平面向量典型例题46893

平面向量经典例题：

1.

已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2

B ．－13

C ．－1

D ．－23

[答案] C

[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2.

(文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－3 C ．－3 D ．1

[答案] C

[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，

∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0，∴k ＝－3.

(理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611

B ．－116

C.611

D.116 [答案] C

[解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直，

∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6

11.

3.

设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° [答案] B

[解析] 如图，在▱ABCD 中，

∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，故选B.

(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3

2

，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( ) A.12

B.13

1 4D. 1 5

C.

[答案] A [解析] ∵|a －b |＝

3

2，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝3

4，∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°， 设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝1

2.

4.

若AB →·BC →＋AB →

2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形

[答案] B

[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →

， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形． 5.

若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b [答案] B

[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴⎩

⎪⎨⎪⎧

λ＝1μ＝－3，∴c ＝a －3b ，故选B. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →

等于( )

A.14a ＋12b

B.23a ＋13b

C.12a ＋14b

D.13a ＋23b [答案] B

[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →

， ∵DF ∥AB ，∴

|AB ||DF |＝|EB |

|DE |

，

∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝2

3

|CD |，

∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →

＝a ＋23(OD →－OC →)＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b .

6.

若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →

的值为( ) A ．19

B ．14

C．－18 D．－19 [答案] D

[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →

|×(－cos B )＝7×5×⎝⎛⎭⎫－1935＝－19.

7.

若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．23 C ．3 2 D ．6

[答案] D

[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝6，等号在x ＝1

2，y ＝1时成立．

8.

若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →

＝0，实数x 为( ) A ．－1 B ．0 C.－1＋52

D.1＋52

[答案] A

[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →

＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC →

＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1. 9.

(文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →

)( ) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6 D ．与P 的位置有关 [答案] C

[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →

＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，

设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →

＝(x ，－3)，

∴AP →·(AB →＋AC →

)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.

(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →

＝－1，则|AD →

|的最小值是( )

A.12

B.32

C. 2

D.22

[答案] D