4-2 函数项级数及幂级数
幂级数的概念与幂级数的收敛半径
幂级数函数项级数、幂级数的概念幂级数的收敛性幂级数的运算和函数的性质函数项级数、幂级数的概念给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ,2()u x ,,()n u x ,,表达式1231()()()()()nn n u x u x u x u x u x ∞==+++++∑称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数, 简称(函数项)级数.例 21sin n nx n ∞=∑ 22sin 2sin sin 2x nxx n=++++对于每一个确定的值0x I ∈, 有常数项级数1201()()()()nn n u x u x u x u x ∞==++++∑若01()nn u x ∞=∑收敛, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的收敛点;若1()nn u x ∞=∑发散, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的发散点.函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为它的收敛域,发散点的全体称为它的发散域.例 函数项级数21sin n nxn ∞=∑, (,)x ∀∈-∞+∞, 22sin 1nx n n≤, 211n n ∞=∑收敛, 故级数21sin n nx n ∞=∑收敛, 且它的收敛域为(,)-∞+∞.在收敛域上, 函数项级数的和是x 的函数()s x ,通常称()s x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是级数的收敛域, 并写成12()()()()n s x u x u x u x =++++.级数1()n n u x ∞=∑的前n项的部分和()n s x在收敛域上有lim ()()n n s x s x →∞=.记()()()n n r x s x s x =-, 有lim ()0n n r x →∞=.特殊地,形如20102000()()()()nnnn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的函数项级数称为0()x x -的幂级数. 当00x =时,函数项级数的余项20120nnn n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑,其中常数0a ,1a ,2a ,,n a ,称作幂级数的系数.t x x =-x取数轴上的哪些点时幂级数收敛,取哪些点时幂级数发散?幂级数的收敛性1.幂级数收敛域的结构例 考察幂级数0n n x∞==∑21n x x x +++++的收敛性. 解 当||1x <时, 011n n x x ∞==-∑; 当||1x ≥时, 这级数发散. 收敛域是开区间(1,1)-, 发散域是(,1]-∞-及[1,)+∞, 2111n x x x x =+++++-(11)x -<<.定理(阿贝尔(Abel)定理)如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =0(0)x ≠时收敛,则适合不等式0||||x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,则适合不等式0||||x x >的一切x 使这幂级数发散.证 先设0x 是0n n n a x ∞=∑的收敛点, 即级数00n n n a x ∞=∑收敛, 0lim 0n n n a x →∞=. 存在常数M ,使0||n n a x M ≤(0,1,2,)n =.00||n n n n x a x x =⋅ 0n x M x ≤. ||n n a x 00n n n n x a x x =⋅ 当0||||x x <时01x x <, 00n n x M x ∞=∑收敛, 0n n n a x ∞=∑绝对收敛.反之, 假设幂级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,而有一点1x 适合10||||x x >使级数收敛, 则当0x x =时级数收敛, 这与定理的假设矛盾, 定理表明, 若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处收敛,则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ,幂级数都收敛;若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处发散,则对于闭区间00[||,||]x x -外的任何x ,幂级数都发散. 在某一时刻, 遇到发散点, 幂级数的收敛域有如下特征:收敛域从原点开始向两端扩张, 初始时遇到的均为收敛点, 以后的所有点均为发散点.推论 如果幂级数0n nn a x ∞=∑不是仅在0x =一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个确定的正数R 存在, 使得当||x R < 时,幂级数绝对收敛;当||x R >时，幂级数发散;当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散.正数R 通常称作幂级数的收敛半径.例如, 幂级数0n n x∞=∑的收敛半径为1R =.开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间. 收敛域是 (,)R R -、[,)R R -、(,]R R -或[,]R R -之一. 若幂级数只在0x =处收敛,规定收敛半径0R =;若幂级数对一切x 都收敛,规定R =+∞,收敛域(,)-∞+∞.。
幂级数
u n ( x ),
n 1
x I.
若 x0 I 时 ,
u n ( x0 )
n 1
收敛 , 则称 x 0 为
un ( x)
n 1
的收敛点 .
若 x0 I 时 ,
u n ( x0 )
n 1
发散 , 则称 x 0 为
un ( x)
n 1
收敛区间 [ 1, 1), 绝对收敛区间 （ 1, 1).
一般地，对于幂级数都可以采用达朗贝尔判别法
例4 解
求
( x 5) n
n
的收敛区间
.
n 1
令 y x 5, 则
lim
( x 5) n
| a n 1 | | an |
n
n 1
y
n
n 1
n
1
谁的收敛半径？
| x | 0 1,
n
故幂级数
an x
n0
在 ( , ) 上收敛 .
故
R .
n
lim
| u n 1 ( x ) | | un (x) |
|x|
( 3 ) 当 时 ,
x ( , 0 ) ( 0 , ) , 均有
an x
n0
n
,
都存在一个非负
当 | x | R 时 , 幂级数可能收敛
, 也可能发散
.
幂级数的收敛半径
我们称上述定理中的非负数 R 为幂级数
an x
n
的收敛半径.
x 0 处收敛时 , 规定 R 0.
第四节幂级数
lim
n
an1 xn1 an xn
l x
则由比值判别法有
13
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(1)若l x 1,
即 x 1 (l 0), l
an xn 则绝对收敛;
n0
(2)若l x 1,即xFra bibliotek1 (l
0),
l
an xn 发散;
n0
(3)若l x 1,
即 x 1 (l 0), l
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一. 函数项级数的概念
设 un ( x) (n 1, 2 , ) 为定义在区间 I 上的函数, 称
un ( x) u1( x) u2( x) un( x)
n1
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
对 x0 I , 若常数项级数 un ( x0 ) 收敛, x0 称为其收 n1
我们称这种函数项级数为幂级数.
7
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二.幂级数及其收敛性
形如 an xn a0 a1 x an xn
(9.4.1)
n0
与 an ( x x0 )n a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n
n0
(9.4.2)
的级数, 分别称为x的幂级数与(x - x0)的幂级数. 其中
S '( x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1
n0
n0
n0
(3) 设幂级数 an xn 的和函数为S( x), 收敛半径为R, 则S(x) n0
在 (R, R) 内可积, 且
x s( x)dx
0
x 0
an xndx
n0
级数(函数项级数、幂级数)复习总结
函数项级数、幂级数一、 函数项级数概念121()()()(),n n n u x u x u x u x ∞==++++∑0I x ∈定义区间前n 项部分和函数1()()n n k k S x u x ==∑和函数1()()n n S x u x ∞==∑，x ∈收敛域二、 幂级数及其收敛域0n nn a x ∞=∑收敛域/发散域图：注：条件收敛的点只可能出现在分界点上！概念：R ：幂级数收敛半径收敛区间：),(R R -收敛域：⋃-),(R R 收敛端点如何求收敛半径？定理(Cauchy-Hadamard)若0n nn a x ∞=∑所有系数满足),1,0(,0 =≠n a n，1lim +∞→=n n n a a R ∑∞=0n n nx a 的收敛半径为R ，则∑∞=-00)(n n n x x a 的收敛域为⋃<-R x x ||0收敛端点。
1. 求n n x n n 202)!(!)2(∑∞=收敛半径。
2. 求∑∞=-+112)]13[ln(n n n x 的收敛域。
三、 和函数性质定理幂级数n n nx a ∑∞=0的和函数)(x S 在收敛域上连续；在收敛区间内可“逐项求导”和“逐项积分”，运算前后收敛半径相同，但收敛域可能改变。
逐项求导——1100)()()(-∞=∞=∞=∑∑∑='='='n n n n n n nn n x a n x a x a x S ，),(R R x -∈ 逐项积分——10000001d d d )(+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑⎰+===n n n n x n n x n n n x x n a x x a x x a x x S ，),(R R x -∈● 注意点：n n n x a ∑∞=0，11-∞=∑n n n x a n 和101+∞=∑+n n n x n a 收敛半径相同，但端点处的敛散性可能改变。
逐项求导是特别注意0次项的求导！● 利用几何级数结论做题——xx n n -=∑∞=110，)1,1(-∈x 步骤：先求收敛半径，收敛域；在收敛区间内，利用和函数性质：逐项求导/逐项积分等求和函数。
复变函数4-2Taylor级数
f
( n) ( z0
)
,
n 0,1,2,
例如，求 ez 在 z 0的泰勒展开式.
因为(ez )(n) ez ,
(ez )(n) z0 1, (n 0,1, 2,)
故有 ez 1 z z2 zn zn
2!
n!
n0 n!
因为ez 在复平面内处处解析,
[ln(1 z)] 1 1 z z2 1 z
(1)n zn
(1)n zn
( z 1)
n0
设 C 为收敛圆 z 1内从 0 到 z 的曲线,
将展开式两端沿 C 逐项积分, 得
z 1 dz z (1)n zndz
01 z
2! 4!
(2n)!
(R )
2. 间接展开法 :
借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析
函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分
等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的Taylor
展开式.
间接法的优点:
不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直
接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
1 z
n0
z3 z5 4) sin z z
(1)n
z 2n1
( z 1)
3! 5!
(2n 1)!
= (1)n
z 2n1
n0
(2n 1)!
( z )
z2 z4 5) cos z 1
(1)n z2n
2! 4!
(2n)!
0 n0
即 ln(1 z) z z2 z3 (1)n zn1 z 1
4-1复数项级数和幂级数
则 limr n cosn limr n sinn 0, lim n 0
n
n
n
20
（2） 若r 1, 则 n r n(cosn i sinn ),
则1
n
r -n[co（s - n）
i sin（- n )],
r-n[cosn - i sinn ],
则 limr-n 0,cosn ,sinn有界， n
称为该级数前n项的部分和.
24
n
Sn (z) f1(z) f2(z) fn(z)= fk (z) k 1
若对
D
内的
某一点
z0，
lim
n
Sn(z0 )
S(z0 )
存在，称 fn(z) 在 z0 收敛, 且S(z0 )为它的和.
n1
如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定
是 z 的一个函数 S(z)
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
其中 z R, R min( r1, r2 )
32
定理4 设幂级数 cn(z z0 )n 的收敛半径为 R, 则
（1）
1 (1 i ),
n1 n
n
(2)
(1
1
i
)e n
n1
n
解
（1）
n1
1 (1 n
i )= n
n1
(
1 n
i n2
)
(8i)n
(3) n1 n!
幂级数的讲解纲要
n1
x
n
x x x
2 3
x 1 x
内容小结 1. 函数项级数 则在收敛域上有
2.
3. (x-x0)的幂级数：
( x 1)
4. x 的幂级数：
内容小结 5. 的收敛半径为 R lim
n
an an 1
对非标准型幂级数的收敛半径: 直接用比值法或根值法或通过换元化为标准型再求. 6. 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.
0
1 1 x
dx ln (1 x )
0
故
1 S 2
§12.1 幂级数 例9 求幂级数 的和函数
解 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散, 故当 时，
n x ( x ) n 1
x
x
n 1
n
x
x 1 x
n 0
x
n
S (0) 1
S( x)
1
x
1 1- x
dx
( x 0)
lim S ( x ) 1 C 0
x 0
由和函数
的连续性知
1 ln(1 x ), x [1, 0) (0,1); S( x) x 1, x 0.
n
n1
n 0
an
x
n 1
作业
P 206 1(2,3); 3(1)
5月28日(周六)第三阶段考
考试内容：第11章
阿贝尔(1802 – 1829)
挪威数学家, 近代数学发展的先驱者.
他在22岁时就解决了用根式解5 次方程 的不可能性问题 , 他还研究了更广的一
一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算
2012/6/4
24
x 1 x2 (1)n1 1 xn x (1, 1]
2
n
x 1 x2 1 xn x [1, 1)
2
n
例6、将 arctanx 展开为x 的幂级数。
25
例7、求
的和函数。
例8、证明对一切 x (1, 1) 成立，
并求
注意: 求幂级数的和函数或求函数的幂级数展开等 一定要考虑其收敛域。
0
0 1t
x (1, 1]
23
说明
1) 逐项求导或逐项积分后，收敛半径不变，
但收敛域可能扩大或缩小。
2) 此题还得到以下结论:
(1)
1
(1)n xn
1 x n0
1 x x2
(2)
1
xn
1 x n0
1 x x2
(1)n xn x (1, 1) xn x (1, 1)
幂级数具有良好的性质。 如果函数能表示幂级数的形式, 对研究函数
的性质是很有效的。
解决两类问题:
在收敛域内， 幂级数
求和 展开
和函数
2012/6/4
32
（一）Taylor 级数与余项公式
Taylor公式
函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在该邻域内有:
f (x)
f ( x0 )
n0
an ( R)n
.
20
3、逐项可导性 (求导) 定理
设 S( x) anxn 的收敛半径为 R ,
n0
则和函数 S (x) 在 (-R , R) 可以逐项求导，即
S( x) ( anxn ) (anxn ) nanxn1
数学物理基本方法4.1数项级数、幂级数
幂级数在物理学中的应用
弹性力学
幂级数在弹性力学中用于 描述弹性体的应力和应变 关系。
热力学
热力学中的理想气体状态 方程就是通过幂级数来表 达的。
电磁学
在电磁学中，幂级数用于 描述电磁波的传播和电磁 场的分布。
数项级数与幂级数在金融领域的应用
复利计算
通过使用幂级数和数项级数，可以更精确地计算 复利，这对于金融投资和保险非常重要。
定义
数项级数与幂级数的乘法运算是 将两个级数的对应项相乘，得到
一个新的级数。
规则
乘法运算有特定的规则，如合并 同类项、调整系数等，需要细心
操作避免出错。
应用
数项级数与幂级数的乘法运算在 数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如求解物理问题、研究复
合材料的性质等。
Part
05
数项级数与幂级数的应用实例
数学物理基本方法 4.1数项级数、幂级 数
• 数项级数简介 • 幂级数简介 • 数项级数与幂级数的联系与区别 • 数项级数与幂级数的运算方法 • 数项级数与幂级数的应用实例
目录
Part
01
数项级数简介
数项级数的定义
01
数项级数是无穷序列的和，表示为 $sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中 $a_n$是序列中的第$n$项。
的时间序列数据。
Part
03
数项级数与幂级数的联系与区 别
数项级数与幂级数的共同点
01
两者都是无穷序列
数项级数和幂级数都是无穷序列，可以表示为无限多个项的和或乘积。
02
两者都有收敛和发散的概念
数项级数和幂级数都有收敛和发散的概念，收敛的级数或幂级数具有确
定的极限值，而发散的级数或幂级数则没有确定的极限值。
幂级数概念
幂级数概念公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-§ 11. 3 幂级数一、函数项级数的概念函数项级数: 给定一个定义在区间I上的函数列{u n(x)}, 由这函数列构成的表达式u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +u n(x)+ × × ×称为定义在区间I上的(函数项)级数, 记为∑∞=1) (nnxu.收敛点与发散点:对于区间I内的一定点x0, 若常数项级数∑∞=1) (nnxu收敛, 则称点x0是级数∑∞=1) (nnxu的收敛点. 若常数项级数∑∞=1)(nnxu发散, 则称点x0是级数∑∞=1) (nnxu的发散点.收敛域与发散域:函数项级数∑∞=1) (nnxu的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域.和函数:在收敛域上, 函数项级数∑∞=1) (nnxu的和是x的函数s(x),s(x)称为函数项级数∑∞=1) (nnxu的和函数, 并写成∑∞==1)()(nnxuxs.∑u n(x)是∑∞=1) (nnxu的简便记法, 以下不再重述.在收敛域上, 函数项级数∑u n(x)的和是x的函数s(x),s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ).这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ),函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ × × × +u n (x ). 在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞→或s n (x )?s (x )(n ??) .余项:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差r n (x )=s (x )-s n (x )叫做函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项.函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ). 在收敛域上有0)(lim =∞→x r n n .二、幂级数及其收敛性 幂级数:函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是a 0+a 1x +a 2x 2+ × × × +a n x n + × × × ,其中常数a 0, a 1, a 2, × × × , a n , × × ×叫做幂级数的系数. 幂级数的例子:1+x +x 2+x 3+ × × × +x n+ × × × , !1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x n x x .注: 幂级数的一般形式是a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ × × × +a n (x -x 0)n + × × × , 经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ × × × +a n t n + × × × . 幂级数1+x +x 2+x 3+ × × × +x n + × × ×可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |?1时, 它是发散的. 因此它的收敛 域为(-1, 1), 在收敛域内有11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0 (x 010)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |?|x 0|的一切x 使这幂级数发散.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑a n x n 当x =x 0 (x 010)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑a n x n当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |?|x 0|的一切x 使这幂级数发散.提示: ∑a n x n是∑∞=0n n n x a 的简记形式.证 先设x 0是幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛点, 即级数∑∞=0n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件, 有0lim 0=∞→nn n x a , 于是存在一个常数M , 使 | a n x 0n |￡M (n =0, 1, 2, × × ×). 这样级数∑∞=0n n n x a 的的一般项的绝对值n n n n n nn n nn x x M x x x a x x x a xa ||||||||||00000⋅≤⋅=⋅=. 因为当|x |<|x 0|时, 等比级数nn x x M ||00⋅∑∞=收敛, 所以级数∑∞=0||n n n x a 收敛, 也就是级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.简要证明 设∑a n x n 在点x 0收敛, 则有a n x 0n ?0(n ??) , 于是数列{a n x 0n }有界, 即存在一个常数M , 使| a n x 0n |￡M (n =0, 1, 2, × × ×).因为 n n n n n nn n n n x x M x x x a x x x a x a || |||| || ||00000⋅≤⋅=⋅=,而当||||0x x <时, 等比级数n n x x M ||0⋅∑∞=收敛, 所以级数∑|a n x n|收敛, 也就是级数∑a n x n绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x =x 0时发散而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x =x 0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.推论 如果级数∑∞=0n n n x a 不是仅在点x =0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R 存在, 使得 当|x |<R 时, 幂级数绝对收敛; 当|x |?R 时, 幂级数发散;当x =R 与x =-R 时, 幂级数可能收敛也可能发散.收敛半径与收敛区间: 正数R 通常叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径? 开区间(?R ? R )叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛区间? 再由幂级数在x ??R 处的收敛性就可以决定它的收敛域? 幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛域是(-R , R )(或[-R , R )、(-R ,R ]、[-R , R ]之一.规定: 若幂级数∑∞=0n n n x a 只在x =0收敛, 则规定收敛半径R =0 , 若幂级数∑∞=0n n n x a 对一切x 都收敛, 则规定收敛半径R =+￥, 这时收敛域为(-￥, +￥).定理2如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 其中a n 、a n +1是幂级数∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10R ?定理2如果幂级数∑∞=0n n n x a 系数满足ρ=+∞→||lim 1nn n a a , 则这幂级数的收敛半径 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R ?定理2 如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 则幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R 为? 当??0时ρ1=R ? 当??0时R ???? 当????时R ?0? 简要证明: || ||||lim ||lim 111x x a a x a x a n n n nn n n n ρ=⋅=+∞→++∞→. (1)如果0<r <+?, 则只当r |x |<1时幂级数收敛? 故ρ1=R .(2)如果r =0, 则幂级数总是收敛的, 故R =+?. (3)如果r =+?, 则只当x ?0时幂级数收敛, 故R =0.例1 求幂级数)1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑nx x x x n x n n n n n 的收敛半径与收敛域. 例1 求幂级数∑∞=--11)1(n n n nx 的收敛半径与收敛域.解 因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a an n n n ρ,所以收敛半径为11==ρR .当x =1时, 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n, 是收敛的;当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n!1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x的收敛域.例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n 的收敛域.解 因为0)!1(!lim !1)!1(1lim||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径为R =+￥, 从而收敛域为(-￥, +￥). 例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径.解 因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛. 例4 求幂级数∑∞=022!)()!2(n nx n n 的收敛半径. 解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径:幂级数的一般项记为nn x n n x u 22)!()!2()(=. 因为 21||4 |)()(|lim x x u x u n n n =+∞→, 当4|x |2<1即21||<x 时级数收敛; 当4|x |2?1即21||>x 时级数发散, 所以收敛半径为21=R .提示? 2222)1(221)1()12)(22()!()!2(])!1[()]!1(2[)()(x n n n xn n xn n x u x u n n n n +++=++=++. 例5 求幂级数∑∞=-12)1(n n nnx 的收敛域.解 令t =x -1, 上述级数变为∑∞=12n n n nt . 因为 21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径R =2.当t =2时, 级数成为∑∞=11n n , 此级数发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1)1(n n ,此级数收敛. 因此级数∑∞=12n n n nt 的收敛域为-2￡t <2? 因为-2￡x -1<2, 即-1￡x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3). 三、幂级数的运算设幂级数∑∞=0n nn x a 及∑∞=0n n n x b 分别在区间(-R , R )及(-R ￠, R ￠)内收敛, 则在(-R , R )与(-R ￠, R ￠)中较小的区间内有 加法: ∑∑∑∞=∞=∞=+=+000)(n n n n n n n n n n x b a x b x a , 减法: ∑∑∑∞=∞=∞=-=-0)(n n n n n n n n n n x b a x b x a ,设幂级数∑a n x n 及∑b n x n 分别在区间(-R , R )及(-R ￠, R ￠)内收敛, 则在(-R , R )与(-R ￠, R ￠)中较小的区间内有 加法: ∑a n x n +∑b n x n =∑(a n +b n )x n , 减法: ∑a n x n -∑b n x n =∑(a n -b n )x n .乘法: )()(0∑∑∞=∞=⋅n n n n n n x b x a =a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x +(a 0b 2+a 1b 1+a 2b 0)x 2+ × × ×+(a 0b n +a 1b n -1+ × × × +a n b 0)x n + × × ×性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.如果幂级数在x =R (或x =-R )也收敛, 则和函数s (x )在(-R , R ](或[-R ,R ))连续.性质2 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积? 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xn n x n n n xx n a dx x a dx x a dx x s (x ?I )? 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛区间(?R ? R )内可导? 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='110)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x |?R )?逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质1 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.性质2 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积? 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xn n x n n n xx n a dx x a dx x a dx x s (x ?I )? 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛区间(?R ? R )内可导? 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='010)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x |?R )?逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解 求得幂级数的收敛域为[?1? 1)?设和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s ? x ?[?1? 1)? 显然s (0)=1.在∑∞=++=0111)(n n x n x xs 的两边求导得x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞=∞=+11)11(])([001. 对上式从0到x 积分, 得)1ln(11)(0x dx xx xs x--=-=⎰.于是, 当x 10时, 有)1ln(1)(x x x s --=. 从而⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )1ln(11000x dx xdx x xx n n --=-==⎰⎰∑∞=,所以, 当x 10时, 有)1ln(1)(x xx s --=,从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 1 1||0 )1ln(1)(x x x x x s .例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解 求得幂级数的收敛域为[?1? 1)?设幂级数的和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s ? x ?[?1? 1)?显然S (0)?1? 因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )11( )1ln(11000<<---=-==⎰⎰∑∞=x x dx xdx x xx n n ,所以, 当1||0<<x 时, 有)1ln(1)(x xx s --=?从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .由和函数在收敛域上的连续性? 2ln )(lim )1(1==-+-→x S S x ?综合起来得⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--=0 1)1 ,0()0 ,1[ )1ln(1)(x x x x x s .提示? 应用公式)0()()(0F x F dx x F x -='⎰? 即⎰'+=xdx x F F x F 0)()0()(?11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x .例7 求级数∑∞=+-01)1(n nn 的和.解 考虑幂级数∑∞=+011n n x n , 此级数在[-1, 1)上收敛, 设其和函数为s (x ), 则∑∞=+-=-01)1()1(n nn s .在例6中已得到xs (x )=ln(1-x ), 于是-s (-1)=ln2, 21ln )1(=-s , 即21ln 1)1(0=+-∑∞=n n n .。
数列与级数的函数项级数与幂级数
数列与级数的函数项级数与幂级数数列与级数是数学中重要的概念和研究对象，它们在各个领域都有广泛的应用。
而函数项级数和幂级数则是数列与级数的两种特殊形式，它们在解析学、微积分以及物理学等领域都有重要的作用。
本文将介绍函数项级数和幂级数的定义、性质以及应用。
一、函数项级数函数项级数是指数列的通项是一个函数，而不是常数。
函数项级数的一般形式可以表示为∑(n=1到∞) an(x)。
其中，an(x)是一个关于自变量x的函数，并且随着n的增大而变化。
函数项级数可以看作是由一系列函数组成的序列。
函数项级数的收敛性是指当x取某个值时，级数的部分和不断逼近于某个有限值。
如果函数项级数的部分和收敛于有限值，那么我们称该函数项级数在该点收敛。
函数项级数的收敛性可以通过一系列的测试方法进行判断，比如比较判别法、积分判别法以及魏尔斯特拉斯判别法等。
函数项级数在分析学、微积分和物理学等领域都有广泛的应用。
例如，泰勒级数是一种特殊的函数项级数，它可以将任意函数近似为一系列幂函数的和。
这在微积分的应用中非常重要。
此外，函数项级数还有在物理学中解决波动方程、热传导方程和扩散方程等问题中的应用。
二、幂级数幂级数是函数项级数的一种特殊形式，它的通项是幂函数。
幂级数的一般形式可以表示为∑(n=0到∞) cn(x-a)^n。
其中，cn是常数系数，x 是自变量，a是常数。
幂级数可以看作是由一系列幂函数组成的序列。
幂级数的收敛性同样可以通过一系列的测试方法进行判断，比如比值判别法、根值判别法和柯西-阿达玛公式等。
与函数项级数类似，幂级数在分析学、微积分和物理学等领域都有重要的应用。
在解析学中，我们可以使用幂级数来表示一些常见函数，比如指数函数、三角函数和对数函数等。
幂级数在数值计算和近似计算中也有广泛的应用。
此外，幂级数还可以用来解决差分方程、微分方程和边值问题等。
总结：数列与级数是数学中重要的概念，在函数项级数和幂级数的框架下有着广泛的应用。
高等数学第14章第1节幂 级 数
第十四章 幂 级 数§1 幂 级 数一 引言前面介绍了一般的函数项级数，重点是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以及一致收敛函数项级数的性质．从今天开始，我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函数项级数，一类是“幂级数”（代数多项式的推广）；另一类是“Fourier 级数”（三角多项式的推广，三角级数的特例，在物理中有广泛的应用）．二 什么样的函数项级数是幂级数1 定义（幂级数）：形如20010200()()()n n n a x x a a x x a x x ∞=-=+-+-+∑ （1） 的函数项级数称为幂级数．2 特例：当00x =，即在点零处展开的幂级数为20120n nn a x a a x a x ∞==+++∑ （2）3 若在（1）中令0x x t -=，则（1）化为（2）的形式，故研究幂级数，一般研究在点零处的展开幂级数即可．4 幂级数形式上的特点：一般项为0()n n a x x -，从而所求的和是多项式（最简单函数），是一种比较简单的函数项级数，因而具有一些特殊的性质．如收敛域一定是区间（退化区间——点）．又在收敛域内可任意次逐项求导和求积等，这些优点使其成为一类最常用的级数．三 幂级数的收敛区间定理 14.1 （ Abel 定理 ） 若幂级数∑n n x a 在点0≠=x x 收敛 ， 则对满足不等式|| ||x x <的任何x ，幂级数∑n nx a 收敛而且绝对收敛 ；若在点x x =发散 ，则对满足不等式|| ||x x >的任何x ，幂级数∑n n x a 发散. 证 ∑n n x a 收敛, {n n x a }有界. 设|n n x a |≤M , 有 |n n n n n n Mr x x x a x a ≤⋅=|||||, 其中 1 ||<=xx r . ∑+∞<,n Mr ⇒ ∑∞+< ||n n x a .定理的第二部分是第一部分的逆否命题.定义（收敛半径）由定理1，幂级数∑n n x a 的收域是以原点为中心的区间，若以R 2表示该区间长度，则称R 为幂级数∑n n x a 的收敛半径 R.定理14.2（幂级数的收敛半径）对于幂级数∑∞=0n n n x a设 n n n a ∞→=lim ρ， 则 1）+∞<<ρ0 时，幂级数的收敛半径 ρ1=R 2）0=ρ 时，幂级数的收敛半径 +∞=R3）+∞=ρ 时，幂级数的收敛半径 0=R证 ∞→n lim=n n n x a ||∞→n lim ||||||x x a n n ρ=, ( 强调开方次数与x 的次数是一致的). ⇒ …… 由于∞→n lim , ||||1⇒=+ρn n a a ∞→n lim ρ=n n a ||, 因此亦可用比值法求收敛半径. 推论 若 ||lim 1n n n a a +∞→=ρ， 则幂级数的收敛半径 ρ1=R 四 求收敛半径和收敛域的例子例 1 求级数 ∑∞=12n nn x 的收敛区域．解 两种方法都得到 1=ρ，即 1=R ，收敛区间为 )1,1(-，又 1±=x 时，级数为∑∞=121n n ，所以原级数收敛，即收敛区域为]1,1[-．例2 求幂级数 ++++nx x x n22的收敛域 . () 1 , 1 [- ) 例3 求下列幂级数的收敛域: (i) ∑∞=0!n nn x ; (ii) ∑∞=0!n n x n .例4 求幂级数 ++++74533234333231x x x x 的收敛域 . 解 ++++74533234333231x x x x ∑∞=++=02131n n n x n x 是缺项幂级数 . ∞→n lim , 31||||1⇒=+n n a a 3=R . 收敛区间为) 3 , 3 (-. 由于 3±=x 时, 通项0→/. 因此, 该幂级数的收敛域为) 3 , 3 (-.例5 求级数 ∑∞=-0)1(21n n n x 的收敛域 . 解 令 11-=x t , 所论级数成为幂级数 ∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=0022n n n n n t t .由几何级数的敛散性结果, 当且仅当22<<-t 时级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛02n nt 收敛. 因此当且仅当2112<-<-x , 即 21 |1|>-x 时级数 ∑∞=-0)1(21n n n x 收敛. 所以所论级数的收敛域为 ) , 23 () 21 , (∞+⋃∞-.例6 求幂级数∑23n n x 的收敛半径 .解 ∞→n l i m =23n n ∞→n l i m 1 , 13=⇒=R n . 五 幂级数的性质1 性质1（阿贝尔第二定理）：若00()n n n a x x ∞=-∑的收敛半径为R ，则此级数在收敛域内部00(,)x R x R -+上内闭一致绝对收敛；在收敛域00,x R x R <-+>上内闭一致收敛． 2 性质 2 ：设幂级数00()n n n a x x ∞=-∑的收敛半径为R ，和函数为()s x ，则和函数在收敛域00,x R x R <-+>上连续，于收敛域内部00(,)x R x R -+上可以逐项积分和逐项微分，即： 对00(,)x R x R -+上任一点x ，有000000()()()1x x n n n n x x n n a a t t dt x x s t dt n ∞∞==-=-=+∑∑⎰⎰ 10000[()]()()n n n n n n d d a x x na x x s x dx dx ∞∞-==-=-=∑∑， 并且逐项求导和逐项积分后的级数（仍为幂级数），其收敛半径仍为R ．六 幂级数的运算定义 两个幂级数∑∞=0n n n x a 和∑∞=0n n n x b 在点0=x 的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数.定理14.9∑∞=0n n n x a =∑∞=0n n n x b ,) 1 ( , +∞<≤=⇔n b a n n .定理14.10 幂级数∑∞=0n n n x a和∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为a R 和b R , },min{b a R R R =, 则 i) ∑∑=n n n n x a x a λλ, λ , ||a R x <— Const ， 0≠λ.ii) ∑∞=0n n n x a+∑∞=0n n n x b =n n n n x b a )(0+∑∞=, R x ||<. iii ) (∑∞=0n n n x a)(∑∞=0n n n x b )=n n n x c ∑∞=0, ∑=-=nk k n k n b a c 0, R x ||<. 例1: 求幂级数11(1)()n n n x s x n ∞-=-=∑的和函数()s x . 例2: 求21n n nx ∞=∑的和函数()s x . 例3: 求210(1)21n n n x n +∞=-+∑的和函数()s x . 例4: 求0nn x n ∞=∑的和函数()s x . 作业：P50 1（2）（3）（4）（6），3, 4。
幂级数
n0
系数cn按乘法的定义求.
(相除后的收敛区间比原来两级数的 收敛区间小得多)
2.和函数的分析运算性质
(1)幂级数 an xn 的和函数 s( x) 在收敛域上
n0
连续.
(2)幂级数 an xn的和函数 s( x) 在收敛域上
n0
可积, 并可逐项积分.
x
s( x)dx
0
x
(
0
an xn )dx
n1
(1)n1
n1
[(1)n1
n
xn
n xn
]
显然 s(0) 0,
(1)n1 xn1
1
,
n11Biblioteka x(1 x 1)两边积n分1得
x s(nt )dt x 1 dt
0
0 1 t
即 s( x) s(0) ln(1 x) s(x) ln(1 x),
0
(1)n1 xn ln(1 x)，(1 x 1).
1
即|
x |
1 时,
n0
级数 | an xn
n0
| 发散,
从而级数 anxn发散，
n0
于是收敛半径 R 1 .
limliamn1anx1 x0 a a nn
nn
（2）若 0, 根据比值审敛法，对任意的x，
级数an xn绝对收敛. 因此收敛半径 R .
n0
（3）若 , 对于除x 0外的一切x,
问题 如何求幂级数的收敛半径?
定理2
如果幂级数 an xn的所有系数 an 0，
n0
设
lim an1 a n
n
,
则 (1)
当
0 时, R
1；
函数项级数和幂级数的区别
函数项级数和幂级数的区别
如何理解函数项级数与幂级数的关系？
但是，从两个概念所包含的内容看，它们是不同的。
函数项级数仅仅是把一个函数表达式分解为若干个自变量之间的关系；而幂级数则反映的是一个“超越函数”。
这就是说，前者是对已知的函数进行
求和（累加），即一般情况下只能对一个或几个参数进行求和；而后
者则是求一个函数值，即可以用来表示多个参数之间的关系。
函数项级数是无穷多项级数的统称，其中每一项级数都对应着一个基本函数。
而幂级数只是最简单形式的多项式级数。
二者的结构也不相同。
在解析式中，项级数是函数对自变量的微分项，是各个自变量乘积的总和；而幂级数则是以底数项为变量的函数对自变量的导数项，在导数项中不包含任何未知函数。
所以说，项级数是“集合”；而幂
级数是“等式”。
级数的收敛性与和函数有关。
项级数无论是在开区
间还是闭区间上都是严格收敛的，而幂级数的开区间收敛、闭区间则发散。
由于函数项级数中的项无限多，因此所有的级数都没有和函数；而幂级数的项有限多，因此函数是其和函数。
3。
解析式：函数对自变量的导数= f（ x）=x^x这样的解析式中，那么函数导数可以是负数吗？
4。
高等代数问题求解： a= x^3-5b＝ x^3-3x-2这个解析式中a 为什么可以是-3，为什么可以是-2呢？
5。
- 1 -。
第4章 级数
z1 + ( z2 − z1 ) + ( z3 − z 2 ) + ... + ( zn − zn −1 ) + ...
则序列{zn}的敛散性和此级数的敛散性相同。
§4-1复数项级数
如果级数 ∑ zn 收敛，那么
n→+∞
lim zn = lim (σ n − σ n+1 ) = 0
n→+∞
设 an = Re zn , bn = Im zn , sa = Re(s), sb = Im(s)
n 2 ∞ n =0
形式的复函数项级数称为幂级数,其中 c0,c1, c2 ,…, a 都是复常数. 若令z = z − a ,则以上幂级数还可以写成
cn z n = c0 + c1 z + c2 z 2 + L ∑
n =0 ∞
§4-2 幂级数
2. 阿贝尔(Abel)定理
定理2 如果幂级数 ∑cn z 在 z = z0 收敛, 那么
cn = μ (μ ≠ 0 ) ，那么收敛半径
R=
1
μ
§4-2 幂级数
5. 幂级数的运算和性质
象实变幂级数一样，复变幂级数也能进行有 理运算。
∞ n =0 n f ( z ) = ∑ an z n , R = r1 , g ( z ) = ∑ bn z , R = r2 设 ∞
那么，在以原点为中心， r1 , r 2 中较小的一个 为半径的圆内，这两个幂级数的和函数分别 是 f (z )和 g (z ) 的和、差与积。
sn = z1 + z2 + ... + zn
§4-1复数项级数
如果序列 {sn } 收敛，那么级数 ∑ zn 收敛； 如果
求幂级数的和函数步骤
一、函数项级数的基本概念与收敛域的求解方法1、函数项级数相关的基本概念设函数u n(x)在集合D⊂R上有定义，称为D上的函数序列(或函数列). 称为定义在集合D上的函数项级数.如果对于任意一点x∈I⊂D，均存在u(x)，使得则称函数序列{ u n(x)}在点x处收敛，u(x)称为函数序列{ u n(x)}的极限函数，I称为函数序列{ u n(x)}收敛域.如果对于任一点x∈I⊂D，均存在S(x)，使得则称x为函数项级数的收敛点，I称为该函数项级数的收敛域，并且称函数S(x)为I上的函数项级数的和函数.若用S n(x)表示函数项级数前n项的和，即则称S n(x)为函数项级数前n项部分和函数. 并称为收敛域上的余项函数，并且有如果对于任一点x∈I⊂D，级数发散，则为函数项级数的发散点，I称为该函数项级数的发散域.2、函数项级数收敛域求解思路与步骤因为函数项级数的收敛域其实就是由所有收敛点构成的，而对于每个收敛点对应的函数项级数的收敛性的判定，其实对应的就发散区间+发散的端点=发散域 .二、幂级数的基本概念与收敛域的求解方法1、幂级数相关的基本概念幂级数是形式最简单，应用最广泛的一类函数项级数，是各项由幂函数组成的函数项级数. 幂级数的一般形式为特别令，则有其中a0,a1,…,a k,…都是实常数，称之为幂级数的系数．通过简单的变换x-x0=t，可以将幂级数的一般形式(1)转换为形式(2)．因此只需要讨论幂级数(2)的形式. 对于该级数也称为麦克劳林级数.2、求一般幂级数收敛域的基本步骤幂级数作为一类特殊的函数项级数，也适用于函数项级数收敛域的计算方法与步骤.一般的幂级数的收敛域的计算步骤为：第一步：借助于正项级数的比值审敛法或根值审敛法求收敛区间，即由令ρ(x)<1，解不等式求得幂级数的收敛区间。
第二步：借助于常值级数收敛性的判定方法判定幂级数在区间端点对应的常值级数的收敛性。
第三步：收敛区间加上收敛的端点构成幂级数的收敛域：收敛区间+收敛的端点=收敛域3、阿贝尔定理基于常值级数收敛性判定的比较审敛法，容易得到如下结论：定理1：(1) 若幂级数(1)在点x=a(a≠0)处收敛，则它对于满足不等式|x|<|a|的一切x都绝对收敛；(2) 若幂级数(1)在点x=a处发散，则它对于满足不等式|x|>|a|的一切x都发散．定理2：如果幂级数(1)既有不等于零的收敛点，又有发散点，则必存在唯一的正数R(0<R<+∞)，使得当x<|R|时，该幂级数绝对收敛；当x>|R|时，该幂级数发散．并称正数R称为幂级数(1)的收敛半径，而以原点为中心的对称区间(-R,R)称为幂级数(1)的收敛区间．通过判定收敛区间端点x=±R处的敛散性，容易计算得到幂级数(1)收敛域与发散域.规定：当幂级数(1)只在x=0处收敛时，规定其收敛半径R=0；当它在整个数轴上都收敛时，规定其收敛半径R=+∞．4、求标准幂级数收敛域的一般步骤标准幂级数是指幂级数项的指数是连续增长的正整数的级数，即展开后形式的级数，对于这样的级数由如下直接的收敛半径、收敛区间和收敛域计算方法与步骤：(1) 收敛半径：(2) 收敛区间即为(-R,R).(3) 判断端点x=±R的收敛性，收敛区间+收敛的端点=收敛域，发散区间+发散的端点=发散域 .【注】该步骤不适用于缺项的幂级数，如只有奇次幂或只有偶次幂的幂级数. 它们收敛域的计算适用于一般幂级数收敛域的计算方法与步骤，即函数项级数的判定方法.三、幂级数的运算性质1、幂级数的加减运算性质2、幂级数逐项可导，逐项可积性质（幂级数的和函数的连续性）幂级数的和函数S(x)在其收敛域上连续．反复应用上述结论可得：幂级数的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内具有任意阶导数．3、三个最基本函数的麦克劳林级数及其收敛域四、求幂级数和函数的基本步骤第一步：求收敛域.【注1】这一步也可以放在第二步后.第二步：通过换元，将幂级数转换为具有麦克劳林级数结构的级数表达式，即第三步：借助收敛域内幂级数的加减运算、逐项求导、逐项积分的解析性质，通过设幂级数和函数，对其两端分别进行求导、或积分运算将其转换为已知和函数的幂级数表达式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020/6/12
16
(2) 如果 0, x 0,
有
a xn1 n1 an xn
0 (n ),
级数 | an xn | 收敛,
n0
从而级数 an xn 绝对收敛. 收敛半径 R ;
n0
(3) 如果 , x 0, 级数 an xn 必发散.
x
1
x
n1
x
1
故级数的收敛域为
2020/6/12 { x | x 1,2, , x }
6
3.8课前回顾
一、绝对收敛和条件收敛
二、常数项级数复习
1、掌握一些基本概念：级数,部分和,收敛,正项级数,交错级数 ,任意项级数，绝对收敛，条件收敛等
2、能用级数收敛的必要条件证明级数发散，掌握2个重要级 数：几何级数和p级数
规定 (1)幂级数只在 x 0 处收敛, R 0, 收敛域 x 0;
(2)幂级数对一切x 都收敛,
R , 收敛域 (,).
问题 如何求幂级数的收敛半径?
2020/6/12
14
定理2 如果幂级数 an xn 的所有系数 an 0 ,
设
lim an1 a n
n
(
n0
或 lim n n
an
)
lim
n
rn
(
x)
0
(x在收敛域上)
注：函数项级数在某点 x 的收敛问题,实质上是
常数项级数的收敛问题.
2020/6/12
4
二 函数项级数举例
例1 求1 x x2 x3 xn , x (1,1)
的和函数.
解
前n项部分和
sn( x)
1 (1 xn ) 1 x
s( x)
lim n
sn( x)
9
定理1 阿贝尔（Abel）定理
如果级数 an xn 在 x x0( x0 0)处收敛,则 n0
它在满足不等式| x || x0 |的一切 x 处绝对收敛；
如果级数 an xn 在 x x0 处发散,则它在满足不 n0
等式| x || x0 |的一切 x 处发散.
证明
(1) an x0n 收敛,
函数项级数.
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
2020/6/12
2
2.收敛点与收敛域
(1)如果x0
I
,常数项级数 un ( x0 )
n1
收敛,则称
x0
为级数 un( x) 的收敛点,否则称为发散的所有收敛点的全体称
n1
为收敛域,所有发散点的全体称为发散域.
1.定义1 形如 an ( x x0 )n的级数称为幂级数.
n0
当 x0 0 时, an xn , 其中 an为幂级数系数.
n0
2.收敛性:
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
当 x 1时,收敛；当 x 1 时,发散.
收敛域 (1,1); 发散域(,1] [1,).
2020/6/12
n0
lim
n
an
x0n
0,
2020/6/12
10
M , 使得an x0n M(n 0,1,2, )
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
M
x x0
n
n
当
x x0
1时,等比级数 M
n0
x x0
收敛,
an xn
收敛,即级数
an xn 收敛.
n0
n0
2020/6/12
11
(1)则当 0 时,R 1 ; (2)则当 0 时,R ;
(3)则当 时, R 0.
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
2020/6/12
15
(1) 如果 lim an1 ( 0) 存在
a n n
由比值审敛法, 当 | x | 1
时,级数 | an xn | 收敛,
n0
从而级数 an xn 绝对收敛.
n0
当 | x | 1
时,级数 | an xn | 发散,
n0
并且从某个n开始 | an1 xn1 || an xn |, | an xn | 0
从而级数 an xn
n0
发散, 收敛半径 R 1 .
3、能根据具体题目灵活运用比较审敛法和比值（根值）审敛 法判断正项级数的敛散性
4、会用莱布尼茨定理判断交错级数的敛散性
三、函数项级数
函数项级数，收敛点，收敛域，发散点，发散域，和函数
2020/6/12
7
第三节 幂 级 数
一 幂级数及其收敛性 二 幂级数的运算及其性质
2020/6/12
8
一 幂级数及其收敛性
1 xn
lim n
1
x
1 1
x
x (1,1)
2020/6/12
5
例2
求
(
1
n1 x n
1) xn1
的收敛域.
解
un( x)
1 xn
1 xn1
(n 1,2,
)
的定义域为 x 1,2, ,
sn ( x)
n k 1
(
x
1
k
x
1 k
) 1
1 x 1
x
1 n
1
1
1
1
lim
n
sn( x)
lim
n
第二节 函数项级数
一 函数项级数的概念 二 函数项级数举例
2020/6/12
1
一 函数项级数的概念
1.定义 设 u1( x),u2( x), , un( x), 是定义 在 I R 上的函数,则由其构成的表达式
un( x) u1( x) u2( x) un( x)
n1
称为定义在区间 I 上的函数项无穷级数,简称
的正数 R存在,使得
当 | x | R 时,幂级数绝对收敛；
当| x | R 时,幂级数发散；
当 x R 与 x R时,幂级数可能收敛也可
能发散；
2020/6/12
13
定义2 正数R称为幂级数的收敛半径.开区间 (-R,R)称为幂级数的收敛区间.
从而决定了收敛域为以下四个区间之一:
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
2020/6/12
3
3.和函数(Sum function)
(1)在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数s( x), 称 s( x)为函数项级数的和函数.
s( x) u1( x) u2( x) un( x)
（2）函数项级数的部分和 sn( x),
lim
n
sn (
x)
s( x)
（3）余项 rn( x) s( x) sn( x)
(2) 假设当 x x0时发散, 而有一点 x1适合
使级数收敛.
| x1 || x0 |
由(1)结论,则级数当 x x0 时应收敛,
这与所设矛盾. 几何意义
收敛区域
发散区域 R
•
•
•
R 发散区域 x
o
2020/6/12
12
推论 如果幂级数 an xn 不是仅在 x 0一点收敛,
n0
也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定