双曲线焦点三角形的几个性质

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2.3.1双曲线及其标准方程B详解

〖人教版高中数学选修2—1〗第二章圆锥曲线与方程三．双曲线§2．3．1 双曲线及其标准方程第2课时双曲线及其标准方程（2）教学过程一．双曲线中焦点三角形性质【例1】⑴（2012年全国大纲卷文科）已知1F ，2F 为双曲线C ：222x y -=的左，右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （） A ．14B ．35C ．34D ．45⑵设1F 、2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足︒=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是．点评：双曲线中焦点三角形及解题策略⑴焦点三角形：双曲线上的动点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形（三点不共线）称为焦点三角形；⑵解题策略：①焦点三角形的定义——122PF PF a -=；②正弦定理、余弦定理——利用正弦定理，余弦定理建立联系； ③三角形的面积公式——12a S ah =．一般地，双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，上一点M 与两焦点1F 、2F 构成△21MF F ，若α=∠21MF F ，则 △21MF F 的面积2cot2S b α=．二．求双曲线的标准方程1．利用定义法求双曲线的标准方程【例2】已知动圆M 恒过定点()2, 0B -，且与定圆C ：()2224x y -+=相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【变式】1．若将题中条件变为圆M 与圆C 相切，则动点M 的轨迹方程是什么？2．已知()1,0A -，B 是⊙F ：()2211x y -+=上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则点P 的轨迹方程是．2．利用待定系数法求双曲线的标准方程【例3】 ⑴以椭圆2214x y +=的焦点为焦点，且过点(2, 1)Q 的双曲线方程是（）A ．2212x y -=；B ．2214x y -=；C ．2214y x -=；D ．2212y x -=．⑵与双曲线141622=-y x有相同焦点，且经过点()2的双曲线方程是．点评：对于与椭圆12222=+by a x (0>>b a )共焦点的双曲线系，可设为22221x y a k k b-=--（22b k a <<）；对于与双曲线12222=-by a x (0,0>>b a )共焦点的双曲线系，可设为22221x y a k b k-=-+（22b k a -<<）．【同步训练】经过点2,3A ⎛⎝⎭、(3, B -的双曲线的标准方程．点评：⑴求双曲线的标准方程，最基本的方法是待定系数法，步骤是： ①定位置——确定焦点的位置（在x 轴上还是在y 轴）；②设方程——根据焦点位置，设出双曲线的标准方程（位置不确定时，需讨论）；③求系数——根据已知条件，确定a 、b 的关系（必要时，利用222c a b =+）,求出a 、b ．在双曲线的标准方程中，1F 、2F 的位置是双曲线的定位条件；参数a 、b 确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．⑵当双曲线的焦点位置确定时，标准方程可设为:12222=-b y a x (0,0>>b a )或12222=-bx a y )0,0(>>b a ；当双曲线的焦点位置不确定时，标准方程可设为:()2210x y mn m n+=<或()2210mx ny mn +=<．称为双曲线的次标准方程．3．与双曲线有关的轨迹问题【例4】如图，设A ，B 的坐标分别为()2, 0-和()2, 0，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是12，求点M 的轨迹方程．【变式】1．（01年上海市）设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是．点评：问题⑴和⑵是双曲线的另一种表示形式，问题⑴中求轨迹方程使用的是直接法，问题⑵是相关点法．三．小结1．求双曲线的标准方程的最基本方法是待定系数法，由于双曲线的标准方程只含有两个参数a 、b ，因此只须要找出两个独立的条件.2．双曲线的定义是双曲线的最根本的几何性质，应熟练应用双曲线的定义来解题．。

双曲线焦点三角形内心的性质与应用

设犉１犇＝犉１犎＝犿，犉２犇＝犉２犈＝狀，犘犈＝犘犎＝狆，内切圆的半径为狉，结合双曲线的定义及圆的切线长性质，可得犘犉１－犘犉２＝
犉１犇－犉２犇＝犿－狀＝２犪．而犉１犉２＝犉１犇＋犉２犇＝犿＋狀＝２犮，可求
得犿＝犮＋犪，狀＝犮－犪．
教学
２０２０年２月解法探究
参谋
双曲线焦点三角形内心的性质与应用
? 福建省平和第一中学赖平民
众所周知，圆锥曲线一直是高中数学中的重点和难点之一，备受关注．圆锥曲线中，往往交汇着代数与几何，既有“数”又有“形”，既有“动”又有“静”，是各方面知识融合与交汇的场所，要求有较强的综合能力与应变能力，是考查数学能力，体现选拔功能的主阵地之一．下面结合一个双曲线焦点三角形内心的两个性质加以展现、证明，并结合实际加以巧妙应用．
犉１、犉２分别为双曲线犆的左、右焦点，△犘犉１犉２的内切圆的圆心为犐，设直线犐犉１，犐犉２的斜率分别为犽１，
犽２，则犽犽１２＝
．
分析：结合题目条件中给出的双曲线犆的离心
率，直接根据性质２中双曲线的焦点三角形内心的性
一、性质展现
【性质１】已知犘
为双曲线犆：狓犪２２
狔２－犫２
＝１（犪
＞０，
犫＞０）上的任意一点，犉１、犉２分别为双曲线犆的左、右
焦点，△犘犉１犉２的内切圆的圆心为犐，则点犐必在直线
狓＝±犪上．
图１
证明：根据对称性，不失一般性，假定犘为双曲线犆右支上的任意一点，如图１所示，设 △犘犉１犉２的内切圆的圆心犐在对应三边上的投影分别为犇、犈、犎．

椭圆或双曲线中焦点三角形的一个性质及应用

椭圆或双曲线中焦点三角形的一个性质及应用
吴爱龙;黄园军;徐招平
【期刊名称】《中学生数理化：高二数学、高考数学》
【年(卷),期】2017(0)14
【摘要】椭圆或双曲线的两个焦点与曲线上的一点为顶点组成的三角形称为焦点三角形,焦点三角形涉及圆锥曲线的定义,具有许多性质。

下面介绍其一个有趣性质,然后举例说明该性质的应用。

【总页数】2页(P9-9)
【关键词】焦点三角形;双曲线;性质;应用;椭圆;圆锥曲线;举例说明;顶点
【作者】吴爱龙;黄园军;徐招平
【作者单位】江西省丰城中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.椭圆、双曲线焦点三角形的一个性质 [J], 王元明
2.椭圆、双曲线焦点三角形的一个性质 [J], 王元明
3.椭圆与双曲线焦点三角形的一个斜率性质 [J], 刘才华
4.椭圆与双曲线焦点三角形角平分线的一个性质 [J], 刘才华[1]
5.椭圆与双曲线焦点三角形的一个斜率性质的推广 [J], 刘刚
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双曲线焦点三角形中的内切圆圆心的纵坐标范围_范文模板及概述说明

双曲线焦点三角形中的内切圆圆心的纵坐标范围范文模板及概述说明1. 引言1.1 概述双曲线是数学中重要的曲线之一，其焦点三角形是与双曲线相关的一个特殊三角形。

内切圆作为几何中的基本概念之一，也在双曲线焦点三角形中扮演着重要的角色。

本文将研究焦点三角形中内切圆圆心的纵坐标范围问题。

1.2 文章结构文章分为五个部分进行阐述。

引言部分对研究领域进行概述，并简要介绍了整篇文章的结构。

接下来，我们将从定义、性质和特点出发，讨论双曲线焦点三角形以及其中所存在的内切圆。

然后，在第三部分中，通过推导建立双曲线方程和外接圆表达式之间的关系，进一步推导得到内切圆圆心在双曲线参数下的表达式。

第四部分将详细说明内切圆圆心纵坐标范围的定义和意义，并通过对不同类型双曲线情况下的实例进行分析和讨论。

最后，在结论部分总结本文研究结果并提出研究限制与展望。

1.3 目的本文的目的是研究双曲线焦点三角形中内切圆圆心的纵坐标范围。

通过分析双曲线和焦点三角形的定义、性质以及内切圆的特点，我们将推导出内切圆在双曲线参数下的表达式，并进一步讨论该表达式中纵坐标范围的意义。

通过实例分析，我们将具体说明不同类型双曲线情况下内切圆圆心纵坐标范围的变化规律，为该领域后续研究提供基础。

2. 双曲线焦点三角形的定义和性质2.1 双曲线的定义和焦点三角形的概念双曲线是解析几何中的一个重要曲线类型，它可以由平面上满足特定方程的点集表示。

双曲线具有与其他曲线不同的几何性质和特征。

在双曲线上选择其焦点A、焦点B及一定距离内的任意一点P，构成三角形ΔABC，这个三角形被称为双曲线焦点三角形。

双曲线焦点三角形是研究双曲线性质时经常涉及到的一个重要几何对象。

2.2 双曲线焦点三角形的几何性质双曲线焦点三角形具有一些特殊的几何性质。

首先，根据定义，该三角形ΔABC 以两个焦点A和B为顶点，并且第三个顶点C位于两个焦点之间。

其次，在给定双曲线上研究该类型三角形时，我们可以观察到以下性质：a) 该焦点三角形ΔABC的内切圆与双曲线外切；b) 焦点三角形ΔABC的内心是双曲线焦点连线AB上的中点；c) 焦点三角形ΔABC的外心位于双曲线上。

双曲线焦点三角形内心的性质及其应用

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焦点三角形的美妙性质

焦点三角形的美妙性质焦点三角形的性质，都和焦点三角形的内外角平分线有着紧密联系，同时，又都和圆锥曲线的定义密切相关。

由椭圆和双曲线的定义的相似，我们看出，他们的性质也异常相似！在焦点三角形的统一下，他们的性质和谐地完美着！1 定义椭圆或双曲线上任意一点和两个焦点的连线所形成的三角形，叫做焦点三角形。

2 性质焦点三角形有以下一系列美妙性质：2.1 椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S= b2tan θ 2 ，双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S=b2cot θ 2 ，其中，θ=∠F1PF2，P是椭圆或双曲线上任意一点，F1、F2是对应曲线的焦点。

以下同证明：由椭圆定义可知：|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，a2=b2＋c2，由余弦定理有：4c2=(2c)2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ=(|PF1|+|PF2|) 2 -2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ∴2|PF1||PF2|(1+cosθ)=4a2－4c2= 4(a2-c2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1+cosθ ，∴焦点三角形的面积S= 1 2 |PF1||PF2|sinθ= b 2 sinθ 1+cosθ =b2tan θ2 (∵sinθ1+cosθ =tan θ 2 )对双曲线，则有：|PF1|－|PF2|=±2a，|F1F 2 |=2c，a2＋b2=c2，由余弦定理有：4c 2 =(2c)2= |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1|－|PF2|) 2 ＋2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ= (±2a) 2 ＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4a2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)∴2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4c2－4a2=4(c2－a2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1－cosθ ，∴焦点三角形的面积S=1 2 |PF1||PF2|sinθ=b 2 sinθ 1－cosθ =b2cot θ 2 (∵sinθ 1+cosθ =cot θ 2 )2.2 对椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1 ，设l是其焦点三角形的过点P的外角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆；对双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1，设l是其焦点三角形的过点P的内角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆。

椭圆与双曲线焦点三角形面积的两个性质

２
槡
２２２ｂ＋ｃｔａｎ θ ＝．２ｂｔａｎ θ 由圆锥曲线统一定义知
ｒｃｓａ，ｒｃｓａ，ｅｃｅｃ θ＋ θ－１＝２＝２２２２２２）则ｒｒｃ（ａ＝ｂ＋ｃｔ１＋－ｔａｎθ ａｎ θ，１２＝ｒｒ所以Ｒ＝１２２ｂｔａｎ θ ｂｔａｎ θ）由三角形内心坐标公式知Ｉ（ａ，．１＋ｓｅｃ θ
ｓｓｉｎｉｎ α α 故ｔ＝ａｎ α＝２ｃｏｓ α 槡１－ｓｉｎ α ＝
ｃｓｃｉｎ θ ＝ｓｉｎ θ．２２２２ｂｂｃａｓｃｓｏｓｉｎθ－ｉｎθ θ＋槡
２２
ｒ１＋ｅ由 ① 知ｔａｎ α＝ｂ１－ｅ
槡
④
槡（
ｂ－ｃｓｉｎθ ＝２ｂｓｉｎ θ
２
２
２
）
２
最后分母用均值不等式得
２８１＋ｅｅ时取等当ｒ＝１－ＲＳ≤ ｒ．．ｅｂ１＋ｅ性质１证毕．
数学通报２０１７年第５６卷第４期ｔａｎ θ 得ｒ＝ｂ１＋ｓｅｃ θ （ｒＲ１＋ｓｅｃｒ ⑤ 与 ⑥ 式相乘得ｒ θ）１２＝２由 ⑥ 两边平方整理得２２２２（２＋２＝ｒｂｔｓｅｃｔａｎａｎ θ＋ θ） θ， ⑥ ⑦
（
）
槡Байду номын сангаас
槡
ｂｃ－ａｓｓｃ）ｅｃｅｃ θ（ａ θ＋，ｘ－ａｎ θ＝ｙ－ｔ２ｔ２ｂａｎ θ
２２２ｃｔｂａｎ θ－），故令ｘ＝０知Ｗ（０，２ｂｔａｎ θ ２２２２）（ｃｔｂａｎ θ－２得Ｒ＝ＷＦ２＝ｃ＋２２４ｂｔａｎθ

秒杀题型焦点三角形(椭圆与双曲线)

2020年高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题之秒杀题型三：椭圆、双曲线焦点三角形椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:12PF F ∆。

秒杀题型一：性质：1.周长为定值：2()a c +。

2.12,F PF θ∠=当点P 靠近短轴端点时θ增大，当点P 靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。

类比：(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P 在短轴端点时顶角最大。

)。

1.(2017年新课标全国卷I 文12)设A 、B 是椭圆C 1323=+m y x 长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足︒=∠120AMB ,则m 的取值范围是()A.(][)+∞,91,0 B.(][)+∞,93,0 C.(][)+∞,41,0 D.(][)+∞,43,0【解析】：当03m <<时,椭圆的焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=,则tan 60ab≥= ,即≥.得01m <≤;当3m >时,椭圆的焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ,则tan 60ab ≥= ,≥,得9m ≥,故m 的取值范围为(][)+∞,91,0 ,选A.秒杀题型二：3.三角形面积：212tan 22S c y c y b θ=⨯⨯=⨯=，max ,S bc =即P 与短轴端点重合时面积最大。

1.(高考题)已知1F ,2F 是椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9,则b =.【解析】：由椭圆焦点三角形面积公式得：94tanb 22==b π，3=∴b 。

〖母题1〗已知12,F F 是椭圆22195x y +=的焦点,点P 在椭圆上且123F PF π∠=,求12F PF ∆的面积.【解析】：由椭圆定义及余弦定理得：533。

圆锥曲线第2节双曲线及性质

第2节双曲线及性质知识点一双曲线的定义1．定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹．2．定义的集合表示：{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a ，0<2a <|F 1F 2|}． 3．焦点：两个定点F 1，F 2.4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F 1F 2|. 5. 双曲线标准方程x 2y 2y 2x 2一、双曲线的定义的应用例1 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为__________．解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，则该双曲线的方程为x 2－y 24＝1. (2)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2.若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 反思感悟双曲线的定义的应用(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．一般地，双曲线的焦点三角形有以下性质：(2c)2=|PF 1|2+ |PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cos∠F 1PF 2,得到：|PF 1||PF 2|= 2b 21− cos∠F 1PF 2;S ∆F1PF 2= 12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=b 2sin∠F 1PF 21− cos∠F 1PF 2=b 2tan(∠F 1PF 22)跟踪训练1 (1)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5 D ．3解析由题意得||PF 1|－|PF 2||＝6，∴|PF 2|＝|PF 1|±6，∴|PF 2|＝9或－3(舍去) (2)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24 D ．48解析 ⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.在△PF 1F 2中，|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，∴12PF F S ＝12|PF 1||PF 2|＝24. 二、求双曲线的标准方程例2 (1)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，10)的双曲线的标准方程为________．解析由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2 2.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝c 2＝8，9a 2－10b 2＝1，解得a 2＝3，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1. (2)求过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程．解设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1，AB <0.因为点P ，Q 在双曲线上，则⎩⎨⎧9A ＋22516B ＝1，2569A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－116，B ＝19.故双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.反思感悟求双曲线的标准方程1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.2.不知道焦点在横纵坐标的曲线，可设为为mx 2＋ny 2＝1(当m ＞0，n ＞0，m ≠n ，为椭圆方程，当mn <0，m≠n ，为双曲线，当m=n ≠0，为圆)3. 与x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共同焦点的曲线可设为12222=-+-kb y k a x （2b k <，为共焦点椭圆；22a k b <<为共焦点双曲线）4. 与x 2a 2±y 2b 2＝1(a >b >0)有相同离心率的曲线可设为12222=±mby ma x 5. 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共渐近线bx ±ay ＝0的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2 (1)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22)的双曲线的标准方程为________．解析设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，将点(4，－2)和(26，22)代入方程得⎩⎨⎧16a 2－4b 2＝1，①24a 2－8b 2＝1，②解得a 2＝8，b 2＝4，所以双曲线的标准方程为x 28－y 24＝1. (2)已知方程x 2k －5－y 2|k |－2＝1对应的图形是双曲线，那么k 的取值范围是________．解析 ∵方程对应的图形是双曲线，∴(k －5)(|k |－2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧ k －5>0，|k |－2>0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －5<0，|k |－2<0.解得k >5或－2<k <2.知识点二双曲线的性质x ≥a 或x ≤－ay ≤－a 或y ≥a一、由双曲线的几何性质求标准方程例1 求满足下列条件的双曲线的方程：(1)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．解 (1)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝53，∴e 2＝c2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2＝259，∴b a ＝43.由题意得⎩⎨⎧b a ＝43，9a 2－12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94，b 2＝4.∴所求的双曲线方程为4x 29－y 24＝1.(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵点A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b2＝1.②①②联立，无解．当焦点在y 轴上时，设所求方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵点A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32.∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1. 方法二由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.反思感悟由双曲线的性质求双曲线的标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等．解 (1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知2b ＝8，e ＝c a ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9，故双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.二、求双曲线的离心率例2 已知圆C ：x 2＋y 2－10y ＋21＝0与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( ) A. 2 B.53 C.52D.5解析由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，可得其一条渐近线的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，又由圆C ：x 2＋y 2－10y ＋21＝0，可得圆心为C (0,5)，半径r ＝2，则圆心到直线的距离为d ＝|－5a |b 2＋(－a )2＝5ac ，则5a c ＝2，可得e ＝c a ＝52.反思感悟求双曲线离心率的方法(1)直接法：若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca得解．(2)解方程法：若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．跟踪训练2 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．解设F 1(c ，0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a .由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|，所以b 2a＝2c ，所以b 2＝2ac ，所以c 2－2ac －a 2＝0，所以⎝⎛⎭⎫c a 2－2×ca －1＝0，即e 2－2e －1＝0，所以e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)，所以双曲线的离心率为1＋ 2.知识点三直线与双曲线的位置关系设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba 时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±ba 时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．思考直线与双曲线只有一个交点，是不是直线与双曲线相切？答案不是．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点知识点二弦长公式若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].一、直线与双曲线的位置关系例1 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，消去y 整理，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1. 所以实数k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.又直线l 恒过点D (0，－1)，则①当x 1x 2<0时，S △OAB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1|＋12|x 2|＝12|x 1－x 2|＝ 2.②当x 1x 2>0时，S △OAB ＝|S △OAD －S △OBD |＝⎪⎪⎪⎪12|x 1|－12|x 2|＝12|x 1－x 2|＝ 2. 所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.由(1)，知上述k 的值符合题意，所以k ＝0或k ＝±62. 反思感悟直线与双曲线(1)位置关系的判定方法：代数法(注意二次项系数为0的情况)． (2)弦长公式：设直线y ＝kx ＋b 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.跟踪训练1 已知双曲线焦距为4，焦点在x 轴上，且过点P (2,3)． (1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线m 经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m 被双曲线截得的弦长．解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)，由已知可得左、右焦点F 1，F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，则|PF 1|－|PF 2|＝2＝2a ，所以a ＝1，又c ＝2，所以b ＝3，所以双曲线方程为x 2－y 23＝1. (2)由题意可知直线m 的方程为y ＝x －2，联立双曲线及直线方程消去y 得2x 2＋4x －7＝0，设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－72，由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝6. 二、与双曲线有关的轨迹问题例2 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4 s ．已知各观测点到该中心的距离是1 020 m ．则该巨响发生在接报中心的(假定当时声音传播的速度为340 m/s ，相关各点均在同一平面上)( )A ．北偏西45°方向，距离68010 mB ．南偏东45°方向，距离68010 mC ．北偏西45°方向，距离680 5 mD ．南偏东45°方向，距离680 5 m解析如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴，y 轴正向，建立直角坐标系．设A ，B ，C 分别是西、东、北观测点，则A (－1 020，0)，B (1 020,0)，C (0,1 020). 设P (x ，y )为巨响发生点．由已知|P A |＝|PC |，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y ＝－x ，又B 点比A 点晚4 s 听到爆炸声，故|PB |－|P A |＝340×4＝1 360，可知P 点在以A ，B 为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，依题意得a ＝680，c ＝1 020，∴b 2＝c 2－a 2＝1 0202－6802＝5×3402, 故双曲线方程为x 26802－y 25×3402＝1，将y ＝－x 代入上式，得x ＝±6805，∵|PB |＞|P A |，∴x ＝－6805，y ＝680 5 ，即P (－6805，6805), 故PO ＝68010 . 故巨响发生在接报中心的北偏西45°距中心68010 m 处．反思感悟和双曲线有关的轨迹(1)定义法．解决轨迹问题时利用双曲线的定义，判定动点的轨迹就是双曲线． (2)直接法．根据点满足条件直接代入计算跟踪训练2 若动圆P 经过定点A (3,0)，且与定圆B ：(x ＋3)2＋y 2＝16外切，试求动圆圆心P 的轨迹．解设动圆圆心P (x ，y )，半径为r .则依题意有|P A |＝r ，|PB |＝r ＋4，故|PB |－|P A |＝4. 即动圆圆心P 到两个定点B (－3,0)，A (3,0)的距离之差等于常数4，且4<|AB |，因此根据双曲线定义，点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支．设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则c ＝3,2a ＝4，b 2＝5，所以动圆圆心P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．所以动圆圆心P 的轨迹是双曲线x 24－y 25＝1的右支双曲线的定义1．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案 D解析由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫62，0 C.⎝⎛⎭⎫52，0 D ．(3，0) 答案 B解析将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.3．已知双曲线x 2a －3＋y 22－a ＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于( )A.32 B ．5 C ．7 D.12 答案 D解析根据题意可知，双曲线的标准方程为 y 22－a －x 23－a＝1. 由其焦距为4，得c ＝2，则有c 2＝2－a ＋3－a ＝4，解得a ＝12.4．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为10，则PF 1的中点N 到坐标原点O的距离为( ) A ．3或7 B ．6或14 C ．3 D ．7答案 A解析连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线， ∴|ON |＝12|PF 2|，∵||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|＝10，∴|PF 2|＝14或6， ∴|ON |＝12|PF 2|＝7或3.5．(多选)已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是( ) A ．2 B ．－1 C. 4 D ．－3 答案 AB解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠12，∴AB 满足条件．6．若曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为________．答案 (2，＋∞)解析由曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，可得x 21m －y 21m －2＝1，即有m >0，且m －2>0，解得m >2.7．以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程为______________．答案 y 25－x 24＝1解析由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程，得25a 2－16b 2＝1.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4，所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.8．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于________．答案 45解析由方程x 216－y 29＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45.9．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解已知双曲线x 216－y 29＝1，则c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．依题意知b 2＝25－a 2，故所求双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1.∵点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6在所求双曲线上， ∴⎝⎛⎭⎫－522a 2－(－6)225－a 2＝1，化简得4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254.当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去， ∴a 2＝1，b 2＝24， ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1. 10．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1—→·MF 2—→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解 (1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1—→·MF 2—→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义，知m －n ＝2a ＝8，① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，② 由①②得m ·n ＝8，∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为 x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C 过点(32，2)， ∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.11．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线答案 A解析设动圆的圆心为M ，半径为r ，圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心分别为O 1和O 2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得 |MO 1|＝r ＋1，|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝1，又|O 1O 2|＝4，∴动点M 的轨迹是双曲线的一支(靠近O 1)．12．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析不妨设P 是双曲线右支上一点，在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， ∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12，∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴8＝4＋|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B. 13．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为________. 答案 32解析因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.14．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则|PQ |＝________，△PF 1Q 的周长为________．答案233 1633解析 ∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴F 2(2,0)．又点P 的横坐标为2，∴PQ ⊥x 轴．由223－y 2＝1，得y ＝±33，故|PF 2|＝33. ∴|PQ |＝233. 又P ，Q 在双曲线的右支上，∴|PF 1|－|PF 2|＝23，|QF 1|－|QF 2|＝2 3. ∴|PF 1|＝|QF 1|＝2a ＋|PQ |2＝733，∴△PF 1Q 的周长为|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |＝1633.15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C ′：x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k (k ∈N *)次反射后回到左焦点所经过的路径长为__________．答案 2k (a －m )解析光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，|BF 2|＝2m ＋|BF 1|，|BF 1|＋|BA |＋|AF 1|＝|BF 2|－2m ＋|BA |＋|AF 1|＝|AF 2|＋|AF 1|－2m ＝2a －2m ，所以光线经过2k (k ∈N *)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k (a －m )．16．已知△ABC 的一边的两个顶点B (－a ，0)，C (a ，0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形．解设顶点A 的坐标为(x ，y )，则 k AB ＝y x ＋a ，k AC ＝yx －a. 由题意，得y x ＋a ·y x －a ＝m ，即x 2a 2－y 2ma2＝1(y ≠0)．当m >0时，轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的两个交点)；当m <0且m ≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x 轴的两个交点)，其中当－1<m <0时，椭圆焦点在x 轴上；当m <－1时，椭圆焦点在y 轴上；当m ＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆(除去与x 轴的两个交点)．双曲线的性质1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．42 答案 C解析双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.2．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43答案 C解析由题意知a 2＋5＝9，解得a ＝2，e ＝c a ＝32.3．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( ) A.x 225－y 225＝1 B.x 29－y 29＝1 C.y 216－x 216＝1 D.x 216－y 216＝1 答案 D解析由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x 2－y 2＝16，即x 216－y 216＝1. 4．双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22 C ．1 D.2 答案 B解析双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，顶点坐标为(1,0)，(－1,0)，故顶点到渐近线的距离为22. 5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x答案 C解析已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，故有a 2＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，解得b a ＝12.故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.6．如图，双曲线C ：x 29－y 210＝1的左焦点为F 1，双曲线上的点P 1与P 2关于y 轴对称，则|P 2F 1|－|P 1F 1|的值是________．答案 6解析设F 2为右焦点，连接P 2F 2(图略)，由双曲线的对称性，知|P 1F 1|＝|P 2F 2|，所以|P 2F 1|－|P 1F 1|＝|P 2F 1|－|P 2F 2|＝2×3＝6.7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________. 答案 2解析设B 为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC 为正方形且边长为2， ∴c ＝|OB |＝2 2. 又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tan π4＝1，即a ＝b . 又∵a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2.8．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．答案 y 2－3x 2＝36 解析椭圆4x 2＋y 2＝64可变形为x 216＋y 264＝1，a 2＝64，c 2＝64－16＝48，∴焦点为(0,43)，(0，－43)，离心率e ＝32，则双曲线的焦点在y 轴上，c ′＝43，e ′＝23，从而a ′＝6，b ′2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36. 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； (2)渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6. 解 (1)由两顶点间的距离是6，得2a ＝6，即a ＝3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c ＝4a ＝12，即c ＝6，于是有b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1.(2)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3. 当λ>0时，λ4＝9，λ＝36，双曲线方程为x 29－y 24＝1；当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81，双曲线方程为y 29－x 2814＝1.故所求双曲线的标准方程为 x 29－y 24＝1或y 29－x 2814＝1. 10．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．解直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4. 又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4，两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2. 于是双曲线的离心率为2.11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析双曲线C 的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0，点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，故选A.12．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( ) A ．y 2－x 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．y 2－x 2＝80 D ．y 2－x 2＝24答案 D解析设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24.故选D.13．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C. 3 D.2 答案 D解析不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为(2a ，3a )．∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca＝ 2.故选D.14．如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析如图，因为|AO |＝|AF |，F (c ，0)，所以x A ＝c 2，因为A 在右支上且不在顶点处，所以c 2>a ，所以e ＝ca>2.15．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( ) A ．[3－23，＋∞) B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞答案 B解析因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，则x 203－y 20＝1(x 0≥3)，可得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，易知FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的图象的对称轴方程为x 0＝－34.因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)． 16．已知双曲线E ：x 2m －y 25＝1.(1)若m ＝4，求双曲线E 的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程； (2)若双曲线E 的离心率为e ∈⎝⎛⎭⎫62，2，求实数m 的取值范围．解 (1)m ＝4时，双曲线方程化为x 24－y 25＝1，所以a ＝2，b ＝5，c ＝3，所以焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，渐近线方程为y ＝±52x . (2)因为e 2＝c 2a 2＝m ＋5m ＝1＋5m ，e ∈⎝⎛⎭⎫62，2，所以32<1＋5m <2，解得5<m <10，所以实数m 的取值范围是(5,10)．直线与双曲线的位置关系1．若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－2答案 A解析因为在双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2，所以若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 符合题意．2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析易知选项B 正确．3．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2与直线y ＝ax (a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．a ＝1B ．0<a <1C ．a >1D ．a ≥1 答案 D解析等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的渐近线方程为y ＝±x ，若直线y ＝ax (a >0)与等轴双曲线x 2－y 2＝a 2没有公共点，则a ≥1.4．直线l ：y ＝kx 与双曲线C ：x 2－y 2＝2交于不同的两点，则斜率k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－2，2)C ．(－1,1)D ．[－1,1] 答案 C解析由双曲线C ：x 2－y 2＝2与直线l ：y ＝kx 联立，得(1－k 2)x 2－2＝0.因为直线l ：y ＝kx与双曲线C ：x 2－y 2＝2交于不同的两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，8(1－k 2)>0，解得－1<k <1，即斜率k 的取值范围是(－1,1)．5．设点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 22＝1(a >0)的左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的面积为26，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x答案 D解析设F 1(－c ，0)，A (－c ，y 0)，则c 2a 2－y 202＝1， ∴y 202＝c 2a 2－1＝c 2－a 2a 2＝b 2a 2＝2a 2， ∴y 20＝4a 2， ∴|AB |＝2|y 0|＝4a. 又2ABF S ＝26，∴12·2c · |AB |＝12·2c ·4a ＝4c a＝26， ∴c a ＝62， ∴b a ＝c 2a 2－1＝22. ∴该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的左支交于不同的两点，则k 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，153 解析联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，① 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根．所以⎩⎨⎧ Δ＝16k 2＋40(1－k 2)>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2<0，解得1＜k ＜153. 7．直线y ＝x ＋1与双曲线x 22－y 23＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 46解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22－y 23＝1，得x 2－4x －8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝－8，∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2×(16＋32)＝4 6.8．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e ＝________.答案 3＋1 解析以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，则M 在y 轴上，可设|F 1F 2|＝2c ，M 在y 轴正半轴，则M (0，3c )，又F 1(－c ，0)，则边MF 1的中点为⎝⎛⎭⎫－c 2，32c ，代入双曲线方程，可得c 24a 2－3c 24b 2＝1，由于b 2＝c 2－a 2，e ＝c a ，则有e 2－3e 2e 2－1＝4，即有e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，由于e >1，即有e ＝1＋ 3.9．已知双曲线的方程为x 2－y 22＝1，直线l 过点P (1,1)，斜率为k . 当k 为何值时，直线l 与双曲线有一个公共点？解设直线l ：y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋(1－k )．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋(1－k )，x 2－y 22＝1，得 (k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0.当k 2－2＝0，即k ＝±2时，方程只有一个解；当k 2－2≠0，且Δ＝24－16k ＝0，即k ＝32时，方程只有一个解．综上所述，当k ＝±2或k ＝32时，直线l 与双曲线只有一个公共点． 10．斜率为2的直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为6，求直线l 的方程．解设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 23－y 22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*) 设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2)．于是|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5⎣⎡⎦⎤3625m 2－4×310(m 2＋2). 因为|AB |＝6，所以365m 2－6(m 2＋2)＝6. 则m 2＝15，m ＝±15.由(*)式得Δ＝24m 2－240，把m ＝±15代入上式，得Δ>0，所以m 的值为±15，故所求l 的方程为y ＝2x ±15.11．已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点，则a 的取值范围是____________．答案－6<a <6且a ≠±3解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋13x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0. ∵直线与双曲线相交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0⇒－6<a <6且a ≠± 3. ∴a 的取值范围是－6<a <6且a ≠± 3.12．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2≥2.13．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．答案 3215解析双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215.所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左、右顶点为A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线斜率为________．答案 ±1解析由题意知F (c ，0)，A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，其中c ＝a 2＋b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝c ，x 2a 2－y 2b 2＝1，解得B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，所以A 1B —→＝⎝⎛⎭⎫c ＋a ，b 2a ，A 2C —→＝⎝⎛⎭⎫c －a ，－b 2a .因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B —→·A 2C —→＝(c ＋a )(c －a )－b 4a 2＝0，解得a ＝b ，所以渐近线的斜率为±1.15．设双曲线x 2－y 22＝1上有两点A ，B ，AB 中点M (1,2)，则直线AB 的方程为________________．答案 y ＝x ＋1解析方法一 (用根与系数的关系解决)显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0，当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2，所以k ＝1，满足Δ>0，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．因为x 1≠x 2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2，所以k AB ＝2×1×22×2＝1，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y22＝1满足Δ>0.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.16．已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)．(1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长；(2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．解 (1)当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y ，得3x 2＋2x －2＝0.设两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋(x 1－x 2)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×289＝2143.(2)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2＝1，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∴e >62且e ≠ 2. 即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)．。

双曲线焦点三角形

物理学中的应用
• 物理学应用
• 双曲线焦点三角形可以用于描述天体运动中的轨道问题
• 双曲线焦点三角形可以用于求解带电粒子在电磁场中的运动轨
迹
双曲线焦点三角形在
地理学中的应用
• 地理学应用
• 双曲线焦点三角形可以用于描述地表物体之间的位置关系
• 双曲线焦点三角形可以用于求解地理问题中的距离和角度问题
求解技巧
• 利用双曲线的对称性，简化求解过程
• 结合双曲线的参数，灵活运用公式
双曲线焦点三角形的极坐标系求解法
极坐标系求解法
求解技巧
• 通过双曲线的标准方程，将双曲线上的点转换为极坐标
• 利用双曲线的对称性，简化求解过程
系中的点
• 结合双曲线的参数，灵活运用公式
• 通过三角形的边长和角度关系，求解双曲线焦点三角形
与抛物线的对比
• 抛物线具有一个焦点，双曲线具有两个焦点
• 抛物线关于对称轴对称，双曲线关于两个焦点对称
02
双曲线焦点三角形的基本概念
双曲线焦点三角形的定义与构成
双曲线焦点三角形的定义
双曲线焦点三角形的构成
• 以双曲线的两个焦点为顶点的三角形
• 三个顶点分别为双曲线的两个焦点和一个动点
• 双曲线上的任意一点与两个焦点构成的三角形
双曲线焦点三角形在工程领域
的应用实例
• 工程领域应用
• 双曲线焦点三角形可以用于求解工程结构中的应力分布问题
• 双曲线焦点三角形可以用于描述通信网络中的信号传播路径
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\frac{1}{2}ab\sin C$

双曲线焦点三角形的几何性质

双曲线焦点三角形的几何性质Revised as of 23 November 2020双曲线焦点三角形的几个性质在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为12222=-by a x ,21,F F 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：性质1、若θ=∠21PF F 则2cot 221θb S PF F =∆特别地，当 9021=∠PF F 时，有221b S PF F =∆性质2、焦点三角形21F PF 在P ∠处的内角平分线，过2F 作平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是性质3、以21,r r 为直径做一个圆与大圆（以21A A 为直径的圆）相切。

性质4、双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。

证明：设双曲线12222=-by a x 的焦点三角形的内切圆且三边21F F ，1PF ，2PF 于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为21,A A||||||||||||||||||212121AF AF BF CF PF PF -=-=-a AF AF a PF PF 2||||||,2||||||2121=-∴=-所以A 点在双曲线上，又因为A 在21F F 上，A 是双曲线与x 轴的交点即点21,A A性质5、在双曲线中A ，B 在双曲线上且关于原点对称，P 为椭圆上任意一点，则22ba k k PB PA = 性质6、P 点在x=c 上移动的过程当中，张角APB ∠的取值范围（A ，B 为两顶点）。

]arctan ,0[ba 性质7、双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF 的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，则e AP BA =|||| 证明：由角平分线性质得e a c P F P F B F B F P F B F P F B F AP BA ==--===22||||||||||||||||||||21212211 性质8、双曲线的焦点三角形21F PF 中，βα=∠=∠1221,F PF F PF当点P 在双曲线右支上时，有112cot 2tan +-=e e βα 当点P 在双曲线左支上时，有112tan 2cot +-=e e βα。

(完整版)双曲线经典知识点总结

双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。

知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。

因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。

（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。

椭圆与双曲线焦点三角形的性质

椭圆与双曲线焦点三角形的性质
汤小元;舒林军
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2005(000)012
【摘要】所谓焦点三角形，就是圆锥曲线的两个焦点F1，F2与圆锥曲线上的任意一点P，组成的三角形．它在圆锥曲线中有着重要的地位．下面分椭圆与双曲线两部分进行探讨．
【总页数】3页(P21-22,23)
【作者】汤小元;舒林军
【作者单位】浙江省兰溪市第一中学,321100
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
【相关文献】
1.椭圆、双曲线焦点三角形的一个性质 [J], 王元明
2.椭圆、双曲线焦点三角形的一个性质 [J], 王元明
3.椭圆双曲线焦点三角形的若干对偶性质——兼证法探微 [J], 李建潮
4.椭圆与双曲线焦点三角形的一个斜率性质的推广 [J], 刘刚
5.椭圆或双曲线中焦点三角形的一个性质及应用 [J], 吴爱龙;黄园军;徐招平
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双曲线焦点三角形的几个性质

设若双曲线方程为2222x y 1a b -=，F 1,F 2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：性质1、若12F PF ,∠=θ则122F PF S b cot 2θ=V ；特别地，当12F PF 90∠=o 时，有122F PF S b =V 。

22212121222121212122212122212221222PF PF cos |PF ||PF ||FF |2PF PF cos (|PF ||PF |)2|PF ||PF ||FF |2PF PF cos (2a)2|PF ||PF |(2c)2PF PF (cos 1)4(a c )b b PF PF 21cos sin 2θ=+-θ=-+-θ=+-θ-=-==θ-θ, 12F PF 121S |PF ||PF |sin 2∴=θV 22b 2sin cos 222sin 2θθ=⋅θ2b cot 2θ= 易得90θ=o时，有122F PF S b =V性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。

证明：设双曲线2222x y 1a b -=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2 121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=-12|PF ||PF |2a -=Q ，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212A A FF A x A ,A ∴Q 在双曲线上，又在上，是双曲线与轴的交点即点性质3、双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长线交F 1F 2的延长线于点B ，则|BA |e |AP |=证明：由角平分线性质得12121212|F B ||F B ||F B ||F B ||BA |2c e |AP ||F P ||F P ||F P ||F P |2a-=====- 性质4、双曲线的焦点三角形PF 1F 2中，1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β 当点P 在双曲线右支上时，有e 1tan cot ;22e 1αβ-⋅=+ 当点P 在双曲线左支上时，有e 1cot tan 22e 1αβ-⋅=+ 证明：由正弦定理知2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()==αβα+β 由等比定理，上式转化为2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()-=α-βα+β2a 2c sin sin sin()2sin cos sin sin cos cos sin c sin()2222222a sin sin 2cos sin sin sin cos cos sin 2222222⇒=α-βα+βα+βα+βα+βαβαβ⋅+α+β⇒====α+βα-βα-βαβαβα-β⋅- 分子分母同除以cos sin 22αβ，得 tancot 1e 122e tan cot 22e 1tan cot 122αβ+αβ-=⇒=αβ++。

双曲线知识点与性质大全

双曲线与方程【知识梳理】 1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长()1222,0a F F a a >>的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，定长2a 称为双曲线的实轴长，线段12F F 的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】12122PF PF a F F -==，此时P 点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值()1e e >的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.3、渐近线双曲线()22221,0x y a b a b -=>的渐近线为22220x y a b -=，即0x y a b ±=，或by x a=±.【注】①与双曲线22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220x y a bλλ-=≠；②渐近线为by x a=±的双曲线方程可以设为()22220x y a b λλ-=≠；③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F 的距离称为焦半径.若00(,)P x y 为双曲线()22221,0x y a b a b -=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左、右焦点，则10||PF ex a =+，20||PF ex a =-，其中c e a=. 5、通径过双曲线()22221,0x y a b a b -=>焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A 、B 两点，称线段AB 为双曲线的通径，且22b AB a=.6、焦点三角形P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左右焦点，称12PF F ∆为双曲线的焦点三角形.若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122cot 2F PF S b θ∆=.7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）.8、双曲线()22221,0x y a b a b-=>的焦点三角形的内心的轨迹为()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线:0l Ax By C ++=，双曲线Γ：()22221,0x y a b a b-=>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔->； l 与Γ相切22222a A b B C ⇔-=； l 与Γ相离22222a A b B C ⇔-<.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条. 11、焦点三角形角平分线的性质点(,)P x y 是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM a =，即动点M 的点的轨迹为()222x y a x a +=≠±.【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交双曲线()22221,0x y a b a b -=>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E为CD 的中点，则2122b k k a=.13、中点弦的斜率直线l 过()()000,0M x y y ≠与双曲线()22221,0x y a b a b -=>交于,A B 两点，且AM BM =，则直线l 的斜率2020AB b x k a y =.14、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作实轴的平行线，交渐近线于,M N 两点，则PM PN =定值2a .15、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作渐近线的平行线，交渐近线于,M N 两点，则OMPNS =定值2ab .【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_________.【变式1】若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是_________.【变式2】双曲线22148x y -=的两条渐近线的夹角为_________.【变式3】已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.【变式4】若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>有相同焦点1F 、2F ，P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=_________.【变式5】如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A ．[1,1)-B . {}1,0-C . (,1][0,1)-∞-D . [1,0](1,)-+∞【变式6】直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若OB b OA a OP +=(O R b a ,,∈为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（）A .222a b +≥B .2122≥+b a C .222a b +≤ D .2212a b +≤【变式7】设连接双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=的四个顶点为四边形面积为1S ,连接其四个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为_________.例2、设12F F 、分别是双曲线2219y x -=的左右焦点,若点P 在双曲线上，且12=0PF PF ，则12PF PF +=_________.【变式1】过双曲线221109x y -=的左焦点1F 的弦6AB =，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长为_________.【变式2】双曲线2211620x y -=的左、右焦点1F 、2F ，P 是双曲线上的动点，且19PF =，则2PF =_________.例3、设12F F 、是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 是双曲线的任意一点，且123F PF π∠=，求12PF F ∆的面积.例4、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=有A B 、两个不同的交点，如果以AB 为直径的圆恰好过原点O ,试求k 的值.例5、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于A B 、两点，那么是否存在实数k 使得A B 、两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.例6、已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线C :21(4)x y y x -=≤；（1）画出曲线C 的图像；（2）若直线l ：1y kx =-与曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围；（3）若()0P p ，()0p >，Q 为曲线C 上的点，求PQ 的最小值.【变式2】直线l ：10ax y --=与曲线C ：2221x y -=. （1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围；（2）若直线l 被曲线C 截得的弦长PQ =，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.例7、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(14)A ，,P 是双曲线右支上的动点，求PF PA +的最小值.【变式】P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于_________.例8、已知动圆P 与两个定圆()2251x y -+=和()22549x y ++=都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程.【变式1】ABC ∆的顶点为()50A -，,()5,0B ，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是_________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为)F，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，线段MN的中点的横坐标为23-，求此双曲线的方程.例9、已知双曲线221916x y -=，若点M 为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.例10、焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点P 为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线C 的一个焦点与P 关于直线y x =对称（1）求双曲线的方程；（2）设直线1y mx =+与双曲线C 的左支交于,A B 两点，另一直线l 经过点(2,0)M -及AB 的中点，求直线l 在轴上的截距n 的取值范围.【变式】设直线l 的方程为1y kx =-，等轴双曲线C ：222x y a -=右焦点为).（1）求双曲线的方程；（2）设直线l 与双曲线的右支交于不同的两点A B 、,记AB 中点为M ，求实数k 的取值范围，并用k 表示点M 的坐标；（3）设点()1,0Q -，求直线QM 在y 轴上的截距的取值范围.例11、已知双曲线C 方程为：2212y x -=. （1）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A B 、，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值；（2）设直线l 是圆O ：222x y +=上动点00(,)P x y （000x y ≠）处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B 、，证明AOB ∠的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点12A A 、在x轴上，其渐近线方程是3y x =±，双曲线过点()6,6P . （1）求双曲线的方程；（2）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点M N 、，问：是否存在直线l ，使G 平分线段MN ，证明你的结论.例13、已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，例14、已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点是()22,0F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上．（3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．l。

双曲线的全部知识和性质.doc

双曲线的全部知识和性质.双曲线和方程[知识分类]1.双曲线的定义(1)在平面上，点到两个固定点的距离之差的绝对值等于固定长度的点的轨迹称为双曲线，其中两个固定点称为双曲线的焦点，固定长度称为双曲线的实轴长，线段的长度称为双曲线的焦距。

这个定义是双曲线的第一个定义。

[笔记]在这种情况下，点的轨迹是两条光线。

(2)在平面上，点到固定点的距离和点到固定线的距离为固定值的点的轨迹称为双曲线，其中固定点称为双曲线的焦点，固定线称为双曲线的准线，固定值称为双曲线的偏心率。

这个定义是双曲线的第二个定义。

2.双曲线的简单性质标准方程顶点坐标焦点坐标左焦点，右焦点上焦点，下焦点虚轴和虚轴实轴长度，虚轴长度实轴长度，虚轴长度有界性，关于轴对称对称，关于轴对称对称，也关于原点对称。

双曲线的渐近线是，也就是，或。

[笔记](1)与双曲线具有相同渐近线的双曲方程可以设置为:(2)具有渐近线的双曲方程可以设置为:(3)共轭双曲线:已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。

共轭双曲线有相同的渐近线。

④等边双曲线: 实轴等于虚轴的双曲线叫做等边双曲线。

4.从焦点半径的双曲线上的任何一点到双曲线焦点的距离称为焦点半径。

如果双曲线上的任何一点是双曲线的左右焦点，那么，在哪里。

5.通过双曲线焦点的路径是一条垂直于虚轴的直线，在两点处与双曲线相交，该线段称为双曲线路径。

6.焦点三角形是双曲线上的任何一点，它是双曲线的左右焦点，称为双曲线的焦点三角形。

如果是这样，焦三角的面积为:7.从双曲线焦点到渐近线的距离是(假想的半轴长度)。

8、双曲线焦三角内弹道是9.直线和双曲线之间的位置关系直线，双曲线:，并相交；与…相切。

与…分离。

10.与渐近线平行(不重合)的直线与双曲线只有一个交点。

[笔记]在平面的某一点，直线和双曲线之间只有一个交点。

这种直线可以是4、3、2或0.11.焦点三角形角平分线的性质点是双曲线上的移动点，是双曲线的焦点，是角平分线上的点，那么，移动点的点的轨迹是. 12.双曲线上任意两点的坐标性质是双曲线上的任意两点，如果。

双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明

点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点（四）双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切(或内切).证明：以焦半径MF 2为直径的圆的半径为r 1，圆心为O 1；以MF 1为直径的圆的半径为r 2，圆心为O 2，由双曲线定义知12||||||MF MF AB =+∴112111||||(||||)22OO F M M F AB r a ==+=+，∴圆O 1与圆O 外切又12||||||MF AB MF -=∴221211||||(||||)22OO F M M F AB r a ==-=-，∴圆O 2与圆O 内切（五）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b +=.证明：设交点0012(,),(,),(,)S x y P m n P m n -∵111P A A SK K =，222P A P S K K =，∴0220000222200000y n m a x ay y y n n n y m a m a x a x a a m x a n m a x a ⎧=⎪++-⎪⇒⋅=⋅⇒=⎨+-+----⎪=⎪--⎩又222222222222211m n n m n b a b b a a m a-=⇒=-⇒=--，∴22220002222201y x y b x a a a b =-⇒+=-即22221x y a b+=（六）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.证明：求导可得：202220220'x b x y y y a b y a '⋅-=⇒=，切线方程2000002220()1x b x x y yy y x x y a a b-=-⇒-=（七）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外，则过P 0作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.证明：设111222(,),(,)P x y P x y ，则过12P P 切线分别为11122:1x x y yl a b -=，22222:1x x y yl a b-=∵0P 在12l l 、上∴1010221x x y y a b +=，2020221x x y y a b+=∴过12P P 方程00221x x y y a b-=（八）AB 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=.证明：设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则()22A B A Bx x y y M ++⋅，2222A B A B A B OM ABA B A B A By y y y y y K K x x x x x x +--=⋅=+--又22222222222222A b A AB B A Bx x x y x y y y a b a b a b ---=-⇒=，∴22OM ABb K K a=（九）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>内，则过P 0的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-.证明：设弦与双曲线交于111222(,),(,)P x y P x y ，中点(,)S m n 122222220112212222222012()()P P POS n y x y x y x x b mb K K m x a b a b y y a na -+-=-⇒====-+22222200m b mb x n a na y ⇒-=-22002222x m y ym n a b a b⇒+=-，即22002222x x y yx y a b a b-=-。

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