第一章复变函数习题及解答

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第一章 复变函数习题及解答

1.1 写出下列复数的实部、虚部;模和辐角以及辐角的主值;并分别写成代数形式,三角形式和指数形式.(其中,,R αθ为实常数)

(1)1-; (2)

ππ2(cos

isin )33-; (3)1cos isin αα-+;

(4)1i

e +; (5)i sin R e θ

; (6)i +

答案 (1)实部-1;虚部 2;辐角为

2π,0,1,2,3k k +=±±;主辐角为4π

3;

原题即为代数形式;三角形式为

4π4π2(cos

isin )33+;指数形式为4π

i 32e .

(2)略为 5π

i 3

5π5π

2[cos sin ], 233i e +

(3)略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα

(4)略为 i

;(cos1isin1)ee e +

(5)略为:cos(sin )isin(sin )R R θθ+

(6)该复数取两个值

略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ

θθθθθθ+=+=+

1.2 计算下列复数 1)()

10

3

i 1+-;2)()3

1i 1+-;

答案 1)3512i 512+-;2)

()13π/42k π

i

6

3

2e 0,1,2k +=;

1.3计算下列复数

(1 (2

答案 (1)

(2)(/62/3)

i n e

ππ+

1.4 已知x 的实部和虚部.

【解】

i ,(,)p q p q R =+∈,即,p q 为实数域(Real).平方得到

2

2

12()2i x p q xy +=-+,根据复数相等,所以

22

1,(p q pq p x q x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩=±==±+

即实部为 ,x ±

虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值,即为±值.

1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有|

|1

az b

bz a +=+

【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=,所以

1()

()1|||||

|||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++

1.6 如果复数b a i +是实系数方程

()011

10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根,则b a i -一定也是该方程的根.

证 因为0a ,1a ,… ,n a 均为实数,故00a a =,11a a =,… ,n n a a =.且()()

k

k

z z =,

故由共轭复数性质有:()()z P z P =.则由已知()0i ≡+b a P .两端取共轭得 ()(

)

00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P .故b a i -也是()0=z P 之根.

注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证.此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地,奇次实系数多项式至少有一个实零点.

1.7 证明:

2222

121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义. 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-,试求n 的值.

【解】 因为 22

2

2

44444444

(1)2(cos sin )2(cos sin )

(1)2(cos sin )2(cos sin )n n

n n n n n n n

n

n n i i i i i i πππππππ

π+=+=+-=-=-

所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π

=所以

4

,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±

1.9将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 (1) cos5θ; (2)sin5θ

答案 53244235

(1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ

θθθθθ-+-+

1.10 证明:如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根,但是1≠w 即不是主根,则必有

2110n -+++

+=w w w

1.11 对于复数,k k αβ,证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式:

2

2

2

2

1

1

1

1

||(||||)||

||n n n

n

k k k k k k

k k k k αβαβαβ

====≤≤∑∑∑∑ 成立。

【证明】 对任意n 个复数,由三角不等式知

1

1

||||||

n n

k k k k k k αβαβ==≤∑∑

再由关于实数的柯西不等式得

2

2

2

2

1

1

1

1

||(||||)||

||n n n

n

k k k k k k

k k k k αβαβαβ

====≤≤∑∑∑∑,证毕。

1.12证明

1sin()sin

22cos cos 2cos3cos ;2sin

2n n θθθθθθθ+-+++

+=

1cos

cos()22sin sin 2sin 3sin 2sin

2

n n θ

θθθθθθ

-+++++=

成立.

1.13 下列不等式在复数平面上表示怎样的点集? 1)()1Re 0<

320<-

5)

2

1

1

<+-z z

(答 1)平面上由0=x 与1=x 所构成的宽度为1的铅直带形域;2)以0z 为心,内半径为

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