合A={1,2,3},B={2,3,4},求A∪B和A∩B的结果。

答案:A∪B={1,2,3,4},A∩B={2,3}。

习题2:证明若A∩B=A∩C,且A∪B=A∪C,则B=C。

答案:首先,由A∩B=A∩C可得B⊆C,同理可得C⊆B,因此B=C。

然后,由A∪B=A∪C可得B⊆C,同理可得C⊆B,因此B=C。

综上所述,B=C。

1.2 命题逻辑习题1:将下列命题用命题变元表示:(1)如果今天下雨,那么我就带伞。

(2)要么他很聪明,要么他很勤奋。

答案:(1)命题变元P表示今天下雨,命题变元Q表示我带伞,命题可表示为P→Q。

(2)命题变元P表示他很聪明,命题变元Q表示他很勤奋,命题可表示为P∨Q。

习题2:判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式:(1)(P∨Q)→(P∧Q)(2)(P→Q)∧(Q→P)答案:(1)该命题为可满足式,因为当P为真,Q为假时,命题为真。

(2)该命题为永真式,因为无论P和Q取何值,命题都为真。

第二章:排列与组合2.1 排列习题1:从10个人中选取3个人,按照顺序排成一队,有多少种不同的结果?答案:根据排列的计算公式,共有10×9×8=720种不同的结果。

习题2:从10个人中选取3个人,不考虑顺序,有多少种不同的结果?答案:根据组合的计算公式,共有C(10,3)=120种不同的结果。

2.2 组合习题1:证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。

答案:根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k),因此组合恒等式成立。

组合数学 课后答案 PDF 版

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4.1 证明所有的循环群是 ABEL 群 证明:
循环群也是群,所以群的定义不用再证,只需证明对于任意a, b G, G是循环群,有a * b b * a成立,因为循环群中的元素可写成a=xm 形式 所以等式左边xm × x n x m n , 等式右边x n xm=x m n, a b b a,即所有 的循环群都是ABEL群。
因为 H 是 G 的子群, 所以在 H 中的一个 (b m ) r 一定在 G 中对应一个 a m 使得
(b m ) r a m ,
所以有 b rm a m ,则 rm 一定是 m 的倍数,所以则 H 的阶必除尽 G 的阶。 4.9 G 是有限群,x 是 G 的元素,则 x 的阶必除尽 G 的阶。
N-1 N-2
N
1
2 3
……
……
图N! C N!
如图: N 个人围成一个圆桌的所有排列如上图所示。一共 N!个。
……

6
…………………………
… …
……
… …


旋转 360/i,i={n,n-1,n-2,……1}; 得到 n 种置换 当且仅当 i=1 的置换(即顺时针旋转 360/1 度:P1=(c1)(c2)……(cn!);) 时有 1 阶循环存在 (因为只要圆桌转动,所有圆排列中元素的绝对位置都发生了 变化,所以不可能有 1 阶循环存在) 。 不同的等价类个数就是不同的圆排列个数,根据 Burnside 引理,
4.18 若以给两个 r 色球,量个 b 色的球,用它装在正六面体的顶点,试问有多 少种不同的方案。 解:单位元素(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) ,格式为(1)8. 绕中轴旋转 90。的置换非别为(1234) (5678) , (4321) (8765) 2 格式为(4) ,同格式的共轭类有 6 个。

组合数学课后习题答案

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第一章答案1.(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2.(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。

8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10.1)用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式;2)如果某n 可以表示成题中表达式的形式,则等式两端除以2取余数,可以确定a 1;再对等式两端的商除以3取余数,又可得a 2;对等式两端的商除以4取余数,又可得a 3;…;这说明表达式是唯一的。

11.易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。

组合意义:右:从n 个不同元素中任取r+1个出来,再从这r+1个中取一个的全体组合的个数;左:上述组合中,先从n 个不同元素中任取1个出来,每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。

12.考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。

当第二组最大数为a k 时,第二组共有2k-1种不同的可能,第一组有2n-k -1种不同的可能。

故符合要求的不同分组共有12)2()12(21111+-=-----=∑n k n k n k n 种。

组合数学课后习题答案

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组合数学课后习题答案问题1求解以下组合数:(a)C(5, 2)(b)C(7, 3)(c)C(10, 5)解答:(a)C(5, 2) 表示从5个不同元素中选取2个的组合数。

根据组合数的定义,我们可以使用公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算组合数。

计算 C(5, 2): C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3!) / (2! * 3!) = (5 * 4) / 2 = 10所以 C(5, 2) = 10。

(b)C(7, 3) 表示从7个不同元素中选取3个的组合数。

计算 C(7, 3): C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5 * 4!) / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / 3 = 35 * 2 = 70所以 C(7, 3) = 70。

(c)C(10, 5) 表示从10个不同元素中选取5个的组合数。

计算 C(10, 5): C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252所以 C(10, 5) = 252。

问题2在一个集合 {a, b, c, d, e} 中,求解以下问题:(a)有多少种不同的3个元素的子集?(b)有多少种不同的4个元素的子集?(c)有多少种不同的空集合?(a)在一个集合 {a, b, c, d, e} 中选取3个元素的子集。

子集的元素个数为3,所以我们需要从5个元素中选取3个。

利用组合数的公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!),我们可以计算组合数。

《组合数学》姜建国著(第二版)-课后习题答案完全版

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组合数学(第2版)-姜建国,岳建国习题一(排列与组合)1.在1到9999之间,有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数? 解:该题相当于从“1,3,5,7,9”五个数字中分别选出1,2,3,4作排列的方案数;(1)选1个,即构成1位数,共有15P 个;(2)选2个,即构成两位数,共有25P 个;(3)选3个,即构成3位数,共有35P 个;(4)选4个,即构成4位数,共有45P 个;由加法法则可知,所求的整数共有:12345555205P P P P +++=个。

2.比5400小并具有下列性质的正整数有多少个?(1)每位的数字全不同;(2)每位数字不同且不出现数字2与7;解:(1)比5400小且每位数字全不同的正整数;按正整数的位数可分为以下几种情况:① 一位数,可从1~9中任取一个,共有9个;② 两位数。

十位上的数可从1~9中选取,个位数上的数可从其余9个数字中选取,根据乘法法则,共有9981⨯=个;③ 三位数。

百位上的数可从1~9中选取,剩下的两位数可从其余9个数中选2个进行排列,根据乘法法则,共有299648P ⨯=个;④ 四位数。

又可分三种情况:⏹ 千位上的数从1~4中选取,剩下的三位数从剩下的9个数字中选3个进行排列,根据乘法法则,共有3942016P ⨯=个;⏹ 千位上的数取5,百位上的数从1~3中选取,剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列,共有283168P ⨯=个;⏹ 千位上的数取5,百位上的数取0,剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列,共有2856P =个;根据加法法则,满足条件的正整数共有:9816482016168562978+++++=个;(2)比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数;按正整数的位数可分为以下几种情况:设{0,1,3,4,5,6,8,9}A =① 一位数,可从{0}A -中任取一个,共有7个;② 两位数。

十位上的数可从{0}A -中选取,个位数上的数可从A 中其余7个数字中选取,根据乘法法则,共有7749⨯=个;③ 三位数。

最新组合数学习题答案(1-4章全)

最新组合数学习题答案(1-4章全)

第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b},使其满足:()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解,得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5,a=1,2,…,45时,b =6,7,…,50。

满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5,a=5,6,…,50时,b =0,1,2,…,45。

满足a=b+5的点共45个点. 所以,共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。

1.2 5个女生,7个男生进行排列,(a) 若女生在一起有多少种不同的排列? (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列?(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少?[解] (a) 女生在一起当作一个人,先排列,然后将女生重新排列。

(7+1)!×5!=8!×5!=40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案,共有8个空隙,将5个女生插入,故需从8个空中选5个空隙,有58C 种选择。

将女生插入,有5!种方案。

故按乘法原理,有:7!×58C ×5!=33868800(种)方案。

(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ,B 之间,有35C 种方案,在让3个女生排列,有3!种排列,将这5个人看作一个人,再与其余7个人一块排列,有(7+1)! = 8!由于A ,B 可交换,如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理,有:2×35C ×3!×8!=4838400(种)1.3 m 个男生,n 个女生,排成一行,其中m ,n 都是正整数,若(a) 男生不相邻(m ≤n+1); (b) n 个女生形成一个整体; (c) 男生A 和女生B 排在一起; 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列,有n!种方法,共有n+1个空隙,选出m 个空隙,共有mn C 1+种方法,再插入男生,有m!种方法,按乘法原理,有:n!×mn C 1+×m!=n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。

组合数学第四版(RichardA.Brualdi著)机械工业出版社课后答案1

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第2章 鸽巢原理2.4 练习题1、关于本节中的应用4,证明对于每一个1,2,…,21存在连续若干天,在此期间国际象棋大师将恰好下完局棋(情形21是在应用4中处理的情况)。

能否判断:存在连续若干天,在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋?=k k =k 证明:设表示在前天下棋的总数i a i 若正好有=,则命题得证。

若不然,如下:i a k ∵共有11周,每天至少一盘棋,每周下棋不能超过12盘∴有 ,且771≤≤i 13217721≤<<<≤a a a{}21,,2,1 ∈∀k 有k k a k a k a k +≤+<<+<+≤+13217721观察以下154个整数:k a k a k a a a a +++77217721,,,,,,,每一个数是1到之间的整数,其中k +132153132≤+k由鸽巢原理,这154个数中至少存在两个相等的数∵都不相等,7721,,,a a a k a k a k a +++7721,,, 都不相等∴j i ,∃,使=i a k a j +即这位国际象棋大师在第,1+j 2+j ,…,天总共下了盘棋。

i k 综上所述,对于每一个1,2,…,21存在连续若干天,在此期间国际象棋大师将恰好下完局棋。

=k k □当=22时,132+=154,那么以下154个整数k k 22,,22,22,,,,77217721+++a a a a a a在1到154之间。

ⅰ)若这154个数都不相同则它们能取到1到154的所有整数,必然有一个数是22∵,2222>+i a 771≤≤i∴等于22的数必然是某个,i a 771≤≤i则在前天,这位国际象棋大师总共下了22盘棋。

i ⅱ)若这154个数中存在相同的两个数∵都不相等,7721,,,a a a k a k a k a +++7721,,, 都不相等∴j i ,∃,使=i a k a j +即这位国际象棋大师在第,1+j 2+j ,…,天总共下了盘棋。

组合数学第一章课后习题部分答案

组合数学第一章课后习题部分答案
m n 1.3 (1) Pn+1 Pn m+1 n (2) Pm+1 Pn m+n −1 (3) 2Pm+n −1
n
1.6
i i ! 1.1! 1.1! n n! 1.1!
i 1
= 2.1! 2.2! 1.1! = 3.2! 3.2! 1.1! =(n+1)!-1 1.8 (10 , 20 ) = (2 5 ,2 5 ) = 2 5 (包括 1) 公因数共有 41·31=1271 个。 1.14 2!*3! =12 1.15 488895 1.16
C
k 2 n 1
按照以上字典序法、递增进位制数、递减进位制数法和邻位对换法四种算法,分别求出 83674521 之后第 1013 个排列。 中介数 7244221 7442221 1222447 1012120 1012 中介数 122021 122021 3005 3005 新中介数 7411320 7604320 1230454 1020125 新排序 85237614 87543126 47683215 32741865
已知 6 个球里有 3 个白球,那么最后一个球是白球的概率为 1/2
2 2 C2 60 −6C 10 −10C 6
1.24 (1)
2
= 675
60 个点中任取 2 点,除去 2 点共线的情况,对应一条矩形的对角线(正方形也是一类 特殊的矩形) ,除以 2 是因为矩形有两条对角线 (2)
2 2 2 3 2 2 C2 +C3 +C4 +C5 + 5C6 = 115
同理,也是求符合正方形约束的对角线条数 1 1 2 1.25 (1) 1 + C5 C10 + C10 = 96 3 3 (2) C15 − C5 = 445 1.26 2*200*800+200*200=360000 1.27 (1) 5! * 6! =86400 (2) 5! * 6! =86400 (3) 6*5*8! = 1209600 1.33 先将 r 个球放入 n 个盒子里,每个盒子里放 k 个球,然后将余下的(r-kn)个球放入 n 个

组合数学 课后答案 PDF 版

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3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议?解:设A 为甲与第i 个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A i │=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28甲参加的会议数为 28+5=333.2:求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。

解:设 A 3:被3整除的数的集合A 5:被5整除的数的集合 A 7:被7整除的数的集合 所以 ||=||-||=-=33-4=29 3.3 n 个代表参加会议,试证其中至少有2个人各自的朋友数相等解:每个人的朋友数只能取0,1,…,n -1.但若有人的朋友数为0,即此人和其 他人都不认识,则其他人的最大取数不超过n -2.故这n 个人的朋友数的实际取数只 有n -1种可能.,根据鸽巢原理所以至少有2人的朋友数相等.3.4试给出下列等式的组合意义0j j 0(1)=(1), 1n-m-j+1(2)(1)1 j 1(3)...(1) 1 12m l l n m l n m m n l n k m n k l k l n m l n m l m l m l m l m l m l m m m m m l =-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥≥ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 证明:(1)从n 个不同元素中取k ,使得其中必含有m 个特定元素的方案数为)()(kn mn m k mn --=--。

设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m , Ai 为包含a i 的组合(子集),i=1,…,m.1212|...|(...)12 =(...(1))1 2 =(1) m m m l n A A A A A A k n m n m n m n m k k k m k m n l l k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛- ⎪⎝⎭ 0ml =⎫ ⎪⎝⎭∑ (2)把l 个无区别的球放到n 个不同的盒子,但有m 个空盒子的方案数为11n l m n m -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎝⎭⎝⎭令k=n-m ,设A i 为第i 个盒子有球,i=1,2,…k12k 121|...|(...)1k 11211 =(...(1)) 1 2 k k k l A A A A A A k k l k l k k l k k k l k l l k l +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭+--+--+--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ kj j 0k k-j+1 =(1)j l l =-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑ (3)设A i 为m+l 个元素中去m+i 个,含特定元素a 的方案集;N i 为m+l 个元素中取m+i 个的方案数。

组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页

组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页

组合数学 双卢 答案1.1 题 从{1,2,……50}中找两个数{a ,b},使其满足 (1)|a-b|=5; (2)|a-b|≤5;解:(1):由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5,由列举法得出,当a-b=5时,两数的序列为(6,1)(7,2)……(50,45),共有45对。

当a-b=-5时,两数的序列为(1,6),(2,7)……(45,50)也有45对。

所以这样的序列有90对。

(2):由题意知,|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0; 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。

当|a-b|=1时两数的序列有(1,2),(3,4),(2,1)(1,2)…(49,50),(50,49)这样的序列有49*2=98对。

当此类推当|a-b|=2,序列有48*2=96对,当|a-b|=3时,序列有47*2=94对,当|a-b|=4时,序列有46*2=92对, 当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题 5个女生,7个男生进行排列,(a) 若女生在一起有多少种不同的排列?(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列?(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少?解:(a )可将5个女生看作一个单位,共八个单位进行全排列得到排列数为:8!×5!, (b )用x 表示男生,y 表示空缺,先将男生放置好,共有8个空缺, Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数: C (8,5)×7!×5! (c )先取两个男生和3个女生做排列,情况如下: 6. 若A ,B 之间存在0个男生, A ,B 之间共有3个人,所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1.若A ,B 之间存在1个男生, A ,B 之间共有4个人,所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2.若A ,B 之间存在2个男生,A ,B 之间共有5个人,所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3.若A ,B 之间存在3个男生,A ,B 之间共有6个人,所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4.若A ,B 之间存在4个男生,A ,B 之间共有7个人,所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5.若A ,B 之间存在5个男生,A ,B 之间共有8个人,所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。

卢开澄《组合数学》习题答案第二章

卢开澄《组合数学》习题答案第二章

2.1 求序列{0,1,8,27,…3n …}的母函数。

解:()()++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()046414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加:464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x母函数:()()42162036-+-=x x x x G2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……},求母函数。

解:1(1)nx -的第k 项为:11()k n n +-- ,对于本题,n=4, ∴母函数为:41(1)x - 2.3 已知母函数G (X )= 25431783x x x--+,求序列{ n a }解:G (X )=)61)(91(783x x x +-+=)61()91(x Bx A ++-从而有: ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B AG (X )=)61(4)91(7x x +-+-G (X )=7)999x (13322 ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x xn a =7*n )6(*49n -- 2.4.已知母函数239156xx x---,求对应的序列{}n a 。

解:母函数为239()156x G x x x -=--39(17)(18)xx x -=+- A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令 A B 38A +7B =9+=⎧⎨--⎩解得:A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=,其中F n 是第n 个Fibonacci 数。

高中数学(人教A版)选择性必修三课后习题:组合、组合数(课后习题)【含答案及解析】

高中数学(人教A版)选择性必修三课后习题:组合、组合数(课后习题)【含答案及解析】

第六章计数原理6.2 排列与组合6.2.3 组合 6.2.4 组合数课后篇巩固提升必备知识基础练1.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为( )A.4B.8C.28D.64“村村通”公路的修建是组合问题,故共需要建C 82=28(条)公路.2.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有( ) A.140种 B .120种 C .35种 D .34种1男3女有C 41C 33=4(种);若选2男2女有C 42C 32=18(种);若选3男1女有C 43C 31=12(种).所以共有4+18+12=34(种)不同的选法.故选D .3.已知C n+17−C n 7=C n 8,则n 等于( )A.14B.12C.13D.15,得C n+17=C n+18,故7+8=n+1,解得n=14.4.某校有6名志愿者,在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务,任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言”“欢乐世园共绘展板”“传递祝福发放彩绳”三项活动,其中1人负责“征集留言”,2人负责“共绘展板”,3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有( ) A.30种 B.60种 C.120种 D.180种6人中选1人负责“征集留言”,从剩下的人中选2人负责“共绘展板”,最后剩下的3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有C 61C 52C 33=60(种).故选B.5.安排A,B,C,D,E,F 共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工A 不安排照顾老人甲,义工B 不安排照顾老人乙,则安排方法共有( ) A.30种 B.40种 C.42种 D.48种名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人共有C 62C 42=90(种)安排方法,其中A 照顾老人甲的情况有C 51C 42=30(种), B 照顾老人乙的情况有C 51C 42=30(种),A 照顾老人甲,同时B 照顾老人乙的情况有C 41C 31=12(种).故符合题意的安排方法有90-30-30+12=42(种). 故选C.6.若已知集合P={1,2,3,4,5,6},则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为 .,因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关,是组合问题,共有C 63=20(个)子集.7.不等式C n 2-n<5的解集为 .C n 2-n<5,得n (n -1)2-n<5,∴n 2-3n-10<0.解得-2<n<5.由题设条件知n ≥2,且n ∈N *,∴n=2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.8.若对任意的x ∈A ,则1x ∈A ,就称A 是“具有伙伴关系”的集合.集合M=-1,0,13,12,1,2,3,4的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为 .-1;1;12,2;13,3,共4组.所以集合M 的所有非空子集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组.又因为集合中的元素是无序的,所以所求集合的个数为C 41+C 42+C 43+C 44=15.9.如图,某区有7条南北向街道,5条东西向街道.(1)图中有多少个矩形?(2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种?在7条南北向街道中任选2条,5条南北向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成矩形有C 72·C 52=210(个).(2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4段,从A 到B 最短的走法包括10段,其中6段方向相同,另4段方向也相同,每种走法,即从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即走南北方向的),共有C 106=C 104=210(种)走法.关键能力提升练10.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案有( ) A.72种B.84种C.120种D.168种3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯形成的10个空中,所以关灯方案共有C103=120(种).11.(2021江苏江宁校级期中)计算组合数C129得到的值为()A.1 320B.66C.220D.240=220.,C129=C123=12×11×103×2×112.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A.33B.34C.35D.36所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C21·A33=12(个);②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C21·A33+A33=18(个);③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C31=3(个).故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33(个).故选A.13.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()A.50种B.60种C.120种D.210种,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7).甲任选一种为C61,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A52种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C61·A52=120(种),故选C.14.(多选)有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N,则下列等式能成为N的算式是()A.C135−C71C64B.C72C63+C73C62+C74C61+C75C.C135−C71C64−C65D.C72C113名医生,其中女医生6人,男医生7人.(方法一直接法)2男3女C72C63;3男2女C73C62;4男1女C74C61;5男C75,所以N=C72C63+C73C62+C74C61+C75.(方法二间接法)13名医生,任取5人,减去4、5名女医生的情况,即N=C135−C71C64−C65.故选BC.15.某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有种.,就所剩余的1本进行分类:第1类,剩余的是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种;第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有C 42=6(种).因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10(种).16.C 88+C 98+C 108+C 118= .88+C 98+C 108+C 118=C 129=C 123=220.17.4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,则恰好有1个空盒子的放法有 种.,必有1个盒子内放入2个小球,从4个小球中取出2个小球,有C 42种取法,此时把它看作1个小球,与另2个小球共3个小球放入4个盒子中,有A 43种放法,所以满足题意的放法有C 42·A 43=144(种).18.(2021湖南模拟)甲、乙、丙、丁4名同学到A ,B ,C 三个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,且同学甲安排在A 小区,则共有 种不同的安排方案.:(1)A 小区安排2人(同学甲及另一名同学),则有C 31A 22=6(种)安排方案.(2)A 小区只安排同学甲1人,则有C 32A 22=6(种)安排方案,根据分类加法计数原理可得共有6+6=12(种)安排方案.19.(1)计算:C 85+C 10098C 77.(2)求证:C m+2n =C m n +2C m n -1+C m n -2.=C 83+C 1002×1=8×7×63×2×1+100×992×1=56+4 950=5 006.C n+1m =C n m +C n m -1可知,右边=(C m n +C m n -1)+(C m n -1+C m n -2)=C m+1n +C m+1n -1=C m+2n =左边.所以原等式成立.学科素养创新练20.有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分法? (1)甲得4本、乙得3本、丙得2本; (2)一人得4本、一人得3本、一人得2本; (3)甲、乙、丙各得3本.分三步完成:第1步,从9本不同的书中,任取4本分给甲,有C 94种方法; 第2步,从余下的5本书中,任取3本给乙,有C 53种方法; 第3步,把剩下的书给丙,有C 22种方法,所以甲得4本、乙得3本、丙得2本,共有C 94C 53C 22=1 260(种)不同的分法.(2)分两步完成:第1步,按4本、3本、2本分成三组有C 94C 53C 22种方法;第2步,将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有A 33种方法,所以一人得4本、一人得3本、一人得2本,共有C 94C 53C 22A 33=7 560(种)不同的分法.(3)用与(1)相同的方法即可求解,可得甲、乙、丙各得3本,共有C 93C 63C 33=1 680(种)不同的分法.21.按照下列要求,分别求有多少种不同的方法? (1)5个不同的小球放入3个不同的盒子;(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球; (3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球; (4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有1个空盒.个不同的小球放入3个不同的盒子,每个小球都有3种可能,利用分步乘法计数原理可得不同的方法有35=243(种).(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,先把5个小球分组,分法有2,2,1和3,1,1两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有C 52C 32C 11A 22+C 53A 33=150(种).(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,类似于在5个小球间的空隙中,放入2个隔板,把小球分为3组,故不同的方法共有C 42=6(种).(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有一个空盒,先把5个小球分2组,分法有3,2,0和4,1,0两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有(C 53C 22+C 54)A 33=90(种).。

组合数学 课后答案 PDF 版

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3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议?解:设A 为甲与第i 个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A i │=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28甲参加的会议数为 28+5=333.2:求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。

解:设 A 3:被3整除的数的集合A 5:被5整除的数的集合 A 7:被7整除的数的集合 所以 ||=||-||=-=33-4=29 3.3 n 个代表参加会议,试证其中至少有2个人各自的朋友数相等解:每个人的朋友数只能取0,1,…,n -1.但若有人的朋友数为0,即此人和其 他人都不认识,则其他人的最大取数不超过n -2.故这n 个人的朋友数的实际取数只 有n -1种可能.,根据鸽巢原理所以至少有2人的朋友数相等.3.4试给出下列等式的组合意义0j j 0(1)=(1), 1n-m-j+1(2)(1)1 j 1(3)...(1) 1 12m l l n m l n m m n l n k m n k l k l n m l n m l m l m l m l m l m l m m m m m l =-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥≥ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 证明:(1)从n 个不同元素中取k ,使得其中必含有m 个特定元素的方案数为)()(kn mn m k mn --=--。

设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m , Ai 为包含a i 的组合(子集),i=1,…,m.1212|...|(...)12 =(...(1))1 2 =(1) m m m l n A A A A A A k n m n m n m n m k k k m k m n l l k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛- ⎪⎝⎭ 0ml =⎫ ⎪⎝⎭∑ (2)把l 个无区别的球放到n 个不同的盒子,但有m 个空盒子的方案数为11n l m n m -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎝⎭⎝⎭令k=n-m ,设A i 为第i 个盒子有球,i=1,2,…k12k 121|...|(...)1k 11211 =(...(1)) 1 2 k k k l A A A A A A k k l k l k k l k k k l k l l k l +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭+--+--+--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ kj j 0k k-j+1 =(1)j l l =-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑ (3)设A i 为m+l 个元素中去m+i 个,含特定元素a 的方案集;N i 为m+l 个元素中取m+i 个的方案数。

组合数学讲义及课后答案 1章 排列组合

组合数学讲义及课后答案 1章 排列组合

8 1 6 3 5 7 4 9 2
2 7 6 9 5 1 4 3 8
图1.1.1 3 阶幻方 奇数阶幻方的生成方法: 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是: 把 1(或最小的数)放在第一行正中; 按以下规律排列剩下的
1/69Leabharlann 《组合数学》第一章
组合数学基础
(n× n-1)个数 (1)每一个数放在前一个数的右上一格; (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底 行,仍然要放在右一列; (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在 最左列,仍然要放在上一行; (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列, 那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内; (5)如果这个数所要放的格已经有数填入,那么就把它放在前 一个数的下一行同一列的格内。
算法分类: 第一类:数值算法。主要解决数值计算问题,如方程求根、
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《组合数学》
第一章
组合数学基础
解方程组、求积分等,其数学基础是高等数学与线性代数。 第二类:组合算法,解决搜索、排序、组合优化等问题, 其数学基础就是组合数学。 按所研究问题的类型,组合数学所研究的内容可划分为: 组合计数理论 组合设计 组合矩阵论 组合优化 本课程重点:以组合计数理论为主,部分涉及其它内容。 (三) 研究方法
A(0,0) 图1.1.3 最短路径
(2)对应为(元素可重复的)排列问题:一条从 A 到 B 的 路线对应一个由 7 个 x,5 个 y 共 12 个元素构成的排列。 蓝色路径 <——> xyyxxyyxxxxy 反之,给定一个排列,按照 x、y 的含义,必对应一条从 A 到 B 的行走路线。例如,排列
一坐上行正中央,依次斜填切莫忘, 上边出格往下填,右边出格往左填, 右上有数往下填,右上出格往下填。 例:将 2,4,6,8,10,12,14,16,18 填入下列幻方:

组合数学第三版+卢开澄+习题答案

组合数学第三版+卢开澄+习题答案

第1章 排列与组合经过勘误和调整,已经消除了全部的文字错误,不过仍有以下几个题目暂时没有找到解答:1.8 1.9 1.161.41(答案略) 1.42(答案略)1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b},使其满足:()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解,得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5,a=0时,b =5,6,7,…,50。

满足a=b-5的点共50-4=46个点. a = b+5,a=5时,b =0,1,2,…,45。

满足a=b+5的点共45-0+1=46个点. 所以,共计92462=⨯个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。

1.2 5个女生,7个男生进行排列,(a) 若女生在一起有多少种不同的排列? (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列?(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少?[解] (a) 女生在一起当作一个人,先排列,然后将女生重新排列。

(7+1)!×5!=8!×5!=40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案,共有8个空隙,将5个女生插入,故需从8个空中选5个空隙,有58C 种选择。

将女生插入,有5!种方案。

故按乘法原理,有: 7!×58C ×5!=33868800(种)方案。

(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ,B 之间,有35C 种方案,在让3个女生排列,有3!种排列,将这5个人看作一个人,再与其余7个人一块排列,有 (7+1)! = 8!由于A ,B 可交换,如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理,有:2×35C ×3!×8!=4838400(种)1.3 m 个男生,n 个女生,排成一行,其中m ,n 都是正整数,若(a) 男生不相邻(m ≢n+1); (b) n 个女生形成一个整体; (c) 男生A 和女生B 排在一起; 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列,有n!种方法,共有n+1个空隙,选出m 个空隙,共有m n C 1+种方法,再插入男生,有m!种方法,按乘法原理,有:n!×mn C 1+×m!=n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。

李凡长版组合数学课后习题标准标准答案习题

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第二章容斥原理与鸽巢原理1、1到10000之间(不含两端)不能被 4, 5和7整除地整数有多少个?解令A={1,2,3, • ,10000},则 |A|=10000.记A i、A2、A3分别为在1与1000之间能被4,5和7整除地整数集合,则有:|A1|=L10000/4」=2500,|A2|=L10000/5」=2000,|A3|=L10000/7」=1428,于是A1A A2表示A中能被4和5整除地数,即能被20整除地数,其个数为| A1 nA2|=L10000/20J =500;同理,|A1n A3|=L10000/28j =357,| A2nA3|=L10000/35」=285,A1 nA2 n A3表示A中能同时被4,5,7整除地数,即A中能被4,5,7地最小公倍数lcm(4,5,6) = 140整除地数,其个数为b5E2RGbCAP| A1AA2nA3|=L10000/140」=71.由容斥原理知,A中不能被4, 5, 7整除地整数个数为| A i - A2 - A |=|A| - (|A1| + |A2| +|A3|) + (|A1 A A2| + |A1 A A3| +|A3nA2|) - A n A2 n A3|p1EanqFDPw=51432、1到10000之间(不含两端)不能被 4或5或7整除地整数有多少个?解令A={1,2,3, ,10000},记A1、A2、A3分别为在1与1000之间能被4,5和7整除地整数集合,A中不能被4, 5, 7整除地整数个数为DXDiTa9E3d| A1 一A2 一A3 | = |A| - | A1 - A2 - A3 | - 2 = 10000 - L10000/140J - 2 = 9927 3、1到10000之间(不含两端)能被4和5整除,但不能被7整除地整数有多少个?解令A1表示在1与10000之间能被4和5整除地整数集,A2表示4和5整除,也能被7整除地整数集.则:RTCrpUDGiT|A1|=L10000/20」=500,|A2|=L10000/140」=71,所以1与10000之间能被4和5整除但不能被7整除地整数地个数为:500-71=429.4、计算集合{2 a, 3 b; 2 c;4 d}地5组合数.解令Sm={ 00 a, 00 b,oo c,oo d},则S地5组合数为(5虫工)=56设集合A是Sm地5组合全体,则|A| = 56,现在要求在5组合中地a地个数小于等于2, b地个数小于等于3, c地个数小于等于2,d地个数小于等于4地组合数.定义性质集合 P={P1,P2,P3,P4}, 其中:5PCzVD7HxAP1: 5组合中a1个数大于等于3;P2: 5组合中b地个数大于等于4;P3: 5组合中c地个数大于等于3;P4: 5组合中d地个数大于等于5.将满足性质P i地5组合全体记为A(1 <i &4).那么,A1中地元素可以看作是由ScJft5—3=2组合再拼上3个a 构成地,所以|A l | =(2*,)=10.jLBHrnAILg类似地,有|A I AA 2| =(5^*」)=0.|A 〔nA3| =|A 〔nA4| =|A2nA 4| =|A2nA 3| =|A3nA 4| =|A 〔n A2nA 4卜HAQX74J0X=|A 〔nA2nA 3| = |A3nA2nA 4| =|A 〔nA2nA3nA 4| 二 o而皿个数小于等于2, b 地个数小于等于3, c 地个数小于等于2, d 地个数小于等于4地5组合全体为|入小入2c A 3c A 4|,由容斥原理知,它地元素个数为LDAYtRyKfE56-(10+4+10+1)-(0+0+0+0+0+0)+(0+0+0)-0=31.5、计算{8 a, 3 b ; 10 c}地10组合数.解令S8={oo a, oo b,oo c},贝(JS 地 10组合数为(10%,)=66设集合A 是S A 地10组合全体,则冏= 66,现在要求在10组合中地b 地个数小于等于3, C 地个数小于等于10地组合数.定义性质集合P={ P 1,P 2 },其中:Zzz6ZB2LtkP 1: 10组合中b 地个数大于等于4;P2: 10组合中c 地个数大于等于11;将满足性质P i 地10组合全体记为A(1 & i &4).那么,|A 1| =(10]y 」)=28.类似地,有 |A 2| =(10比书/)=0. |A 1A A 2| = = 0.故由容斥原理知,所求组合数为66-(28+0)-0 =38.6、求集合{ax,by,c z}地m 组合数(a,b,c 全非无穷大).解 用上面地方法可以得出该集合地 m 组合数为:3 m^ -- I'3 m -a -1, ;- 3 - m-b -1 j j 3,m-cT d m 一 一 r -a d r -b 」 r-cT上「3,m -a -b -2T . 3 m -b -c -2. 3 m-c-a-2^ r -a -b -2 r -b -c -2r -c a 2 m -a 1 , m -b 1 , m -c 17、某班学生25人可以选修二外,其中有14人选修日语,12人选修法语,5人 选修日语和德语,6人选修法语和日语,2人选修这3种语言,而且6个选修 德语地都选了另一种外语(这 3种内地一种).问有多少人没有选修二外?dvzfvkwMI1解 设选修日语,法语,德语地学生集合分别为 J, F, G,则|J| = 14, |F| = 12, |G| = 6, |FA J| = 6, |GAJ| = 5, |FA JA G| = 2,rqyn14ZNXI|FA G| =6-5+2= 3. _ _故没有选修地人数为:|F -• G -• J| = 25 - (12 + 14 + 6) + (6+5+3) - 2 =|A 2| = 5 .4 4 1 5 .4=4. |A 3| 二(5寸4,)=10. |A 1| = 5_5 4」 5.5 =1.m -a -b -c -12 3 m —c - a —b - 3 —1 r -c -a -b -3 I m -a -b । _ । m -a -c j_ । m -c-b5.8、1到120地整数中有多少质数?多少合数?解先求合数地个数.设a为合数,p为a地最小质因子,则p< ^a .由于户20 <11,故不超过120地合数必定是2, 3, 5, 7地倍数.EmxvxOtOco 根据容斥原理可得,合数地个数为 89,质数为119-89 = 30.9、求方程X1 + X2 + X3 = 10地大于2地整数解地个数.解相当于求S={°° a, 8 b,oo c }地10-2*3 = 4组合数地个数.(产尸1510、求方程X1 + X2 + X3 + X4 = 18地非负整数解地个数,其中0w X1 < 5, 0<X2< 6, 5<X3<9, 2<X4< 10.SixE2yXPq5提示令 y1= XI ,y2=x2, y3=x3-5, y4= X4-2.相当于求{5 X I ,6x2,4 X3 ,8 X4}地 11 组合数.6ewMyirQFL11、一花店某时只有6枝红玫瑰,7枝粉玫瑰和8枝黄玫瑰.这时要从中选12枝做花篮,问有多少种选法?提示相当于求S={6 a, 7 b;8 c }地12组合数地个数.12、某人要给5个朋友每人一件生日礼物,问礼物全部送错地概率是多少?解 D5 = 5!13、对集合{1,2,…/。

(完整word版)组合数学第一章答案.

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1.1 从{}5021,,,⋅⋅⋅中找两个数{}b a ,,使其满足 (1) 5||=-b a ;(2)5||≤-b a解:(1)根据5||=-b a 可得 55-=-=-b a b a 或则有种种4545 共有90种。

(2)根据5||≤-b a 得 )50,,2,1(,55{⋅⋅⋅∈+≤≤-b a b a b则:当5≤b 时,有 1=b , 61≤≤a , 则有 6种 2=b , 71≤≤a , 则有7种 3=b , 81≤≤a , 则有8种 4=b , 91≤≤a , 则有 9种5=b , 101≤≤a , 则有10种当455≤<b 时,有 6=b , 111≤≤a , 则有 11种7=b , 122≤≤a , 则有 11种. . . . . . . . .45=b , 5040≤≤a , 则有11种当5045≤<b 时,有 46=b , 5041≤≤a , 则有 10种 47=b , 5042≤≤a , 则有 9种48=b , 5043≤≤a , 则有 8种49=b , 5044≤≤a , 则有 7种50=b , 5045≤≤a , 则有 6种故:共 种520)678910(21140=+++++⨯1.2 (1)先把女生进行排列,方案为5!,然后把女生看成1个人和7个男生进行排列,总方案数为5!×8!(2)女生不相邻,则先把男生进行排列,方案为7!再把女生插入男生之间的8个空位种的任意5个,总方案数为7!×58P(3)应该是A 女生x 女生y 女生z B,或是B 女生x 女生y 女生z A 的形式,从5个女生中选出3人进行排列,方案为35P ,考虑A,B 可以换位,方案为2×35P ,然后把这个看成一个整体,和剩下的2个女生,5个男生,一共7个人进行排列,总方案数2×35P ×8!1.3 m 个男生,n 个女生,排成一行,其中m,n 都是正整数,若(a )男生不相邻(m ≤n+1); (b )n 个女生形成一个整体; (c )男生A 和女生B 排在一起; 分别讨论有多少种方案。

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习题二2.1证明:在一个至少有2人的小组中,总存在两个人,他们在组内所认识的人数相同。

证明:假设没有人谁都不认识:那么每个人认识的人数都为[1,n-1],由鸽巢原理知,n个人认识的人数有n-1种,那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识:那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2],由鸽巢原理知,n-1个人认识的人数有n-2种,那么至少有2个人认识的人数相同。

假设至少有两人谁都不认识,则认识的人数为0的至少有两人。

2.2任取11个整数,求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。

证明:对于任意的一个整数,它除以10的余数只能有10种情况:0,1,…,9。

现在有11个整数,由鸽巢原理知,至少有2个整数的余数相同,则这两个整数的差必是10的整数倍。

2.3证明:平面上任取5个坐标为整数的点,则其中至少有两个点,由它们所连线段的中点的坐标也是整数。

2.3证明:有5个坐标,每个坐标只有4种可能的情况:(奇数,偶数);(奇数,奇数);(偶数,偶数);(偶数,奇数)。

由鸽巢原理知,至少有2个坐标的情况相同。

又要想使中点的坐标也是整数,则其两点连线的坐标之和为偶数。

因为奇数+奇数= 偶数;偶数+偶数=偶数。

因此只需找以上2个情况相同的点。

而已证明:存在至少2个坐标的情况相同。

证明成立。

2.4一次选秀活动,每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”,至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果?证明:根据推论2.2.1,若将3*(100-1)+1=298个人得到3种结果,必有100人得到相同结果。

2.5一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。

那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果?证明:根据推论2.2.1,若将4*(20-1)+ 1 = 77个水果取出,必有20个相同种类的水果。

2.6证明:在任意选取的n+2个正整数中存在两个正整数,其差或和能被2n整除。

(书上例题2.1.3)证明:对于任意一个整数,它除以2n的余数显然只有2n种情况,即:0,1,2,…,2n-2,2n-1。

而现在有任意给定的n+2个整数,我们需要构造n+1个盒子,即对上面2n个余数进行分组,共n+1组:{0},{1,2n-1},{2,2n-2},{3,2n-3},…,{n-1,n+1},{n}。

根据鸽巢原理,n+2个整数,必有两个整数除以2n落入上面n+1个盒子里中的一个,若是{0}或{n}则说明它们的和及差都能被2n整除;若是剩下n-1组,因为一组有两个余数,余数相同则它们的差能被2n整除,不同则它们的和能被2n整除。

证明成立。

2.7一个网站在9天中被访问了1800次,证明:存在连续的3天,这个网站的访问量超多600次。

证明:设网站在9天中访问数分别为a1,a2,...,a9 其中a1+a2+...+a9 = 1800,令a1+a2+a3 = b1,a4+a5+a6 = b2,a7+a8+a9 = b3因为(b1+b2+b3)/3 >= 600 由推论2.2.2知,b1,b2,b3中至少有一个数大于等于600。

所以存在有连续的三天,访问量大于等于600次。

2.8将一个矩形分成5行41列的网格,每个格子涂1种颜色,有4种颜色可以选择,证明:无论怎样涂色,其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。

证明:首先对一列而言,因为有5行,只有4只颜色选择,根据鸽巢原理,则必有两个单元格的颜色相同。

另外,每列中两个单元格的不同=10种,这样一列中两个同色单元格的位置组合共有位置组合有5210*4=40种情况。

而现在共有41列,根据鸽巢原理,无论怎样涂色,则必有两列相同,也就是必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子是同一颜色。

2.9 将一个矩形分成(m +1)行112m m 列的网格每个格子涂1种颜色,有m 种颜色可以选择,证明:无论怎么涂色,其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。

证明:(1)对每一列而言,有(m+1)行,m 种颜色,有鸽巢原理,则必有两个单元格颜色相同。

(2)每列中两个单元格的不同位置组合有12m 种,这样一列中两个同色单元格的位置组合共有12m m 种情况 (3)现在有112m m列,根据鸽巢原理,必有两列相同。

证明结论成立。

2.10一名实验员在50天里每天至少做一次实验,而实验总次数不超过75。

证明一定存在连续的若干天,她正好做了24次实验。

证明:令b1,b2,...,b50 分别为这50天中他每天的实验数,并做部分和a1 = b1,a2 = b1+b2 ,。

a50 = b1+b2+...+b50 .由题,bi>=1(1<=i<=50)且a50<=75所以1<=a1<a2<a3<…<a50<=75 (*)考虑数列a1,a2,...,a50,a1+24,a2+24,a50+24,它们都在1与75+24=99之间。

由鸽巢原理知,其中必有两项相等。

由(*)知,a1,a2,...,a50互不相等,从而a1+24,...a50+24 也互不相等,所以一定存在1<=i<j<=50, 使得aj = ai+24,即24=aj-ai=(b1+b2+b3+…+bi+…+bj)-(b1+b2+…+bi)=12...i i jb b b所以从第i+1天到第j天这连续j-i天中,她正好做了24次实验。

2.11证明:从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数,在所选出的数中一定存在2个数,它们之间最多差4。

证明:将S划分为{1,3,5},{7,9,11}……,{ 595,597,599}共100组,由鸽巢原理知任意选取101个数中必存在2个数来自同一组,即其差最多为4.2.12证明:从1~200中任意选取70个数,总有两个数的差是4,5或9。

证明:设这70个数为a1,a2,…,a70,a1+4,a2+4,…,a70+4,a1+9,a2+9,…,a70+9,取值范围209,共210个数2.13证明:对于任意大于等于2的正整数n,都有R(2,n)=n。

2.13证明:要证R(2,n)= n,用红蓝两色涂色Kn的边。

当n=2时,R(2,2)=2,因为不管用红还是蓝色都是完全二边形。

假设当n=k时成立,即存在R(2,k)=k(没有一条红边,只有蓝边),当n=k+1时,R(2,k+1)若无红边,要想有完全k+1边形,必得有k+1个点,即R(2,k+1)=k+1。

证明成立。

习题三3.1有10名大学生被通知参加用人单位的面试,如果5个人被安排在上午面试,5个人被安排在下午面试,则有多少种不同的安排面试的顺序?解:上午的5个人全排列为5!下午的5个人全排列为5!所以有510*5!*5!10!C ,共14400种不同的安排方法。

3.2 某个单位内部的电话号码是4位数字,如果要求数字不能重复,那么最多可有多少个号码?如果第一位数字不能是0,那么最多能有多少个电话号码?解:由于数字不能重复,0-9共10个数字,所以最多有10*9*8*7=5040种号码;若第一位不能是0,则最多有9*9*8*7=4536种号码。

3.3 18名排球运动员被分成A ,B ,C 三个组,使得每组有6名运动员,那么有多少种分法?如果是分成三个组(不可区别),使得每组仍有6名运动员,那么有多少种分法?解:1)66618126**C C C 种 2) 66618126**C C C /3! 3.4 教室有两排,每排8个座位。

现有学生14人,其中的5个人总坐在前排,4个人总坐在后排,求有多少种方法将学生安排在座位上?解:前排8个座位,5人固定,共58*5!C 种方法;后排8个座位,4人固定,共48*4!C 种方法;前排和后排还剩7个座位,由剩下的5人挑选5个座位,共57*5!C 种方法;则一共有545887***5!*5!*4!C C C 种安排方法。

3.5 将英文字母表中的26个字母排序,要求任意两个元音字母不能相邻,则有多少种排序方法?解:先排21个辅音字母,共有21!再将5个元音插入到22个空隙中,522P 故所求为522!21P (插入法)3.6 有6名先生和6名女士围坐一个圆桌就餐,要求男女交替就坐,则有多少种不同的排坐方式? 解:6男全排列6!;6女全排列6!;6女插入6男的前6个空或者后6个空,即女打头或男打头6!*6!*2;再除以围圈重复得(6!*6!*2)/12=6!*5!或男6的圆排列为5!,对每个男的排列,女要在他们之间的6个位置,进行线性排列6!(而不是5!)。

(圆排列可以通过线性排列来解决)3.7 15个人围坐一个圆桌开会,如果先生A 拒绝和先生B 和C 相邻,那么有多少种排坐方式? 解:15人圆排列14!;A 与B 相邻有2*14!/14=2*13!;A 与C 相邻有2*14!/14=2*13!;A 与BC 同时相邻有2*13!/13=2*12!;于是A 不与B 、C 相邻的坐法共14!- 2*13!- 2*13!+ 2*12!(用到了容斥原理)3.8 确定多重集}5,4,3{c b a M ⋅⋅⋅=的11-排列数?解:M 的11排列=[M-{a}]的11排列+[M-{b}]的11排列+[M-{c}]的11排列,即11!11!11!2!4!5!3!3!5!3!4!4!++=27720 当然了,容斥原理,生成函数也可以做。

3.9 求方程204321=+++x x x x ,满足1,5,0,24321-≥≥≥≥x x x x 的整数解的个数。

解:令1122334420,0,50,10y x y x y x y x =-≥=≥=-≥=+≥ 则有123414y y y y +++=,由定理 3.3.3,解个数为:1441171768014143+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.10 书架上有20卷百科全书,从中选出4卷使得任意两本的卷号都不相邻的选法有多少种?解:n=20,r=4,1204117238044n r r -+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭证明见38页。

若卷号差为2,3,。

,公式为?3.11 确定(2x -3y )5展开式中x 4y 和x 2y 4的系数。

解:1)4x y :4415*(2)*(3)C x y -,系数为-2402)24x y :系数为0。

3.12 确定(1+x )-5展开式中x 4的系数。

解:01(1)(1)n r rr n r x x r ∞-=+-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∑,n=5,r=4,则系数为4541(1)704+-⎛⎫-= ⎪⎝⎭3.13 确定(x +2y+3z )8展开式中x 4y 2x 2的系数。

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