幂级数习题课

第十四章 幂级数习题课
一 疑难解析与注意事项
1．如何求缺项幂级数的收敛半径 答：如果一个幂级数有无限多个项的系数为零这样的幂级数称为缺项幂级数，对这种幂
级数，不能直接用公式1lim n n n n a
a ρρ+→∞⎛
⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
．常用方法是： 1）进行变量替换．将原幂级数变为一个无缺项的幂级数．计算出后一幂级数的收敛半
径，再根据两变量之间的关系得出原幂级数的收敛半径．
例如幂级数2112n n n x ∞
=∑，可令2
y x =，化为幂级数112n n n y ∞=∑，而幂级数112
n n n y ∞
=∑的收
敛半径为2R =，从而当22x <时，原幂级数收敛，当2
2x >时，原幂级数发散，由此推
出原幂级数的收敛半径为R =
2）对缺项幂级数需要按照类似于定理14．2来求．
例如求幂级数2202
n
n n x ∞
=∑（缺项幂级数）的收敛半径．对于幂级数
220
2n
n
n x ∞
=∑
，因为222
22222lim
4
2n n n n n
x x
x ++→∞
=
，当
2
14
x
<时，即2x <，220
2n
n n x ∞
=∑
收敛，则原来级数绝对收敛；当2
14
x >时，即2x >，220
2n
n
n x ∞
=∑
发散，则原来级数发散，所以收敛半径2=R ． 2．如何求幂级数的收敛域
答：1）首先求幂级数的收敛半径R ；
2）写收敛区间(),R R -； 3）讨论端点处的收敛性，即讨论
n
n n a R
∞
=∑，
()
n
n n a R ∞
=-∑的收敛性，如果两个都收敛，
则幂级数的收敛域为[],R R -，如果两个都发散，则收敛域为(),R R -，如果其中一个收敛，一个发散，则收敛域为[),R R -（
()
n
n n a R ∞
=-∑收敛），(],R R -（
n
n n a R
∞
=∑收敛）．
3．幂级数在()R R ,-内每一点都绝对收敛，那么在端点处敛散性如何 答：1）幂级数在()R R ,-端点处可能收敛可能发散．
例如幂级数n x n ∑的收敛区间是()1,1-，在端点1处，级数1
n
∑发散，在端点1-处级
数
()
1n
n
-∑
收敛，收敛域是[)1,1-．
2）如果是收敛，可能是绝对收敛，可能是条件收敛．
n x n ∑在端点1-处是条件收敛，2n
x n ∑收敛域是[]1,1-，在端点1与1-处都是绝对收
敛的．
4．幂级数与逐项求导逐项积分后幂级数具有相同的收敛半径、收敛区间，但收敛域相同吗
答：不一定，例如n
x ∑收敛域为()1,1-，但逐项积分和幂级数为1
1
n x n ++∑收敛域为
[)1,1-．设幂级数0
n
n n a x ∞=∑，1
1
n n n na x
∞
-=∑，1
1n n n x a n +∞
=+∑收敛域分别是12,,D D D ，则有12D D D ⊂⊂ 如果一个幂级数经逐项求导或逐项求积后其收敛性发生了变化，则变化的只能是收敛区间两个端点处的收敛性．一般来说，逐项求导后，系数由n a 变为n na ，不会使收敛区间端点处的收敛性变好；而逐项求积后，系数由n a 变为
1
n
a n +，不会使收敛区间端点处的收敛性变坏．
5．如何求幂级数的和函数
答：首先求出幂级数的收敛半径与收敛域，然后可通过以下几种方法求 幂级数的和函数：
（1）变量替换法——通过变量替换，化为一较简单的幂级数． （2）拆项法——将幂级数分拆成两个（或几个）简单幂级数的和．
（3）逐项求导法——通过逐项求导得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是不难求得的；然后再通过牛顿莱布尼兹公式，得到原幂级数的和函数．
（4）逐项积分法——通过逐项求积得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是可以求得的；然后再通过求导数，得到原幂级数的和函数．
一般通过逐项求导逐项积分向等比级数转化，系数含有!n ，向x
e 的幂级数展开形式转化，系数含有()()2!,21!n n -向sin ,cos x x 展开形式转化．
注意：上述运算过程在幂级数的收敛区间内总是可行的（而在幂级数的收敛域上却不一定可行）．因此，我们一般只限定在幂级数的收敛区间内进行上述运算，由此得到在收敛区间上的和函数，而求幂级数在其收敛域上的和，还需要讨论在端点的函数值，利用函数在端点的左（右）连续性来求．
还需指出，这里所介绍的方法，仅仅是可供选择的几种途经．对具体问题，常常要综合利用上述方法，或寻求其他方法才能得到问题的解．
6．如何利用幂级数求数项级数的和
答：选择合适的幂级数，使该数项级数为幂级数在某收敛点0x 处的值．然后求出幂级数的和函数()S x ，则()0S x 便是原数项级数的和．
7．如何求函数f 在0x 处的幂级数展开式 答：主要有以下两种方法：
（1）直接法．计算函数f 在0x 处的各阶导数()()0n f x ，写出它的泰勒级数，然后证明
()0lim =∞
→x R n n ．
（2）间接法．借助某些基本函数的展开式，通过适当变换，四则运算，逐项求导或者逐项求积等方法，导出所求函数色幂级数展开式．这是常用的方法．
注意求展开式时，一定要写展开式成立的范围． 三 典型例题
1．求幂级数的收敛域：
1）∑n x n n )!2()!(2； 2）∑---)!
12()2(1
2n x n ； 3）∑+-+n n n x n )1()2(3； 4）∑+++n x n
)1
211(Λ； 5）
∑∞
=122
1n n
n
x ． 解：1）由于2212[(1)!](2)!(1)1
lim lim lim [2(1)]!(!)(22)(21)4n n n n n
a n n n a n n n n ρ+→∞→∞→∞++==⋅==+++，因此收
敛半径1
4R ρ
==，当4±=x 时，这个级数为∑±n n n )4()!2()!(2
，通项记为n u ，则有 n u =
)!2(4)!(2n n n =)!2(2)!(22n n n =)
12(5312642-⋅⋅⋅⋅n n
ΛΛ12+>n ， 于是∞→n lim n u +∞=，所以当4±=x 时级数∑n
x n n )!
2()!(2发散，从而可知这个级数的收敛域为)4,4(-．
2）令2t x =-，则级数∑---)!
12()2(12n x n 转化为21
(21)!n t n --∑（缺陷幂级数），
下面先求21(21)!n t
n --∑的收敛域，因为21
2
21(21)!lim lim 01(21)2(21)!
n n n n t t n t n n
n +-→∞→∞+==<+-，即对任意()
,t ∈-∞+∞，21(21)!n t n --∑都收敛，因此21
(21)!
n t n --∑的收敛域为
(),-∞+∞，因此的收敛域为
(),-∞+∞．
3）令1t x =+，则级数∑+-+n
n n x n
)1()2(3转化为3(2)n n n t n +-∑，下面先求3(2)n n n t
n +-∑的收敛域，
由于n ρ=
=3n ，所以收敛半径3
1=R ，因而级数3(2)n n n
t n +-∑的
收敛区间为11
(,)33
-
， 当1
3
x =-时，级数为
∑⎪⎭⎫
⎝⎛--+n
n n n 31)2(3=∑⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n
n n 3211)1(收敛， 当1
3x =时，级数为3(2)13n n n n +-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=1123n n n ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
∑，123n
n ⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛（123n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛，
因为2
13
n =<），∑n 1发散，故3(2)13n
n n n +-⎛⎫ ⎪⎝⎭
∑发散，因此3(2)n n n
t n +-∑的收敛域为11,33⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
，级数
∑+-+n
n n x n )1()2(3的收敛域为11133x -≤+<的解集，即⎪⎭⎫⎢⎣⎡--31,3
4． 4）因为
n
n n 1⋅
n n
1
211+++≤Λn n 1⋅≤，又∞→n lim
11=⋅n
n ，所以
∞
→n lim
11
211=+++
n
n
Λ， 从而收敛半径1=R ，又当1±=x 时，
n n n
)1)(1
211(lim ±+++
∞
→Λ0≠， 可见级数
∑+++n
x n
)12
11(Λ在1±=x 时发散，故这个级数的收敛域为)1,1(-． 5）法1: (将其看成不缺项的幂级数 Λ++⋅++⋅423
22
10210x x x x )
设 ⎪⎩⎪
⎨⎧=-==k n k n a k
n 2,2
112,0
∑∑∞
=∞
==11
221n n n
n n n
x a x ， 2
121lim lim 2==∞
→∞
→n
n
n n n n a 2=
∴R ．
法2: 令t x =2
，
∑∞
=12
1n n
n
t 收敛半径为2，
故R = 法3: (将其视为以x 为参数的数项级数或视为一般的函数项级数)
22lim )()(lim 2
21x x x u x u n n
n n =
=∞→+∞→， 当12
2
<x 即 2<x 时幂级数收敛， 当2>x 时发散，
故R =． 即收敛半径
为R =
，收敛区间
是(，
当x =时，∑
∞
=122
1n n
n
x 为11
1212n n n n ∞
∞
===∑∑
发散，因此收敛域为(． 2．应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的收敛域）： （1）求幂级数1n
n x n
∞
=∑的和函数；
（2）求幂级数11
n
n x n ∞
=+∑的和函数；
（3）求幂级数11n n nx ∞
-=∑的和函数；
（4）求幂级数1
n n nx ∞
=∑的和函数；
（5）求幂级数ΛΛ+++++++12531
253n x x x x n 的和函数； （6）求幂级数∑∞
=+1
)1(n n
n n x 的和函数；
（7）求幂级数1
!n
n x n ∞
=∑的和函数．
注：应用：求幂级数的和函数．
思想：一般是通过逐项求导，逐项积分向等比级数转化．(假如系数含有!n ，向x
e 的展开形式转化，假如系数含有()()2!,21!n n -向sin ,cos x x 展开形式转化)．
必须的知识点：
1）等比级数011n
n ∞
==
-∑W W ，11n
n ∞
==-∑W W W
---------； 2）牛顿莱布尼兹公式()()()x
a
f t dt f x f a '=-⎰；
3）
()()
()x
a
f t dt f x '
=⎰
．
注意点：
1）求和函数时必须先要求收敛域；
2）求()0f 时必须要看级数展开式中第一项；
例 设()0n n n f x a x ∞
==∑，先看展开式中第一项是0a ，因此()00f a =．
常见错误，有些人把0直接代通项，()0
000n f ∞
===∑．
设()1
n n n f x a x ∞
==∑，先看展开式中第一项是1a x ，因此()00f =．
3）涉及到除以x 时，要讨论x 为0不为0． 幂级数求和函数步骤:
求其收敛半径R 和收敛域D ．
在收敛区间内求和函数．(利用变量替换， 逐项求积， 逐项求导等方法) ，(假如系数含有!n ，向x
e 的展开形式转化，假如系数含有()()2!,21!n n -向sin ,cos x x 展开形式转化)；
收敛域若不是开区间， 还须讨论在收敛域端点处的和，若左端点收敛，则在左端点右连续，若右端点收敛，则在右端点左连续．
写出和函数， 注明定义域D ． 解（1）1）求收敛域；
1lim lim lim 1n n
n n n n n a n n ρ→∞
→∞
→∞====（或1
1
1lim lim 11
n n n n
a n a n
ρ+→∞→∞+===）
； 收敛半径1
1R ρ
=
=；
收敛区间()1,1-；
当1x =-时，()
1
1n
n n
∞
=-∑
收敛；当1x =时，11
n n
∞
=∑发散．
因此收敛域为[)1,1-． 2)向等比级数转化；
分析：因为等比级数系数为1或()1n
-，而1n n x n
∞
=∑的系数为1
n ，要向等比级数转化必须要
把n 抵消，此题可以通过逐项求导就可以把n 抵消．
令()1n
n x f x n
∞
==∑，
在收敛区间()1,1-上逐项求导（注意幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积）． ()111
1n n f x x x
∞
-='==
-∑， ()()()()0
01
0ln 11x
x
f x f t dt f dt x t
'=+==---⎰⎰
，()1,1x ∈-． 当1x =-时，（若幂级数0
n n n a x ∞
=∑在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这
一端点上右（左）连续．）
()()()11
1lim lim ln 1ln 2x x f f x x ++→-→--==--=-⎡⎤⎣⎦． （2）1）求收敛域； 收敛域为[)1,1-． 2)向等比级数转化；
分析：要向等比级数转化，必须要把系数中的1n +抵消，但是只有1n x +的求导才能出现1n +，必须要乘一个x ，除以一个x ，1
11
111n n n n x x n x n +∞
∞===++∑
∑，而要除以x ，就必须讨论x 为0不为0．
当0x =时，()00f =
当0x ≠时，()111111n n n n x x f x n x n +∞
∞====++∑∑
，（只需要求出1
1
1n n x n +∞
=+∑就会求出()f x ，下面求1
11
n n x n +∞
=+∑） 令()111
n n x g x n +∞
==+∑，收敛域[)1,1-
在收敛区间()1,1-上逐项求导．
()1
1n n x
g x x x
∞
='==
-∑， ()()()()0
00ln 11x
x
t
g x g t dt g dt x x t
'=+==----⎰⎰
，()1,1x ∈-． 当1x =-时，()()()11
1lim lim ln 11ln 2x x g g x x x ++→-→--==---=-⎡⎤⎣⎦． 于是()()()() 0 0
ln 11 1,00,1 ln2 1 1x x f x x x x =⎧⎪
-⎪
=--∈-⎨⎪
-=-⎪⎩
U
（3） 收敛域为()1,1- 令()11n n f x nx ∞
-==∑，
对()11
n n f x nx ∞-==∑在()1,1-上逐项积分；
()1
1
1
1x
x n n n n x
f t dt nt
dt x x
∞
∞
-=====
-∑∑⎰
⎰
， ()()
2
111x f x x x '
⎛⎫== ⎪-⎝⎭-． （4）解1：收敛域为()1,1-
()()
-12
1
1
=
1n
n n n x
f x nx x nx x ∞
∞
====-∑∑．
解2 由于∞
→n lim
n
n a =∞
→n lim
11=⋅n
n ，且当1±=x 时，这个幂级数发散，所以幂级数的
收敛域为)1,1(-，
设1
1
1
()n
n n n f x nx x nx
∞
∞
-====⋅∑∑，令∑∞
=-=
1
1
)(n n nx
x g
在)1,1(-上对()g x 逐项积分得，
dt t g x ⎰
)(dt nt
x n n ⎰∑∞
=-=01
1
=x
x x n n -=
∑∞
=11
所以=)(x g ()1x
x '-=
2)1(1x -，从而)(x f 2
)1(x x -= （1<x ）．
（5）讨论级数21
21
n n x n +∞
=+∑
，因为23
2
2123lim
21
n n n x n x x n ++→∞+=+，
当2
1x <，即1x <，21021n n x n +∞
=+∑
收敛，21
21n n x n +∞
=+∑收敛； 当2
1x >，即1x >，210
21n n x n +∞
=+∑
发散，21
21n n x n +∞=+∑发散， 因此收敛半径1R =，收敛区间为()1,1-，
且1±=x 时，∑∞
=+01
21n n 与2100(1)1
2121n n n n n +∞∞==-=-++∑∑
都是发散级数，所以幂级数的收敛域为)1,1(-，
设21
0()21
n n x f x n +∞
==+∑，
在)1,1(-逐项求导可得22
1
()1n n f x x x ∞
='==
-∑， 所以)(x f dt t x
⎰-=0211x x
-+=11ln 21 （1<x ）
， （6）由1)
1(1
lim =+∞
→n
n n n 知幂级数的收敛半径为1=R ． 又1±=x 时， 级数均收敛，
故幂级数的收敛域为]1,1[-．令]1,1[,)
1()(1-∈+=∑
∞
=x n n x x S n n
则 ]1,1[,)1()(1
1
-∈+=∑∞
=+x n n x x xS n n 由于)1,1(-∈∀x ， 有
,))1((
))((111∑∑∞
=∞=+='+='n n
n n n
x n n x x xS
,11)())((1
1
1∑∑∞
=-∞
=-=='=''n n n n x x
n x x xS
从而)1,1(-∈∀x ， 有
),1ln(1d d ))(())((00
x t
t
t t tS x xS x
x
--=-=''='⎰
⎰
),
1ln()1(d )1ln(d ))(()(0
x x x t t t t tS x xS x
x
--+=--='=
⎰⎰
于是
}.0{\)1,1(),1ln(11)(-∈∀--+
=x x x
x
x S 而由)(x S 的定义， 0)0(=S ．此外， 当1±=x 时， )(x S 在1-=x 处右连续， 在
1=x 处左连续． 故
,2ln 21)]1ln(11[lim )(lim )1(11-=--+
==-++-→-→x x
x
x S S x x
.1)]1ln(11[lim )(lim )1(11=--+==---→→x x
x
x S S x x
综上知
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧=-∈--+==.1,
1};0{\)1,1[),1ln(11;0,
0)(x x x x x x x S
（7）易求收敛域为(),-∞∞，()1011,,!!
n n
x n n x x e x n n ∞
∞
===-=-∈-∞+∞∑∑． 3．利用幂级数求数项级数的和． 1）求级数
∑∞
=122n n
nx
的和函数，并求数项级数
∑∞
=1
9n n n
的和； 2) 求级数
∑
∞
=-1
21
2n n
n 的和； 方法：先选择适当的幂级数， 使该数项级数是所选幂级数在某收敛点0x 处的值， 然后求出和函数)(x S ， 则)(0x S 便为所求之和．
解（1）法1：级数
∑∞
=1
22n n
nx
的收敛域为()11-，，
∑∑∞
=-∞
==1
121
222n n n n
nx x nx
，令
∑∞
=-=1
122)(n n nx x s ，
逐项积分
⎰
∑∑⎰∞
=∞
=--===x n n n
x
n x x x
dx nx
dx x s 0
1
1
2
220
1
212)(， 两边求导，得2
2221)
1(2)'1()(x x
x x x s -=-=， 所以
2
22
112)1(2)(2x x x xs nx
n n
-==∑∞
=，()11x ∈-，，
从而
649)9
11(91
221)31(22192
1
21=-⋅
=
=∑∑∞
=∞
=n n
n n
n n ． 通过如下代数运算，使其求和过程非常简便． 法2 令ΛΛ+++++=n
nx
x x x x s 26
4
2
2642)( ，
ΛΛ------=-+)
1(28
6
4
2
2642)(n nx
x x x x s x ，
2
2
26
4
2
2
12)(2)()1(x
x x
x x x x s x n
-=+++++=-ΛΛ ， 所以2
22
)
1(2)(x x x s -= ，()11x ∈-，． （2）作幂级数
2
21
212-∞
=∑-n n n x n ，并设和函数为()S x ， 则⎰∑⎰∑∞
=∞
=--=-=x
n x
n n n n n
x dx x n dx x s 01011
2222
1212)(2
121
)2(122
12x
x x x x n n -
⋅==∑∞=)0(≠x ， 两边求导，得2
22
2)2(2)'2()(x x x x x S -+=
-= )2(<x ， 因为1x =在收敛区间内，故用1x =带入上式得∑∞
==-=1
321
2)1(n n
n S ． 4．求函数的幂级数展开式
1）将函数()2
x e x f =，x a ，2
sin x 展开成x 的幂级数；
2）将函数()x x f ln =展开成（x －1）的幂级数；
3）将函数()2sin f x x =展开成x 的幂级数； 4）2
1
)(2
--=
x x x f 在1=x 处的泰勒级数展开式； 5
）求0x =处的泰勒级数展开式； 6
）求()ln(f x x =在0x =处的泰勒级数展开式．
注意： 看清要在哪点展开； 确保得到的是幂级数； 注出定义域． 解：1）将2x 视为一个整体，由x
e 的展开式可知
n n n n x x n x n e 2020!1
)(!12
∑∑∞
=∞
=== ，)(+∞<<-∞x ． 类似地
n n n n
n a
x x x n a a x n e
a ∑∑∞=∞====0
0ln !)(ln )ln (!1 ，)1,0(≠>a a )(+∞<<-∞x ．
∑∞
=++-=01
222
)()!12()1(sin n n n x n x ∑∞=++-=024)!
12()1(n n n x n )(+∞<<-∞x ．
2）
∑∞==-011n n
x x (11<<-x )⇒()0
11n n x x ∞
==-+∑，()11x -<<． ⇒()()1
ln 111n n
n x x n +∞
=+=-+∑，()11x -<≤． 10(1)ln ln[1(1)](1)1
n
n n x x x n ∞
+=-=+-=-+∑ )20111(≤<≤-<-x x ，即．
3）22222
10
11cos 21212sin (1(1))(1),()22(2)!2(2)!n n n n n n n n x x x x x n n ∞
∞+==-=
=--=--∞<<+∞∑∑． 4）
]1
121[31212
+--=--x x x x
11
(1),0221(1)n n x x x x ∞
=-==--<<---∑
∑∞=<<---=-+
=-+=+031,)21()1(212
1112
1)1(2111n n
n x x x x x
100101(1)()[(1)(1)]
32
1(1)
[1](1),0 2.
32
n n
n n n n n
n n n f x x x x x ∞∞
+==∞+=-∴=--+--=--<<∑∑∑
5
）[]1
ln
ln(1)ln(1)2
x x =+-- 11
111(1)(1)()2n n n n n n x x n n ++∞∞==⎡⎤--=--⎢⎥⎣⎦
∑∑
1111(1)2n n n n n x x n n +∞∞==⎡⎤-=+⎢⎥⎣⎦∑∑21
1
,(1,1)21n n x x n -∞==∈--∑． 6
）()ln(f x x =
，()f x '==，
1
222
1
111
()(1)(1)
222(1)
1!n n n x x n ∞
-=-----+=+=+∑L
21
1321
()()()
2
221!n n n x n ∞
=----=+∑L 21
(1)(21)!!1,(1,1)!2n n
n
n n x x n ∞
=--=+∈-∑． 而(0)0f =，于是
[]21
1(1)(21)!!(),1,1!2(21)n x
n n n n f x x x x n n ∞
+=--==+∈-+∑⎰
．。