2018届高三文科数学一轮复习等比数列及其前n项和

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2018版高考数学一轮总复习第5章数列5.3等比数列及其前n项和模拟演练理

2018版高考数学一轮总复习第5章数列 5.3 等比数列及其前n 项和模拟演练理[A 级基础达标](时间：40分钟)1．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23nD ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1答案 B解析由题意得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故a 1＝4，a 2＝6，所以a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫64n －1＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.2．[2017·常州模拟]在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或12答案 C解析根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a1q2＝7，a1＋a1q ＋a1q2＝21，∴1＋q ＋q2q2＝3，即2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12. 3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则S 9的值是( ) A ．255 B ．256 C ．511 D ．512 答案 C解析解法一：依题意，设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，∵S 3＝7，S 6＝63，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－q ＝7，－1－q＝63，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，q ＝2，∴S 9＝511，选C.解法二：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，∵S 3＝7，S 6＝63，∴S 9－S 6＝448，∴S 9＝448＋S 6＝448＋63＝511，选C.4．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 答案 D解析设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a4＋a7＝2，a5·a6＝a4·a7＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧a4＝4，a7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a4＝－2，a7＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a1＝－8，q3＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，q3＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a1＝－8，a10＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，a10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.5．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29 答案 C解析设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 3a 5＝a 21q 6＝14a 1，得a 1q 6＝14，即a 7＝14.又a 4＋a 7＝2×98，解得a 4＝2，所以q 3＝a7a4＝18，所以q ＝12，a 1＝16，故S 5＝－1－q＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1321－12＝31，故选C.6．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.答案 32解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a1q ＝3a1q ＋2，a1＋a1q ＋a1q2＋a1q3＝3a1q3＋2，两式作差，得a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q (q 2－1)，即2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1(舍去)．7．等比数列{a n }满足：对任意n ∈N *,2(a n ＋2－a n )＝3a n ＋1，a n ＋1>a n ，则公比q ＝________. 答案 2解析由题知2(a n q 2－a n )＝3a n q ，即2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12，又a n ＋1>a n ，故q ＝2.8．[2017·重庆模拟]已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.答案 64解析由a 1、a 2、a 5成等比数列，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，即(1＋d )2＝1＋4d ，解得d ＝2(d ＝0舍去)，S 8＝1＋152×8＝64.9．[2016·全国卷Ⅰ]已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．。

2018版高考数学大一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和课件文新人教版

(4)当 q<0 时，{an}为摆动数列.
思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列. (2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab. ( ) ( ×) × ( × ) (4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列. ( ) ×
n 3 －1 1 3 所以 an＋2＝ 2 ，因此{an}的通项公式为 an＝ 2 . n
1 1 1 3 (2)证明：a ＋a ＋„＋a <2. n 1 2
1 2 由(1)知a ＝ n . 3 －1 n
证明
因为当 n≥1 时，3 －1≥2×3
n
n－1
1 1 ，所以 n ≤ n－1. 3 －1 2×3
设该数列的公比为q，由题意知，
243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.
S5 －11 5.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，8a2＋a5＝0，则S ＝________. 2
答案解析
设等比数列{an}的公比为q， ∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0. ∴q3＋8＝0，∴q＝－2，
an 仍是等比数列. bn
5.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn，当 q＝1 时，Sn＝na1； a11－qn a1－anq 当 q≠1 时，Sn＝＝ . 1 －q 1－q
6.等比数列前n项和的性质
公比不为－ 1 的等比数列 {an} 的前n 项和为Sn ，则Sn， S2n－Sn， S3n－S2n
＋2n(n∈N*)． (1)求a2，a3的值；解答

2018年高考数学一轮复习第五章数列课时达标30等比数列及其前n项和理

2018年高考数学一轮复习第五章数列课时达标30 等比数列及其前n 项和理[解密考纲]主要考查等比数列的通项公式，等比中项及其性质，以及前n 项和公式的应用，三种题型均有涉及．一、选择题1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( A ) A ．－24 B ．0C ．12D ．24解析：由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( C ) A ．13B ．－13C ．12D ．－12解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16，①当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ·3n －1－16－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·3n －2－16＝x ·(3n －1－3n －2)＝2x ·3n －2，因为{a n }是等比数列，所以a 1＝a 2q ＝2x ·32－23＝2x3，②由①②得x －16＝2x 3，解得x ＝12.3．(2017·云南昆明模拟)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( B )A ．－2B ．－ 2C ．± 2D ． 2解析：根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0，由a 3a 7＝a 25，所以a 5＝－a 3a 7＝－ 2.4．已知等比数列{a n }中的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( D )A ．4n －1B ．4n－1C ．2n －1D ．2n－1解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n －1，选D ． 5．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( B )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析：由题意可知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18得a 5a 6＝a 4a 7＝9，而log3a 1＋log3a 2＋…＋log3a 10＝log3(a 1·a 2·…a 10)＝log3(a 5a 6)5＝log395＝log3310＝10.6．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( B )A ．16B ．8C ．2 2D ．4解析：由题意知a 4>0，a 14>0，a 4·a 14＝8，a 7>0，a 11>0，则2a 7＋a 11≥22a 7·a 11＝22a 4·a 14＝216＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 7·a 11＝8，2a 7＝a 11，即a 7＝2，a 11＝4时取等号，故2a 7＋a 11的最小值为8，故选B ．二、填空题7．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是4. 解析：设公比为q ，则由a 8＝a 6＋2a 4，得a 1q 7＝a 1q 5＋2a 1q 3，q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2(q 2＝－1舍去)，所以a 6＝a 2q 4＝4.8．等比数列的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝5.解析：由等比数列的性质可知a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，于是，由a 1a 5＝4得a 3＝2，故a 1a 2a 3a 4a 5＝32，则log2a 1＋log2a 2＋log2a 3＋log2a 4＋log2a 5＝log2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log232＝5.9．(2017·江苏徐州模拟)若等比数列{a n }满足：a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝2；前n 项和S n ＝2n ＋1－2.解析：由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 1＋q 2＝20，a 1q 2 1＋q 2＝40，解得q ＝2，a 1＝2，所以S n ＝a 1 1－q n 1－q ＝2 1－2n 1－2＝2n ＋1－2.三、解答题10．已知递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＝64 ，且a 4，a 5的等差中项为3a 3. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5＝64，a 1q 3＋a 1q 4＝6a 1q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－6435，q ＝－3，(舍去)，所以a n＝2n.(2)因为b n ＝na 2n －1＝n22n －1，所以T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n22n －1，14T n ＝123＋225＋327＋…＋n －122n －1＋n22n ＋1，所以34T n ＝12＋123＋125＋127＋…＋122n －1－n 22n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－141－14－n 22n ＋1＝23－4＋3n 3×22n ＋1，故T n ＝89－16＋12n 9×22n ＋1＝89－4＋3n 9×22n －1.11．(2017·天津模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1 ,2S 2,3S 3成等差数列，且S 4＝4027.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n <32.解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 1,2S 2,3S 3成等差数列，所以4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)，所以a 2＝3a 3，所以q ＝a 3a 2＝13.又S 4＝4027，即a 1 1－q 41－q ＝4027，解得a 1＝1，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1. (2)证明：由(1)得S n ＝a 1 1－q n 1－q ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .因为n ∈N *，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <1，所以0<1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n<1，所以S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <32.12．(2017·湖北华中师大附中期中)已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，b 4＝54，a 1＋a 2＋a 3＝b 2＋b 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . 解析：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由b 4＝b 1q 3，得q 3＝b 4b 1＝542＝27，从而q ＝3，b n ＝2·3n －1.又∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝b 2＋b 3＝6＋18＝24， ∴a 2＝8，d ＝a 2－a 1＝8－2＝6，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋6(n －1)＝6n －4. ∴a n ＝6n －4，b n ＝2·3n －1.(2)c n ＝a n b n ＝4(3n －2)·3n －1.令S n ＝4[1×30＋4×31＋7×32＋…＋(3n －5)×3n －2＋(3n －2)×3n －1]，则3S n ＝4[1×31＋4×32＋7×33＋…＋(3n －5)×3n －1＋(3n －2)×3n]．两式相减得－2S n＝4[1＋3×31＋3×32＋…＋3×3n －1－(3n －2)×3n]，∴－2S n ＝4[1＋32＋33＋ (3)－(3n －2)×3n] ＝2[(7－6n )·3n－7]．∴S n ＝7＋(6n －7)·3n.。

2018版高考数学一轮总复习第5章数列5.3等比数列及其前n项和课件

第5章数列
第3讲等比数列及其前n项和
板块一知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 等比数列的有关概念 1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q(q≠0) 表示． 2．等比数列的通项公式＝设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an n－1 a1q .
4 ．如果 {an} 为等比数列， bn ＝ a2n － 1 ＋ a2n ，则数列 {bn} 也是等比数列． ( × ) 5．如果数列{an} 为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × ) 6．数列{an}的通项公式是 an＝an，则其前 n 项和为 Sn a1－an ＝ .( × ) 1－a
板块二典例探究· 考向突破
考向例 1 15 A. 设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 31 B. 4 33 C. 4 17 D. 2
项和．已知 a2a4＝1，S3＝7，则 S5＝(
[ 解析 ]
4 an>0， a2a4＝ a2 q ＝ 1，① 1
[ 必会结论] 等比数列的主要性质设数列{an}是等比数列，Sn 是其前 n 项和． 1．若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq，其中 m，n，p，q ∈N*，特别地，若 2s＝p＋r，则 apar＝a2 s ，其中 p，s ，r ∈ N*. 2．相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak， ak＋m，ak＋2m，„仍是等比数列，公比为 qm(k，m ∈N*)．
3 ．若数列 {an} ， {bn} 是两个项数相同的等比数列，则
pan (其中数列{ban}，{pan· qbn}和 qbn

2018年高考数学一轮复习：等比数列及其前n项和(讲)

等比数列及其前n 项和【知识清单】一．等比数列的有关概念 1. 等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：)0(1≠=+q q a a nn ,（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零） 2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n .说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=. 3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 4．等比数列前n 项和公式一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++ ，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）.说明：（1）（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况.5. 等差数列与等比数列的区分与联系 (1)如果数列{}n a 成等差数列，那么数列{}na A(na A总有意义)必成等比数列．(2)如果数列{}n a 成等比数列，且0n a >，那么数列{log }a n a (0a >，且1a ≠)必成等差数列．(3)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列．数列{}n a 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．对点练习：【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ， 13n n a S +=，则下列关于{}n a 的论断中正确的是（） A. 一定是等差数列 B. 一定是等比数列C. 可能是等差数列，但不会是等比数列D. 可能是等比数列，但不会是等差数列【答案】C【解析】∵a n+1=3S n ， ∴S n+1−S n =3S n ， ∴S n+1=4S n ，若S 1=0，则数列{a n }为等差数列；若S 1≠0，则数列{S n }为首项为S 1，公比为4的等比数列，∴S n =S 1⋅4n −1，此时a n =S n −S n −1=3S 1⋅4n −2(n ⩾2)，即数列从第二项起，后面的项组成等比数列。

2018届高考数学(文)大一轮复习：第5章第3节等比数列及其前n项和

第三节等比数列及其前n 项和————————————————————————————————[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n ＝q(n∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab.2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1＝，a 1－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k(m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab.( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝－a n1－a.[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(2017·广州综合测试(二))已知等比数列{a n }的公比为－12，则a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6的值是( )A ．－2B ．－12C.12D ．2A [a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5－121＋a 3＋a 5＝－2.]3．(2017·东北三省四市一联)等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＝6，a 3＝8，则a 6＝( ) A ．64 B ．128 C ．256D ．512A [设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝6，a 3＝a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝18，q ＝－23(舍去)，所以a 6＝a 1q 5＝64，故选A.]4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________． 27,81 [设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]5．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________.6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S n ＝126，∴－2n1－2＝126，解得n ＝6.]n n n 项和，a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝( )A ．32B ．64C ．128D ．256(2)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于__________．【导学号：31222183】(1)C (2)2n－1 [(1)∵{a n }为等比数列，a 2·a 4＝16，∴a 3＝4.∵a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝7，∴S 2＝a 1－q21－q＝3，∴4q2(1－q 2)＝3(1－q)，即3q 2－4q －4＝0，∴q ＝－23或q ＝2.∵a n >0，∴q ＝2，则a 1＝1，∴a 8＝27＝128.(2)设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1－2n1－2＝2n－1.][规律方法] 1.等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．[变式训练1] (1)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项和S 3＝21，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝__________.(1)C (2)28 [(1)根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7， ①a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21， ②②÷①得1＋q ＋q2q 2＝3. 整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.(2)由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1－q n1－q，得S 6＝a 1－361－3，S 3＝a 1－331－3，所以S 6S 3＝a 1－361－3·1－3a 1－33＝28.](2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.[解] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，2分故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.3分由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .5分由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.7分(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n .9分由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.10分解得λ＝－1.12分[规律方法] 等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n＝q(q 为非零常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0，且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定．[变式训练2] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n≥2)，且a n ＋S n ＝n.(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． [解] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，①∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，即2a n ＋1＝a n ＋1， ∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2c n ＋1＝c n .3分由a 1＋S 1＝1得a 1＝12，∴c 1＝a 1－1＝－12，从而c n ≠0，∴c n ＋1c n ＝12.∴数列{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列.6分(2)由(1)知c n ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，7分又c n ＝a n －1，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，9分∴当n≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.又b 1＝a 1＝12，适合上式，故b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.12分(1)(2016·安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)(2016·天津高考)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q<0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件(1)B (2)C [(1)由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m≥2)，所以a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2，所以T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5，故选B.(2)若对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0，则a 1＋a 2<0，又a 1>0，所以a 2<0，所以q ＝a 2a 1<0.若q<0，可取q＝－1，a 1＝1，则a 1＋a 2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0.所以“q<0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件．故选C.][规律方法] 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[变式训练3] (1)(2017·合肥三次质检)在正项等比数列{a n }中，a 1 008·a 1 009＝1100，则lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2 016＝( )A ．2 015B ．2 016C ．－2 015D ．－2 016(2)(2017·南昌一模)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( )A.32B.94 C ．1D ．2(1)D (2)D [(1)lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2 016＝lg a 1a 2…a 2 016＝ lg(a 1 008·a 1 009)1 008＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1100 1 008＝lg ()10－2 1 008＝－2 016，故选D.(2)由题意得S 4＝a 1－q 41－q＝9，所以1－q 41－q ＝9a 1.由a 1·a 1q·a 1q 2·a 1q 3＝(a 21q 3)2＝814得a 21q 3＝92.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1q 41－1q＝q 4－1a 1q 3－＝1a 1q 3·9a 1＝9a 21q3＝2，故选D.][思想与方法]1．方程的思想．等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．2．函数的思想．通项公式a n ＝a 1qn －1可化为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1q q n，因此a n 是关于n 的函数，即{a n }中的各项所表示的点(n ，a n )在曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1q q x上，是一群孤立的点．3．分类讨论思想．当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1－q n1－q＝a 1－a n q1－q.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，此处是常考易错点． [易错与防范]1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q≠1分类讨论，防止因忽视q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)．课时分层训练(三十) 等比数列及其前n 项和A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )【导学号：31222184】A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列D [由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.]2．(2016·重庆巴蜀中学3月模拟)我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增．共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？( ) 【导学号：31222185】A ．5B ．4C ．3D ．2 C [设塔顶有x 盏灯，则由题意知－271－2＝381，解得x ＝3.故选C.]3．(2016·广东肇庆三模)在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3D [两式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3，即q ＝3.]4．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12D.18C [法一：∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12，故选C.]5．(2017·合肥二次质检)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，a 3·a 5＝4，则下列说法正确的是( )A ．{a n }是单调递减数列B ．{S n }是单调递减数列C ．{a 2n }是单调递减数列D ．{S 2n }是单调递减数列C [设等比数列{a n }的公比为q ，则a 3·a 5＝a 2q·a 2q 3＝4，又因为a 2＝12，所以q 4＝136，则q 2＝16，所以数列{a 2n }是首项为12，公比为16的等比数列，则数列{a 2n }为单调递减数列，故选C.]二、填空题6．若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝__________. 【导学号：31222186】1 [∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝a·c＝(5＋26)(5－26)＝1.又b>0，∴b ＝1.]7．(2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.1 121 [∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1，∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121.]8．(2017·深圳二次调研)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S n ＝__________尺．2n－12n －1＋1 [依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n 天大老鼠打洞的距离共为－2n1－2＝2n－1.同理可得前n 天小老鼠打洞的距离共为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2－12n －1，所以S n ＝2n －1＋2－12n －1＝2n－12n －1＋1.]三、解答题9．数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2，b n ＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝4. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .[解] (1)由b n ＋1＝2b n ＋2，得b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)，2分 ∴b n ＋1＋2b n ＋2＝2, 又b 1＋2＝a 2－a 1＋2＝4， ∴数列{b n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． ∴b n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝2n ＋1－2.5分(2)由(1)知，a n －a n －1＝b n －1＝2n－2(n≥2)， ∴a n －1－a n －2＝2n －1－2(n>2)，…，a 2－a 1＝22－2，∴a n －2＝(22＋23＋ (2))－2(n －1)，9分 ∴a n ＝(2＋22＋23＋ (2))－2n ＋2＝n－2－1－2n ＋2＝2n ＋1－2n.∴S n ＝－2n 1－2－＋2＝2n ＋2－(n 2＋n ＋4).12分10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． [解] (1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)， n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.2分因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n≥2)，所以当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1. 又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列.5分 (2)由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.7分可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n≥2).10分当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ∈N *).12分 B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·安徽安庆二模)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( ) 【导学号：31222187】A ．1B ．－1 C.12 D ．2 D [由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.]2．(2016·广东肇庆三模)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＋a 1＝2a n ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则a 1＋a 5＝__________.34 [由S n ＋a 1＝2a n ，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n ，所以a 1＋a 5＝2＋25＝34.]3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列． [解] (1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32 ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78. (2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n≥2)， 4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n≥2)．∵4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2， ∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n ＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n n ＋1－a n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．。

2018年高考数学文一轮复习文档：第五章数列第3讲等

第3讲等比数列及其前n 项和, )1．等比数列的有关概念 (1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇒G 2＝ab ．2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．1．辨明三个易误点(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不能为0，但q 可为正数，也可为负数．(2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．2．等比数列的三种判定方法 (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝cqn －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q；在判断等比数列单调性时，也必须对a 1与q 分类讨论．1.教材习题改编等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36 C ．812D ．54C 法一：由a 3＝12，a 4＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，a 1q 3＝18，解得a 1＝163，q ＝32，所以a 6＝a 1q 5＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫325＝812.故选C.法二：由等比数列性质知，a 23＝a 2a 4，所以a 2＝a 23a 4＝12218＝8，又a 24＝a 2a 6，所以a 6＝a 24a 2＝1828＝812.故选C.2.教材习题改编设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64C 由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.3.教材习题改编在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，得q 3＝27，所以q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 27，814.教材习题改编由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________．log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10 ＝log 2＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25. 255.教材习题改编在等比数列{a n }中，a n >0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________．因为a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6.所以a 1q 4－a 1＝15，① a 1q 3－a 1q ＝6，②且q ≠1. ①②得（q 2＋1）（q 2－1）q ·（q 2－1）＝156，即2q 2－5q ＋2＝0，所以q ＝2或q ＝12，当q ＝2时，a 1＝1；当q ＝12时，a 1＝－16(舍去)．所以a 3＝1×22＝4. 4等比数列的基本运算(高频考点)等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属中、低档题．高考对等比数列基本运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求首项a 1、公比q 或项数n ； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．(2017·兰州模拟)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1，两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)，即6a n ＝9(a n －a n －1)，所以a n ＝3a n －1.所以数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)因为b n ＝1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2，所以{b n }是首项为3，公比为13的等比数列，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝92⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.等比数列基本运算的解题技巧(1)求等比数列的基本量问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：①由已知条件列出以首项和公比为未知数的方程(组)；②求出首项和公比；③求出项数或前n 项和等其余量．(2)设元的技巧，可减少运算量，如三个数成等比数列，可设为aq，a ，aq (公比为q )；四个数成等比数列且q >0时，设为a q 3，a q，aq ，aq 3.角度一求首项a 1、公比q 或项数n1．(2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又因为S n ＝126，所以2（1－2n）1－2＝126，所以n ＝6.6角度二求通项或特定项2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．因为3S 1，2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.3n －1角度三求前n 项和3．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－310) B ．19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)C 由题意知数列{a n }为等比数列，设其公比为q ，则q ＝a n ＋1a n ＝－13，a 1＝a 2q＝4，因此其前10项和等于4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．等比数列的判定与证明(2016·高考全国卷丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.【解】 (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ(λλ－1)n －1.(2)由(1)得，S n ＝1－(λλ－1)n.由S 5＝3132得，1－(λλ－1)5＝3132，即(λλ－1)5＝132. 解得λ＝－1.证明数列{a n }是等比数列常用的方法一是定义法，证明a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．已知数列{a n }是等差数列，a 3＝10，a 6＝22，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋13b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋5d ＝22，解得a 1＝2，d ＝4.所以a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2. (2)证明：由T n ＝1－13b n ，①令n ＝1，得T 1＝b 1＝1－13b 1.解得b 1＝34，当n ≥2时，T n －1＝1－13b n －1，②①－②得b n ＝13b n －1－13b n ，所以b n ＝14b n －1，所以b n b n －1＝14.又因为b 1＝34≠0，所以数列{b n }是以34为首项，14为公比的等比数列．等比数列的性质(1)(2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A ．31 B ．36 C ．42D ．48(3)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________．【解析】 (1)法一：因为a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)，所以a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2.又因为q 3＝a 4a 1＝214＝8，所以q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：因为a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)．将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12，故选C.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31，故选A.(3)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12. 【答案】 (1)C (2)A (3)－12等比数列常见性质的应用(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)等比数列性质的应用可以分为三类：①通项公式的变形；②等比中项的变形；③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(3)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．1．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．18 B ．－18C ．578D ．558A 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.2．(2017·沈阳质量监测)数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________．设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质知a 5＝a 2q 3，求得q ＝12，所以a 1＝4.a 2a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝14a 1a 2，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝14a n －1a n (n ≥2)．设b n ＝a n a n ＋1，可以得出数列{b n }是以8为首项，以14为公比的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{b n }的前n 项和，由等比数列前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝323(1－4－n)．323(1－4－n) , )——分类讨论思想在等比数列中的应用已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为________．【解析】设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.因为S 2mS m＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m ）1－q＝q m ＋1＝9，所以q m ＝8.所以a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，所以m ＝3，所以q 3＝8，所以q ＝2. 【答案】2(1)本题在利用等比数列的前n 项和公式表示S 2m 和S m 时，对公比q ＝1和q ≠1进行了分类讨论．(2)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有： ①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况． ②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论． ③项数的奇、偶数讨论．④等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .(1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a n （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ·(n ＋1)．因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数., )1．(2017·太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4C ． 2D ．2 2B 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( ) A ．－13B ．13C ．－12D ．12A 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－13.3．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C ．n （n ＋1）2D ．n （n －1）2A 因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2×2＝n (n ＋1)．故选A.4．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3C 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，根据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16125，q ＝52.所以a n ＝a 1qn －1＝16125×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×52＝4. 5．(2017·莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017D 由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n，所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.6．(2017·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝( ) A ．4n －1B ．4n－1 C ．2n －1D ．2n－1D 设{a n}的公比为q ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，所以q ＝12，代入①得a 1＝2，所以a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，所以S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，所以S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n－1，选D.7．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n1－2＝2n－1.2n－18．(2017·郑州第二次质量预测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________．由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1（1－q n ）1－q，得S 6＝a 1（1－36）1－3，S 3＝a 1（1－33）1－3，所以S 6S 3＝a 1（1－36）1－3·1－3a 1（1－33）＝28.289．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________．T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0＜a 1＜a 2＜…＜a 14＜a 15＜1＜a 16＜a 17＜…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.1510．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2a 4＝16，a 6＝32，记b n ＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前5项和S 5为________．设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝a 2a 4＝16得，a 3＝4，即a 1q 2＝4，又a 6＝a 1q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n －1＋2n ＝3·2n －1，所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，所以S 5＝3（1－25）1－2＝93.9311．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． (1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)，当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1.12．(2017·衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1C 因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．14．(2017·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(1)因为a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列，所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5，即2a 6－3a 5＋a 4＝0，所以2q 2－3q ＋1＝0，因为q ≠1，所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ， T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.。

2018届高三数学文一轮复习课件：5-3 等比数列及其前n项和精品

解析：(4)当 q＝1 时，由 S2＝3a2＋2 得 a2＝－2，由 S4＝3a4＋2 得 a4＝2，
a1＋a1q＝3a1q＋2，两者矛盾，舍去，则 q≠1，联立方程a111－－qq4＝3a1q3＋2，
可解得
a1＝－1， q＝32，
故应填32。
[规律方法] (1)化基本量求通项。求等比数列的两个基本元素 a1 和 q，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解。 (2)化基本量求特定项。利用通项公式或者等比数列的性质求解。 (3)化基本量求公比。利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解。 (4)化基本量求和。直接将基本量代入前 n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解。
[规律方法] 等比数列的判定方法
(1)定义法：若aan＋n1＝q(q 为非零常数，n∈N*)或aan－n 1＝q(q 为非零常数且 n≥2， n∈N*)，则{an}是等比数列。
(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0 且 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an} 是等比数列。
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn－1(c，q 均是不为零的常数， n∈N*)，则{an}是等比数列。
na1，q＝1 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnqq≠1。
微知识❻ 等比数列前 n 项和的性质若公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为 qn 。微知识❼ 等比数列{an}的单调性 (1)满足qa＞1＞10，或0a＜1＜q0＜，1 时，{an}是递增数列；
第五章数列
第三节等比数列及其前n项和
微知识小题练微考点大课堂微考场新提升
微知识小题练

2018课标版文数一轮(6)第六章-数列(含答案)3-第三节等比数列及其前n项和

a1 (1 q n ) 当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn= = 1 q
a a q.
1 n
1 q
栏目索引
n 1-1 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3= ,a2+a4= ,则 =
5 2
5 4
S an
( ) A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1
a (1 a n ) (5)数列{an}的通项公式是an=a ,则其前n项和为Sn= . ( × ) 1 a
n
栏目索引
1 1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比q=( 4 1 1 A.- B.-2 C.2 D. 2 2 1 4
)
答案 D 由通项公式及已知得a1q=2①,a1q4= ②,由②÷①得q3= ,解得 q= .故选D.
.
答案 7
解析
64
a3 1 1 1 1 设{an}的公比为q.∵a2= ,a3= ,∴q= = ,∴a1=1,由ak=a1· a2 2 2 4 2
k 1
=
1 ,解得k=7.
栏目索引
5 5.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则 =
S S2
.
答案 -11
当q≠1时,Sn=⑩
a1 (1 q n ) 1 q
=
a1 an q 1 q
.
6.等比数列前n项和的性质公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等
比数列,其公比为
q
n
.
栏目索引
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(×) (2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab. (×) (3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n是等差数列. (×) (4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列. (×)

2018版高考一轮数学文科：第29讲-等比数列及其前n项和ppt课件

真题在线
2．[2016· 全国卷Ⅰ] 已知{an}是公差为 3 的 1 等差数列，数列{bn}满足 b1＝1，b2＝3，anbn ＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前 n 项和．
解：(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1， 1 b2＝，得 a1＝2， 3 所以数列{an}是首项为 2，公差为 3 的等差数列，其通项公式为 an＝3n－1. (2)由(1)和 anbn＋1＋bn＋1＝nbn 得 bn＋1＝ 1 bn ，因此 { b } 是首项为 1 ，公比为 n 3 3的等比数列．记{bn}的前 n 项和为 Sn，则 1 1－3n 3 1 Sn＝＝－ 1 2 2×3n－1. 1－3
等比数列及其前n项和
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
第29讲 PART 05
考试说明
1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式． 2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题． 3．了解等比数列与指数函数的关系．
教学参考
③当 q＝1 时，数列{an}是常数列； ④当 q＜0 时，数列{an}为摆动数列．
课前双基巩固
常用结论
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2．[2016· 天津卷] 已知{an}是等比数列，前 n 项 1 1 2 * 和为 Sn(n∈N )，且a －a ＝a ，S6＝63. 1 2 3 (1)求{an}的通项公式； (2)若对任意的 n∈N*，bn 是 log2an 和 log2an＋1 的等差中项，求数列{(－1)nb2 n}的前 2n 项和．
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3．[2016· 全国卷Ⅲ] 已知各项都为正数的数列{an}满足 a1＝1， a2 n－(2an＋1－1)an －2an＋1＝0. (1)求 a2，a3； (2)求{an}的通项公式．

2018版高考数学大一轮复习第六章数列第3讲等比数列及其前n项和课件理

解析
2 (1)由{an}为等比数列，得 a3a5＝a2 ，所以 a 4 4＝4(a4－1)， 3
1 3 解得 a4＝2，设等比数列{an}的公比为 q，则 a4＝a1q ，得 2＝4q ， 1 解得 q＝2，所以 a2＝a1q＝2.选 C. (2)法一由等比数列的性质及题意，得 S3，S6－S3，S9－S6 仍成
S6－S3 S9－S6 等比数列，由已知得 S6＝3S3， ∴ S ＝，即 S9－S6＝4S3， S6－S3 3 S9 7 S9＝7S3，∴S ＝3. 6
法二
S6 因为{an}为等比数列，由S ＝3，设 S6＝3a，S3＝a，所以 3
S3，S6－S3，S9－S6 为等比数列，即 a，2a，S9－S6 成等比数列， S9 7a 7 所以 S9－S6＝4a，解得 S9＝7a，所以S ＝3a＝3. 6
同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常于_______ 公比，公比通常用字母 q(q≠0)表示. 数叫做等比数列的_____
an＋1 an q 数学语言表达式：＝___ (n≥2， q 为非零常数)，或 a ＝ an－1 n q(n∈N*，q 为非零常数). (2)如果三个数 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的
答案 1
考点一等比数列基本量的运算
【例 1】 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4＝1，S3＝7，则 S5 等于( 15 A. 2 B. 31 4 C. 33 4 ) D. 17 2
(2)(2016· 全国Ⅰ卷)设等比数列满足 a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则 a1a2„an 的最大值为________.
考点三等比数列的判定与证明【例 3】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，

2018届高考数学一轮复习等比数列及其前n项和课件人教A版

n n
1 1n－1 ＝ · . 2d 2 1 1 故{bn}是首项为 b1＝，公比为的等比数列． 2 2d
3n2－n (3)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝，n∈N*. 2 ①求数列{an}的通项公式； ②证明：对任意的 n>1，都有 m∈N*，使得 a1，an，am 成等比数列．
(1)证明：由 a1＝1 及 Sn＋1＝4an＋2，得 a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
S n＋1＝4an＋2，① 又 Sn＝4an－1＋2，②
①－②，得 an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1， ∴{bn}是首项 b1＝3，公比为 2 的等比数列．
§6.3 等比数列及其前n项和
考纲展示► 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 3. 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.
考点 1
等比数列的判定与证明
等比数列的有关概念 (1)定义：
[点石成金]
等比数列的四种常用判定方法
an＋1 an * (1)定义法：若＝q(q 为非零常数，n∈N )或＝q(q 为 an an－1 非零常数且 n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
* (2)中项公式法：若数列{an}中， an≠0 且 a2 ＝ a · a ( n ∈ N )，＋＋ n 1 n n 2
－
考点 2
等比数列的基本运算
等比数列的有关公式
n 1 a q 1 (1)通项公式：an＝__________.

2018年高考数学一轮复习第五章数列第30讲等比数列及其前n项和课件理

2 an＋1－1＝λan－2＝λan－λ .由于数列{an－1}是等比数
2．设数列 an (n＝1,2,3，„)的前 n 项和 Sn 满足 Sn＋a1＝2an，且 a1，a2＋1，a3 成

34 等差数列，则 a1＋a5＝______.
• 解析：由Sn＋a1＝2an，得an＝Sn－Sn－1＝2an －2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝ 2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1 ＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n，所以a1＋a5＝2＋25＝34.

(7)q＞1 时，等比数列 an 是递增数列．( × ) (8)在等比数列 an 中，若 am· an＝ap· aq，则 m＋n＝p＋q.( × )

• 解析：(1)常数列0,0,0，„不是等比数列，故错误． • (2)由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0 的项，故正确． • (3)当q＝0时，{an}不是等比数列，故错误． • (4)当G2＝ab＝0时，G不是a，b的等比中项，故错误． • (5)等比数列的通项公式为an＝a1qn－1，故错误． • (6)当a＝1时，Sn＝n，故错误． • (7)当q>1，a<0时，等比数列递减，故错误． • (8)若an＝1，a1·a3＝a4·a5＝1，但1＋3≠4＋5故错误．
12 3 a 【例 3】数列 n 的前 n 项和为 Sn，Sn＋an＝－2n －2n＋1(n∈N*)．

(1)设 bn＝an＋n，证明：数列 bn 是等比数列； (2)求数列 nbn 的前 n 项和 Tn.

2018届高三数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项和课件理

n 1 所以 = .
1 1 λ
a an
λ λ 1
因此{an}是首项为 ,公比为的等比数列,
1 λ 于是an= . (6分) 1 λ λ 1
1 1 λ
λ λ 1
n 1
λ (2)由(1)得Sn=1- . λ 1
n
31 λ 31 由S5= 得1- = , 32 λ 1 32
1 A.- 2
1 4
)
B.-2
C.2
1 D. 2 4 8
答案 D
2
1 ②,由②÷①得q3= 1 ,解得由通项公式及已知得a1q=2①,a1q4=
1 .故选D. q=
2.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=(
1 A. 3 1 B.- 3 1 C. 9 1 D.- 9 1 9
Sn1
典例3 (1)(2016湖南师大附中月考)已知各项不为0的等差数列{an}满
2 a7 足a6- +a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2· b8· b11= (
)
A.1
B.2
C.4
D.8
(2)已知{an}为各项都是正数的等比数列,Sn为其前n项和,且S10=10,S3
答案 B 设{an}的公比为q,由a1=3,a1+a3+a5=21得1+q2+q4=7,解得q2=2 (负值舍去).∴a3+a5+a7=a1q2+a3q2+a5q2=(a1+a3+a5)q2=21×2=42.
4.(2015安徽,14,5分)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则

2018年高考数学一轮总复习专题6.3等比数列及其前n项和练习(含解析)文

专题6.3 等比数列及其前n 项和1.【2015新课标2文9】已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（）A.2B.1 1C.2 1D.8【答案】C【解析】由题意可得；2354444(1)2a a a a a ==-⇒=，所以；34182a q q a ==⇒= ，故2112a a q ==,选C. 【考点解读】本题为求等比数列的特定项，求出公比是解题的关键。

求解有两个思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质，应有意识地去应用。

在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法。

2.【2015高考新课标1文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = . 【答案】6【考点解读】本题考查了等比数列定义与前n 项和公式，关键是由条件12n n a a +=得出该数列为等比数列。

3.【2015高考广东文13】若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-则b = ．【答案】1【解析】因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(2551b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1．【考点解读】本题主要考查的是等比中项，属于容易题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念，即若a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项，即2G ab =．4.【2017江苏高考9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = . 【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 【考点解读】本题考查等比数列的求和及通项，解题中可运用方程思想（求基本量），等比数列注意分类思想。

2018届高三数学一轮复习：第六章数列第三节等比数列及其前n项和含解析

第三节等比数列及其前n项和A组基础题组1.(2014重庆,2,5分)对任意等比数列{a n},下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列2.(2017甘肃白银十中月考)在等比数列{a n}中,a3=6,前3项之和S3=18,则公比q的值为()A.1B.-C.1或-D.-1或3.(2016广安模拟)设等比数列{a n}的前n项的积为P n=a1·a2·a3·…·a n,若P12=32P7,则a10等于()A.16B.8C.4D.24.已知{a n}是各项均为正数的等比数列,3a1,a3,2a2成等差数列,则=()A.27B.3C.-1或3D.1或275.(2016河北三市联考)古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述题中条件,若要使织布的总尺数不少于30,该女子所需的天数至少为()A.7B.8C.9D.106.设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=.7.在3与192中间插入两个数,使它们成等比数列,则这两个数为.8.设数列{a n}的前n项和为S n,若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1=,S5=.9.(2016课标全国Ⅰ,17,12分)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=,a n b n+1+b n+1=nb n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{b n}的前n项和.10.已知数列{a n}满足a1=5,a2=5,a n+1=a n+6a n-1(n≥2).(1)求证:{a n+1+2a n}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.B组提升题组11.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为()A.-2B.2C.-3D.312.设{a n}是各项为正数的无穷数列,A i是邻边长为a i,a i+1的矩形的面积(i=1,2,…),则{A n}为等比数列的充要条件是()A.{a n}是等比数列B.a1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比数列C.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列D.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同13.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积,则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列{a n}是一个“2016积数列”,且a1>1,则当其前n项的乘积取最大值时n的值为.14.设等比数列{a n}的公比为q,前n项和S n>0(n=1,2,3,…).则q的取值范围为.15.(2016日照模拟)已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(1)证明:数列是等比数列;(2)求a2n及a2n-1.16.已知等差数列{a n}的前n项的和为S n,等比数列{b n}的各项均为正数,公比是q,且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.(1)求a n与b n;(2)设c n=3b n-λ·,若数列{c n}是递增数列,求λ的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.D设公比为q,则=q4,a1·a9=q8,a2·a6=·q6,当q≠±1时,A、B均不正确;又=q6,a2·a8=q8,同理,C不正确;由=q10,a3·a9=q10,知D正确.2.C根据已知条件得所以=3.整理得2q2-q-1=0,解得q=1或q=-.3.D由P 12=32P7,得a8·a9·a10·a11·a12=32,即=32,于是a10=2.4.A∵3a1,a3,2a2成等差数列,∴3a1+2a2=a3,∴3a1+2a1q=a1q2(q为等比数列{a n}的公比),又a1≠0,∴q2-2q-3=0.又由题意知q>0,∴q=3,∴=q3=27,故选A.5.B设该女子第一天织布x尺,则=5,得x=,∴前n天所织布的总尺数为(2n-1).由(2n-1)≥30,得2n≥187,则n的最小值为8.6.答案解析由S2=3a2+2,S4=3a4+2作差可得a3+a4=3a4-3a2,即2a4-a3-3a2=0,所以2q2-q-3=0,解得q=或q=-1(舍).7.答案12,48解析设所成的等比数列的公比为q,由题意知,192=3×q3,q3=64,所以q=4.所以插入的两个数分别为3×4=12,12×4=48.8.答案1;121解析∵a n+1=2S n+1,∴S n+1-S n=2S n+1,∴S n+1=3S n+1,∴S n+1+=3,∴数列是公比为3的等比数列,∴=3.又S2=4,∴S1=1,∴a1=1,∴S5+=×34=×34=,∴S5=121.9.解析(1)由已知得,a1b2+b2=b1,结合b1=1,b2=,得a1=2,(3分)所以数列{a n}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n=3n-1.(5分)(2)由(1)和a n b n+1+b n+1=nb n得b n+1=,(7分)因此{b n}是首项为1,公比为的等比数列.(9分)记{b n}的前n项和为S n,则S n==-.(12分)10.解析(1)证明:∵a n+1=a n+6a n-1(n≥2),∴a n+1+2a n=3a n+6a n-1=3(a n+2a n-1)(n≥2).∵a1=5,a2=5,∴a2+2a1=15,∴a n+2a n-1≠0(n≥2),∴=3(n≥2),∴数列{a n+1+2a n}是以15为首项,3为公比的等比数列.(2)由(1)得a n+1+2a n=15×3n-1=5×3n,则a n+1=-2a n+5×3n,∴a n+1-3n+1=-2(a n-3n).又∵a1-3=2,∴a n-3n≠0.∴{a n-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.∴a n-3n=2×(-2)n-1,即a n=2×(-2)n-1+3n.B组提升题组11.B设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.∴==q m+1=9,∴q m=8.∴==q m=8=,∴m=3,∴q3=8,∴q=2.12.D A i=a i a i+1,若{A i}是等比数列,则==为常数,则需a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列且公比相同,反之也成立,故选D.13.答案1007或1008解析由题可知a1a2a3·…·a2016=a2016,故a1a2a3·…·a2015=1,由于{a n}是各项均为正数的等比数列且a1>1,所以a1008=1,公比q满足0<q<1,所以a1007>1且0<a1009<1,故当数列{a n}的前n项的乘积取最大值时,n的值为1007或1008.14.答案(-1,0)∪(0,+∞)解析由{a n}为等比数列,S n>0,可以得到a1=S1>0,q≠0.当q=1时,S n=na1>0.当q≠1时,S n=>0,即>0(n=1,2,3,…),上式等价于(n=1,2,3,…),①或(n=1,2,3,…).②解①得q>1,解②,由于n可为奇数,也可为偶数,故-1<q<1(q≠0).综上,q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).15.解析(1)证明:设b n=a2n-,则b1=a2-=-=-,因为=====,所以数列是以-为首项,为公比的等比数列.(2)由(1)得b n=a2n-=-·=-·,即a2n=-·+,由a2n=a2n-1+(2n-1),得a2n-1=3a2n-3(2n-1)=-·-6n+.16.解析(1)由已知可得所以q2+q-12=0,解得q=3或q=-4(舍),从而a2=6,所以a n=3n,b n=3n-1.(2)由(1)知,c n=3n-λ·2n.由题意,得c n+1>c n对任意的n∈N*恒成立,即3n+1-λ·2n+1>3n-λ·2n恒成立,亦即λ·2n<2·3n恒成立,即λ<2·恒成立.由于函数y=是增函数,所以=2×=3,故λ<3,即λ的取值范围为(-∞,3).。