焦点三角形的性质
专题椭圆的焦点三角形
专题椭圆的焦点三角形椭圆是一个引人注目、充满神秘感的几何图形，它具有许多令人惊叹的性质。
其中一个特殊的性质是焦点三角形。
本文将探讨专题椭圆的焦点三角形的特点和性质。
一、焦点三角形的定义在椭圆上取一点P，并绘制两条经过焦点的直线，分别交椭圆于两点A和B。
连接点P与A、B，即构成焦点三角形PAB。
二、椭圆焦点三角形的性质1. 焦点三角形是等腰三角形由于A和B分别是椭圆上的焦点，根据椭圆的对称性可知，AP和BP的长度相等，因此焦点三角形PAB是一个等腰三角形。
2. 焦点三角形的顶角等于椭圆的离心率角设椭圆的离心率为e，椭圆焦点距离为c，焦点三角形的两边长度为a和b。
根据梅涅劳斯定理可得到焦点三角形的顶角P的余弦值为：cosP = c / e从中可以看出，焦点三角形的顶角大小与椭圆的离心率成正比。
3. 焦点三角形的周长与椭圆周长的比值为e焦点三角形的周长可以表示为：周长PAB = a + b + c而椭圆的周长为：周长椭圆 = 4 * a * E(e)其中，E(e)为椭圆的椭圆积分。
归一化后，椭圆积分可以表示为E(e) = ∫[0, π/2] √[1 - e^2 sin^2Θ] dΘ。
将焦点三角形的周长除以椭圆的周长，可得到焦点三角形周长与椭圆周长比值的公式：焦点三角形周长 / 椭圆周长 = (a + b + c) / (4 * a * E(e))由此可见，焦点三角形的周长与椭圆周长的比值等于椭圆的离心率。
三、示例分析以一椭圆为例，离心率为0.6，焦点距离为5。
可根据数学计算求出椭圆参数及相关数据。
假设焦点三角形的两边长度分别为2和3，则焦点三角形的顶角P的余弦值为：cosP = 5 / 0.6 = 8.33根据arccos函数的反函数关系，可以得出焦点三角形的顶角P的角度为约31.79°。
进一步计算焦点三角形的周长与椭圆周长的比值为：焦点三角形周长 / 椭圆周长= (2 + 3 + 5) / (4 * 12.953) ≈ 0.288因此，对于该椭圆来说，焦点三角形的周长是椭圆周长的0.288倍。
椭圆的性质二 焦点三角形的性质
|｜PF｜2 ｜PF｜1
a
ex
(a
ex)
2ex
2
4 5
x
，
5
x
0
，
∴0＜|F2N|＜8，∴0＜|OM|＜4．
若 P 在椭圆的右半部分时，同样可得出 0＜|OM|＜4，故选：B．
方法二 极限法，当 P 在左端点时，|OM|=4，在 P 上顶点时，|OM|=0，∴0＜|OM|＜4．
三 课后练习：
1.(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为23，
x2
令椭圆方程为
a2
y2 b2
1(a b 0)
则由椭圆的定义有 | PF1 | | PF2 | 2a , | F1F2 | 2c ,
∴
| PF1 | | PF2 |
| F1F2 | 2c
sin PF2F1 sin PF1F2 sin F1PF2
又 ∵ PF1F2 5PF2F1 ， ∴ PF1F2 750 ， PF2F1 150 ，
4．(2019
南昌模拟)P
为椭圆 x2 ＋y2＝1 25 9
上一点，F1，F2
分别是椭圆的左、右焦点，过
P
点作
PH⊥F1F2
于
点 H，若 PF1⊥PF2，则|PH|＝( )
A.25
B.8
4
3
C．8
D.9
4
解析：选 D 由椭圆 x2 ＋y2＝1 得 a2＝25，b2＝9， 25 9
则 c＝ a2－b2＝ 25－9＝4，∴|F1F2|＝2c＝8.由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
A. (0, 3 ] 2
椭圆中焦点三角形的性质(含答案)
焦点三角形习题之勘阻及广创作性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ 由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F .同理可证，在椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 性质三证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥命题得证。
例1.若P是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积. 例1．解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ.3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F 故选答案A.191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A. 59 B. 779C. 49 D. 49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故选D.1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 24解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PFF .故选D.2. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 6解：设θ=∠21PF F ， 12tan2tan221===∆θθb S PFF ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故选A.3. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan2tan221θθ==∆b S PFF ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ.故答案选D. 4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1 B ．31C ．34D ．32解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PFF ，又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PFF ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF .故答案选C.5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒=∠9021PF F ，△21PF F 的面积是20，且c/a=√5/3，求椭圆的尺度方程.解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PFF θ，又 3522=-==a b a ac e ，∴95122=-ab ，即952012=-a. 解得：452=a .∴所求椭圆的尺度方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()A.22B.32C.53D.631.解析：选 A.如图所示，四边形B 1F 2B 2F 1为正方形，则△B 2OF 2为等腰直角三角形， ∴c a ＝22. 2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是() A.45B.35C.25D.15b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________． 3.解析：依题意，得b ＝3，a －c ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4，∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝45.答案：454.已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1，求该椭圆的离心率．4.解：设|AF 2|＝m ，则|AF 1|＝3m ，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4m . 又在Rt△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝|AF 1|2－|AF 2|2＝22m .∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2|2a ＝22m 4m ＝22.5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形． 在Rt△MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b29b2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二离心率求法：。
焦点三角形的美妙性质
焦点三角形的美妙性质四川省万源市第三中学紫静邮编：636350 一、定义：椭圆或双曲线上任意一点和两个焦点的连线所形成的三角形，叫做焦点三角形。
二、性质：焦点三角形有以下一系列美妙性质：1．椭圆x2a2+y2b2= 1 的焦点三角形的面积S = b2tan θ2，双曲线x2a2-y2b2= 1 的焦点三角形的面积S = b2cot θ2，其中，θ = ∠F1PF2，P是椭圆或双曲线上任意一点，F1、F2是对应曲线的焦点。
以下同证明：由椭圆定义可知：|PF1| + |PF2|= 2a，|F1F2 |= 2c，a2 = b2＋c2，由余弦定理有：4c2 =(2c)2 = |F1F2|2 = |PF1|2 + |PF2|2– 2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1| + |PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ∴2|PF1||PF2|(1 + cosθ) = 4a2－ 4c2 = 4(a2-c2) = 4b2∴ |PF1||PF2| = 2b21+cosθ，∴焦点三角形的面积S = 12|PF1||PF2|sinθ = b2sinθ1+cosθ= b2tanθ2(∵sinθ1+cosθ= tanθ2)对双曲线，则有：|PF1|－|PF2| =±2a，|F1F2 |= 2c，a2＋b2= c2，由余弦定理有：4c2 =(2c)2 = |F1F2|2 = |PF1|2 + |PF2|2– 2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ= (±2a)2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ) = 4a2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)∴2|PF1||PF2|(1－cosθ) = 4c2－4a2= 4(c2－a2) = 4b2∴ |PF1||PF2| = 2b21－cosθ，∴焦点三角形的面积S = 12|PF1||PF2|sinθ = b2sinθ1－cosθ= b2cotθ2(∵sinθ1+cosθ= cotθ2)2．对椭圆x2a2+y2b2= 1 ，设l是其焦点三角形的过点P的外角平分线．．．．．，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆；对双曲线x2a2-y2b2= 1 ，设l是其焦点三角形的过点P的内角平分线．．．．．，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆。
椭圆中焦点三角形的性质及应用探究
２ ． 故 答 案 为 Ｄ．
２ 、ｆ ２
所以 ｌ Ｐ Ｆ ． １ 『 Ｐ Ｆ 。 Ｉ ＝ （ 『 Ｐ Ｆ 『 ＋『 Ｐ Ｆ 。 Ｉ ） －４ ｃ
２ （ １ ＋Ｃ Ｏ Ｓ ０ ）
４ｎ ２— ４ｃ ２ ｂ
性质 四： 已 知 椭 圆 方 程 为 ＋ 一 ｌ （ ｎ＞ ６＞ ｏ） ・ 两 焦 点 分 别 为 Ｆ ， Ｆｚ ， 设 焦 点 三 角 形 ＰＦ Ｆ 中 Ｆ ＰＦ 一 ０， 则
（ 异 于 长 轴 的 端 点） ，则 称
△Ｆ ＰＦ 为 椭 圆 的 焦 点 三
证明 ： 设 Ｐ（ 。 ， Ｙ 。 ） ， 由焦 半 径公 式可 知 ： ｌ Ｐ Ｆ ｌ 一口＋
ｅ ｏ ， ｌ ＰＦ１ 口一ｅ １ ． Ｔ ｏ ．
角形 ．
性质一 ： 过椭圆焦点 的所 有弦 中通 径 （ 垂 直于焦 点的 弦 ） 最短。 通 径 为 ．
ｙ ａ
在
一
一
刚一
一 ４ ｂ
半
一 一
例 １ 设 椭 圆ｘ ｚ
十
一１ （ ｃ ￡ ＞６ ＞０ ） 的右 焦点 为 Ｆ ， 右 准
（ １ Ｐ Ｆ Ｉ ＋ｌ Ｐ Ｆ ： ｛ ） 。 一２ Ｉ Ｐ Ｆ Ｉ Ｉ Ｐ Ｆ ｌ 一４ ｃ ２ ｌ Ｐ Ｆ Ｉ ｌ Ｐ Ｆ
６ ｚ ｔ ａ ｎ 要一 ｔ ａ ｎ ， 所 以 当 △ Ｆ Ｐ Ｆ 的 面 积 最 大 时 ， ０ 为 最 大 ，
这 时 点 Ｐ 为 椭 圆 短 轴 的端 点 ， ０ —１ ２ ０ 。 ．
所 以Ｐ Ｆｌ ・ＰＦ ２ 一ｌ Ｐ Ｆｌ Ｉ・ｆ Ｐ Ｆ ｚ Ｊ Ｃ Ｏ Ｓ ０ 一Ⅱ Ｃ Ｏ Ｓ １ ２ ０ 。 一
ｃ ｏ ｓ ８ ≥１ —２ ｅ 。 ．
椭圆中焦点三角形的性质及应用
椭圆中焦点三角形的性质及应用
又，故满足：故为直角三角形、说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功、性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。
性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。
证明：设,由焦半径公式可知：，在中， = 性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得：
命题得证。
（2000年高考题）已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,于是得到的取值范围是性质五：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。
由正弦定理得：由等比定理得：而，∴。
已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120，求tanF1PF2．解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝∴椭圆的方程为＝1．(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60－θ椭圆的离心率则，整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)∴故，tanF1PF2＝tanθ＝．
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焦点三角形二级结论
焦点三角形二级结论三角形是我们初中数学学习的重点之一，而焦点三角形作为三角形的一种特殊形式，也是我们需要掌握的知识之一。
在学习焦点三角形的过程中，我们需要掌握的不仅是它的基本定义和性质，还需要了解它的二级结论，这些结论可以帮助我们更深入地理解焦点三角形的性质。
一、焦点三角形的基本定义和性质焦点三角形是指以一个三角形的三个顶点为三个焦点所构成的三角形。
它的性质有以下几点：1.焦点三角形的内角和等于180度。
证明：由于焦点三角形的三个顶点是同一个三角形的顶点，所以它们构成的三角形的内角和等于原三角形的内角和，即180度。
2.焦点三角形的外心是原三角形的垂心。
证明：设原三角形ABC的外心为O，垂心为H，焦点三角形的三个焦点为A'、B'、C'，则有：∠A'OB' = 2∠ACB，∠A'CB' = 2∠ABC，∠B'CA' = 2∠BAC由于∠A'OB' + ∠A'CB' + ∠B'CA' = 360度，所以有：2∠ACB + 2∠ABC + 2∠BAC = 360度即：∠ACB + ∠ABC + ∠BAC = 180度所以O、H、A'、B'、C'五点共面，且OH垂直于A'B'C'的平面，故O是A'B'C'的垂心。
3.焦点三角形的外接圆半径等于原三角形的外接圆半径的一半。
证明：设原三角形ABC的外接圆半径为R，焦点三角形的外接圆半径为r，则有：AB = 2Rsin∠C，AC = 2Rsin∠B，BC = 2Rsin∠AA'B' = 2rsin∠C，A'C' = 2rsin∠B，B'C' = 2rsin∠A 由正弦定理可得：sin∠A'CB' = sin∠ABC，sin∠B'CA' = sin∠BAC，sin∠A'OB' = sin∠ACB所以有：A'B' = 2Rsin∠ABC/2 = Rsin∠C，A'C' = 2Rsin∠BAC/2 = Rsin ∠B，B'C' = 2Rsin∠ACB/2 = Rsin∠A故有：r = (A'B'*A'C'*B'C')/(4S) = (Rsin∠A)(Rsin∠B)(Rsin∠C)/2R^3sin∠A sin∠B sin∠C= R/2所以焦点三角形的外接圆半径等于原三角形的外接圆半径的一半。
焦点三角形的美妙性质
焦点三角形的美妙性质焦点三角形的性质，都和焦点三角形的内外角平分线有着紧密联系，同时，又都和圆锥曲线的定义密切相关。
由椭圆和双曲线的定义的相似，我们看出，他们的性质也异常相似！在焦点三角形的统一下，他们的性质和谐地完美着！1 定义椭圆或双曲线上任意一点和两个焦点的连线所形成的三角形，叫做焦点三角形。
2 性质焦点三角形有以下一系列美妙性质：2.1 椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S= b2tan θ 2 ，双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S=b2cot θ 2 ，其中，θ=∠F1PF2，P是椭圆或双曲线上任意一点，F1、F2是对应曲线的焦点。
以下同证明：由椭圆定义可知：|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，a2=b2＋c2，由余弦定理有：4c2=(2c)2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ=(|PF1|+|PF2|) 2 -2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ∴2|PF1||PF2|(1+cosθ)=4a2－4c2= 4(a2-c2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1+cosθ ，∴焦点三角形的面积S= 1 2 |PF1||PF2|sinθ= b 2 sinθ 1+cosθ =b2tan θ2 (∵sinθ1+cosθ =tan θ 2 )对双曲线，则有：|PF1|－|PF2|=±2a，|F1F 2 |=2c，a2＋b2=c2，由余弦定理有：4c 2 =(2c)2= |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1|－|PF2|) 2 ＋2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ= (±2a) 2 ＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4a2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)∴2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4c2－4a2=4(c2－a2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1－cosθ ，∴焦点三角形的面积S=1 2 |PF1||PF2|sinθ=b 2 sinθ 1－cosθ =b2cot θ 2 (∵sinθ 1+cosθ =cot θ 2 )2.2 对椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1 ，设l是其焦点三角形的过点P的外角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆；对双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1，设l是其焦点三角形的过点P的内角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆。
专题椭圆的核心三角形
椭圆的焦点三角形一 知识梳理定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直角三角形。
性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。
所以周长为定值2a+2c性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆. 证明：记2211||,||r PF r PF ==， 由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：2(cos 2212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F . .2tan 221θb S PF F =∴∆ 性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.2112cos 222e ab -=-≥θ并且点P 在y 轴上是张角最大。
证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1244242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.21121)2(22222212e a b r r b -=-=-+≥当切仅当21r r =，即点P 在y 轴是θcos 取的最小值，而角θ取得最大值。
椭圆中常见的焦点三角形的性质及应用
定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆。
θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PFθθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF 2tan cos 1sin 21222121θθθb b PF PF S PF F =+==∴∆ 例1：若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积练习1：已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A.59 B. 779 C. 49 D. 49或779 练习2：椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 。
练习3：已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若21||||2121=⋅⋅PF PF PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）A. 33B. 32C.3 D.33yF 1 O F 2 xP性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122222--ox e a b a x a ≤≤-0 22a x o ≤∴性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
双曲线焦点三角形的几何性质
双曲线焦点三角形的几何性质Revised as of 23 November 2020双曲线焦点三角形的几个性质 在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为12222=-by a x ,21,F F 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：性质1、若θ=∠21PF F 则2cot 221θb S PF F =∆特别地，当 9021=∠PF F 时，有221b S PF F =∆性质2、焦点三角形21F PF 在P ∠处的内角平分线，过2F 作平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是性质3、以21,r r 为直径做一个圆与大圆（以21A A 为直径的圆）相切。
性质4、双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。
证明：设双曲线12222=-by a x 的焦点三角形的内切圆且三边21F F ，1PF ，2PF 于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为21,A A||||||||||||||||||212121AF AF BF CF PF PF -=-=-a AF AF a PF PF 2||||||,2||||||2121=-∴=-所以A 点在双曲线上，又因为A 在21F F 上，A 是双曲线与x 轴的交点即点21,A A性质5、在双曲线中A ，B 在双曲线上且关于原点对称，P 为椭圆上任意一点，则22ba k k PB PA = 性质6、P 点在x=c 上移动的过程当中，张角APB ∠的取值范围（A ，B 为两顶点）。
]arctan ,0[ba 性质7、双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF 的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，则e AP BA =|||| 证明：由角平分线性质得e a c P F P F B F B F P F B F P F B F AP BA ==--===22||||||||||||||||||||21212211 性质8、双曲线的焦点三角形21F PF 中，βα=∠=∠1221,F PF F PF当点P 在双曲线右支上时，有112cot 2tan +-=e e βα 当点P 在双曲线左支上时，有112tan 2cot +-=e e βα。
椭圆中的“焦点三角形”性质及应用
性质一 ： （ 焦点三角形面积 ） 已知椭 圆方程 为 ＋
一１ （ 口 ＞６ ＞０ ） ，两焦点 分别 为 Ｆ 、 Ｆ ２ ， Ｐ为椭 圆上任 意
一
Ｆ Ｉ Ｐ Ｇ 的取值范 围
． （ 答案 ： ［ ０ ， ］ ）
点（ 除长轴端点外） ， 设 焦点三角形 Ｐ Ｆ Ｆ ２ 中 Ｆ Ｐ Ｆ ２
一
一
１ — １ — ２ Ｐ ２
ａ。
通过性质三 ， 可得应用三 ：
～
（ 答案 ： ２ ０ ）
２
．
．
２
２ ． 若Ｐ 为 椭圆 ＋ 等一 １ 上的 一点， Ｆ 、 Ｆ 。 为 左 右
焦点， 若 Ｆ Ｉ Ｐ Ｇ一号 ， 求点 Ｐ到ｚ轴的距离． （ 答案：
）
１ ． （ ２ ０ ０ ０年全国高考题） 已知椭 圆方程 为 ＋ 一
‘ 。
．
一ｎ ＜ ｚ０ ＜ 口， ． ‘ ． ＜以 ，
“ 焦点三角形” 的定 义为 ： 椭 圆上 的任 意一 点 （ 除长 轴端 点外） 与两个焦 点构 成 的三角 形． 通常“ 焦 点三 角形 ” 的 问题都 有 意地考 查 了椭 圆的定义 、 三角 形 中的正 弦 、 余 弦定理 、 三角形 的面积 、 内角 大小 等知识 ， 现 笔者就 椭 圆
“ 焦点三角形” 的 性 质 及 应 用 举 例 分 析 如 一０时 ， ｃ ｏ ｓ Ｏ取 最 小 值 ， 此 时 ０最 大 ， 即若
Ｆ １ Ｐ Ｆ ２ 最大 ， 则点 Ｐ为椭圆短轴的端点．
通过性质二 ， 可得 应 用 二 ：
１ ． 点 Ｐ 在 椭 圆 ＋ｙ 。 一 １上 ， Ｆ １ 、 Ｆ ２ 为焦点， 则
一
（ １ Ｐ Ｆ １ ｆ ＋Ｉ Ｐ Ｇ（ ） 。 一２ ｌ Ｐ Ｆ １ ｃ ．１ Ｐ Ｇ ｌ －４ ｃ ２ Ｉ Ｐ Ｆ １ ．ｆ Ｐ Ｇ Ｊ
12.4.3焦点三角形的性质及椭圆中的最值问题
F1
O
F2
x
x2 (2)已知直线l : x y m 0与椭圆C : y 2 1, 4 交于A, B两点，求|AB | 的最大值.
4 10 5
(2)当F 1PF 2 60 时，求F 1PF 2的面积；
4 3 3
y
F1
o
F2
x
x2 y 2 变式：已知椭圆 2 2 1 (a b 0), 焦点坐标为F1 , F2 , 点P为椭圆上的动点， a b 2 S△ PF1F2 b tan 若F1PF2 时，求F1PF2的面积； 2
2
xp2
yp2
F1
o
P F2
x
PF1 PF2 2 cos F1PF2 0 PF1 PF2 0 ( 5 x p )( 5 x p ) y p 0 | PF1 || PF2 |
4 2 9 3 5 3 5 2 x ( , ) xp 5 y p 0 x p 5 4 x p 0 x p p 9 5 5 5
3. 椭圆上一点到定直线的距离的最值问题
x2 y 2 例1：已知椭圆 1，直线L : 4 x 5 y 40 0， 25 9 椭圆上是否存在一点，它到直线L的距离最小？ 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l， 则l可写成： 4x 5 y k 0
4 x 5 y k 0 2 2 由方程组 x y 1 25 9 2 2 消去y，得25x 8kx k - 225 0
x2 y 2 2.在椭圆 C： 2 2 1（ a b 0 ）中， F1 和 F2 是椭圆的两个焦 a b
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(原卷版)
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法焦点三角形的定义与常用性质1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立12+AF AF ，2212+AF AF ，12AF AF 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（设12∠F AF 为 ）2、常用性质性质1：122+=AF AF a ，122+=BF BF a （两个定义）拓展：12∆AF F 的周长为121222++=+AF AF F F a c1∆ABF 的周长为12124+++=AF AF BF BF a性质2：222212121242cos ==+-c F F AF AF AF AF θ（余弦定理）性质3：当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大推导：由性质2得，()222221212121212244c cos 22+--+-==AFAF AF AF c AF AF AF AF AF AF θ()222121212224221--==-a AF AF cb AF AF AF AF .∵212212+=22⎛⎫≤ ⎪⎝⎭AF AF AF AF a ，当且仅当12=AF AF 时，即点A 是短轴端点时取等号，∴2221222cos 11=-≥-b b AF AF aθ.又∵cos =y θ在()0,π上单调递减，∴当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大。
性质4：122121sin tan 22∆===AF F A S AF AF b c y θθ当=A y b ，即A 为短轴的端点时，12∆AF F 的面积最大，最大值为bc推导：由性质3的推导过程得2122cos 1=-b AF AF θ∴21221cos =+b AF AF θ，∴122221222sincos 11222sin sin tan 221cos 22cos 2∆==⋅⋅=⋅=+AF F b S AF AF b b θθθθθθθ题型一椭圆中焦点三角形的周长问题【例1】已知∆ABC 的顶点B ，C 在椭圆2211216x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则∆ABC的周长是（）A．23B．3C．8D．16【变式1-1】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2∆ABF 的周长为16，则=a （）A．2B．4C．6D．8【变式1-2】椭圆C ：2221(0)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于左右顶点的任意一点，1PF 、2PF 的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为4，则12∆PF F 的周长是_____．【变式1-3】已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF 的周长的最小值为______．题型二椭圆中焦点三角形的面积问题【例2】椭圆C ：2214924x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若18PF =，则12PF F △的面积为（）A．48B．40C．28D．24【变式2-1】设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A．6B．C．8D．【变式2-2】已知1F 、2F 为椭圆22:14x y Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）B．2C．D．4【变式2-3】已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为（）B．155题型三椭圆中焦点三角形的个数问题【例3】已知点1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若点P 为椭圆上一动点，则使得123F PF π∠=的点P 的个数为（）A．0B．2C．4D．不能确定【变式3-1】设椭圆22:184x y Γ+=的左、右两焦点分别为1F ，2F ，P 是Γ上的点，则使得12PF F △是直角三角形的点P 的个数为_________.【变式3-2】已知1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且12MF F △的内切圆的周长等于π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．0D．不确定【变式3-3】若1F 、2F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且12MF F △的内切圆的周长为3π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．6D．不确定题型四椭圆中焦点三角形的顶点坐标问题【例4】已知1F 、2F 为双曲线C :221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，21PF F ∠=︒60，则P 到x 轴的距离为（）A.2B.2【变式4-1】已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若12PF F △为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为（）或94B．3D．94【变式4-2】椭圆22194x y +=的焦点F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（）A．B．）C．（﹣5，5）D．（﹣5，5）【变式4-3】椭圆22:14x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，点M 为其上的动点，当12F MF ∠为钝角时，点M 的纵坐标的取值范围是____________.题型五椭圆中焦点三角形的中位线问题【例5】设1F ，2F 为椭圆22194x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A．513B．45C．27D．49【变式5-1】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）B．D．【变式5-2】已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则AN BN +的值为（）A．6B．12C．18D．24【变式5-3】如图，若P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，()F -为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与PF 相切于中点，则椭圆C 的方程为___________.题型六椭圆中焦点三角形的角平分线问题【例6】已知1F ，2F 是椭圆C ：22214x y b+=的左、右焦点，离心率为12，点A 的坐标为3(1,)2，则12F AF ∠的平分线所在直线的斜率为（）A．2B．1【变式6-1】已知12F F ，是椭圆221369x y+=的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（）A．5B．4C．3D．2【变式6-2】已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，2MF 是角21PF F ∠的外角平分线，则1MPF 与2MPF 的面积之和为()A．1B．32C．2D．3【变式6-3】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任一点，从2F 引12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．圆B．两个圆C．椭圆D．两个椭圆。
椭圆中焦点三角形的性质(含答案)
专题1：椭圆中焦点三角形的性质及应用性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22证明：性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆.证明：性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ例1. 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ， 求△21PF F 的面积.例2.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 33例3.已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A. 59B. 779C. 49D. 49或779例 4. 已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。
练习题：1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积 最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1 B ．31C ．34 D ．32 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上， 直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35， 求椭圆的标准方程.专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )A.22B.32C.53D.632．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.153．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．4.已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、 F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率．5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.性质三证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得： 1222242)(2c o s 212221221221212212221--=--+=-+=r r ca r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
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椭圆中焦点三角形的性质及应用
定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.
一．焦点三角形的形状判定及周长、面积计算
例1 椭圆上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2，试判断21F PF ∆的形状.
解：由
112
162
2=+y x 椭圆定义：
3||,5||.2||||,8|||212121==∴=-=+PF PF PF PF PF PF .
又4||21=F F Θ，故满足：,||||||2
12
212
2PF F F PF =+故21F PF ∆为直角三角形. 说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功.
性质一：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则2
tan
221θ
b S PF F =∆。
θ
cos 2)2(212
2212
2
12PF PF PF PF F F c -+==Θ)cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θ
θθcos 12)cos 1(244)
cos 1(24)(2
222
22121+=
+-=+-+=
∴b c a c PF PF PF PF 2
tan cos 1sin 2122212
1θθθb b PF PF S PF F =+==∴∆ 性质二：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角
形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2
12
2
121212cos PF PF F F PF PF -+=
θ2
12
21221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=
1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122
222
--o
x e a b a x a ≤≤-0Θ 22
a x o
≤∴
性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a
b 2
2
性质四：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ
证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：
1222242)(2cos 2
12
221221221212
212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ
.2112221)
2
(2222
2
2222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
（2000年高考题）已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在
一点,P 使得,1200
21=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos 2
e -≥即2212
1
e -≥-
, 于是得到e 的取值范围是.1,23⎪⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡ 性质五：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率β
αβαsin sin )
sin(++=
e 。
,,1221βα=∠=∠F PF F PF
由正弦定理得：
β
α
βαsin sin )
180sin(122
1PF PF F F o
=
=
--
由等比定理得：
β
αβαsin sin )
sin(2121++=
+PF PF F F
而
)sin(2)
sin(21βαβα+=
+c F F ，β
αβαsin sin 2sin sin 21+=
++a PF PF ∴β
αβαsin sin )sin(++==
a c e 。
已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜
PF 2｜的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2． 解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜ ∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3
∴椭圆的方程为3
42
2y x +＝1． (2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ
Θ椭圆的离心率2
1
=
e 则)60sin(2
3
sin )
60sin(120sin )180sin(21θθθθ-+=-+-=o o o o ，
整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ)
∴53cos 1sin =
+θθ故532tan =θ，tan F 1PF 2＝tan θ＝113525
3153
2=-⋅
．。