椭圆中焦点三角形的性质
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焦点三角形习题
性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a
b 2
2
性质二：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则2
tan
221θ
b S PF F =∆.
证明：记2211||,||r PF r PF ==，
由椭圆的第一定义得.4)(,22
22121a r r a r r =+∴=+
在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22
212
22
1c r r r r =-+θ
配方得：.4cos 22)(2
2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242
212
c r r a =+-θ
.cos 12cos 1)(22
2221θ
θ+=+-=∴b c a r r
由任意三角形的面积公式得：
2tan 2
cos 22cos
2
sin
2cos 1sin sin 2122
222121θθθ
θ
θ
θθ⋅=⋅=+⋅==
∆b b b r r S PF F .
.2
tan 221θ
b S PF F =∴∆
同理可证，在椭圆122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.
性质三：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ
性质三
证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：
1222242)(2cos 2
12
221221221212
212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ
.2112221)2(22222
2
22
2122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。 例1. 若P 是椭圆
164
1002
2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ， 求△21PF F 的面积.
例1．解法一：在椭圆
164
1002
2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==
Θ点P 在椭圆上，
∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r
在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22
212
22
1c r r r r =-+θ
配方，得：.1443)(212
21=-+r r r r
.144340021=-∴r r 从而.3
256
21=
r r .3
36423325621sin 212121=⨯⨯==
∆θr r S PF F 解法二：在椭圆164
10022=+y x 中，642
=b ，而.60︒=θ
.3
3
6430tan 642
tan
221=
︒==∴∆θ
b S PF F
例2.已知P 是椭圆19
252
2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，
2
1
2121=
，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.
3
3 解：设θ=∠21PF F ，则2
1
cos 2121=
=
θ，.60︒=∴θ .3330tan 92
tan
221=︒==∴∆θ
b S PF F 故选答案A.
例3.已知椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一
个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A.
5
9 B. 779 C. 49 D. 49或77
9
解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长4
9
2=a b ；若P 是直角顶点，
设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92
tan
221=︒==∆θ
b S PF F ，又,7)2(2
1
21h h c S PF F =⋅⋅=
∆ 97=∴h ，.7
7
9=
h 故选D.
1. 椭圆124
492
2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为
（ ）
A. 20
B. 22
C. 28
D. 24 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242
tan 221=︒==∆θ
b S PF F .故选D.
2. 椭圆14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，
21PF PF ⋅的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 3
D. 6 解：设θ=∠21PF F ，Θ12
tan
2tan
221===∆θ
θ
b S PF F ，
∴
︒=︒=90,452
θθ
，021=⋅PF PF .故选A.
3. 椭圆14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，
21PF PF ⋅的值为（ ）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 2- 解：3,1,2=
==c b a ，设θ=∠21PF F ，Θ 2
tan 2
tan 221θ
θ==∆b S PF F ，
∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ， ∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ.
故答案选D. 4．已知椭圆
122
2
=+y a
x （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，
且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）