傅里叶级数习题课

求收敛域；
幂级数
求和函数；
级数展开.
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幂级数和付式级数
一、数项级数的审敛法
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 lim u n 0
n
不满足
发 散
满足
un 1 比值审敛法 lim u n n 1
根值审敛法 lim n un
1 n x n 1 n , 2 n 1 2
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x 2n n 0
n
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2. 设 x 的幂级数 , 并求级数
1 n 2n 解: ( 1 ) x , 2 1 x n 0
, 将 f (x)展开成 的和. ( 01考研 )
x (1,1)
n
1 当 x 时, e
1 n (1 ) n n un


e 1

1 n 1 (1 ) e n
1 0 ( n ) e
1 1 因此级数在端点发散 , 故收敛域为 ( , ) . e e
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u n 1 ( x) 解: 因 lim lim n u n ( x) n
思考: 如何利用本题结果求级数
1 e x (sin nx n cos nx) bn e sin nx d x 2 0 0 1 n n 1 e (1) n ( n 1, 2 , ) 2 1 n
1
x
提示: 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有 e 1 1 f (0 ) f (0 ) 1 n 1 2 2 2
n 1 n 1
练习题: P322
1; 2; 3; 4; 5
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解答提示:
P323 题2. 判别下列级数的敛散性:
提示: (1) lim n n 1 , 0 , N ,
n
1 n n 1
因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 .
x2 1 2 x 1 x2 2

x2 (0 1) 2
显然 x = 0 时上式也正确, 而在 x 2 级数发散, 故和函数为
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1 1 n (4) 原式 x n 1 n n 1


1 n t d t n 1 x 0
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极限不存在
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三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限 • 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） • 映射变换法
n 0
an x
S ( x)

n
逐项求导或求积分
n 0
n a nx

难
求和
对和式积分或求导
S * ( x)
• 数项级数 求和
直接求和: 直接变换, 求部分和等 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
x2 2
x2 当 1 , 即 2 x 2 时， 级数收敛; 2
当 x 2 时 , 一般项 u n n 不趋于0, 级数发散;
故收敛域为
( 2 , 2 ) .
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例2.
解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数
注意:
∵ 原级数 = ∴ 其收敛半径 R min{R1 , R 2 } 1 4
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练习: P323 题8. 求下列幂级数的和函数：
x≠0 解: (1)
2 1 1 2 n 1 n x 原式 n ( x ) ( 2 ) x n 1 n 1 2
2 x 2 x 2 2 x (2 x 2 ) 2


根据和函数的连续性 , 有
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练习:
P323 题9(2). 求级数 的和 .
1 (1) n (2n 1) 1 解: 原式= ( 2 n 1) ! 2 n 0
n n 1 (1) (1) 2 n 0 ( 2 n) ! n 0 ( 2 n 1) !

均收敛 , 且 收敛 .

证: 0 c n a n b n a n (n 1 , 2 , ) , 则由题设
n 1
(b n a n ) 收敛
n 1
n 1
(c n a n ) 收敛

[(c n a n ) a n ] (c n a n ) a n 收敛
1 (1) n 2 n 1 dx arctan x x , x [1,1] 2 1 x n 0 2n 1 0
x
于是
(1) n 2 n (1) n 2 n 2 f ( x) 1 x x n 1 2n 1 n 0 2n 1
级数 收敛 , 级数 发散 .
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P323 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:
(2)
n 1
(1)

sin n 1 n 1

n 1
;
n 1 (3) (1) ln ; n n 1
n

提示: (1) P >1 时, 绝对收敛 ; 0 < p ≤1 时, 条件收敛 ;

1 1 因 n 充分大时 10 , n ln n ∴原级数发散 .
发散,
s 1 时收敛; a 1 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时发散.
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P323 题3. 设正项级数
和
都收敛, 证明级数
也收敛 .
提示: 因 lim u n lim vn 0 , 存在 N > 0, 当n >N 时
x
x0
1 t (0 x 1) dt x 01 t 1 1 ln (1 x) x 1 1 ( 1) ln (1 x) x
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x
即得
1 1 ( 1) ln (1 x) , 0 x 1 x
显然 x = 0 时, 和为 0 ; x = 1 时, 级数也收敛 .
p≤0 时, 发散 .
(2) 因各项取绝对值后所得强级数
原级数绝对收敛Fra Baidu bibliotek.
n 1
n 1 收敛 , 故
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1
n 1 (3) (1) ln n n 1
n

因
单调递减, 且
由Leibniz判别法知级数收敛 ; n 1 但 ln n n 1
习题课 级数的收敛、求和与展开
一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅式级数 展开法
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求和 展开
(在收敛域内进行)
时为数项级数;
时为幂级数;
(an , bn 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
基本问题：判别敛散；
数项级数
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(1) n 2 n (1) n 2 n 2 f ( x) 1 x x n 1 2n 1 n 0 2n 1 (1) 2 n 1 x n 1 2n 1
n
n

(1) n 1 2 n x n 1 2n 1
n n
又因
2( un 2 vn 2 )
利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.
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P323 题4. 设级数
收敛 , 且
问级数
是否也收敛？说明理由.
提示: 对正项级数,由比较判别法可知
但对任意项级数却不一定收敛 . 例如, 取
收敛,
(1) n 1 vn n n vn (1) n lim 1 lim 1 n u n n n
1 [cos 1 sin 1] 2
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四、函数的幂级数和付式级数展开法
1. 函数的幂级数展开法 • 直接展开法 — 利用泰勒公式 • 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质
练习:
1. 将函数 展开成 x 的幂级数.
1 1 1 1 1 x 解: 2 2 1 2 2 x (2 x) 2
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例3. 求幂级数
法1 易求出级数的收敛域为
x
1 x sin x cos x , 2 2
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法2 先求出收敛区间
设和函数为
则
1 2 x sin x 2 1 x S ( x) sin x cos x, 2 2
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1 1 2n 1 (1) x 2n 1 2n 1 n 1
(1) n 2 n 1 2 x , 2 n 11 4n

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2. 函数的付式级数展开法
系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法 练习: P323 题11. 设 f (x)是周期为2的函数, 它在 [ , ) 上的表达式为 将其展为傅氏级数 .
y
解答提示 1
an
1 e (1) n 1 1 n2

0
o x 1 e x (n sin nx cos nx) x e cos nx d x 0 2 1 n
( n 0 , 1, 2 , )
e 1 1 f ( x) 2 n 1 ( x k , k 0 , 1 , 2 , )
n
部分和极限 不定 比较审敛法
用它法判别
积分判别法
1
收 敛
1
发 散
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3. 任意项级数审敛法
概念: 为收敛级数 若 收敛 , 称 发散 , 称 且 绝对收敛 条件收敛
若 Leibniz判别法: 若 则交错级数
收敛 , 且余项
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例1. 若级数 证明级数
所以原级数绝对收敛 .
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二、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 x R 处的敛散性 . 通过换元转化为标准形式 • 非标准形式幂级数 直接用比值法或根值法
练习:
P323 题7. 求下列级数的敛散域:
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1 n 解: lim an lim (1 ) e n n n 1 1 1 R , 即 x 时原级数收敛 . e e e
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利用比值判别法, 可知原级数发散.
(3)

n cos 2 n3
n 1
2
n
:
用比值法, 可判断级数
收敛,
再由比较法可知原级数收敛 .
an (5) s (a 0 , s 0) : 用比值判别法可知: n 1 n a 1 时收敛 ; a 1 时发散.
lim
ln( k 1) ln k n
k 1
n
n
lim ln( n 1)
所以原级数仅条件收敛 .
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(n 1) ! (4) (1) n 1 n n 1
n

因
u n 1 un
n2 1 n 1 n (1 ) n 1 n 1