高中数学典型例题解析平面向量与空间向量
高中数学素材：平面向量与空间向量类比
平面向量与空间向量类比 某某 王建宏 某某 X 金龙 平面向量与空间向量有诸多相似之处，学习空间向量时若能与平面向量类比，往往会收到事半功倍的效果．本文以向量的线性表示为例（例1与例2）作简单介绍． 例1 已知：如图1，在平面中，1OA OB OA ==，与OB 的夹角为120OC ，与OA 的夹角为25，5OC =．用OAOB ，表示OC ． 解法一：OA OCcos OA OC AOC =∠5cos 25=．设OC OA OB λμ=+，则212OA OC OA OA OB λμλμ=+=-． 15cos 252λμ-=①同理由OB OC ，可得15cos952λμ-+=．② 由①②，可得103103sin 95sin 2533λμ==，， 103103sin 95sin 2533OC OA OB =+． 解法二：如图2，以OA 所在直线为x 轴，点O 为坐标原点建立直角坐标系，则(5cos 255sin 25)OC ，． 设OC OA OB λμ=+，则13(10)22OC λμ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，，．解得103103sin 95sin 2533OC OA OB =+． 解法三：如图3，作平行四边形OM ，设OM OAON OB λμ==，， 由正弦定理得103103sin 95sin 2533OC OA OB =+（过程略）． 例2 已知：正四面体O ABC -中，OA OB OC a ===，点O 在底面上的射影为G ，试用向量OAOB OC ，，表示OG ． 解法一：如图4，∵OA =OB =OC ，∴点O 在底面的射影点G 为△ABC 的中心．取AB 的中点D ，则DG =13DC ． ∵13OG OD DG OD DC =+=+ 1()3OD OC OD =+-， 又∵1()2OD OA OB =+， ∴2133OG OD OC =+ 111333OA OB OC =++． 故111333OG OA OB OC =++． 解法二：如图5，以点O 为原点，建立空间直角坐标系，设111222333()()()A x y z B x y z C x y z ，，，，，，，，，由定比分点坐标公式，可得点G 的坐标123123123333x x x y y y z z z ++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，，． 111333OG OA OB OC ∴=++． 解法三：如图6，作平行六面体CENF OBMA -，使得正四面体O ABC -为其一个角上的小三棱锥，则ON OA OB OC =++．可证13OG ON =（过程略）． 提起空间向量，许多同学会习惯于空间向量的直角坐标运算，忽略了空间向量本身的应用．2005年全国高中数学联赛第2题（例3），是利用空间向量（不建立空间直角坐标系）解立体几何问题的典型，应培养空间向量的应用意识．例3 如图7，空间四点AB C D ，，，满足 37119AB BC CD DA ====，，，，则AC BD 的取值（ ）（A ）只有一个 （B ）有两个（C ）有四个 （D ）有无穷多个此题设计精巧，构思奇妙，其来源于课本习题（具体化，并向空间推广），思维含量颇高．试题组提供的解答过程比较麻烦，此处从略．课本上有这样一道习题：已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，求证它的对角线互相垂直．这道习题有很多种证明方法，向量法简证如下：设AD AC AB ===，，a b c 则BD =-a c ，条件2222AB CD BC AD +=+即22()()+-=-+22c a b b c a ，展开整理可得a b =b c ，即()0-=b c a ，也就是0AC BD =，从而AC BDAC BD ，⊥⊥．上述证明与四边形ABCD 是平面图形还是立体图形无关，该结论也适合于空间问题．该试题可追溯到一道匈牙利数学竞赛试题：证明四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和的充要条件是它的两条对角线互相垂直．该联赛试题的解答可简化为：由222231179+=+，则0AC BD AC BD =，⊥．故此题选（Ａ）．阿波罗尼斯圆比例为0.5阿波罗尼斯（Apollonius ）圆，简称阿氏圆。
空间向量及其运算 高中数学例题课后习题详解
第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1．1空间向量及其线性运算例1如图1.1-9，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，使OE OF OG OH k OA OB OC OD====．求证：E ，F ，G ，H 四点共面．图1.1-9分析：欲证E ，F ，G ，H 四点共面，只需证明EH ，EF ，EG uuu r 共面．而由已知AD ，AB ，AC 共面，可以利用向量运算由AD ，AB ，AC共面的表达式推得EH ，EF ，EG uuu r 共面的表达式．证明：因为OE OF OG OH k OA OB OC OD====．所以OE kOA = ，OF kOB = ，OG kOC = ，OH kOD = ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC AB AD =+ ．因此EG OG OE kOC kOA k AC =-=-=()()k AB AD k OB OA OD OA =+=-+- OF OE OH OE EF EH=-+-=+ 由向量共面的充要条件可知，EH ，EF ，EG uuu r 共面，又EH ，EF ，EG uuu r 过同一点E ，从而E ，F ，G ，H 四点共面．练习1.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．【答案】实例见解析；【解析】【分析】在空间几何体中，从一点出发的不同面的向量即可.【详解】在三棱锥P ABC -中，PA →，PB →，PC →不同在一个平面内；长方体ABCD A B C D ''''-中，从一个顶点A 引出的三个向量AB →，AD →，AA →'不同在一个平面内.2.如图，E ，F 分别是长方体ABCD A B C D ''''-的棱AB ，CD 的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AA CB '- ；（2）AA AB BC '++ ；（3）AB AD B D ''-+ ；（4）AB CF + ．【答案】（1）AD ' ；（2）AC ' ；（3）0 ；（4）A E【解析】【分析】根据空间向量加减运算的运算法则计算即可.【详解】（1）AA CB AA BC AA A D AD ''''''-=+=+= ；（2）AA AB B C AA A B B C AC '''''''++=++''= ；（3）0AB AD B D AB AD BD DB BD -+=-+=+''= ；（4）AB CF AB BE AE +=+= .3.在图中，用AB ，AD ，AA ' 表示A C ' ，BD ' 及DB ' ．【答案】A C AB AD AA =+'-' ；BD AA AD AB ''-=+ ；DB AA AB AD ''=+- .【解析】【分析】根据空间向量的加减运算法则可转化.【详解】()A C A A AC AA AB AD AB AD AA =+=-''++=-''+ ，()()BD BD DD BA BC DD AB AD AA AA AD AB =+=++=-++=+-''''' ，()()DB DB BB DA DC BB AD AB AA AA AB AD =+=++=-++''''=-'+ .4.如图，已知四面体ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量；（1）AB BC CD ++ ；（2）()12AB BD BC ++ ；（3）()12AF AB AC -+ ．【答案】（1）AD ；（2）AF ；（3）EF【解析】【分析】根据空间向量的线性运算法则计算即可.【详解】（1）AB BC CD AC CD AD ++=+= ；（2）()12AB BD BC AB BF AF ++=+= ；（3）()12AF AB AC AF AE EF -+=-= .5.如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，E ，F 分别是上底面A C ''和侧面CD '的中心，求下列各式中x ，y 的值：（1）AC x AB BC CC →→→→⎛⎫''=++ ⎪⎝⎭（2）AE AA x AB y AD→→→→'=++（3）AF AD x AB y AA →→→→'=++【答案】（1）1x =；（2）12x y ==；（3）12x y ==.【解析】【分析】（1）化简+AC AB AD AA →→→→''=+即得解；（2）化简1()2AE AA AC →→→''=+即得解；（3）化简1122AF AD AC →→→'=+即得解.【详解】（1）+AC AB AD AA AB BC CC →→→→→→→'''=+=++，所以1x =；（2）1111111()()2222222AE AA AC AA AC AA AA AB AD AA AB AD →→→→→→→→→→→→'''''''=+=+=+++=++，所以12x y ==；（3）111111()222222AF AD AC AD AB AA AD AD AB AA →→→→→→→→→→'''=+=+++=++,所以12x y ==.1.1.2空间向量的数量积运算例2如图1.1-12，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，5AB =，3AD =，7AA '=，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠-∠=︒．求：图1.1-12（1）AB AD ⋅ ；（2）AC '的长（精确到0.1）．解：（1）||||cos ,AB AD AB AD AB AD ⋅=〈〉，53cos 607.5=⨯⨯︒=；（2）()22AC AB AD AA ''=++ ()222||||2AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅ ()222537253cos 6057cos 4537cos 45=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒98=+，所以13.3AC '≈．例3如图1.1-13，m ，n 是平面α内的两条相交直线．如果l m ⊥，l n ⊥，求证：l α⊥．图1.1-13分析：要证明l α⊥，就是要证明l 垂直于α内的任意一条直线g （直线与平面垂直的定义）．如果我们能在g 和m ，n 之间建立某种联系，并由l m ⊥，l n ⊥，得到l g ⊥，那么就能解决此问题．证明：在平面α内作任意一条直线g ，分别在直线l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g ．因为直线m 与n 相交，所以向量m ，n 不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(,)x y ，使g xm yn =+u r u r r ．将上式两边分别与向量l作数量积运算，得l g xl m yl n ⋅=⋅+⋅ ．因为0l m ⋅=r u r ，0l n ⋅=r r （为什么？），所以0l g ⋅=r u r．所以l g ⊥．这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以l α⊥．练习6.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，则1AB 与1BC 所成角的大小为（）A.60︒B.90︒C.105︒D.75︒【答案】B【解析】【分析】取向量1,,BA BC BB 为空间向量的一组基底向量，表示出1AB 与1 BC ，再借助空间向量运算即可计算作答.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，向量1,,BA BC BB 不共面，11AB BB BA =- ，11BC BC BB =+ ，令1||BB a = ，则||||BA BC == ，而1BB BA ⊥ ，1BC BB ⊥ ，于是得11112111()()AB BC BB BA BC BB BB BC BB BA BC BA BB ⋅=-⋅+=⋅+-⋅-⋅ 2cos 600a =-=，因此，11AB BC ⊥ ，所以1AB 与1BC 所成角的大小为90︒.故选：B7.如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，设AB a = ，AD b = ，AA c '= ，求：（1）()a b c ⋅+ ；（2）()a a b c ⋅++ ；（3）()()a b b c ⋅++ ．【答案】（1）0；（2）1；（3）1【解析】【分析】在正方体中，根据线线关系，结合空间向量运算法则对每个小题进行运算即可.【详解】（1）在正方体中，AB AA ⊥'，AB AD⊥故()0a b c a b a c →→→→→→→⋅+=⋅+⋅=（2）由（1）知，()()1a abc a a a b c →→→→→→→→→⋅++=⋅+⋅+=（3）由（1）及AD AA '⊥知，2()()()1a b b c a b c b b c →→→→→→→→→→++=⋅+++⋅=8.如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ∠=︒，BAA '∠=60DAA '∠=︒．求：（1）AA AB '⋅ ；（2）AB '的长；（3）AC '的长．【答案】（1）10；（261；（385【解析】【分析】（1）根据数量积的定义即可计算；（2）由AB AA A B ''''=+ 平方即可求解；（3）由A AB AD A C A =+'+'即可求解.【详解】（1）1cos 6054102AA AB AA AB ''⋅=⋅⋅=⨯⨯= ；（2）AB AA A B ''''=+ ，()()222222252101661AB AA A B AA AB AA AA AB AB '''''''∴=+=+=+⋅+=+⨯+= ，61AB '= AB '61；（3） AC AC CC AB AD AA '''=+=++ ，()()222222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''''∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 11169252054358522⎛⎫=++++⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，85AC '∴= AC '85.9.如图，线段AB ，BD 在平面α内，BD AB ⊥，AC α⊥，且AB a =，BD b =，AC c =．求C ，D 两点间的距离．222a b c ++【解析】【分析】连接AD ，可得222AD a b =+，根据AC AD ⊥可求.【详解】连接AD ，BD AB ⊥ ，22222AD AB BD a b ∴=+=+，AC α⊥，AD α⊂，AC AD ∴⊥，222222CD AD AC a b c ∴=+=++，222CD a b c ∴=++即C ，D 222a b c ++.习题1.1复习巩固10.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，E 、F 分别为棱AA '、AB 的中点．（1）写出与向量BC 相等的向量；（2）写出与向量BC 相反的向量；（3）写出与向量EF 平行的向量．【答案】（1）,,AD A D B C '''' ；（2）,,,DA CB C B D A '''' ；（3）,,,,D C CD A B BA FE'''' 【解析】【分析】（1）由相等向量的定义可判断；（2）由相反向量的定义可判断；（3）由平行向量的定义可判断.【详解】（1）由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量，所以与向量BC 相等的向量为,,AD A D B C '''' ；（2）由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量，所以与向量BC 相反的向量为,,,DA CB C B D A '''' ；（3）由平行向量的定义知，方向相同或相反的两个向量为平行向量，所以与向量EF 平行的向量为,,,,D C CD A B BA FE '''' .11.如图，已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AB BC + ；（2）AB AD AA '++ ；（3）12AB AD CC '++ ；（4）()13AB AD AA '++ ．【答案】（1）AC →，向量如图所示；（2）AC →'，向量如图所示；（3）AE →，向量如图所示；（4）AF →，向量如图所示；【解析】【分析】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可.【详解】（1）AB BC AC →→→+=，向量如图所示；（2）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，有AD BC →→=，AA CC →→''=，故AB AD AA AB BC CC AC →→→→→→→'''++=++=，向量如图所示；（3）由AD BC →→=知，取CC '的中点为E ，12AB AD CC AB BC CE AE →→→→→→→'++=++=，向量如图所示；（4）由（2）知，取AC '的三等分点F 点，1()3AB AD AA AF →→→→'++=，向量如图所示；12.证明：如果向量a ，b 共线，那么向量2a b + 与a共线．【答案】证明见解析【解析】【分析】由向量共线定理可证明.【详解】如果向量a ，b 共线，则存在唯一实数λ，使得b a λ= ，则()222a b a a a λλ+=+=+ ，所以向量2a b + 与a 共线.13.如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．求：（1）AB AC ⋅uu u r uuu r ；（2）AD DB ⋅ ；（3）GF AC ⋅ ；（4）EF BC ⋅uu u r uu u r ；（5）FG BA ⋅ ；（6）GE GF ⋅ ．【答案】（1）22a ；（2）22a -；（3）22a -；（4）24a ；（5）24a -；（6）24a 【解析】【分析】根据空间向量数量积的定义计算即可.【详解】 四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，∴任意两条棱所在直线的夹角为3π， E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点，//,//,||||2a EF BD FG AC EF FG ∴==，（1）2cos 32a AB AC a a π⋅=⨯⨯= ；（2）22cos 32a AD DB a a π⋅=⨯⨯=- ；（3）2cos 22a a GF AC a π⋅=⨯⨯=- ；（4）//EF BD ，则直线BD 与直线BC 所成角就是直线EF 与直线BC 所成角，又3CBD π∠=，2cos 234a a EF BC a π⋅==∴⨯⨯ ；（5）//FG AC ，则直线AC 与直线AB 所成角就是直线FG 与直线BA 所成角，22cos 234a a FG BA a π⋅-∴=⨯⨯= ；（6）取BD 中点M ，连接AM ，CM ，则,AM BD CM BD ⊥⊥，AM CM M ⋂= ，BD ∴⊥平面ACM ，又AC ⊂平面ACM ，BD AC ∴⊥，//EF BD ，EF AC ∴⊥，又//AC FG ，EF FG ∴⊥，0EF FG ⋅= ，可知1122GF AC a ==，222()||024a a GE GF GF FE GF GF FE GF ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+= ⎝⎭∴⎪ .综合运用14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M .设11111,,,=== A B a A D b A A c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是（）A.1122a b c --+B.1122a b c -++C.1122a b c -+ D.1122a b c ++ 【答案】B【解析】【分析】根据1112=+=+B M B B BM c BD uuuu r uuu r uuu r r uu u r代入计算化简即可.【详解】()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c uuuu r uuu r uuu r r uu u r r uu r uu u r rr r 故选：B.15.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量法证明：E ，F ，G ，H 四点共面.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据给定条件利用空间向量的线性运算，结合空间向量共面定理即可得解..【详解】如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，12EH FG BD == ，于是得：EG EF FG EF EH =+=+ ，即,,EG EF EH 共面，它们有公共点E ，所以E ，F ，G ，H 四点共面.16.如图，正方体ABCD A B C D ''''-（1）求A B '和B C '的夹角；（2）求证A A B C ''⊥．【答案】（1）3π；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）联结CD '，B D ''，则A B CD '' ，A B '和B C '的夹角即CD '和B C '的夹角B CD ''∠，由B D CD B C ''''==知，B CD ''△是等边三角形，故A B '和B C '的夹角为3π.（2）联结AB '，则AB A B ''⊥，又B C ''⊥平面ABB A ''，B C A B '''⊥，从而有A B '⊥平面AB C ''，从而证得A A B C ''⊥.【详解】（1）联结CD '，B D ''，则A B CD '' ，A B '和B C '的夹角即CD '和B C '的夹角B CD ''∠，在正方体中，设棱长为a ，则B D CD B C ''''===，则B CD ''△是等边三角形，即3B CD π''∠=故A B '和B C '的夹角为3π（2）联结AB '，则AB A B ''⊥，又B C ''⊥平面ABB A ''，A B '⊂平面ABB A ''，则B C A B '''⊥，又B C AB B ''''⋂=故A B '⊥平面AB C ''，又AC '⊂平面AB C ''，所以A A B C ''⊥17.用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条直线垂直（三垂线）【答案】证明见解析；【解析】【分析】根据向量运算法则，数量积为0即可证得垂直.【详解】如图所示，在平面α内，OB →是OA →在面内的投影向量，则BA CD →→⊥，由题知，CD OB →→⊥，则()0CD OA CD OB BA CD OB CD BA →→→→→→→→→⋅=⋅+=⋅+⋅=，故CD OA →→⊥，所以CD OA ⊥，即证得结论.拓广探索18.如图，空间四边形OABC 中，,OA BC OB AC ⊥⊥.求证：OC AB ⊥.【答案】证明见解析【解析】【详解】试题分析：利用三个不共面的向量OA OB OC ，，作为基底，利用空间向量的数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直.试题解析：∵OA BC ⊥，∴OA OB ⊥ .∵0OA OB ⋅= ，∴()0⋅-= OA OC OB .∴0⋅-=⋅ OA OC OA OB （1）同理:由OB AC ⊥得0⋅-=⋅ OC OB OA OB （2）由（1）－（2）得0⋅-=⋅ OA OC OC OB∴()0⋅=- OA OB OC ，∴0OC BA ⋅= ，∴OC BA ⊥u u u r u u u r，∴OC AB ⊥.19.如图，在四面体OABC 中，OA OB =，CA CB =，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形EFGH 是矩形．【答案】证明见解析；【解析】【分析】取AB 的中点D ，联结OD ，CD ，证得AB ⊥平面ODC ，AB OC ⊥，从而有EH EF ⊥；又E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．从而有EF GH =，结合EH EF ⊥，证得四边形EFGH 是矩形．【详解】取AB 的中点D ，联结OD ，CD ，由OA OB =，CA CB =知，⊥OD AB ，CD AB ⊥，又OD CD D ⋂=，故AB ⊥平面ODC ，又OC ⊂平面ODC ，因此AB OC⊥又E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．则EF AD = ，GH AD =，故EF GH=，四边形EFGH是平行四边形同理EH GF=，且EH OC，又AB OC⊥所以EH EF⊥，四边形EFGH是矩形。
高二数学平面向量试题答案及解析
高二数学平面向量试题答案及解析1.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组；①；②；③；④.【答案】①④【解析】由得，所以①唯一确定数列，由得，方程的解不定，所以②不能唯一确定数列，由得方程的解不定，所以③不能唯一确定数列，由得，所以④唯一确定数列.【考点】数列基本量运算2.下列各组向量中不平行的是（）A．a="(1,2,-2),b=(-2,-4,4)"B．c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C．e="(2,3,0)," f="(0,0,0)"D．g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)【答案】D【解析】略3.已知则 ,．【答案】；【解析】由三边可知，以向量为邻边的平行四边形是菱形，夹角为，，为另一对角线长度为1【考点】向量运算与三角形法则4.已知向量与的夹角为且，若，且，则实数的值为A．B．1C．2D．【答案】B【解析】因为，所以，所以得．【考点】1．数量积；2．向量垂直．5.已知向量，，若，则__________________．【答案】或【解析】两向量平行，所以，解得：或．【考点】向量平行的坐标表示6.设，向量，且，则（）A．﹣2B．4C．﹣1D．0【答案】D【解析】向量，且，可得，解得或（舍去，因为）．则．故选：D．【考点】平面向量数量积的运算7.已知||=2，||=4，⊥（＋），则与夹角的度数为．【答案】120【解析】设与夹角为．由⊥（＋）得，，解得，所以．【考点】向量的数量积及其运算律并求向量的夹角．8.已知平面向量满足,且,则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于平面向量满足,且,那么代入可知向量与的夹角的余弦值为，即可知向量与的夹角为，选C．【考点】向量的数量积公式．9.设，，且，则锐角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，即，由二倍角公式得，故选C．【考点】1、向量的坐标运算；2、向量共线的基本定理．【思路点晴】本题主要考查的向量的基本概念与简单运算、向量的坐标运算，属于容易题．本题通过向量共线，得，代入坐标运算的公式；再由二倍角公式，得到关于角的三角函数值，从而求得锐角的值．10.在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是．【答案】【解析】设，表示以为圆心，r=1为半径的圆，而，所以，，，故得最大值为【考点】1．圆的标准方程；2．向量模的运算11.若||=1，||=2，=+，且⊥，则与的夹角为________。
高二数学空间向量试题答案及解析
高二数学空间向量试题答案及解析1.如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形，沿着较短的对角线对折，使得，为的中点.（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）1；（3）【解析】（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全.（2）利用棱锥的体积公式求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.（5）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（Ⅰ）连接，由已知得和是等边三角形，为的中点，又边长为2，由于，在中，，（Ⅱ）,（Ⅲ）解法一：过，连接AE，，即二面角的余弦值为.解法二：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则显然，平面的法向量为设：平面的法向量，由,，∴二面角的余弦值为.【考点】（1）空间中线面垂直的判定；（2）三棱锥的体积公式；（3）利用空间向量证明线线垂直和求夹角.2.如图，在三棱柱中，平面，，为棱上的动点，.⑴当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；⑵当的值为多少时，二面角的大小是45.【答案】（1），（2）.【解析】（1）此小题考查用空间向量解决线面角问题，只需找到面的法向量与线的方向向量，注意用好如下公式：，且线面角的范围为：；（2）此小题考查的是用空间向量解决面面角问题，只需找到两个面的法向量，但由于点坐标未知，可先设出，利用二面角的大小是45，求出点坐标，从而可得到的长度，则易求出其比值.试题解析：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，⑴因为为中点，则，设是平面的一个法向量，则，得，取，则，设直线与平面的法向量的夹角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；⑵设，设是平面的一个法向量，则，取，则，是平面的一个法向量，，得，即，所以当时，二面角的大小是.【考点】运用空间向量解决线面角与面面角问题，要掌握线面角与面面角的公式，要注意合理建系.3.在空间直角坐标系中，若两点间的距离为10，则__________．【答案】.【解析】直接利用空间两点间的距离公式可得，解之得，即为所求.【考点】空间两点间的距离公式．4. A(5，-5，-6)、B(10，8，5)两点的距离等于 .【答案】.【解析】∵，，由空间中两点之间距离公式可得：.【考点】空间坐标系中两点之间距离计算.5.如图，边长为1的正三角形所在平面与直角梯形所在平面垂直，且，，，，、分别是线段、的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）由已知中F为CD的中点，易判断四边形ABCD为平行四边形，进而AF∥BC，同时EF∥SC，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．（II）取AB的中点O，连接SO，以O为原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出平面SAC与平面ACF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角S-AC-F的大小．．（1）分别是的中点，．又，所以．，……2分四边形是平行四边形．．是的中点，．……3分又，，平面平面……5分（2）取的中点，连接，则在正中，，又平面平面，平面平面，平面．…6分于是可建立如图所示的空间直角坐标系．则有，，，，，．…7分设平面的法向量为，由．取，得．……9分平面的法向量为．10分…11分而二面角的大小为钝角，二面角的余弦值为．【考点】1．用空间向量求平面间的夹角；2．平面与平面平行的判定．6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为 ()．A．B．C．D．【答案】B【解析】设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1），可知=（2，-2，1），=（2，2，-1），∴•＝2×2−2×2−1×1＝−1，|| ＝ 3， | |＝3;∴cos＜,＞＝，所以sin＜,＞=．故选B .【考点】用空间向量求平面间的夹角.7.已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．(1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3).【解析】解法一（向量法）（I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD；（2）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置；（3）由是平面PAD的法向量，根据PB与平面ABCD所成的角为45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解法二（几何法）（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH＝AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD．从而确定G点位置；（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．.试题解析：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．不妨令P(0,0，t)，∵＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，∴＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，即PF⊥FD.(2)解：设平面PFD的法向量为n=(x，y，z)，由得令z=1，解得：x=y=.∴n=.设G点坐标为(0,0，m)，E，则，要使EG∥平面PFD，只需·n=0，即，得m=，从而满足AG=AP的点G即为所求．(3)解：∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得=(1,0,0)，又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量为n= .∴.故所求二面角A－PD－F的余弦值为.【考点】1.用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系；3.直线与平面平行的判定．8.已知三棱柱，平面，，，四边形为正方形，分别为中点．（1）求证：∥面；（2）求二面角——的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）只要证出∥，由直线与平面平行的判定定理即可得证（2）建立空间直角坐标系，利用求二面角的公式求解试题解析：（1）在中、分别是、的中点∴∥又∵平面，平面∴∥平面（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，平面的一个法向量设平面的一个法向量为则即取.∴∴二面角的余弦值是.【考点】直线与平面平行的判定定理，在空间直角坐标系中求二面角9.如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱),底面中，棱，分别为的中点.（1）求>的值；（2）求证：【答案】（1）>的值为；（2）证明过程详见试题解析.【解析】（1）先以C为原点建立空间坐标系，由已知易求出，进而可求>的值；（2）由（1）所建立的空间坐标系可写出、、的坐标表示，即可知，从而得证.试题解析：以C为原点，CA、CB、CC1所在的直线分别为轴、轴、轴，建立坐标系（1）依题意得,∴∴ ,∴>= 6分(2) 依题意得∴,∴,,∴ ,∴,∴∴ 12分【考点】空间坐标系、线面垂直的判定方法.10.如右图，正方体的棱长为1．应用空间向量方法求：⑴求和的夹角⑵．【答案】（1）（2）对于线线垂直的证明可以运用几何性质法也可以运用向量法来证明向量的垂直即可。
高一数学平面向量的概念试题答案及解析
高一数学平面向量的概念试题答案及解析1.已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示（）A．向东南航行km B．向东南航行2kmC．向东北航行km D．向东北航行2km【答案】A【解析】根据题意由于向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，那么可知向量表示向东南航行km ，故选A.【考点】向量的物理意义点评：主要是考查了向量的物理意义的运用，属于基础题。
2.在平行四边形ABCD中, + +等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】结合图形，+ += + += ，故选A。
【考点】本题主要考查平面向量的线性运算。
点评：简单题，在平行四边形中，由平行四边形法则。
注意相等向量及相反向量。
3.已知点，向量，且，则点的坐标为。
【答案】【解析】设点的坐标为（x,y）,则由得，（x-2,y-4）=2(3,4),所以x-2=6,y-4=8，所以x=8,y=12，即点的坐标为。
【考点】本题主要考查平面向量的概念及其坐标运算。
点评：简单题，注意若A（a,b）,B(c,d),则。
4.作用于原点的两个力F1 ="(1,1)" ,F2 ="(2,3)" ,为使得它们平衡，需加力F3=【答案】(-3,-4)【解析】F3=-(F1+F2)=-(3,4)=(-3,-4).5.下列判断正确的是 ( )A．若向量与是共线向量，则A,B,C,D四点共线；B．单位向量都相等；C．共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；D．模为0的向量的方向是不确定的。
【答案】D【解析】解：因为A.若向量与是共线向量，则A,B,C,D四点共线；可能构成四边形。
B.单位向量都相等；方向不一样。
C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；不一定。
D.模为0的向量的方向是不确定的，成立6.下列命题中正确的是（）A．若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合.B．模相等的两个平行向量是相等向量.C．若和都是单位向量,则.D．两个相等向量的模相等.【答案】D【解析】根据向量相等的定义易知两个相等向量的模相等，故选D相等向量只需要模相同，方向相同，所以（1）错；模相等的平行向量有可能方向相反，所以（2）错；都是单位向量，向量的模不一定相同，所以两个向量不一定相等，所以（3）错；相等向量是模相同，方向相同的向量，所以（4）对．解：对于（1），相等向量只需要模相同，方向相同，所以（1）错；对于（2）模相等的平行向量有可能方向相反，所以（2）错；对于（3），都是单位向量，向量的模不一定相同，所以两个向量不一定相等，所以（3）错；对于（4），相等向量是模相同，方向相同的向量，所以（4）对．故选C7.给出下列命题：①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②两个单位向量是相等向量；③若, ,则；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；⑤若,则。
平面向量与空间向量重要概念解析
平面向量与空间向量重要概念解析向量是数学中常见的概念，它在平面几何和空间几何中都扮演着重要的角色。
本文将对平面向量和空间向量的概念进行解析，并探讨它们在几何学和物理学中的应用。
一、平面向量的概念解析平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
平面向量通常用符号表示，如AB表示从点A指向点B的向量。
平面向量有两个重要的性质，即大小和方向。
平面向量的大小可以用模长来表示，通常用两个坐标差的平方和的开方来计算。
设向量AB的坐标为(x1, y1)和(x2, y2)，则向量AB的模长记作||AB||，计算公式为：||AB|| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)平面向量的方向可以用角度或方向角来表示。
与x轴的正向之间的夹角称为向量的方向角。
方向角的计算可以通过与x轴的夹角的三角函数比值来得到。
如果向量AB的方向角为α，则有：tanα = (y2 - y1) / (x2 - x1)平面向量的加法、减法和数量乘法等运算规则也是平面向量的重要性质。
向量的加法按照平行四边形法则进行，向量的减法可以通过加上负向量来实现，向量的数量乘法是将向量的模长与一个标量相乘。
二、空间向量的概念解析空间向量是指在空间中具有大小和方向的量。
与平面向量相比，空间向量多了一个维度，即在三维空间中进行描述。
空间向量通常用符号表示，如AB表示从点A指向点B的向量。
空间向量也有大小和方向两个重要的性质。
空间向量的大小可以用模长来表示，计算公式同平面向量。
设向量AB的坐标为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，则向量AB的模长记作||AB||，计算公式为：||AB|| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)空间向量的方向可以用方向角来表示。
与x轴的正向之间的夹角称为向量的方向角，与xOy平面的法线向量之间的夹角称为倾斜角。
空间向量的方向可以通过方向角和倾斜角来确定。
高中数学必修二空间向量及其运算(经典案例)
肖博数学高中数学必修二空间向量及其运算目录CONTENTS 知识点梳理经典案例剖析要点整合010203LOGO01知识点梳理一、空间向量的有关定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb ．（1）共线向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．（2）共面向量定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．（3）空间向量基本定理空间向量二、两个向量的数量积(与平面向量基本相同)已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作＝a ，＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．通常规定0≤〈a ，b 〉≤π．若〈a ，b 〉＝，则称向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b .(1)两向量的夹角：两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)两向量的数量积①a ·e ＝|a |cos 〈a ，e 〉(其中e 为单位向量)；②a ⊥b ⇔a ·b ＝0；③|a |2＝a ·a ＝a 2；④|a ·b |≤|a ||b |.(3)向量的数量积的性质空间向量三、直线的方向向量与平面的法向量的确定l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称为直线l 的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．(1)直线的方向向量：①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．(2)平面的法向量②确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为(3)平面的法向量空间向量要点整合。
高中数学空间向量经典例题及解析
高中数学空间向量经典例题及解析一、引言空间向量是高中数学的一个重要知识点，它涉及到三维空间中向量的加法、数乘、数量积和向量积等运算。
这些运算在解决实际问题中有着广泛的应用，因此学好空间向量对于学生来说至关重要。
本篇文章将通过经典例题的方式，对空间向量的相关知识点进行深入解析，以期帮助学生更好地掌握这一知识点。
二、经典例题及解析【例题1】在空间四边形中，已知两个向量，，求异面直线的夹角(锐角或直角)。
【解析】本题考查空间向量的夹角问题，需要利用两个向量的夹角公式。
【解答】首先根据向量的定义，可得到向量，的坐标分别为(, )。
根据向量的加法，可得向量的坐标为(, )。
又因为两个向量垂直，所以它们的数量积为0，即，所以。
根据异面直线夹角公式，可得异面直线的夹角为。
【例题2】在长方体中，已知三个向量，，求异面直线的夹角(锐角或直角)。
【解析】本题除了需要用到向量的加法、数乘、数量积和向量积等运算，还需要用到长方体的性质。
【解答】首先根据向量的定义，可得到向量的坐标分别为(, , )。
又因为长方体中，所以可以表示为和的线性组合，即或。
设所在直线的方向向量，所在平面的法向量，则的坐标分别为(, )。
根据向量夹角公式和向量垂直的条件，可得垂直于平面，所以。
又因为两个向量垂直，所以它们的数量积为0，即，所以。
根据异面直线夹角公式，可得异面直线AB与CD的夹角为。
【例题3】已知长方体，设点，求与平面之间的距离。
【解析】本题需要利用长方体的性质和向量的数量积求解。
【解答】设平面的法向量，则所在直线的方向向量。
因为点在平面内，所以点在平面外，所以向量，即。
又因为向量与平面共线，所以向量，即。
根据向量的数量积和点到平面的距离公式，可得与平面之间的距离为。
三、总结空间向量是高中数学的一个难点也是重点，通过经典例题的解析，我们可以更好地掌握空间向量的相关知识点。
在解决实际问题时，我们需要灵活运用向量的加法、数乘、数量积和向量积等运算，同时还要注意向量的表示和坐标的确定。
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高中数学典型例题分析第八章 平面向量与空间向量§8.1平面向量及其运算一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。
长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。
2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。
3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。
4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。
记作-a 。
5.向量的加法：求两个向量和的运算。
已知a ，b 。
在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。
记作a +b 。
6. 向量的减法：求两个向量差的运算。
已知a ，b 。
在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。
记作a -b 。
7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa =0（2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa③λ(a +)=λa+λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。
另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=09.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
10.定比分点设P 1，P 2是直线l 上的两点，点P 是不同于P 1，P 2的任意一点则存在一个实数λ,使21P P =λ21P P ，λ叫做分有向线段所成的比。
若点P 1、P 、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x,y)，(x 2,y 2)，则有特别当λ=1，即当点P 是线段P 1P 2的中点时，有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 11.平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·＝|a ||b |cos θ规定：零向量与任一向量的数量积是0。
(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积。
(3)性质：设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a a⋅ cos θ＝ba b a ⋅⋅ |a ·b |≤|a ||b | (4)运算律：a ·b ＝b ·a (交换律)(λa )·b ＝λ(b ·a )＝a ·(λb )(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c（5）平面向量垂直的坐标表示的充要条件：设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b =|a |·|b |cos90°=0a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=012.平移公式：设P （x ，y ）是图形F 上的任意一点，它在平移后图形F /上对应点为P /（x /，y /），且设/PP 的坐标为（h ，k ），则由/OP ＝＋/PP ，得：（x /，y /）＝（x ，y ）+（h ，k ） 二、疑难知识导析1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量；2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点；3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。
因此，建议在记忆时对比记忆；4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的；5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。
三、经典例题导讲[例1] 和a = (3,－4)平行的单位向量是_________；错解：因为a 的模等于5，所以与a 平行的单位向量就是51a ，即 (35 ，－45 ) 错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。
正解：因为a 的模等于5，所以与a 平行的单位向量是±51a ，即(35 ，－45 )或(－35 ，45 ) 点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。
读者可以自己再求解“和a = (3,－4)垂直的单位向量”，结果也应该是两个。
[例2]已知A （2，1），B （3，2），C （-1，4），若A 、B 、C 是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D 的坐标。
错解：设D 的坐标为（x ，y ），则有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。
故所求D 的坐标为（-2，3）。
错因：思维定势。
习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD 的顺序。
其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD 。
因此，还需要分类讨论。
正解：设D 的坐标为（x ，y ）当四边形为平行四边形ABCD 时，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。
解得D 的坐标为（-2，3）；当四边形为平行四边形ADBC 时，有x-2=3-（-1），y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。
解得D的坐标为（6，-1）；当四边形为平行四边形ABDC 时，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。
解得D 的坐标为（0，5）。
故第四个顶点D 的坐标为（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。
[例3]已知P 1(3,2)，P 2（8，3），若点P 在直线P 1P 2上，且满足|P 1P|=2|PP 2|，求点P 的坐标。
错解：由|P 1P|=2|PP 2|得，点P 分P 1P 2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P （38,319） 错因：对于|P 1P|=2|PP 2|这个等式，它所包含的不仅是点P 为 P 1，P 2 的内分点这一种情况，还有点P 是 P 1，P 2的外分点。
故须分情况讨论。
正解：当点P 为 P 1，P 2 的内分点时，P 分P 1P 2所成的比为2，此时解得P （38,319）； 当点P 为 P 1，P 2 的外分点时，P 分P 1P 2所成的比为-2，此时解得P （13，4）。
则所求点P 的坐标为（38,319）或（13，4）。
点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。
也就是分类讨论的数学思想。
[例4] 设向量 ),(11y x a = ，),(22y x b = ，0 ≠b ，则“b a //”是“1221y x y x =”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可．解：若b a //，∵0 ≠b ，则b r a =，代入坐标得：),(),(2211y x r y x =，即21rx x =且21ry y = ．消去r ，得1221y x y x =；反之，若1221y x y x =，则21rx x =且21ry y =，即),(),(2211y x r y x =则b r a =，∴b a //故“b a //”是“1221y x y x = ”的充要条件．答案：C点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示．[例5]．已知a =（1，-1），b =（-1，3），c =（3，5），求实数x 、y ，使c =x a +y b ．分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可．解：由题意有x a +y b =x （1，-1）+y （-1，3）=（x-y ，-x+3y ）．又c =（3，5）∴x -y=3且-x+3y=5解之得 x=7 且y=4点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法．[例6]已知A （-1，2），B （2，8），=31 ，= -31，求点C 、D 和向量的坐标．分析：待定系数法设定点C 、D 的坐标，再根据向量 ， 和 关系进行坐标运算，用方程思想解之．解：设C 、D 的坐标为),(11y x 、),(22y x ，由题意得 AC =（2,111-+y x ），AB =（3，6）， DA =（222,1y x ---），BA =（-3，-6） 又=31 ，= -31 ∴（2,111-+y x ）=31（3，6）， （222,1y x ---）=-31（-3，-6） 即 (2,111-+y x )=(1,2) ， (222,1y x ---)=(1,2)∴111=+x 且221=-y ，112=--x 且222=-y∴01=x 且41=y ，且22-=x 02=y∴点C 、D 和向量 的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高．四、典型习题导练）2.（2006年高考浙江卷）设向量,,a b c 满足0a b c ++= ,,||1,||2a b a b ⊥== ,则2||c =(A)1 (B)2 (C)4 (D)53. 将函数y= 4x －8的图象L 按向量a 平移到L /，L /的函数表达式为y= 4x ，则向量a =4. →→→-=j i a 63方向取线段AB ，使5||=→AB ，则B 点坐标为6.（2006年高考辽宁卷）已知ABC ∆的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- ,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23π§8.2平面向量与代数、几何的综合应用一、知识导学1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即 A bc c b a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=2.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin === 二、疑难知识导析1．初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。