最新幂函数经典例题(答案)复习过程
高二数学幂函数试题答案及解析
高二数学幂函数试题答案及解析1.如果幂函数的图象经过点，则的值等于()．A．B．2C．D．16【答案】A【解析】∵幂函数的图象经过点，，解得，，故．【考点】幂函数．2.设，则使幂函数为奇函数且在上单调递增的a值的个数为( ) A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】因为是奇函数，所以应该为奇数，又在是单调递增的，所以则只能1,3．【考点】幂函数的性质.3.幂函数 f（x）=xα（α∈R）过点，则 f（4）= ．【答案】2【解析】将点代入幂函数，得，解得，所以,那么考点:幂函数的性质4.等比数列的各项均为正数,且,则( )A．12B．10C．8D．【答案】B【解析】由于数列是等比数列，所以，又因为，所以得到..所以选B.【考点】1.等比数列的性质.2.同底对数的求和运算.3.对数的性质.5.函数的图像是（）A B C D【答案】B．【解析】函数的定义域为R，奇函数，图象关于原点对称，在（0，+∞）是增函数，在（0，1）上凸且高于直线y=x，所以，选B。
【考点】幂函数的图象点评：简单题，函数与图象配伍问题，由注意定义域、值域、奇偶性（对称性）、单调性等。
6.幂函数的图像经过点，那么。
【答案】【解析】设幂函数,∵幂函数的图像经过点，∴，∴a=-2，∴【考点】本题考查了幂函数的求值点评：熟练掌握幂函数的概念是解决此类问题的关键，属基础题7.若幂函数的图象经过点，则它在点处的切线方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】解：∵f（x）是幂函数，设f（x）=xα∴图象经过点∴=（）α∴α=∴f（x）=xf'（x）=它在A点处的切线方程的斜率为f'（）=1，又过点A所以在A点处的切线方程为4x-4y+1=0故选B8.已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：则不等式f(|x|)≤2的解是__________．A. －4≤x≤4. B 0≤x≤4. C 0≤x≤2 D －2≤x≤2.【答案】A【解析】解：因为幂函数f(x)＝xα的对应表可知幂指数为，那么利用幂函数的性质可知不等式f(|x|)≤2的解是，即为|x|≤4，解得为选项A9.函数的图像一定经过的定点的坐标为【答案】(-3,2)【解析】10.幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一簇美丽的曲线，如图所示，设点，连接，线段恰好被其中两个幂函数图像三等分，即有，那么=___▲___.【答案】1【解析】解：解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M (1/ 3 ，2 /3 ) N (2/ 3 ，1/ 3 )，分别代入y=xα，y=xβα="log"1/ 3 2/ 3 ，β="log"2/ 31/ 3αβ="log"2/ 3 1/ 3 •log1/ 32/ 3 =111.已知幂函数f ( x )过点（2，），则f ( 4 )的值为【答案】【解析】解：设f(x)= ，则由过点（2，），所以12.（1）求函数（的最小值以及相应的的值；（2）用20cm长得一段铁丝折成一个面积最大的矩形，这个矩形的长、宽各为多少？并求出这个最大值．【答案】解：（1）由，得，所以当且仅当，即时等号成立，故函数（的最小值为12，相应的.（2）设矩形的长、宽分别为cm，cm，由题意得，即矩形的面积为，由均值不等式的（当且仅当时等号成立）得，所以矩形的长、宽都为5cm时，矩形的面积最大，最大为25【解析】略13.给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是：【答案】1【解析】略14.设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为( )A．1,3B．-1,1C．-1,3D．-1,1,3【答案】A【解析】本题考查幂函数的奇偶性.当时，，函数定义域为，，函数是奇函数；当时，函数的定义域为R,是奇函数；当时，函数，定义域为，是非奇非偶函数；当时，函数，定义域是R，是奇函数.故选A15.已知幂函数y=f(x)的图像过点（3，），则函数f(x)=__________;【答案】【解析】略16.幂函数 (m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调递减函数,则m＝．【答案】 1【解析】略17.幂函数的图象经过点，则其定义域为 .【答案】【解析】略18.幂函数的图象经过点，则其定义域为 .【答案】【解析】略19.幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点,连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即有那么，ab=（）A．B．C．2D．1【答案】D【解析】【考点】函数与方程的综合运用；幂函数的实际应用．分析：先根据题意结合图形确定M、N的坐标，然后分别代入y=xα，y=xβ求得α，β；最后再求αβ的值即得．解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M (，)N (，)，分别代入y=xα，y=xβα=，β=αβ=?=1故选D．20.已知幂函数的图像过点，则_________________；函数的定义域为_________________．【答案】3【解析】幂函数中系数，代入点得，的定义域需满足【考点】1.函数定义域；2.幂函数。
高三数学幂函数试题答案及解析
高三数学幂函数试题答案及解析1.若，则满足的取值范围是 .【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.【考点】幂函数的性质.2.对于函数f(x)若存在x0∈R，f(x)＝x成立，则称x为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋对称，求b的最小值．【答案】（1）－1和3.（2）(0,1)（3）－【解析】解：(1)∵a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，f(x)＝x⇒x2－2x－3＝0⇒x＝－1，x＝3，∴函数f(x)的不动点为－1和3.(2)即f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，转化为ax2＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，需有判别式大于0恒成立，即Δ＝b2－4a(b－1)>0⇒Δ1＝(－4a)2－4×4a<0⇒0<a<1，∴a的取值范围为(0,1)．(3)设A(x1，x1)，B(x2，x2)，则x1＋x2＝－，则A，B中点M的坐标为(，)，即M(－，－)．∵A，B两点关于直线y＝kx＋对称，且A，B在直线y＝x上，∴k＝－1，A，B的中点M在直线y＝kx＋上．∴－＝＋⇒b＝－＝－，利用基本不等式可得当且仅当a＝时，b的最小值为－.3.若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．【答案】【解析】设f(x)＝xα，则＝9α，∴α＝－，即f(x)＝x－，f(25)＝4.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为() A．1,3B．-1,1C．-1,3D．-1,1,3【答案】A【解析】当α=-1时函数定义域为{x|x≠0}.当α=时,定义域是[0,+∞),都不符合条件.当α=1,3时,幂函数定义域为R且为奇函数.故选A.5.幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设幂函数，由，得.【考点】幂函数6.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.7.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.8.函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（）A．B．C．D．或【答案】【解析】是幂函数或 . 又上是增函数,所以.【考点】幂函数的概念及性质.9.函数由确定，则方程的实数解有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】因为，所以.方程为：，化简得，其根有3个，且1不是方程的根.【考点】幂的运算，分式方程的求解.10.下列对函数的性质描述正确的是（）A．偶函数，先减后增B．偶函数，先增后减C．奇函数，减函数D．偶函数，减函数【答案】B【解析】是偶函数，图象关于y轴对称，而在（0，+∞）是减函数，所以，在（-∞.0）是增函数，故选B。
幂函数考试题及答案
幂函数考试题及答案
1. 幂函数的定义是什么？
答案：幂函数是指形如y=x^a的函数，其中a为实数。
2. 幂函数y=x^2的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^2的图像是一个开口向上的抛物线，对称轴为y轴。
3. 幂函数y=x^3的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^3的图像是一个通过原点的曲线，且在第一象限和
第三象限内单调递增。
4. 幂函数y=x^(-1)的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^(-1)的图像是双曲线的一支，位于第一象限和第三
象限，且在每个象限内单调递减。
5. 幂函数y=x^(1/2)的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^(1/2)的图像是抛物线的一部分，仅存在于第一象限，且在第一象限内单调递增。
6. 幂函数y=x^(-2)的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^(-2)的图像是双曲线的一支，位于第一象限和第二
象限，且在每个象限内单调递减。
7. 幂函数y=x^a在a>0时的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^a在a>0时，图像在第一象限内单调递增，且随着x 的增大，y值也增大。
8. 幂函数y=x^a在a<0时的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^a在a<0时，图像在第一象限内单调递减，且随着x 的增大，y值减小。
9. 幂函数y=x^a在a=0时的图像是什么？
答案：幂函数y=x^a在a=0时，图像是一条平行于x轴的直线，y=1。
10. 幂函数y=x^a在a=1时的图像是什么？
答案：幂函数y=x^a在a=1时，图像是一条经过原点的直线，y=x。
幂函数经典例题(答案)
幂函数经典例题(答案)A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．例4、已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解 由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R.错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m .解 根据幂函数定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 点评 幂函数y ＝x α (α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝32， 所以m ＝－3，n ＝32.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴535.1＜537.1，（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－， ∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小(1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978， 从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23； (2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23. (2)(4.1)25>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<(4.1)25.例8、 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3， 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称， ∴3m －9为偶数，故m ＝1，∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y ＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式 已知幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．解 由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3，当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不符合题意．当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图①所示． 当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图②所示．练习一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 答案 D2．下列函数中，不是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x －1C ．y ＝xD ．y ＝x 2 答案 A3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1答案 B5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 答案 B解析 由已知⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0∴m ＝1或m ＝2.6．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定，应选C.7．幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为( )A ．2 6B ．64 C.24 D.164答案 C解析 设f (x )＝x α (α为常数)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x－12，∴f (8)＝8－12＝24. 8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2 C ．y ＝x －2 D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析 根据函数图象，选B. 二、填空题1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9，13，则f (25)＝_____________.答案 15解析 设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.2．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是______________．答案 [0，＋∞)解析 由4＝8α，得α＝23，∴y ＝x 23≥0.3. 如图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象，已知α取±2，± 四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为 .答案 2，12，－12，－24．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________． 答案 5解析 设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.5．幂函数y ＝x α (α∈R)的图象一定不经过第________象限． 答案 四6．把下列各数223，⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫150，⎝ ⎛⎭⎪⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13<⎝ ⎛⎭⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<223.7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5解析 f (x )＝x －12＝1x(x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎨⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎨⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题1．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．2．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解 (1)若f (x )为正比例函数，则 ⎩⎨⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。
高一幂函数的试题及答案
高一幂函数的试题及答案一、选择题1. 下列哪个函数是幂函数？- A. \( y = x^2 + 1 \)- B. \( y = \sqrt{x} \)- C. D. \( y = \frac{1}{x} \)2. 幂函数 \( y = x^3 \) 的图像通过哪个点？- A. (0, 1)- B. (1, 1)- C. (-1, 1)- D. (0, 0)3. 如果幂函数 \( y = x^n \) 的图像关于y轴对称，那么 \( n \) 的值是多少？- A. 1- B. 2- C. -1- D. 任意实数二、填空题4. 幂函数 \( y = x^2 \) 的图像是一个_________。
5. 当 \( n > 0 \) 时，幂函数 \( y = x^n \) 的图像在第一象限内随着 \( x \) 值的增加而_________。
三、解答题6. 已知幂函数 \( y = x^n \) 通过点 (3, 27)，请确定 \( n \) 的值。
7. 讨论幂函数 \( y = x^n \) 图像的变化趋势，并说明 \( n \) 的不同取值对图像的影响。
四、计算题8. 计算幂函数 \( y = x^{-2} \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
9. 假设幂函数 \( y = x^n \) 的图像经过点 (2, 8)，求 \( n \)的值，并描述其图像的特点。
答案一、选择题1. 正确答案：B. \( y = \sqrt{x} \)（因为 \( \sqrt{x} = x^{1/2} \)）2. 正确答案：C. (-1, 1)3. 正确答案：B. 2二、填空题4. 幂函数 \( y = x^2 \) 的图像是一个抛物线。
5. 当 \( n > 0 \) 时，幂函数 \( y = x^n \) 的图像在第一象限内随着 \( x \) 值的增加而增加。
三、解答题6. 由于 \( y = x^n \) 通过点 (3, 27)，我们有 \( 27 = 3^n \)。
幂函数 高中数学例题课后习题详解
第三章函数的概念与性质3．3幂函数例证明幂函数()f x =是增函数.证明：函数的定义域是[0,)+∞.1x ∀，2[0,)x ∈+∞，且12x x <，有()()12f x f x -===.因为120x x -<0>，所以()()12f x f x <，即幂函数()f x =是增函数.练习1.已知幂函数y x α=的图象过点，试求出这个函数的解析式.【答案】12y x =【解析】【分析】直接带点计算即可.2α=，得12α=，即12y x =.2.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（1）3(1.5)-，3(1.4)-；（2）11.5-，11.4-.【答案】（1）33(1.5)(1.4)-<-；（2）111.5 1.4>--.【解析】【分析】（1）根据3()f x x =的单调性比较大小；（2）根据1()g x x=在(,0)-∞上的单调性比较大小.【详解】解：（1）设3()f x x =，则()f x 在R 上为增函数.1.5 1.4-<- ，33(1.5)(1.4)∴-<-.（2）设1()g x x=，则()g x 在(,0)-∞上为减函数，1.5 1.40-<-< ，111.5 1.4∴>--.【点睛】本题考查幂函数的单调性的应用，属于基础题.3.根据单调性和奇偶性的定义证明函数3()f x x =的单调性和奇偶性.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断，利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.【详解】证明：3()f x x =的定义域为R.任取12,R x x ∈，且12x x <，则()()()()33221212121122f x f x x x x x x x x x -=-=-++()22121221324x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.12,R x x ∈ ，且12x x <，120x x ∴-<，2212213024x x x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭.()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <.3()f x x ∴=在R 上为增函数.又33()()()f x x x f x -=-=-=- ，3()f x x ∴=为奇函数.【点睛】本题考查幂函数的单调性及奇偶性的证明，属于基础题.习题3．3复习巩固4.画出函数y =的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.【答案】图像见解析，偶函数，讨论见解析【解析】【分析】将绝对值去掉，将函数解析式写出分段函数的形式，再根据幂函数的性质及图象画出函数图象，从而可以判断函数的奇偶性和单调性.【详解】解：xyx==<y∴=设()f x y==()f x的定义域为R.()()f x f x-===，()y f x∴==.当[0,)x∈+∞时，y=为增函数，证明如下：设任意的12,[0,)x x∈+∞，且12x x<，则12y y-=12,[0,)x x∈+∞，且12,0x x<>12120,0,0x x y y+>-<∴-<即12yy<.y∴=在[0,)+∞上为增函数.当(,0]x∈-∞时，y=为减函数，证明如下：设任意的12,(,0]x x∈-∞，且12x x<，则12y y-=.12,(,0]x x∈-∞，且12,0x x<>，21120.0x x y y->∴->即12yy>. y∴=在(,0]-∞上是减函数.【点睛】本题考查分段函数及幂函数的图象及性质，属于中档题.综合运用5.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v ，（单位：3/cm s ）与管道半径r （单位：cm ）的四次方成正比.（1）写出气体流量速率v ，关于管道半径r 的函数解析式；（2）若气体在半径为3cm 的管道中，流量速率为3400/cm s ，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率v 的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm ，计算该气体的流量速率（精确到31/cm s ）.【答案】（1）4v kr =；（2）440081v r =；（3）33086/cm s 【解析】【分析】（1））设比例系数为k ，由题意可得：4v kr =．（2）代入可得k ．（3）利用（2）的表达式即可得出．【详解】解：（1）设比例系数为k ，气体的流量速率v 关于管道半径r 的函数解析式为4v kr =.（2）将3r =与400v =代入4v kr =中，有44003k =⨯.解得40081k =，所以，气体通过半径为r 的管道时，其流量速率v 的表达式为440081v r =.（3）当=5r 时，43400250000530868181/s v cm =⨯=≈.所以，当气体81通过的管道半径为5cm 时，该气体的流量速率约为33086/cm s .【点睛】本题考查了正比例函数的解析式及幂函数其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.试用描点法画出函数2()f x x -=的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.【答案】图像见解析，定义域：{|0}x x ≠，值域：{|0}y y >，讨论见解析，证明见解析【解析】【分析】函数221()f x x x -==，可得0x ≠．可得定义域，2x >，可得210x >，可得值域；在求解奇偶性，并作出其大致图象，利用定义证明单调性即可；【详解】解：21()f x x =.列表：x…-3-2-1123…()f x …1914111419…描点，连线.图象如图所示.定义域：{|0}x x ≠，值域：{|0}y y >.2()f x x -=在(,0)-∞上是增函数，在(0,)+∞上是减函数.证明如下：设任意的12,(,0)x x ∈-∞，且12x x <.则()()()()222121211222222212121211x x x x x x f x f x x x x x x x +---=-==.22121212210,0,0,0x x x x x x x x <<∴+<>-> .()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，2()f x x -∴=在(,0)-∞上是增函数.设任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()2121122222121211x x x x f x f x x x x x +--=-=.120x x << ，222112210,0,0x x x x x x ∴+>>->()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >.2()f x x -∴=在(0,)+∞上是减函数.22()()()f x x x f x ---=-== 2()f x x -∴=是偶函数.【点睛】本题考查幂函数的图象及性质，单调性的证明，属于中档题．。
幂函数与指数函数练习题及解答
幂函数与指数函数练习题及解答1. 解答下列方程：(1) 3^x = 81解析：将81写成3的幂次形式，即81=3^4。
因此，原方程可化为3^x = 3^4，得到x=4。
(2) 2^(3x-1) = 8解析：右侧的8可以写成2的幂次形式，即8 = 2^3。
因此，原方程可化为2^(3x-1) = 2^3，进一步化简为3x-1=3，解得x=2。
2. 求下列幂函数的定义域和值域：(1) f(x) = 2^x解析：对于幂函数，底数不能为负数，并且指数x可以取任意实数。
因此，该函数的定义域为R（实数集）。
而值域是大于0的实数集，即(0,+∞)。
(2) g(x) = (1/3)^x解析：类似地，对于该幂函数，底数不能为0，并且指数x可以取任意实数。
因此，定义域为R（实数集）。
值域是大于0小于1的实数集，即(0,1)。
3. 解答下列指数函数的性质：(1) 若f(x) = 2^x，求f(-3)的值。
解析：将x=-3代入指数函数，得到f(-3) = 2^(-3) = 1/2^3 = 1/8。
(2) 若g(x) = 5^(2x+1)，求g(0)的值。
解析：将x=0代入指数函数，得到g(0) = 5^(2*0+1) = 5^1 = 5。
4. 比较下列函数的增减性：(1) f(x) = 2^x解析：对于幂函数f(x) = 2^x，当x增大时，函数值也增大，即f(x)随着x的增大而增大。
因此，f(x)是递增函数。
(2) g(x) = 3^(-x)解析：对于指数函数g(x) = 3^(-x)，当x增大时，函数值变小，即g(x)随着x的增大而减小。
因此，g(x)是递减函数。
总结：幂函数和指数函数的练习题及解答主要包括方程的求解、定义域和值域的求取，以及函数的增减性的分析。
深入理解幂函数和指数函数的特点和性质，对于解决相关数学问题和题目有着重要的帮助。
希望通过以上练习题和解答，能够进一步巩固和提高对幂函数和指数函数的理解和应用能力。
高一数学幂函数试题答案及解析
高一数学幂函数试题答案及解析1. (1)化简；(2)已知且，求的值.【答案】(1)1; (2)【解析】(1)注意根式与分数指数幂的关系:,将所求式子全用分数指数幂来表示,再利用幂的运算法则:可化简已知式子;(2)注意到,将已知代入即可求得所求式子的平方值,再注意到,所以>0,从而就可得到所求式子的值．试题解析：原式.(2)．又因为，所以故知：．【考点】根式与分数指数幂的运算．2. .（填“”或“”）.【答案】【解析】幂函数在上单调递增，，所以【考点】幂函数的性质3.给定函数①，②，③，④，其中在区间(0，1)上单调递减的函数序号是( )A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】B【解析】因为，幂指数为正，所以，①是增函数；因为底数小于1，所以②是减函数；因为③的图象是关于直线x=1对称的折线，其在(0，1)上是增函数；因为底数大于1，所以④是增函数；综上知，在区间(0，1)上单调递减的函数序号是②③，故选B。
【考点】本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性。
点评：简单题，指数函数、对数函数的单调性，均与底数的取值情况有关，应注意以辨别。
4.已知幂函数的图像经过，则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据已知条件，那么可设幂函数因为的图像经过，那么可知，有，那么可知幂函数为，故选C.【考点】本试题考查了幂函数知识。
点评：解决该试题的关键是能设出幂函数，然后代点得到解析式，进而求解函数值的差，属于基础题。
5.幂函数的图像过点，则=_______．【答案】【解析】设幂函数，所以=。
【考点】幂函数的概念。
点评：熟记幂函数的形式，注意幂函数与指数函数的区分。
属于基础题型。
6.幂函数=（m2-m-5)x2m-3 的图象在第一象限内递减，则m的值是。
【答案】-2【解析】因为=（m2-m-5)x2m-3是幂函数，所以m2-m-5=1，解得m=3或-2.又因为m=3时，=（m2-m-5)x2m-3=x3在第一象限内的单调递增，所以不满足题意，舍去。
幂函数练习题及答案解析
幂函数练习题及答案解析1.下列幂函数中为偶函数的是 y = x^2.解析：定义域为实数集，f(-x) = (-x)^2 = x^2，因此是偶函数。
2.若 a < 1，则 5a < 0.5a < 5-a。
解析：因为 a < 1，所以 y = x 是单调递减函数且 0.5 < 5 < 5-a，因此 5a < 0.5a < 5-a。
3.α 可能的取值为 1 和 3，使得函数y = x^α 的定义域为实数集且为奇函数。
解析：只有函数 y = x 和 y = x^3 的定义域是实数集且为奇函数，因此α 可能的取值为 1 和 3.4.当 n = -1 或 n = 2 时，满足 (-2)^n。
(-3)^n。
解析：因为 (-2)^n。
0 且 (-3)^n < 0，所以 y = x^n 在 (-∞。
+∞) 上为减函数。
因此 n = -1 或 n = 2.1.函数 y = (x+4)^2 的递减区间是 (-∞。
-4)。
解析：函数的开口向上，关于 x = -4 对称，因此在 (-∞。
-4) 上递减。
2.幂函数的图像过点(2.4)，则其单调递增区间是(-∞。
0)。
解析：因为 y = x^2 的图像是开口向上的抛物线，过点(2.4)，因此其单调递增区间为 (-∞。
0)。
3.正确的说法有 2 个。
解析：①错误；②中 y = x^-1 的图像不过点 (1.1)；③正确；④正确，因此有 2 个正确的说法。
4.使f(x) = x^α 为奇函数且在(0.+∞) 上单调递减的α 的值的个数是 1.解析：因为f(x) = x^α 为奇函数，所以α 为奇数，因此α可能的取值为 -3.-1.1.3.因为在(0.+∞) 上单调递减，所以只有α = -1 满足条件。
因此个数为 1.1.α=-1,1,3.由于f(x)在(，+∞)上为减函数，所以α=-1.2.使(3-2x-x^2)/4有意义的x的取值范围是(-3<x<1)。
高一数学幂函数试题答案及解析
高一数学幂函数试题答案及解析1.若函数是幂函数，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，得，解得．【考点】幂函数的解析式．2.计算等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】。
故选B。
【考点】指数幂的运算点评：本题运用指数幂的运算公式：，。
3.已知幂函数的图象过点 .【答案】3【解析】幂函数形式为，其过点，则，求得，。
【考点】幂函数点评：幂函数的形式是。
本题需先确定幂函数的解析式。
4.当时，幂函数为减函数，则实数( )A．m＝2B．m＝－1C．m＝2或m＝－1D．【答案】A【解析】因为，当时，幂函数为减函数，所以或，解得，m＝2，故选B。
【考点】本题主要考查幂函数的概念及其性质。
点评：简单题，注意形如为常数）的函数是幂函数。
5.（本小题12分）已知函数是幂函数且在上为减函数，函数在区间上的最大值为2，试求实数的值。
【答案】【解析】解：因为函数是幂函数且在上为减函数，所以有，解得，——————————5’①当是的单调递减区间，————————7’②当，解得——————————9’③，解得————————11’综合①②③可知————————12’【考点】幂函数与二次函数点评：解决的关键是对于常见的基本初等函数性质的熟练运用，属于基础题。
6.已知幂函数在增函数，则的取值范围 .【答案】(0,10)【解析】根据已知表达式可知，幂函数在增函数，首先分析对数式y=lga中真数大于零，即a>0，同时要满足在增函数，说明了幂指数为正数，即1-lga>0，得到lga<1=lg10,a<10,这样结合a>0，可知实数a的取值范围是(0,10)。
【考点】本试题主要是考查了幂函数的单调性与幂指数的正负之间的关系的应用，属于基础题。
点评：解决该试题关键是理解幂函数在y轴右侧的单调性是增，说明了幂指数为正，如果在y轴右侧为减，说明幂指数为负数。
同时对数真数大于零是易忽略点。
7.幂函数的图象过点(2, ), 则它的单调递增区间是（）A．(－∞, 0)B．[0, ＋∞）C．(0, ＋∞)D．(－∞, ＋∞)【答案】A【解析】因为幂函数过点(2, ),所以=，即。
高一数学幂函数试题及答案
高一数学幂函数试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 幂函数y=x^{α}（α∈R）的图像经过点（2，4），则α的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：将点（2，4）代入幂函数y=x^{α}，得到4=2^{α}，解得α=2。
2. 幂函数y=x^{α}（α∈R）在区间（0，+∞）上是增函数，则α的取值范围是（）A. α＜0B. α＞0C. α＜1D. α＞1答案：B解析：幂函数y=x^{α}在区间（0，+∞）上是增函数，说明α＞0。
3. 幂函数y=x^{α}（α∈R）的图像经过点（1，1），则α的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B解析：将点（1，1）代入幂函数y=x^{α}，得到1=1^{α}，解得α=1。
4. 幂函数y=x^{α}（α∈R）的图像关于y轴对称，则α的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：幂函数y=x^{α}的图像关于y轴对称，说明α为偶数，且α＞0。
因此，α=2。
5. 幂函数y=x^{α}（α∈R）的图像经过点（-1，1），则α的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A解析：将点（-1，1）代入幂函数y=x^{α}，得到1=(-1)^{α}，解得α=0。
6. 幂函数y=x^{α}（α∈R）的图像经过点（4，16），则α的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：将点（4，16）代入幂函数y=x^{α}，得到16=4^{α}，解得α=2。
7. 幂函数y=x^{α}（α∈R）的图像经过点（8，1），则α的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A解析：将点（8，1）代入幂函数y=x^{α}，得到1=8^{α}，解得α=0。
8. 幂函数y=x^{α}（α∈R）的图像经过点（1，8），则α的值为（）A. 0B. 1C. 3D. 4答案：C解析：将点（1，8）代入幂函数y=x^{α}，得到8=1^{α}，解得α=3。
2023年新高考数学大一轮复习专题08 幂函数与二次函数(解析版)
专题08 幂函数与二次函数【考点预测】 1.幂函数的定义一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质 3.常见的幂函数图像及性质：R RR {|0}x x ≥ （1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程. （3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 5．二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--. （1）单调性与最值①当0a >时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，；2max 4()4ac b f x a -=.（2）与x 轴相交的弦长当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，1212||||||M M x x a =-==. 6.二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，令02p qx +=： （1）若2bp a-≤，则(),()m f p M f q ==； （2）若02b p x a <-<，则(),()2bm f M f q a =-=； （3）若02b x q a ≤-<，则(),()2bm f M f p a=-=； （4）若2bq a-≥，则(),()m f q M f p ==. 【方法技巧与总结】1.幂函数()a y x a R =∈在第一象限内图象的画法如下： ①当0a <时，其图象可类似1y x -=画出； ②当01a <<时，其图象可类似12y x =画出； ③当1a >时，其图象可类似2y x =画出．2．实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=< 3.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示.n （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.【题型归纳目录】题型一：幂函数的定义及其图像 题型二：幂函数性质的综合应用题型三：二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件 题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题【典例例题】题型一：幂函数的定义及其图像例1．（2022·全国·高三专题练习）幂函数()()22121m f x m m x -=-+在()0,∞+上为增函数，则实数m 的值为（ ） A ．2- B ．0或2 C ．0 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为幂函数求出m ，再验证单调性可得. 【详解】因为()f x 是幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =，当0m =时，()1f x x -=在()0,∞+上为减函数，不符合题意， 当2m =时，()3f x x =在()0,∞+上为增函数，符合题意，所以2m =. 故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数pqy x =（p ，q ∈Z 且p ，q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（ ）A ．p ，q 均为奇数，且0p q> B ．q 为偶数，p 为奇数，且0p q < C ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q > D ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q< 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定函数的图象分析函数的性质，即可得出p 、q 的取值情况. 【详解】因函数p q y x =的图象关于y 轴对称，于是得函数pq y x =为偶函数，即p 为偶数， 又函数p qy x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且在(0,)+∞上单调递减，则有pq<0， 又因p 、q 互质，则q 为奇数，所以只有选项D 正确. 故选：D例3．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________. 【答案】12##0.5 【解析】 【分析】点A 坐标代入幂函数解析式，求得a ，然后计算函数值． 【详解】点A （4，2）代入幂函数()af x x =解得12a =，()12f x x =，1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故答案为：12．例4．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））已知幂函数()f x 的图象过点()8,2--，且()()13f a f a +≤--，则a 的取值范围是______． 【答案】(],1-∞ 【解析】 【分析】先求得幂函数()f x 的解析式，根据函数()f x 的奇偶性、单调性来求得a 的取值范围. 【详解】设()f x x α=，则()1823αα-=-⇒=，所以()13f x x =，()f x 在R 上递增，且为奇函数，所以()()()311313f a f a a a f a a =-+≤--+-⇒≤⇒≤. 故答案为：(],1-∞例5．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数i y x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快 【解析】 【分析】根据幂函数的图象与性质确定结论． 【详解】解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；⑧当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方． 从上面任取一个即可得出答案． 故答案为：α越大函数增长越快．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数223()m m y f x x --==（m ∈Z ）在(0,)+∞是严格减函数，且为偶函数.（1）求()y f x =的解析式；（2）讨论函数5()(2)()y af x a x f x =+-⋅的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）4()y f x x -==；（2）当2a =时，为偶函数；当0a =时，为奇函数；当2a ≠且0a ≠时，为非奇非偶函数.理由见解析. 【解析】（1）由题意可得：2230m m --<，解不等式结合m ∈Z 即可求解；（2）由（1）可得4(2)y ax a x -=+-，分别讨论0a =、2a =、0a ≠且2a ≠时奇偶性即可求解. 【详解】（1）因为幂函数223()mm y f x x --==（m Z ∈）在(0,)+∞是严格减函数，所以2230m m --<，即()()310m m -+< ，解得：13x ， 因为m Z ∈，所以0,1,2m =，当0m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意；当1m =时，4()y f x x -==，此时()y f x =为偶函数，符合题意； 当2m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意； 所以4()y f x x -==，（2）4544(2)(2)y ax a x x ax a x ---=+-⋅=+-，令()4(2)F x ax a x -=+-当0a =时，()2F x x =-，()()()22F x x x F x -=-⨯-==-，此时是奇函数， 当2a =时()4422F x x x -==，()()()444222F x x x x --=-==-，此时是偶函数， 当0a ≠且2a ≠时，()1(2)22F a a a =+-=-，()1(2)2F a a -=--=，()()11F F ≠-，()()11F F -≠-，此时是非奇非偶函数函数.【方法技巧与总结】确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.题型二：幂函数性质的综合应用例7．（2022·河北石家庄·高三期末）已知实数a ，b 满足3e e 1a a a -+=+，3e e 1b b b -+=-，则a b +=（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由已知构造函数()3e e x xf x x -=+-，利用()1f a =，()1f b =-，及函数的单调性、奇偶性即可得出结果.【详解】构建函数()3e e x xf x x -=+-，则()f x 为奇函数，且在R 上单调递增.由3e e 1a a a -+=+，3e e 1b b b -+=-，得()1f a =，()()()()1f b f a f b f b a b =-⇒=-=-⇒=-，所以0a b +=. 故选：B.例8．（2022·四川眉山·三模（文））下列结论正确的是（ ）A ．2<B ．2<C ．2log <D ．2<【答案】A 【解析】 【分析】对于A 、B ：作出2x y =和2yx 在第一象限的图像判断出：在()0,2上，有22x x >，在()2,4上，有22x x <，在()4,+∞上，有22x x >.即可判断A 、B ；对于C：判断出2>, log 1，即可判断；对于D：判断出2>，2=，即可判断.【详解】 对于A 、B ： 作出2x y =和2yx 在第一象限的图像如图所示：其中2x y =的图像用虚线表示，2yx 的图像用虚线表示.可得，在()0,2上，有22x x >，在()2,4上，有22x x <，在()4,+∞上，有22x x >.因为24<，所以2<，故A 正确；4，所以2>，故B 错误；对于C：2>,而22log log 21<=，所以log >故C 错误；对于D：2>，而2=，所以>.故D 错误.故选：A例9．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根， 则实数k 的取值范围为（ ） A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(]0,1D ．()0,∞+ 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数()f x 的性质，作出图象，数形结合即可求解作答. 【详解】当2x <时，函数3()(1)f x x =-是增函数，函数值集合是(,1)-∞，当2x ≥时，2()f x x=是减函数，函数值集合是(]0,1，关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，即函数()y f x =的图象与直线y k =有两个交点， 在坐标系内作出直线y k =和函数()y f x =的图象，如图，观察图象知，当01k <<时，直线y k =和函数()y f x =的图象有两个交点，即方程()f x k =有两个不同的实根，所以实数k 的取值范围为(0,1). 故选：A例10．（2022·浙江·模拟预测）已知0a >，函数()(0)xa f x x a x =->的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论1a =，01a <<与1a >三种情况下函数的单调性情况，从而判断. 【详解】当1a =时，()1(0)=-=>-a xx f x x x a ，此时函数()f x 为一条射线，且函数()1f x x =-在()0,∞+上为增函数，B 选项符合；当01a <<时，函数a y x =在()0,∞+上为增函数，x y a =在()0,∞+上为减函数，所以函数()=-a x f x x a 在()0,∞+上为增函数，此时函数在()0,∞+上只有一个零点，A 选项符合；当1a >时，x →+∞时，函数a y x =的增长速度远小于函数x y a =的增长速度，所以x →+∞时，函数()=-a xf x x a 一定为减函数，选项D 符合，C 不符合. 故选：C例11．（2022·全国·高三专题练习）不等式()10112200221210x x x -++-≤的解集为：_________．【答案】⎡⎢⎣⎦ 【解析】 【分析】 将不等式化为()()10111011222211x x x x +≤-+-，构造()1011f x x x =+根据其单调性可得221x x ≤-，求解即可.【详解】不等式变形为()()101110112222110x x x x -+-++≤，所以()()10111011222211x x x x +≤-+-，令()1011f x x x =+，则有()()221f x f x ≤-，显然()f x 在R 上单调递增，则221x x ≤-，可得212x ≤，解得x ≤≤故不等式的解集为⎡⎢⎣⎦．故答案为：⎡⎢⎣⎦例12．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）若函数()()()3,af x m x m a =+∈R 是幂函数，且其图象过点(，则函数()()2log 3ag x xmx =+-的单调递增区间为___________.【答案】(),1-∞- 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及所过的点求出,a m ，再根据对数型复合函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：因为函数()()()3,af x m x m a =+∈R 是幂函数，所以31m +=，解得2m =-，又其图象过点(，所以2a 12a =， 则()()212log 23g x x x =--， 则2230x x -->，解得3x >或1x <-， 令223x x μ=--，则函数223x x μ=--在()3,+∞上递增，在(),1-∞-上递减， 又因函数12log y μ=为减函数，所以函数()g x 的单调递增区间为(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-.例13．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异的实数根，则实数b 的取值范围是_________________________ ．【答案】(3,-- 【解析】 【分析】根据题意，作出函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图像，进而数形结合，将问题转化为方程220t bt ++=在区间()1,2上有两个不相等的实数根12,t t ，再结合二次函数零点分布求解即可. 【详解】解：根据题意，作出函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图像，如图：令()t f x =，因为方程2()()20f x bf x ++=有8个相异的实数根， 所以方程220t bt ++=在区间()1,2上有两个不相等的实数根12,t t ，故令()22g t t bt =++，则函数()22g t t bt =++在区间()1,2上有两个不相等的零点.所以()()100220g b g g ⎧>⎪⎪⎛⎫-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩，即230204620b b b +>⎧⎪⎪-<⎨⎪+>⎪⎩，解得3b -<<-所以实数b的取值范围是(3,--.故答案为：(3,--例14．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()224222mm f x m m x-+=--在()0,∞+上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()()()211ag x a x f x =--+在(]0,2上的值域为(]1,11？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3m =，()1f x x -=；（2）存在，6a =.【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出m 的值，将m 的值代入()f x 即可；（2）求出()g x 的解析式，按照1a -与0的大小关系进行分类讨论，利用()g x 的单调性列出方程组，求解即可. 【详解】（1）（1）因为幂函数()2242()22mm f x m m x-+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221420m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-(舍去)，所以1()f x x -=；（2）由（1）可得，1()f x x -=，所以()(21)1(1)1g x a x ax a x =--+=-+， 假设存在0a >，使得()g x 在(]0,2上的值域为(]1,11，①当01a <<时，10a -<，此时()g x 在(]0,2上单调递减，不符合题意； ②当1a =时，()1g x =，显然不成立；③当1a >时，10a ->，()g x 在和(]0,2上单调递增， 故(2)2(1)111g a =-+=，解得6a =.综上所述，存在6a =使得()g x 在(]0,2上的值域为(]1,11.【方法技巧与总结】紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.题型三：二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件例15．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设p ：二次函数()()210f x ax ax a =++≠的图象恒在x轴的上方，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于－1，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由p 可得20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，由q 可得1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，进而判断两集合关系，即可得到答案. 【详解】由p ，则2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<； 由q ，方程22210x ax a -+-=的两根为11x a =-，21x a =+，则1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，解得0a >， 因为{}04a a << {}0a a > ，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A例16．（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数24y x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，则a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞ B ．()3,+∞C ．()3,4D ．(),3-∞【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a 的不等式，进而求解. 【详解】二次函数24y x x a =-+，对称轴为2x =，开口向上， 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，要使二次函数2()4f x x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，需(1)140(2)480f a f a =-+>⎧⎨=-+<⎩，解得34a << 故实数a 的取值范围是()3,4 故选：C例17．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数()3x f x =且()218f a +=，函数()34ax xg x =-.(1)求()g x 的解析式；(2)若关于x 的方程()80xg x m -⋅=在区间[]22-,上有实数根，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()24x xg x =-；(2)1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】(1)根据()218f a +=求出a 即可；(2)方程()80xg x m -⋅=参变分离得222x x m --=-，换元法求值域即可.(1)由()218f a +=，可得：2318a +=，解得：32a =，∴()24x xg x =-；(2)由()80xg x m -⋅=，可得222x x m --=-，令12,44xt -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 则原问题等价于y ＝m 与y ＝h (t )＝2t t -在1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有交点，数形结合可知m ∈[h (12)，h (4)]＝1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故实数m 的取值范围为：1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.例18．（2022·湖北·高一期末）已知函数()2sin 1f x x =-，[0,]x π∈． (1)求()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的值；(2)设实数a R ∈，求方程23[()]2()10f x af x -+=存在8个不等的实数根时a 的取值范围． 【答案】(1)当0x =，π2，π时， max ()1f x =(2))2a ∈【解析】 【分析】（1）去掉绝对值，化为分段函数，求出每一段上的最大值；（2）令()t f x =，问题转化为23210t at -+=在(0,1)t ∈上存在两个相异的实根，进而列出不等式组，求出a 的取值范围.(1)∵()521,66512,066sinx x f x sinx x x πππππ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<<≤⎪⎩或，∴当5[,]66x ππ∈时， ()max 12f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭；∴当5[0,)(,]66x πππ∈时， max ()(0)(π)1f x f f ===．故当02x ππ=，，时， max ()1f x =． (2)令()t f x =，则[0,1]t ∈，使方程23[()]2()10f x af x -+=存在8个不等的实数根，则方程23210t at -+=在(0,1)t ∈上存在两个相异的实根，令2()321g t t at =-+，则()()()201013210Δ24310012g g a a a ⎧=>⎪=-+>⎪⎪⎨=--⨯⨯>⎪⎪<<⎪⎩2a <<．故所求的a的取值范围是)2．【方法技巧与总结】结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题例19．（2022·全国·高三专题练习）已知2()(0)f x ax bx c a =++>，()(())g x f f x =，若()g x 的值域为[2，)+∞，()f x 的值域为[k ，)+∞，则实数k 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设()t f x =，即有()()g x f t =，t k ，可得函数2y at bt c =++，t k 的图象为()y f x =的图象的部分，即有()g x 的值域为()f x 的值域的子集，即有k 的范围，可得最大值为2． 【详解】解：设()t f x =，由题意可得2()()g x f t at bt c ==++，t k ， 函数2y at bt c =++，t k 的图象为()y f x =的图象的部分， 即有()g x 的值域为()f x 的值域的子集， 即[2，)[k +∞⊆，)+∞， 可得2k ，即有k 的最大值为2． 故选：C ．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知值域为[1,)-+∞的二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x -+=--，且方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=．(1)求()f x 的表达式；(2)函数()()g x f x kx =-在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()22f x x x =+；(2)(],2-∞-. 【解析】 【分析】（1）根据(1)(1)f x f x -+=--可以判断函数的对称轴，再根据函数的值域可以确定二次函数的顶点坐标，则可设22()(1)121f x a x ax ax a =+-=++-，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知122x x -=进行求解，求出a 的值，即可得出()f x 的表达式；（2）根据题意，可以判断出函数()g x 在区间[2,2]-上的单调性，由()()g x f x kx =-，求得()2(2)g x x k x =+-，进而可知()g x 的对称轴方程为22k x -=，结合二次函数的图象与性质以及单调性，得出222k -≤-，即可求出k 的取值范围. (1)解：由(1)(1)f x f x -+=--，可得()f x 的图象关于直线1x =-对称， 函数()f x 的值域为[1,)-+∞，所以二次函数的顶点坐标为(1,1)--， 所以设22()(1)121f x a x ax ax a =+-=++-， 根据根与系数的关系，可得122x x +=-，121a x x a-=， 因为方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=则122x x -===， 解得：1a =，所以()22f x x x =+.(2)解：由于函数()g x 在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -， 则函数()g x 在区间[2,2]-上单调递增，又2())2(g x f x kx x x kx =-=+-，即()2(2)g x x k x =+-，所以()g x 的对称轴方程为22k x -=，则222k -≤-，即2k ≤-， 故k 的取值范围为(],2-∞-.例21．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值． 【答案】(1)(1,1)(5,7)-⋃ (2)0,2t a ==或2,2t a ==【解析】 【分析】（1）代入3a =解不等式组226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x 可得答案； （2）由题意(0)(2)0f f a ==，结合最大值为0最小值是4-分0=t 、22t a +=数形结合可得答案. (1)当3a =时，不等式5()7f x -<<， 即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ， 所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃． (2)(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥， 若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥， 所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．例22．（2022·全国·高三专题练习）问题：是否存在二次函数2()(0,,)f x ax bx c a b c R =++≠∈同时满足下列条件：(0)3f =，()f x 的最大值为4，____？若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，请说明理由.在①(1)(1)f x f x +=-对任意x ∈R 都成立，② 函数(2)y f x =+的图像关于y 轴对称，③ 函数()f x 的单调递减区间是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.【答案】答案见解析 【解析】 【分析】由(0)3f =，可求得3c =，由条件可得函数的对称轴，又()f x 的最大值为4，可得关于,a b 的方程组，求解即可. 【详解】解：由(0)3f =，可求得3c =，则2()3f x ax bx =++ 若选择① (1)(1)f x f x +=-对任意x ∈R 都成立 可得()f x 的对称轴为1x =，所以2ba-=1，又()f x 的最大值为4，可得0a <且(1)4f =，即34a b ++=，解得1,2a b =-=，此时2()23f x x x =-++； 若选择函数(2)y f x =+的图像关于y 轴对称 可得()f x 的对称轴为2x =，则2ba-=2， 又f （x ）的最大值为4，可得0a <且(2)4f =，即4234a b ++=，解得a 14=-，1b =，此时21()34f x x x =-++若选择③ 函数f （x ）的单调递减区间是1[2+∞，）， 可得f （x ）关于x 12=对称，则122b a -=，又()f x 的最大值为4，可得0a <且142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即113442a b ++=解得4a b ==-，此时2()434f x x x -=-+例23．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()f x 满足(1)(3)3,(1)1f f f -===-． （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在[1,1]a a -+上有最小值1-，最大值(1)f a +，求a 的取值范围． 【答案】（1）2()2f x x x =-；（2）[1,2]. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数的解析式，设2()f x ax bx c =++(0)a ≠，根据已知条件建立方程组，从而可求出解析式；（2）根据()f x 在[1,1]a a -+上有最小值1-，最大值(1)f a +，(1)1f =-，从而函数()f x 的对称轴在区间[1,1]a a -+上，1a +离对称轴远，建立关系式，从而求出a 的范围【详解】（1）设2()f x ax bx c =++(0)a ≠，则 (1)3(3)933(1)1f a b c f a b c f a b c -=-+=⎧⎪=++=⎨⎪=++=-⎩解之得：1,2,0a b c ==-=2()2f x x x ∴=- （2）根据题意：111(1)11(1)a a a a -≤≤+⎧⎨+-≥--⎩解之得：12a ≤≤a ∴的取值范围为[]1,2例24．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2(1)2f x x x =++ (2)913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据0∆≤，结合(1)0f -=可解；（2）结合图形，对对称轴和端点函数值进行分类讨论可得. (1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++， 因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =，所以2(1)2f x x x =++. (2)因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【方法技巧与总结】“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（ ） A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x > B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x < C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x = D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x >【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件，画出函数草图，即可判断. 【详解】由0a >，()00f <，0a b c ++=可知0a >，0c <，抛物线开口向上．因为()00f c =<，()10f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1x ∀∈，都有()0f x <，B 正确，A 、C 、D 错误. 故选：B ．2．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x =【答案】D 【解析】 【分析】根据指对函数的性质判断A 、B ，由正弦函数性质判断C ，对于D 有22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，即可判断奇偶性和()0,+∞单调性. 【详解】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()()222nf x n n x n Z =+-∈在()0,∞+上是减函数，则n 的值为（ ） A ．1或3- B ．1 C ．1- D ．3-【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和单调性求得n 的值. 【详解】依题意()f x 是幂函数，所以22221230n n n n +-=⇒+-=，解得1n =或3n =-. 当1n =时，()f x x =在()0,∞+递增，不符合题意.当3n =-时，()3f x x -=在()0,∞+递减，符合题意.故选：D4．（2022·全国·高三专题练习（理））设11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R ，且该函数为奇函数的α值为（ ） A ．1或3 B ．1-或1C ．1-或3D ．1-、1或3【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的相关性质依次验证得解. 【详解】因为定义域为R ，所以0α>，12α≠， 又函数为奇函数，所以2α≠，则满足条件的1α=或3. 故选:A5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，则()f x x α= 的值域是（ ） A ．(),0-∞ B ．()(),00,-∞⋃+∞ C ．()0,∞+ D ．[)0,+∞【答案】D 【解析】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域. 【详解】幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，84α∴=，解得23α=，23(0)f x x ∴==，∴()f x 的值域是[)0,+∞.故选：D.6．（2022·北京·高三专题练习）设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立，则正整数n 的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数．由得，由得， 由得，所以，所以，由得， 所以，由得，与矛盾，故正整数n 的最大值是4．考点：函数的值域，不等式的性质．7．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()mn f x x = (m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图像如图所示，则（ ）A ．m ，n 是奇数，且mn<1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>1 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的图像和性质利用排除法求解 【详解】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ； 当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ； 故选：C.8．（2022·全国·高三专题练习）已知3,0()3,0x xx f x e x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程22()()10f x k f x ⋅--=有5个不同的实根，则实数k 的取值范围为（ ） A ．72(,)2e e-- B ．72](,2e e--C ．72(,)(,)2e e -∞--+∞D ．72(,(,2])e e-∞--+∞【答案】A 【解析】 【分析】利用导数研究分段函数()f x 的性质，作出函数图形，数形结合得到124010t t e -<<⎧⎪⎨<<⎪⎩，然后结合一元二次方程根的分布即可求出结果. 【详解】 因为0x ≥时，()xx f x e =，则1()x xf x e-'=，令()0f x '=，则1x =，所以()0,1x ∈时，()0f x '>，则()f x 单调递增；()1,x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 单调递减；且(0)0f =，1(1)f e=，x →+∞时，()0f x →；0x <时，3()3f x x x =-，则2()33f x x =-'，令()0f x '=，则1x =-，所以()1,0x ∈-时，()0f x '>，则()f x 单调递增；(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，则()f x 单调递减；且(0)0f =，(1)4f -=-，x →-∞时，()f x →+∞； 作出()f x 在R 上的图象，如图：关于x 的方程22()()10f x k f x ⋅--=有5个不同的实根，令()f x t =，则2210t kt --=有两个不同的实根12121,02t t t t =-<，，所以124010t t e-<<⎧⎪⎨<<⎪⎩，令()221g t t kt =--，则()()280400010k g g g e ⎧∆=+>⎪->⎪⎪<⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得722k e e -<<-，故选：A. 【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】BC 【解析】 【分析】画出函数244y x x =--的图象，结合值域可得实数a 的取值范围，从而可得正确的选项. 【详解】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤，结合a 是正整数，所以BC 正确. 故选： BC.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()3232x x f x =-⋅+，定义域为M ，值域为[1,2]，则下列说法中一定正确的是（ ） A ．[]30,log 2M = B ．(]3,log 2M ⊆-∞ C ．3log 2M ∈ D ．0M ∈【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，令3x t =，则()222g t t t =-+，结合()g t 的值域为[1,2]，求出t 的取值范围，进而区间M 的特征，即可得到正确选项. 【详解】令3x t =(0)t >，则222()323222(1)1()x x f x t t t g t =-⋅+=-+=-+=， 由()1g t =，得1t =，即31x =，得0x =； 由()2g t =，得0=t （舍）或2，即3log 2x =；根据()g t 的图象特征，知0M ∈，3log 2M ∈，(]3log 2M ⊆-∞，. 故选：BCD ．11．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数()3f x x x =+，实数,m n 满足不等式()()2320f m n f n -+->，则（ ） A ．e e m n > B ．11n n m m +>+ C ．()ln 0m n -> D ．20212021m n <【答案】AC 【解析】 【分析】先判断函数()f x 的奇偶性及单调性结合不等式()()2320f m n f n -+->可得,m n 所满足的关系式，再利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性以及特殊值法逐项判断. 【详解】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()f x 为奇函数，因为()2310f x x '=+>，所以()f x R 上单调递增， 由()()2320f m n f n -+->， 得()()()2322f m n f n f n ->--=-， 所以232m n n ->-， 即1m n ->，m n >，因为x y e =在R 上是增函数，所以m n e e >，故A 正确；因为ln y x =在()0,∞+上是增函数，所以ln()0m n ->，故C 正确； 因为2021y x =在R 上是增函数，所以20212021m n >，故D 错误； 令2,0m n ==，可验证B 错误. 故选：AC12．（2022·全国·高三专题练习）设点(),x y 满足()55340x y x x y ++++=．则点(),x y （ ） A ．只有有限个 B ．有无限多个C ．位于同一条直线上D ．位于同一条抛物线上【答案】BC 【解析】 【分析】由已知得()()()()5533x y x y x x +++=-+-，根据5y x x =+的单调性有3x y x +=-，即可知(),x y 的性质.【详解】由题意，可得()()()()5533x y x y x x +++=-+-， 又5y x x =+单调递增，得3x y x +=-，则40x y +=， 故满足条件的点(),x y 有无穷多个，且都在直线40x y +=上． 故选：BC 三、填空题13．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______． ①()()f x f x -=；②当()0,x ∞∈+时，()0f x >； ③()()()1212f x x f x f x =⋅；【答案】2x （答案不唯一）； 【解析】 【分析】根据给定函数的性质，结合偶数次幂函数即可写出符合要求的解析式. 【详解】由所给性质：()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上恒正的偶函数，且()()()1212f x x f x f x =⋅，结合偶数次幂函数的性质，如：2()f x x =满足条件. 故答案为：2x （答案不唯一）14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知α∈112,1,,,1,2,322⎧⎫---⎨⎬⎩⎭.若幂函数f (x )＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 【答案】-1 【解析】 【分析】根据幂函数()f x x α=，当α为奇数时，函数为奇函数，0α<时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.【详解】解：∵幂函数f (x )＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3， 又f (x )＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1. 故答案为：-1.15．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知函数21()2f x x ax =++，()lng x x =-，用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，若()h x 恰有3个零点，则实数a 的取值范围是___________.【答案】3,2⎛- ⎝【解析】 【分析】分析函数21()2f x x ax =++的零点情况，可确定符合题意的情况，从而得到不等式组，解得答案.【详解】函数21()2f x x ax =++恒过点1(0,)2，且其图象开口向上，()ln g x x =-的零点为1，当21()2f x x ax =++的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>的零点至多有两个，不符合题意，故要使()h x 恰有3个零点，则函数()f x 在区间(0,1)上存在两个零点，如图示，故20121(1)1021Δ402a f a a ⎧<-<⎪⎪⎪=++>⎨⎪⎪=-⨯>⎪⎩解得32a -<<故答案为：3,2⎛- ⎝16．（2022·全国·高三专题练习）93,42M ⎛⎫⎪⎝⎭是幂函数()a f x x 图象上的点，将()f x 的图象向上平移32个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若点(,)n T n m （*n ∈N ，且2n ）在()g x 的图象上，则239MT MT MT +++=______. 【答案】30 【解析】 【分析】先求出函数()y g x =的解析式，得到23()2m n -=，从而得到()724n MT n n =-≥，对239MT MT MT +++利用分组求和法求和即可. 【详解】由39()24α=，得12α=，()12f x x =，123()2g x x =+.因为点(,)n m 在函数()g x 上，所以1232m n -=，即23()2m n -=.所以n MT ==7(2)4n n =-≥， 所以239777(2)(3)(9)444MT MT MT +++=-+-+⋯+-7(239)84=+++-⨯811142⨯=- 30=.故答案为：30. 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）解不等式3381050(1)1x x x x +-->++． 【答案】()()211-∞--，，． 【解析】 【分析】不等式变形为33225511x x x x ⎛⎫+⋅>+ ⎪++⎝⎭，将21x +视为一个整体，方程两边具有相同的结构，于是构造函数()35f x x x =+，然后由函数的单调性解不等式．【详解】令()35f x x x =+，易知()f x 在R 上单调递增．原不等式变形为33225511x x x x ⎛⎫+⋅>+ ⎪++⎝⎭，即()21f f x x ⎛⎫> ⎪+⎝⎭． 由()f x 在R 上单调递增得21x x >+，解得2x <-或11x -<<． 所以原不等式的解集为()()211-∞--，，． 18．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()2144m f x m m x+=+-在区间0,上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减. 【答案】（1）()2f x x =；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由幂函数的系数为1得2441+-=m m ，再根据函数为0,增函数得1m =；（2）由（1）得()216g x x x=+，再根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）解：由题可知：2441+-=m m ，解得1m =或5m =-. 若1m =，则()2f x x =在区间0,上单调递增，符合条件；若5m =-，则()4f x x -=在区间0,上单调递减，不符合条件.故()2f x x =.（2）证明：由（1）可知，()216g x x x=+. 任取1x ，()20,2x ∈，且12x x <，则()()()()22121212121212161616g x g x x x x x x x x x x x ⎡⎤-=+--=-+-⎢⎥⎣⎦. 因为1202x x <<<， 所以120x x -<，124x x +<，12164x x >， 所以()()121212160x x x x x x ⎡⎤-+->⎢⎥⎣⎦， 即()()12gx g x >，故()g x 在区间()0,2上单调递减.【点睛】。
最新高考文科一轮复习07-08.幂函数和分式函数(讲义+习题)
和
2.解分式函数题时，难在化简，常见的化简的手段有
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【经典例题】
例 1: 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
（1）y
3
x 2；（2）y
1
x 3；（3）y
2
x 3；（4）y
x 2；（5）y
x 3；（6）y
1
x2
.
（A） （B）
（C） （D）
（E） （F）
例 4：设
f
(x)
x x
3 2
, ,
(x (x
a) a)
，若存在实数
b
，使得函数
g
(
x)
f (x) b 有两个零点，则 a 的取值范围
例 5：函数 f (x) 5x 3 (x 1,3, x 1) 的值域是
3x 1
3
例 6：函数 y 4 3sin x 的值域是_____________________． 2 sin x
（）
A．
B．
答案：A
C．
D．
9 n 2.函数 y＝|x| (n∈N 且 n>9)的图像可能是( )
[答案] C
9
9
n
n
[解析] ∵f(－x)＝|－x| ＝|x| ＝f(x)，∴函数为偶函数，图像关于 y 轴对称，故排除 A、B.令 n＝18，
1
1
2
2
则 y＝|x| ，当 x≥0 时，y＝x ，由其在第一象限的图像知选 C.
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例 7：求下列函数的最大值: y 4x 2 1 (x 5) 4x 5 4
幂函数经典练习及答案
[基础巩固]1．函数f (x )＝x 3的图象( )A ．关于直线y ＝x 对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于y 轴对称解析 ∵f (x )＝x 3是奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称．答案 C2．若幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则f ⎝⎛⎭⎫12等于( ) A ．4B ．2C ．12D ．14解析 设f (x )＝x α，则14＝2α，∴α＝－2. ∴f (x )＝x －2.∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12－2＝22＝4.答案 A3．(多选)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫27，13，则幂函数f (x )具有的性质是( ) A ．在其定义域上为增函数B ．在(0，＋∞)上单调递减C ．奇函数D ．定义域为R解析 设幂函数f (x )＝x α(α为常数)，因为幂函数图象过点⎝⎛⎭⎫27，13，所以由f (x )的性质知，定义域为{x ∈R ，x ≠0}，f (x )是奇函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减．答案 BC4．下列幂函数中是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的是________(填序号)．①y ＝x 2；②y ＝x ；③y ＝x 12；④y ＝x 3；⑤y ＝x －1. 解析 由奇偶性的定义知y ＝x 2为偶函数，y ＝x 12 ＝x 既不是奇函数也不是偶函数．由幂函数的单调性知y ＝x－1在(0，＋∞)上单调递减，易知②④满足题意． 答案 ②④5．幂函数y ＝x－1在[－4，－2]上的最小值为________． 解析 ∵y ＝x －1在(－∞，0)上单调递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值是－12. 答案 －126．比较下列各题中两个幂的值的大小：解析 (1)∵y ＝x 12为[0，＋∞)上的增函数，又1.1>0.9，∴1.112 >0.912 .[能力提升]7．如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n <m <0B ．m <n <0C ．n >m >0D ．m >n >0解析 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.由曲线C 1，C 2的图象可知n <m .答案 A8．函数为幂函数，则该函数为________(填序号)．①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数．解析 由为幂函数，得m －1＝1，即m ＝2，则该函数为y ＝x 2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．答案 ②9．若(3－2m )12 >(m ＋1)12 ，则实数m 的取值范围为____________ .解析 考查幂函数y ＝x 12 ，因为y ＝x 12 在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2m ≥0，m ＋1≥0，3－2m >m ＋1，解得－1≤m ＜23. 故m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－1，23. 答案 ⎣⎡⎭⎫－1，23 10．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数是减函数，求满足的a 的取值范围． 解析 ∵函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上单调递减，∴3m －9<0，解得m <3.又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数．故m ＝1.∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a或a ＋1<0<3－2a .解得23<a <32或a <－1. 故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫23，32∪(－∞，－1)．[探索创新]11．已知幂函数在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2]时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，求实数k 的取值范围．解析 (1)依题意，得(m －1)2＝1，解得m ＝0或m ＝2.当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2，当x ∈[1,2]时，f (x )，g (x )单调递增，∴A ＝[1,4]，B ＝[2－k,4－k ]．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，∴0≤k ≤1. ∴实数k 的取值范围是[0,1]．。
高一幂函数试题及答案
高一幂函数试题及答案一、选择题1. 函数y=x^2+1是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既是奇函数又是偶函数答案：B解析：偶函数的定义是f(-x)=f(x)。
对于函数y=x^2+1，我们有f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x)，因此该函数是偶函数。
2. 函数y=x^3是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既是奇函数又是偶函数答案：A解析：奇函数的定义是f(-x)=-f(x)。
对于函数y=x^3，我们有f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)，因此该函数是奇函数。
3. 函数y=x^(-1)的定义域是（）A. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)B. (-∞, 0) ∪ [0, +∞)C. [0, +∞)D. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)答案：A解析：函数y=x^(-1)即y=1/x，分母不能为0，因此x不能等于0。
所以定义域为(-∞, 0) ∪ (0, +∞)。
4. 函数y=x^2的值域是（）A. (-∞, 0]B. [0, +∞)C. (-∞, +∞)D. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)答案：B解析：函数y=x^2的最小值是0（当x=0时），没有最大值，因此值域为[0, +∞)。
二、填空题5. 函数y=x^4的奇偶性是____。
答案：偶函数解析：对于函数y=x^4，我们有f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)，因此该函数是偶函数。
6. 函数y=x^3+1的零点是____。
答案：-1解析：令y=0，得到x^3+1=0，解得x=-1。
7. 函数y=x^(-2)的单调递减区间是____。
答案：(-∞, 0) 和(0, +∞)解析：函数y=x^(-2)即y=1/x^2，在(-∞, 0)和(0, +∞)区间内，随着x的增大，y值减小，因此这两个区间是函数的单调递减区间。
8. 函数y=x^2-4x+4的最小值是____。
答案：0解析：函数y=x^2-4x+4可以写成y=(x-2)^2，这是一个开口向上的抛物线，其最小值出现在顶点处，即x=2时，此时y=0。
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幂函数的概念例1、下列结论中，正确的是( ) A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α (α∈R )，y >0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；而当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数． 答案 C例2、已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)x 15(7＋3t －2t 2) (t ∈Z )是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t 的值．分析 关于幂函数y ＝x α (α∈R ，α≠0)的奇偶性问题，设pq (|p |、|q |互质)，当q 为偶数时，p 必为奇数，y ＝x p q 是非奇非偶函数；当q 是奇数时，y ＝x pq 的奇偶性与p 的值相对应．解 ∵f (x )是幂函数，∴t 3－t ＋1＝1， ∴t ＝－1,1或0.当t ＝0时，f (x )＝x 75是奇函数； 当t ＝－1时，f (x )＝x 25是偶函数；当t ＝1时，f (x )＝x 85是偶函数，且25和85都大于0， 在(0，＋∞)上为增函数．故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 25.点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t ∈Z 给予足够的重视．例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．例4、已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解 由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R .错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m .解 根据幂函数定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 点评 幂函数y ＝x α (α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－3n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴535.1＜537.1，（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－， ∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小(1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978，从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23； (2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23. (2)(4.1)25>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<(4.1)25.例8、 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3， 又m ∈N *，∴m ＝1,2. 又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1，∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减， ∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y ＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式 已知幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．解 由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3，当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不符合题意．当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图①所示． 当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图②所示．练习一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 答案 D2．下列函数中，不是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x －1C ．y ＝xD ．y ＝x 2 答案 A3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( )A ．y ＝x 12 B ．y ＝x －2 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x －1 答案 B5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 答案 B解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0∴m ＝1或m ＝2. 6．在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定，应选C.7．幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为( )A ．2 6B ．64 C.24 D.164 答案 C解析 设f (x )＝x α (α为常数)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x－12，∴f (8)＝8－12＝24.8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2 C ．y ＝x －2 D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析 根据函数图象，选B. 二、填空题1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9，13，则f (25)＝_____________.答案 15解析 设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.2．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是______________．答案 [0，＋∞)解析 由4＝8α，得α＝23，∴y ＝x 23≥0.3. 如图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象，已知α取±2，± 四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为 .答案 2，12，－12，－24．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________． 答案 5解析 设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.5．幂函数y ＝x α (α∈R )的图象一定不经过第________象限． 答案 四6．把下列各数223，⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫150，⎝ ⎛⎭⎪⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13<⎝ ⎛⎭⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<223.7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________． 答案 3<a <5解析 f (x )＝x －12＝1x (x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题1．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．2．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解 (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。