空间向量和立体几何典型例题

空间向量与立体几何典型例题

一、选择题：

1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ）

A ．

13

B

．

3 C

．3 D ．2

3

1.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a

，则1AB =

，棱柱的高

1

3AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC

所成角的正弦值为11AO AB =另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为0

60 长度均为a ，平面ABC 的法向量为1111

33

OA AA AB AC =-

-,11AB AB AA =+ 2111126

,,333

OA AB a OA AB ⋅=

== 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为

111

12

3

OA AB AO AB ⋅=

.

二、填空题：

1

．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角

C AB

D --M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 6

1

． 1.答案：

1

6

.设2AB =，作CO ABDE ⊥面，

OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --

cos 1CH OH CH CHO ==⋅∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11

(),22

AN AC AB EM AC AE =+=-,

11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=1

2

故EM AN ，所成角的余弦值

1

6

AN EM AN EM ⋅= 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,

1111(,,(,,)222222

M N ---,

则3121321

(,,

),(,,),,32222222

AN EM AN EM AN EM ==-⋅===, 故EM AN ，所成角的余弦值

1

6

AN EM AN EM ⋅=.

三、解答题： 1．（2008安徽文）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的 菱形，

4

ABC π

∠=

, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,

M 为OA 的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。

1．方法一（综合法）

（1）

CD ‖AB,

MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角） 作,AP CD P ⊥于连接MP ⊥⊥平面A B C D ，∵OA ∴CD MP ,42

ADP π

∠=∵∴DP =

MD ==∵ 1cos ,23

DP MDP MDC MDP MD π

∠==∠=∠=∴

所以 AB 与MD 所成角的大小为

3

π

（２）AB 平面∵∴‖OCD,

点A 和点B 到平面OCD

的距离相等，连接OP,过点

A 作AQ OP ⊥

于点Q ，

,,

,AP CD OA CD CD OAP ⊥⊥⊥平面∵∴ ,AQ OAP AQ CD ⊂⊥平面∵∴

又 ,AQ OP AQ OCD ⊥

⊥平面∵∴,

线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离

2OP ====∵，2

AP DP ==

2

2

22332

OA AP AQ OP ===

∴，所以点B 到平面OCD 的距离为23

方法二(向量法)作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 轴建立坐标系

(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,A B P D O M

(1)设AB 与MD 所成的角为θ,

(1,0,0),(1)22

AB MD ==-

-∵ 1cos ,2

3AB MD

AB MD πθθ=

==⋅∴∴ ,

∴AB 与

MD 所成角的大小为

3

π (2) 22(0,

,2),(2)OP

OD =-=-

-∵ ∴

设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =,则0,0n OP n OD ==

即

2020y z x y z -=⎨⎪+

-=⎪⎩

取z =解得(0,n =

设点B 到平面OCD 的距离为d ,则d 为OB 在向量(0,n =上的投影的绝对值, (1,0,2)OB =-∵, 23

OB n d n

⋅=

=

∴. 所以点B 到平面OCD 的距离为

23

2．（2008安徽理）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，

4

ABC π

∠=

, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点。

（Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖；

（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

2． 方法一（综合法）

（1）取OB 中点E ，连接ME ，NE

ME CD ME CD ∴，‖AB,AB ‖‖

又

,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖

MN OCD ∴平面‖ （2）CD ‖AB,

MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或

其补角）

作,AP CD P ⊥

于连接MP ⊥⊥平面A B C D ，∵OA ∴CD MP ,4

ADP π

∠=

∵∴DP =

MD ==

N

B