复变函数5-1孤立奇点
复变函数第五章留数
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点
复变函数有许多性质，其中一些比实变函数更加有趣，例如，复变函数的孤立奇点。
在数学中，孤立奇点是复数平面上某个点处的奇点，该点周围的一个充分小的半径范围内函数无定义。
孤立奇点可以被分类为三种类型：可去奇点、极点和本性奇点。
这些类型的定义如下：
1.可去奇点：如果一个函数在这个点处的极限是有限的，则该奇点为可去奇点。
孤立奇点的性质不止是一般奇点的性质。
对于孤立奇点，我们可以将整个函数拆分为主函数和解析部分。
主函数在孤立奇点处没有定义，而解析部分可以使用洛朗级数展开式表示。
这种展开式是一种类型的级数，可以帮助我们更好地理解和研究复变函数的行为。
当我们通过洛朗级数展开来研究孤立奇点时，我们发现级数中的常数项是解析部分。
这个解析部分没有奇点，可以扩展到整个复平面上，那么它就是整个函数的主函数。
这种展开式在很多数学和工程应用中都有很好的应用，例如电子电路和信号处理。
对孤立奇点的研究在数学和应用领域都有重要意义。
在数学研究中，这些奇点是理解多复变数函数的关键。
在物理学研究中，例如在量子力学中，对解析函数的研究也是重要的。
而在工程中，对展开式的应用则是帮助我们计算信号的傅立叶变换或者在电子电路中分析振荡器和滤波器的行为。
总结来说，复变函数中的孤立奇点是复杂数学的一个亮点。
它们有着很多有趣的性质和应用，对于研究多元函数和应用技术都有重要的意义。
因此，深入研究复变函数的孤立奇点，不仅只是一个数学课题，也是应用和工程领域探索的前沿。
《复变函数》第5章
例: 对 f (z) z3 1.
f (1) 0, f (1) 3z 2 z 1 3 0
z 1 是 f (z)的一级零点.
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第7页
定理: z0 是 f (z)的m级极点
证:
f
(z)
(z
1 z0
)m
g
(z)
z0
是
f
1 的m级零点. (z)
f
复 变 函 数（第四版）
第五章 留 数
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用 *§4 对数留数与辐角原理
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第1页
§1 孤立奇点
1. 定 义
如果函数 f (z)在 zo处不解析, 但在 zo的某 一去心邻域 0 < | z－zo |<δ处处解析, 则称zo 为函数 f (z)的孤立奇点. 例：z 0 为 f (z) sin 1 的孤立奇点 .
5
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第4页
∴
z = 0 分别是 本性奇点.
sin z
z
,
sin z4
z
,
sin
1 z
的可去、3极、
(1) zo为 f(z)的可去奇点
相当于实函可去间断点
lim f (z)存在且有限
zz0
f (z)在zo点的某去心邻域内有界.
(2) zo为 f (z)的极点
例:
z
0
是
ez 1 z2
的一级极点.
z
1
是
(z 1)3 sin( z 1)
的二级零点.
复变函数论中的孤立奇点分类理论概述
复变函数论中的孤立奇点分类理论概述复变函数论（Complex Analysis）是数学分析领域的重要分支，研究复数域上的函数性质和相关理论。
在复变函数中，孤立奇点（Isolated Singularity）是指函数在某个点附近出现的特殊性质的点。
孤立奇点分类理论旨在系统地研究和分类这些孤立奇点。
本文将概述复变函数论中的孤立奇点分类理论。
孤立奇点可以分为可去奇点（Removable Singularity）、极点（Pole）和本性奇点（Essential Singularity）三类。
一、可去奇点若函数在某点z=a处的极限存在且有限，即lim_(z→a) f(z)=b（b为有限数），则称a处为可去奇点。
此时，可以通过定义一个新的函数，使得在a点附近没有奇异性，使函数在a点处得到有界的延拓。
换句话说，可去奇点可以通过在函数原有定义域上对函数进行连续地延拓来消除。
二、极点若函数在某点z=a处的极限存在，但是无穷大，即lim_(z→a)f(z)=∞或者lim_(z→a) |f(z)|=∞，则称a处为极点。
极点分为无穷级极点和有限级极点两种情况。
1. 无穷级极点：若函数在无穷远点（z→∞）处的极限存在，即lim_(z→∞) f(z)=∞或者lim_(z→∞) |f(z)|=∞，则称无穷远点为无穷级极点。
2. 有限级极点：若函数在某有限点z=a处的极限存在且为无穷大，即lim_(z→a) f(z)=∞或者lim_(z→a) |f(z)|=∞，则称a处为有限级极点。
极点可以通过定义一个新的函数，使得在极点附近的函数有有界的延拓。
通常情况下，极点构成了复变函数的奇异性中的一种较为简单的形式。
三、本性奇点若函数在某点z=a处的极限不存在（或为无穷大），则称a处为本性奇点。
本性奇点是最复杂的一类奇点，函数在这类点附近的行为相当不规则。
本性奇点不可能通过有界的延拓来消除其奇异性。
在复变函数论中，孤立奇点与数学实际应用密切相关，例如在物理学、电子工程、天文学和统计力学等领域中都有广泛的应用。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数中的孤立奇点是指在函数定义域内具有特殊性质的点，在这篇文章中，我们将对复变函数中的孤立奇点进行一次浅析。
我们需要了解什么是复变函数。
复变函数是指定义在复平面上的函数，它包含了实部和虚部两个变量。
通常表示为f(z)，其中z是复平面上的变量。
复变函数在数学中有着广泛的应用，特别是在物理学、工程学和数学分析等领域中。
在复变函数中，孤立奇点是一个非常重要的概念。
孤立奇点是指在函数定义域内具有特殊性质的点，它可能是函数的奇点或者极点。
奇点是指函数在该点处不可导，而极点是指函数在该点处具有无穷级数的发散性质。
孤立奇点可以分为三种类型：可去奇点、极点和本质奇点。
可去奇点是指在该点处函数可以通过改变定义来使之变得连续，极点是指在该点处函数趋于无穷大，本质奇点是指在该点处函数无法通过局部解析式来表示。
在复变函数中，孤立奇点具有许多重要的性质和应用。
对于复变函数f(z)，如果f(z)在孤立奇点处全纯（即在该点的领域内可以展开为幂级数），那么其必为可去奇点。
这一性质为我们研究复变函数的奇点提供了一个很好的判断条件。
孤立奇点也与柯西定理密切相关。
柯西定理是复变函数理论中非常重要的一个定理，它表明了全纯函数沿闭合曲线的积分为零。
在柯西定理中，孤立奇点的存在对于积分路径和积分结果有着重要的影响。
孤立奇点也与洛朗级数展开相关。
洛朗级数是一种复变函数在孤立奇点处的展开形式，它由幂级数和Laurent级数组成。
洛朗级数展开为我们研究复变函数在孤立奇点处的性质提供了一个非常有力的工具。
复变函数中的孤立奇点是一个非常重要而又复杂的概念。
它具有丰富的性质和广泛的应用，对于理解复变函数的性质和行为有着重要的作用。
在实际问题中，对于复变函数的解析和计算都离不开对孤立奇点的研究和分析。
对于复变函数中的孤立奇点有一个深入的理解和掌握是非常有必要的。
复变函数ppt课件
有无穷多个负幂次项，称z=z0为~~本~~性~~奇~~点。
3. 性质
若z0为f (z)的可去奇点
f (z) cn(z z0 )n
n0
lim z z0
f (z) c0
补充定义：f (z0 ) c0 f (z)在z0解析.
若z0为f (z)的m (m 1) 级极点
----z=1为孤立奇点
f
(z)
1 sin
1
z
----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
但 lim 1 0, 在z 0不论多么小的去心
n n
y
邻域内,总有f (z)的奇点存在，
故z
0不
是
1 sin
1
z
的孤立奇点。
这说明奇点未
o
x
必是孤立的。
2. 分类
以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：
(1 ez )'
ez
z i ( 2k 1)
z i ( 2k 1)
[cos (2k 1) i sin (2k 1)] 0
zk i(2k 1) (k 0,1,2,)是1 ez的一级零点
综合 z i为f (z)的二级极点; zk i(2k 1) (k 1,2,)为f (z)的 一 级 极 点.
而
f (m)(z0 ) m!
c0
0
必要性得证！
充分性略！
例如 z 0与z 1均为f (z) z(z 1)3的零点。 又f '(z) (z 1)3 3z(z 1)2
f "(z) 6(z 1)2 6z(z 1)
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指有两个实变量的函数，即z = x + iy，其中x,y为实数，i为虚数单位。
复变函数的定义域和值域都是复数域。
在复变函数中，孤立奇点是一个重要的概念。
孤立奇点是指在某个区域内，函数在该点附近没有定义，但在该点附近却存在有定义的点。
孤立奇点可以分为三类：可去奇点、极点和本性奇点。
可去奇点是指在该点附近函数存在有极限，但是该点处函数没有定义。
换句话说，如果将该点的函数值定义为它的极限值，那么函数在该点变得连续。
可去奇点通常是由于函数在该点附近的奇异行为被消除掉了，例如通过洛必达法则计算得到的极限。
可去奇点可以通过修正函数定义来消除，使函数在该点处得到定义。
极点是指在该点附近函数的绝对值趋于无穷大。
即函数在该点附近的值无界。
极点通常出现在分母为零的情况下，例如有理函数的分母为零时。
极点分为两类：一阶极点和高阶极点。
一阶极点也叫做简单极点，高阶极点也叫做多重极点。
极点的阶数是指函数在该点附近的奇异性质。
本性奇点是指在该点附近函数的行为非常复杂，无法通过有限次修正函数定义来消除。
本性奇点通常是由于函数在该点附近的奇异行为无法被任何方法消除掉。
本性奇点可能是由于函数的周期性或者随机性等特殊性质导致的。
孤立奇点在复变函数的分析中具有重要的作用。
孤立奇点可以影响函数的性质，例如函数的收敛性、连续性和可导性等。
孤立奇点的存在使得函数在该点附近的行为与其他点附近的行为有很大的差异，从而使得函数的特殊性质显现出来。
复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质
复变函数的解析点是复变函数在某一点处可以被写成一系列幂级数的点，而孤立奇点是复变函数中只有单个奇次幂项且系数不为零的点。
解析点的运算性质
对于复变函数的解析点，有如下几条运算性质：
如果复变函数的解析点有公共部分，那么这些点就是复变函数的公共解析点。
如果复变函数的解析点不存在公共部分，那么这些点就是复变函数的交替解析点。
如果复变函数在某一点是解析的，那么在这一点处复变函数的导数也是解析的。
如果复变函数在某一点是解析的，那么在这一点处复变函数的导数的导数也是解析的。
孤立奇点的运算性质
对于复变函数的孤立奇点，有如下几条运算性质：
如果复变函数有孤立奇点，那么这些点就是复变函数的孤立奇点。
孤立奇点是复变函数中的特殊点，因为在这些点处复变函数的导数不存在。
如果复变函数有孤立奇点，那么在这些点处复变函数的导数不存在，但是如果将复变函数按照某种方式拓展，那么复变函数的导数可能在这些点处存在。
如果复变函数有孤立奇点，那么复变函数在这些点处的导数的导数也不存在。
如果复变函数有孤立奇点，那么复变函数在这些点处的导数的导数的导数可能存在。
对于复变函数的孤立奇点，如果复变函数在这些点处可以被写成一系列幂级数，那么这些点就不再是孤立奇点，而是解析点。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点孤立奇点是复变函数中的一种特殊情况，指的是某个点处的函数不连续且无法进行泰勒展开的点。
在实际应用中，孤立奇点经常出现在复函数的分母中，导致分母为零从而使得函数的值无法计算。
因此，了解孤立奇点及其性质对于理解复变函数的研究和应用至关重要。
首先，我们来看一个简单的例子：设$f(z)$为复变函数$\frac{1}{z}$。
此时，我们可以发现，当$z=0$时，函数$f$的值为无穷大，即$f$在$z=0$处有一个孤立奇点。
这是因为当$z$无限地接近于0时，分母会无限地接近于零，从而使得$f$的值趋向于无穷大或负无穷大。
因此，我们可以将孤立奇点定义为“使得函数无法在该点处连续的点”。
在复平面上，孤立奇点通常具有以下几个性质：1. 孤立奇点必须是函数的“独立点”。
也就是说，如果一个点是函数的“可去奇点”、“极限奇点”或“本性奇点”，那么它就不可能是孤立奇点。
2. 孤立奇点是函数的“聚点”。
也就是说，无论以任何方式接近孤立奇点，都必然会进入到“不可解析”的区域内。
3. 孤立奇点有限。
也就是说，一个复变函数的孤立奇点不能无限多。
有了这些性质，我们可以更好地理解孤立奇点的特性和行为。
例如，对于一个孤立奇点，我们可以通过求解$f$的洛朗级数来近似描述它附近的函数行为。
洛朗级数可以看做是泰勒级数在孤立奇点处的推广形式，是一种形如$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n$的级数，其中$a_n$为常数，$z_0$为孤立奇点。
通过求解这个级数，我们可以得到$f$的近似值，并进一步研究其性质。
此外，我们还可以通过研究孤立奇点的类型来判断复变函数在该点附近的行为。
根据孤立奇点的定义，我们可以将其分为三类：可去奇点、极限奇点和本性奇点。
可去奇点指的是在该点附近可以重新定义函数使其连续的点；极限奇点指的是在该点附近函数的绝对值无限地增大或减小的点；本性奇点则是既非可去奇点也非极限奇点的孤立奇点，我们通常将这类点称为“真正的”孤立奇点。
复变函数与积分变换第五章
解 函数 f (z) 除点 z 0, 1, 2 外,
在 z 内解析 . 因(sin z) cos z 在 z 0, 1, 2, 处均不为零.
所以这些点都是 sin z 的一阶零点,
故这些点中除1, -1, 2外, 都是 f (z)的三阶极点.
30
因 z2 1 (z 1)(z 1), 以1与- 1为一阶零点，
展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数
公式知: f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2, m 1);
并且
f
(m)(z0 ) m!
c0
0.
（充分性） 由于 f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2, m 1);
f
( m ) ( z0 m!
)
c0
0.
故
邋 f (z) =
ゥ f (n) (z0 ) (z n= m n!
6
例3 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
7
例4 说明 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
解 ez 1 1(1 z 1 z2 1 zn 1)
zz
2!
n!
1 1 z 1 zn1 , 0 z
2!
n!
无负幂项
所以 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
另解 因为 lim e z 1 lim ez 1, 作业2.4.8(洛必达法则)
z0 z
z0
所以 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指定义在复数域上的函数，与实数域上的函数不同，复变函数的值域也是复数域。
当一个复变函数在某一点处的值没有定义时，这个点就被称为该函数的奇点。
奇点按照其性质可以分为孤立奇点和本性奇点，本文将会着重讨论孤立奇点的性质及特征。
一、孤立奇点的定义孤立奇点是指函数在该点的邻域内不存在定义的情况下，该点对函数的解析延拓有着重要的作用。
换言之，孤立奇点是指在该点附近处于解析的函数，在该点却不连续或无定义。
孤立奇点可以分为可去奇点、极点和 essential 奇点三种不同类型，下面分别进行详细解释。
二、可去奇点可去奇点是指当函数在该点处可以解析扩张，即在该点有一个 Laurent 展开式的过程中，a-1 的系数为 0。
例如：函数 f(z)=-sinz/z，在 z=0 处可以解析扩张，因为该函数满足 Laurent 展开式，且 a-1=0，可以看做是在该点处的一个可去奇点。
在一些情况下，可去奇点可以视为函数在该点附近的一个极限。
也就是说，可去奇点并不会导致复变函数在在该点的解析性的丧失，而只是在该点的一个小区域内不连续，可以理解为函数在该点的极限。
三、极点极点是指在一些点附近，函数存在一个无限趋近于某一值的现象，而不是像可去奇点一样在该点处没有定义。
极点又可以分为一阶、二阶，三阶等不同阶次的极点。
四、essential 奇点本性奇点，或称 essential 奇点，是指不能通过解析扩张而消除的奇点，这表明在这些点附近，函数的行为非常难以预测。
比如，当函数 f(z)=exp(1/z) (其中 z=0)，我们无法使用 Laurent 展开式表示它，因此我们可以将这个点视为一个 essential 奇点。
五、总结可以看到，在复变函数中，孤立奇点被分为可去奇点、极点和 essential 奇点三种不同类型。
这些奇点在函数的解析延拓中起着重要的作用，通过对不同类型孤立奇点的认识及使用，可以在复杂且不可解释的情况下对函数进行更加深入的理解。
北京邮电大学复变函数第五章
(2) 如果 z0 为函数 f ( z ) 的极点 , 则
lim f ( z ) .
3z 2 , 例5 有理分式函数 f ( z ) 2 z ( z 2)
z z0
一阶极点又 称简单极点
z 0 是二阶极点, z 2 是一阶极点.
2)极点的判定方法
(3) 由有界性判断：
z0为f ( z)的可去奇点 f ( z)在z0的一个邻域内有界．
例3
sin z 1 2 1 4 1 z z 中不含负幂项, z 3! 5!
sin z z0 是 的可去奇点 . z
如果补充定义:
z 0 时,
sin z 1, z
sin z 那末 在 z 0 解析. z
那么孤立奇点 z0 称为 f ( z ) 的可去奇点.
说明: (1) z0若是f ( z )的孤立奇点 ,
f ( z ) c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n .
( 0 z z0 )
其和函数 F ( z ) 为在 z0 解析的函数. (2) 无论 f ( z ) 在 z0 是否有定义,
f ( z ) 判断 . (3) 利用极限 lim z z
0
课堂练习
1 求 3 的奇点, 如果是极点, 指出它的 级数. 2 z z z 1
答案
1 1 由于 3 2, 2 z z z 1 ( z 1)( z 1)
所以 : z 1是函数的一级极点 , z 1是函数的二级极点 .
不存在 且不为
二、函数的零点与极点的关系
1.零点的定义
不恒等于零的解析函数 f ( z ) 如果
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指定义于复平面上的函数，即自变量和函数值都是复数。
与实变函数不同的是，复变函数的导数可以沿任意方向取值，因此具有许多特殊的性质。
其中最重要的特征之一就是奇点。
奇点是指函数在该点处没有定义或者是不连续的点，可以分为两类：可去奇点和孤立奇点。
本文将重点讨论孤立奇点，探讨其性质和在实际问题中的应用。
一、孤立奇点的定义孤立奇点是指复变函数在某一点处不解析的奇点。
通俗地讲，如果函数在某一点附近有定义，但在该点处没有定义，则该点就是该函数的孤立奇点。
例如，函数f(z)=1/z在z=0处就是其孤立奇点，因为它在z=0附近有定义，但在z=0处没有定义。
孤立奇点有三种分类方法：性质、类型和阶。
这里主要介绍性质和类型。
1、性质孤立奇点的性质取决于该点周围函数的行为。
根据函数的行为，孤立奇点可以分为以下三类：（3）本质奇点：如果函数在孤立奇点处的行为不能用有限阶极限描述，则该点为本质奇点。
例如，函数f(z)=exp(1/z)在z=0处的行为不能用有限阶极限描述，因此z=0是它的本质奇点。
本质奇点的特点是函数在该点附近不能被解析延拓为任何解析函数，任何方法都无法消除奇点。
2、类型（1）一阶孤立奇点：如果孤立奇点的极限存在，则其阶数为1阶。
例如，函数f(z)=(z-1)/((z-2)(z-3))在z=2处有一个一阶极点。
孤立奇点作为复变函数的重要特点，在实际问题中具有广泛的应用。
其中，最常见的应用是在物理和工程学科中。
例如，孤立奇点可以用于描述流体的天然涡旋或分离特性，还可以用于电磁场中的场分布计算，以及通信系统中的信号传输分析等。
此外，在数学中，孤立奇点还被用于研究解析延拓和拓扑，以及在复分析中的一些基础问题中。
总之，孤立奇点作为复变函数中的重要特征，是理解复分析基础理论中不可或缺的概念之一。
掌握孤立奇点的分类和性质对进一步的研究和应用都至关重要。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数的研究涉及到很多复杂的概念和性质，其中之一就是孤立奇点。
孤立奇点就是复变函数在某个复数点处的奇点，即在该点附近函数的数值变化非常剧烈。
具体来说，如果一个函数在某个点处不解析且在该点的某个领域内解析，则该点就是孤立奇点。
孤立奇点可以分为三种类型：可去奇点、极点和本性奇点。
可去奇点是指在该点处函数虽然存在奇点，但可以通过定义一个新的函数来消除奇点。
也就是说，在可去奇点处函数可以定义为解析的。
极点是指在该点处函数在极限的意义下无穷大。
极点分为两种类型：一阶和多阶。
一阶极点是指在该点处的函数在趋近于极点时，极限是有限的。
多阶极点是指在该点处的函数在趋近于极点时，极限是无穷大的。
本性奇点是指在该点处函数在极限的意义下无定义，即在该点处不存在有限的极限。
本性奇点是最复杂的一种奇点，其性质非常多样化。
对于复变函数中的孤立奇点，我们可以通过级数展开来研究其性质。
根据洛朗级数定理，一个复变函数在其孤立奇点处可以展开为洛朗级数。
洛朗级数包含两个部分：主部和副部。
主部是无穷级数的主要部分，副部是无穷级数的次要部分。
对于可去奇点，主部为0，副部为有限项的级数。
对于一阶极点，主部为有限项的级数，副部为无穷项级数。
对于多阶极点，主部为无穷项级数，副部也为无穷项级数。
对于本性奇点，主部和副部都为无穷项级数。
通过洛朗级数的展开，可以更好地了解复变函数在孤立奇点附近的性质。
可以判断其奇点的类型，进而确定函数的解析性质。
复变函数中的孤立奇点是函数在某个点处的奇点，可以分为可去奇点、极点和本性奇点。
孤立奇点的性质可以通过洛朗级数展开来研究。
对于可去奇点、一阶极点和多阶极点，其展开式包含有限项和无穷项级数。
对于本性奇点，展开式全为无穷项级数。
复变函数第五章-1
17
[证] 若 z 0 是 f (z) 的m阶零点，那么 f (z) 可表成 设 (z) 在 z 0的泰勒展开式为
f ( z ) ( z z0 )m ( z )
( z ) C0 C1 ( z z0 ) C2 ( z z0 )2
其中C0 z0 0 。 从而f (z) 在z 0 的泰勒展开式为
1 1 1 1 2 n z 1 2!( z 1) n!( z 1)
1 z 1
此级数含有无限多个负次幂项，故 z 1 是函数 e
的本性奇点。
16
§5.1.2 函数的零点与极点的关系
m 定义5.2 若 f ( z ) ( z z0 ) ( z ) ， (z) 在 z 0 处解析，且 z0 0 ，m为某一正整数，那么称 z 0 为 f (z) 的
sin z sin z 如果约定 在 z 0 的值为1(即C0)，那么 在z0 z z 就成为解析的了。 sin z sin z 因为 z 0 是 的可去奇点，故当z→0时， z z 有有限极限。此极限为上面展开式中的常数项。可得
重要极限
sin z lim 1 z 0 z
6
(2)极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项，
由此可见：
如果补充定义 f (z) 在 z 0 的值为 f ( z0 ) C0 ，则 f (z) 在 z 0 解析。
因此，可去奇点的奇异性是可以除去的。
定理5.1′设 z 0 是 f (z) 的孤立奇点，则 z 0 是f (z) 的可去奇点 的充分必要条件是f (z) 在 z 0 的一个邻域内为有界。
0
[证]
必要性，因 z 0 是 f (z) 的可去奇点，故在 0 z z0 内有
《复变函数与积分变换》 孤立奇点 (2)
0< t <
ϕ (t)
z0 = ∞
← →
t0 = 0
1 : R
ϕ ( t ) = ∑ c− n t n + c0 + ∑ cn t − n .
n =1 n =1
∞
∞
f (z)
注：把 ∞ 点的去心邻域内解析的函数 f ( z ) , 转化为 在 0 点的去心邻域内解析的函数 ϕ ( t ) .
∞ 是 f ( z ) 的孤立奇点 , 而 0 是 ϕ ( t ) 的孤立奇点 .
§5.1 孤 立 奇 点
五、无穷远点 ∞
∞ 的邻域： N ( ∞ ) = z ∈ C U {∞} 0 < R < z
0
1 1 = ( z − z 0 )m f ( z) g( z)
∞ 的去心邻域 ： N
{ ( ∞) = { z ∈ C
}
R < z < +∞
}
性质 1.5 f ( z ) 在 z0 点解析 , 则 z0 是 f ( z ) 的 m 级零点
.
Re s [ f ( z ), 1] =
1 5z − 2 ′ 2 lim ( z − 1) 2 = lim 2 = 2 z →1 z z ( z − 1)2 (2 − 1)! z →1
Ñ ∫
z =2
f ( z ) dz = 2π i Re s [ f ( z ), 0] + 2π i Re s [ f ( z ), 1] = 0
z →∞
无正幂项 ,
则 ∞是
lim f ( z ) 不存在 .
z →∞
（有限或无限都不存在）
§5.1 孤 立 奇 点 —— 无穷远点
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是复数域上的函数，其研究在数学领域中占据着重要的位置。
而在复变函数中，孤立奇点是一个非常重要的概念。
本文将从孤立奇点的概念、分类以及性质等方面进行浅析，以便读者更好地理解复变函数中的孤立奇点。
我们来看一下孤立奇点的概念。
在复变函数中，孤立奇点是指在函数的定义域内，存在一个小邻域，在这个小邻域内函数是解析的，而在该邻域之外函数的性质发生了变化，从而导致在该点处函数出现了不连续或者无穷大的情况。
也就是说，孤立奇点是指函数在某一点处的性质与其周围的点存在明显的不同。
根据孤立奇点在复平面上的性质，可以将孤立奇点分为三类：可去奇点、极点和本质奇点。
可去奇点指的是当函数在某一点处存在有限的极限值，但是函数在该点并不是解析的，可以通过定义新的函数值来使函数在该点处变得解析。
极点指的是当函数在某一点处的绝对值趋于无穷大，或者在该点处函数值趋于无穷大，这种情况下该点就称为极点。
本质奇点则是指在该点处函数无法进行解析延拓，并且在该点附近函数值的变化非常剧烈。
这三种不同性质的孤立奇点在复变函数中具有不同的特点和重要性，需要分别加以研究和分析。
我们来看一下各种孤立奇点的性质。
首先是可去奇点，对于可去奇点，函数在该点附近可以通过定义新的函数值来使得原函数变得解析，因此对于这种奇点来讲，其在函数的整体性质中并不会产生太大的影响，但需要注意的是，在某些情况下可去奇点可能会是函数的边界点，从而对函数的积分等操作产生影响。
接下来是极点，对于极点来说，其在函数的整体性质中则会产生一定的影响，尤其是对于极点的阶数和分布情况，在函数的性质中将会有不同的表现。
最后是本质奇点，本质奇点在复变函数中通常是研究的重点，因为这种奇点往往对函数的整体性质产生明显的影响，而且一些特殊的本质奇点会引发复变函数的一些重要性质和定理。
我们来看一下孤立奇点在复变函数中的应用。
复变函数中的孤立奇点是一个非常重要的概念，它在复变函数的研究和应用中具有重要的作用。
复变函数 第五章
3. 本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,
则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.
1
例如 f ( z ) e z 以 z 0为它的本性奇点. 因为
1
e 1 z
z
1
1 2!
z
2
1 n!
z
n
有无穷多负幂项。
z0为f ( z )的本性奇点 lim f ( z )不存在(也不为).
z z0
如果z0为f ( z )的本性奇点 lim f ( z )不存在且不为.
z z0
我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
4.函数的零点与极点的关系
m 不恒等于零的解析函数f(z)如能表示成（ z） z z 0） z） f （ （
1 f (z)
的 m级 零 点
该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.
推 论 1及 推 论 2 见 教 材 P84
例 1 函数1 sin z 有什么奇点? 如果是极点, 指出它的级.
解： 函数 1/sin z 的奇点显然是使 sin z=0 的点.故奇点是 z=k(k=0,1,2,…).由于(sin z)'|z=k= cos z|z=k= (1) 0,
z z0
例如, 对有理分式函数f ( z )
z2 ( z 1)( z 1)
2 3
,
z 1是它的三级极点, z i是它的一级极点.
e 1 思考： 0 是 z 的几级极点？(展洛朗级数判) 3 z
z
复变函数与积分变换
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点1. 引言1.1 什么是复变函数复变函数是复数域上的函数。
通俗地讲，复变函数是由复数构成的变量和复数构成的函数值构成的数学对象。
复数是由实部和虚部组成的，因此在复变函数中，自变量和函数值都可以是复数。
复变函数的定义域和值域通常是复数域，因此复变函数在复平面或复数域内表现出各种奇特且复杂的性质。
与实变函数相比，复变函数更具有丰富的数学结构和性质，因此其研究也更为深奥和有趣。
复变函数在数学和物理学中有着广泛的应用，如调和函数、变分法、调和解析函数、热传导方程和波动方程等。
在实际问题中，复变函数还常常用于描述介质的电磁性质、流体动力学、弹性力学等领域。
对复变函数的研究不仅有助于深化数学理论，还有助于解决实际问题和推动科学技术的发展。
在深入研究复变函数的过程中，我们将会遇到各种不同类型的奇点，其中孤立奇点是复变函数中一个重要且特殊的概念。
接下来，我们将对孤立奇点进行详细分析和探讨。
1.2 什么是孤立奇点孤立奇点是复变函数中的一个重要概念，它是指在函数的定义域内，存在某点使得函数在该点处发散或者不连续，但是在该点的邻域内函数是解析的。
换句话说，孤立奇点是函数在某处“突然”发生异常的地方。
孤立奇点可以进一步分为三类：可去孤立奇点、极点和本性孤立奇点。
可去孤立奇点是指在该点的邻域内可以通过改变函数在该点的定义来使得函数在该点处变得连续。
极点是指函数在该点处的极限值为无穷大，但是该点附近函数是有界的。
本性孤立奇点则是指函数在该点附近无法通过任何方式使其在该点处变得连续或有界。
对于复变函数而言，留数定理是研究孤立奇点的重要工具之一。
留数定理可以帮助我们计算函数在孤立奇点处的留数，从而推导出函数在整个定义域内的积分值。
黎曼映射定理也提供了一种方法来研究复平面和复平面上的孤立奇点之间的映射关系。
孤立奇点在复变函数理论中占据着重要地位，它不仅帮助我们理解函数的性质，还可以为我们提供解析函数的积分计算方法。
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例6
.
注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.
16
2.零点的判定
如果
f (z)
在 z 0 解析, 那末 z 0为
f (z)的m
级
零点的充要条件是
f
(n)
( z 0 ) 0 , ( n 0 ,1 , 2 , m 1 ) ;
f
(m )
( z0 ) 0.
17
例7
求以下函数的零点及级数: (1) f
( z z0 )
m
1
的最高幂为 ( z z 0 )
2
,
f ( z ) cm ( z z0 )
c2 ( z z0 )
c 1 ( z z0 )
1
c 0 c1 ( z z0 )
( m 1, c m 0 )
或写成
f (z)
的本性奇点.
1
课堂练习 说出函数 答案
f (z) z e z
的奇点及其 类型.
, z 0 是本性奇点 .
z 是一级极点
28
判别法2 : (利用极限特点) 如果极限
lim f ( z )
n
1)存在且为有限值 ; 2)无穷大;
3)不存在且不为无穷大 ;
那末
z
是
f (z)
1 ( z z0 )
m
g(z) ,
那末孤立奇点
z0
称为函数
f (z)
的 m 级极点.
10
说明: (1)
g ( z ) cm cm 1 ( z z0 ) cm 2 ( z z0 )
2
特点:
1. 在 2.
z z 0 内是解析函数
g ( z0 ) 0
n
解析且 ( 0 )
1 z
0
1 z
1 2!
z 3!
( z ),
所以 z
注意:
0 不是二级极点,
而是一级极点.
不能以函数的表面形式作出结论 .
22
三、函数在无穷远点的性态
1. 定义 如果函数 邻域 R
z
f ( z ) 在无穷远点 z
的去心
内解析, 则称点 为 f ( z ) 的孤
是
f (z)
的 1)可去奇点 ;
2) m 级极点; 3)本性奇点 .
26
例10 (1)函数 f ( z )
z z 1
在圆环域
1 z
内的洛朗展开式为:
f (z) 1 1 1 z 1 1 z 1 z
2
( 1)
n
1 z
n
不含正幂项
f (z)
所以
z
6
2)
可去奇点的判定
f ( z )在z0
(1)由定义判断: 如果 幂项则 z 0 为 (2)判断极限 limz z 则 z0 为
的洛朗级数无负
f ( z ) 的可去奇点.
f ( z ) : 若极限存在且为有限值,
0
f ( z ) 的可去奇点.
7
例3
z 0
sin z z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1 3!
z
z z0
存在且为 有限值
含有限个负幂项 m级极点 关于( z z 0 ) 1的最高幂 为 ( z z0 )m 本性奇点 含无穷多个负幂项
不存在 且不为
15
二、函数的零点与极点的关系
1.零点的定义 不恒等于零的解析函数 能表示成
f ( z ) ( z z 0 ) ( z ),
的1)可去奇点 ; 2)m 级极点 ; 3)本性奇点 .
29
例11 函数f ( z )
( z 1 )( z 2 ) (sin z )
3
2
3
在扩充复平面内
有些什么类型的奇点? 如果是极点, 指出它的级.
解 在 函数
f (z)
除点 z
0 , 1 , 2
外,
z
内解析 .
n
1)
1
z
z
, 0 z
无负幂项 所以 z 0 为
e 1
z
z
m 另解：因为 li 0 z e
z
的可去奇点.
1,
1 z
z
所以
z 0
为
e 1 z
的可去奇点.
9
2. 极点 1)
z 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z0 的
m
负幂项, 其中关于 即
( 0 z z0 )
其和函数 F ( z ) 为在 z 0 解析的函数. (2) 无论
f ( z0 ) c0 ,
f (z)
在 z 0 是否有定义, 补充定义
f (z)
则函数
在
z0
解析.
f ( z 0 ) lim f ( z )
z z0
F ( z ) , z z0 f (z) c0 , z z0
( k 1 , 2 , )
因为：
即在 z
0
lim
1 k
k
0，
的不论怎样小的去心邻域内,总有 f ( z )
0
的奇点存在, 所以 z
不是孤立奇点.
4
孤立奇点的分类 依据
f ( z ) 在其孤立奇点 z 0 的去心邻域
0 z z0
内的洛朗级数的情况分为三类:
f (z)
的 m 级极点, 则有
g(z)
( g ( z0 ) 0 )
当 z z 0 时,
1 f (z)
( z z0 )
m
1 g(z)
( z z0 ) h( z )
m
函数 h ( z 0 ) 在 z 0 解析且 h ( z 0 )
0.
19
由于
lim
1 f (z)
z z0
.
因 (sin z ) cos z 在 z 0 , 1 , 2 , 处均不为零
所以这些点都是 sin
z
的一级零点,
故这些点中除1,-1,2外,都是 f ( z ) 的三级极点.
30
因 z 1 ( z 1 )( z 1 ), 以 1 与 1 为一级零点，
z k
(sin z )
cos z
z k
( 1)
k
0,
所以 z k 是 sin z 的一级零点，
即
1 sin z
的一级极点.
21
例9 问
z
z 0
是
e 1 z
2
z
的二级极点吗?
解
e 1 z
2
1 2 z
n0
z
1 n!
则称
为
f ( z ) 的孤立奇点.
1
例1 z 0 是函数
e ,
1
z
sin z z
的孤立奇点.
z 1 是函数
z 1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点.
3
例2 指出函数
f (z)
z sin
2
1 z
在点 z
0
的奇点特性.
解 函数的奇点为
z 0, z 1 k
本性奇点, 那末就称点 z
是 f ( z ) 的可去奇点、
m 级奇点或本性奇点 .
25
2.判别方法: 判别法1 (利用洛朗级数的特点) 如果
f ( z ) 在 R z
内的洛朗级数中:
1)不含正幂项;
2)含有有限多的正幂项且 z 3)含有无穷多的正幂项; 那末 z
m
为最高正幂;
立奇点.
y R x
o
23
1 令变换 t : 则 f ( z ) f ( t ), 规定此变换将: z t
1
z
映射为
映射为 映射为 映射为
t 0,
扩充 z 平面
{ zn } ( zn )
扩充 t 平面
1 tn (tn 0 ) zn
(2) 如果
z0
为函数
f (z)
的极点 , 则
lim f ( z ) .
z z0
例5 有理分式函数
f (z)
3z 2 z (z 2)
2
,
z 0 是二级极点, z 2
是一级极点.
11
2)极点的判定方法
(1)由定义判别
f ( z ) 的洛朗展开式中含有 z z 的负幂项为有限项. 0
0, 1 f (z)
只要令
1 f ( z0 )
0,
那末z 0 就是
的m 级零点.
1 f (z)
m
反之如果 z 0 是 那末
1 f (z)
的m 级零点, 解析且
( z ),
( z0 ) 0
( z z 0 ) ( z ),
f (z) 1 ( z z0 )
m
当 z z 0时, 所以
第五章 留 数
• 孤立奇点 • 留数 • 留数在定积分计算上的应用
1
第一节
孤立奇点
一、孤立奇点的概念
二、函数的零点与极点的关系
三、函数在无穷远点的性态 四、小结与思考
一、孤立奇点的概念