10函数项级数和幂级数 习题课

111

第十章 函数项级数习题课

一、 主要内容

1、基本概念

函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数

幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性

A 、 函数列{()}n f x

一致收敛性的判断：

（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性

（2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断 （3）确界（最大值方法）：||()()||0n f x f x -→ （4）估计方法：|()()|0n n f x f x a -≤→

（5）Dini-定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性 注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。

注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。

注、Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n>N 时”条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n>N 时，对所有任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立。

非一致收敛性的判断 （1）定义

（2）Cauchy 收敛准则

（3）确界法：存在n x ，使得||()()||n n n f x f x -不收敛于0 （4）和函数连续性定理

（5）端点发散性判别法：{()}n f x 在c 点左连续，{()}n f c 发散，则{()}n f x 在

112

(,)c c δ-内非一致收敛

注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy 收敛准则。 B 、函数项级数()n u x ∑ 一致收敛性的判断 （1）定义

（2）Cauchy 收敛准则

（3）转化为函数列（部分和） （4）余项方法：{()}n r x 一致收敛于0

（5）几个判别法：W-法，Abel 法，Dirichlet 法，Dini-法

注、一般来说，由于不容易计算和函数，函数项级数的一致收敛性的判断比函数列一致收敛性的判断要复杂，但是，由于判别法并不是很多，因此，对一个题目，在不能准确分析其结构特点，确定相应的判别法时，可以采用逐个试探的方法，确定出一个合适的判别法，但是，不管用哪个判别法，一定要严格验证相应的条件。

注、方法（3）和方法（4）处理问题的思想是一致的，只是途径不同。 非一致收敛性的判断 （1）、定义 （2）、Cauchy 准则 （3）、部分和方法，转化为函数列判断 （4）、和函数连续定理 （5）、端点发散性判别法

（6）、必要条件：通项函数列{()}n u x 不一致收敛于0

（7）、逐项求积法：与和函数连续性定理类似，利用一致收敛的和函数的分析性质，通过验证不能逐项求积进行判断。

注、使用的顺序基本和函数列的情形类似。 3、和函数性质

定性分析：连续性，可微性的判断 定量分析：求导，求积，求极限

注、对和函数的连续性、可微性等定性性质的分析，充分利用这些性质的局部性，将给定区间（通常是开区间）上的性质研究转化为内闭区间上的性质研究，因此，解决问题的关键通常是内闭一致收敛性的验证。

4、幂级数

（1）收敛半径，收敛域

113

（2）各种收敛性的关系：点收敛、绝对收敛、一致收敛 （3）幂级数的展开

（4）和函数的性质：求和，求导，求积，求极限…

注、要充分利用各种技巧实现和函数的计算、幂级数的展开等性质研究。 二、 典型题目

1、判断函数列{()}n f x 在[0,1]的一致收敛性，其中 （1）、()1n nx f x n x

=

++， （2）、()(1)n n f x nx x =-。

解：（1）计算得，

()lim ()lim

1n n n nx f x f x x

n x

→∞

→∞

===++， [0,1]x ∈，

因而，

2|()()||

|1n nx f x f x x n x

n

-=-≤

++， [0,1]x ∈，

故，{()}n f x 在[0,1]一致收敛。

（2）计算得

()lim ()lim (1)0n

n n n f x f x nx x →∞

→∞

==-=，[0,1]x ∈，

记()|()()|(1)n n x f x f x nx x ϕ=-=-，则

1

()(1)

[1(1)]n x n x n x ϕ-'=--+，

故，()x ϕ在11

n x n =

+处达到最大值，因而

11||()()||()(1)1

1

n

n n n f x f x x n n e

ϕ-==

-

→

++，

故，{()}n f x 在[0,1]非一致收敛。

注、下述用Dini-定理求证（2）的过程是否合适。验证Dini 定理的条件： 显然，对任意的n ，()(1)[0,1]n n f x nx x C =-∈，()0[0,1]f x C =∈；当0x =或

1x =，()0n f x =，因而关于n 单调；当0

x ≠时，考察()(1)n n f x nx x =-关于n 的

单调性，为此，将离散变量n 连续化，记1(0,1)a x =-∈，考查对应函数()y g y ya =关于y 的单调性。

显然，