流体力学习题课 (5)

习题五 2.
r r V 2 ) + Ω×V = − 1 ∇p ∇( 2 ρ
r r r r r r r Ω×V = Ωez ×(uex + vey ) = Ω(uey − vex )
= Ω(
2
V p ∂Ωψ r ∂Ωψ r ∇( + ) + ( ex + ey ) = 0 2 ρ ∂x ∂y V 2 + p +Ωψ ) =0 ∇( 2 ρ V 2 + p +Ωψ =C 2 ρ
∂ψ r ∂ψ r ey + ex ) ∂y ∂x
习题五
4. 一流动的复位势为 ez 和 sin z时，求流场中流线形状和速度分布。 求流场中流线形状和速度分布。 [解] 由复位势定义： 解 由复位势定义：
w(z) = ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y)
1 iz −iz 1 i( x+iy) −i( x+iy) w(z) = sin z = (e − e ) = (e −e ) 2i 2i
∂ϕ ∂ϕ Γ = ∫ udx + vdy = ∫ dx + dy = ∫δϕ ∂x ∂y c c c
= c ln x + y
2 2 m+ m−
= c ln r m− = 0
m+
∂ψ ∂ψ Q = ∫ udy − vdx = ∫ dy + dx = ∫δψ ∂x ∂x c c c
y m+ = tan−1 =θ m− = 2π x m−
= 1
iπ 2e 2
1 i( x− 2 ) ey −i( x+ 2 ) ix−y −ix+ y (e − e )= y e − e ) 2 2e
π
π
π π 1 = y [cos( x − ) + i sin( x − )] 2 2 2e ey π π − [cos( x + ) −i sin( x + )] 2 2 2
V2 p r r ∇( + ) + Ω×V = 0 2 ρ r r V 2 + p) +Ω×V)] =0 ∇×[∇( 2 ρ
r r r r r r r r r r ∇×(Ω×V ) =Ω(∇⋅V ) −V (∇⋅ Ω) + (V ⋅∇)Ω−(Ω⋅∇)V =0 r r r r r r r r r (Ω⋅∇)V =0 V (∇⋅Ω) =0 Ω(∇⋅V ) = 0 (V ⋅∇)Ω=0 V ⋅∇Ω=0
2
∂ϕ1 cx = 2 ∂x x + y2
∂ϕ1 cy = 2 ∂y x + y2
ϕ1 = ln( x2 + y2 ) + C(x)
x2 + y2 = rc2
∂ψ1 − cy = 2 ∂x x + y2
c 2
等势线
流函数
cx ∂ψ1 = 2 ∂y x + y2
δψ1 =
cxδy x2 + y2
ψ1 = −c tan−1 + C( y)
习题五 1.
速度势
δϕ2 =
cxδy x2 + y2
∂ϕ2 − cy = 2 ∂x x + y2
∂ϕ2 cx = 2 ∂y x + y2
−1
ϕ2 = −c tan
−1
x + C( y) y
ϕ2 = c tan−1 + C(x)
tan−1 y = θc x
y x
ϕ2 = c tan
流函数
y +C x
ψ1 = C
流线
复位势
y w(z) = ϕ2 + iψ2 = c[tan −1( ) + i ln( x2 + y2 ] + C x
w(z) = ϕ2 + iψ2 = c[θ + i ln r] + C
习题五 1.
沿封闭曲线的环量和流量： 沿封闭曲线的环量和流量：
cy cx v= 2 u= 2 x + y2 x + y2
ϕ2 = C
等势线
∂ψ2 cx = 2 ∂x x + y2
∂ψ2 cy = 2 ∂y x + y2
c δ (x2 ) (x δψ2 = 2 2 2 x +y
ψ2 = ln( x2 + y2 ) + C( y)
c 2
ψ2 = ln( x2 + y2 ) + C(x)
x2 + y2 = rc2
c 2
c ψ2 = ln( x2 + y2 ) + C 2
= c ln x + y
2 2 m+ m−
= c ln r m− = 0
m+
习题五
流函数
2. 证明不可压流体的理想、定常、二维流动，在忽略质量力时， 证明不可压流体的理想、定常、二维流动，在忽略质量力时， ψ 和涡旋 满足 Ω
∂(Ω,ψ) =0 ∂(x, y)
p 1 2 + V + Ωψ = const ρ 2 r r r r [证明 由： ∂V 证明] 证明 V 2 ) +Ω×V = F + 1 ∇⋅ P +∇( ∂t 2 ρ
习题五
1. 已知下列两个速度分布
cx u= 2 x + y2
为常数。 其中 c 为常数。
cy v= 2 x + y2
− cy u= 2 x + y2
cx v= 2 x + y2
(1) 求速度势 ϕ ，流函数 ψ 和复位势 (3) 比较两个速度场所得的结果。 比较两个速度场所得的结果。 [解] 速度势、流函数 和复位势： 解 速度势、
m+
习题五 1.
沿封闭曲线的环量和流量： 沿封闭曲线的环量和流量：
− cy u= 2 x + y2
v=
cx x2 + y2
∂ϕ ∂ϕ Γ = ∫ udx + vdy = ∫ dx + dy = ∫δϕ ∂x ∂y c c c
y m+ = tan−1 =θ m− = 2π x m−
m+
∂ψ ∂ψ Q = ∫ udy − vdx = ∫ dy + dx = ∫δψ ∂x ∂x c c c
−1
x y
ψ1 = c tan−1 + C(x)
tan−1 y = θc x
−1
ψ1 = c tan复位势来自y +C xψ1 = C
y x
流线
y w(z) = ϕ1 + iψ1 = c[ln( x + y ) + i tan ( )] + C x
2 2
w(z) = ϕ1 + iψ1 = c[ln r + iθ] + C
∂ψ ∂ψ Q = ∫ udy − vdx = ∫ dy + dx = ∫δψ ∂x ∂x c c c
习题五 1.
速度势
c δ (x2 ) δϕ = 2 2 ϕ = c ln( x2 + y2 ) + C( y) 1 1 2 x +y 2 ϕ1 = C c 2 2 ϕ1 = ln( x + y ) + C
并画等势线和流线； w(z) ，并画等势线和流线；
(2) 绕原点作封闭曲线，求沿此封闭曲线的环量 Γ 及通过它的流量 Q 绕原点作封闭曲线，
∂ϕ =u ∂x
∂ϕ =v ∂y
沿封闭曲线的 环量和流量： 环量和流量： 比较速度场
∂ψ ∂ψ =u = −v w(z) = ϕ + iψ ∂y ∂x ∂ϕ ∂ϕ Γ = ∫ udx + vdy = ∫ dx + dy = ∫δϕ ∂x ∂y c c c
Ω 若是常数，则压力方程为 若是常数，
r r V 2 ) + Ω×V = − 1 ∇p ∇( 2 ρ
V2 p r r ∇( + ) + Ω×V = 0 2 ρ
习题五 2.
[证明 由： 证明] 证明
r r r r ∂V +∇(V 2 ) +Ω×V = F + 1 ∇⋅ P ∂t 2 ρ r r V 2 ) + Ω×V = − 1 ∇p ∇( 2 ρ
∂Ω ∂Ω u⋅ +v⋅ =0 ∂x ∂y ∂ψ ∂Ω ∂ψ ∂Ω ⋅ − ⋅ =0 ∂y ∂x ∂x ∂y
∂(Ω,ψ ) =0 ∂(x, y)
r r r r ∂V +∇(V 2 ) +Ω×V = F + 1 ∇⋅ P [证明 由： 证明] 证明 ρ ∂t 2
V2 p r r ∇( + ) + Ω×V = 0 2 ρ