椭圆焦点三角形内角平分线的有趣性质
专题椭圆的焦点三角形
专题椭圆的焦点三角形椭圆是一个引人注目、充满神秘感的几何图形，它具有许多令人惊叹的性质。
其中一个特殊的性质是焦点三角形。
本文将探讨专题椭圆的焦点三角形的特点和性质。
一、焦点三角形的定义在椭圆上取一点P，并绘制两条经过焦点的直线，分别交椭圆于两点A和B。
连接点P与A、B，即构成焦点三角形PAB。
二、椭圆焦点三角形的性质1. 焦点三角形是等腰三角形由于A和B分别是椭圆上的焦点，根据椭圆的对称性可知，AP和BP的长度相等，因此焦点三角形PAB是一个等腰三角形。
2. 焦点三角形的顶角等于椭圆的离心率角设椭圆的离心率为e，椭圆焦点距离为c，焦点三角形的两边长度为a和b。
根据梅涅劳斯定理可得到焦点三角形的顶角P的余弦值为：cosP = c / e从中可以看出，焦点三角形的顶角大小与椭圆的离心率成正比。
3. 焦点三角形的周长与椭圆周长的比值为e焦点三角形的周长可以表示为：周长PAB = a + b + c而椭圆的周长为：周长椭圆 = 4 * a * E(e)其中，E(e)为椭圆的椭圆积分。
归一化后，椭圆积分可以表示为E(e) = ∫[0, π/2] √[1 - e^2 sin^2Θ] dΘ。
将焦点三角形的周长除以椭圆的周长，可得到焦点三角形周长与椭圆周长比值的公式：焦点三角形周长 / 椭圆周长 = (a + b + c) / (4 * a * E(e))由此可见，焦点三角形的周长与椭圆周长的比值等于椭圆的离心率。
三、示例分析以一椭圆为例，离心率为0.6，焦点距离为5。
可根据数学计算求出椭圆参数及相关数据。
假设焦点三角形的两边长度分别为2和3，则焦点三角形的顶角P的余弦值为：cosP = 5 / 0.6 = 8.33根据arccos函数的反函数关系，可以得出焦点三角形的顶角P的角度为约31.79°。
进一步计算焦点三角形的周长与椭圆周长的比值为：焦点三角形周长 / 椭圆周长= (2 + 3 + 5) / (4 * 12.953) ≈ 0.288因此，对于该椭圆来说，焦点三角形的周长是椭圆周长的0.288倍。
三角形内角平分线性质定理在解题中的应用
三角形内角平分线性质定理在解题中的应用在近年的高考题中，以三角形内角平分线为条件的题目常有出现，主要以椭圆（或双曲线）的焦点三角形为背景.（通常我们将以椭圆（或双曲线）上一点P以及两焦点F1，F2为顶点的三角形F1PF2称为椭圆（或双曲线）的焦点三角形）.华南师范大学蔡润芳老师在文[1]中探究了圆锥曲线焦点三角形顶角平分线的性质，得到了两个漂亮结果.本文对其中一个结论将以三角形内角平分线性质定理来证明，使得证明中的计算得到简化，通过例题介绍角平分线性质定理在解题中的应用.1 背景介绍推论2设双曲线的焦点三角形的顶角P的平分线与双曲线在点P的切线重合.文[1]是利用角平分线性质（角平分线上点到角的两边距离相等）证明定理2的（类似可以证明定理1），下面介绍用内角平分线性质定理证明定理1（定理2的证明是类似的）.注本题主要考查椭圆方程和椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，总体难度不大.第2问可以直接通过直线PQ方程和椭圆方程联立求解，而通过定理1则从几何方面揭示了该题的背景.注本题考查椭圆方程、直线方程、三角形内角的角平分线、直线与椭圆的位置关系、两点连线的斜率公式等基础知识和基础方法，意在考查数形结合、函数与方程，化归与转化等数学思想方法和考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力及综合运用知识分析问题和解决问题的能力.本题常规解法涉及的计算量很大，而从三角形内角平分线性质定理求解可以看出计算量大为降低，能节省学生宝贵的考试时间.通过上述高考题我们可以清楚看到，利用三角形内角平分线性质解决以角平分线为条件的问题非常简洁明了，计算简单.所以个人认为三角形内角平分线性质在解题中的应用值得在高中阶段向学生介绍.参考文献[1]蔡润芳.圆锥曲线焦点三角形顶角平分线的性质探究.数学通讯，数学通讯，2012（4）：20-21。
焦点三角形的美妙性质
焦点三角形的美妙性质四川省万源市第三中学紫静邮编：636350 一、定义：椭圆或双曲线上任意一点和两个焦点的连线所形成的三角形，叫做焦点三角形。
二、性质：焦点三角形有以下一系列美妙性质：1．椭圆x2a2+y2b2= 1 的焦点三角形的面积S = b2tan θ2，双曲线x2a2-y2b2= 1 的焦点三角形的面积S = b2cot θ2，其中，θ = ∠F1PF2，P是椭圆或双曲线上任意一点，F1、F2是对应曲线的焦点。
以下同证明：由椭圆定义可知：|PF1| + |PF2|= 2a，|F1F2 |= 2c，a2 = b2＋c2，由余弦定理有：4c2 =(2c)2 = |F1F2|2 = |PF1|2 + |PF2|2– 2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1| + |PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ∴2|PF1||PF2|(1 + cosθ) = 4a2－ 4c2 = 4(a2-c2) = 4b2∴ |PF1||PF2| = 2b21+cosθ，∴焦点三角形的面积S = 12|PF1||PF2|sinθ = b2sinθ1+cosθ= b2tanθ2(∵sinθ1+cosθ= tanθ2)对双曲线，则有：|PF1|－|PF2| =±2a，|F1F2 |= 2c，a2＋b2= c2，由余弦定理有：4c2 =(2c)2 = |F1F2|2 = |PF1|2 + |PF2|2– 2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ= (±2a)2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ) = 4a2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)∴2|PF1||PF2|(1－cosθ) = 4c2－4a2= 4(c2－a2) = 4b2∴ |PF1||PF2| = 2b21－cosθ，∴焦点三角形的面积S = 12|PF1||PF2|sinθ = b2sinθ1－cosθ= b2cotθ2(∵sinθ1+cosθ= cotθ2)2．对椭圆x2a2+y2b2= 1 ，设l是其焦点三角形的过点P的外角平分线．．．．．，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆；对双曲线x2a2-y2b2= 1 ，设l是其焦点三角形的过点P的内角平分线．．．．．，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆。
对椭圆焦点三角形顶角平分线的再思考
＋。。）时 ， （ ）＞０．
又厂 （ ）＝ （ ），所 以 ＝ 。是 ｆ（ ）的唯 一极 大值
解 （３）因为，（ ）＝ｅｘＣＯＳＸ— ，所 以厂 （ ）＝ｅ （ＣＯＳＸ — ｓｉｎＫ）一１ （０）＝０．设 ｈ（ ）＝ｅ （ＣＯＳＸ—ｓｉｎｘ）一１，贝０ ｈ （ ）＝ｅ （ＣＯＳＸ—ｓｉｎｘ—ｓｉｎｘ—ＣＯＳＸ）＝ 一２ｅ ｓｉｎｘ．
ｆ （ ）＜０．函数 ）在 区间 ［０， ７／－］上单调递减．
（０，１）的 唯 一 极 大 值 点 ，由 ｅ～ ∈（０，１），ｆ（ｅ ）≠０得
）＞ ｅ ）＝ｅ～，所 以 ｅ ＜ 。）＜２－２．
。
如果会求 函数 －厂（ ）在 闭区间［ａ，６］上 的极值 ，那 么求
因此 ）在 区 间［０， ］上 的最 大值为 ｆ（０）＝１，最
收 稿 日期 ：２０１８—０３一ｌ０ 作者简 介 ：刘江鸿（１９８６．６一），男 ，福建省 惠安人 ，中学高级 教师 ，从事 高 中数 学教 学研 究
一
１８ —
２０１８年第２２期总第４０７期
数理化 解Ｐ（ 。，ｙ０），则手＋ ：ｌ，
根据椭圆的第二定义 ：椭圆上任一点到焦点 的距离与到 相应准线的距离之 比为离心率 设点 Ｐ坐标为 Ｐ（ｘ ，Ｙｏ），
函数 ）在闭 区间［ａ，ｂ］上 的最值就水到渠成 了．只要 比 小 值为，（ ）＝一 ．
较＿厂（ ）的极值与 区间端点 函数值 ｆ（ａ）、厂（ｂ）的大 小就可 以了 ，最大 的就是最大 值 ，最小 的为最 小值．特别地 ，若 函 数 ＿厂（ ）没有 极值 点 ，则 函数 ｆ（ ）是 单调 函数 ，区间端 点 函数值 －厂（ａ）、厂（ｂ）最 大 的就是 最 大值 ，最 小 的为最 小值． 若 函数ｆ（ ）只 有 一个 极 值 点 ，则 这个 极 值 点 一 定 是 最 值 点．
课题1焦点三角形性质总结
课题1：焦点三角形的性质12F PF S=12F PF S=2（△ABF 2，AB |AB|=4a得证特别地，当＝时，②当P 为右支上一点时，记（），由双曲线的定义得，在△中，由余弦定理得：代入得求得。
得证性质二：双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。
证明：设双曲线2222x y 1a b-=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -=，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212A A FF A x A ,A ∴在双曲线上，又在上，是双曲线与轴的交点即点性质三：双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长线交F 1F 2的延长θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121c a c b c c a b F F r S PF F +=⋅+⋅==∆θ︒90a cb S PF F 221=∆2211||,||r PF r PF ==21r r >a r r a r r 2,21221-==-21PF F .cos 44221221r c r c r =-+θ.)2(cos 44211221a r c r c r -=-+θa c b r -=θcos 21a c c b c a c b F F r S PF F -=⋅-⋅==∆θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121线于点B，则|BA |e |AP |=证明：由角平分线性质得12121212|FB||F B ||FB ||F B ||BA |2c e |AP ||FP ||F P ||FP ||F P |2a -=====- 性质四：双曲线的焦点三角形PF 1F 2中，1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β当点P 在双曲线右支上时，有e 1tancot ;22e 1αβ-⋅=+ 当点P 在双曲线左支上时，有e 1cot tan 22e 1αβ-⋅=+证明：由正弦定理知2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()==αβα+β由等比定理，上式转化为2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()-=α-βα+β 2a 2csin sin sin()2sin cos sin sin cos cos sin c sin()2222222a sin sin 2cos sin sin sin cos cos sin 2222222⇒=α-βα+βα+βα+βα+βαβαβ⋅+α+β⇒====α+βα-βα-βαβαβα-β⋅-分子分母同除以cossin 22αβ，得【2014•广西理】已知椭圆C 1a x 2222=+b y （a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．123x 22=+yB ．1y 3x 22=+C ．1812x 22=+y D ．1412x 22=+y 【答案】 A 【解析】 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a=43， ∴a=3，∵离心率为33， ∴c=1， ∴b=22a c -=2， ∴椭圆C 的方程为123x 22=+y ． 【2011新课标理14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2。
椭圆综合应用专题3焦点三角形性质及应用1(1)
对椭圆两焦点所成张角中最大的角.
ｍ
P ｎ
cosθ = PF1 2 + PF2 2 - F1F2 2 = m2 +n2 - 4c2
2 PF1 PF2
2mn
F1
F2
= (m+n)2 -2mn- 4c2 = 4a2 -2mn- 4c2 = 4b2 -2mn = 2b2 -1
2mn
2mn
2mn mn
≥
2b2 (m+n)2
PF1
2 + PF2 2 - F1F2 2 PF1 PF2
2
=
m2
+n2 - 4c2 2mn
P
= (m+n)2 - 2mn- 4c2 = 2b2 -1
2mn
mn
mn= 2b2
F1
F2
1+cosθ
如图此时θ取最大，此时cosθ最小为 - 275，mn最大为： 25
知识小结
椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点
P1F =| P7F1 |
y
P1P2
P3
P4 P5 P6 P7
A
B
FO
x
P4F +| P4F |= 2a
∴ P1F + P2F +…… P7F = 7a
跟踪练习3
已知F1、F2是椭圆
x2 + 25
y2 9
=1的左
,
右焦点
,
点P在椭圆上运动
,
则 PF1 PF2 的最大值是_______
解析：cosθ =
2mn
2mn
2mn mn
≥
2b2 (m+n)2
-1
双曲线焦点三角形的几何性质
双曲线焦点三角形的几个性质在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为12222=-by a x ,21,F F 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：性质1、若θ=∠21PF F 则2cot 221θb S PF F =∆特别地，当 9021=∠PF F 时，有221b S PF F =∆性质2、焦点三角形21F PF 在P ∠处的内角平分线，过2F 作平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是？性质3、以21,r r 为直径做一个圆与大圆（以21A A 为直径的圆）相切。
性质4、双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。
证明：设双曲线12222=-by a x 的焦点三角形的内切圆且三边21F F ，1PF ，2PF 于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为21,A A||||||||||||||||||212121AF AF BF CF PF PF -=-=-a AF AF a PF PF 2||||||,2||||||2121=-∴=-所以A 点在双曲线上，又因为A 在21F F 上，A 是双曲线与x 轴的交点即点21,A A性质5、在双曲线中A ，B 在双曲线上且关于原点对称，P 为椭圆上任意一点，则22ba k k PB PA =性质6、P 点在x=c 上移动的过程当中，张角APB ∠的取值范围（A ，B 为两顶点）。
]arctan ,0[b a 性质7、双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF 的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，则e AP BA =|||| 证明：由角平分线性质得e a c P F P F B F B F P F B F P F B F AP BA ==--===22||||||||||||||||||||21212211 性质8、双曲线的焦点三角形21F PF 中，βα=∠=∠1221,F PF F PF当点P 在双曲线右支上时，有112cot 2tan +-=e e βα当点P 在双曲线左支上时，有112tan 2cot +-=e e βα。
椭圆内接三角形外心与斜率乘积定值
椭圆内接三角形外心与斜率乘积定值椭圆是一种特殊的曲线，它在平面上呈现出一种椭圆形状。
内接三角形是指一个三角形的三个顶点分别位于椭圆上的情况。
在这样的椭圆内接三角形中，我们可以发现一个有趣的性质，即外心与斜率的乘积是一个定值。
我们来了解一下什么是椭圆。
椭圆是一个平面上的几何图形，它由一个点集构成，满足到两个给定点的距离之和恒定。
这两个给定点称为焦点，而恒定的距离之和称为椭圆的长轴。
椭圆还有一个重要的性质，即椭圆的内切角等于两个焦点之间的连线与椭圆切线的夹角，这个性质在后面的推导中将会用到。
接下来，我们考虑一个椭圆内接三角形。
假设这个椭圆的长轴为2a，短轴为2b，三角形的三个顶点分别为A、B、C。
根据椭圆的内切角等于两个焦点之间的连线与椭圆切线的夹角的性质，我们可以得到三角形ABC的三个内角分别为α、β、γ。
现在，我们来考察三角形ABC的外心O。
外心O是三角形ABC三条外角平分线的交点，它与三个顶点的连线长度相等。
假设O与A、B、C的距离分别为r1、r2、r3。
我们可以通过一些几何推导得到外心O与椭圆焦点之间的连线与椭圆切线的夹角等于三角形ABC 的对应内角的一半。
设外心O与焦点F1、F2的连线分别与椭圆切线的夹角为θ1、θ2，则有θ1=α/2，θ2=β/2。
根据三角函数的定义，我们可以得到r1/a=tan(θ1)，r2/b=tan(θ2)。
接下来，我们来考察椭圆内接三角形的斜率。
设三角形ABC的边AB、AC的斜率分别为k1、k2，我们可以通过计算两点的坐标之差的比值得到斜率的表达式。
假设A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)，则k1=(y2-y1)/(x2-x1)。
同理，k2=(y3-y1)/(x3-x1)。
我们可以通过一些几何推导得到斜率k1、k2与椭圆焦点之间的连线与椭圆切线的夹角等于三角形ABC的对应内角的一半。
设斜率k1与焦点F1的连线与椭圆切线的夹角为θ3，则有θ3=α/2。
焦点三角形的美妙性质
焦点三角形的美妙性质焦点三角形的性质，都和焦点三角形的内外角平分线有着紧密联系，同时，又都和圆锥曲线的定义密切相关。
由椭圆和双曲线的定义的相似，我们看出，他们的性质也异常相似！在焦点三角形的统一下，他们的性质和谐地完美着！1 定义椭圆或双曲线上任意一点和两个焦点的连线所形成的三角形，叫做焦点三角形。
2 性质焦点三角形有以下一系列美妙性质：2.1 椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S= b2tan θ 2 ，双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S=b2cot θ 2 ，其中，θ=∠F1PF2，P是椭圆或双曲线上任意一点，F1、F2是对应曲线的焦点。
以下同证明：由椭圆定义可知：|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，a2=b2＋c2，由余弦定理有：4c2=(2c)2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ=(|PF1|+|PF2|) 2 -2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ∴2|PF1||PF2|(1+cosθ)=4a2－4c2= 4(a2-c2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1+cosθ ，∴焦点三角形的面积S= 1 2 |PF1||PF2|sinθ= b 2 sinθ 1+cosθ =b2tan θ2 (∵sinθ1+cosθ =tan θ 2 )对双曲线，则有：|PF1|－|PF2|=±2a，|F1F 2 |=2c，a2＋b2=c2，由余弦定理有：4c 2 =(2c)2= |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1|－|PF2|) 2 ＋2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ= (±2a) 2 ＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4a2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)∴2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4c2－4a2=4(c2－a2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1－cosθ ，∴焦点三角形的面积S=1 2 |PF1||PF2|sinθ=b 2 sinθ 1－cosθ =b2cot θ 2 (∵sinθ 1+cosθ =cot θ 2 )2.2 对椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1 ，设l是其焦点三角形的过点P的外角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆；对双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1，设l是其焦点三角形的过点P的内角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆。
双曲线焦点三角形的几何性质
双曲线焦点三角形的几何性质Revised as of 23 November 2020双曲线焦点三角形的几个性质 在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为12222=-by a x ,21,F F 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：性质1、若θ=∠21PF F 则2cot 221θb S PF F =∆特别地，当 9021=∠PF F 时，有221b S PF F =∆性质2、焦点三角形21F PF 在P ∠处的内角平分线，过2F 作平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是性质3、以21,r r 为直径做一个圆与大圆（以21A A 为直径的圆）相切。
性质4、双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。
证明：设双曲线12222=-by a x 的焦点三角形的内切圆且三边21F F ，1PF ，2PF 于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为21,A A||||||||||||||||||212121AF AF BF CF PF PF -=-=-a AF AF a PF PF 2||||||,2||||||2121=-∴=-所以A 点在双曲线上，又因为A 在21F F 上，A 是双曲线与x 轴的交点即点21,A A性质5、在双曲线中A ，B 在双曲线上且关于原点对称，P 为椭圆上任意一点，则22ba k k PB PA = 性质6、P 点在x=c 上移动的过程当中，张角APB ∠的取值范围（A ，B 为两顶点）。
]arctan ,0[ba 性质7、双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF 的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，则e AP BA =|||| 证明：由角平分线性质得e a c P F P F B F B F P F B F P F B F AP BA ==--===22||||||||||||||||||||21212211 性质8、双曲线的焦点三角形21F PF 中，βα=∠=∠1221,F PF F PF当点P 在双曲线右支上时，有112cot 2tan +-=e e βα 当点P 在双曲线左支上时，有112tan 2cot +-=e e βα。
第一讲 用椭圆定义解题2 —焦点三角形(课件)-高考数学二轮专题之椭圆小题突破
+
= 上的任意一点，点
F1，F2分别为该椭圆的上下焦点，设α＝∠PF1F2，
β＝∠PF2F1，则sinα+sinβ的最大值为
.
（2）已知点P为椭圆
+
= 上的任意一点，点F1，F2分别为该椭圆的上下焦
点，设α＝∠PF1F2，β＝∠PF2F1，则sinα+sinβ的最大值为
则2c>2a-2c且4c>2a-2c，得
1
1
e ,e ,
3
2
则2a-2c >2c且4c>2a-2c，得
1
1
e ,
3
2
（7）已知椭圆方程为
+
= (a> )，A，B是
上､下顶点，P为椭圆上的一个动点，且∠APB的最
大值为120°，若M(0, ),N(0,− )，则
|PF1|=λ|PF2|(1≤λ≤3)，∠F1PF2＝ ，，则椭圆离心率的取值范围为
解：
PF1 PF2 PF2 PF2 1 PF2 2a
PF1 PF2 2 PF2 PF2 2 1 PF2 4c 2
2 1
c2
2 1
1
a
PI
2
（5）已知椭圆C：
+ = > > 的左、右
焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P，使得∠F1PF2
＝120°，且△F1PF2内切圆的半径大于 a，则C的
椭圆上一点P处的切线平分焦点三角形外角的证明
椭圆上一点P处的切线平分焦点三角形外角的证明设椭圆的焦点为F1和F2，点P为椭圆上的一点，P点到两个焦点的距离分别为PF1和PF2、现作点P处的切线，分别与椭圆相交于A和B，垂直PF1、PF2的直线分别与切线相交于C和D。
要证明切线平分焦点三角形外角，即要证明∠ACB=∠ADB。
首先，根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点P，PF1+PF2=常数（等于椭圆的长轴长度）。
所以，在本题中，对于切线上的点A和点B，PA+PB=常数。
其次，我们可以先证明，∠APF1=∠BPF2、用反证法，假设∠APF1≠∠BPF2，则可以得出PA≠PB。
因为PA+PB=常数，所以假设不成立，即∠APF1=∠BPF2接下来，我们需要证明∠ACF1=∠BDF2、由于PF1和PF2是PF1+PF2=常数这条椭圆性质的推论，所以我们知道对于三角形F1PF2来说，∠F1PF2是这个三角形的内角，等于180°减去焦点三角形的外角A（即∠ACF1+∠BDF2）。
因此，外角A等于内角对应的两个内角之和。
假设∠ACF1=a，∠F1CP=b，则由△F1PC的内角和可得∠CPF1=180°-a-b。
同理，假设∠BDF2=c，∠F2DP=d，则由△F2PD的内角和可得∠DPF2=180°-c-d。
由于我们已经得出∠APF1=∠BPF2，并且对于切线和垂线的交点，切线上的两个点到焦点的距离之和是相等的，所以我们可以得出两个关系式：∠CPF1=∠DPF2=a+b+c+d。
再考虑△F1PF2，它的内角和为180°，所以由△F1PF2的内角和可得∠F1PF2=180°-a-b-c-d。
P-------------------------Aθ__________________B____________________C在四边形PACB中，∠CPF1=∠ADC（因为PF1是垂线，所以两个内角相等），∠CAB=∠DAB（因为切线与垂线的夹角相等）。
椭圆焦点三角形性质
椭圆焦点三角形性质是椭圆的一个重要性质，它是椭圆的一种特殊的三角形，它的特点是它的三个顶点都在椭圆的焦点上。
椭圆焦点三角形的性质有以下几点：1、椭圆焦点三角形的三个顶点都在椭圆的焦点上，这是椭圆焦点三角形的最大特点。
2、椭圆焦点三角形的三条边都是椭圆的椭圆轴，也就是说，椭圆焦点三角形的三条边都是椭圆的椭圆轴。
3、椭圆焦点三角形的三个内角都是相等的，也就是说，椭圆焦点三角形的三个内角都是相等的。
4、椭圆焦点三角形的三条边都是等长的，也就是说，椭圆焦点三角形的三条边都是等长的。
5、椭圆焦点三角形的三个外角都是相等的，也就是说，椭圆焦点三角形的三个外角都是相等的。
6、椭圆焦点三角形的三个顶点都在椭圆的焦点上，这意味着椭圆焦点三角形的三个顶点都在椭圆的焦点上，而不是在椭圆的椭圆轴上。
7、椭圆焦点三角形的三条边都是等腰的，也就是说，椭圆焦点三角形的三条边都是等腰的。
8、椭圆焦点三角形的三个外角都是相等的，也就是说，椭圆焦点三角形的三个外角都是相等的。
9、椭圆焦点三角形的三个内角都是相等的，也就是说，椭圆焦点三角形的三个内角都是相等的。
10、椭圆焦点三角形的三条边都是等腰的，也就是说，椭圆焦点三角形的三条边都是等腰的。
椭圆焦点三角形的性质是椭圆的一个重要性质，它是椭圆的一种特殊的三角形，它的特点是它的三个顶点都在椭圆的焦点上，而不是在椭圆的椭圆轴上。
椭圆焦点三角形的三条边都是等长的，三个内角和三个外角都是相等的，这是椭圆焦点三角形的特点。
椭圆焦点三角形的性质在几何学中有着重要的应用，它可以用来求解椭圆的焦点，以及椭圆的椭圆轴的长度等问题。
此外，椭圆焦点三角形的性质也可以用来求解椭圆的面积，以及椭圆的周长等问题。
总之，椭圆焦点三角形的性质是椭圆的一个重要性质，它的特点是它的三个顶点都在椭圆的焦点上，而不是在椭圆的椭圆轴上，它的三条边都是等长的，三个内角和三个外角都是相等的，它在几何学中有着重要的应用。
椭圆中焦三角形的性质
椭圆中焦点三角形定义 椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等．性质一 已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，两焦点分别为12F F ，，设焦点三角形21F PF 中，12F PF ∠=θ，则122tan2F PF S b θ=△．θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+==)cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF ．θθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF ， 2tan cos 1sin 21222121θθθb b PF PF S PF F =+==∴∆． 性质二 已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，左右两焦点分别为12F F ，，设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点．证明：设00()P x y ，，由焦半径公式可知：10PF a ex =+，10PF a ex =-， 在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=22212004441122()()a c b PF PF a ex a ex -=-=-+-=2222021b a e x --． a x a ≤≤-0 ，220x a ≤∴．性质三 过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为22b a ．性质四 已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，两焦点分别为12F F ，，设焦点三角形21F PF 中12F PF θ∠=，则2cos 12e θ≥-．证明：设1122PF r PF r ==，，则在21PF F ∆中，由余弦定理得：222222212121212121212()2422cos 122r r F F r r r r c a c r r r r r r +-+---θ===-22222221222221112()2a c a c e r r a --≥-=-=-+． 命题得证．性质五 已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，两焦点分别为12F F ，，设焦点三角形21F PF ，1221PF F PF F αβ∠=∠=，，则椭圆的离心率βαβαsin sin )sin(++=e ．证明：1221PF F PF F αβ∠=∠=，， 由正弦定理得：βαβαsin sin )180sin(1221PF PF F F o ==--，由等比定理得：βαβαsin sin )sin(2121++=+PF PF F F ，而)sin(2)sin(21βαβα+=+c F F ，βαβαsin sin 2sin sin 21+=++a PF PF ， ∴βαβαsin sin )sin(++==a c e ． 例1 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F ，2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积．解法一：在椭圆16410022=+y x 中，1086a b c ===，，，而60θ=． 记1122PF r PF r ==，， 点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：12220r r a +==．在△21PF F 中，由余弦定理得：22212122cos (2)r r r r c θ+-=． 配方，得：21212()3144r r r r +-=，124003144r r -=∴，从而122563r r =， .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F例2 已知椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一动点P ，两个焦点12(0)(0)F c F c -，，，， 12F PF ∆的内切圆记为M ，试求圆心M 的轨迹方程．解析：设1221PF F PF F αβ∠=∠=，，M (x ，y ) 则在12F PF ∆中由正弦定理及椭圆的定义有||sin ||sin ||sin[()]PF PF F F 1212180βααβ==-+°，由等比定理有：1212||||||22sin sin sin()sin sin sin()PF PF F F a cαβαβαβαβ+=⇒=++++，又由合分比定理知：tantan22a ca c αβ-⋅=+．由斜率公式知：12(0)MF MF y y K K y x c x c==≠+-，，由前述不难看出，不论P 位于椭圆上（异于长轴两端点）何处，总有12tantan22MF MF K K αβ⋅=-⋅，(0)y y a c y x c x c a c-⋅=-≠+-+∴， 整理得222()()()(0)a c x a c y a c c y -++=-≠．点评：由上获得的方程不难看出，△PF 1F 2的内切圆圆心M 始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上移动．如果△PF F 12中出现两个角，可以考虑应用正弦定理．同时从解题过程，不难得到一个重要的结论：已知椭圆x a y ba b 222210+=>>()上一点P 及两焦点12F F ，，若∠PF F 12=α，∠PF F 21=β，则椭圆的离心率为sin()sin sin αβαβ++．例3 已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan ∠F 1PF 2． 解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜，∴2a ＝4，又2c ＝2，∴b ＝3，∴椭圆的方程为3422y x +＝1． (2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ，椭圆的离心率12e =，则1sin(180)2sin120sin(60)θθ︒-==︒+︒-，整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ)．∴53cos 1sin =+θθ，故532tan =θ，tan ∠F 1PF 2＝tan θ＝11352531532=-⋅．。
关於三角形平分线的几何有趣性质
(2s − a) 2 bc ∴ = 2 4s(s − a) ta 1 s ca + 同理， = 2 4 s −b tb 1 s ab + = 2 4 s−c tc bc ca ab + 2 + 2 ∴ 2 ta tb tc =
= s 4
=
s−a 1 s 1 + + 4 s−a 2 4s
1 s −b + 2 4s 1 s−c + 2 4s
∴ = ≥ = = ≥ =
1 1 1 1 + + = ，a2 + b2 + c2 = 2(s 2 − 4 Rr − r 2)， ab bc ca 2 Rr 1 1 1 + 2 + 2 2 ta tb tc ⎞ 3⎛ 1 s⎛ 1 1 1 1 1 ⎞ a2 + b2 + c2 ⎟ ⎜ + ⎟− + + ⎟+ ⎜ + 4⎜ 4abcs ⎝ bc ( s − a ) ca( s − b) ab( s − c) ⎠ 4 ⎝ ab bc ca ⎠
同理
1 tb tc
2
= =
s 3 b2 + − 4ca ( s − b) 4ca 4abcs s 3 c2 + − 4ab( s − c) 4ab 4abcs
1
2
Q
abc = 4 Rrs，(s − a)(s − b)(s − c) = r 2 s，R ≥ 2r，
102
EduMath 18 (6/2004)
3s 4 3s 4
3
3 1 2( s 2 − 4 Rr − r 2 ) 1 + − 4 2 Rr a 2 b 2 c 2 ( s − a )( s − b)( s − c) 16 Rrs 2 4R + r 1 1 + + 4 Rr 8Rs 2 16 R 2 r 2 s 2 r 2 s
三角形角平分线的一个性质
三角形角平分线的一个性质
袁亚平
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2012(000)003
【摘要】结论三角形三条角平分线相交于一点；三角形两外角平分线与第三个内角平分线交于一点．即：三角形两角（内角或外角）平分线的交点与第三个顶点的连线必平分第三个角．
【总页数】1页(P4-4)
【作者】袁亚平
【作者单位】浙江省嵊州市城关中学,312400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.三角形角平分线的一个性质在平面几何中的应用
2.对圆锥曲线焦点三角形角平分线的一个性质的再推广
3.由角平分线引发的若干联想证明三角形内角平分线性质定理
4.三角形角平分线的又一个性质
5.三角形角平分线性质定理的一个一般性证明
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椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明
椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明（一）椭圆中，PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.证明：延长F 2H 至M ，交PF 1于M∵PT 平分∠MPF 2 ，又F 2H ⊥PT ，∴2||||PM PF = 又12||||2PF PF a +=，∴11||||2||2||||PM PF a F M OH OH a +===⇒=. ∴H 轨迹是以长轴为直径的圆，除长轴端点.（二）椭圆中，椭圆焦点三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明：如图，设以焦半径MF 2为直径的圆的半径为r 1， 圆心为O 1，由椭圆定义知1212||||||||||||MF MF AB MF AB MF +=⇒=- ∴112111||||(||||)22OO MF AB MF a r ==-=- ∴⊙O 、⊙O 1相内切（三）设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 证明：设旁切圆切x 轴于'A ，切2PF 于M ，F 1P 于N ，则||||PN PM = ，2|||'|MF MA =， 11|||'|F N F A =， ∴1122||||||||PF PM F F MF +=+1221222222|||||'||||'|222|'||'|||PF PF F A F F F A a c F A F A a c F A +-=+⇒=+⇒=-=∴'A 与A 2重合.（四）椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时，A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.证明：设交点00(,)S x y ，1(,)P m n ，2(,)Pm n - ∵111P A A S K K = 222P A P S K K =， ∴0220000222200000y n m a x a y y y n n n y m a m a x a x a a m x a n m a x a⎧=⎪++-⎪⇒⋅=⋅⇒=⎨+-+----⎪=⎪--⎩ 又222222222222211m n n m n b a b b a a m a +=⇒=-⇒=- ∴2202220y b x a a =-2200221x y a b ⇒-=，即轨迹方程为22221x y a b-=（五）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.证明：对x 求导可得：2222'0x y y a b⋅+= ∴2020'x b y y a =，∴切线方程为200020()x b y y x x y a-=--即2222220000y ya y a xx b x b -=-+， 即222222220000y ya xx b x b y a a b +=+=，∴00221xx yy a b+=（六）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过P 0作椭圆的两条切线，切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 证明：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则过点12P P 、切线分别为1122122222:1,:1x x y y x x y yl l a b a b+=+= ∵0P 在12l l 、上 ∴1010221x x y y a b +=，2020221x x y y a b+=∴过P 1，P 2方程00221x x yy a b+=（七）AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.证明：设(,),(,)A A B B A x y B x y 则(,)22A B A Bx x y y M ++ 2222A B A B A B OM ABA B A B A B y y y y y y K K x x x x x x +--⋅=⋅=+--①又222222222222221A A B B A B A B x y x y x x y y a b a b a b --+==+⇒=- ∴22OM ABb k k a⋅=-（八）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被P 0所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.证法1：由上题的结论得：2220022200AB OP AB y b x b b k k k x a a a y ⋅=-⇒=-⋅=-， ∴弦AB 方程为2220000000222220()b x yy xx y x y y x x y a b a b a-=--⇔+=+若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过P 0的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.证法2：设弦交椭圆于111(,)P x y ，222(,)Px y 中点(,)S m n .1202222220112212222222012()1()P P P S n y x y x y x x b mb k k m x a b a b y y a na -++==+⇒=-=-==-+∴2222222200002222x m y nm n m b mx b n a ny a a b a b-+=-⇒+=+即22002222x x y yx y a b a b+=+.（九）过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.证明：设两直线与椭圆交于点1122(,)(,)x y x y .2222220011222222221x y x y x y a b a b a b +=+=+= 21010210102202022020AB AC y y x xb k x x y y a y y x x b k x x y y a⎧-+==-⋅⎪-+⎪⇒⎨-+⎪-=-=+⋅⎪-+⎩ ① ②由题意得①＝②∴2102021020y y x x b x x y y a -+=⋅-+，2201022010y y x x b x x y y a -+=⋅-+ 展开222212020101220100222212010*********()()()()y y y y y y y a x x x x x x x b y y y y y y y a x x x x x x x b ⎧-+-=-+-⎪⎨-+-=-+-⎪⎩ ③ ④ 220120122()2()a y y y b x x x -=-③－④得：20122120BC b x y y K x x a y -==-（定值）（十）椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上异于长轴端点的任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为2122||||1cos b PF PF γ=+；122tan 2F PF S b γ∆=。