空间向量复习精选例题(含答案解析)

∴二面角 B1-BE-F 的大小为 arccos(
2 )。 3
（4）∵ GD1 =(-1，0，2)，而 GD1 n1 =-2+0+2=0，
z D1 A1 F E B1 C1
∴直线 GD1∥平面 BEFD。 （5） DD1 =(0，0，2)， | n1 | 4 4 1 3 ， ∴ n1 的单位向量为(
空间向量
2 2 2 0， 0 0 0， 0 设 AB a ，则 A 2 a， ，B 0，2 a， ，C 2 a， ． 设 OP h ，则 P(0， 0，h) ． 2 1 a ， 0 ， h ． ∵ D 为 PC 的中点，∴ OD 4 2 2 1 PA 0， h 2 a， ，∴ OD 2 PA ．
∵ PA n1 2 2 0, PA n1，又PA 平面BDE, PA // 平面BDE. （2）由（Ⅰ）知 n1 (1, 1,1) 是平面 BDE 的一个法向量， 又 n 2 DA (2,0,0) 是平面 DEC 的一个法向量. 设二面角 B—DE—C 的平面角为 ，由图可知 n1 , n 2
（2） DA =（2，0，0） ，设 DA 与面 EFG 所成的角为θ， 则 sin
∴直线 C1D 与平面 A1C1B 的所成角为 arcsin
| DA n | 4 21 4 21 = ，∴ arcsin 21 21 | DA || n |
（2）平面 A1C1B 的法向量 n =(2，1，2)，平面 AA1C1C 的法向量 n ' =(2，1，0)， 设二者夹角为θ ，∴ cos
∴ cos PA ，n PA ·n PA n 210 ． 30
d
OC n n
(
2 2 , , 0) ( 2, 2,1) 2 2 ( 2, 2,1)
设 PA 与平面 PBC 所成的角为 ， 210 ，n 则 sin cos PA ． 30
210 ． 30 2 2 1 2 2 1 h a， a， h （3） △PBC 的重心 G ，∴ OG ， 6 a，6 a， 3 6 3 6
（3）∵ PB (2,2,2), DE (0,1,1)
假设棱 PB 上存在点 F，使 PB⊥平面 DEF，设 PF PB(0 1) ， 则 PF (2 ,2 ,2 ), DF DP PF (2 ,2 ,2 2 ) ，
2 2 由 PF DF 0得4 4 2 (2 2 ) 0
DD 上的点，且 CF=2GD=2.求： （1） C 到面 EFG 的距离；
∴ PB DE 0 2 2 0, PB DE. （2）DA 与面 EFG 所成的角； （3）在直线 BB 上是否存在点 P，使得 DP//面 EFG?,若 存在，找出点 P 的位置，若不存在，试说明理由。
（3）存在点 P，在 B 点下方且 BP=3，此时 P(2，2，－3)
| n n' | 5 5 ， 3 | n | | n' | 3 5
1 5 （或用二倍角公式得 arccos ） 。 9 3
DP =(2，2，－3)，∴ DP n =0，∴DP//面 EFG
∴二面角 D-A1C1-B 的大小为 2arccos

2 5 2 2 2 5 ( 2) ( 2) 1
11 0
∴ PA 与平面 PBC 所成的角为 arcsin
。
OP 底面 ABC ． 练 4 在三棱锥 P ABC 中，AB BC ，AB BC kPA ， 点 O，D 分别是 AC，PC 的中点， （1）求证： OD ∥ 平面 PAB ； 1 （2）当 k 时，求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小； 2 （3）当 k 为何值时， O 在平面 PBC 内的射影恰好为 △PBC 的重心？
n1 · BE =-a+2c=0， n1 · BD =2a+2b=0，
【解析】 （1）以 D 为坐标原点，分别以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设 PD=DC=2，则 A（2，0，0） ， P（0，0，2） ，E（0，1，1） ，B（2，2，0） ，
PA (2,0,2), DE (0,1,1), DB (2,2,0)
空间向量
空间向量
例 1 在空间直角坐标系 D-xyz 中，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、 F、G 分别是 B1C1、C1D1、AD 的中点。求： （1）异面直线 AD1 与 BE 的所成角的大小； （2）直线 AD1 与平面 BEFD 所成角的大小； （3）二面角 B1-BE-F 的大小； （4）求证：直线 GD1∥平面 BEFD； （5）求直线 GD1 与平面 BEFD 的距离。 解：设正方体的棱长为 2。则正方体各顶点的坐标分别为：A(2， 0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B1(2， 2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)。 ∴E(1，2，2)，F(0，1，2)，G(1，0，0)。 （1）直线 AD1 的一个法向量为 AD1 =(-2，0，2)， 直线 BE 的一个法向量为 BE =(-1，0，2)。 设异面直线 AD1 与 BE 的所成角为θ1， ∴cosθ1= |
AD1 n1
(2) 2 0 (2) 2 1
设 n1 ( x, y, z ) 是平面 BDE 的一个法向量，
∴直线 AD1 与平面 BDFE 所成角为 arcsin
2 。 6
则由
n 1 DE 0 y z 0 得 取y 1, 得n 1 (1, 1,1). n 1 DB 0 2 x 2 y 0
（法二）∵平面 BEFD 的方程为 4 x 4 y 2 z 0 ， ∴平面 BEFD 的一个法向量为 n1 =(2，-2，1)。 （下同法一） （3）∵平面 BDFE 的一个法向量为 n1 =(2，-2，1)。 平面 B1BE 的一个法向量为 n2 =(0，1，0)。 设 n1 与 n2 的夹角为φ3，∴cosφ3=
取 a=2，得 b=-2，c=1，∴平面 BDFE 的一个法向量为 n1 =(2，-2，1)。 设直线 AD1 与平面 BDFE 所成角θ2， AD1 与 n1 所成的角为φ2，则
2 sinθ2=|cosφ2|= | ， | =| |= 2 2 2 2 1 6 | AD1 | | n1 | 2 0 2 2 2 1
AD1 BE | AD1 | | BE |
|=|
(2) (1) 0 0 2 2 2 02 1 02
2 2 1 2
|=
3 10 ， 10
∴异面直线 AD1 与 BE 的所成角为 arccos
3 10 。 10
（ 2） （法一）设平面 BDFE 的一个法向量为 n1 =(a，b，c)，
∵ OG 平面 PBC ，∴OG PB ． 2 1 1 0 ， a ， h · PB a 2 h 2 0 ． 又 PB 2 ，∴ OG 6 3
∴OD ∥ PA ，∴ OD ∥平面 PAB ． 1 7 （2） k ，即 PA 2a ，∴ h a， 2 2 2 7 ∴ PA 0， a 2 a， 2 1 1 ， 1 ， 可求得平面 PBC 的法向量 n ． 7
分析：建立如图所示的直角坐标系，则 2 2 2 2 A ( , ,0) B ( , , 0) 2 2 2 2 ， ，
C ( 2 2 2 2 2 2 , ,0) D ( , , 0) S (0, 0, 2) DB ( 2, 2, 0) CS ( , , 2) 2 2 2 2 2 2 ， ， 。 ， 。
解：长方体各顶点的坐标分别为：A(1，0，0)， C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，2， 1)，D1(0，0，1)。
D x A
EF n =0， FG n =0， x=2z，z=-2y，取 y=1，
得 n =（－4，1，－2） （1）∵ CF =（0，0，－1） ， ∴C 到面 EFG 的距离为 d
∴
(0,1)，此时PF PB
PF 1 3 PB，使得 PB⊥平面 DEF
1 3
1 3
即在棱 PB 上存在点 F，
练 1 在空间直角坐标系 D-xyz 中，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2，AD=AA1=1，求： （1）直线 C1D 与平面 A1C1B 的所成角； （2）二面角 D-A1C1-B 的大小； （3）顶点 B1 到平面 A1C1B 的距离；
z A1 1 D1 1 C1 B1 C y 2 B
解：如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 则 E(1，2，0)，F（0，2，2） ，G（0，0，1） ∴ EF =（－1，0，2） ， FG =（0，－2，－1） ， 设 n =（x，y，z）为面 EFG 的法向量，则 B(1 ， 2 ， 0) ， 1)，C1(0，2，
练 3 如图，正四棱锥 S-ABCD 的高 SO=2，底边长 AB= 2 。求异面直线 BD 和 SC 之间的距离？
（3）在平面 A1C1B 上取点 B，∴ BB1 =(0，0，1)， ∴点 B1 到平面 A1C1B 的距离 d
| n BB1 | |n|
=
2 。 3
练 2 如图，正四棱柱 ABCD ABCD 中，底面边长为 2，侧棱长为 3，E 为 BC 的中点，FG 分别为 CC 、
2 2 1Байду номын сангаас， ， )， 3 3 3
D A x B
C
y
2 2 1 2 ∴直线 GD1 与平面 BEFD 的距离 d=(0，0，2)· ( ， ， )= 。▋ 3 3 3 3
例 2 如图，四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的中点. （1）证明 PA//平面 BDE； （2）求二面角 B—DE—C 的平面角的余弦值； （3）在棱 PB 上是否存在点 F，使 PB⊥平面 DEF？证明你的结论.
令向量 n ( x, y,1) ，且 n DB, n CS ，
( x, y,1) ( 2, 2, 0) 0 n DB 0 x 2 x y 0 2 2 ( x , y ,1) ( , , 2) 0 n CS 0 ， 2 2 y 2 ， n ( 2, 2,1) 。 x y 2 2 0 ， 则 ， 异面直线 BD 和 SC 之间的距离为：
n1 n2 | n1 | | n2 |
=
2 2 = 。 1 3 3
cos cos n 1 , n 2
∴
n1 n 2 2 3 | n1 | | n 2 | 32 3
结合图，可判别二面角 B1-BE-F 是个钝角，
空间向量
3 3 故二面角 B—DE—C 的余弦值为
’
（1） DC1 =(0，2，1)，平面 A1C1B 的法向量 n =(2，1，2)， 设直线 C1D 与平面 A1C1B 的所成角为φ， 则有 sinφ=
| DC1 n | | DC1 | | n |

4 5 3

4 5 ， 15
4 5 。 15
| n C F | 2 2 21 21 |n| 21