组合数学 课后答案

习题二

2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。

证明：

假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。

2.2任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整

数倍。

证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。

2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有

两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。

2.3证明：

有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。

2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通

过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？

证明：

根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。

2.5一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？

证明：

根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。

2.6证明：在任意选取的n+2个正整数中存在两个正整数，

其差或和能被2n整除。（书上例题2.1.3）

证明：对于任意一个整数，它除以2n的余数显然只有2n种情况，即：0，1，2，…，2n-2，2n-1。而现在有任意给定的n+2个整数，我们需要构造n+1个盒子，即对上面2n个余数进行分组，共n+1组：{0},{1，2n-1},{2，2n-2},{3,2n-3},…，{n-1,n+1}，{n}。

根据鸽巢原理，n+2个整数，必有两个整数除以2n落入上面n+1个盒子里中的一个，若是{0}或{n}则说明它们的和及差都能被2n整除；若是剩下n-1组，因为一组有两个余数，余数相同则它们的差能被2n整除，不同则它们的和能被2n整除。证明成立。

2.7一个网站在9天中被访问了1800次，证明：存在连续的3天，这个网站的访问量超多600次。

证明：

设网站在9天中访问数分别为a1，a2，...，a9 其中

a1+a2+...+a9 = 1800，

令a1+a2+a3 = b1，a4+a5+a6 = b2，a7+a8+a9 = b3

因为（b1+b2+b3）/3 >= 600 由推论2.2.2知，b1，b2，b3中至少有一个数大于等于600。

所以存在有连续的三天，访问量大于等于600次。

2.8将一个矩形分成5行41列的网格，每个格子涂1种颜色，

有4种颜色可以选择，证明：无论怎样涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。证明：首先对一列而言，因为有5行，只有4只颜色选择，根据鸽巢原理，则必有两个单元格的颜色相同。另外，每列中两个单元格的不同=10种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有

位置组合有5

2

10*4=40种情况。

而现在共有41列，根据鸽巢原理，无论怎样涂色，则必有两列相

同，也就是必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子是同一颜色。

2.9 将一个矩形分成(m +1)行112m m 列的网格每个格子涂1种颜色，有m 种颜色可以选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。

证明：

（1）对每一列而言，有（m+1）行，m 种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。

（2）每列中两个单元格的不同位置组合有

12m 种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有

12m m 种情况 （3）现在有112m m

列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证

明结论成立。

2.10一名实验员在50天里每天至少做一次实验，而实验总次

数不超过75。证明一定存在连续的若干天，她正好做了24次实验。

证明：令b1，b2，...，b50 分别为这50天中他每天的实验数，并做部分和

a1 = b1，a2 = b1+b2 ，。。

a50 = b1+b2+...+b50 .

由题，bi>=1(1<=i<=50)且a50<=75

所以1<=a1

考虑数列a1，a2，...，a50，a1+24，a2+24，a50+24，它们都在1与75+24=99之间。

由鸽巢原理知，其中必有两项相等。由（*）知，a1，a2，...，a50互不相等，从而a1+24，...a50+24 也互不相等，所以一定存在1<=i

24=aj-ai=(b1+b2+b3+…+bi+…+bj)-(b1+b2+…+bi)=

12...

i i j

b b b

所以从第i+1天到第j天这连续j-i天中，她正好做了24次实验。