人教版初中数学九年级下册第11讲 反比例函数
人教版数学九下《反比例函数》word公开课教案
反比例函数的图象和性质教案
四、 应用性质，解决问题
练习 ：1．反比例函数x
y 5-=的图象大致是（ ）.
2. 已知反比例函数x
k
y
-=4， 若函数图象位于第一、三象限，则k 的取值范围是 ； 若在每一个象限内，y 随x 的增大而增大，则k
的取值范围
是 .
3.若点()()21,2,,1y y 在反比例函数
x
y 4=
的图象上，则1
y 2y .
变式1.
若点()()2211,,,y x y x 在反比例函数x
y 4
=的图象上，且
021<<x x 试比较1y 与2y 的大小关系.
变式2.
若点()()2211,,,y x y x 在反比例函数x
y 4
=的图象上，且
21x x <试比较1y 与2y 的大小关系.
转化关系的认识。
这一环节，学生经历从特殊到一般的认识过程，加强了对反比例函数
图象“特征”和函数“特性”以及它
们之间的相互转
化关系的认识，更通过归纳，培养学生抽象概括的能力.
数形结合思想，让学生学会用代数语言证明几何性质。
人教版九年级下册数学《反比例函数》反比例函数PPT教学课件
思考 下列问题中，变量间的对应关系可以用怎样的函数关系表示？
思考
由上面的问题我们得到这样的三个函数
上面的函数解析式形式上有什么的共同点？
反比例函数的定义 一般地，形如
这里的k叫做 比例系数
（k为常数，k≠0）的函数，
叫做反比例函数．自变量 x 是分式 的分母，不能为0
其中x是__自__变__量____，y是__函__数_____．
(2)当
时，求 y 的值；y=-8
(3)当
时，求 x 的值．x=-4
y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值．
x
y
2
4
-4
-2
(1)完成上表； (2)写出这个反比例函数的解析式．
【解析】∵ y是x的反比例函数，
2
-6
C
A．（-2，-4） C．（-6，1）
B．（2，3）
总结：反比例函数图象上的点横纵坐标乘积等于k．
9．如图，反比例函数y＝
k x
的图象经过点M，矩形
OAMB的面积为4，则此反比例函数的解析
式为__y＝__-__4_x___．
第9题图
重难点精讲优练
类型 1 反比例函数图象与性质 练习1 已知函数y＝ m 的图象如图所示，以下结论：①
x m<0；②在每个分支上，y随x的增大而增大；③若点A(－ 1，a)、点B(2，b)在图象上，则a<b；④若点 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
－4k＋b＝2
k＝－1
∴
，解得
，
2k＋b＝－4
b＝－2
∴一次函数的解析式为y＝－x－2；
(2)∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y＝0时，x＝－2，
人教版数学九年级下册26.1.1反比例函数(共35张ppt)
对接中考
B
对接中考
A
近视眼镜的度数 y/度 200
250
400
500
1000
镜片焦距 x/米
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
对接中考
C
|a|-2≠0
课后作业 请完成课本后习题第1、 2题.
随堂练习
写出函数解析式表示下列关系，并指出它们各是什么函数. 一次函数、正比例函数、反比例函数的定义均为形式定义，由定义确定字母的值时切记考虑问题要全面. (1)当 m，n 为何值时，为一次函数？ 已知一个长方体的体积是100 cm3 ，它的长是 x cm，宽是5 cm，高是 y cm. 我们已经学习过的函数有哪些？ (3)当 m，n 为何值时，为反比例函数？ (2)玲玲把200元全部用来买营养品送给她妈妈，她所能购买营养品的质量 y (kg)与价格 x (元/kg)的关系. (2)当 m，n 为何值时，为正比例函数？ (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； 反比例关系与反比例函数的区别和联系 用待定系数法求反比例函数解析式 写出函数解析式表示下列关系，并指出它们各是什么函数. 68×104 km2 ，人均占有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的变化而变化. 我们已经学习过的函数有哪些？ 在电压 U 一定时，当 R 变大，电流 I 会变小，灯光就会变暗； (2)当 m，n 为何值时，为正比例函数？ 反比例关系与反比例函数的区别和联系 已知函数 y=(5m-3)x2-n +(m+n)(m，n 为常数). 你能写出这些量之间的关系式吗? (1)当 m，n 为何值时，为一次函数？ 反比例关系与反比例函数的区别和联系 68×104 km2 ，人均占有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的变化而变化. 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.
人教版九年级数学下册 第11讲 反比例函数 知识点梳理
4.待定系数法
只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.
例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.
知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.
例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.
6.与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
第11讲反比例函数的图象和性质
一、知识清单梳理
知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质
关键点拨与对应举例
1.反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝ (k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝ ；②y=kx-1;③xy=k.(其该函数是反比例函数．
人教版数学九年级下册：(反比例函数)反比例函数(教案)
第二十六章反比例函数26.1 反比例函数26.1.1 反比例函数【知识与技能】1.理解反比例函数的意义.2.能够根据已知条件确定反比例函数的解析式.【过程与方法】经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程中，体会反比例函数来源于生活实际，并确定其解析式.【情感态度】经历反比例函数的形成过程，体验函数是描述变量关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力.【教学重点】理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式【教学难点】反比例函数解析式的确定.一、情境导入，初步认识问题京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t(单位：h)随该次列车平均速度v(单位：km/h)的变化而变化,速度v和时间t的对应关系可用怎样的函数式表示？【教学说明】教师提出问题，学生思考、交流，予以回答.教师应关注学生能否正确理解路程一定时，运行时间与运行速度两个变量之间的对应关系，能否正确列出函数关系式，对有困难的同学教师应及时予以指导.二、思考探究，获取新知问题1某住宅小区要种植一个面积为1000 m2的长方形草坪，草坪的长为y (单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化，你能确定y与x之间的函数关系式吗？问题2已知北京市的总面积为1. 68 ×104平方千米，人均占有的土地面积S(单位平方千米/人）随全市人口 n(单位:人）的变化而变化，则S与n的关系式如何？说说你的理由.思考观察你列出的三个函数关系式，它们有何特征，不妨说说看看.【教学说明】学生相互交流，探寻三个问题中的三个函数关系式，教师再引导学生分析三个函数的特征，找出其共性，引入新知.反比例函数：形如y =kx(k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.试一试下列问题中，变量间的对应关系，可用怎样的函数解析式表示？(1)一个游泳池的容积为2000m 3，注满游泳池所用的时间t(单位:h)随注水速度v(单位: m 3/h)的变化而变化；(2)某长方体的体积为1000cm 3，长方体的高h(单位：cm)随底面积S (单位：cm 2 )的变化而变化.(3)—个物体重100牛，物体对地面的压强 P 随物体与地面的接触面积S 的变化而变化.【教学说明】学生独立完成（1)、（2)、（3)题，教师巡视，关注学生完成情况，肯定他们的成绩，提出个别同学问题，帮助学生加深对构建反比例函数模型的理解.三、典例精析，掌握新知例1 已知y 是x 的反比例函数，当x =2 时,y = 6.(1) 写出y 与x 之间的函数解析式；(2) 当x =4时，求y 的值.【分析】由于y 是x 的反比例函数，故可说其表达式为y =k x，只须把x =2，y=6代入，求出k 值，即可得y =12x，再把x =4代入可求出 y=3. 【教学说明】本例展示了确定反比例函数表达式的方程，教师在评讲时应予以强调.在评讲前，仍应让学生自主探究，完成解答，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.例2 如果y 是z 的反比例函数，z 是x 的 正比例函数，且x ≠0，那么y 与x 是怎样的函数关系？【分析】 因为y 是z 的反比例函数，故可设y =1k z(K 1≠0)，又z 是x 的正比例函数，则可设 z = 2k x (2k ≠0) x ≠0，∴ y =12k k x . 11220,k 0,0,k k k ≠≠∴≠ 故y =12k k x是y 关于x 的反比例函数. 【教学说明】本例仍可让学生先独立思考，然后相互交流探索结论.最后教师予以评讲，针对学生可能出现的问题（如设：y =k x，z=kx 时没有区分比例系数）予以强调，并对题中x ≠0的条件的重要性加以解释，帮助学生加深对反比例函数意义的理解.四、运用新知，深化理解1.下列哪个等式中y 是x 的反比例函数? y = 4x, y x= 3, y=6x+1,xy=123. 2.已知y 与x 2成反比例，并且当x= 3时,y=4.(1)写出y 和x 之间的函数关系式,y 是x 的反比例函数吗？(2)求出当x =1.5时y 的值.【教学说明】让学生通过对上述两道题的探究，加深对反比例函数意义的理解，增强确定反比例函数表达式的解题技能，教师巡视，再给出答案并解决易错点.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.只有等式xy=123中,y 是x 的反比例函数.2.解：（1)由题知可设y =2,3k y x x==时y=4，∴ k= 4×9 = 36，即 y = 236x，y 不是 x 的反比例函数. (2)y=236x ，x=1.5 时，y=361.5 1.5⨯ =16. 五、师生互动，课堂小结1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.1.布置作业：从教材“习题26. 1”中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.反比例函数是初中学习阶段的第二种函数类型.因此本课时教学仍然是从实际问题入手，充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相互关系及变化规律，逐步加深理解.在概念的形成过程中，从感性认识到理性认识一旦建立，即已摆脱其原型成为数学对象.反比例函数具有丰富的数学含义，可以利用它通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象.此外，教师在例题的处理上，应要求学生将解题步骤写完整.。
人教版初中数学九年级下册精品课件 26.1.1 反比例函数
(3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占 有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的 变化而变化. S 1.68104 . n
7
问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共 同特点？
v 1463， y 1000， S 1.68104 .
y 2m2 m 1 x2m2 3m3
解得 m =－2. 方 据 题法反中总比x 的结例次：函解数已数：为知的因－某定为1个义，函列且数出系为方数反程不比(组等例)于求函0解.数22mm即，22可++只3m，需m是－如－要反1本≠3根比=0.－例1函，
12
练一练 1. 当m= ±1 时，y 2x m 2 是反比例函数. 2. 已知函数 y (k 2)(k 1) 是反比例函数，则
24
能力提升：
6. 已知 y = y1+y2，y1与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成 反比例，当 x=0 时，y =－3；当 x =1 时，y = －1，求：
(1) y 关于 x 的关系式；
解：设
y1
=
k1(x－1)
(k1≠0)，y2
k2 x 1
(k2≠0)，
则
y
k1 x 1
B. 2个
C. 3个
D. 4个
20
3. 填空 (1) 若 y m 1 是反比例函数，则 m 的取值范围
x
是 m≠1 .
(2) 若 y m m 2 是反比例函数，则m的取值范
x
围是 m ≠ 0 且 m ≠ －2 .
(3) 若
m2 y xm2 m1
人教版数学九年级下册反比例函数知识点
人教版数学九年级下册反比例函数知识点人教版数学九年级下册反比例函数知识点形如y=k/x(k为常数且k≠0,x≠0,y≠0)的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。
另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。
当K0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数(即y随x的增大而减小)当K0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数(即y随x的增大而增大)由于反比例函数的自变量和因变量都不能为0，所以图像只能无限向坐标轴靠近，无法和坐标轴相交。
1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
2.对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数(即y=k/x(x±m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。
(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移) 数学列代数式的几个注意事项(1)数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“·”乘，或省略不写;(2)数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“·”乘，也不能省略乘号;(3)数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a;(4)带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×应写成a;(5)在代数式中出现除法运算时，一般用分数将被除式和除式联系，如3÷a写成的形式;(6)a与b的差写作a-b，要注意字母顺序;若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a。
初中数学重要考点数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
初中数学人教版九年级下册《26.1.1反比例函数》课件
列表法：
现在我们把换得的张数y与面值x列成一张表格。
换成的每张面值
为 x（元）
50
10
5
2
1
换成的张数 y（张）
2
10
20
50
100
解析法：
请大家仔细视察这张表格，我们可以发觉当面值由大变小的时候， 张数会怎样变化？
然而你知道什么没有变？
xy 100
即：y
100 x
列表法和解析法都能用来表示 两个变量之间的函数关系。
y=
k x
y=kx-1
xy=k
关系式xy+4=0中y是x的反比例函数吗? 若是，比例系数k等于多少？ 若不是，请说明理由。
1.如果函数
y=
k x2k+3
为反比例函数，那么k=
-1，
此时函数的解析式为
。
2.已知函数y=3xm-7是反比例函数,则 m = __6_ 。
3.当m取什么值时，函数
y
(m
1)xm2
它行驶的距离S (单位：km)
函数关系式为：s=60t
随时间t (单位：h)的变化而变化。
(2)一辆汽车的油箱中现有汽油50升，如果不再加油，平均每千米 耗油量为0.1升，油箱中余油量y(单位：升)随行驶里程 x（单位：千米） 的变化而变化。
函数关系式为：y=50－0.1x
(3)京沪线铁路全程为 1463km，某次列车的平均 速度v（单位：km/h）随此 次列车的全程运行时间t（ 单位：h）的变化而变化。
(B) y=x—1
x -3 -2 -1 1 2 3 y -2 -3 -6 6 3 2
(C)
xy=6即y=
6 x
x -3 -2 -1 1 2 3 y -6 -4 -2 2 4 6
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图 象 上 ， 则 (－ a， － b)在 该 函 数 图 象 上.(填“在"、"不在")
4.待定系数
法
只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数 k 即可.
例：已知反比例函数图象过点（－3， －1），则它的解析式是 y=3/x.
知识点二 ：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
k
失分点警示
（1）意义：从反比例函数 y＝x(k≠0)图象上任意一点向 x 轴和 y 轴作垂线，垂 已知相关面积，求反比例函数的一次函
数的综合
线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角 形的面积为 1/2|k|. （2）常见的面积类型：
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关 系，可采用假设法，分 k＞0 和 k＜0 两种情况讨论，看哪个选项符合要求
式，注意若函数图象在第二、四象
限，则 k＜0.
例：已知反比例函数图象上任一点作
坐标轴的垂线所围成矩形为 3，则该
反比例函数解析式为：
y
3
或
x
y3. x
涉及与面积有关的问题时，①要善于
把点的横、纵坐标转化为图形的边
长，对于不好直接求的面积往往可分
割转化为较好求的三角形面积；②也
要注意系数 k的
几何意义.
例：如图所示，
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即可.也可逐一选项判断、排除.
三个阴影部分的面积按从小到大的顺
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下 序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD. 方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
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一、 知识清单梳理
第 11 讲 反比例函数的图象和性质
知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质
关键点拨与对应举例
1.反比例函
数的概念
k （1）定义：形如 y＝ (k≠0)的函数称为反比例函数，k 叫做比例系数，自变量
知识点三：反比例函数的实际应用
（1 题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
7 .一般步 （2 设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
骤
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
可以让他们更理性地看待人生
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图见学练优 RJ 九数上前面四页“方法、易错”的此内容下的图片
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称 性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利 用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个 函数解析式中求解
2.反比例函
数的图象 和性质
3.反比例函
数的图象 特征
k>0
图 象 经 过 第 每个象限内，函数 y 的值
一、三象限 随 x 的增大而减小.
（ x、 y 同
号）
k<0
图 象 经 过 第 每个象限内，函数 y 的值
二、四象限 随 x 的增大而增大.
（ x、 y 异
号）
（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
x 的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
k ①y＝ ；②y=kx-1; ③xy=k.(其中 k 为常数，且 k≠0)
x
例：函数 y=3xm+1，当 m=－2 时，则 该函数是反比例函数．
k 的符号 图象
经过象限
y 随 x 变化的情况
（1）判断点是否在反比例函数图象上 的方法：①把点的横、纵坐标代入看
（2）图象的两个分支都无限接近 x 轴和 y 轴，但都不会与 x 轴和 y 轴相交；
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2 条对称轴
分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．
是否满足其解析式；②把点的横、纵 坐标相乘，判断其乘积是否等于 k. 失分点警示 （2）反比例函数值大小的比较时，首 先要判断自变量的取值是否同号，即 是否在同一个象限内，若不在则不能 运用性质进行比较，可以画出草图， 直观地判断.