三角函数相关所有公式

两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ

sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

二倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)]

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α)) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

三倍角公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α))

sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α)

cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α)

tan3α=4tanα×tan(60-α)tan(60+α)

半角公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

万能代换公式：

半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[c os(α+β)-cos(α-β)]

和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

三角恒等变换的证明方法

首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中,过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=c AD=acosA,BD=acosBAD+BD=c 代入正弦定理，可得sinC=sin(180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。利用正弦和余弦的定义及周期性，可证明该公式对任意角成立。于是有cos(A+B)=sin(90-A-B)=sin(90-A)cos(-B)+cos(90-A)sin（-B）

=cosAcosB-sinAsinB

由此易得以上全部公式

诱导公式

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

弧度制下的角的表示：

sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）

cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）

tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）

cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）

sec（2kπ＋α）＝secα （k∈Z）

csc（2kπ＋α）＝cscα （k∈Z）

角度制下的角的表示：

sin (α+k·360°)＝sinα（k∈Z）

cos(α+k·360°)＝cosα（k∈Z）

tan (α+k·360°)＝tanα（k∈Z）

cot（α+k·360°）＝cotα （k∈Z）

sec（α+k·360°）＝secα （k∈Z）

csc（α+k·360°）＝cscα （k∈Z）

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：弧度制下的角的表示：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

sec（π＋α）＝－secα

csc（π＋α）＝－cscα

角度制下的角的表示：

sin（180°+α）＝－sinα

cos（180°+α）＝－cosα

tan（180°+α）＝tanα

cot（180°+α）＝cotα

sec（180°+α）＝－secα

csc（180°+α）＝－cscα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

sec（－α）＝secα

csc(－α）＝－cscα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：弧度制下的角的表示：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

sec（π－α）＝－secα

csc（π－α）＝cscα

角度制下的角的表示：

sin（180°－α）＝sinα

cos（180°－α）＝－cosα

tan（180°－α）＝－tanα

cot（180°－α）＝－cotα

sec（180°－α）＝－secα