椭圆内接三角形的最大面积
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椭圆内接三角形的最大面积
最早接触到这个题目时是在一节数学课上，有一道特殊情况的问题：给定一点以及其切线，在椭圆上找到一条与切线平行的弦，使得弦的端点与该定点确定的三角形面积最大。讲完该题后，数学老师提出了椭圆内接三角形的最大面积的问题。循着上题的思路，我得到了关于这道题的解法。解法如下：
首先我们在椭圆上任意找两相异点A 、B ，连接AB
在椭圆上找一点C 使得C 处的切线l 斜率等于k AB ，存在两点C ，
选择使面积较大的一个C ，这样以AB 为一边的三角形中，三角形ABC
面积最大。
平移AB ，可以找到一个更大的三角形A ’B ’C ，如果我们证明每一
个这样的三角形A ’B ’C 面积相等，那么这样的三角形A ’B ’C 的面积都是
最大面积。
反过来，若固定一个C 点，作其切线l ，在椭圆上找一平行于l 的
弦ABC ，使之面积最大。那么，这样的三角形ABC 与上述三角形A ’B ’C 一一对应，所以只需证明每一个三角形ABC 面积相等。
证明：设椭圆的方程为 12222=+b y a x (a>b>0)，C 点坐标为（x 0，y 0）。 12222=+b y a x 两边对x 求导，0'2222=+y b y a x ，所以y ’=y
a x
b 22- 所以0
202y a x b k k l AB -== 设AB 方程为y=m x y a x b +-02
02则 y=m x y a x b +-0
202 （1） 12222=+b
y a x （2） 1220220
=+b
y a x （3） （1）（2）联立得0)(22220
0222022042022=-+-+b m a x y m x b x y a x b y b a 又因为2002202*21**12
1)(AB AB ABC k y m y a x b a k m S +-+-∆+=∆ 而
)(2)]
([4)(44))((44))((44)(442222200
2
20
222220420224222042022202202222042022204202222042222022042022202204b m a m x y b y b m a m x b y b m b a m x b y b m x b y a b m x b y b m x b y b a m x b b m a y a x b y b a y m x b --=--=--=
-+-=
-+-=
-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=∆ 20
4202422022042022*y b y a b a y a x b y b a a ==+= 所以
2
202222200*20*00
2202)(22)(b b m y b m a m x y a b m y a y m y a x b m S ---=-∆=-+-∆=
30002220222022222202
)()1(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=----=m b y b m b y b b a b b b m y m b y b a b b m y b m a m b y a 令300)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=m b y b m b y b m h ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m b y b m b y b b y m b y b m b y b m b y b b y m b y b b y m b y b m b y b b y m h 020000200002030022333)(' 令h ‘（m ）=0，则02y b m =（重根舍）或02
2y b m -=（此时可验证h ‘‘（022y b -）＜0） ∴当0
22y b m -=有h （m ）=h （m ）max
此时S （m ）=S （m ）max =ab b b b a 4332323
=⎪⎭⎫ ⎝⎛
即每一个三角形ABC 面积相等。
下面进一步探究这个结果S （m ）max =ab 433
ab 是半长轴半短轴之积，而4
33正是边长为3的三角形的面积 而此正三角形正是单位圆中的最大三角形面积——正三角形。
此时ab ab S S ==∆43
3433max
于是想到一个更快捷但是不完善的证明：
∵12222=+b
y a x (a>b>0) 令x ‘=ax ④，
y ’=by ⑤
则x ‘²+y ‘²=1 而在此三角形中最大面积为43
3。
④⑤式可看作为一种“放缩变换”，那么椭圆最大内接三角形与此正三角形 的面积比为“放缩率”为1
*1ab ，即1*1*4
33max b a S = ∴S max =
433ab