第四章梁的弯曲
第四章梁的弯曲
一、判断题
1. 作用在刚体上的力偶可以任意平移，而作用在变形固体上的力偶一般不能平移。（√）
2. 在等截面梁中，正应力绝对值的最大值必然出现在弯矩值最大的截面上。（√）
3. 梁的合理截面应该使面积的分布尽可能离中性轴远。（√）
4. 弯曲应力有正应力和剪应力之分。一般正应力由弯矩引起，剪应力由剪力引起。（√）
5. 弯曲变形的实质是剪切。（×）
6. 梁弯曲时，中性层上的正应力为零。（√）
二、选择题
1．梁的合理截面形状依次是（D、A、C、B ）。
A．矩形；B．圆形；C．圆环形；D．工字形。
2. 梁在集中力作用的截面处，其内力图（ B ）
A 剪力图有突变，弯矩图光滑连续
B 剪力图有突变，弯矩图有转折
C 弯矩图有突变，剪力图光滑连续
D 弯矩图有突变，剪力图有转折
3. 梁在集中力偶作用的截面处，其内力图（ C ）
A 剪力图有突变，弯矩图光滑连续
B 剪力图有突变，弯矩图有转折
C 弯矩图有突变，剪力图光滑连续
D 弯矩图有突变，剪力图有转折
4．在梁的弯曲过程中，梁的中性层（ B ）
A 不变形
B 长度不变
C 长度伸长
D 长度缩短
5．当横向外力作用在梁的纵向对称平面时，梁将发生（ C ）
A 拉压变形 B.扭转变形 C 平面弯曲 D 剪切变形
6. 梁弯曲变形时，横截面上存在（ D ）两种内力。
A. 轴力和扭矩；
B. 剪力和扭矩；
C. 轴力和弯矩；
D. 剪力和弯矩。
7. 一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座的梁，称为（ A ）。
A. 双支梁；
B.外伸梁；
C. 悬臂梁。
8. 一端为固定端，另一端为自由的梁，称为（ C ）。
A. 双支梁；
B. 外伸梁；
C. 悬臂梁。
三、填空题
1. 在没有分布载荷作用（q＝0）的一段梁内，剪力图为水平直线；弯矩图为斜直线。2．在有均布载荷作用（q＝常数）的一段梁内，剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线，在剪力为0处，弯矩取极值。
3．在集中力作用处，剪力图发生突变；弯矩图发生转折。
4．在集中力偶作用处，剪力图不变，弯矩图发生突变。
5．梁在弯曲变形时，梁内有一层纵向纤维长度保持不变，叫做中性层，它与横截面的交线称为中性轴。
6．一般情况下，直梁平面弯曲时，对于整个梁来说中性层上的正应力为零。
7．提高梁强度和刚度的主要措施有：合理安排梁的支承、合理地布置载荷、选择梁的合理截面。
第七章-直梁弯曲时的内力和应力复习进程
第七章直梁弯曲时的内力和应力 一、填空题： 1、梁产生弯曲变形时的受力特点，是梁在过轴线的平面内受到外力偶的作用或者受到和梁轴线相___________的外力的作用。 2、车床上的三爪盘将工件夹紧之后，工件夹紧部分对卡盘既不能有相对移动，也不能有相对转动，这种形式的支座可简化为___________支座。 3、矩形截面梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然________于外力并通过截面________。 4、梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然__________于横截面。 5、梁弯曲时，任一横截面上的弯矩可通过该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，它等于该一侧所有外力对________力矩的代数和。 6、梁上某横截面弯矩的正负，可根据该截面附近的变形情况来确定，若梁在该截面附近弯成上_____下_______，则弯矩为正，反之为负。 7、用截面法确定梁横截面上的剪力时，若截面右侧的外力合力向上，则剪力为______。 8、以梁横截面右侧的外力计算弯矩时，规定外力矩是顺时针转向时弯矩的符号为_______。 9、将一悬臂梁的自重简化为均布载荷，设其载荷集度为q，梁长为L，由此可知在距固定端L/2处的横截面上的剪力为_________，固定端处横截面上的弯矩为__________。 10、在梁的集中力偶左、右两侧无限接近的横截面上，剪力相等，而弯矩则发生_______，_________值等于梁上集中力偶的力偶矩。 11、剪力图和弯矩图是通过________和___________的函数图象表示的。 12、桥式起重机横梁由左、右两车轮支承，可简化为简支梁，梁长为L，起吊重量为P，吊重位置距梁左、右两端长度分别为a、b，且a>b,由此可知最大剪力值为_______. 13、将一简支梁的自重简化为均布载荷作用而得出的最大弯矩值,要比简化为集中罚作用而的最大弯矩值__________ 14、由剪力和载荷集度之间的微分关系可知,剪力图上的某点的_________等于对应于该点的载荷集度. 15、设载荷集度q（X）为截面位置X的连续函数，则q（X）是弯矩M（X）的_______阶导函数。 16、梁的弯矩图为二次抛物线时，若分布载荷方向向上，则弯矩图为向_________凸的抛物线。
第六章直梁弯曲
第六章直梁弯曲 课题:第一节平面弯曲与梁得形式 第二节梁得内力(一):弯矩剪力概念符号 [教学目标] 一、知识目标: 掌握平面弯曲、剪力与弯矩得概念,熟悉梁得形式,弯矩剪力符号。 二、能力目标: 熟练掌握剪力与弯矩得概念 三、素质目标: 概念清晰,认真仔细,灵活应用 [教学重点] 梁得形式,剪力与弯矩得概念 [难点分析] 剪力与弯矩得概念比较抽象 [学生分析] 此节内容概念较抽象,学生掌握起来有一定困难,将概念形象化。 [辅助教学手段] 通过举生活及工程中得实例加深学生对剪力与弯矩及各种梁得认识,通过提问、讨论帮助学生掌握知识 [课时安排] 2课时 [教学内容] 新课讲解 第一节平面弯曲与梁得形式 1.复习扭转变形构件得受力特点及变形特点: 2.通过举例(如教室得主梁、次梁)引入本节内容: 一、平面弯曲: 1、受力特点:杆件受到通过杆轴线平面内得力偶作用,或受到垂直于杆轴线得横向力作用。 2、变形特点:杆件得轴线由直线变成曲线,发生平面弯曲。 简单介绍纵向对称平面。
3.举工程实例:梁 4.梁得形式:矩形、工字形、T形等。 二、梁得形式: (在学习梁得形式得同时,将几种梁得受力图分析画出) 1、简支梁(图a)(路旁座椅、单杠、双杠等) 2、外伸梁(图b) 3、悬臂梁(雨棚、阳台)(图c)
第二节梁得内力(一) 一、复习截面法: 切开,代替,平衡。 二、剪力与弯矩得概念 剪力:与横截面相切得内力V叫剪力 弯矩:外力作用平面内得力偶,其力偶矩M叫弯矩。 三、剪力、弯矩正负号得规定: 剪力得符号:左上右下为正
弯矩得符号:下凸为正,上凸为负(下面受拉上面受压为正,上面受拉下面受压为负) 课题:第二节梁得内力(二) [教学目标] 一、知识目标: 计算剪力与弯矩 二、能力目标: 熟练掌握剪力与弯矩得计算方法(截面法,规律) 三、素质目标: 概念清晰,认真仔细,灵活应用 [教学重点] 剪力与弯矩得计算 [难点分析] 计算剪力与弯矩得规律 [学生分析] 此节内容涉及计算较多,学生掌握起来难度较大,建议加强练习。 [辅助教学手段] 通过大量练习使学生能达到熟能生巧,掌握相关知识 [课时安排] 2课时 [教学内容] 新课讲解 第二节梁得内力 1、复习在轴向拉压杆中计算内力得方法及步骤: 截面法; 切开、代替、平衡。 2、复习在圆轴扭转变形中计算内力得方法及步骤: 截面法; 切开、代替、平衡。 3、引入本节内容:
第七章梁弯曲时变形
第七章 梁弯曲时的变形 §7?1 概 述 图7?1所示的简支梁，任一横截面的形心即轴线上的点在垂直于x 轴方向的线位移，称为挠度，用y 表示；横截面绕中性轴转动的角度，称为该截面的转角，用θ表示，如图中C 截面转过的角度θ即为C 截面的转角。 )(x f y = （7?1） 称为挠曲线方程。 )(d d tan x f x y '== ≈θθ （7?2） 称为转角方程。 §7?2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 在小变形情况下，梁的挠曲线为一平坦的曲线，挠曲线近似微分方程为 EI x M x y )(d d 2 2± = （7?3） 式中的正负号取决于2 2d d x y 与)(x M 的正负号的规定。在如图11?2所示的坐标系中，y 轴以向下为正，当M (x )>0时，梁的挠曲 的符号关系如图11?2所示。这样，在图示坐标系中，)(x M 与2 2d d x y 的符号总是相反，所以式（7?3）中应取负号，即：
EI x M x y ) (d d 2 2- = （7?4） 对该挠曲线近似微分方程进行积分，可求得任一截面的挠度及转角。 当梁为等截面直梁时，弯曲刚度EI 为常数，对式（7?4）积分一次，得 []?+-== C x x M EI x y d )(1d d θ （7?5） 再积分一次，可得 ()[]??++- =D Cx x x M EI y 2 d 1 （7?6） 以上两式中，C 、D 为积分常数，可通过梁的边界条件及变形连续条件确定。例如在简支梁（图7?3a ）中，A 、B 支座处的挠度都等于零；在悬臂梁（图7?3b ）中，固定端处挠度和转角都等于零。积分常数C 、D 确定后，代入式（7?5）、（7?6），便可求得梁的转角方程和挠曲线方程，进而可求得梁上任一横截面的转角和挠度。 EI ，试 解b ），弯矩方程为： （a ） （2）建立梁的挠曲线近似微分方程 由式（7?4）得： EI x l F EI x M x y ) ()(d d 2 2-= -= （b ） （3）对微分方程二次积分 积分一次，得： ??? ??+-== C Fx Flx EI x y 2211d d θ （c ） 再积分一次，得： ? ?? ??++-= D Cx Fx Flx EI y 32 61211 （d ） （4）利用梁的边界条件确定积分常数 在梁的固定端，横截面的转角和挠度都等于零，即： 0=x 时，0=y ，0=θ 代入式（c ）、（d ），求得C =0，D =0。
梁的弯曲第七章答案
思考题 1、什么是梁的纯弯曲?什么是梁的横力弯曲？ 当梁的横截面上仅有弯矩而无剪力，即仅有正应力而 无切应力的情况，称为纯弯曲。横截面上同时存在弯 矩和剪力，即既有正应力又有切应力的情况，称为横 力弯曲或剪切弯曲。 2、什么是纵向对称截面？什么是中性层和中性轴？中 性轴的位置如何确定？ 梁的横截面一般至少有一个对称轴，因而由各横截面的对称轴组成了梁的一个纵向对称面。梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴。 3、画剪力图和弯矩图的一般步骤是什么？弯曲变形时， 如何确定梁的危险截面？ a．利用平衡方程求出梁上的全部约束反力； b．判断梁上各段Q、M图的形状； c．确定关键点的剪力和弯矩值，并作图。 d．在图中找到最大剪力和最大弯矩的值，从而确定危险截面。 等截面梁弯曲时，最大弯矩所在的截面为危险截面。 4、弯曲变形时，梁的正应力在横截面上如何分布？如
何确定梁横截面的危险点？ 梁弯曲时，横截面上任一点处的正应力与该截面上的弯矩成正比，与惯性矩成反比，与该点到中心轴的距离y 成正比。y 值相同的点，正应力相等；中性轴上各点的正应力为零。在中性轴的上、下两侧，一侧受拉，一侧受压。距中性轴越远，正应力越大。 梁横截面的危险点是到中心轴的距离最远的点。 5、 什么是挠曲线？什么挠度？什么是转角？它们之间有何关系？ 直梁发生弯曲变形时，除个别受约束处以外，梁内各点都要移动，即都有线位移。由于各个横截面形心的线位移不同，以致原为直线的形心轴变为平滑曲线，这个曲线称为挠曲线。受弯曲变形的简支梁，在C 截面，梁横截面的形心变形后移到C ’截面，则梁横截面的形心沿y 轴方向的线位移称为该截面的挠度。梁的横截面对其原有位置的角位移，称为该截面的转角。关系：)('tan x f dx dy ==≈θθ。 习 题 7-1
直梁弯曲单元测试题
7、梁弯曲时的应用包括正应力和，在校核梁的应用时，一般只校核正应力，比较梁的正应力和许用应力的大小，可解决三类问题，即、 和。只有当①、； ②；③时才要校核后者。 8、提高梁的弯曲强度的措施主要有两个：选择合理的和降低的最大值。 9、圆形截面梁对通过形心轴的面积矩和惯性矩分别为、。 三、选择题（15分）： ( )1、弯曲变形指杆件轴线◇的变形。 A、由直线变为曲线 B、由曲线变为直线 C、伸长E、缩短 ( )2、外伸梁指梁◇的支座的简支梁。 A、一端伸出 B、两端伸出 C、两端都不伸出 D、一端或两端伸出 ( )3、如果梁的某一截面的弯矩使梁产生◇运动趋势，规定该弯矩符号为正。 A、顺时针旋转 B、逆时针旋转 C、中部上凸 D、中部下凹 ( )4、截面法计算梁的某一截面的内力时，一般先假设它们的方向◇。 A、剪力为正，弯矩为负 B、都为正号 C、剪力为负，弯矩为正 D、都为负号 ( )5、梁上某一点作用一集中荷载，下列说法正确的是◇。 A、集中荷载对剪力、弯矩图没有影响； B、剪力图“突变”，弯矩图转折； C、剪力图转折，弯矩图“突变”； D、剪力、弯矩图都“突变” ( )6、均布荷载的剪力图、弯矩图分别为◇。 A、直线斜线 B、斜线斜线 C、斜线抛物线 D、直线抛物线 ( )7、两端点的弯矩为0指的是在◇情况下。 A、任意 B、两端点无力偶时 C、整梁无力偶时 D、无法确定 ( )8、当梁上A点只作用一个力偶时，下列说法正确的是◇。 A、V A左＝V A右 B、M A左＝M A右 C、V A左≠V A右 D、以上三个都不对 ( )9、下列说法错误的是◇。 A、惯性矩的单位mm4、m4或cm4 B、正方形的惯性矩：I zc＝a4/12 C、抗弯截面系数的单位mm4、m4或cm4 D、圆的抗弯截面系数：I zc＝πD4/32 ( )10、下列说法错误的是◇。 A、设计梁的截面形状时，先算出W z，后计算截面尺寸，再取整。 B、受均布荷载作用的简支梁，最大弯矩M max＝ql2/8。 C、非对称结构梁的抗拉能力与抗压能力不同； D、工字钢的最大剪应力约为平均剪应用的1.5倍。 ( )11、提高梁弯曲强度的措施，可采用◇方法。 A、合理选择截面形状； B、采用变截面梁 C、合理安排梁的受力情况； D、都可以。( )12、下列说法正确的是◇。 A、梁“平放”比“立放”安全； B、两块板“侧放”比“叠放”危险； C、总荷载不变的情况下，梁受集中荷载比受其它荷载安全； D、为了防止主拉应力导致梁支座附近产生斜裂缝,钢筋混凝土梁中除配置受拉钢筋外,还要配置弯起钢筋。( )13、两根受相同剪力的圆形截面和矩形截面梁，截面面积相等，则圆形截面 与矩形截面梁的最大剪应力之比为◇。 A、4:3 B、3:2 C、8:9 D、9:8 ( )14、用铸铁制作的悬臂梁，在竖向荷载作用下，采用◇截面最合理。 A、工字形 B、矩形 C、T 形 D、⊥形 ( )15、下列说法正确的是◇。 A、矩形截面梁的最大剪应力约为平均剪应用的1.5倍。 B、工字钢的最大剪应力计算公式为τmax＝(V·S z)/(I z·b1) C、圆形截面梁的最大剪应力约为平均剪应用的4/3倍。 D、以上说法都正确。 四、计算题：（10+6+12分） 密
第七章弯曲应力
第八部分 弯曲变形 8.1 预备知识 一、基本概念 1、积分法和叠加法求弯曲变形； 2、用变形比较法解超静定梁。 二、重点与难点 1、叠加法求弯曲变形； 2、用变形比较法解超静定梁。 三、解题方法要点 1、 2、 8.2 典型题解 一、计算题 一悬臂梁，梁上荷载如图所示，梁的弯曲刚度为EI ，求自由端截面的转角和挠度。 解：梁在荷载作用下的挠曲线如图8—7a 中之虚线所示，其中B /C / 段为直线，因之C 、B 两截面的转角相同，即 z B C EI qi 63 ==θθ C 截面的挠度可视为由现两部分组成，一为yB (即B 截面的挠度，按图8—7b 之简图求之)，另一为由B 截面转过B θ角而引起的C 截面之位移a y (B /C / 段相当于刚体向下平移B y ， B
再绕B / 点转过B θ角)。因梁的变形很小，a y 可用B a θ来表示。B y 值可由查表得 z B EI ql y 84 = C 截面的挠度为 ?? ? ??+=+=+=34268334a l EI ql EI ql EI ql a y y z z z B B C θ 二、计算题 一悬臂梁，其弯曲刚度为z EI 、梁上荷载如图所示，求Ｃ截面的挠度。 解：由于表中没有图所示情况的计算公式，但此题仍可用叠加法计算。图a 的情况相当于图b 、c 两种情况的叠加。图b 中C 截面的找度为1yc ，其值为 z EI ql yc 84 1= 图c 中C 截面的挠度为2yc ，其值可按计算题一之方法，即 z z z EI ql EI l q l EI l q yc 384762282434 2-=?????? ??????????? ???+? ?? ???-= A A 1 A 2 (a) (b) (c)
第7章_梁的弯曲变形分析
第7章 梁的弯曲变形与刚度 7.1 梁弯曲变形的基本概念 7.1.1 挠度 在线弹性小变形条件下，梁在横力作用时将产生平面弯曲，则梁轴线由原来的直线变为纵向对称面内的一条平面曲线，很明显，该曲线是连续的光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线（图7-2）。 梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。在小变形情况下，梁轴线上各点在梁变形后沿轴线方向的位移（水平位移）可以证明是横向位移的高阶小量，因而可以忽略不计。 挠曲线的曲线方程： )(x w w = （7-1） 称为挠曲线方程或挠度函数。实际上就是轴线上各点的挠度，一般情况下规定：挠度沿y 轴的正向（向上）为正，沿y 轴的负向（向下）为负（图7-4）。 必须注意，梁的坐标系的选取可以是任意的，即坐标原点可以放在梁轴线的任意地方，另外，由于梁的挠度函数往往在梁中是分段函数，因此，梁的坐标系可采用整体坐标也可采用局部坐标。 7.1.2 转角 梁变形后其横截面在纵向对称面内相对于原有位置转动的角度称为转角（图7-3）。 转角随梁轴线变化的函数： )(x θθ= （7-2） 称为转角方程或转角函数。 由图7-3可以看出，转角实质上就是挠曲线的切线与梁的轴线坐标轴x 的正方向之间的夹角。所以有：x x w d ) (d tan = θ,由于梁的变形是小变形，则梁的挠度和转角都很小，所以θ和θtan 是同阶小量，即：θθtan ≈，于是有： 图7-2 梁的挠曲线 图7-3 梁的转角 ) (x
x x w x d ) (d )(= θ （7-3） 即转角函数等于挠度函数对x 的一阶导数。一般情况下规定：转角逆时针转动时为正，而顺时针转动时为负（图7-4）。 需要注意，转角函数和挠度函数必须在相同的坐标系下描述，由式（7-3）可知，如果挠度函数在梁中是分段函数，则转角函数亦是分段数目相同的分段函数。 7.1.3 梁的变形 材料力学中梁的变形通常指的就是梁的挠度和转角。但实际上梁的挠度和转角并不是梁的变形，它们和梁的变形之间有联系也有本质的差别。 如图7-5（a ）所示的悬臂梁和图7-5（b ）所示的中间铰梁，在图示载荷作用下，悬臂梁和中间铰梁的右半部分中无任何内力，在第二章曾强调过：杆件的内力和杆件的变形是一一对应的，即有什么样的内力就有与之相应的变形，有轴力则杆件将产生拉伸或压缩变形，有扭矩则杆件将产生扭转变形，有剪力则杆件将产生剪切变形，有弯矩则杆件将产生弯曲变形。若无某种内力，则杆件也没有与之相应的变形。因此，图示悬臂梁和中间铰梁的右半部分没有变形，它们将始终保持直线状态，但是，悬臂梁和中间铰梁的右半部分却存在挠度和转角！ 事实上，材料力学中所说的梁的变形，即梁的挠度和转角实质上是梁的横向线位移以及梁截面的角位移，也就是说，挠度和转角是梁的位移而不是梁的变形。回想拉压杆以及圆轴扭转的变形，拉压杆的变形是杆件的伸长l ?，圆轴扭转变形是截面间的转角?，它们实质上也是杆件的位移，l ?是拉压杆一端相对于另一端的线位移，而?是扭转圆轴一端相对于另一端的角位移，但拉压杆以及圆轴扭转的这种位移总是和其变形共存的，即只要有位移则杆件一定产生了变形，反之只要有变形就一定存在这种位移（至少某段杆件存在这种位移）。但梁的变形与梁的挠度和转角之间就不一定是共存的，这一结论可以从上面对图7-5（a ）所示的悬臂梁和图7-5（b ）所示的中间铰梁的分析得到。 图7-4 梁的挠度和转角的符号 x x (a) 正的挠度和转角 (b) 负的挠度和转角 (a) 悬臂梁的变形 (b)中间铰梁的变形 图7-5 挠度和转角实质上是梁的位移 无变形