平面向量典型例题46893

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平面向量题目及详细答案.doc

A + 2 = 2mA2一cos2 a = m +22,设± = k代入方程组可得＜mkm 4-2 = 2mk2m2 - cos2a = m + 2sina 平面向量高考经典试一、选择题1.(全国1文理)已知向量方=(-5,6),方= (6,5),则Z与方A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向解.己知向量a = (-5,6), & = (6,5), = —30 + 30 = 0,则U与片垂直,2、(山东文5)已知向量G = (1, 〃)，b = (—1, 〃)，若2a -b与b垂直，则a =( )A. 1B. y/2C. 2D. 4【分析】：2a-b = (3,n),由2a-b^jb垂直可得：(3,〃)・(—1,〃) = -3 + 〃2 =o=> 〃 = ±右，a = 2 o3、(广东文4理10)若向量履满足修|=|方|二1 3,5的夹角为60。

，则溢+混=解析：aa + a-b= l + lxlx—=—,2 24、(天津理10)设两个向量。

=(A + 2, /i? 一cos2Q)和方=(m, y + sin a),其中人,a为一一人实数.若。

=2上则-的取值范围是mA. [-6,1]B. [4,8]C. (-oo,l]D. [-1,6][分析】由« = (/! +2, A2 - cos2a) ,h = (tn,— + sin a = 2片，可得2去〃7化简得2k ] - cos2a = + 2sin cr,再化简得{2-kJ 2-k2 + 4 ] 一cos2a + ------ 2 sin。

= 0 再令一— = t代入上式得、k - 2) k — 2 k — 2(sin2。

一顶 + (16产 +18/ + 2) = 0 可得一(16产 +18, + 2)c [0,4]解不等式得Z G[-1,--]8(B)\bc^ = ba-bc则入= 2 (A)-■) 1 (B)- ■) (号2 (D)-- ■)解.在左ABC 中，己知D 是AB 边上一点，若AD=2DB , cB=-G5 + XCB,则3CD = CA + AD = CA+-^B = CA + -(CB-CA)=-CA^-CB , 4X=-,选 A 。

平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。

-4 B。

-1 C。

1 D。

43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。

1 B。

5/3 C。

3/5 D。

7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。

-4 B。

-2 C。

2 D。

45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。

充分必要条件 B。

必要不充分条件 C。

充分不必要条件 D。

既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。

$\frac{8}{3}$ B。

$\frac{26}{9}$ C。

$\frac{2}{3}$ D。

$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{6}$ B。

$\frac{\pi}{4}$ C。

$\frac{\pi}{3}$ D。

$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。

18 B。

平面向量经典练习题(含答案)

高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。

2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。

3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。

4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。

5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。

6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。

7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。

8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。

9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。

10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。

二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。

A、（11，6）B、（22，12）C、（28，14）D、（14，7）2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（）A、（4 , 2）B、（3，1）C、（2，1）D、（1，0）3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。

A、90°B、60°C、30°D、0°4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）A、 15B、 14C、 13D、 115、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|2·→0C ＋→CD|＝4，则,|→BC+→CD|＝______.A、12B、8C、4D、26题、7题、8、若向量a＝(3,4)，向量b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为________．A、2B、4C、8D、169题、10、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE·→BD＝.A、-1B、1C、-2D、2三、解答题1、在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，求→AB·→AC的值。

平面向量知识点+例题+练习+答案

五、平面向量1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。

(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

(整理版)平面向量的坐标运算(典型例题)

平面向量的坐标运算〔典型例题〕[教学重点]理解平面向量的坐标表示及它们之间的一一对应关系；掌握平面向量的加法、减法、实数与向量积的坐标运算法那么；能够判断向量的平行或由向量的平行求解向量的坐标.[教学难点]理解平面向量的坐标表示是几何问题代数化的根底，将求解的几何图形问题，放置在直角坐标系下，通过向量的坐标运算到达求解的目的，是本章内容的重要思想方法和具体应用.[典型例题]例1、A、B、C、D是平面直角坐标系中任意位置上四个不同点，求证:.解:设A、B、C、D四点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), (x3, y3), (x4, y4)，那么由向量的坐标表示可得:再由向量和的坐标运算得例2．ΔABC内一点G，使得，D是BC中点，求证:点G是ΔABC的重心，且.解:如下图建立直角坐标系:设A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), G(x, y)那么由∴即∴即(x-x1, y-y1)=(x2+x3-2x, y2+y3-2y)∴x-x1=x2+x3-2x, y-y1=y2+y3-2y∴x2+x3=3x-x1, y2+y3=3y-y1由∴∴即将x2+x3=3x-x1,y2+y3=3y-y1代入∴∴即，且必有∴A、G、D三点共线，即中线AD过G点.同理可证AC、AB边上中线也必过G点.故G是ΔABC的重心.例3．设向量，假设，求使成立的实数λ和x的值.解:由向量的坐标运算法那么∵∴∴由∴，即.例4．如图，直角ΔABE的直角边为AB、AE，以AB、AE为边在ΔABE外部作正方形ABCD 和正方形AEFG，连结CE交AB于N点，连结BF交AE于M点，证明AM=AN.解:此题除了用平面几何的方法求证，可用平面向量知识及运算求证.如图建立坐标系设AE边长为a，AB边长为b, 那么E(a, 0), B(0, -b), F(a, a),C(-b, -b).设M(x, 0), N(0, y)那么，∵，∴ab-(a+b)x=0∴,即，由，且，∴(a+b)(y+b)-b2=0, ∴,即，∴，∴AM=AN.课外练习：1．假设点P(2,3),Q(3,a),R(4,b)共线，那么有〔〕.A、a=4,b=5B、b-a=1C、2a-b=3D、a-2b=32．点A(-1,-2), ，那么C点坐标为〔〕.A、(0, 1)B、(1, 3) C 、(0, -1) D、(3, 1)3．ΔABC中，顶点B(1,1), C(2, -6), D是BC边上一点，假设ΔABD的面积是ΔABC面积的，那么点D的坐标为〔〕.A、B、C、D、4．a、b、c是两两不相等的实数，那么点A(a+b，c), B(b+c，a), C(c+a，b)的位置关系满足〔〕.A、在同一条直线上B、是RtΔ的三个顶点C、是等边Δ的三个顶点D、是钝角Δ的三个顶点5．ΔABC中，A(3, 6), B(0, 0), C(6,2)，过AB边上一点D作BC的平行线，交AC于E点，假设ΔADE的面积是梯形DECB面积的，求D、E两点坐标.参考答案：1.C2.A3.D4.A5. 解:由DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC，∵ΔADE面积是梯形DECB面积∴ΔADE面积是ΔABC面积，∴，∴，设D(x1, y1), E(x2, y2)∴,,,由x1-3=-1, y1-6=-2∴x1=2, y1=4.由x2-3=1, , ∴x2=4, ,∴.。

平面向量经典例题30道

平面向量经典例题30道一、选择题1.已知|→a| = 3, |→b| = 2, 向量→a 和→b 的夹角为π/3，则→a · →b= A. 3 B. √3 C. -3 D. -√32.已知|→a| = 1, |→b| = 2, →a 与→b 的夹角为π/2，若→a - →b 与→a垂直，则→a 与→b 的夹角为 A. π/6 B. π/4 C. π/3 D. π/23.已知|→a| = 1, |→b| = 2, →a 与→b 的夹角为π/4，若→a - λ→b 与→a +→b 共线，则实数λ 的值为A. -1/2 B. 1/2 C. -√2/4 D. √2/44.已知|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，若(→a +→b) · (→a - λ→b) = 0，则实数λ 的值为A. -1 B. 1 C. -√2 D. √25.已知|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/3，若(→a +→b) · (→a - →b) = 0，则实数λ 的值为A. -1 B. 1 C. -√2 D.√26.已知向量a = (-2, 3)，b = (1, -1)，若a 与b 的夹角为钝角，则a · b 等于( ) A. -4 B. -2 C. 0 D. 27.若平面向量a，b 满足|a| = 1，|b| = 2，且向量a，b 的夹角为π/4，若 a - λb 与 b 垂直，则实数λ 的值为( ) A. -1/2 B. 1/2 C. -√2/4 D.√2/48.已知F1，F2 是椭圆C：(x^2)/9 + (y^2)/4 = 1 的两个焦点，P 是C 上一点，且与F1，F2 在同一直线上，若|PF1| × |PF2| = 12，则P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和为( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 129.已知a = ，b = (-1, 1)，若a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( ) A. (0, +∞) B. (0, 1) ∪ (1, +∞) C. (-∞, 0) ∪ (0, +∞) D. (-∞, 0) ∪(1, +∞)10.已知向量a = (-2, 4)，b = (-1, 2)，若向量a - λb 与b 共线，则实数λ 的值为_______．11.已知向量a = (-2, 3)，b = (λ, 2)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ 的取值范围是_______．12.已知向量a = (-2, 3)，b = (-4, 1)，若a 与b 的夹角为锐角，则实数m的取值范围是_______．13.已知向量a = (-2, 1)，b = (λ, 2)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ 的取值范围是_______．14.在△ABC中，AB = (-1, 1)，AC = (2, 3)，则∠BAC = _______（用反三角函数的值表示）15.在△ABC中，AB = (-4, 3)，AC = (1, 2)，则BC = _______16.在△ABC中，AB = (-4, 3)，AC = (-1, 2)，且AB⊥AC，则BC = _______17.在△ABC中，AB = (2, -1)，AC = (-4, 3)，则BC = _______18.在△ABC中，AB = (3, -4)，AC = (-2, 3)，则BC = _______19.若点P 在直线l₁：x - 2y - 3 = 0 和直线l₂：3x + y - 1 = 0 的夹角平分线上，则点P 到直线l₃：x + 2y - 5 = 0 的距离为_______．20.已知等差数列{an} 中，a₁ = -1，且a₁，a₂，a₃ 三项及格率为5/4，若an= λ(n为正整数)，则实数λ 的取值集合为_______．二、填空题21.已知|→a| = 3, |→b| = 4, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，则→a · _______ = 9√2．22.已知|→a| = 2, |→b| = 4, 向量→a 与→b 的夹角为π/6，则_______ =(√3 + 1)/4．23.已知|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，若_______ =(-√5)/5，则实数λ 的值为_______．24.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，则_______ =_______．25.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，则_______ =_______．三、解答题26.若|→a| = 3, |→b| = 5, 向量→a 与→b 的夹角为π/6，求向量→a 在向量→b 上的投影．27.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/3，求(→a +→b) · (→a - λ→b)．28.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，求(→a +λ→b) · (→a - λ→b)．29.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/6，求(→a +λ→b) · (→a - λ→b)．30.已知|a| = 1, |b| = 2, a与b的夹角为π/3, 若a - λb与b垂直，求实数λ的值．31.在△ABC中，AD为BC边上的中线，G为AD上靠近D的三等分点，若(1/2AB) · (AC - GC) = 0 ( ·表示向量的数量积)，求AG与BC边的夹角．32.在△ABC中，AB = AC = 2, 点D在BC上，且BD = DC, E,F分别是AB,AC上的点，且AE/EB = AF/FC = 1/2, AD与EF交于点G, 求向量EF ·向量AD 的值．33.若点A(x,y)在圆x²+y²=4上运动时，点B(x-3,y-4)也在圆上运动，求线段AB中点M的轨迹方程．34.在△ABC中，D是BC的中点，E、F分别在AB、AC上，且EF平行于BC，AD与EF交于点M，BD=CD=1,AD=3,求向量EF ·向量BC．。

平面向量经典练习题(含答案)

高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。

2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。

3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。

4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。

5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。

6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。

7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。

8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。

9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。

10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。

二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。

平面向量例题

平面向量例题摘要：1.平面向量的概念2.平面向量的基本运算3.平面向量的应用举例4.例题解析正文：一、平面向量的概念平面向量，又称二维向量，是具有大小和方向的几何对象。

在平面直角坐标系中，一个平面向量可以表示为一个有序的实数对(x, y)，其中x 和y 分别表示向量在x 轴和y 轴上的分量。

我们可以将平面向量表示为一个带箭头的线段，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

二、平面向量的基本运算1.加法两个平面向量相加，是将它们的对应分量分别相加，即(x1, y1) + (x2,y2) = (x1 + x2, y1 + y2)。

2.减法两个平面向量相减，是将它们的对应分量分别相减，即(x1, y1) - (x2, y2) = (x1 - x2, y1 - y2)。

3.数乘平面向量与实数相乘，是将向量的大小乘以实数，方向保持不变，即(x, y) * λ= (λx, λy)。

三、平面向量的应用举例假设有一个向量A = (3, 4)，另一个向量B = (1, 2)。

我们可以进行以下运算：1.向量加法：A + B = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)2.向量减法：A - B = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)3.向量数乘：2A = (2 * 3, 2 * 4) = (6, 8)四、例题解析例题：求向量(2, 3) 与向量(1, 1) 的和，差及数乘。

解：1.向量加法：(2, 3) + (1, 1) = (2 + 1, 3 + 1) = (3, 4)2.向量减法：(2, 3) - (1, 1) = (2 - 1, 3 - 1) = (1, 2)3.向量数乘：2 * (2, 3) = (2 * 2, 2 * 3) = (4, 6)综上所述，平面向量是具有大小和方向的几何对象，可以进行加法、减法和数乘等基本运算。

平面向量经典练习题(含答案)

平面向量经典练习题(含答案)1、向量a=(2,4)，b=(-1,-3)，则向量3a-2b的坐标是(8,22)。

2、已知向量a与b的夹角为60°，a=(3,4)，|b|=1，则|a+5b|=√61.3、已知点A(1,2)，B(2,1)，若AP=(3,4)，则BP=(-1,-1)。

4、已知A(-1,2)，B(1,3)，C(2,0)，D(x,1)，若AB与CD共线，则|BD|=2.5、向量a、b满足|a|=1，|b|=2，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为30°。

6、设向量a，b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a·b=7.7、已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是60°。

8、在△ABC中，D为AB边上一点，AD=2DB，CD=3CA+mCB，则m=1.9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥(2a+b)，则a与b的夹角是53.13°。

10、在三角形ABC中，已知A(-3,1)，B(4,-2)，点P(1,-1)在中线AD上，且AP=2PD，则点C的坐标是(6,-3)。

二、选择题1、设向量OA=(6,2)，OB=(-2,4)，向量OC垂直于向量OB，向量BC平行于OA，若OD+OA=OC，则OD坐标=(11,6)。

2、把A(3,4)按向量a(1,-2)平移到A'，则点A'的坐标(4,2)。

3、已知向量a，b，若a为单位向量，且|a|=|2b|，则(2a+b)⊥(a-2b)，则向量a与b的夹角是30°。

4、已知向量ab的夹角60°，|a|=2，b=(-1,√3)，则|2a-3b|=13.5、在菱形ABCD中，∠DAB=60°，|2·0C+CD|=4，则|BC+CD|=2.6、略。

7、略。

8、若向量a=(3,4)，向量b=(2,1)，则a在b方向上的投影为2.9、略。

(完整版)平面向量典型例题

平面向量经典例题：1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ等于()A．－2B．－13C．－1 D．－23[答案] C[解析]λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa＋b与c共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.2.(文)已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)，若a＋2b与c垂直，则k＝()A．－1 B．－ 3C．－3 D．1[答案] C[解析]a＋2b＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，∵a＋2b与c垂直，∴(a＋2b)·c＝3k＋33＝0，∴k＝－3.(理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为()A．－611B．－116C.611 D.116[答案] C[解析]a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，∵a＋b与a－λb垂直，∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6 11.3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为()A．150°B．120°C．60°D．30°[答案] B[解析]如图，在▱ABCD中，∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.(理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝32，a与b的夹角为60°，则|b|＝()A.12 B.13C.14 D.15[答案] A[解析]∵|a－b|＝32，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝34，∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°，设|b|＝x，则1＋x2－x＝34，∵x>0，∴x＝12.4.若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．5. 若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b[答案] B[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)， ∴⎩⎨⎧ λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴⎩⎨⎧λ＝1μ＝－3，∴c ＝a －3b ，故选B. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC→＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b [答案] B[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴|AB ||DF |＝|EB ||DE |，∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝23|CD |，∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →)＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b .6.若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 [答案] D[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×()－1935＝－19.7.若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．6 [答案] D[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝6，等号在x ＝12，y ＝1时成立．8.若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( ) A ．－1 B ．0 C.－1＋52D.1＋52[答案] A[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC →＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1. 9.(文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6 D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →＝(x ，－3)，∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是( )A.12B.32C. 2D.22[答案] D[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4，∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，∴|AD →|≥22.10. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF→＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.15B.14C.13D.12[答案] A[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝15.11. 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )A.12 B ．2 C ．－2 D ．－12[答案] C[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0，∴m ＝－2，故选C.12. 在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6 [答案] B[解析] CM →·CB →＝(CA →＋AM →)·CB →＝(CA →＋13AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB →＝13|AB →|·|CB →|·cos45°＝13×32×3×22＝3. 13. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________. [答案]152[解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23CB →，∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152.14. 已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．[答案] －255。

高中数学平面向量习题五篇

高中数学平面向量习题五篇篇一：高中数学平面向量练习题一．填空题。

1． +++等于________．2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________． 3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥(2a-b),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－21的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则||的值等于________．7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______ 10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____13．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v=（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。

1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模；（2）试求向量与的夹角；（3）试求与垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a=(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b=(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b|的取值范围3．已知向量a、b是两个非零向量，当a+tb(t∈R)的模取最小值时，（1）求t的值（2）已知a、b共线同向时，求证b与a+tb垂直4. 设向量)2,11,3(-=，向量垂直于向量，向量平行于，=(),试求OD=时+的坐标.OAOCOD,5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使.,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k=f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案1.2.（－3，－4）3.74.90°（21，321）．6.73．7.（－3，2）． 8.－2 9.1210.3111.0 12. 90° 13.2-14.51--或（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）． ∴ |2AB ＋|＝227)1(+-＝50．（2）∵ ||＝221)1(+-＝2．||＝2251+＝26，·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴ cos＝||||AC AB ⋅＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0． ②由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线∴33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ ∴ 132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -=∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a+tb)18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y OB OC OB OC y x OC ①又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y hx x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x .由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y . 解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即 ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k 即（2）由f(t)>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即篇二：高中数学平面向量习题及答案第二章平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．与共线 B ．与共线 C ．与相等 D ．与相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若＝，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C 满足，其中R 1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是( )．A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C)，则＝( )．(第1题)A ．λ(＋)，λ∈(0，1)B ．λ(＋)，λ∈(0，22) C ．λ(－)，λ∈(0，1)D ．λ(－BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋D ．＋7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b|＝4，(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，则向量a 的模为( )． A ．2B ．4C ．6D ．128．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，则点O 是△ABC 的( )． A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点9．在四边形ABCD 中，＝a ＋2b ，＝－4a －b ，C ＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )． A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形10．如图，梯形ABCD 中，|AD |＝|BC |，EF ∥AB ∥CD 则相等向量是( )． A ．AD 与BC B ．OA 与OB C ．AC 与BD D ．EO 与OF二、填空题11．已知向量OA ＝(k ，12)，OB ＝(4，5)，OC ＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点(第10题)共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，||＝4，||＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a ＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE(利用向量证明)．20．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b|的最大值．(第19题)参考答案一、选择题 1．B解析：如图，与，与不平行，与共线反向． 2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若＝，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对． 3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)OA ＝(3)OB ＝(3)OAOB ＝(33)，∴ (x ，y)＝(33)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x1，由此得到答案为D ． 4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b2－2a ·b ＝0，∴ a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴ a 与b 的夹角是3π．(第1题)5．A解析：由平行四边形法则，＋＝，又＋＝，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵＝，∴＝＋＝＋．(第6题)7．C解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴ |a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D解析：由OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB＝OC·OA,即OA·(OC－OB)＝0，故BC·OA＝0，BC⊥OA，同理可证AC⊥OB，∴ O是△ABC的三条高的交点．9．C解析：∵AD＝＋＋C＝－8a－2b＝2BC，∴∥BC且||≠|BC|．∴四边形ABCD为梯形．10．D解析：AD与BC，AC与BD，OA与OB方向都不相同，不是相等向量．二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k)＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32．12．－1．解析：∵ M(－1，3)，N(1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或 ∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ 3＝4，5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即⊥，∴·＝0， ∴ ·BC ＋BC ·CA ＋CA · ＝·＋· ＝CA ·(BC ＋) ＝－(CA )2＝－25．思路2：∵3＝4＝5，∴∠ABC ＝90°，∴ cos ∠CAB53，cos ∠BCA＝54．根据数积定义，结合图(右图)知·＝0，BC ·CAcos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴ ·＋·＋·＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0 m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ， ∴ ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．(第15题)D(第13题)解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)． ∵ AP ＝＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．＝(47，2)．解析：∵ A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点，∴ ＝21(＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点，(第18题)∴ F 是AD 的中点，∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． 19．证明：设＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b2－21a2＋43a ·b ．又AB ⊥，且，∴ a2＝b2，a ·b ＝0．∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos 3π－cos θsin 3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴ |2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b 终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第19题)篇三：平面向量练习题精心汇编选择题:1．已知平行四边形ABCD ，O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，=，=，=，则向量等于（）A ．++B ．+-C ．-+D ．--2．已知向量a 与b 的夹角为120o，3,13,a ab =+=则b等于( )（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）13．设a ，b 是两个非零向量．下列正确的是( ) A ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b|＝|a|－|b|C ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b ＝λ aD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b|＝|a|－|b|高☆考♂资♀源€网 4．已知→a ＝(sin θ，1＋cos θ)，→b ＝(1，1－cos θ)，其中θ∈(π，3π2)，则一定有（）A ．→a ∥→bB ．→a ⊥→bC ．→a 与→b 夹角为45°D ．|→a |＝|→b | 5．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上,实数λ＝（） A ．52 B ．32C ．－52D ．－326. 已知∈Z k ，(,1),(2,4)==AB k AC ，若≤10AB ABC 是直角三角形的概率为（）A ．17B ．27C ．37D ．477.将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为( )Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭8.在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足−→−=−→−PM AP 2,则()PA PB PC ⋅+等于( )（A ）49 （B ）43 （C ）43- (D) 49-9.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =10.△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b ,a= 1 ,b= 2, 则CD =（）（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35b11．已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( )A.[0,6π]B.[,]3ππC.2[,]33ππD.[,]6ππ12. 设非零向量a =)2,(x x ,)2,3(x b -=,且b a ,的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）（A ）)(0,∞- （B ）) ⎝⎛0,34 （C ）)(0,∞- ) ⎝⎛0,34（D ）⎝⎛⎪⎭⎫-∞-31, ) ⎝⎛-0,31 )⎝⎛∞+,3413.已知点O 、N 、P 在三角形ABC 所在平面内，且==,0=++NC NB NA ,则PB PA ∙=∙=∙则点O 、N 、P 依次是三角形ABC 的( )（A ）重心、外心、垂心（B ）重心、外心、内心（C ）外心、重心、垂心（D ）外心、重心、内心14.设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为( )（A ）453a b -= （B ）543a b -= （C ）4514a b += （D ）5414a b += 15.（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个填空题：16．四边形ABCD 中，()()()1,2,4,1,5,3AB BC CD ==--=--则四边形ABCD 的形状是17.已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____ 18.已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是_________19.若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA-=+-，则ABC的形状为_ ___20若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0P A B P C P ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为__21下列命题中：① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+；④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a bc b ⋅=⋅则a c =；⑥22a a=；⑦2a bba a⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+。

数学课程平面向量练习题及答案

数学课程平面向量练习题及答案平面向量练习题及答案1. 题目：给定向量a = (1, 2)和向量b = (3, -1)，求向量a与向量b的和。

解答：要求向量a与向量b的和，只需要将它们对应位置的分量相加即可。

所以向量a + 向量b = (1 + 3, 2 + (-1)) = (4, 1)。

2. 题目：已知向量a = (2, -3)和向量b = (-4, 5)，求向量a与向量b 的数量积。

解答：向量a与向量b的数量积（也称为点积或内积），可以通过将对应位置的分量相乘，并将乘积相加得到。

所以向量a·向量b = (2 * (-4)) + (-3 * 5) = (-8) + (-15) = -23。

3. 题目：已知向量a = (1, 2, -1)和向量b = (3, -2, 4)，求向量a与向量b的叉积。

解答：向量a与向量b的叉积（也称为矢量积或外积），可以通过计算以下行列式得到：| i j k || 1 2 -1 || 3 -2 4 |其中i、j和k分别代表x、y和z轴的单位向量。

按照行列式的计算规则，得到向量a×向量b = (2 * 4 - (-1) * (-2), (-1) * 3 - 1 * 4, 1 * (-2) - 2 * 3) = (10, -7, -8)。

4. 题目：已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的夹角。

解答：要求向量a与向量b的夹角，可以通过计算它们的数量积和各自的模长来得到。

首先计算数量积：向量a·向量b = (2 * (-1)) + (3 * 4) = (-2) + 12 = 10。

接下来计算各自的模长：|向量a| = √(2^2 + 3^2) = √13，|向量b| = √((-1)^2 + 4^2) = √17。

最后，根据余弦定理，夹角θ的余弦值为：cosθ = 向量a·向量b / (|向量a| * |向量b|) = 10 / (√13 * √17) = 10 / √221。

平面向量50道解答题

平面向量练习题1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2AB ＋AC 的模；（2）试求向量AB 与AC 的夹角；（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4. 设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求OD OC OA OD ,时=+的坐标.5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=b a 若存在不同时为零的实数k 和t,使.,,)3(2y x b t a k y b t a x ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.7．已知向量 = , 求向量b ，使|b |=2| |，并且与b 的夹角为。

（10分）8、已知平面上3个向量、b 、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120。

(1) 求证：( -b )⊥ ;(2)若|k +b + |>1 (k ∈R), 求k 的取值范围。

（12分）9．（本小题满分12分)已知e 1，e 2是两个不共线的向量，AB =e 1+e 2，CB =-λe 1-8e 2, CD =3e 1-3e 2,若A 、B 、D 三点在同一条直线上，求实数λ的值.10．某人在静水中游泳，速度为43公里/小时，他在水流速度为4公里/小时的河中游泳.(1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？11．（本小题满分12分）设向量OA =（3，1），OB =（-1，2），向量OB OC ⊥，BC ∥OA ，又OD +OA =OC ，求OD 。

(完整版)平面向量专项训练(含答案)

平面向量专题训练知识点回顾1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。

每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA +→--OB =→--OC→--OB -→--OA =→--AB记→--OA =(x 1,y 1)，→--OB =(x 1,y 2) 则→--OA +→--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB OB --→=u u u r -→--OA =（x 2-x 1,y 2-y 1）→--OA +→--AB =→--OB实数与向量的乘积→--AB =λ→aλ∈R记→a =(x,y) 则λ→a =(λx,λy)两个向量的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行：设a =（x 1,y 1），b =(x 2,y 2)，则a ∥b ⇔a b λ=r r⇔x 1y 2-x 2y 1=0（4）两个向量垂直：设→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2)，则→a ⊥→b⇔a 0b •=r r ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b ( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--ECBA 3.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么 ( ) A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 4已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r6.已知向量a = (2,1)，a ·b = 10，︱a + b ︱=b ︱=（） 7.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c bc -•-的最小值为( )A.2-2C.1-D.18已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a（）A ．1BC ．2D ．49平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b= 则2ab +=( )B.10.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11.如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r rD ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r12.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r13.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120° C.60° D.30°14.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.1615.已知1,6,()2==-=g a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π16.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（） A ．-2B ．0C ．1D ．217.在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b c D ．1233+b c 18.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则BD =u u u r （）A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）19.设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （）A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 二、填空题1.若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ．2.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ3.已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么(2)+gb a b 的值为4.已知平面向量(2,4)a =r ，(1,2)b =-r ．若()c a a b b =-⋅r r r r r ，则||c =r____________．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ．6.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是7.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝8.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ， (,2)c k =r ，若()a c b -⊥r r r则k = ．9.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．10.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为__________.平面向量专题训练答案：一选择题1 C2 D3 D 4Ｄ 5 B 6 C 7 D 8 Ｃ 9 B 10 B11 A 12 Ａ 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C 二填空题2 23 0 _4 285 76 -37 -18 09 5 10_（0，－2）。

平面向量及其应用经典例题

一、多选题1．给出下列结论，其中真命题为（） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π2．在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6A a c π===则角C 的大小是( ) A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >D ．sin sin sin +=+a b cA B C4．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=-5．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（）A ．1122AE AB AC →→→=+B ．2AB EF →→=C ．1133CP CA CB →→→=+D ．2233CP CA CB →→→=+6．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°D ．()//2a a b +7．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（）A ．1AB CE ⋅=- B ．0OE OC +=C ．32OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为768．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=︒，则下列叙述正确的是（） A ．ABC 的外接圆的直径为4.B ．若4AC =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 9．有下列说法，其中错误的说法为（）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ= 10．下列命题中，正确的是（） A ．在ABC ∆中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形11．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（） A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)12．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ== 13．下列命题中，正确的有（）A ．向量AB 与CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角 C ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形14．已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同 B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反 C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模 D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同 15．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+- C ．OA OD AD -+D ．NQ QP MN MP ++-二、平面向量及其应用选择题16．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()(2a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为A ．3)22B ．(2C ．3(2D ．3(217．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则::PAB PAC PBC S S S =△△△（）A ．1∶2∶3B ．1∶2∶1C ．2∶1∶1D ．1∶1∶218．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（） A ．M B ．NC ．22D ．119．ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为（） A ．1:4B ．4:5C ．2:3D ．3:520．在ABC 中，若()()0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（） A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定 21．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形22．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（）A ．62-B ．1(62)2- C ．62+ D ．1(62)2+ 23．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（）． A ．4B ．3C ．-4D ．524．下列命题中正确的是（） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ⋅=⋅≠，则a b =C ．若,,,A B CD 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角 25．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75︒，则山高BC =（）A ．500米B ．1500米C ．1200米D ．1000米26．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（）A 3B ．22C 31- D ．212- 27．已知向量(22cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 28．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形29．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（）A ．1324AB AD -+ B ．1223AB AD + C ．1132AB AD - D ．1324AB AD - 30．已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，47AOB ABC S S ∆∆=，则实数m 为（） A ．2B ．-2C ．4D ．-431．已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝3π，点P 满足AP ＝λAB ，λ∈R ，若BD ·CP ＝－3，则λ的值为( ) A ．12B ．－12C ．13D ．－1332．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（）①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形．A ．1B ．2C ．3D ．433．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()20c a c b ⋅--=，则b c ⋅的最大值为（） A ．54B ．2C ．174D ．434．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且a b =，则cos B 等于（）A B ．14C D35．在ABC ∆中，601ABC A b S ∆∠=︒=，，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（）A ．3B C D ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．CD 【分析】对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解解析：CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题；对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题.【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.2．BD 【分析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握解析：BD 【分析】由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin 2c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】由正弦定理可得sin sin a cA C=,∴ sin sin 2c C A a ==,而a c <,∴ A C <, ∴566C ππ<<, 故3C π=或23π. 故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.3．ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断.对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确；对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误；对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角解析：ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在ABC ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2A B π+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错误；对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以A B >，故C 正确；对于D ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 4．ACD【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D ，由平解析：ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确；选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.5．AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知， , A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的；根据三角形重心解析：AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →→→→→→→→→→=+=+=+-=+, A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的；根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →→→→→→⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 是正确的，D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.6．AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量，，则，故A 正确；，故B 错误；解析：AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量()1,0a =，()2,2b =，则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；222222b =+=，故B 错误；22222cos ,21022a b a b a b⋅<>===⋅+⋅+，又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确；由()1,0a =，()25,4a b +=，140540⨯-⨯=≠，故D 错误.故选：AC【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.7．BCD【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.【详解】由题E 为AB 中点，则，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，，解析：BCD【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -，设123(0,),3),(1,),(,3O y y BO y DO y ∈==-，BO ∥DO ，所以2313y y =-，解得：3y =，即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确； 322OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确；因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；123(,)33ED =，(1,3)BC =， ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，所以选项D 正确. 故选：BCD【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.8．ABD【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】解：由正弦定理得，故正确；对于，，选项：如图解析：ABD【分析】根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】解：由正弦定理得224sin sin30AB R ACB ===∠︒，故A 正确；对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数．易知当122x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解；当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；当AD AB AC <<，即122x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．故B ，D 正确，C 错误．故选：ABD ．【点睛】本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．9．AD【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量解析：AD【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥，同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.10．ABD【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得解析：ABD【分析】对于选项A 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ∆中，由022A B ππ>>->，可得sin sin()cos 2A B B π>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误.【详解】对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确；对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π∈，2A B π+>，∴022A B ππ>>->，sin sin()cos 2A B B π∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确；对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，22A B ∴=或222A B π=-，A B ∴=或2A B π+=， ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.故选：ABD .【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.11．ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为，当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得解析：ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC .【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.12．BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当时，这样的有无数个，故C解析：BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确.故选：BC【点睛】若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一.13．BCD【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误解析：BCD【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角2α的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1cos 2y x =+的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；对于B 选项，2sin sin tan 0cos αααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨>⎩，则角α为第四象限角，如下图所示：则2α为第二或第四象限角，B 选项正确；对于C 选项，作出函数1cos 2y x =+的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos 2y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确；对于D 选项，tan tan 1A B <，()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A B π+--∴-=-===cos 0cos cos C A B=->，cos cos cos 0A B C ∴<，对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数，则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题. 14．ABD【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.当同向时解析：ABD【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,a b 不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||a b a b a b -<±<+.当,a b 同向时有||||||a b a b +=+,||||||a b a b -=-.当,a b 反向时有||||||||a b a b +=-,||+||||a b a b =-故选：ABD【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.15．ABCD【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可.【详解】;;;.故选：ABCD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.解析：ABCD【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可.【详解】0AB BC CA AC CA ++=+=;()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=;()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=;0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.故选：ABCD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.二、平面向量及其应用选择题16．A【分析】先化简已知()()(2a b c a c b ac +++-=+得6B π=，再化简cos sin A C +)3A π+，利用三角函数的图像和性质求其范围. 【详解】由()()(2a b c a c b ac +++-=+可得22()(2a c b ac +-=+，即222a cb +-=，所以222cos 2ac b B ac +-==，所以6B π=，56C A π=-，所以5cos sin cos sin()6A C A A π+=+-553cos sin cos cos sin cos )6623A A A A A A πππ=+-=+=+，又02A π<<，506A π<-2π<，所以32A ππ<<，所以25336A πππ<+<，所以3)62A π<+<，故cos sin A C +的取值范围为3)2．故选A ．【点睛】(1)本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函数的思想研究数学问题，一定要注意“定义域优先”的原则，所以本题一定要准确计算出A 的范围32A ππ<<，不是02A π<<.17．B 【分析】延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。

平面向量典型例题

平面向量经典例题：1.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13C ．－1D ．－23[答案] C[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1[答案] C[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0，∴k ＝－3.(理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611B ．－116C.611D.116 [答案] C[解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直，∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611.3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°[答案] B[解析] 如图，在▱ABCD 中，∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，故选B.(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( )A.12B.13C.14D.15[答案] A [解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34，∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝12.4.若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形． 5.若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b[答案] B[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，∴⎩⎨⎧λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴⎩⎨⎧λ＝1μ＝－3，∴c ＝a －3b ，故选B.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b [答案] B[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴|AB ||DF |＝|EB ||DE |， ∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝23|CD |，∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →)＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b . 6.若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×()－1935＝－19.7.若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．6[答案] D[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝6，等号在x ＝12，y ＝1时成立．8.若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( )A ．－1B ．0 C.－1＋52D.1＋52[答案] A[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC →＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1. 9.(文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6 D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →＝(x ，－3)，∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是( )A.12B.32C. 2D.22[答案] D[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4，∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，∴|AD →|≥22.10. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.15C.13[答案] A[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF ∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝15.11. 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )A.12 B ．2 C ．－2 D ．－12[答案] C[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0，∴m ＝－2，故选C.12. 在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] B[解析] CM →·CB →＝(CA →＋AM →)·CB →＝(CA →＋13AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB →＝13|AB →|·|CB →|·cos45°＝13×32×3×22＝3. 13. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.[答案]152[解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23CB →，∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152.14. 已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．[答案] －255。

平面向量及其应用经典例题百度文库

易知当，或即时，三角形为直角三角形，有唯一解；
当时，三角形是等腰三角形，也是唯一解；
当，即，时，满足条件的三角形有两个．
故，正确，错误．
故选：．
【点睛】
本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．
9．BC
【分析】
用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.
【详解】
解：由正弦定理得，故正确；
对于，，选项：如图
解析：ABD
【分析】
根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．
【详解】
解：由正弦定理得，故正确；
对于，，选项：如图：以为圆心，为半径画圆弧，该圆弧与射线的交点个数，即为解得个数．
A．垂心B．内心C．重心D．外心
23．如图，在中，，点在边上，且，则等于（）
A． B． C． D．
24．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .若，的面积为，则（）
A．5B． C．4D．16
25．已知的面积为30，且，则等于（）
A．72B．144C．150D．30026．题目文件丢失！
【详解】
解：根据正弦定理得：，
由于，所以或.
故选：BC.
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.
解析：BC
【分析】
用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.
【详解】
解：根据正弦定理得：，
由于，所以或 .
故选：BC.
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

平面向量及其应用经典例题百度文库

一、多选题1．题目文件丢失！2．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（）A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b cC ．若////a b c ，则a b c a b c =++++D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论，正确的是（） A ．cos cos 0A B +>B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=4．在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6A a c π===则角C 的大小是( ) A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 5．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（）A ．1122AE AB AC →→→=+B ．2AB EF →→=C ．1133CP CA CB →→→=+D ．2233CP CA CB →→→=+6．以下关于正弦定理或其变形正确的有（） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在ABC 中，sin sin sin +=+a b cA B C7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（）A ．若a b >，则sin sin AB >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形 8．设a 为非零向量，下列有关向量||aa 的描述正确的是（）A ．||1||a a =B ．//||a a aC ．||a a a =D ．||||a a a a ⋅=9．有下列说法，其中错误的说法为（）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=10．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（） A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)11．（多选题）下列命题中，正确的是（） A ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b +≤+； B ．若0a b ⋅=，则00a b ==或； C ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ⋅≤ D ．若,a b 共线，则||||a b a b ⋅=±12．给出下面四个命题，其中是真命题的是（） A ．0ABBA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=13．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（） A ．()m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-C ．若ma mb =，则a b =D ．若()0ma na a =≠，则m n =14．已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,3B a c π=+=,则ac=( ) A ．2B ．3C ．12 D ．1315．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C处,,那么x 的值为( )A B ．C ．D ．3二、平面向量及其应用选择题16．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（）． A ．4B ．3C ．-4D ．517．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且303aGA bGB cGC ++=.则BAC ∠等于（） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°18．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．以上均有可能19．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=，则ABC 一定为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形20．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形21．若△ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形22．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosCa b c==，则∠B 的大小是（） A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 23．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（） A ．MB ．NC ．22D ．124．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不能确定25．ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为（） A ．1:4B ．4:5C ．2:3D ．3:526．题目文件丢失！27．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（） A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形28．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若AB AF 3→→=，则AE BF→→的值为（） A ．0B ．833C ．-4D ．429．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（）A ．316- B ．316 C ．12D ．12-30．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，1AD =，则BD AC ⋅=（）A ．2-B ．3-C ．2D ．531．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（）A ．25B ．35C ．34D ．1432．在ABC ∆中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（） A 7 B 27C ．2D 21 33．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则必有（）A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=34．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（）A ．6B ．332C ．33D 335．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（） A ．1B ．23-C ．13- D ．34-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．无 2．BD 【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若与共线，与，都解析：BD 【分析】假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以//b c ，即B 正确；C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；D 选项，若0a b ⋅=，则()222222a b a ba b a b a b+=+=++⋅=+，()222222a b a b a b a b a b -=-=+-⋅=+，所以a b a b +=-，即D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.3．ABD 【分析】对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【解析：ABD 【分析】对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 12s S ab C =和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即cos2cos2A B <，故B 正确；对于C ，211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．4．BD 【分析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握解析：BD 【分析】由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin 2c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】由正弦定理可得sin sin a cA C=,∴ sin sin 2c C A a ==,而a c <,∴ A C <, ∴566C ππ<<, 故3C π=或23π.故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.5．AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知， , A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的；根据三角形重心解析：AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →→→→→→→→→→=+=+=+-=+, A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的；根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →→→→→→⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 是正确的，D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.6．ACD 【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中解析：ACD 【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R CR B C+=+＝左边，故该选项正确.【详解】对于A ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2π，∴a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.故选：ACD. 【点睛】本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．AC 【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判解析：AC 【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误.【详解】对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确；对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒= 所以A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2A π=，ABC 是直角三角形，故③正确；对D ，因为2220a b c +->，所以222cos 02a b c A ab+-=>，A 为锐角.但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.8．ABD 【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向量时，不正确，，所以D 正确. 故选：ABD解析：ABD 【分析】首先理解aa表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以1aa =正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，aa a=不正确，cos 0a a aa a a a a a a⋅==⨯=，所以D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题重点考查向量a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解a a表示与向量a 同方向的单位向量.9．AD【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量解析：AD【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥，同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.10．ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为，当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得解析：ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC .【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.11．ACD【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；当时，，故选项B 错误；因为，故选项C 正确；当共线同向时，，当共线反解析：ACD【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；当a b ⊥时，0a b ⋅=，故选项B 错误；因为||cos ||||a b a b a b θ⋅=≤，故选项C 正确；当,a b 共线同向时，||||cos 0||||a b a b a b ⋅==，当,a b 共线反向时，||||cos180||||a b a b a b ⋅=︒=-，所以选项D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律，本题属于基础题.12．AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为，正确；，由向量加法知正确；，不满足加法运算法则，错误；，所以错误.故选：A B.【点睛】本题主要考查了向量加法的解析：AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为0AB BA AB AB，正确；AB BC AC，由向量加法知正确；AB AC BC+=，不满足加法运算法则，错误；AB AB+=，所以000,+=错误.AB故选：A B.【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.13．ABD【分析】根据向量数乘运算判断AB选项的正确性，通过的特殊情况判断C选项的正确性，根据向量运算判断D选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A和B正确；C中，当时，，但与不一定相等，解析：ABD【分析】根据向量数乘运算判断AB选项的正确性，通过m的特殊情况判断C选项的正确性，根据向量运算判断D选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确.故选：ABD【点睛】本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.14．AC【分析】将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.【详解】∵，∴①，由余弦定理可得，②，联立①②，可得，即，解得或.故选：AC.【点睛】本题考查余弦定理的应解析：AC【分析】将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.【详解】∵,3B a c π=+=，∴2222()23a c a c ac b +=++=①，由余弦定理可得，2222cos 3a c ac b π+-=②，联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a c =或12a c =. 故选：AC.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.15．AB由余弦定理得，化简即得解.【详解】由题意得,由余弦定理得,解得或.故选：AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：AB【分析】由余弦定理得293cos306x x︒+-=，化简即得解. 【详解】由题意得30ABC ︒∠=,由余弦定理得293cos306x x ︒+-=,解得x =x故选：AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、平面向量及其应用选择题16．C【分析】先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ⋅，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影．【详解】对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，整理得，0AB AC ⋅=，则AB AC ⊥， ()216BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，设向量BC 与CA 的夹角为θ，所以，BC 在CA 方向上的投影为16cos 44BC CA BC CA BC BC BC CA CA θ⋅⋅-⋅=⋅===-⋅，故选C ．本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题．17．D【分析】由点G是ABC的重心可得0GA GB GC++=,即GA GB GC=--,代入3aGA bGB cGC++=中可得3()03b a GBc a GC⎛⎫-+-=⎪⎪⎝⎭,由,GB GC不共线可得b aa-=⎧-=,即可求得,,a b c的关系,进而利用余弦定理求解即可【详解】因为点G是ABC的重心,所以0GA GB GC++=,所以GA GB GC=--,代入3aGA bGB cGC++=可得3()0b a GBc a GC⎛⎫-+-=⎪⎪⎝⎭,因为,GB GC不共线,所以3b ac a-=⎧-=⎩,即b ac=⎧⎪⎨=⎪⎩,所以222cos2b c aBACbc+-∠==,故30BAC︒∠=,故选:D【点睛】本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角18．C【分析】ABAB和ACAC分别表示向量AB和向量AC方向上的单位向量，AB ACBCAB AC⎛⎫⎪+⋅=⎪⎝⎭表示A∠平分线所在的直线与BC垂直，可知ABC为等腰三角形，再由12AB ACAB AC⋅=可求出A∠，即得三角形形状。