椭圆内接三角形的最大面积

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与椭圆有关的最值问题

角度类问题典型例题
例题2
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$frac{sqrt{3}}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线$x^2 = 8sqrt{2}y$的焦点，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与C相交于A、B两点，若直线PA与直线PB的斜率之积为$- frac{5}{16}$，则直线l的方程为____。
距离类问题典型例题
例题1
已知椭圆$frac{x^2}{4} + frac{y^2}{3} = 1$，点P是椭圆上一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，则|PF₁|·|PF₂|的最大值为____。
例题2
过椭圆$frac{x^2}{5} + y^2 = 1$的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、 B两点，O为坐标原点，则弦AB的长为____。
通过解析几个与椭圆有关的最值问题的典型例题，我们掌握了这类问情况
通过本次课程的学习，我深刻理解了椭圆的标准方程和性质，掌握了在约束条件下求解最值问题的方法，对于典型例题的解析也有了更深入的认识。
学习方法与效率
在学习过程中，我采用了课前预习、课后复习的方法，同时结合了大量的练习来巩固所学知识。这种学习方法使我能够高效地吸收和掌握知识。
利用平面几何知识，如相似、勾股定理等，求出最值；
03
与椭圆相关的最值问题类型
面积类问题
1 2
椭圆内接矩形面积的最大值
给定椭圆，求其内接矩形面积的最大值。
椭圆内接三角形面积的最大值
给定椭圆，求其内接三角形面积的最大值。
3
椭圆与直线围成的图形面积
给定椭圆和直线，求它们围成的图形面积。
距离类问题
需要注意定义域的限制。
利用一元二次函数的性质，如顶点、对称轴等，求出最值；

椭圆最值问题三角形面积

我们要找出一个给定椭圆内三角形面积的最大和最小值。

首先，我们需要理解椭圆和三角形的基本性质，然后使用数学模型帮助我们解决这个问题。

假设椭圆的长轴为 a，短轴为 b。

三角形的三个顶点分别为 A(x1, y1), B(x2, y2) 和 C(x3, y3)。

根据题目，我们知道三角形的三个顶点都在椭圆上，所以：1) x1^2/a^2 + y1^2/b^2 = 12) x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 13) x3^2/a^2 + y3^2/b^2 = 1三角形的面积 S 可以用以下公式表示：S = 0.5 × |AB| × |AC| × sin(∠BAC)其中 |AB| 和 |AC| 是AB和AC的长度，∠BAC是角BAC的度数。

我们的目标是找到 S 的最大和最小值。

为了找到三角形面积的最大和最小值，我们需要解决以下优化问题：最大面积：maximize S约束条件：1) x1^2/a^2 + y1^2/b^2 = 12) x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 13) x3^2/a^2 + y3^2/b^2 = 14) x1, y1, x2, y2, x3, y3 >= 05) |x1 - x2| >= |y1 - y2|6) |x1 - x3| >= |y1 - y3|7) |x2 - x3| >= |y2 - y3|最小面积：minimize S约束条件：1) x1^2/a^2 + y1^2/b^2 = 12) x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 13) x3^2/a^2 + y3^2/b^2 = 14) x1, y1, x2, y2, x3, y3 >= 05) |x1 - x2| <= |y1 - y2|6) |x1 - x3| <= |y1 - y3|7) |x2 - x3| <= |y2 - y3|。

椭圆内接等腰三角形面积最大值

椭圆内接等腰三角形面积最大值在数学中，椭圆是一种特殊的曲线，具有许多有趣的性质。

而等腰三角形是指具有两个边相等的三角形。

那么，问题来了，如何在椭圆内找到一个等腰三角形，使其面积达到最大值呢？要解决这个问题，我们首先需要了解椭圆和等腰三角形的性质。

椭圆是由一个固定点F（焦点）和到该点的距离之和为常数的点构成的集合。

等腰三角形则是指具有两个边相等的三角形，通常以底边和两腰边的长度表示。

根据椭圆的性质，我们知道椭圆的离心率小于1。

而等腰三角形的面积可以通过底边的长度和高的长度来计算。

因此，我们可以设想在椭圆内部，以焦点F为底边的等腰三角形，通过调整等腰三角形的高度，来使其面积达到最大值。

为了简化问题，我们可以将椭圆的长轴和短轴长度分别设为2a和2b，焦点F的坐标为（c，0）。

根据椭圆的性质，我们知道椭圆上任意一点P的坐标可以表示为（x，y），满足以下条件：PF + PF' = 2a，其中PF'为焦点F'到点P的距离。

根据上述条件，我们可以得到以下方程：(1) x^2 + y^2 = a^2(2) (x-c)^2 + y^2 = a^2通过解这两个方程，我们可以得到点P的坐标（x，y）。

然后，我们可以计算出等腰三角形的底边长度（即焦点F到点P的距离），并根据等腰三角形的面积公式S=1/2 * 底边 * 高度，计算出等腰三角形的面积。

为了找到等腰三角形的面积最大值，我们可以通过改变椭圆的参数来优化等腰三角形的位置。

例如，改变椭圆的长轴和短轴长度，或者改变焦点F的位置。

通过不断调整这些参数，我们可以找到使等腰三角形面积达到最大值的最佳解。

总结起来，要找到椭圆内接等腰三角形的最大面积，我们需要通过调整椭圆的参数（如长轴和短轴长度、焦点的位置等）来优化等腰三角形的位置。

通过解方程和计算面积，我们可以找到使等腰三角形面积最大的最佳解。

当然，这只是一个简化的解释，实际上解决这个问题可能需要更复杂的数学推导和计算。

高等几何习题集[1]2

高等几何习题集习题1.11．证明：任一三角形都有一个内切椭圆，其切点为三边的中点，中心为三角形的重心；同时有一个外接椭圆以三角形的重心为中心。

2．平行于平行四边形ABCD 对角线AC 作一直线与AB 、BC 交于点E 、F ，证明：三角形AED 和CDF 的面积相等。

3．在椭圆的内接三角形的顶点作切线构成外切三角形，证明：如果这两上三角形有两对边平行，则第三对边也平行。

4．过三角形ABC 内任一点P 作DE//BC ，交AB 、AC 于E 、E ，作FG//CA 交BC 、BA 于F 、G ，作HK//AB 交BC 、CA 于H 、K ，证明：=++ABHK CA FG BC DE 常数。

5．设X 、Y 是三角形ABC 的边AB 、CA 上的动点，满足BX ：XA=CY ：Y A 。

证明：BY 与CX 的交点在一条定直线上。

6．设D 、E 、F 各是三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且DE//AB ，DF//CA ，证明：CD E BFD AEF S S S ∆∆∆⋅=2。

7．将三角形的每边三等分，将每个分点与三角形的对顶点相连，这六条直线构成一个六边形，证明：此六边形的三双对顶点的连线共点。

8．在三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上取点D 、E 、F 使BD ：DC = CE ：EA = AF ：FB = 1 ：n 。

设AD 交BE 于L ，BE 交CF 于K ，CF 交AD 于M ，证明：1122++-=n n n S S ABC LKM )(∆∆ 。

9．设点D 、E 、F 分别位于三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上，且BD ：DC=CE ：EA=AF ：FB ，三线AD 、BE 、CF 构成三角形PQR ，证明：三角形ABC 、DEF 和PQR 具有共同的重心。

10．过椭圆的弦AB 的中点C 任作二弦PQ 和ST ，PS 、QT 分别交AB 于M 、N ，证明：MC=CN 。

圆的内接三角形的面积-定义说明解析

圆的内接三角形的面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容：圆的内接三角形是指一个三角形的三个顶点都位于同一个圆的圆周上，而且三角形的三条边都与圆的圆周相切。

在数学中，这种特殊的三角形具有一些独特的性质和特点。

本文将探讨圆的内接三角形的面积计算方法，并深入研究其特性与规律。

这些知识对于几何学和计算数学具有重要的意义，并在实际生活中的各个领域得到广泛的应用。

在接下来的章节中，我们将首先介绍圆的内接三角形的定义，包括它的构成要素和几何特性。

然后，我们将详细讨论计算内接三角形的面积的方法，包括直接计算和间接计算两种常见的方法。

最后，我们将总结内接三角形的特性，并探讨其在实际问题中的应用和进一步研究的展望。

通过深入研究圆的内接三角形的面积计算方法和特性，我们将更好地理解这一几何形状的本质和规律，并能够应用于实际问题的解决中。

我希望本文能够为读者提供有益的知识和启发，并促进对圆的内接三角形领域的深入探索和研究。

1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述圆的内接三角形的面积问题：1. 引言：介绍圆的内接三角形及其面积的问题背景和重要性。

2. 正文：详细讨论圆的内接三角形的定义、特性和计算面积的方法。

2.1 圆的内接三角形的定义：解释什么是圆的内接三角形，以及如何确定一个内接三角形。

2.2 内接三角形的特性：系统介绍内接三角形的特点，包括边长关系、角度关系等。

2.3 计算内接三角形的面积的方法：提供几种计算内接三角形的面积的方法，如海伦公式、利用三角函数等。

3. 结论：对前文中讨论的内接三角形的特性进行总结，并探讨结论和应用。

3.1 总结内接三角形的特性：回顾内接三角形的特性，强调其中的关键点。

3.2 结论和应用：总结内接三角形的面积问题，并讨论该问题在实际生活中的应用和意义。

3.3 对进一步研究的展望：展望关于内接三角形及其面积的研究方向，指出可能的拓展和深入研究的问题。

通过以上结构，本文将系统地介绍圆的内接三角形的面积问题，并为读者提供全面的信息和计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一概念。

解三角形中的最值、范围问题--高考数学【解析版】

专题25 解三角形中的最值、范围问题近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一）余弦定理变形应用：变式()()2221cos a b c bc A =+-+在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值（二）三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.（三）解三角形中处理不等关系的几种方法 1．三角形中的最值、范围问题的解题策略和步骤（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值（3）①定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．②构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．③求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0＜A ＜π，b －c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等．【典型考题解析】热点一三角形角(函数值)相关的最值(范围)问题【典例1】（2021·山西·祁县中学高三阶段练习（理））在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin a c B =，则tan A 的最大值为（） A ．1 B ．32C ．43D ．54【答案】C【分析】先由正弦定理化简得111tan tan C B+=，结合基本不等式求得tan tan 4B C ≥，再由正切和角公式求解即可.【详解】在ABC 中，sin a c B =，所以sin sin sin A C B =，又()sin sin A B C =+，整理得：sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=，又sin sin 0B C ≠，得到111tan tan C B+=，因为角A 、B 、C 为锐角，故tan A 、tan B 、tan C 均为正数，故112tan tan B C≥整理得tan tan 4B C ≥，当且仅当tan tan 2B C ==时等号成立，此时tan tan tan tan 1tan tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan B C B CA B C B C B C B C+⋅=-+=-=-=---⋅，当tan tan B C 取最小值时，1tan tan B C 取最大值，11tan tan B C-取最小值，故111tan tan B C-⋅的最大值为43，即当tan tan 2B C ==时，tan A 的最大值为43．故选：C ．【典例2】（2021·河南·高三开学考试（文））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin tan sin sin A A B C =，则cos A 的最小值为________. 【答案】23【分析】先根据题目条件和正弦定理得到2cos a A bc=，结合cos A 的余弦定理表达式，得到,,a b c 的关系，利用此关系求cos A 的最小值.【详解】由条件可知，2sin cos sin sin A A B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc +-==，化简可得2223a b c =+.所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=，当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23. 故答案为：23【典例3】（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II ）3132⎤+⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围. 【详解】（I ）[方法一]：余弦定理由2sin 3b A a =，得222233sin 4a a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=．结合余弦定222cos 2b c a A bc +-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=, 即444222222220a b c a c a b b c +++--=, 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=,即()()22222a c b ac +-=,∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->， ∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=．[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin 3b A a =，结合正弦定理可得：32sin sin 3,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-．结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤．由临界状态（不妨取2A π=）可知3a cb+= 而ABC 为锐角三角形，所以3a cb+> 由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭ 故cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦．[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭131cos cos 22A A A =-+311cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则3sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，1313sin 622A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 【总结提升】求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解．热点二三角形边(周长)相关的最值(范围)【典例4】（2018·北京·高考真题（文））若ABC 2223)a c b +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 【答案】 60 (2,)+∞ 【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan 3B =3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题. 【详解】)22231sin 2ABC S a c b ac B ∆=+-=， 22223a c b ac +-∴=cos 3B =sin 3,cos 3B B B π∴∠=，则231sin cos sin sin 311322sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)31tan ,3,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,+∞. 【典例5】（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##3-【解析】【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++，在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++ ()44233211m m ≥=-+⋅+，当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m =. 31.【典例6】（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9 【解析】【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c a a c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例7】（2020·全国·高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 【答案】（1）23π；（2）33+ 【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：3AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为33+[方法二]：正弦化角（通性通法）设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知23sin sin sin a b cA B C===23(sin sin )b c B C +=+23sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦233α=≤当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC 周长的最大值为33+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,223b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin 3b c θθ+==23236πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭6C π=时，max ()23b c +=所以ABC 周长的最大值为323+ 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.【典例8】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值．【答案】(1)π6；(2)425．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出；（2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出． (1) 因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<，而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-==()2222222cos11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥=．当且仅当22cos B =222a b c +的最小值为425．【规律方法】求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解．热点三求三角形面积的最值(范围)【典例9】（2023·山西大同·高三阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2b A a c =+，且2b =，则ABC 面积的最大值为___________. 3133【分析】利用余弦定理进行角化边后，结合基本不等式，三角形面积公式求解.【详解】由余弦定理，2cos 2b A a c =+可化为222222b c a b a c bc +-⋅=+，整理可得2224c a ac b ++==，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==-，又(0,)B π∈，故23B π=，根据基本不等式22423a c ac ac ac ac =++≥+=，23a c ==取得等号，故133sin 243ABC S ac B ac ==≤，即ABC 面积的最大值为33. 故答案为：33. 【典例10】（2022·全国·高三专题练习）已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 【答案】92##4.5【分析】作变换'2'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，A B C '''是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则ABC A B C S bS a'''=，求出A B C S '''，代入即可得出答案. 【详解】作变换'2''3x x y y y =⎧⎪⎨==⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=， A B C '''是圆的内接三角形，设A B C '''的半径为R ，设,,A B C '''所对应边长为,,a b c '''，所以 211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22A B C Sa b C R A R B C R A B C ''''''''''==⋅⋅⋅=⋅⋅'' 32sin sin sin 23A B C R ++⎛⎫≤ ⎝''⎪⎭'，当且仅当3A B C π===时取等，因为sin y x =在()0,π上为凸函数，则sin sin sin sin 33A B C A B C ''''+'+≤'++，3332222sin sin sin 3322sin 2sin 3334A B C A B C A B C SR R R R π'''++++⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=≤==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''，当且仅当3A B C π===时取等，所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此2333343344A B C S R '''==⨯=，又因为ABC A B C S b S a '''=， ∴393322ABC A B C b SS a'''==⨯=. 故答案为：92.【典例11】（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2)33(). 【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABCSac B =⋅，又根据正弦定理和1c =得到ABCS 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABCS C 的值域.【详解】 (1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅22sincos cos sin 3321231333(sin cos )sin 3tan 38tan C CC C C ππππ--= 又因3,tan 62C C ππ<<>331338tan C << 33ABCS <<. 故ABCS的取值范围是33(【典例12】（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，)sin 3cos b C a b C =-.(1)求角B 的大小；(2)若点D 满足=a AD cDC ，且||23BD =ABC 面积的最小值. 【答案】(1)π3B = (2)43【分析】（1）由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；（2）由题意得||||=a DC c AD ，进而利用三角面积可转化1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCD ABD BC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ，从而有sin sin ∠=∠DBC ABD ，再由面积公式与基本不等式求解即可（1）因为()sin 3cos b C a b C =-，所以()sin sin 3sin sin cos B C A B C =-. 因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin sin 3(sin cos cos sin sin cos )3cos sin =+-=B C B C B C B C B C . 因为sin 0C ≠，所以tan 3B =. 又因为0πB <<，所以π3B =.（2）因为=a AD cDC ，所以点D 在线段AC 上，且||||=a DC c AD . 因为1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCDABDBC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ，所以sin sin ∠=∠DBC ABD ，即BD 为ABC ∠的角平分线. 由（1）得π3B =，所以π6ABD CBD ∠=∠=. 由ABC ABD BCD S S S =+△△△，得1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =⋅+⋅，即2()4=+≥ac a c ac ，得16≥ac ，当且仅当a c =时，等号成立，11sin 16sin 432323=≥⨯=△ABC S ac ππ.故ABC 面积的最小值为43. 【规律方法】求三角形面积的最值(范围)的两种思路(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc 的最值从而求出三角形面积的最值．【精选精练】一、单选题1．（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，B 是A 、C 的等差中项，则a c +与2b 的大小关系是（）A ．2a c b +>B ．2a c b +<C ．2a c b +≥D ．2a c b +≤【答案】D【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B ，再由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】解：依题意，在ABC 中B 是A 、C 的等差中项，所以2A+C =B ，又A C B π++=，所以3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-()22222233a c ac a c ac ac a c ac =+-=++-=+-，又22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时取等号，所以2332a c ac +⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以()()()222213324a c a c ac a c a c +⎛⎫+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即()2214b ac ≥+，即()224b a c ≥+，所以2a c b +≤；故选：D2．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，内角A 的角平分线交边BC 于D 点，且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=，则ABC 面积的最小值是（） A ．16 B ．3C ．64 D ．643【答案】B【分析】利用正弦定理及诱导公式可得23A π=，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得. 【详解】∵(2)cos cos 0b c A a C ++=， ∴2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=，即()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A C A B A B ++=+=，又()0,B π∈，sin 0B >，∴2cos 10A +=，即1cos 2A =-，又()0,A π∈，∴23A π=，由题可知ABCABDACDS SS=+，4=AD ，所以1211sin4sin 4sin 232323bc c b πππ=⨯+⨯，即()4bc b c =+，又()48bc b c bc =+≥，即64bc ≥，当且仅当b c =取等号，所以1213sin 641632322ABCSbc π=≥⨯⨯=. 故选：B.3．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（） A ．6 B ．12C ．18D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值．【详解】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：22222111()2434222S BC AC BC n m n n n =⨯-=⨯⨯-=- 222243(43)62n n n n +-=-≤⨯=，当且仅当22n =时等号成立．则ABC 面积的最大值为6．故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒ ，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a c + 的最小值为（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．7【答案】B【分析】根据三角形面积可得到111a c +=，将4a c +变为11(4)()a c a c++，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意得111sin120sin 60sin60222ac a c =+ ，即ac a c =+ ，得111a c+=，得 114(4)()a c a c a c +=++45c a a c =++≥425459c aa c⋅+=+=，当且仅当4c aa c=，即23c a ==时，取等号，故选：B ．二、多选题5．（2020·全国·高三专题练习）如图，ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为),,3cos cos 2sin a b c a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若D 是ABC 外一点，1,3DC AD ==，则下列说法中正确的是（）A ．ABC 的内角3B π= B ．ABC 的内角3C π=C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 面积无最大值【答案】AB【分析】根据正弦定理进行边化角求角B ，从而判断选项A ，B 正确；把四边形ABCD 的面积表示成ADC ∠的三角函数，从而根据三角函数求最值【详解】因为()3cos cos 2sin a C c A b B +=，所以由正弦定理，得()23sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，所以()23sin 2sin A C B +=，又因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=，所以23sin 2sin B B = 因为sin 0,B ≠所以3sin 2B =，又因为3CAB π∠=，所以20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=，所以3C A B ππ=--=，因此A ，B 正确；四边形ABCD 面积等于231sin 42ABC ACDS SAC AD DC ADC +=+⋅⋅∠()22312cos sin 42AD DC AD DC ADC AD DC ADC =⨯+-⋅⋅∠+⋅⋅∠ ()31916cos 3sin 42ADC ADC =⨯+-⋅∠+⨯∠ 533sin 23ADC π⎛⎫=+∠- ⎪⎝⎭，所以当32ADC ππ∠-=即sin 13ADC π⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭时，ABCACDSS+取最大值5332+，所以四边形ABCD 面积的最大值为5332+，因此C ，D 错误故选：AB6．（2022·云南·高三阶段练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，13AA =，点M 满足12A M MA =，点P 在底面ABCD 的边界及其内部运动，且满足4AMP π∠≤，则下列结论正确的是（）A ．点P 所在区域面积为4πB ．线段1PC 17C ．有且仅有一个点P 使得1MP PC ⊥D ．四面体11P A CD -的体积取值范围为[6,8]【答案】AD【分析】A 选项，由1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=求解判断； B 选项，若PC 取最小值时，则线段1PC 长度最小，由A ，P ，C 三点共线求解判断； C 选项，由点P 与点F 重合，由点P 与点E 重合，利用余弦定理求解判断；，D 选项，由点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，当P与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小求解判断. 【详解】如图所示：A 选项，当1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=，故点P 所在区域为以A 为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD 内部部分（包含边界弧长），即圆的14，面积为211144π⨯=π，A 正确；B 选项，当PC 取最小值时，线段1PC 长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：当A ，P ，C 三点共线时，PC 取得最小值，即min ||421PC =-，则221min (421)34282PC =-+=-，B 错误； C 选项，不妨点P 与点F 重合，此时2221134PC FB BC C C =++=，由余弦定理得：1cos MFC ∠=22211123436022234MF C F C M MF C F +-+-==⋅⨯⨯，则12MFC π∠=，同理可得：12MEC π∠=，故多于一个点P 使得1MP PC ⊥，C 错误；D 选项，当点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，最大距离341255AH ⨯==，此时四面体11P A CD -的体积为11111124583325A CD S AH ⋅=⨯⨯⨯⨯=△，当P 与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小，最小距离为FK ，因为BFK BAH ∽△△，所以34FK AH =，所以最小体积为3864⨯=，故四面体11P A CD -的体积取值范围为[]6,8 ，D 正确，故选：AD ．三、填空题7．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin 2B Cb a B +=，2a =△ABC 周长的最大值为________．【答案】32【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得3A π=，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，sin sin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又sin 0B ≠，故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cossin 2AA =. 由二倍角公式有cos2sin cos 222A A A =，因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=，即3A π=.由余弦定理22222cos 3b c bc π=+-，结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，即()2124b c +≤，()28b c +≤，故22b c +≤，当且仅当2b c ==时取等号. 故△ABC 周长的最大值为a b c ++的最大值为22232+=. 故答案为：328．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2224,4c c a b ==+，则ABC 的面积取得最大值时，cos C =______．【答案】33434-【分析】根据余弦定理结合同角三角函数的关系可得sin C ，进而表达出ABCS ，结合基本不等式求解ABCS的最值，进而求得cos C 即可.【详解】由余弦定理，()222222243cos 222a b a b a b c b C ab ab a+-++-===-，又()0,C π∈，故2222349sin 1cos 122b a b C C a a -⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭，故 2222114949sin 2224ABCa b b a b Sab C ab a --===. 又222416a b c +==，故()2222416496425564254420ABCb b b b b b b S----===222564258405b b +-≤=，当且仅当22256425b b =-，即425b =时取等号. 此时2322721642525a =-⨯=，即4175a =. 故ABC 的面积取得最大值时，42333345cos 23441725b C a ⨯=-=-=-⨯. 故答案为：33434-【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方9．（2021·河南·高三开学考试（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan sin sin A A B C =，则sin A 的最大值为________，此时cos B =________．【答案】5366【分析】由已知条件结合正余弦定理可得2223b c a +=，再利用余弦定理结合基本不等式可求出cos A 的最小值，从而可求出sin A 的最大值，则可求出cos2B ，再利用二倍角公式可求出cos B . 【详解】由条件可知，2sin cos sin sin AA B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc+-==，则2223a b c =+．所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=，当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23．因为()0,A π∈，所以25sin 1cos 3A A =-≤，当且仅当b c =时取得等号，故sin A 的最大值为53．此时B C =，所以2cos2cos()cos 3B A A π=-=-=-，所以222cos 13B -=-，因为角B 为锐角，所以6cos 6B =．故答案为：53，66 10．（2022·全国·高三专题练习）ABC 的外接圆半径为1，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若cos cos 3a B b A +=0CA CB ⋅<，则C ∠=________；32a b +的最大值为_________【答案】23π27 【分析】由余弦定理求得c ，由向量数量积可得C 为锐角，再由正弦定理结合外接圆半径可求得C ，用正弦定理把32a b +表示为A 的三角函数，利用两角和与差的正弦公式变形化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质得最大值．【详解】222222cos cos 322a c b c b a a B b A a b c ac cb+-+-+=⋅+⋅==,又22sin c R C ==，所以3sin 2C =， 0CA CB ⋅<，所以C 是钝角，所以23C π=，由2sin sin a bA B==得2sin a A =，2sin b B =， 326sin 4sin 6sin 4sin()3a b A B A A π+=+=+-316sin 4(cos sin )4sin 23cos 22A A A A A =+-=+2327(sin cos )77A A =+，设2cos 7ϕ=，3sin 7ϕ=（ϕ为锐角），则3227sin()a b A ϕ+=+，由23C π=得03A π<<，31sin 27ϕ=>，ϕ为锐角，则62ππϕ<<，所以2A πϕ=-时，32a b +取得最大值27．故答案为：23π；27．四、解答题11．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）在ABC 中，4tan ,3CAB D ∠=为BC 上一点，32=AD(1)若D 为BC 的中点，32BC =ABC 的面积；(2)若45DAB ∠=︒，求ABC 的面积的最小值. 【答案】(1)9 (2)92【分析】（1）根据中线向量公式可得,b c 关系，结合余弦定理可求452bc =，从而可求面积. （2）根据不同三角形的面积关系可得34355b c bc +=，利用基本不等式可求bc 的最小值，从而可求面积的最小值. （1）因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， ()222124AD AB AC AB AC ∴=++⋅. 记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，因为4tan 3A =，故A 为锐角，所以43sin ,cos 55CAB CAB ∠∠==，则221318245c b bc ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭. 又由余弦定理得：2231825c b bc =+-⋅两式联立解得：452bc =，所以11454sin 92225ABCS bc CAB ∠==⨯⨯=. （2）445,tan 3DAB A ∠==，()41113tan tan ,sin 475213CAD CAB DAB CAD ∠∠∠∠-∴=-===+， 1132sin 32sin 22ABCCAD BADSSSb CADc DAB ∠∠=+=⋅+⋅ 1sin 2bc CAB ∠=，即34355b c bc +=，即34345323,5554b c bc b c bc +=≥⋅≥（当且仅当153,22b c ==时取得最小值）所以114549sin 22452ABCSbc CAB ∠=≥⨯⨯=.12．（2022·广东广州·高三开学考试）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2a b b c +=.(1)求证：2C B =； (2)求4cos a bb B+的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)43【分析】（1）由已知及余弦定理可推出2cos b a b C =-,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得()sin sin B C B =-，即可证明结论；（2）利用（1）的结论将4cos a b b B +边化角，结合三角恒等变换可得43=4cos cos cos a b B b B B++，由基本不等式可求得答案. （1）证明：在ABC 中，由已知及余弦定理，得()2222cos a b b c a b ab C +==+-，即2cos b a b C =-,由正弦定理，得sin sin 2sin cos B A B C =-，又()πA B C =-+，故()sin sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos B B C B C B C B C B C =+-=+-cos sin sin cos B C B C =-()sin C B =-.∵()0sin sin B C B <=-，∴0πC B C <-<<, ∵()πB C B C +-=<，∴B C B =-，故2C B =. （2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，∴π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）()12cos a b C =+，2C B =得()2522cos 1452cos 52cos 2cos cos cos cos B a b C B b B B B B+-+++===334cos 24cos 43cos cos B B B B =+≥⋅=，当且仅当ππ0,63B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时等号成立，所以当π6B =时，4cos a bb B+的最小值为43.13．（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，tan tan 33B C ++=(1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围．【答案】(1)π3A = (2)(43,8⎤⎦【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于B 的三角函数，根据B 的取值范围及正弦函数的性质计算可得. （1）解：因为tan tan 33tan tan B C B C++=，所以tan tan 33tan tan B C B C ++=，所以tan tan 3(tan tan 1)B C B C +=-，从而tan tan 31tan tan B CB C +=--，即tan()3B C +=-，所以tan 3A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =．（2）解：因为4a =，π3A =，由正弦定理，有83sin sin sin 3b c a B C A ===所以83sin 3b B =，83832π833143sin sin cos sin 4cos sin 3333223c C B B B B B ⎛⎫⎛⎫==-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π43sin 4cos 8sin 6b c B B B ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，又因为ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即ππ62B <<，所以ππ2π363B <+<，所以3πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，从而b c +的取值范围为(43,8⎤⎦． 14．（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若23a =ABC 面积的最大值.【答案】(1)3π； (2)33.【分析】（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；（2）由余弦定理表示出,a b 关系，再由基本不等式得出ab 的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得．（1）在ABC 中，由题意及正弦定理得()()a c b a c b bc +--+=，整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为0A π<<，所以3A π=；（2）方法一：由（1）知，3A π=，又23a =，所以22122b c bc bc bc bc =+--=，所以12bc ，当且仅当23b c ==时，等号成立，所以()max 113sin 1233222ABC Sbc A ==⨯⨯=；方法二：由（1）知，3A π=，又23a =，所以由正弦定理，知234sin sin sin sin3a b c A B C π====，所以4sin ,4sin b B c C ==，所以13sin 8sin sin 43sin sin 22ABCSbc A B C B C ==⨯=，又因为23B C π+=，所以23143sin sin 43sin sin 43sin cos sin 322B C B B B B B π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31cos223sin222B B ⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭23sin 236B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为23B C π+=，所以270,23666B B ππππ<<-<-<，所以当262B ππ-=，即3B π=时，ABC 的面积取得最大值，最大值为33.15．（2022·上海·模拟预测）在如图所示的五边形中，620AD BC AB ===，，O 为AB 中点，曲线CMD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称；(1)若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小； (2)求五边形MQABP 面积S 的最大值，【答案】(1)33arcsin 14(2)2874【分析】（1）利用余弦定理求出OC ，再利用正弦定理即可得出答案；（2）根据题意可得,QOMPOMAOQBOPS SSS==，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.(1)解：若点P 与点C 重合，连接OC ，10,6,120OB BC BP ABC ===∠=︒，在OBP 中，2222cos 1003660196OC OB BP OB BP OBP =+-⋅∠=++=，所以14OC =，因为sin sin BC OCPOB OBP=∠∠，所以36sin 332sin 1414BC OBPPOB OC ⨯⋅∠∠===，所以33arcsin14POB ∠=；(2)解：连接,,,QA PB OQ OP ，因为曲线CMD 上任一点到O 距离相等，所以14OP OQ OM OC ====，因为P ，Q 关于OM 对称，所以,QOMPOMAOQBOPSSSS==，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形112sin sin 222OQ OA OQ OM παα⎡⎤⎛⎫=⋅⋅-+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦196sin 140cos αα=+()2874sin αϕ=+，其中5tan 7ϕ=，当()sin 1αϕ+=时，MQABP S 五边形取得最大值2874，所以五边形MQABP 面积S 的最大值为2874.16．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）在平面四边形ABCD 中，30CBD ∠=，4BC =，23BD = (1)若ABD △为等边三角形，求ACD △的面积． (2)若60BAD ∠=，求AC 的最大值．【答案】(1)3 (2)232+【分析】（1）利用余弦定理求出CD 的长，结合勾股定理可知90BDC ∠=，进而可求得ADC ∠的大小，利用三角形的面积公式可求得ACD △的面积；（2）设()0120ADB αα∠=<<，利用正弦定理可得出AD ，利用余弦定理可得出2AC 关于α的表达式，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质可求得AC 的最大值. （1）解：在BCD △中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠．即231612242342CD =+-⨯⨯⨯=，所以2CD =，所以222BD CD BC +=，因此90BDC ∠=，因为ABD △为等边三角形，所以60ADB ∠=，23AD BD ==，所以150ADC ∠=．所以111sin 2323222ACD S AD CD ADC =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△.（2）解：设()0120ADB αα∠=<<，则120ABD α∠=-，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BDABD BAD=∠∠，即()23sin60sin 120AD α=-，所以()4sin 120AD α=-．在ACD △中，由余弦定理，得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠， ()()()224sin 120424sin 1202cos 90AC ααα⎡⎤=-+-⨯-⨯⨯+⎣⎦ 231314cos sin 16cos sin sin 483sin2162222αααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 0120α<<，则02240α<<，故当290α=时，即当45α=时，2AC 取到最大值8316+，即AC 的最大值为232+.17．（2023·河北·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4b =，在 ①()(sin sin )(sin sin )b c B C A C a +-=-，②cos2()3cos 1A C B ++= 两个条件中任选一个完成以下问题： (1)求B ；(2)若D 在AC 上，且BD AC ⊥，求BD 的最大值．【答案】(1)π3B = (2)23【分析】（1）选①，利用正弦定理得到222a c b ac +-=，再利用余弦定理求出π3B =；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到1cos 2B =，从而求出π3B =；（2）法一：利用余弦定理得到2216a c ac =+-，利用基本不等式求出16ac ≤，求出面积的最大值，从而求出BD 的最大值；法二：利用正弦定理ABC 外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出BD 的最大值. (1)若选①，由正弦定理得，()()()b c b c a c a +-=- 即222b c a ac -=-，即222a c b ac +-= ∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =，若选②,∵cos 2()3cos cos 2(π)3cos cos 23cos 1A C B B B B B ++=-+=+=， ∴22cos 13cos 1B B -+=，即22cos 3cos 20B B +-=，即cos 2B =-（舍）或1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， (2)∵BD AC ⊥，BD 为AC 边上的高，当面积最大时，高取得最大值法一：由余弦定理得，22222162cos b a c ac B a c ac ==+-=+-，由重要不等式得162ac ac ac ≥-=，当且仅当a c =时取等，所以1sin 432ABC S ac B =≤△ 所以AC 边上的高的最大值为432312b = 法二：由正弦定理得ABC 外接圆的直径为832sin 3b R B ==，利用正弦定理表示面积得：118383sin sin sin sin 2233ABC S ac B A C B ==⋅△ 1838332π1632πsin sin sin sin 2332333A A A A ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

椭圆内接三角形的内切圆问题

椭圆内接三角形的内切圆问题在数学的世界里，椭圆和三角形可谓是两位性格迥异的朋友。

椭圆嘛，优雅而稳重，仿佛是个穿着礼服的绅士，走路时总是轻轻松松的，气质不凡。

而三角形呢，简直就是个活泼的小家伙，棱角分明，走到哪儿都像个小火花，扑通扑通地跳着。

想象一下，如果这两位朋友聚在一起，会发生怎样的故事呢？今天就来聊聊椭圆内接三角形的内切圆问题。

咱们先得理清楚这几个概念。

椭圆，简单来说，就是一种拉长的圆，像个被压扁的气球。

而内接三角形，就是说这个三角形的每个顶点都恰好“粘”在椭圆的边上，像是在跳舞时跟椭圆紧紧相拥，生怕被甩掉。

哎呀，真是一个美妙的画面啊。

然后，内切圆就像是这三角形的小秘密，一个藏在三角形内部的圆，刚好跟三角形的三条边亲密接触，简直就是三角形的心脏。

好吧，回到正题。

我们总是想知道，哎呀，这个小内切圆的半径到底有多大呢？这可是个老大难问题。

想象一下，你在超市里挑水果，心里想着：我买哪个苹果好呢？选择很多，眼花缭乱。

这个内切圆的半径就像是那个最完美的苹果，既要好看又得新鲜，最好还能便宜点，对吧？想搞清楚内切圆的半径，得先理解椭圆的性质。

椭圆有两个焦点，就像是天上两颗星星，永远在那儿眨眼。

三角形的顶点一旦与椭圆的边接触，焦点就发挥了它的作用。

这时候，你就得用一些数学公式来帮助你找到那个最完美的半径了。

想想吧，数公式时的心情就像是找到了宝藏，兴奋又紧张，生怕找错了位置。

这时，三角形的面积和椭圆的周长都要考虑进去，唉，真是麻烦。

但是，别急，数学的魅力在于它的奇妙组合。

你可以把三角形的面积想象成是大自然的礼物，丰收的田野。

而椭圆的周长嘛，就像是一条美丽的河流，蜿蜒曲折，绕过每一个山头。

只要你把这两者巧妙结合，哇！那内切圆的半径就呼之欲出了，简直像是发现了新大陆，令人振奋不已。

说到这里，不免让人想起了生活中的一些小事情。

比如说，咱们常常为了找到合适的东西而纠结不已，心里想着：这个大肚子椭圆和小巧的三角形，究竟能不能搭配得来？而这个内切圆的半径就像是生活中的平衡点，让两个看似不搭的角色和谐共处。

椭圆中一个三角形面积最大值的探求

椭圆中一个三角形面积最大值的探求作者：罗永高来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2009年第10期摘要:求在不同条件下椭圆中三角形面积的最大值是高考的常见题型,本文经过探索,得到了该三角形的三类面积最大值问题及相应的解决方法.关键字:三角形;最大值;设点法已知椭圆上的两个动点与椭圆中心组成一个三角形,探求在不同条件下该三角形面积的最大值,在近几年的高考中频频出现.本文给出该三角形的三类面积最大值问题的求法.问题1已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)上的两个动点,c为半焦距,d为原点O到直线AB的距离,则当d∈a,a时,(S△AOB)max=•;当d∈b,a时,(S△AOB)max=;当d∈0,b时,(S△AOB)max=•.证明设直线AB的方程为y=kx+m,?摇则d=.联立y=kx+m,+=1,所以(b2+a2k2)x2+2ka2mx+a2m2-a2b2=0.所以AB==.(1)记直线AB的倾斜角为θ,则1+k2=,b2+a2k2=.即AB=2ab.(2)可以验证当θ=90°时,(2)式也成立.设f(θ)=,令=t,则t∈,. 所以f(θ)=f(t)=-d2t2+t,其中t∈,.因为f(t)的对称轴为t=,所以当当≤≤,即d∈b,a时,[f(t)]max=f=. 所以ABmax=. 所以(S△AOB)max=;当>,即d∈0,b时,[f(t)]max=f=. 所以ABmax=. 所以(S△AOB)max=.从上述的证明过程可以发现,解决问题的关键是(2)式,它揭示了AB与d的函数关系,令AB=l,?摇a2-c2cos2θ=t,t∈[b2,a2],则d2=-t2+t, (3)由(3)式可知,当AB的长度为定值时,同样可求S△AOB的最大值.思考已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)上的两个动点,c为半焦距,若直线AB的斜率为定值,求△AOB面积的最大值.问题2 已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)上的两个动点,c为半焦距,O为坐标原点,若OA⊥OB,则△AOB面积的最大值为ab.证明设A(ρ1cosα,ρ1sinα),Bρ2cosα+,ρ2sinα+.则ρ==,ρ=,所以S△ABC=ρ1ρ2=.所以当sin2α=0时,(S△AOB)max=ab.从上述证明过程中,容易发现+=+,其几何意义为原点到直线AB的距离为常数.思考已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)上的两个动点,c为半焦距,O为坐标原点,若OA⊥OB,求AB的最大值.问题3 已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)上的两个动点, O为坐标原点,则△AOB面积的最大值为ab.?摇证明因为S△AOB=•sin∠AOB=,所以S△AOB=•=•.设A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),所以S△AOB=absin(α-β).所以当sin(α-β)=±1时,(S△AOB)max=.思考求椭圆+=1(a>b>0)中内接四边形ABCD面积的最大值.本文针对三个问题,采取了三种不同的解法,充分展示了解析法的特点及其魅力. 特别是问题2和问题3,似乎是难以逾越的问题,但通过不同的设点方法,竟轻松一跃而过,令人拍案叫绝,乐而忘返.。

椭圆内接定边长三角形的面积最大值

椭圆内接定边长三角形的面积最大值
舒阳春
【期刊名称】《武汉冶金科技大学学报》
【年(卷),期】1998(021)004
【摘要】利用数学分析结合解析几何的方法，解决了椭圆接定边长三角形的面积最大值的问题，对于不同的定长给出了达到最大面积的计算公式和达到最大面积时三角形的具体坐标位置。

【总页数】4页(P463-466)
【作者】舒阳春
【作者单位】武汉冶金科技大学工商学系
【正文语种】中文
【中图分类】O182.1
【相关文献】
1.椭圆的两类内接三角形面积的最大值 [J], 胡彦然;黄晓庆
2.以问题为导向,实施有效探究——以椭圆内接三角形面积最大值的探究为例 [J],
3.三角形内接矩形的面积最大值问题 [J], 陈济涛
4.椭圆内接多边形面积最大值的实验研究 [J], 吴文广
5.抛物线内接三角形面积的最大值问题的解法探究 [J], 汤列
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微专题椭圆中三角形面积最值问题探究

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四、问题的一般形式
2
例4 已知椭圆E:〒+ y2 = 1,直线= kx +
中学数学研究
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2019年第6期
此时"吐间的距离"芳，直线与椭圆联立
方程得
卩=尽 + "*22 lx2 + 4y2 = 4
+ %血皿 +4m*2 -4 = 0.
由 A = ( - 8Qm) - 36(4m2 -4) > OnO < m _ &匹m
< 3.由韦达定理知衍+ % = ―g ，光1%2 二
4(m2_~ ,AB = ^3 \ xx -x2
AB = a/1 + ni I Ji -y21 ,</ = 1* 1* ,S^Oab = V
71 + m2*
2
⑷.」心严)[联立 7f+ry,消去“,
2
■x + 4y = 4
得到(m2 + 4)y2 + 2mty + i2 - 4 = 0, A = 4m2f2 -
4)(i2 -4) >0 9 4 > f2，由韦达定理知
若 c <0,令 a = - ctan0,b = c2 sec20,由 abc

(完整word版)椭圆内接三角形的最大面积

椭圆内接三角形的最大面积最早接触到这个题目时是在一节数学课上，当时有一道特殊情况的问题：给定一点以及其切线，在椭圆上找到一条与切线平行的弦，使得弦的端点与该定点确定的三角形面积最大。

讲完该题后，胡远东老师于是提出了椭圆内接三角形的最大面积的问题。

循着上题的思路，我得到了关于这道题的解法。

解法如下：首先我们在椭圆上任意找两相异点A 、B ，连接AB在椭圆上找一点C 使得C 处的切线l 斜率等于k AB ，存在两点C ，选择使面积较大的一个C ，这样以AB 为一边的三角形中，三角形ABC 面积最大。

平移AB ，可以找到一个更大的三角形A ’B ’C ，如果我们证明每一个这样的三角形A ’B ’C 面积相等，那么这样的三角形A ’B ’C 的面积都是最大面积。

反过来，若固定一个C 点，作其切线l ，在椭圆上找一平行于l 的弦ABC ，使之面积最大。

那么，这样的三角形ABC 与上述三角形A ’B ’C 一一对应，所以只需证明每一个三角形ABC 面积相等。

证明：设椭圆的方程为 12222=+b y a x (a>b>0)，C 点坐标为（x 0，y 0）。

12222=+b y a x两边对x 求导，0'2222=+y b y a x ，所以y ’=ya xb 22- 所以0202y a x b k k l AB -== 设AB 方程为y=m x y a x b +-0202则 y=m x y a x b +-0202 （1） 12222=+by a x（2） 1220220=+by a x （3）（1）（2）联立得0)(222200222022042022=-+-+b m a x y m x b x y a x b y b a 又因为2002202*21**121)(AB AB ABC k y m y a x b a k m S +-+-∆+=∆而)(2)]([4)(44))((44))((44)(442222200220222220420224222042022202202222042022204202222042222022042022202204b m a m x y b y b m a m x b y b m b a m x b y b m x b y a b m x b y b m x b y b a m x b b m a y a x b y b a y m x b --=--=--=-+-=-+-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∆204202422022042022*y b y a b a y a x b y b a a ==+=所以2202222200*20*002202)(22)(b b m y b m a m x y a b m y a y m y a x b m S ---=-∆=-+-∆= 30002220222022222202)()1(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=----=m b y b m b y b b a b b b m y m b y b a b b m y b m a m b y a 令300)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=m b y b m b y b m h ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m b y b m b y b b y m b y b m b y b m b y b b y m b y b b y m b y b m b y b b y m h 020000200002030022333)(' 令h ‘（m ）=0，则02y b m =（重根舍）或022y b m -=（此时可验证h ‘‘（022y b -）＜0） ∴当022y b m -=有h （m ）=h （m ）max 此时S （m ）=S （m ）max =ab b b b a 4332323=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 即每一个三角形ABC 面积相等。

利用几何知识求最值的几种方法

利用几何知识求最值的几种方法最值问题在中学数学教材中占有相当重要的地位，而与“不等式”“函数值域”都有着密切联系。

中学中我们学习了不少关于求最值的方法。

本文利用我们学过的知识把复数,几何等知识融合在一起给出了求最值的几种巧妙方法，诣在归纳总结，给以后学习最值问题提供参考。

1.用比较半径法求最值。

此方法主要是从代换的角度出发，巧妙应用圆的半径来探索求最值。

这类题目的特点是所求函数和限制条件一般由一个是二次曲线形式的。

利用坐标变换把二次曲线变成圆，再把目标函数变为直线，因在同一个坐标系内直线过圆，所以圆上的点到直线的距离小于等于半径。

根据公式.求得最值。

例1.已知求函数的最值。

分析:此题限制条件是一个二次曲线—椭圆。

目标函数为一直线，若令：则恰能得到一个圆的方程，而目标函数12X-5Y是一过圆心的直线,这些恰好符合我们给出的条件,所以我们不妨用此方法去解.解：令圆: 。

如图：显然圆上任一点P(X,Y)到直线：12X-5Y=0的距离即例2.已知x+3y-10=0,求函数的最小值。

解：设则直线方程：如图：圆：从而本题变为求圆半径的最小值。

当直线与圆相切时圆的半径取得最小值。

即：故.1.切线法求最值。

①利用“直线关系法”求最值。

这类题目的特点是点在平面上的二次曲线域（包括边界）上运动，求目标函数的最值。

此解法关键是把约束条件恒等变形，化成二次曲线上或形内的适合条件，再令（为非零实数），转化成求的最值，则可求出的最值。

这种思路主要应用了斜率不变的直线系来解决问题。

例1. 若点的坐标适合求。

分析:由题我们可以看出所适合的条件是在这个圆形区域内,所求函数恰好为一直线,故我们可以用此方法去解.解：变形为，适合条件的点为圆周上和圆内的点。

设目标函数，这是斜率为的平行直线系，如图：此题转化为求斜率为的直线与圆相切的方程。

又因为我们有代入则得即：，解之得所以的最大值是5，最小值是。

②斜率法求最值。

这类题的特点是所求目标函数一般为分式,如根据的关系我们把它写成是二次曲线上点,从而这个式子可以看做是点(a,b)到曲线上任一点的斜率的最值,在根据二次曲线的切线求得最值.此法能形象地说明该式最值的几何意义。

圆锥曲线内接三角形的面积公式及其应用

46中学数学研究2021年第1期(上)圆锥曲线内接三角形的面积公式及其应用广西防城港市东兴市东兴中学(538100)吴中伟摘要求三角形面积的方法有很多，但对于无法确定形状的三角形，其面积没有统一的求法•经过推导，发现在参数方程条件下圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线与抛物线)的内接三角形的面积都有统一的表达式,并且这些表达式结构非常相似.关键词圆锥曲线；内接三角形;面积表达式求三角形面积的方法有很多，但对于无法确定形状的三角形，其面积没有统一的求法•笔者发现在参数方程条件下圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线与抛物线)的内接三角形的面积都有统一的表达式，并且这些表达式结构非常相似.引理在4ABC中，已知一B—(x i,y i),一1—(血,y2),则4ABC的面积S a abc—2|x i y2—血y i|.(x a cos a(a为y—b sin a参数)的三点，它们对应的参数分别为a i,a2,a3,则S a abc——|sin(a2— a i)+sin(a i—a3)+sin(a3— a2)|.证明易知A(a cos a i,b sin a i),B(a cos a2,b sin a2), C(a cos a3,b sin a3),贝V a B—(a(cos a2—cos a i),b(sin a2—sin a i)),一1—(a(cos a3— cos a i),b(sin a3—sin a i)),由引理得，S a abc=2ab(cos a2— cos a i)(sin a3—sin a i)—ab(cos a3— cos a i)(sin a2—sin a i)ab=—cos a2sin a3— cos a2sin a i— cos a i sin a3+cos a i sin a i—(cos a3sin a2— cos a3sin a i S a abc-fx—a sec a，厶定理3已知A,B,C是双曲线|(a为参y—b tan a数)的三点，它们对应的参数分别为a i,a2,a3,则sin(a2—a i)+sin(a i—a3)+sin(a3—a2)cos a i cos a2cos a3x b tan a 同理可证,焦点在y轴的双曲线=(a为参y—a sec a数)的内接三角形的面积表达式与焦点在x轴的双曲线的完全一样.接下来推导在参数方程条件下，抛物线的内接三角形的面积的统一表达式.x—2p t2定理4已知A,B,C是抛物线｛(t为参y=2pt数p>0)上的三点，它们对应的参数分别为t i,t2,t3,则S a abc—2p2|(t i—t2)血—t3)(t3—t i)|.特别的，若点C 为坐标原点，则S a abc—2p2|(t i—t2)t i t21证明易知A(2pt f,2pt i),B(2pt2,2pt2),C(2pt|,2pt3),则S a abc=2a B—a1=2p2|(t2—ti)(t3—t1)—(t3一ti)(t2一t1)=2p2(t i一 t2)(t2一t3)(t3一t i).显然，若C为原点，则S a abc—2p2|(t i— t2)t i t2〔.同理可证,其他情形的抛物线的内接三角形的面积表达式与定理4相同.基于以上的结论,本文从—cos a i sin+cos a i sin a i)豊|sin(a2-a i)+sin(a i— a3)+sin(a3-a2)同理可证,焦点在y轴的椭圆的内接三角形的面积表达式与焦点在x轴的椭圆的完全一样.利用类似的方法也易证得以下定理.亠.—x—a+r cos a「厶“定理2对于圆(a为参数)，A,B,Cy—b+r sin a是其三点，对应的参数分别为a i,a2,a3,则S a abc r2—|sin(a2— a i)+sin(a i— a3)+sin(a3— a2)|.实例的角度，阐述这些公式在解决圆锥曲线的内接三角形面积问题的作用.例1已知椭圆C1:x+务=1(a>b>0)的左、右焦点为F i、F2,|F i F2—l/l,若圆Q方程(x—/l)l+(y—1尸=1,且圆心Q满足|QF i+|QF2=2a.(I)求椭圆C i的方程；(II)过点P(0,1)的直线l i:y—kx+1交椭圆C1于A、B两点，过P与l i垂直的直线h交圆Q于C、D两点, M为线段CD中点，若4MAB的面积为第1,求k的值.5解(I)略；(II)由(I)可知椭圆的参数方程为2021年第1期(上)中学数学研究47x—2cos ay=sin a(a为参数),与y—kx+1联立得V2sin a—2k cos a+1t i+t2—号,t i t2———.因为点M对应的参数为t—1,所以由定理3,得①S a ABM=8|(t i—t2)(t2—1)(1—t i)|代入sin2a+cos2a—1,整理得(2+4k2)cos2a+4k cos a—1=0.设A(2cos a.sin a i),B(2cos a2,sin a2)贝J-2k cos a i十cos a2=1+2k2联立①1①2得,■,■/2 sin a1十sin a2=1+2k2由①2①3得,|sin(a i-a2)|=|sin a2—sin a i|cos a i—cos a2—1 cos a i cos a2=2+4k2..1-4k2 sin a i sin a2=2+4k2V1+4k21+2k2，_2k/1+4k2=1+2k2，/2•/1+4k21+2k2因为Q(血,1)对应的参数为4,所以由定理1得①2①3S a qab=血 |sin(a i-a2)+sin(a2-寸)+sin(寸-a i)| =/2Lin(a i—a2)+(sin a2—sin a i)(cos a i—cos a2)=8J(t i+t2)2—4t i t2|—t i t2—1+t i+t2=\/(m2+4)(2m-3)2°令f(x)—(m2+4)(2m—3)2,贝」f z(m)—2(2m-3)(4m2-3m+8),33所以f z(m)—0的解为m=2,m e(—x>,2)时,f z(x)<0,322f(x)单调递减;m e$,+x>)时,f z(x)>0,f(x)单调递增;又因为m22,所以f(m)——f⑵—8,故三角形ABM面积的最小值为2/2.x2例3已知点F i是双曲线C:忑-y2—1的左焦点,点M为其右顶点，过点F i的斜率为1的直线交双曲线的左支于A,B两点，求AABM的面积.解由已知可知点F i(-/5,0),M(2,0),直线I ab:x—fx2sec a(a为参数),y—tan a得2sec a—tan a—a/5,即sin a—a/5cos a—2依题意得，sin(a i—a2)与cos a i—cos a2异号，所以①1S a qab—|sin a2-sin a i2W1+4k21+2k2因为M在线代入sin2a+cos2a—1,整理得6cos2a+cos a+3=0.段CD中点，所以MQ丄l2,又因为l i丄l2,所以MQ//l i,所以S a mab—S a qab,从而覚十誓—半，解得k—±/2.此时I2:y—士冷2x+1,圆心Q到^2的距离h=±畔x/2-1+1/<-,成立.例2在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:x2—设A(2sec a i,tan a i),B(2sec a2,tan02),贝」2/5一"3cos a i+cos a2联立①1①2得,sin a i+sin a2cos a i cos a212①24y,点P是C的准线I上的动点且其横坐标m22,过点P 作C的两条切线，切点分别为A,B.若点M的坐标为(4,4),求三角形ABM面积的最小值.{x—4t(t为参y=4t2数)，准线l:y——1,y z—1x.设A(4t i,4t f),B(4t2,4t2),点P(m,—1),则切线PA的方程为：y+1=2t i(x-m),把点A(4t i,4t f)代入上式，得4t f+1=2t i(4t i-m),即4t i-2mt i-1=0.同理可得,4t2-2mt2-1=0,故t i,t2是方程4t2-2mt-1—0的两个解.由根与系数关系得,23，2血I••=3,|s i n a2—sin a i1sin a i sin a2—------6①3^10因为由已知得M对应的参数为0,且sin(a i-a2)与由①①得，|sin(a i-a2)|sin a2—sin a i同号，所以由定理2,|sin(a i—a2)+sin a2+sin(—a i) S a abm—1----------------------------------------------|cos a i cos a22/2/10-丁；丁-竿(2+/5)2参考文献[1]吴中伟•一个三角形面积公式在解析几何中的应用[J].中学数学研究(华南师范大学版),2020(3):40-42.。

解答题：利用“仿射变换”化椭为圆

浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用一、仿射变换思想方法椭圆)0,0(1:2222>>=+b a b y a x C 中，令a x x ='，by y =',，则椭圆方程变为单位圆 1'22=+y x C ：，该变换过程称为仿射变换。

相当于在xoy 与'''y o x 两个坐标系来研究问题，但圆中几何意义明显，便于计算。

但最后要还原到椭圆中去解决问题。

变化前后点的坐标对应变化：),()','(),(bya x y x y x =→ )','(),()','(by ax y x y x =→二、性质1、点线关系不变（1）同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线（2）结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上（3）原三点共线，后三点也共线；原直线平行，后直线也平行 2、原弦长||AB ,斜率k ，后弦长|''|B A ，22211||k k m AB ++=|''|B A （其中ba m =） 3. 直线与圆锥曲线的位置关系不变（相切、相交）已知直线0:=++C Bx Ax l ，椭圆1:2222=+b y a x C ，讨论直线与椭圆的位置关系。

由a x x ='，byy =',仿射变换后，直线0:=++C Bx Ax l 变为0:'=++C Bbx Aax l 。

（此结论可以作为公式背下，提高平时做题的速度）椭圆变为1'22=+y x C ：，由直线与圆的位置关系易得答案。

例1 已知直线03=-+y x ，椭圆1422=+y x ，则直线与椭圆的位置关系是（） A.相交 B.相切 C. 相离 D. 相切或相交解：由2'x x =，y y ='仿射变换后，直线03=-+y x ，椭圆1422=+y x 分别变为直线03''2=-+y x 、椭圆1''22=+y x ，而直线03''2=-+y x 到圆1''22=+y x 的距离15312|3|22>=+-=d ，所以直线和圆相离，由于仿射变换直线与圆锥曲线的位置关系不变，所以原直线和椭圆相离。

数学解题中的变换——反演方法

特别地，ｃ＝（：１２ … ，），为著名的均值当ｉ，，ｒ时即ｇ
不等式二 ≥
、
要广泛得多，能是算子，可能是各种替换等．可也下面我们通过例子来更好地理解这一方法．
例１求定椭圆内接三角形的最大面积．解设椭圆长轴为２，轴为２．长轴方向进行长ｏ短６对
Ｉ ∑ ｃ ≥∑ （ｌｉｎ（）ｃｎ）ｘ．
其中，表示原问题关系结构或原像关系结构，表示Ｍ Ⅳ
其中，与ｃ都大于且 ∑ Ｃ１。零，ｉ．＝
映像关系结构，表示到 Ⅳ 的变换或映射，
表示的映像，即
０
■＿＿（。都大于零）．
本例所确定的未知目标是大小关系，序．现了未知即体目标的抽象性，不限于我们通常了解的数量．并例３已知ａ＋ａａｌ其中ａ＝ａ：１求数列的＝＋，ｏ．
表示的
逆变换或的反演，表示原像关系结构中的未知目标，＝（．比上述变换必须有所要）对
而 ∑ （ｌ）ｃ＝∑ （）ｌｎ ‘ ｎＩ；＝（：，ｎ‘ ｎ）
所以 ∑ Ｃｉｉ≥Ⅱ ；．Ｘ ‘ 得证
Ｉｌｌｌ：
求，即在ｐ下的映像 Ⅳ能通过较简便的数学手段确定出映像目标，且的反演切实可行，＝妒（）易求即容

椭圆内接三角形最大面积的一种探求

椭圆内接三角形最大面积的一种探求
作者：姚海
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第02期
所以△ABC 的面积最大值为12ab•∣u∣
这里u是关于三个变量α、β、γ的函数,求其最值不易.
再次探究:这三个变量α、β、γ之间有何关系?
回到原题,要求三角形△ABC面积的最大值,设想A、B两点确定,C点在何处?
将直线AB进行平移,移至与椭圆相切处,切点应该就是C点(离线段AB较远的切点)，此时C点距离AB最远, △ABC的面积最大，
也就是说过C点的切线应该与AB 平行.
设β-γ=x,γ-α=y, ∴x+y=β-α，
则 x,y∈(-且x,y≠0.
∵---α)，
∴-
由③,④得
⑤
⑥
由⑤式得:
或者y=-其中k∈Z.
(ⅰ)若∈Z，
将代入⑥式，
得
因为x∈(-且x≠0,
得，即
，；
，，
其中k∈Z.
代入-，
得u=332或u=-332.
(ⅱ) 若y=-∈Z，代入(6)式,
得
∴∈Z,不符合y∈(-且y≠0的要求.
综合(ⅰ)(ⅱ),得∣u∣=332，
△∣u∣=334ab.
【解题回顾】
注意到△∣---α)∣若a=b呢?则椭圆变成圆,半径为a.
此时三角形面积是△∣---α)∣，
而圆内接三角形最大面积为 2 ，
即∣---α)∣的最大值为332.
所以椭圆内接三角形最大面积为334ab.
参考文献
陈元照---α)最值的一种求法.中学数学教学，2006（1）.
(责任编辑金铃）。

几何与三角

第三部分几何与三角本部分内容包括：考试要求、样题、重要问题、内容综述、典型例题．【考试要求】三角形、四边形、圆形以及（正）多边形等平面几何图形的角度、周长、面积等计算和运用；长方体、正方体以及圆柱体等各种规范立体图形的表面积和体积的计算和运用；三角学；以及（平面）解析几何方面的知识．一、平面几何图形【内容综述】 1. 三角形三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；三角的内角之和等于180，三角形的外角与其不相邻的两个内角之和相等；三角形三边上的中线相交于一点，此点称为三角形的重心，重心将中线分成两部分，两部分的长度之比为1:2（如图）；常用的三角形面积公式为12s ah =，1sin 2s ab C =，s =其中,,a b c 是,,A B C ∠∠∠所对的边，h 是a 边上的高，2p a b c =++是三角形周长．直角三角形的三条边长满足勾股定理，即222ca b =+，两锐角之和等于90；等腰三角形两底角相等，底边上的高与中线重合；等边三角形也叫正三角形，内角都是60，每边上的高与中线重合，长度是边长的2倍．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．2. 四边形（1）矩形（正方形）：矩形的面积为s ab =，对角线相等、平分（如图）；正方形的对角线相等、垂直平分．（2）平行四边形（菱形）：平行四边形的面积为s ah =，h 是a 边上的高；平行四边形的对角相等，对角线平分，对角线与边长的关系是22222()AC BD AB AD +=+（如图）；菱形是边长相等的平行四边形，菱形的对角线垂直平分（如图）．（3）梯形：一组对边平行且不相等的四边形称为梯形，平行边称为梯形的底，其他两边称为梯形的腰，两腰中点的连线称为梯形的中位线，其长度是两底的平均值，梯形的面积为1()2s a b h =+，h 是两平行边间的距离，即梯形的高（如图）． 3. 圆和扇形（1）圆：半径为R 的圆周长为2πlR =，面积为2πS R =；圆周上不同两点间的连线称为弦，任何一条弦的垂直平分线均过圆心，过圆内一点的弦中，直径最长，垂直于直径的弦最短；圆周上不同两点分别与圆心做连线，两条半径间的夹角称为圆心角，圆心角的大小等于其所对的弧长与半径之比；圆周上不同两点分别向圆周上另外一点做连线，两条弦间的夹角称为圆周角，同一段弧对应的圆周角是其对应的圆心角的一半；如图，圆外一点D 向圆做两条切线，切点分别是,E F ，则DE OE ⊥，DE DF =，θ，212DE DD DD =⋅．（2）扇形：设扇形的弧长为l ，半径为R ，圆心角为θ，面积为s ，则l R θ=，21122s R Rl θ==．γβα（3）椭圆的面积：设,a b 是椭圆的两个半轴长，则其面积公式为πs ab =．注：同位角、内错角 [典型例题] （一）长度问题▲例1．（2004）在圆心为O ，半径为15的圆内有一点P ，若12OP =，则在过P 点的弦中，长度为整数的有（）． A ．25条B ．24条C ．13条答：B ．分析：如图，过P 且与直径垂直的弦的长度是18=，这也是过P 点的弦中长度最短的．由于直径是过P 点的弦中最长的一条，且从18到30共有13整数，根据对称性可知过P 点的弦中长度为整数的有221124+⨯=条．故正确选项为B ．▲例2．（2004）ABC ∆中，5AB =，3AC =，A x ∠=，该三角形BC 边上的中线长是x 的函数()y f x =，则当x 在(0,π)中变化时，函数()f x 取值的范围是（）． A ．(0,5)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(2,5)答：B ．分析：如图，延长CA 到1A ，使得13AA AC ==，连结1A B ，则122()A B AD f x ==．在1AA B ∆中，111AB AA A B AB AA -<<+，即22()8f x <<．故函数()f x 取值的范围是(1,4)．▲例3．若某人匀速地路过一盏路灯，则其头顶影子的移动速度（）．A ．先逐渐变慢，后逐渐变快B ．先逐渐变快，后逐渐变慢C ．是一常数D ．无法确定答：C ．分析：如图，l 是路灯的高度、h 是行人的身高．设行人的速度为v ，行人从O 点走到A 点需要的时间是t ，则OA vt =．根据相似三角形对应边成比例得AB OB vt hOB OB l-==，所以lOB vt l h=-，即行人的影子点B 的速度是常数．故正确选项为C ． ▲例4．（2005）在ABC ∆中，10AB =，8AC=，6BC =．过C 点以C 到AB 的距离为直径作一圆，该圆与AB 有公共点，且交AC 于M ，交BC 于N ，则MN 等于（）．A ．334B ．445C ．172D ．1133答：B ．分析：如图，根据条件可知ACB ∆是直角三角形，由于圆周角MCN 是直角，从而MN 是圆的直径，所以8644105AC BC MN CP AB ⋅⨯====．▲例5．（2008）在平面直角坐标系中，己知两点(cos110,sin110),(cos50,sin 50)A B ︒︒︒︒，则由坐标原点O 到线段AB 中点M 的距离是（）． A ．12B．2C．2D ．1分析：由于点(cos110,sin110),(cos50,sin50)A B 位lhOAB于圆心在原点O ，半径为1的圆上，且圆心角60AOB ∠=．所以O 到AB 中点M 的距离正好是边长为1的正三角形的高h ，即3sin 602h ==．故正确选项为C ．▲例6. （2011）如图，面积为9平方厘米的正方形EFGH 在面积为25平方厘米的正方形ABCD 所在平面上移动，始终保持//EF AB ，记线段CF 的中点为M ，DH 的中点为N ，则线段MN的长度是（）厘米.A. 2B. 2C. 734D.254答：B ．分析：本题主要考查了特殊值代入法及两点间的距离公式．考虑如图所示的特殊位置，并建立如图所示的坐标系．由题知，正方形EFGH 的边长为3，正方形ABCD 的边长为5．所以点M 的坐标为5(,4)2，点N 的坐标为(4,0)．所以||2MN ==．（二）角度问题例1．（样题）如图，弦,a b 对应的圆周角为,αβ，当弦长a b >时，则α与β的大小关系是（）． A ．αβ> B ．αβ<C ．αβ=D ．无法确定abαβ(4,0)F y答：A ．分析：因为a b >，所以弦a 对的圆心角大于弦b 对的圆心角，而不超过90。