平行线的判定和性质常考题型,中考数学平行线的判定典型例题讲解与答案解析
中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 三线八角：同位角，内错角，同旁内角。
2. 平行线定义：两条永不相交的直线的位置关系是平行线。
3. 平行线性质：①两直线平行，同位角相等。
②两直线平行，内错角相等。
③两直线平行，同旁内角互补。
④同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
⑤平行于同一直线的两直线平行。
即c b b a ∥，∥，则c a ∥。
4. 平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。
②内错角相等，两直线平行。
③同旁内角相等，两直线平行。
④垂直于同一直线的两直线平行。
即若c a b a ⊥⊥，，则c a ∥。
⑤平行于同一直线的两直线平行。
即若c b b a ∥，∥，则c a ∥。
5. 平行线间的距离：平行线间的距离处处相等。
练习题9．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（）A．同旁内角、同位角、内错角B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：D．10．（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（）A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．【解答】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠1和∠2是对顶角，故A错误；B、∠1和∠3是同位角，故B正确；C、∠2和∠3是内错角，故C错误；D、∠3和∠4是邻补角，故D错误．故选：B．11．（2022•东营）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．65°【分析】先由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠1+∠3+∠4＝180°，求出∠3的度数，再由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠2＝∠3＝50°．【解答】解：如图：∵∠4＝90°，∠1＝40°，∠1+∠3+∠4＝180°，∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠3＝50°．故选：B．12．（2022•资阳）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】如图，易知三角板的∠A为直角，直尺的两条边平行，则可得∠1的对顶角和∠2的同位角互为余角，即可求解．【解答】解：如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，∴∠2＝∠ACB，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠1，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，故选：B．13．（2022•襄阳）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．【解答】解：∵m∥n，∠1＝70°，∴∠1＝∠ABD＝70°，∵∠ABC＝30°，∴∠2＝∠ABD﹣∠ABC＝40°，故选：B．14．（2022•锦州）如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°）按图中位置摆放，若∠1＝110°，则∠2的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．50°【分析】根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝110°，则有∠4＝70°，然后根据三角形外角的性质可求解．【解答】解：如图，∵a∥b，∠1＝110°，∴∠3＝∠1＝110°，∴∠4＝180°﹣∠3＝70°，∵∠B＝30°∴∠2＝∠4﹣∠B＝40°；故选：C．15．（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（）A．137°B．53°C．47°D．43°【分析】根据平行线的性质，得∠2＝∠1＝43°．【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，∴∠2＝∠1＝43°．故选：D．16．（2022•济南）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．45°B．50°C．57.5°D．65°【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠1＝65°．∵EC平分∠AED，∴∠AED＝2∠AEC＝130°．∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．故选：B．17．（2022•丹东）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC ⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（）A．32°B．38°C．48°D．52°【分析】根据平行线的性质求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝52°，∴∠ABC＝∠1＝52°，∵AC⊥l2，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，故选：B．18．（2022•南通）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．80°【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠4，然后根据三角形的外角可得∠3＝∠4+∠2，从而可得∠1+∠2＝80°，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵a∥b，∴∠1＝∠4，∵∠3是△ABC的一个外角，∴∠3＝∠4+∠2，∵∠3＝80°，∴∠1+∠2＝80°，∵∠1﹣∠2＝20°，∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，∴∠1＝50°，故选：C．19．（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（）A．46°B．90°C．96°D．134°【分析】根据平行线的性质定理求解即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∵∠1＝38°，∠2＝46°，∴∠3＝96°，故选：C．20．（2022•兰州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1＝52°，则∠2＝（）A．52°B．45°C．38°D．26°【分析】根据平行线的性质可得∠ABC＝52°，根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠ABC＝52°，∵AC⊥b，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝38°，故选：C．21．（2022•通辽）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（）A．55°B．70°C．60°D．35°【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．【解答】解：∵∠ABM＝35°，∠ABM＝∠OBC，∴∠OBC＝35°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝70°，∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，∴∠DCN＝（180°﹣∠BCD）＝55°，故选：A．22．（2022•潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（）A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'【分析】先根据反射角等于入射角求出∠2的度数，再求出∠5的度数，最后根据平行线的性质得出即可．【解答】解：∵入射角等于反射角，∠1＝40°10'，∴∠2＝∠1＝40°10'，∵∠1+∠2+∠5＝180°，∴∠5＝180°﹣40°10'﹣40°10'＝99°40'，∵入射光线l与出射光线m平行，∴∠6＝∠5＝99°40'．故选：C．23．（2022•新疆）如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据∠A＝∠B＝30°，得出AC∥DB，即可得出∠D＝∠C＝50°．【解答】解：∵∠A＝∠B＝30°，∴AC∥DB，又∵∠C＝50°，∴∠D＝∠C＝50°，故选：D．24．（2022•柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．110°【分析】由两直线平行，同位角相等可知∠2＝∠1．【解答】解：∵a∥b，∴∠2＝∠1＝70°．故选：C．25．（2022•雅安）如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（）A．60°B．120°C．30°D．15°【分析】本题要注意到∠1的对顶角与∠2同旁内角，并且两边互相平行，可以考虑平行线的性质及对顶角相等．【解答】解：∵∠1＝120°，∴它的对顶角是120°，∵a∥b，∴∠2＝60°．故选：A．26．（2022•宿迁）如图，AB∥ED，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．70°B．80°C．100°D．110°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答．【解答】解：∵∠1＝70°，∴∠3＝70°，∵AB∥ED，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故选：D．27．（2022•陕西）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（）A．120°B．122°C．132°D．148°【分析】根据两直线平行，内错角相等分别求出∠C、∠CGF，再根据平角的概念计算即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，∴∠C＝∠1＝58°，∵BC∥EF，∴∠CGF＝∠C＝58°，∴∠2＝180°﹣∠CGF＝180°﹣58°＝122°，故选：B．28．（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行【分析】由平行的判定求解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选：D．29．（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A．∠2＝90°B．∠3＝90°C．∠4＝90°D．∠5＝90°【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．【解答】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，∴∠1＝∠4，∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；故选：C．30．（2022•郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180°C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4【分析】根据平行线的判定定理进行一一分析．【解答】解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；B、若∠1+∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1+∠5＝180°，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意．故选：C．。
平行线的判定和性质经典题
平行线的判定和性质经典题一．选择题（共18小题）1．如图所示，同位角共有（）3．下列说法中正确的个数为（）①不相交的两条直线叫做平行线②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③平行于同一条直线的两条直线互相平行4．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…6．如图所示，AC⊥BC，DE⊥BC，CD⊥AB，∠ACD=40°，则∠BDE等于（）8．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）11．如图所示，BE∥DF，DE∥BC，图中相等的角共有（）13．如图所示，DE∥BC，DC∥FG，则图中相等的同位角共有（）14．如图所示，AD∥EF∥BC，AC平分∠BCD，图中和α相等的角有（）15．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角16．把直线a 沿水平方向平移4cm ，平移后的像为直线b ，则直线a 与直线b 之间的距离为17．（2009•宁德）在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是18．（2004•烟台）4根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移火柴棒后，原图形变成的象形文字是（ ）二．填空题（共12小题）19．已知∠α和∠β的两边互相平行，且∠α=60°，则∠β= _________ ．20．（2004•西宁）如图，AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有 _________ 个；若∠1=50°，则∠AHG= _________ 度．第20题 第21题 第22题21．（2009•永州）如图，直线a 、b 分别被直线c 、b 所截，如果∠1=∠2，那么∠3+∠4= _________ 度．直线a 、b 分别被直线c 、b 所截．22．（2010•抚顺）如图所示，已知a∥b，∠1=28°，∠2=25°，则∠3= _________ 度．23．如图，已知BO 平分∠CBA，CO 平分∠ACB，MN∥BC，且过点O ，若AB=12，AC=14，则△AMN 的周长是 _________ ．第23题第24题24．（1）如图1，在长方形ABCD中，AB=3cm，BC=2cm，则AB与CD之间的距离为_________ cm；（2）如图2，若∠_________ =∠_________ ，则AD∥BC；（3）如图3，DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB=50°，则∠EDC=_________ 度；25．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和直线b之间的距离为_________ ．26．如图，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE相等的角有_________ 个．第26题第27题27．如图所示，AD∥EF∥BC，AC∥EN，则图中与∠1相等的角有_________ 个．28．如图：直角△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，则内部五个小直角三角形的周长为_________ ．第28题第29题第30题29．如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，至少需要移动_________ 格．30．如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF位置，平移的距离是边BC长的两倍，则图中的四边形ACED的面积是_________ cm2．平行线的判定和性质经典题参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．如图所示，同位角共有（）2．如图所示，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是（）3．下列说法中正确的个数为（）①不相交的两条直线叫做平行线②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③平行于同一条直线的两条直线互相平行4．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…6．如图所示，AC⊥BC，DE⊥BC，CD⊥AB，∠ACD=40°，则∠BDE等于（）7．如图，AB∥CD，且∠BAP=60°﹣α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°﹣α，则α=（）8．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）10．如图，AB∥CD∥EF，AF∥CG，则图中与∠A（不包括∠A）相等的角有（）11．如图所示，BE∥DF，D E∥BC，图中相等的角共有（）13．如图所示，DE∥BC，DC∥FG，则图中相等的同位角共有（）14．如图所示，AD∥EF∥BC，AC平分∠BCD，图中和α相等的角有（）15．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角16．把直线a沿水平方向平移4cm，平移后的像为直线b，则直线a与直线b之间的距离为17．（2009•宁德）在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是18．（2004•烟台）4根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移火柴棒后，原图形变成的象形文字是（ ）二．填空题（共12小题）19．已知∠α和∠β的两边互相平行，且∠α=60°，则∠β= 60°或120° ．20．（2004•西宁）如图，AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有 5 个；若∠1=50°，则∠AHG=130 度．21．（2009•永州）如图，直线a、b分别被直线c、b所截，如果∠1=∠2，那么∠3+∠4= 180 度．直线a、b分别被直线c、b所截．22．（2010•抚顺）如图所示，已知a∥b，∠1=28°，∠2=25°，则∠3=53 度．23．如图，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN∥BC，且过点O，若AB=12，AC=14，则△AMN 的周长是26 ．24．（1）如图1，在长方形ABCD中，AB=3cm，BC=2cm，则AB与CD之间的距离为 2 cm；（2）如图2，若∠ 1 =∠ 2 ，则AD∥BC；（3）如图3，DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB=50°，则∠EDC=25 度；25．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和直线b之间的距离为2cm或8cm ．26．如图，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE相等的角有 5 个．27．如图所示，AD∥EF∥BC，AC∥EN，则图中与∠1相等的角有 5 个．28．如图：直角△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，则内部五个小直角三角形的周长为30 ．29．如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，至少需要移动9 格．30．如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF位置，平移的距离是边BC长的两倍，则图中的四边形ACED的面积是36 cm2．。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
中考数学总复习训练 平行线的判定与性质(含解析)(2021-2022学年)
平行线的判定与性质1．如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠ＣAB互余的角有个．2．如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、ＧＨ相交,图中的同旁内角共有（)Ａ.4对B．8对Ｃ.12对ﻩ D.１6对3．如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°,∠ＣDE=30°,∠Ｅ=１0°求证：AＢ∥EF．4.如图,在△ABC中，CE⊥AＢ于E，DF⊥AB于F，AC∥ＥＤ，CE是∠ACＢ的平分线,试比较∠EDF与∠ＢDF的大小,并说明理由．5．探究：(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠Ｄ=∠E，你能说明为什么吗？（２）反之,若∠Ｂ+∠D＝∠E,直线AB与CD有什么位置关系？请证明;ﻬ(3）若将点E移至图ｂ所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(４）若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(5)在图d中,AB∥ＣD，∠E＋∠G与∠B+∠Ｆ＋∠D又有何关系?(６)在图e中，若ＡB∥CＤ，又得到什么结论?6．如图所示,已知ＡB∥CＤ,EＦ交AB于M交ＣD于Ｆ，MN⊥EF于M,MＮ交ＣD于N,若∠BＭＥ=110°，则∠MND=．7．如图,若直线ａ,b分别与直线ｃ,ｄ相交,且∠1+∠3=90°，∠2﹣∠３=90°,∠4=11５°，那么∠3=.8．如图,已知AB∥CD，∠１=10０°，∠2＝1２０°，则∠α=度.9．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°,那么另一角是度.ﻬ10．如图，下列条件中,不能判断直线l1∥l2的是( )Ａ．∠1=∠3ﻩ B.∠2＝∠３ﻩ C.∠4=∠5D．∠2+∠4=180°11.已知线段ＡB＝10cm,点Ａ,B到直线l的距离分别为６ｃm,4ｃm.符合条件的直线l有（ )A．1条ﻩＢ．2条 C.3条D．4条1２．已知:如图所示,直线a，ｂ都与直线c相交,给出下列条件:①∠1＝∠２；②∠3＝∠6;③∠4+∠7＝180°;④∠5+∠8＝18０°.其中能判定a∥b的是()Ａ．①③ﻩB．②④C．①③④ﻩD．①②③④１3.如图所示，AB∥EF∥DC，EG∥DＢ,则图中与∠1相等的角（∠1除外)共有（）A.6个ﻩＢ．5个 C.４个ﻩD．2个14．如图所示，已知∠1+∠2=１80°，∠3=∠B,试判断∠ＡEＤ与∠C的大小关系，并对结论进行说理．１5.如图，已知∠１十∠２=１80°,∠A=∠C,AD平分∠BDF.求证：ＢC平分∠ＤBE.１６．在同一平面内有2０02条直线a１，a2，…,a20０2,如果a1⊥ａ2，a2∥ａ3，ａ3⊥ａ4，ａ4∥a5,…,那么a１与ａ2002的位置关系是．17．若平面上4条直线两两相交且无三线共点,则共有同旁内角对．18．如图,已知l1∥l2，AB⊥l１，∠ABC＝130°,则∠α＝ .19．如图，直线ＡB∥ＣD,∠EFＡ=3０°,∠FGH=90°，∠ＨMN=30°，∠CＮＰ=5０°，则∠GＨM的大小是.２０.如图,D、G是△ABC中ＡB边上的任意两点,DE∥ＢC，GＨ∥ＤC,则图中相等的角共有（ )A．4对ﻩ B.5对ﻩC．6对 D.７对21．如图，若AＢ∥CD,则( )A．∠1＝∠2+∠3B．∠1=∠3﹣∠2C.∠1+∠2+∠３=180°ﻩD．∠l﹣∠２+∠３=180°2２.如图：已知AＢ∥CＤ∥EF,ＥH⊥ＣD于H,则∠ＢAＣ＋∠ACE+∠ＣEH等于()A.18０°Ｂ．27０°ﻩ C.3６0°ﻩ D.4５0°23．如图,AB∥EF,∠C=90°,则α、β和γ的关系是（ )Ａ.β＝α+γB．α+β+γ=18０°Ｃ．α+β﹣γ=９0°Ｄ.β+γ﹣α=１80°24.如图，已知AB∥ＣD,P为ＨD上任意一点,过P点的直线交ＨF于O点,试问:∠HＯP、∠AGF、∠ＨPO有怎样的关系?用式子表示并证明．２5.如图,AB∥ED,α＝∠A+∠Ｅ,β＝∠B+∠Ｃ＋∠D．证明：β=2α２6.平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点.(1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；(２)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个)；（3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形,其中n分别为６,２１，15?（4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？２７.如图，直线CB∥OA，∠C=∠BAO=120°，Ｅ、Ｆ在ＣB上,且满足∠FＯB=∠ＡOB,ＯE平分∠COF．(1)求∠EOB的度数;(２）若平行移动AＢ，那么∠ＯBC：∠OFC的值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律或求出变化范围；若不变,求出这个比值；(３）在平行移动ＡB的过程中，是否存在某种情况，使∠ＯＥＣ=∠OBＡ？若存在，求出其度数;若不存在，说明理由．平行线的判定与性质参考答案与试题解析1．如图,ＡB∥CD,AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有 3 个.【考点】平行线的性质;余角和补角．【分析】本题考查互余的概念,和为90度的两个角互为余角，结合图形和平行线的性质作答．【解答】解:AＢ∥ＣD，ＡC⊥BC，则图中与∠CＡB互余的角有3个,∠CＢA,∠BCD,和∠CBA的对顶角．【点评】此题属于基础题，较简单,主要记住互为余角的两个角的和为９0度．2.如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、ＧH相交，图中的同旁内角共有（ )A．4对ﻩ B.8对 C.1２对Ｄ．16对【考点】同位角、内错角、同旁内角．【专题】几何图形问题．【分析】每一个“三线八角"基本图形都有两对同旁内角,从对原图形进行分解入手可知同旁内角共有对数.【解答】解：直线AB、CＤ被EＦ所截有2对同旁内角；直线ＡB、CD被GH所截有2对同旁内角;直线CD、EF被GH所截有2对同旁内角；直线CD、GＨ被EF所截有2对同旁内角;直线ＧH、EF被CD所截有2对同旁内角；直线ＡＢ、EF被GＨ所截有２对同旁内角;ﻬ直线ＡＢ、ＧH被EF所截有2对同旁内角；直线EＦ、GH被AB所截有2对同旁内角．共有１６对同旁内角.故选D.【点评】本题考查了同旁内角的定义.注意在截线的同旁找同旁内角.要结合图形,熟记同旁内角的位置特点.两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对同旁内角.3．如图，已知∠Ｂ＝25°,∠BＣD=45°,∠CDE=３０°,∠E＝１0°求证:AB∥EF.【考点】平行线的判定与性质.【专题】证明题．【分析】解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件,在图中添置“三线八角"或作出与AB或ＣD平行的直线，利用平行线的性质和判定求证．【解答】解：过C点作ＣG∥AB，过点Ｄ作ＤH∥ＡＢ，则CG∥DＨ，∵∠Ｂ=25°,∴∠BＣG=2５°,∵∠BCD=45°,∴∠ＧCD=２0°,∵CG∥HD,∴∠CＤH=2０°,∵∠CDE=３０°，∴∠ＨDE=１0°∴∠HDＥ=∠E＝10°,∴DH∥EF,∴DH∥ＡB,∴AB∥EF.【点评】此题考查平行线的判定和性质，辅助线是常见的作法,证明过程注意选用有用的条件作为证明的依据．4．如图,在△ABC中，ＣE⊥ＡＢ于E，ＤF⊥AB于F,AＣ∥ＥD,CE是∠AＣB的平分线,试比较∠EDＦ与∠BDF的大小,并说明理由.【考点】平行线的性质；垂线．【分析】先运用垂直于同一条直线的两直线平行,得出∠BDF=∠BCE，∠ＦDE=∠ＤＥＣ，再根据平行线的性质得出∠DEC＝∠ACE,然后利用角平分线等量代换即可得出两角的关系.【解答】解:∠EDF=∠ＢDF．∵CＥ⊥ＡＢ于Ｅ，DF⊥ＡB于F∴ＤＦ∥CE （垂直于同一条直线的两直线平行），∴∠ＢDF=∠BCE （两直线平行,同位角相等),∠FDE＝∠DEC（两直线平行,内错角相等)又∵AC∥ED，∴∠DＥＣ=∠AＣE（两直线平行,内错角相等），∵CE是∠ＡCB的角平分线,∴∠ＡＣE＝∠EＣB(角平分线的定义),∴∠EDF=∠ＢDF(等量代换)．【点评】本题主要运用了平行线的性质和垂线的性质,解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行内错角、同位角相等.ﻬ5.探究：（1）如图a，若AＢ∥CＤ,则∠Ｂ+∠D=∠E，你能说明为什么吗？(2）反之，若∠B+∠D=∠Ｅ,直线ＡB与ＣＤ有什么位置关系？请证明;(3)若将点Ｅ移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明；(４)若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(５)在图d中,AB∥CＤ，∠E+∠G与∠Ｂ＋∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中，若AB∥CＤ,又得到什么结论?【考点】平行线的判定与性质.【分析】已知AB∥ＣD,连接AB、CD的折线内折或外折,或改变E点位置、或增加折线的条数,通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论,给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AＢ（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形.【解答】解:(1)过E作EF∥AB,则∠B=∠ＢＥＦ,∵ＡB∥ＣD，∴EF∥CD,∴∠D=∠DＥＦ,∴∠BＥＤ=∠ＢEＦ+∠DEF=∠B+∠D．（２）若∠B＋∠D=∠E,由EF∥AＢ，∴∠B=∠BEF,∵∠E=∠ＢEF+∠DEF=∠B＋∠D，∴∠D＝∠ＤＥF,∴ＥF∥CＤ，∴AB∥CD；（3)若将点Ｅ移至图ｂ所示位置，过E作EF∥AB,∴∠BEF+∠Ｂ=180°，∵EＦ∥CD,∴∠D+∠ＤＥF=1８0°，∠Ｅ+∠B＋∠D＝360°;(４)∵AB∥CD，∴∠Ｂ=∠BFＤ,∵∠D+∠E=∠BFＤ,∴∠D+∠E=∠Ｂ;(5）∵AB∥CD，∴∠E＋∠G=∠B+∠Ｆ+∠D；（6)由以上可知:∠E1＋∠Ｅ２+…＋∠E n=∠B+∠Ｆ1+∠Ｆ2+…＋∠Fｎ﹣1+∠D;【点评】本题考查了平行线的性质与判定，属于基础题，关键是过Ｅ点作AB（或ＣD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形.6．如图所示,已知AB∥ＣD，EF交AB于M交CD于F，MＮ⊥EＦ于M，MN交CＤ于Ｎ,若∠BＭE=11０°，则∠MND＝2０° .【考点】平行线的性质．【分析】根据对顶角相等求出∠ＡＭＦ,再求出∠ＡＭN，然后根据两直线平行,内错角相等求解即可.【解答】解：∵∠BMＥ=11０°,∴∠AMF=∠BME=11０°,∵MN⊥EＦ于M，∴∠NMF=９０°，∴∠AＭN=∠ＡMF﹣∠ＮMF＝1１０°﹣9０°＝２0°,∵AB∥CD,∴∠MＮD=∠AMＮ=２0°.故答案为:２0°．【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，以及垂直的定义，是基础题,熟记性质并准确识图是解题的关键．7.如图,若直线a,b分别与直线c,d相交,且∠1+∠3=90°，∠2﹣∠３=９0°，∠4=115°,那么∠3= 65°.【考点】平行线的判定与性质.【专题】计算题．【分析】由∠1+∠3=90°,∠2﹣∠3=９０°,可得∠1+∠2=１80°,则可得出a∥b，根据同旁内角互补即可得出答案.【解答】解:∵∠1+∠3=90°,∠２﹣∠3＝9０°,∴∠1+∠2=１80°,∴∠１的对顶角+∠2=180°,∴ａ∥b，∴∠３+∠４的对顶角＝1８0°，∵∠4=１15°,∴∠3=1８0°﹣∠４=65°,故答案为:65°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质,属于基础题，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质.８.如图,已知AＢ∥CD，∠１=100°,∠2=120°,则∠α＝４0度.ﻬ【考点】平行线的性质.【专题】计算题.【分析】过点F作ＥF∥ＡB，由平行线的性质可先求出∠3与∠4，再利用平角的定义即可求出∠α.【解答】解：如图，过点F作EＦ∥AB,∴∠１+∠3=1８０°．∵∠1=100°,∴∠３=80°．∵AB∥CD,∴CD∥EF，∴∠4+∠2=1８0°,∵∠２＝120°，∴∠4=60°．∴∠α=18０°﹣∠3﹣∠４=40°．故应填40．【点评】本题的难点在于用辅助线构造平行线；关键点在于利用平行线的性质进行角的转化．9．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，那么另一角是 4０或140 度.【考点】平行线的性质.【分析】两个角的两边分别平行，则两个角可能是同位角，也可能是同旁内角,所以应分情况讨论.【解答】解：当两个角是同位角时，则另一个角也等于40°;若两个角是同旁内角时,则另一个角是14０°.故应填:40或140.【点评】会利用平行线性质求解角的大小,能够分析讨论一些简单的问题．ﻬ１0.如图,下列条件中,不能判断直线l1∥l２的是（）A．∠1=∠3B．∠２=∠3ﻩ C.∠4=∠5Ｄ．∠2＋∠4=180°【考点】平行线的判定．【分析】根据平行线的判定定理:同位角相等,两直线平行；内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行分别进行分析即可．【解答】解：Ａ、根据内错角相等,两直线平行可判断直线l１∥l2,故此选项不合题意；B、∠2=∠3，不能判断直线l1∥l2，故此选项符合题意;Ｃ、根据同位角相等，两直线平行可判断直线l1∥l２，故此选项不合题意;D、根据同旁内角互补,两直线平行可判断直线l１∥l2，故此选项不合题意;故选：B.【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．1１．已知线段ＡB=10ｃｍ,点Ａ,B到直线l的距离分别为6ｃｍ，４cm.符合条件的直线l有( ）A．１条 B.２条ﻩ C.3条D．4条【考点】点到直线的距离．【分析】根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.画出图形进行判断．【解答】解:在线段ＡB的两旁可分别画一条满足条件的直线;作线段AB的垂线，将线段AＢ分成6ｃm，4cm两部分，所以符合条件的直线l有３条,故选C.【点评】此题主要考查了从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的定义．12．已知:如图所示,直线a,b都与直线ｃ相交，给出下列条件:①∠1=∠2；②∠3=∠6;③∠4+∠7＝18０°；④∠5＋∠8＝180°.其中能判定ａ∥b的是（ )Ａ.①③ﻩB．②④ﻩＣ.①③④ D.①②③④【考点】平行线的判定;对顶角、邻补角．【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角,被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【解答】解：①∵∠1=∠2,∴a∥b（同位角相等，两直线平行).②∵∠3=∠6，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．③∵∠4＋∠７＝１80°,∵∠４＝∠６(对顶角相等)，∴∠6+∠7=180°,∴a∥b（同旁内角互补,两直线平行）．④同理得,a∥b(同旁内角互补,两直线平行）．故选D.【点评】正确识别“三线八角＂中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行．１3．如图所示，AB∥ＥF∥DC,ＥＧ∥DB，则图中与∠１相等的角(∠１除外）共有（)A．6个ﻩB．５个C．4个 D.2个【考点】平行线的性质．ﻬ【分析】由AB∥EF得∠FEG＝∠1,由EG∥DB可得∠DBG=∠１;设BＤ与ＥF相交于点Ｐ,由AB∥EF得到∠FPB=∠ＤＢG＝∠１，∠DPＥ＝∠ＤBG=∠1,又AB∥ＤＣ可以得到∠ＣＤＢ＝∠ＤBG=∠1，由此得到共有5个．【解答】解:∵AＢ∥EＦ,∴∠FＥG=∠1，∵EG∥DB，∴∠DBG＝∠1,设BD与EＦ相交于点P,∵AB∥EＦ，∴∠ＦＰＢ=∠DBG=∠１,∠DＰE=∠DBG＝∠１，∵AB∥DC，∴∠CDB=∠DBG=∠1.∴共有5个.故选Ｂ．【点评】本题主要利用了由平行得到的内错角相等以及同位角相等，注意不要漏解．14.如图所示,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠Ｃ的大小关系,并对结论进行说理.【考点】平行线的性质.【专题】探究型．【分析】由图中题意可先猜测∠AED=∠C，那么需证明DE∥BC.题中说∠1+∠2=180°，而∠1+∠４=1８0°所以∠2=∠４，那么可得到BD∥EF，题中有∠３=∠B,所以应根据平行得到∠3与∠ＡDE之间的关系为相等.就得到了∠Ｂ与∠ＡDＥ之间的关系为相等，那么DE∥BC．【解答】证明:∵∠１＋∠4=180°（邻补角定义)∠1+∠2=180°(已知）∴∠2=∠4(同角的补角相等）∴EF∥AB（内错角相等,两直线平行）∴∠3=∠ADE（两直线平行,内错角相等）又∵∠Ｂ＝∠3（已知）,∴∠ADE=∠B（等量代换）,∴DE∥ＢC(同位角相等，两直线平行）∴∠AＥD=∠Ｃ（两直线平行,同位角相等)．【点评】本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手,得到需证明的条件．属于典型的从两头往中间证明．15.如图,已知∠１十∠2＝18０°，∠A=∠C,AＤ平分∠BDＦ．求证：ＢC平分∠DBＥ.【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由已知易得∠１=∠BDC，则AＥ∥CF,所以∠EBＣ=∠ＢCＤ，又∠ＢAＤ=∠ＢCD,故∠EBＣ=∠ＢAD，可得AD∥BC，再用角平分线的定义和平行线的性质求证即可.【解答】证明:∵∠1十∠２=18０°,∠1+∠EBD=180°，∴∠2=∠ＥＢD,∴AE∥CＦ,∴∠FDＢ=∠DBE,∠BAD=∠ADF,又∵∠BＡD=∠BCD,∴∠BCD＝∠ＡDF,∴AD∥BC,∴∠ＤBC=∠BDA=∠FDB=∠DBＥ,∴ＢC平分∠ＤＢE．ﻬ【点评】此题考查了平行线的判定和性质，综合利用了角平分线的定义,要充分利用已知条件.16．在同一平面内有２002条直线ａ1,a2，…，a2０02，如果a1⊥a2,a2∥a3,a３⊥ａ4，a４∥a5，…,那么a１与a2002的位置关系是垂直．【考点】垂线；平行线.【专题】压轴题；规律型．【分析】a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每４条直线一循环.根据此规律可求a１与a２002的位置关系是垂直．【解答】解:∵ａ１与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环.∴(２00２﹣1)÷4=5０0余１，故答案为：垂直.【点评】本题难点在规律的探索,要认真观察即可得出规律.17.若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角2４对.【考点】同位角、内错角、同旁内角．【专题】几何图形问题.【分析】一条直线与另3条直线相交(不交于一点）,有3个交点．每2个交点决定一条线段，共有３条线段．4条直线两两相交且无三线共点，共有3×4＝12条线段.每条线段两侧各有一对同旁内角,可知同旁内角的总对数.【解答】解：∵平面上４条直线两两相交且无三线共点，∴共有3×4＝12条线段.又∵每条线段两侧各有一对同旁内角,∴共有同旁内角12×２＝24对.故答案为:２４.【点评】本题考查了同旁内角的定义.注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图形，熟记同旁内角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中,有两对同旁内角．ﻬ1８．如图，已知ｌ1∥ｌ2，AB⊥ｌ1,∠ABC=130°,则∠α＝40°．【考点】平行线的性质.【专题】计算题.【分析】过点Ｂ作ＥF∥l１∥l2,再根据平行线的性质不难求得∠α的度数.【解答】解:过点B作ＥF∥ｌ1∥l2∵EF∥l１∥l2，AＢ⊥l1∴∠ABF=9０°∵∠AＢC=130°∴∠ＦＢC=40°∵EF∥l1∥l2∴∠FBC=∠α=４0°故答案为:40°【点评】此题主要考查平行线的性质定理:定理1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行,同位角相等.定理2:两条平行线被地三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补.定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行,内错角相等.19．如图,直线AB∥ＣＤ，∠EFA=３0°，∠FGH=９0°,∠HMN＝3０°，∠CNP=50°，则∠GＨM的大小是4０°.【考点】平行线的性质；三角形的外角性质;多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】作辅助线:延长PM、EG交于点K；PＭ延长线交AＢ于点L．利用平行线性质进行求解.【解答】解:辅助线延长PＭ、EＧ交于点Ｋ,ＰM延长线交AＢ于点L．如图:∵AB∥CD，∴∠ＡLM=∠LND=５０°;∴∠MKＧ=∠BFG＋∠ＡLM=８0°.∵∠HＭＮ=30°,∴∠ＨMＫ=1５0°;∵∠ＦGＨ=90°,∴∠GＨM=３６0°﹣∠HＭＫ﹣∠MKＧ﹣∠ＭGH=360°﹣150°﹣80°﹣9０°＝４0°．【点评】考查了平行线的性质的应用．本题综合性较强．20．如图，Ｄ、Ｇ是△AＢC中AB边上的任意两点,ＤE∥BC,GＨ∥ＤC，则图中相等的角共有( ）A.4对B．５对 C.6对D.7对【考点】平行线的性质．【分析】可利用平行线内错角相等,同位角相等的性质得出图中相等的角．【解答】解:由DE∥BＣ,可得∠ADE=∠ABC,∠AED＝∠ACＢ,∠EDC=∠ＤCB,由GH∥DC，可得∠ＢDC=∠ＢGH,∠HＧD＝∠ＡDC,∠ＤCB=∠GHB，∵∠EDC=∠ＤCB,∠DCB=∠GHB,∴∠ＥＤC＝∠BHG,∴题中共有7对相等的角.故选Ｄ.【点评】本题主要考查平行线的性质,即同位角相等,内错角相等,所以熟练掌握平行线的性质.21．如图，若ＡB∥ＣD，则( ）A．∠1＝∠2+∠3 B.∠1=∠３﹣∠2C.∠1+∠2＋∠3=1８0°ﻩD.∠l﹣∠2+∠3＝1８０°【考点】平行线的性质.【分析】先根据平行线的性质由ＡB∥CD得到∠3＝∠４,再根据三角形外角性质得∠１=∠2+∠4,等量代换后得到∠1=∠２+∠３．【解答】解:延长BA交EC于F，如图,∵AB∥CＤ,∴∠3=∠4,∵∠1＝∠２+∠4,∴∠1=∠2＋∠3.故选Ａ．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行，内错角相等．也考查了三角形外角性质.２2.如图：已知AB∥CD∥EF,EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACＥ+∠CEＨ等于（)A.180°ﻩB.270°C．360°D．450°【考点】平行线的性质.【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质可以求得:∠BＡC与∠ＡCD,∠ＤCE与∠CＥF的度数的和,再减去∠HEF的度数即可.【解答】解：∵AB∥CD,∴∠BＡC+∠ACＤ＝180°，同理∠DCＥ+∠CＥF=１80°，∴∠BAC＋∠ＡCE+∠CＥＦ=360°；又∵EH⊥CD于H,∴∠HEF=９0°,∴∠BAC+∠ACＥ+∠CＥＨ=∠BＡC+∠ACE+∠CEF﹣∠HEF＝3６０°﹣90°=27０°．故选B.【点评】本题主要考查了平行线的性质:两直线平行同旁内角互补.23.如图,ＡＢ∥EＦ，∠C=９0°，则α、β和γ的关系是( )Ａ．β=α+γﻩＢ．α+β+γ＝180° C.α+β﹣γ=９０°ﻩ D.β+γ﹣α＝180°【考点】平行线的性质.【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系.【解答】解:延长DC交ＡＢ与G,延长CD交ＥF于H．在直角△BGＣ中,∠1=９0°﹣α；△EHＤ中，∠２=β﹣γ，∵ＡB∥EF，∴∠１=∠２，∴90°﹣α=β﹣γ,即α+β﹣γ=9０°.故选:C．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.２4.如图,已知ＡB∥CD，P为HD上任意一点，过Ｐ点的直线交HF于Ｏ点，试问：∠ＨＯP、∠ＡGF、∠ＨPO有怎样的关系?用式子表示并证明.【考点】平行线的性质；三角形的外角性质.【分析】可过点Ｏ作OＭ∥CD，利用内错角相等,再通过转化即可得出结论.【解答】解:∠ＨOP=∠AＧF﹣∠HＰO,过点O作OM∥CＤ,如图,则∠AGF=∠ＨＯM,∠ＨＰO=∠POM,∠ＨＯP=∠ＨOM﹣∠POM，∴∠HOＰ＝∠AGＦ﹣∠HPO.【点评】本题主要考查平行线的性质，能够熟练运用平行线的性质求解角之间的关系问题．25.如图，AB∥ED,α=∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D．证明：β=2α【考点】平行线的判定与性质;多边形内角与外角．【专题】证明题．【分析】此题的关键是过点C作AＢ的平行线，再利用平行线的性质和判定，得出∠A+∠E=180°,∠Ｂ+∠C+∠D=３60°,即可证明．【解答】证法１：∵AB∥ED,∴α=∠A+∠E＝1８0°(两直线平行，同旁内角互补）过C作CＦ∥AB（如图１）∵AＢ∥EＤ,∴CＦ∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行)∵CF∥AB,∴∠B=∠1,(两直线平行,内错角相等）又∵CF∥ED,∴∠2＝∠Ｄ,(两直线平行,内错角相等）∴β=∠B+∠C＋∠Ｄ=∠1+∠BCD+∠2=3６０°(周角定义)∴β=2α(等量代换)证法２:∵AB∥ED，∴α=∠A+∠E＝18０°（两直线平行，同旁内角互补)过C作ＣＦ∥AＢ（如图2）∵AB∥ＥD，∴CF∥ED(平行于同一条直线的两条直线平行）∵CＦ∥AＢ,∴∠B＋∠1=180°，（两直线平行，同旁内角互补）又∵CF∥EＤ,∴∠２+∠Ｄ＝１８0°,（两直线平行,同旁内角互补）∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠B+∠1+∠2+∠D=1８0°+１8０°=36０°,∴β=2α(等量代换）【点评】此题考查平行线的判定和性质，辅助线的作法很关键,也是常见作法,需掌握.２6.平面上有7条不同的直线,如果其中任何三条直线都不共点．（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；(2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形(至少两个)；（3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6,２1，15？(４)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形,从中你能发现什么规律?【考点】平行线；相交线.【专题】规律型．【分析】从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行,再考虑五条、四条,三条,二条直线平行,都不平行作出草图即可看出.ﻬ从画出的图形中归纳规律即可得到答案.【解答】解：（1）如图1所示;交点共有6个,(2）如图2,3．(3）当ｎ=6时,必须有6条直线平行,都与一条直线相交．如图4，当n=21时,必须使7条直线中的每2条直线都相交(即无任何两条直线平行）如图5，当n=15时,如图6,(4)当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律：①当7条直线都相互平行时,交点个数是0，这是交点最少,②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21,这是交点最多．ﻬ【点评】此题主要考查了平行线与相交线，关键是根据一定的规律画出图形,再再根据图形归纳规律.2７.如图，直线ＣＢ∥OＡ，∠C＝∠BAO＝1２0°，E、F在ＣB上,且满足∠FOB＝∠AOＢ,OE平分∠COF.（１)求∠EＯB的度数;(２）若平行移动AB,那么∠OBC：∠OFＣ的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变,求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【考点】平行线的性质;三角形内角和定理；角平分线的性质;平移的性质.【专题】几何图形问题.【分析】（1)根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC,再根据角平分线的定义求出∠EOB=∠ＡOC,代入数据即可得解;(2)根据两直线平行,内错角相等可得∠ＯBC=∠ＢOＡ，从而得到∠OBＣ＝∠FOB,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OFＣ=２∠OBC,从而得解；（３）设∠AOB=ｘ,根据两直线平行,内错角相等表示出∠CBO＝∠AＯB=x，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OＥC,然后利用三角形的内角和等于1８0°列式表示出∠OBA，然后列出方程求解即可.【解答】解：(1)∵ＣB∥OＡ,∴∠ＡOC＝1８０°﹣∠Ｃ=1８0°﹣1２０°＝60°，∵∠FOB=∠AＯＢ,OE平分∠COＦ,∴∠ＥOＢ＝∠AＯC＝×６０°=３０°;（２）∠ＯBC：∠OFＣ的值不会发生变化，为１:2，ﻬ∵CＢ∥OA，∴∠OＢC=∠BOA,∵∠FＯＢ＝∠AOＢ，∴∠OBC=∠FOＢ,∴∠OFC=∠ＯＢC＋∠ＦOＢ=２∠ＯBC，∴∠ＯＢC：∠OFC=1:2;(3)当平行移动ＡＢ至∠OBA=45°时，∠ＯEC＝∠OBA.设∠ＡOＢ=x，∵CＢ∥ＡO,∴∠CＢO=∠ＡOB=x,∵∠ＯＥC=∠CBO+∠EOＢ＝ｘ+30°，∠OBA=１80°﹣∠A﹣∠AOB=１80°﹣120°﹣ｘ=６0°﹣ｘ,∴x＋30°=60°﹣x,∴x=15°，∴∠OEＣ=∠OBA=６０°﹣15°＝45°．【点评】本题考查了平行线的性质，平移的性质，角平分线的定义,三角形的内角和定理,图形较为复杂，熟记性质并准确识图是解题的关键．。
平行线的性质与判定(典型例题)
E
B
C
例4.如图，∠A+∠C=1800，∠D=∠E,则AB与EF平行 吗？为什么？
A
B
C
E
D F
解：∵∠A+∠C=1800（ 已知 ） ∴AB//CD（同旁内角互补， 两直线平行） 又∵∠D=∠E（ 已知 ） ∴EF//CD（ 内错角相等，两直线平行） ∴AB//EF（ 两直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也平行)
C D F B 2 E 3 A G
1
D 4．如图，若m∥n，∠1 = 105°，则∠2 =（ A．55° B．60° C．65° D．75°
）
1 2
m n
5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为 垂足，如果∠EOD = 38°，则∠AOC = 52°，∠COB = 128 。 °
A O C
E D B
6.如图所示，下列推理正确的是（C ） A．∵∠1=∠4，∴BC∥AD B．∵∠2=∠3，∴AB∥CD C．∵AD∥BC，∴∠BCD＋∠ADC=180° D．∵∠1＋∠2＋∠C=180°，∴BC∥AD B A 1 2 4 3 D
1 B C
例7.如图，若AB⊥BC,BC⊥CD,∠1=∠2 求证：BE//CF A
1 证明： ∵AB⊥BC,BC⊥CD（ 已知） ∴∠ABC=∠BCD =900（垂直的定义 ） 2 ∵∠1=∠2（ 已知 ） E C ∴∠ABC－∠1=∠BCD－∠2（等式的性质） 即∠EBC=∠BCF ∴ BE// CF （内错角相等，两直线平行） B F
例2、如图有一块梯形的玻璃，已知量得 ∠A＝115°，∠D＝100°，请你想一想， 梯形的另外两个角各是多少度。
解：∵AD∥BC （已知） ∴ A ＋ B＝180°
平行线的判定和性质知识点详解
平行线的判定和性质（综合篇）一、重点和难点：重点：平行线的判定性质。
难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式。
二、例题：这部分容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、错角或同旁角。
解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。
上述类型题目大致可分为两大类。
一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。
其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。
另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。
例1．如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：∠1=∠7分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。
∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。
须证a//c。
法（一）证明：∵d是直线（已知）∴∠1+∠4=180°（平角定义）∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）∴∠3=∠4（等角的补角相等）∴a//c（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）法（二）证明：∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）∴∠1+∠3=180°（等量代换）∵∠5=∠1，∠6=∠3（对顶角相等）∴∠5+∠6=180°（等量代换）∴a//c （同旁角互补，两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）。
例2．已知如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE。
分析：只要求得∠EBC=∠CBD，由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC，从而推出AE//FC，从而推出∠C=∠EBC而∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC。
2022-2023学年七年级数学下册《平行线的性质》精讲与精练高分突破含答案解析
5.3平行线的性质考点一：平行线的性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单地说:两直线平行，同位角相等.2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单地说:两直线平行，内错角相等.3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单地说:两直线平行，同旁内角互补.注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。
一个结论：平行线间的距离处处相等。
例如：应用于说明矩形（包括长方形、正方形）的对边相等，还有梯形的对角线把梯形分成分别以上底为底的两等面积的三角形，或以下底为底的两等面积的三角形。
（因为梯形的上底与下底平行，平行线间的高相等，所以，就有等底等高的三角形。
）考点二、命题判断一件事情的语句叫命题。
命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果……那么……”的形式。
例如：“明天可能下雨。
”这句语句______命题，而“今天很热，明天可能下雨。
”这句语句_____命题。
(填“是”或“不是”)①命题分为真命题与假命题，真命题指题设成立，结论也成立的命题（或说正确的命题）。
假命题指题设成立，但结论不一定或根本不成立的命题（或说错误的命题）。
②逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题。
注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题，同理，原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题。
题型一：平行线的性质1．（2022秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，AF 是BAC ∠的平分线，DF AC ∥，若135∠=︒，则BAF ∠的度数为（ ）A ．17.5°B ．35°C ．55°D ．70°2．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期末）如图，直线a b P ，一块含60︒角的直角三角板如图放置，若113∠=︒，则2∠的度数为（ ）．A ．45︒B ．47︒C ．55︒D ．57︒3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB CD P ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EG 平分BEF ∠，交CD 于点G ，150∠=︒，则2∠等于（ ）A ．50︒B ．60︒C ．65︒D ．90︒题型二：根据平行线性质探究角的关系4．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）12∠=∠；（2）34∠=∠；（3）2490∠+∠=︒；（4）45180∠+∠=︒．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（2023春·七年级单元测试）如图，平面内直线a b c ∥∥，点A ，B ，C 分别在直线a ，b ，c 上，BD 平分ABC ∠，并且满足αβ∠>∠，则α∠，∠β，γ∠关系正确的是（ ）A ．2αβγ∠=∠+∠B ．αβγ∠=∠+∠C ．22αβγ∠=∠-∠D ．2αβγ∠=∠+∠6．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）23∠∠=；（2）34∠∠=；（3）2+4=90∠∠︒；（4）5290∠-∠=︒，其中正确的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4题型三：根据平行线性质求角的大小7．（2022秋·重庆江北·七年级校考期末）如图，已知OP 平分AOB ∠，30AOB ∠=︒，PC OA ∥，则CPO ∠为（ ）A ．30︒B ．10︒C ．15︒D ．5︒8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线m n ∥，AC BC ⊥于点C ，125∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．125︒B ．115︒C ．110︒D ．105︒9．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，12l l ∥，将一副直角三角板作如下摆成，图中点A 、B 、C 在同一直线上，则1∠的度数为（ ）A ．80︒B ．85︒C ．75︒D ．70︒题型四：平行线性质在生活应用问题10．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与原来的方向恰好相反，那么两次拐弯的角度是（ ）A ．第一次右拐50°，第二次左拐130°B ．第一次左拐50°，第二次右拐50°C ．第一次左拐50°，第二次左拐130°D ．第一次右拐50°，第二次右拐50°11．（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，木条a 、b 、c 通过B 、E 两处螺丝固定在一起，且40ABM ∠=︒，77BEF ∠=︒，将木条a 、木条b 、木条c 看作是在同一平面内的三条直线AC 、DF 、MN ，若使直线AC 、直线DF 达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（ ）A ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 顺时针旋转23B ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 逆时针旋转103C ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 逆时针旋转37D ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 顺时针旋转15812．（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转，B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动30°，B 灯每秒转动10°，B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是（ ）A ．1或6秒B ．8.5秒C ．1或8.5秒D ．2或6秒题型五：平行线之间的距离13．（2023春·七年级单元测试）在同一平面内，设a 、b 、c 是三条互相平行的直线，已知a 与b 的距离为4cm ，b 与c 的距离为1cm ，则a 与c 的距离为（ ）A ．1cmB ．3cmC ．5cm 或3cmD ．1cm 或3cm14．（2023春·七年级课时练习）如图，12l l ∥，AB CD ∥，2CE l ⊥，2FG l ⊥．则下列结论正确的是（ ）．A ．A 与B 之间的距离就是线段ABB ．AB 与CD 之间的距离就是线段AC 的长度C ．1l 与2l 之间的距离就是线段CE 的长度D ．1l 与2l 之间的距离就是线段CD 的长度15．（2020春·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，已知直线a // b // c ，直线d 与它们分别垂直且相交于A ，B ，C 三点，若AB=2，AC=6，则平行线b 、c 之间的距离是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8题型六：与命题有关的问题16．（2023春·广东江门·七年级统考期末）下列命题中，是假命题的是（ ）A ．直角的补角是直角B ．内错角相等，两直线平行C ．一条直线有且只有一条垂线D ．垂线段最短17．（2023春·七年级课时练习）关于原命题“如果a b =，那么22a b =”和它的逆命题“如果22a b =，那么a b =”，下列说法正确的是（ ）A ．原命题是真命题，逆命题是假命题B ．原命题、逆命题都是真命题C ．原命题是假命题，逆命题是真命题D ．原命题，逆命题都是假命题18．（2023春·全国·七年级专题练习）一栋公寓楼有5层，每层有一或两套公寓．楼内共有8套公寓．住户J 、K 、L 、M 、N 、O 、P 、Q 共8人住在不同公寓里．已知：（1）J 住在两套公寓的楼层．（2）K 住在P 的上一层．（3）二层只有一套公寓．（4）M 、N 住在同一层．（5）O 、Q 不同层．（6）Q 不住在一层或二层．（7）L 住在她所在层仅有的公寓里，且不在第一次或第五层．（8）M 在第四层；那么，J 住在第（ ）层．A ．1B ．2C ．3D ．5题型七：平行线的判定和性质的综合问题19．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级校考期末）如图，AB CD ∥，连接CA 并延长至点H ，CF 平分ACD ∠，CE CF ⊥，90GAH AFC ∠∠=+︒．(1)求证AG CE ∥；(2)若120GAF ∠=︒，求AFC ∠的度数．20．（2023春·七年级单元测试）如图，180ADE BCF ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，2ABC E ∠=∠．(1)求证：AD BC ∥；(2)求证：AB EF ∥；(3)若AF 平分BAD ∠，求证：90E F ∠+∠=︒．21．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 AM CN ∥，点B 在直线AM CN 、之间，88ABC ∠=︒．(1)如图1，请直接写出A ∠和C ∠之间的数量关系：_________．(2)如图2，A ∠和C ∠满足怎样的数量关系？请说明理由．(3)如图3，AE 平分MAB ∠，CH 平分NCB ∠，AE 与CH 交于点G ，则AGH ∠的度数为_________．一：选择题22．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）如图，若a b ∥，211933'∠=︒，则1∠等于（ ）A ．6027'︒B ．6073'︒C ．11933'︒D ．11973'︒23．（2023春·七年级课时练习）如图，直线l 、n 分别截A ∠的两边，且l n ∥．根据图中标示的角，判断下列各角的度数关系，正确的是（ ）A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．46180∠+∠=︒D ．34180∠+∠=︒24．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB CD P ，BC 是ABD ∠的平分线，若3100∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．80︒25．（2023秋·吉林长春·七年级校联考期末）如图，AB CD P ，155FGB ∠︒＝，FG 平分EFD ∠，则BEF ∠的大小为（ ）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒26．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，已知AB CD EF ∥∥，160∠=︒，320∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．105︒B ．120︒C ．135︒D ．140︒27．（2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）如图，1260∠=∠=︒，376∠=︒，则4∠的度数为（ ）A ．102︒B ．103︒C ．104︒D ．105︒28．（2022春·全国·七年级专题练习）如图，点E 在AB 的延长线上，下列条件中能够判定AB CD P 的条件有（ ）①180BAD ABC ∠+∠=︒；②12∠=∠；③3=4∠∠；④5E ADC ∠+∠=∠．A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④29．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知180AEF EFC ∠+∠=︒，M N ∠=∠，求证12∠=∠；30．（2023秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，已知12∠=∠，3=4∠∠，5A ∠=∠，试说明：BE CF ∥．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：∵3=4∠∠（已知）∴AE ∥______（______）∴5EDC ∠=∠（______）∵5A ∠=∠（已知）∴EDC ∠=______（等量代换）∴DC AB ∥（______）∴5180ABC ∠+∠=︒（______）即523180∠+∠+∠=︒∵12∠=∠（已知）∴513180∠+∠+∠=︒（______）即3180BCF ∠+∠=︒∴BE CF ∥（______）．一、单选题31．（2023春·七年级课时练习）如图，已知直线AB CD ∥，130GEF ∠=︒，135EFH ∠=︒，则12∠+∠的度数为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．65︒D ．85︒32．（2023春·七年级单元测试）如图，直线EF 分别与直线AB CD 、相交于点G H 、，已知1250∠=∠=︒，GM 平分HGB ∠交直线CD 于点M ，则GMD ∠的度数为（ ）A ．115︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒33．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB EF ∥，90BCD ∠︒＝，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（ ）A ．360αβγ++︒＝B ．90αβγ++︒＝C ．αγβ+＝D ．180αβγ++︒＝ 34．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB CD EF ∥∥，则下列各式中正确的是（ ）A．①②④B．②③④C．①②③二、填空题37．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当的度数为________．38．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知AB CD ∥，点M ，N 分别在直线AB 、CD 上，90MEN ∠=︒，CNE ENF ∠=∠，则α∠与∠β的数量关系________．39．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，AB CD ABD ∠P ，和BDC ∠的角平分线交于点E ，延长BE 交CD 于点F ，232∠=︒，则3∠=_________．40．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线12l l ，被直线3l 所截，3l 分别交12l l ，于点A 和点B ，过点B 的直线4l 交1l 于点C ．若1130260350∠∠∠=︒=︒=︒，，，则4∠=_________．41．（2022春·四川成都·七年级校考阶段练习）有一副直角三角板ABC 和DEC ，其中45B ∠=︒，60D ∠=︒，如图所示叠放，边CD 与边AB 交于点G ，过点G 作GH 平分AGC ∠，若GH BC ∥，则ECA ∠=______度．三、解答题42．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知点A 、D 在直线EF 上，12180∠+∠=︒，DB 平分ADC ∠，AD BC ∥．(1)求证： AB DC ∥；(2)若128DAB ∠=︒，求DBC ∠的度数．43．（2023春·七年级单元测试）如图，已知123180BDC ∠=∠∠+∠=︒，．(1)求证：AD CE ∥；(2)若DA 平分BDC ∠，DA FE ⊥于点A ，55FAB ∠=︒，求ABD ∠的度数．44．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线a b ⊥r r ，垂足为O ，ABC V 与直线a 、b 分别交于点E 、F ，且90C ∠=︒，EG FH ，分别平分MEC ∠和NFC ∠．(1)当PD 平分ODF ∠时，(2)当DP OB ∥时，求PDE ∠(3)当DP FD ⊥时，∠ADP 2(1)如图1，若BAP ∠，PAG ∠，ACE ∠的数量关系为___________．(2)如图2，在（1）的条件下，若5DBA ACE ∠=∠，30PAG ∠=︒，求证AB AC ⊥；(3)点B 、C 分别在点D 、E 的下方，若AB AC ⊥，PAG FAC ∠=∠，请在备用图中画出相应的图形，并求出DBA ∠的度数．1．B【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得1FAC ∠=∠，再根据角平分线的定义可得BAF FAC ∠=∠，从而可得结果．【详解】解：∵DF AC ∥，∴135FAC ∠=∠=︒，∵AF 是BAC ∠的平分线，∴35BAF FAC ∠=∠=︒，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．2．B【分析】由平行线的性质，已知113ABD ∠=∠=︒，再根据角的和差，平行公理推论，平行线的性质解得∠2度数，进而得出答案．【详解】过点B 作BD a ∥,∴2CBD ∠=∠，∵a b ∥,∴BD b ∥,又∵113∠=︒，∴113ABD ∠=∠=︒，∵60ABC ∠=︒，∴601347DBC ∠=︒-︒=︒，∴247∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角的和差，对顶角的性质，等量代换等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点过一点作已知直线的平行线辅助线．3．C【分析】由AB CD P ，1=50∠︒，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得BEF ∠的度数，又由EG 平分BEF ∠，求得BEG ∠的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得2∠的度数．【详解】解：∥ AB CD ，1180BEF ∴∠+∠=︒，1=50∠︒ ，130BEF ∴∠=︒，EG 平分BEF ∠，1652BEG BEF ∴∠=∠=︒，265BEG ∴∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用．4．D【分析】根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，可判断（1），（2）,（4），由平角的定义可判断（3），逐一进行解答即可．【详解】解：∵纸条的两边互相平行，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠4+∠5=180︒，故（1）（2）（4）正确；∵三角板是直角三角板，∴∠2+∠4=1809090︒-︒=︒，故（3）正确；综上所述，正确的个数是4． 故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．5．A【分析】先根据平行线的性质可得1γα∠+∠=∠，2β∠=∠，从而可得ABC αβ∠=∠+∠，再根据角平分线的定义可得11212αβ∠=∠+∠，代入1γα∠+∠=∠即可得出答案．【详解】解：如图，a b c ∥∥，1γα∴∠+∠=∠①，2β∠=∠，12ABC γαβ∠∴∠+∠+∠=∠+∠=，BD Q 平分ABC ∠，1112212ABC αβ∠=∴∠=∠+∠，代入①得：1212αβγα∠+∠+∠=∠，2αβγ∴∠=∠+∠，【详解】解：AC BC ⊥Q 于点C ，90ACB ∴∠=︒，190ABC ∴∠+∠=︒，902565ABC ∴∠=︒-︒=︒，m n ∥，2180115ABC ∴∠=︒-∠=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．9．C【分析】如图，过点C 作CM 1l ∥，则12l l CM ∥∥，根据平行线的性质可得∠1＋∠ECM ＝180°，∠2＝∠ACM ，再根据三角板的特点求解即可．【详解】解：如图，过点C 作CM 1l ∥，∵12l l ∥，∴12l l CM ∥∥，∴∠1＋∠ECM ＝180°，∠2＝∠ACM ，∵∠2＝180°−45°＝135°，∴∠ACM ＝135°，∴∠ECM ＝135°−30°＝105°，∴∠1＝180°−105°＝75°，故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等”及作平行线是解题的关键．10．C【分析】根据两直线平行，同旁内角互补判断即可．【详解】解：因为两次拐弯后，与原来的方向恰好相反，所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补．故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．11．C【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．【详解】解：A ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 顺时针旋转23°，∴∠ABE =40°+23°=63°≠∠DEM ，∴AC 与DF 不平行，故A 不符合题意；B ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 逆时针旋转103°，∴∠CBE =180°-（103°-40°）=117°≠∠DEM ，∴AC 与DF 不平行，故B 不符合题意；C ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 逆时针旋转37°，∴∠DEM =77°-37°=40°=∠ABE ，∴AC //DF ，故C 符合题意；D ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 顺时针旋转158°，∴∠DEM =360°-77°-158°=125°≠∠CBE ，∴AC 与DF 不平行，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．12．C【分析】设A 灯旋转的时间为t 秒，求出t 的取值范围为016t <≤，再分①06t <≤，②612t <≤和③1216t <≤三种情况，先分别求出MAM '∠和PBP '∠的度数，再根据平行线的性质可得MAM PBP ''∠=∠，由此建立方程，解方程即可得．【详解】解：设A 灯旋转的时间为t 秒，A 灯光束第一次到达AN 所需时间为180630︒=︒秒，B 灯光束第一次到达BQ 所需时间为1801810︒=︒秒，B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，0182t ∴<≤-，即016t <≤，由题意，分以下三种情况：①如图，当06t <≤时，//AM BP ''，30,10(2)MAM t PBP t ''∴∠=︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP '' ，1,1MAM PBP ''∴∠=∠∠=∠，MAM PBP ''∴∠=∠，即3010(2)t t ︒=︒+，解得1t =，符合题设；②如图，当612t <≤时，//AM BP ''，18030(6)36030,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-︒-=︒-︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP '' ，2180,2180MAM PBP ''∴∠+∠=︒∠+∠=︒，MAM PBP ''∴∠=∠，即3603010(2)t t ︒-︒=︒+，解得8.5t =符合题设；③如图，当1216t <≤时，//AM BP ''，30(12)30360,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-=︒-︒∠=︒+，同理可得：MAM PBP ''∠=∠，即3036010(2)t t ︒-︒=︒+，解得1916t =>，不符题设，舍去；综上，A 灯旋转的时间为1秒或8.5秒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间t 的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．13．C【分析】分①直线b 在直线a 、c 的之间和②直线c 在直线a 、b 的之间两种情况，根据平行线间的距离求解即可得．【详解】解：①如图，当直线b 在直线a 、c 的中间时，a 与b 的距离为4cm ，b 与c 的距离为1cm ，a ∴与c 的距离为()415cm +=；②如图，当直线c 在直线a 、b 的中间时，a 与b 的距离为4cm ，b 与c 的距离为1cm ，a ∴与c 的距离为()413cm -=；综上，a 与c 的距离为5cm 或3cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线间的距离，正确分两种情况讨论是解题关键．14．C【分析】根据两点间的距离和平行线间的距离的性质逐项判断即可．【详解】解：A 、A 与B 之间的距离就是线段AB 的长度，不符合题意，故本项错误；B 、AB 与CD 之间的距离就是线段HI 的长度，不符合题意，故本项错误；C 、1l 与2l 之间的距离就是线段CE 的长度，符合题意，故本项正确；D 、1l 与2l 之间的距离就是线段CE 或GF 的长度，不符合题意，故本项错误．故答案为：C ．【点睛】本题考查了两点间的距离和平行线间的距离的性质，解决本题的关键是掌握以上基本的性质．15．B【分析】依据直线a ∥b ∥c ，直线d 与它们分别垂直且相交于A ，B ，C 三点，即可得到AB 长为直线a 和b 之间的距离，BC 长为直线b 和c 之间的距离，AC 长为直线a 和c 之间的距离，再根据AB=2，AC=6，即可得出直线b 与直线c 之间的距离为4．【详解】解：∵直线a ∥b ∥c ，直线d 与它们分别垂直且相交于A ，B ，C 三点，∴AB 长为直线a 和b 之间的距离，BC 长为直线b 和c 之间的距离，AC 长为直线a 和c 之间的距离，又∵AB=2，AC=6，∴BC=6-2=4，即直线b 与直线c 之间的距离为4．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．16．C【分析】根据补角的定义，平行线的判定，垂线的性质，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 直角的补角是直角，是真命题，故该选项不符合题意；B. 内错角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意；C. 同一平面内过直线上的一点有且只有一条垂线，原命题是假命题，符合题意；D. 垂线段最短，是真命题，故该选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了判断真假命题，掌握补角的定义，平行线的判定，垂线的性质是解题的关键．17．A【分析】根据互逆命题的定义即把一个命题的题设和结论互换和性质定理进行解答，即可求出答案．【详解】解：如果a b =，那么22a b =，所以原命题是真命题；命题“如果a b =，那么22a b =”的逆命题是如果22a b =，那么a b =，不一定成立，是假命题；故原命题是真命题，逆命题是假命题故选：A ．【点睛】此题考查了互逆命题，掌握互逆命题的定义即两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题的关键．18．D【分析】首先根据已知，采取筛选法进行一个一个筛选，就能确定答案．【详解】解：由（4）和（8）得出M 和N 住在第四层．由（2）得K 只能在2或3层，又由（7）得出L 在3层且只有一户，K 在二层只有一户，P 则在一层．又由（5）和（6）知道O 只能在一层，Q 在五层．这时只有五层还有一套公寓，所以J 只能住在五层．故选：D ．【点睛】用到的知识点是推理和论证，能根据已知，采取筛选法进行一个一个筛选是解此题的关键．19．(1)见解析(2)30AFC ∠=︒【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的定义推出AFC ACF ∠=∠，得到90ACF GAH ∠∠=+︒，根据垂直的定义求出90ACF ECH ∠∠+=︒，由此得到GAH ECH ∠=∠，即可推出结论；（2）根据平行线的性质推出2HAF ACD ACF =∠∠=∠，由90GAH ECH ACF ∠=∠=︒-∠，得到902120ACF ACF ︒-∠+∠=︒，求出30ACF ∠=︒即可．【详解】（1）证明：∵AB CD ∥，∴AFC DCF ∠=∠，∵CF 平分ACD ∠，∴DCF ACF ∠=∠，∴AFC ACF ∠=∠，∵90GAH AFC ∠∠=+︒，∴90ACF GAH ∠∠=+︒，∵CE CF ⊥，∴90ECF ∠=︒，∴90ACF ECH ∠∠+=︒，∴GAH ECH ∠=∠，∴AG CE ∥；（2）∵AB CD ∥，∴2HAF ACD ACF =∠∠=∠，∵90GAH ECH ACF ∠=∠=︒-∠，∴902120ACF ACF ︒-∠+∠=︒，∴30ACF ∠=︒，∴30AFC ∠=︒．【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，正确掌握平行线的判定和性质是解题的关键．20．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）求出ADF BCF Ð=Ð，根据平行线的判定得出即可；（2）根据角平分线的定义得出2ABC ABE ∠=∠，求出ABE E ∠=∠，根据平行线的判定得出即可；（3）根据平行线的性质得出180ADE BCF ∠+∠=︒，根据角平分线的定义得出12ABE ABC ∠=∠， 12BAF BAD ∠=∠，求出90ABE BAF ∠+∠=︒，根据三角形的内角和定理得出即可．【详解】（1）∵180ADE BCF ∠+∠=︒，180ADE ADF ∠+∠=︒，∴ADF BCF ∠=∠，∴AD BC ∥；（2）∵BE 平分ABC ∠，∴2ABC ABE ∠=∠，∵2ABC E ∠=∠，∴ABE E ∠=∠，∴AB EF ∥；（3）∵AD BC ∥，∴180DAB ABC ∠+∠=︒，∵BE 平分ABC ∠，AF 平分BAD ∠，∴12ABE ABC ∠=∠，12BAF BAD ∠=∠，∴90ABE BAF ∠+∠=︒，∴1809090AOB EOF Ð=°-°=°=Ð，∴18090E F EOF Ð+Ð=°-Ð=°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．21．(1)88A C ∠+∠=︒(2)92C A ∠-∠=︒，见解析(3)46︒【分析】（1）过点B 作BE AM ∥，利用平行线的性质即可求得结论；（2）过点B 作BE AM ∥，利用平行线的性质即可求得结论；（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．【详解】（1）解：过点B 作BE AM ∥，如图，∴A ABE ∠=∠．∵BE AM ∥，AM CN ∥，∴BE AM CN ∥∥．∴C CBE ∠=∠．∵88ABC ∠=︒．∴88A C ABE CBE ABC ∠+∠=∠+∠=∠=︒．故答案为：88A C ∠+∠=︒；（2）解：A ∠和C ∠满足：92C A ∠-∠=︒．理由：过点B 作BE AM ∥，如图，∴A ABE ∠=∠．∵BE AM ∥，AM CN ∥，∴BE AM CN ∥∥．∴180C CBE ∠+∠=︒．∴180CBE C ∠=︒-∠．∵88ABC ∠=︒．∴88ABE CBE ∠+∠=︒．∴18088A C ∠+︒-∠=︒．∴92C A ∠-∠=︒；（3）解：设CH 与AB 交于点F ，如图，∵AE 平分MAB ∠，CH 平分NCB ∠，∥，∵a b24．B【分析】根据平行线的性质可求ABD ∠的度数，然后根据角平分线定义求解即可．【详解】解：AB CD P ，3100∠=︒，3100ABD ∴∠=∠=︒，BC 是ABD ∠的平分线，121502ABD ∴∠=∠=∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质求出ABD ∠的度数是解题的关键．25．D【分析】利用平行线的性质，角平分线的性质计算．【详解】解：155AB CD FGB ∠=︒ ∥，，180BEF EFD ∴∠+∠=︒，180********GFD FGB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，FG 平分EFD ∠，222550EFD GFD ∴∠=∠=⨯︒=︒，180********BEF EFD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．26．D【分析】由AB EF ∥，根据据两直线平行，内错角相等，可求出CDE ∠的度数，从而由3CEF AEF ∠=∠-∠可求得出CEF ∠的度数，再由CD EF ∥，根据两直线平行，同旁内角互补，求得2∠的度数即可．【详解】解：∵AB EF ∥，160∠=︒，∴160AEF ∠=∠=︒，∵320∠=︒，∴602040CEF ∠=︒-︒=︒，∵CD EF ∥，∴2180CEF ∠+∠=︒，∴218040140∠=︒-︒=︒．故选D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．27．C【分析】先根据对顶角相等可得5260∠=∠=︒，再根据平行线的判定可得a b P ，然后根据平行线的性质即可得．【详解】解：如图，260∠=︒ ，5260∴∠=∠=︒，160∠=︒ ，51∴∠=∠，a b ∴P ，4180180104376∠=︒-︒-︒=∴∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．28．B【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行三种判定方法进行判定即可．【详解】解：∵∠180BAD ABC ∠+∠=︒，∴BC AD ∥，故①不合题意；∵12∠=∠，∴AB CD P ，故②符合题意；∵3=4∠∠，∴BC AD ∥，故③不合题意；∵5E ADC ∠+∠=∠，5EDC ADC ∠+∠=∠，∴E EDC ∠=∠，∴AB CD P ，故④符合题意．故本题选：B ．【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握三种判定方法是解题关键．29．证明见解析【分析】先证明AB CD P ，再证明ME FN ∥，得到MEF EFN ∠=∠，利用等式的性质即可求解．【详解】证明：∵180AEF EFC ∠+∠=︒，∴AB CD P ，∴AEF DFE ∠=∠．∵M N ∠=∠，∴ME FN ∥，∴MEF EFN ∠=∠，∴AEF MEF EFD EFN ∠-∠=∠-∠，即12∠=∠．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是牢记平行线的判定与性质．30．BC ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；A ∠；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可．【详解】解：∵3=4∠∠（已知）∴AE BC ∥（内错角相等，两直线平行）∴5EDC ∠=∠（两直线平行，内错角相等）∵5A ∠=∠（已知）∴EDC A ∠=∠（等量代换）∴DC AB ∥（同位角相等，两直线平行）∴5180ABC ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）即523180∠+∠+∠=︒∵12∠=∠（已知）∴513180∠+∠+∠=︒（等量代换）即3180BCF ∠+∠=︒∴BE CF ∥（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：BC ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；A ∠；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答此题的关键．31．D【分析】由130GEF ∠=︒，135EFH ∠=︒可得1324265︒∠+∠+∠+∠=，由AB CD P 得34180∠+∠=︒，进而可求出12∠+∠的度数．【详解】解：如下图所示，∵130GEF ∠=︒，∴13130︒∠+∠=，∵135EFH ∠=︒，∵AB EF ∥，∴AB CM DN EF ∥∥∥，∴BCM DCM CDN EDN αγ∠∠∠∠＝，＝，＝，∵CDN EDN CDN βγ∠+∠∠+＝＝①，90BCD CDN α∠+∠︒＝＝②，由①②得：90αβγ+-︒＝．即90αβγ++︒＝故选：B ．【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解题的关键．34．D【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补）即可得到结论．【详解】∵AB CD EF ∥∥，∴31BDC ∠=∠+∠，=1802BDC ∠︒-∠，∴311802∠=∠+︒-∠，∴231801∠+∠=︒+∠，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题关键．35．C【分析】分别过E 、F 作GE AB ∥，FH CD ∥，再根据平行线的性质可以得到解答．【详解】解：分别过E 、F 作GE AB ∥，FH CD ∥，∵AB CD ∥，∴AB GE FH CD ∥∥∥，∴180ABE BEG ∠+∠=︒，180CDE DEG ∠+∠=︒，∴360ABE BEG CDE DEG ∠+∠+∠+∠=︒，即360ABE BED CDE ∠+∠+∠=︒，①正确；∴1β∠= EF CD ∥，CNE ENF ∠=∠()121802ENC α∴∠=∠=︒-∠∵1130350∠∠=︒=︒，，∴12l l ∥，∴45∠=∠，∵260350∠∠=︒=︒，，∴5180605070∠=︒-︒-︒=︒，在BCG V 中，180180904545BCG BGC B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，30DCE ∠=︒ ，90453015ECA ACB BCG DCE ∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，关键是理解平行线性质，灵活运用角的和差关系计算．42．(1)见解析(2)26DBC ∠=︒【分析】（1）由已知条件得出180BAD CDA ∠+∠=︒，根据同旁内角互补两直线平行，即可得证；（2）根据已知条件得出18012852ADC ∠=︒-︒=︒，根据角平分线的定义得出1262ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒，根据平行线的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵12180∠+∠=︒，1180,2180DAB ADC ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴180BAD CDA ∠+∠=︒，∴AB DC ∥；（2）解：∵180BAD CDA ∠+∠=︒，128DAB ∠=︒，∴18012852ADC ∠=︒-︒=︒，∵DB 平分ADC ∠，∴1262ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒，∵AD BC ∥，∴26DBC ADB ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．43．(1)见解析(2)110︒【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定AB CD ∥，得到2ADC ∠=∠，等量代换得出3180ADC ∠+∠=︒，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；（2）由CE AE ⊥，AD CE ∥得出90CEF DAF ∠∠==︒，再根据平行线的性质即可求出235ADC ∠=∠=︒，再根据角平分线的定义即可得解．【详解】（1）证明：∵1BDC ∠=∠，∴AB CD ∥，∴2ADC ∠=∠，∵23180∠+∠=︒，∴3180ADC ∠+∠=︒，∴AD CE ∥；（2）解：∵CE AE ⊥于E ，∴90CEF ∠=︒，由（1）知AD CE ∥，∴90CEF DAF ∠∠==︒，∴2ADC DAF FAB ∠=∠=∠-∠，∵55FAB ∠=︒，∴35ADC ∠=︒，∵DA 平分BDC ∠，1BDC ∠=∠，∴1270BDC ADC ∠=∠=∠=︒，∴18070110ABD ∠=︒-︒=︒．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础．44．(1)180°(2)见解析【分析】（1）根据四边形的内角和解答即可；（2）根据四边形的内角和得出180OEC OFC ∠+∠=︒，由角平分线的定义得出()111809022CEG CFH MEC NFC ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，过C 点作CD EG ∥，由平行线的性质与判定即可得出结论．【详解】（1）解：在四边形OECF 中由90C ∠=︒，a b ⊥r r ，得180OEC OFC ∠+∠=︒，故答案为：180°；（2）证明：在四边形OECF 中∵90C ∠=︒，a b ⊥r r ，得180OEC OFC ∠+∠=︒，∵180MEC OEC ∠=︒-∠，180NFC OFC ∠=︒-∠，∴()()180180MEC NFC OEC OFC ∠+∠=︒-∠+︒-∠∵90ODE ∠=︒，∴1409050PDE ∠=︒-︒=︒．（3）如图，∵DP FD ⊥，（4）如图，当PD 在EDF ∠的外部时，∵45EDF ∠=︒，23PDF ∠=∠同理可得：2453 PDF∠=⨯∴PDE EDF PDF∠=∠-∠【点睛】本题考查的是垂直的定义，角平分线的定义，平行线的性质，角的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的,BAP PAC∴∠=∠∠BAP PAC∴∠=∠=∠故答案为：BAP∠=（2）证明：如图2，DBA BAG ∴∠=∠AP 平分BAC∠BAP PAC ∴∠=∠DBA BAG ∴∠=∠5DBA ACE ∠=∠ 在图3中，∵AB AC ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵AP 平分BAC ∠，∴1452PAB PAC BAC ∠=∠=∠=︒，∵DM FG ∥，BAG DBA x∴∠=∠=45PAG PAB BAG x∴∠=∠+∠=︒+90BAC ∠=︒9090FAC BAG x∴∠=︒-∠=︒-PAG FAC∠=∠ 4590x x∴︒+=︒-解得：22.5x =︒，22.5DBA ∴∠=︒；在图4中，∵AB AC ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵AP 平分BAC ∠，∴1452P AB P AC BAC ∠=∠=∠=''︒，∵DM FG ∥，BAG DBA x∴∠=∠=45P AG BAG P AB x ∴∠=∠-='∠-'︒()180********PAG P AG x x∴∠=︒-∠=︒--︒=︒-'90CAG x∠=︒- ()1801809090FAC CAG x x∴∠=︒∠=︒-︒-=︒+PAG FAC∠=∠ 22590x x∴︒-=︒+解得：67.5x =︒，67.5DBA ∴∠=︒；综上所述，DBA ∠的度数为22.5︒或67.5︒．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义综合题；熟练和灵活运用其性质建立好等量关系是解决本题的关键．。
(完整)七年级上册平行线经典题型及答案解析(经典)
1、如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4．2、如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A=37°，求∠D 的度数．3、如图，AB ，CD 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A ，C 两点，点E 是橡皮筋上的一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A ，∠AEC ，∠C 之间具有怎样的关系并说明理由。
(提示：先画出示意图，再说明理由)提示：这是一道结论开放的探究性问题，由于E 点位置的不确定性，可引起对E 点不同位置的分类讨论。
本题可分为AB ，CD 之间或之外。
结论：①∠AEC ＝∠A ＋∠C ②∠AEC ＋∠A ＋∠C ＝360°③∠AEC ＝∠C －∠A④∠AEC ＝∠A －∠C ⑤∠AEC ＝∠A －∠C ⑥∠AEC ＝∠C －∠A ．4、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）A 、80B 、50C 、30D 、205、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ ）A 、43°B 、47°C 、30°D 、60°6、如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN ．（1）如图1，连结AB ，则∠CAB +∠ABD = ；（2）如图2，点错误!未找到引用源。
是直线CM 、DN 内部的一个点，连结错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
．求证：错误!未找到引用源。
=360°；（3）如图3，点错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
是直线CM 、DN 内部的一个点，连结错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
．试求错误!未找到引用源。
的度数；（4）若按以上规律，猜想并直接写出错误!未找到引用源。
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专题 平行线的判定与性质(解析版)--七年级数学下册
专题02平行线的判定与性质1．（2022秋•项城市期末）如图，已知∠B＝∠ADE，∠EDC＝∠GFB，GF⊥AB，求证：CD⊥AB．把以下证明过程补充完整，并在括号内填写理由或数学式．证明：∵∠B＝∠ADE（已知）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠EDC＝∠DCB（两直线平行，内错角相等）又∠EDC＝∠GFB（已知）∴∠DCB＝∠GFB（等量代换）∴GF∥CD（同位角相等，两直线平行）【分析】根据平行线的判定与性质即可证得．【解答】证明：∵∠B＝∠ADE（已知），∴DE∥BC（同位角相等；两直线平行），∴∠EDC＝∠DCB（两直线平行，内错角相等），又∠EDC＝∠GFB（已知），∴∠DCB＝∠DFG（等量代换），∴GF∥CD（同位角相等，两直线平行），故答案为：DE，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠GFB，GF，CD，同位角相等，两直线平行．2．（2023秋•道里区校级期中）将下面的解答过程补充完整：如图，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么EF与AB平行吗？为什么？解：因为DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等①），因为EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝∠CFE②（角平分线的定义），所以∠CFE＝∠CEF（等量代换③），因为∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝∠CEF④（等量代换），所以EF∥AB（同位角相等，两直线平行⑤）．【分析】先根据两直线平行，内错角相等，得到∠DEF＝∠CFE，再根据角平分线得出∠DEF＝∠CEF，进而得到∠CFE＝∠CEF，再根据∠A＝∠CFE，即可得出∠A＝∠CEF，进而根据同位角相等，两直线平行，判定EF∥BC．【解答】解：因为DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等①），因为EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝∠CFE②（角平分线的定义），所以∠CFE＝∠CEF（等量代换③），因为∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝∠CEF④（等量代换），所以EF∥AB（同位角相等，两直线平行⑤）故答案为：两直线平行，内错角相等，∠CFE．等量代换，∠CEF，同位角相等，两直线平行．3．（2022秋•尤溪县期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠C＝76°，∠AED＝2∠3，求∠CEF的度数．【分析】（1）由已知条件可证得AB∥EF，从而有∠B＝∠EFC，则得∠3＝∠EFC，得证DE∥BC；（2）由（1）得DE∥BC，利用两直线平行，同旁内角互补可求解．【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4，∴AB∥EF，∴∠B＝∠EFC，∵∠B＝∠3，∴∠3＝∠EFC，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∠C＝76°，∴∠C+∠DEC＝180°，∠AED＝∠C＝76°，∵∠AED＝2∠3，∴∠3＝38°∵∠DEC＝180°﹣∠C＝104°，∴∠CEF＝∠DEC﹣∠3＝104°﹣38°＝66°．4．（2023秋•怀宁县期中）如图，已知EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．小明添加的条件：∠B＝∠ADG．请你帮小明将下面的证明过程补充完整．证明：∵EF∥CD（已知）∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等）∵∠B＝∠ADG（添加条件）∴BC∥DG（同位角互补，两直线平行）∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）．【分析】证明BC∥DG即可解答．【解答】证明：∵EF∥CD（已知），∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠ADG，∴BC∥DG（同位角相等，两直线平行），∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）；故答案为：∠BCD，两直线平行，同位角相等；DG，同位角互补，两直线平行；∠BCD，两直线平行，内错角相等，等量代换．5．（2022秋•长春期末）请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：∠B＝∠C证明：∵∠1＝∠2，（已知）又：∵∠1＝∠3，对顶角相等∴∠2＝∠3，（等量代换）∴AE∥FD同位角相等，两直线平行∴∠A＝∠BFD两直线平行，同位角相等∵∠A＝∠D（已知）∴∠D＝∠BFD（等量代换）∴AB∥CD内错角相等，两直线平行∴∠B＝∠C两直线平行，内错角相等．【分析】先根据题意得出∠2＝∠3，故可得出AE∥FD，故∠A＝∠BFD，再由∠A＝∠D可得出∠D＝∠BFD，故可得出AB∥CD，进而可得出结论．【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），又∵∠1＝∠3对顶角相等，∴∠2＝∠3（等量代换），∴AE∥FD（同位角相等，两直线平行），∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）．∵∠A＝∠D（已知），∴∠D＝∠BFD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．故答案为：对顶角相等；∠3；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BFD；AB，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．6．（2022秋•闽清县期末）如图，AB∥CD，E是BC的延长线上的一点，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：（1）∠B＝∠D；（2）AD∥BE．【分析】（1）根据∠3＝∠4，可得∠AFD＝∠3，再由三角形内角和定理，即可求证；（2）根据平行线的性质可得∠B+∠BCD＝180°，从而得到∠BCD+∠D＝180°，即可求证．【解答】证明：（1）∵∠AFD＝∠4，∠3＝∠4，∴∠AFD＝∠3，∵∠B＝180°﹣∠1﹣∠3，∠D＝180°﹣∠2﹣∠AFD，又∠1＝∠2，∴∠B＝∠D；（2）∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠B＝∠D．∴∠BCD+∠D＝180°，∴AD∥BE．7．（2023春•石城县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．【分析】（1）求出∠ABC+∠A＝180°，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质求出∠DBC，根据垂直推出BD∥EF，根据平行线的性质即可求出∠EFC．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，∴∠DBC＝∠ADB＝36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠EFC＝36°8．（2022秋•淇县期末）如图，已知AD∥FE，∠1＝∠2．（1）试说明DG∥AC；（2）若∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．【分析】（1）只要证明∠2＝∠DAC即可．（2）利用平行线的性质解决问题即可．【解答】解：（1）∵AD∥EF，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DAC，∴DG∥AC．（2）∵DG∥AC，∴∠AGD+∠BAC＝180°，∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°9．（2022秋•禅城区期末）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．【分析】（1）根据平行线的性质与判定方法证明即可；（2）设∠EDC＝x°，由∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC可得∠BFD＝∠BDF＝2x°，根据平行线的性质可得∠DFB＝∠FDE＝2x°，再根据平角的定义列方程可得x的值，进而得出∠B的度数．【解答】解：（1）证明：∵DF∥CA，∴∠DFB＝∠A，又∵∠FDE＝∠A，∴∠DFB＝∠FDE，（2）设∠EDC＝x°，∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，由（1）可知DE∥BA，∴∠DFB＝∠FDE＝2x°，∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，∴x＝36，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝36°．30．（2023春•驿城区校级期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）试说明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．【分析】（1）由平行线的性质可得∠BAD＝∠1，从而可求得∠BAD+∠2＝180°，即可判断；（2）由题意可求得∠1＝38°，再由角平分线的定义可得∠CDG＝∠1＝38°，再利用平行线的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°，∴∠1＝38°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠CDG＝∠1＝38°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠CDG＝38°．11．（2023秋•香坊区校级期中）完成下面推理过程，并在括号里填写推理依据：如图，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求证：AB∥CD．证明：∵AB∥EF（已知），∴∠APE＝∠PEF，∵EP⊥EQ（已知），∴∠PEQ＝90°），即∠QEF+∠PEF＝90°，∴∠QEF+∠APE＝90°，∵∠EQC+∠APE＝90°（已知），∴∠EQC＝∠QEF（同角的余角相等），∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行），又∵AB∥EF，∴AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．【分析】根据平行线的性质、判定填空即可．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠APE＝∠PEF．∵EP⊥EQ，∴∠PEQ＝90°（垂直的定义）．即∠QEF+∠PEF＝90°．∴∠APE+∠QEF＝90°．∵∠EQC+∠APE＝90°，∴∠EQC＝∠QEF（同角的余角相等）．∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．故答案为：PEF；∠QEF；同角的余角相等；CD，内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．12．（2022秋•邓州市期末）如图，点M在CD上，已知∠BAM+∠AMD＝180°，AE平分∠BAM，MF平分∠AMC，请说明AE∥MF的理由．解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（已知），∠AMC+∠AMD＝180°（平角的定义），所以∠BAM＝∠AMC（等量代换）．因为AE平分∠BAM，所以∠BAM（角平分线的定义）．因为MF平分∠AMC，所以∠AMC，得∠1＝∠2（等量代换），所以AE∥MF（内错角相等，两直线平行）．【分析】根据角平分线的定义，平行线的判定定理完成填空即可求解．【解答】解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（已知），∠AMC+∠AMD＝180°（平角的定义），所以∠BAM＝∠AMC（等量代换）．因为AE平分∠BAM，所以∠BAM（角平分线的定义）．因为MF平分∠AMC，所以∠AMC，得∠1＝∠2（等量代换），所以AE∥MF（内错角相等，两直线平行）故答案为：已知；平角的定义；等量代换；∠BAM；角平分线的定义；∠AMC；∠1＝∠2；等量代换；AE∥MF；内错角相等，两直线平行．13．（2022秋•桐柏县期末）完成下面推理过程．如图：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）∴∠A+∠ABC＝180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）∴∠BDF＝∠EFC＝90°∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）∴∠1＝∠2（等量代换）【分析】根据推理过程，填上依据即平行线的性质或者判定．【解答】证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知），∴∠A+∠ABC＝180°．∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）．∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知），∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．∴∠BDF＝∠EFC＝90°．∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）．∴∠1＝∠2（等量代换）．故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．14．（2023秋•天山区校级期中）已知，GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，∠GPH＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠AGE＝60°，求∠4的度数．【分析】（1）依据三角形内角和定理，即可得到∠1+∠3＝90°，再根据角平分线的定义，即可得到∠BGH+∠DHG＝2（∠1+∠3）＝180°，进而得出AB∥CD；（2）依据对顶角相等以及平行线的性质，即可得到∠DHG＝180°﹣60°＝120°，再根据HP平分∠GHD，即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠GPH＝90°，∴△GHP中，∠1+∠3＝90°，又∵GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，∴∠BGH＝2∠1，∠DHG＝2∠3，∴∠BGH+∠DHG＝2（∠1+∠3）＝180°，∴AB∥CD；（2）∵∠BGH＝∠AGE＝60°，∴∠DHG＝180°﹣60°＝120°，又∵HP平分∠GHD，∴∠4＝∠DHG＝×120°＝60°．15．（2023春•覃塘区期末）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．（1）求证：EF∥BH；（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．【分析】（1）要证明EF∥BH，可通过∠E与∠EBH互补求得，利用平行线的性质说明∠EBH＝∠CHB 可得结论．（2）要求∠CHO的度数，可通过平角和∠FHC求得，利用（1）的结论及角平分线的性质求出∠FHB 及∠BHC的度数即可．【解答】证明：（1）∵∠HCO＝∠EBC，∴EB∥HC．∴∠EBH＝∠CHB．∵∠BHC+∠BEF＝180°，∴∠EBH+∠BEF＝180°．∴EF∥BH．（2）解：∵∠HCO＝∠EBC，∴∠HCO＝∠EBC＝64°，∵BH平分∠EBO，∴∠EBH＝∠CHB＝∠EBC＝32°．∵EF⊥AO于F，EF∥BH，∴∠BHA＝90°．∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°．∵∠CHO＝180°﹣∠FHC＝180°﹣122°＝58°．16．（2023春•新化县期末）如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂足为点O．已知∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）若AF＝12，BF＝5，AB＝13，求点F到直线AB的距离．【分析】（1）应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案；（2）设点F到直线AB的距离为h，根据等面积法可得SAFB＝，代入计算即可得出h△的值，即可得出答案．【解答】（1）证明：因为∠l＝∠B（已知），所以CE∥BF（同位角相等，两直线平行），因为AF⊥CE（已知），所以AF⊥BF（垂直的性质），所以∠AFB＝90°（垂直的定义），又因为∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）．即∠AFC+∠2＝90°，又因为∠A+∠2＝90，所以∠AFC＝∠A（同角的余角相等），所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；（2）解：因为AF⊥BF（已证），且AF＝12，BF＝5，AB＝13．设点F到直线AB的距离为h．所以SAFB＝，△所以，即h＝，所以点F到直线AB的距离为．17．（2023春•温州月考）如图，已知∠1＝∠3，∠2＝∠B．（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由；（2）若DE平分∠ADC，∠1＝3∠B，求∠EFC的度数．【分析】（1）根据已知条件判定AB∥EF，再结合平行线的性质可得∠ADE＝∠B，从而判定出最终结论．（2）设∠B＝x，结合已知条件，分别把∠1，∠ADE，∠ADC表示出来，根据∠ADB是平角列出方程，求出x的值，进而求出∠EFC的度数．【解答】解：（1）DE∥BC，理由如下：∵∠1＝∠3，∴AB∥EF，∴∠2＝∠ADE，∵∠2＝∠B，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC（2）设∠B＝x，则∠1＝3∠B＝3x，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝x，∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE＝2x，∴x＝36°，∴∠ADC＝2x＝72°，∵AB∥EF，∴∠EFC＝∠ADC＝72°18．（2023春•仙居县期末）如图是一个汉字“互”字，其中，AB∥CD，HF∥GE，∠HGE＝∠HFE，M、H、G三点在同一直线上，N、E、F三点在同一直线上．求证：（1）GH∥EF；（2）∠CMH＝∠BNE．【分析】（1）根据“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”证明即可；（2）延长EF，与CD交于点I．根据“两直线平行，内错角相等”和角的等量代换证明即可．【解答】证明：（1）∵HF∥GE，∴∠HFE+∠GEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．又∵∠HGE＝∠HFE，∴∠HGE+∠GEF＝180°，∴GH∥EF（同旁内角互补，两直线平行）．（2）延长EF，与CD交于点I．∵GH∥EF，∴∠CMH＝∠MIF．又∵AB∥CD，∴∠MIF＝∠BNE．∴∠CMH＝∠BNE．19．（2022秋•东阳市期末）如图，长方形纸片ABCD中，G、H分别是AB、CD边上的动点，连GH，将长方形纸片ABCD沿着GH翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．（1）若∠BGH＝110°，求∠AGE的度数．（2）若∠FHD＝20°，求∠CHG的度数．（3）已知∠BGH和∠CHG始终互补，若∠BGH＝α，请直接写出∠FHC的度数（含α的代数式）．【分析】（1）根据折叠得到∠BGH＝∠EGH＝110°，再根据平角的定义，利用∠AGE＝∠BGH+∠EGH ﹣180°计算可得；（2）根据折叠得到∠CHG＝∠FHG，再根据平角的定义计算即可；（3）根据互补得到∠BGH+∠CHG＝180°，从而求出∠CHG＝∠FHG＝180°﹣α，继而可得结果．【解答】解：（1）由折叠可得：∠BGH＝∠EGH＝110°，∵∠BGH+∠AGH＝180°，∴∠AGE＝∠BGH+∠EGH﹣180°＝40°；（2）由折叠可得：∠CHG＝∠FHG，∴；（3）∵∠BGH和∠CHG始终互补，∴∠BGH+∠CHG＝180°，∵∠BGH＝α，∴∠CHG＝180°﹣α，∴∠FHG＝180°﹣α，∴∠FHC＝∠FHG+∠CHG＝360°﹣2α．20．（2023春•金牛区校级期中）如图1，直线GH与直线l1，l2分别交于B，A两点，点C在直线l2上，射线AD平分∠BAC交直线l1于点E，∠GBE＝2∠BAE．（1）求证：直线l1∥l2；（2）如图2，点Q在直线l1上（B点左侧），AM平分∠BAQ交l1于点M，过点M作MN⊥AD交AD于点N，请猜想∠BQA与∠AMN的关系；并证明你的结论；（3）若点P是线段AB上一点，射线EP交直线l2于点F，∠GBE＝130°．点N在射线AD上，且满足∠EBN＝∠EFC连接BN，请补全图形，探究∠BNA与∠FEA满足的等量关系，并证明．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAC＝2∠BAE，等量代换可得∠GBE＝∠BAC，根据平行线的判定定理，即可得证；（2）设∠DAB＝∠DAC＝α，∠BAM＝∠QAM＝β，根据三角形的内角和定理以及平行线的性质得出∠BQA，∠AMN，即可求解；（3）根据题意补充图形，分两种情况讨论，①当N在AE上时，设∠EBN＝∠EFC＝θ，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质，分别表示出∠BNA，∠FEA，可的结论；②当点N在AE的延长线上时，根据平行线的性质，即可求解．【解答】（1）证明：∵射线AD平分∠BAC交直线l1于点E，∠GBE＝2∠BAE，∴∠BAC＝2∠BAE，∴∠GBE＝∠BAC，∴l1∥l2；（2）解：∠BQA＝2∠AMN；理由如下，∵AD平分∠BAC，AM平分∠BAQ，∴，设∠DAB＝∠DAC＝α，∠BAM＝∠QAM＝β，∵MN⊥AD，∴∠MNA＝90°，则∠AMN＝90°﹣∠MAD＝90°﹣（∠MAB+∠DAB）＝90°﹣（α+β），∵l1∥l2，∴∠BQA＝180°﹣∠QAC＝180°﹣2（α+β），∴∠BQA＝2∠AMN；（3）解：∠BNA+∠FEA＝130°，理由如下，补全图形，如图所示，①当N在AE上时，∵∠EBN＝∠EFC，设∠EBN＝∠EFC＝θ，∵l1∥l2，∠GBE＝130°，∴∠BEF＝∠EFC＝θ，∠BAC＝∠GBE＝130°，∵AD平分∠BAC，，∵l1∥l2，∴∠BEA＝∠EAC＝65°，∴∠BNA＝∠NBE+∠BEN＝65°+θ，∠FEA＝∠NEB﹣∠BEF＝65°﹣θ，∴∠BNA+∠FEA＝130°，②如图，当点N在AE的延长线上时，∠BNA＝∠FEA，∵l1∥l2，∴∠BEF＝∠EFC，∵∠EBN＝∠EFC，∴∠BEF＝∠EBN，∴BN∥EF，∴∠BNA＝∠FEA．21．（2023春•义乌市校级期中）今年除夕夜长江两岸的灯光秀璀璨夺目，照亮山城的山水桥梁城市楼阁，人民欢欣鼓舞．观看表演的小语同学发现两岸的灯光运动是有规律的，如图1所示，灯A射出的光线从AQ开始顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射出的光线从BM开始顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停旋转．假设长江两岸是平行的，即PQ∥MN，点A在PQ上，B、C、D在MN上，连接AB、AC、AD，已知AC平分∠BAP，AD平分∠CAP．（1）如图1，若∠ABD＝40°，则∠CAQ＝110°；（2）如图2，在PQ上另有一点E，连接CE交AD于点F，点G在MN上，连接AG，若∠CAG＝∠CAE，∠EFD+∠DAG＝180°，试证明：EC∥AB．（3）如图3，已知灯A射出的光线旋转的速度是每秒10°，灯B射出的光线旋转的速度是每秒30°，若灯B射出的光线从BM出发先转动2秒，灯A射出的光线才从AQ出发开始转动，设灯A转动的时间为t秒，在转动过程中，当0≤t≤12时，请直接写出灯A射出的光线与灯B射出的光线相交且互相垂直时的时间t的值．【分析】（1）根据两直线平行内错角相等，得出∠QAB＝∠ABD＝40°，再根据平角的定义，得出∠BAP ＝140°，再根据角平分线的定义，得出∠BAC＝70°，再根据角之间的数量关系，计算即可得出答案；（2）根据角平分线的定义，得出∠CAE＝2∠CAF，进而得出，再根据对顶角相等和三角形的内角和定理，得出∠EFD＝∠AFC，∠AFC+∠ACE+∠CAF＝180°，进而得出，再根据等量代换，得出∠ACE＝∠CAE，即∠ACE＝∠CAP，再根据角平分线的定义，得出∠CAP＝∠CAB，再根据等量代换，得出∠ACE＝∠CAB，再根据内错角相等两直线平行，即可得出结论；（3）根据题意，分三种情况：当0≤t≤4时、当4＜t≤10时、当10＜t≤12时，分别画出图形，根据角之间的数量关系，列出方程进行计算即可．【解答】解：（1）∵PQ∥MN，∠ABD＝40°，∴∠QAB＝∠ABD＝40°，∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝180°﹣40°＝140°，∵AC平分∠BAP，∴，∴∠CAQ＝∠BAC+∠QAB＝70°+40°＝110°；故答案为：110°；（2）∵AD平分∠CAP，∴∠CAE＝2∠CAF，∵，∴，∵∠EFD＝∠AFC，∠AFC+∠ACE+∠CAF＝180°，又∵，∴，∴，∴，∴，∴3∠CAF＝∠ACE+∠CAF，即∠ACE＝2∠CAF，∴∠ACE＝∠CAE，即∠ACE＝∠CAP，∵AC平分∠BAP，∴∠CAP＝∠CAB，∴∠ACE＝∠CAB，∴EC∥AB；（3）当0≤t≤4时，如图，∵∠M'AC＝10°t，∠MBM'＝30°（2+t），∵AQ'⊥BM'，∴∠BM'A＝90°﹣10°t，∵PQ∥MN，∴∠MBM'+∠AM'B＝180°，即30°（2+t）+（90°﹣10°t）＝180°，解得：；当4＜t≤10时，如图，∵∠N'AC＝10°t，∵AQ'⊥BN'，∴∠BN'A＝90°﹣10°t，∵∠NBN'＝30°（t﹣4），∴90°﹣10°t＝30°（t﹣4），解得：；当10＜t≤12时，如图，∵∠MBM'＝30（t﹣10），AQ'⊥BM'，∴∠AQ'M＝90+30（t﹣10），∵∠QAQ'＝10t，PQ∥MN，∴90+30（t﹣10）＝10t，解得：，在图形的左边垂直，10t+20t﹣120+30（t﹣10）＝90，综上所述，t的值秒或秒或或9.75秒．22．（2022秋•萍乡期末）已知点A在射线CE上，∠C＝∠ADB．（1）如图1，若AD∥BC，求证：AC∥BD；（2）如图2，若BD⊥BC，垂足为B，BD交CE于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠BAC＝∠BAD，∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．【分析】（1）根据AD∥BC，可得∠DAE＝∠C，再根据∠C＝∠ADB，即可得到∠DAE＝∠ADB，即可得证；（2）∠DAE+2∠C＝90°．根据三角形外角的性质，可得到∠CGB＝∠ADB+∠DAE，根据直角三角形两锐角互余，有∠CGB+∠C＝90°，再根据∠C＝∠ADB即可得到∠DAE与∠C的数量关系；（3）设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∠AFD＝180°﹣8α，根据DF∥BC，即可得到∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，再根据∠DAE+2∠C＝90°，即可得到α+2（180°﹣8α）＝90°，求得α的值，即可运用三角形内角和定理得到∠BAD的度数．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠C，又∵∠C＝∠ADB，∴∠DAE＝∠ADB，∴AC∥BD；（2）解：∠DAE+2∠C＝90°理由如下：∵∠CGB是△ADG的外角，∴∠CGB＝∠ADB+∠DAE，∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴在△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，∴∠ADB+∠DAE+∠C＝90°，又∵∠C＝∠ADB，∴∠DAE+2∠C＝90°；（3）解：设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∴∠AFD＝180°﹣8α，∵DF∥BC，∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，又∵∠DAE+2∠C＝90°，∴2（180°﹣8α）+α＝90°，∴α＝18°，∴∠C＝180°﹣8×18°＝36°，∴∠ADB＝∠C＝36°，又∵∠BAC＝∠BAD，∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝∠ABD，∵∠CBD＝90°，∴，∴在△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°，∴∠BAD的度数为99°．23．（2022秋•鲤城区校级期末）如图①，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH．（1）已知∠EFD＝70°，求∠B的度数；（2）求证：FH平分∠GFD．（3）在（1）的条件下，若∠FQH＝30°，将△FHQ绕着点F顺时针旋转，如图②，若当边FH转至线段EF上时停止转动，记旋转角为α，请求出当α为多少度时，QH与△EBF某一边平行？（4）在（3）的条件下，直接写出∠DFQ与∠GFH之间的关系．【分析】（1）由AB∥CD，得∠B＝∠BFD，又∠B＝∠EFB，得证；（2）由（1）∠EFB＝∠BFD，由FH⊥FB，得∠BFD+∠DFH＝90°，∠EFB+∠GFH＝90°，由等角的余角相等，得∠DFH＝∠GFH，命题得证；（3）由QH分别与△EBF的三边分别平行，分情况讨论处理；（4）在（3）的各种情况下，分别计算∠DFQ与∠GFH的度数，可得结论∠DFQ与∠GFH相差20°．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，又∠B＝∠EFB，∴，∴∠B＝35°；（2）∵FH⊥FB，∴∠BFD+∠DFH＝90°，∠EFB+∠GFH＝90°，∴∠DFH＝∠GFH，∴FH平分∠GFD．（3）①QH与△EFB的边BF平行时，如下图1及图4，如图1，∵BF∥HQ，∴∠H+∠BFH＝180°，又∠H＝60°，∴∠BFH＝120°，α＝∠BFQ＝120°﹣∠HFQ＝120°﹣90°＝30°；如图4，∠HFB＝∠H＝60°，α＝∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠HFB+∠HFQ）＝360°﹣（60°+90°）＝210°；②QH与△EFB的边BE平行时，如下图2，∠1＝∠3＝35°，∠2＝∠4＝30°，∴α＝∠BFQ＝∠1+∠2＝35°+30°＝65°；③QH与△EFB的边EF平行时，如下图3，∠3＝∠Q＝30°，∴α＝∠BFQ＝∠1+∠2+∠3＝35°+110°+30°＝175°，综上，旋转角为α＝30°或65°或175°或210°．（4）α＝30°时，∠DFQ＝∠DFB﹣∠BFQ＝35°﹣30°＝5°，∠GFH＝90°﹣∠EFB﹣∠BFQ＝90°﹣35°﹣30°＝25°；α＝65°时，∠DFQ＝65°﹣35°＝30°，∠GFH＝90°﹣∠GFQ＝90°﹣（180°﹣35°﹣65°）＝10°；α＝175°时，∠DFQ＝175°﹣35°＝140°，∠GFH＝180°﹣60°＝120°；α＝210°时，∠DFQ＝210﹣35°＝175°，∠GFH＝360°﹣110°﹣35°﹣60°＝155°；综上，∠DFQ与∠GFH相差20°．24．（2023秋•香坊区校级期中）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2＝180°．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，∠HPQ＝45°，K是GH上一点，连接PK，作PQ平分∠EPK，若∠PHG＝15°，求∠QPK的度数．【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线AB与直线CD平行；（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF ＝90°，进而证明PF∥GH；（3）根据直角三角形的性质求出∠HPG＝75°，根据角的和差及邻补角定义求出∠EPQ＝60°，根据角平分线定义求解即可．【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP＝（∠BEF+∠EFD）＝90°，∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF，∵GH⊥EG，∴PF∥GH；（3）解：∵∠PHG＝15°，GH⊥EG，∴∠HPG＝90°﹣15°＝75°，∵∠HPQ＝45°，∴∠QPG＝∠HPQ+∠HPG＝120°，∵∠QPG+∠EPQ＝180°，∴∠EPQ＝60°，∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK＝∠EPQ＝60°．25．（2023秋•吉林期中）如图①，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠ACB＝∠E ＝90°，∠EDF＝36°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，如图②，记∠ADF为α（0°＜α＜180°），在旋转的过程中：（1）当∠α＝4°时，DE∥BC，当∠α＝94°时，DE⊥BC；（2）如图③，当顶点C在△DEF的内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N．①求出此时∠α的度数范围；②∠1与∠2的度数和是否变化？若不变，请直接写出∠1与∠2的度数和；若变化，请说明理由．【分析】（1）由DE∥BC得∠EDA＝∠ABC＝40°，再根据α＝∠EDA﹣∠EDF可得出答案；先求出∠A ＝50°，由DE⊥BC得DE∥AC，进而得∠EDA+∠A＝180°，由此得∠EDA＝＝130°，然后根据α＝∠FDA＝∠EDA﹣∠EDF可得出答案；（2）①先求出∠BCD＝∠ACD＝45°，∠CDA＝85°，求出当DE和CD重合时α＝∠CDA﹣∠EDF＝49°，当EF与CD重合时，α＝∠CDA＝85°，据此可求出∠α的度数范围；②连接MN，在△CMN中得∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，则∠CNM+∠CMN＝90°，在△MND中得∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，即∠2+∠CNM+∠1+∠CMN+∠MDN＝180°，据此可得∠1+∠2的度数【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，∴当DE∥BC时，∠EDA＝∠ABC＝40°，如图①所示：又∵∠EDF＝36°，∴α＝∠EDA﹣∠EDF＝40°﹣36°＝4°，故当∠α＝4°时，DE∥BC；在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，∴∠A＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝50°，当DE⊥BC时，则DE∥AC，如图②所示：∴∠EDA+∠A＝180°，∴∠EDA＝180°﹣∠A＝130°，又∠EDF＝36°，∴α＝∠FDA＝∠EDA﹣∠EDF＝130°﹣36°＝94°，故当α＝94°时，DE⊥BC．故答案为：4，94．（2）①∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∴∠CDA＝180°﹣（∠ACD+∠A）＝180°﹣（45°+50°）＝85°，当DE和CD重合时，α＝∠CDA﹣∠EDF＝85°﹣36°＝49°，当EF与CD重合时，α＝∠CDA＝85°，∴当顶点C在△DEF的内部时，∠α的度数范围是：49°＜α＜85°．②∠1与∠2的度数和不发生变化，∠1+∠2＝54°，理由如下：连接MN，如图③所示：在△CMN中，∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，∵∠MCN＝∠ACB＝90°，∴∠CNM+∠CMN＝90°，在△MND中，∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，即∠2+∠CNM+∠1+∠CMN+∠MDN＝180°，∵∠CNM+∠CMN＝90°，∠MDN＝∠EDF＝36°，∴∠1+∠2+90°+36°＝180°，∴∠1+∠2＝180°﹣90°﹣36°＝54°．。
第03讲 平行线的性质(知识解读+达标检测)(解析版)
第03讲平行线的性质【题型1 利用平行线性质求角度】【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】【题型4 平行线性质的实际应用】【题型5 利用平行线的判定与性质的综合】【题型6 命题的判定】【题型7 真假命题的判断】【题型8 命题的改写】【题型9 命题的证明过程】考点1：平行线性质性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）【题型1 利用平行线性质求角度】【典例1】（2023秋•涟源市期末）如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）A．20°B．30°C．40°D．50°【答案】C【解答】解：如图所示，∵m∥n，∴∠CAD+∠1＝180°，∴∠1+∠BAC+∠2＝180°∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∵∠1＝50°，∴50°+90°+∠2＝180°，∴∠2＝40°，故选：C．【变式1-1】（2022秋•芮城县期末）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为（ ）A．122°B．120°C．118°D．115°【答案】A【解答】解：延长DC交AE于点F，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DFE＝94°，∵∠DCE是△CEF的一个外角，∴∠DCE＝∠DFE+∠E＝122°，故选：A．【变式1-2】（2022秋•白银期末）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝85°，则∠2＝（ ）A．15°B．85°C．95°D．115°【答案】C【解答】解：如图，根据生活意义，得到a，∴∠3＝∠1＝85°；∵∠3+∠2＝180°，∴∠3＝95°．故选：C．【变式1-3】（2023秋•前郭县期中）如图，把一根铁丝折成图示形状后，AB∥DE，若∠D＝30°，∠DCB＝80°，则∠B等于（ ）A．60°B．80°C．100°D．130°【答案】D【解答】解：∵∠D＝30°，∠DCB＝80°，∴∠E＝80°﹣30°＝50°．∵AB∥DE，∴∠B＝180°﹣∠E＝130°．故选：D．【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】【典例2】（2023•新城区校级一模）如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O 在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）A．15°B．25°C．35°D．45°【答案】B【解答】解：过B作BK∥m，∵m∥n，∴BK∥n，∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，∵∠ABO＝45°，∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，∴∠2＝∠ABK＝25°．故选：B．【变式2-1】（2022秋•新绛县期末）将等腰直角三角形和直尺按图中方式叠放在一起，若∠1＝76°，则∠2的度数为（ ）A．14°B．31°C．36°D．76°【答案】B【解答】解：∵尺子的对边平行，∴∠4＝∠3，∵∠＝76°，∴∠3＝180°﹣90°﹣76°＝14°，∴∠4＝∠14°，∴∠2＝45°﹣14°＝31°．故选：B．【变式2-2】（2022秋•邓州市期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°15′，则∠2的大小为（ ）A．60°15′B．39°45′C．29°85′D．29°45′【答案】D【解答】解：如图，由直尺两边平行，可得：∠1＝∠3＝60°15'，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°15'＝29°45'，故选：D．【变式2-3】（2022秋•淇县期末）如图，将直尺与含45°角的直角三角形叠放在一起，若∠2＝35°，则∠1的度数为（ ）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，∠2＝35°，∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°，∵直尺对边平行，∴∠1＝∠3＝55°．故选：C．【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】【典例3】（2023秋•蕲春县期中）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E．若∠CBD＝35°，则∠ADE的度数为（ ）A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】B【解答】解：由折叠的性质可得，∠CDB＝∠EDB，∵AD∥BC，∠CBD＝35°，∴∠CBD＝∠ADB＝35°，∵∠C＝90°，∴∠CDB＝55°，∴∠EDB＝55°，∴∠ADE＝∠EDB﹣∠ADB＝55°﹣35°＝20°，故选：B．【变式3-1】（2023秋•长治期中）如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠BFD′的度数为（ ）A．112°B．116°C．138°D．148°【答案】B【解答】解：∵∠EFB＝32°，∴∠EFD＝180°﹣∠BFE＝148°，∴∠EFD′＝∠EFD＝148°，∴∠BFD′＝∠EFD′﹣∠BFE＝148°﹣32°＝116°，故选：B．【变式3-2】（2023秋•临渭区期中）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的点D′处，点C落在点C′处，若∠AD′M＝50°，则∠MNB的度数为（ ）A．40°B．70°C．80°D．100°【答案】B【解答】解：∵在正方形ABCD中，∠A＝90°，∴∠AMD′＝90°﹣∠AD′M＝90°﹣50°＝40°∴∠DMD′＝180°﹣∠AMD′＝180°﹣40°＝140°，由折叠可得，∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠MNB＝∠DMN＝70°．故选：B．【变式3-3】（2023秋•桥西区期中）如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（ ）A．74°B．106°C．122°D．148°【答案】B【解答】解：∵∠1＝32°，∠AMA1+∠1+∠DMD1＝180°，∴∠AMA1+∠DMD1＝180°﹣32°＝148°．∴∠BMA1+∠CMD1＝74°．∴∠BMC＝∠BMA1+∠CMD1+∠1＝74°+32°＝106°．故选：B【题型4 平行线性质的实际应用】【典例4】（2023•广西）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度数是（ ）A．160°B．150°C．140°D．130°【答案】D【解答】解：∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∴AC∥BD，∴∠B＝∠A＝130°．故选：D．【变式4-1】（2023春•鸡西期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°．第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠C的度数（ ）A．160°B．150°C．140°D．135°【答案】A【解答】解：如图，延长AB，交DC延长线于点E，由题意得，AF∥DE，∴∠A＝∠E＝130°，∵∠ABC＝150°，∴∠CBE＝30°，∴∠BCD＝∠CBE+∠E＝30°+130°＝160°．故选：A．【变式4-2】（2023春•西安期末）如图是自来水公司安装的一条自来水管道，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，∠BCD等于（ ）A．45°B．40°C．35°D．30°【答案】B【解答】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠BCF＝∠ABC＝80°，∠CDE+∠DCF＝180°，∵∠CDE＝140°，∴∠DCF＝40°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝40°．故选：B．【变式4-3】（2023春•渠县校级期末）如图是中国机器人创意设计大赛中一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径；机器人从A点出发，到达B点，第一次拐的∠B是140°，第二次拐的∠C是100°，第三次拐的角是∠D，这时机器人行走的路径恰好和出发时行走的路径平行，那么∠D的度数是（ ）A．100°B．120°C．140°D．90°【答案】B【解答】解：过点C作FC∥AB，由题意可得：AB∥FC∥ED，则∠B+∠1＝180°，∠2+∠D＝180°，故∠B+∠1+∠2+∠D＝360°，即∠B+∠BCD+∠D＝360°，则∠D＝360°﹣140°﹣100°＝120°．故选：B．【题型5 利用平行线的判定与性质的综合】【典例5】（2023秋•文山市期末）如图，已知∠BAD＝∠BDA，AD平分∠BDC．（1）求证：AB∥CD；（2）若AD⊥AC，∠C＝70°，求∠B的度数．【答案】（1）证明见解答过程；（2）140°．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDC，∴∠BDA＝∠ADC，∵∠BAD＝∠BDA，∴∠BAD＝∠ADC，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠BDC＝180°，∵AD⊥AC，∠C＝70°，∠BAD＝∠BDA，∴∠BAD＝180°﹣70°﹣90°＝20°，∴∠BDC＝2∠BDA＝2∠BAD＝40°，∴∠B＝180°﹣∠BDC＝180°﹣40°＝140°．【变式5-1】（2022秋•汝州市期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．（1）请说明：AB∥CD；（2）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF，∴∠C＝∠FGD，又∵∠C＝∠EFG，∴∠FGD＝∠EFG，∴AB∥CD；（2）解：∵∠GHD＝∠EHF＝80°，∠D＝30°，∴∠CGF＝∠GHD+∠D＝80°+30°＝110°，又∵CE∥GF，∴∠C+∠CGF＝180°，∴∠C＝180°﹣110°＝70°，又∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠C＝70°，∴∠AEM＝180°﹣70°＝110°．【变式5-2】（2023春•石城县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，∴∠DBC＝∠ADB＝36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠EFC＝36°【变式5-3】（2023秋•香坊区校级期中）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）AD与EC平行吗？请说明理由．（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝76°，求∠FAB的度数．【答案】（1）AD与EC平行，理由见解析；（2）∠FAB＝52°．【解答】（1）AD与EC平行，证明：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换），∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝76°，∴∠BDC＝76°，∵DA平分∠BDC，∴∠ADC＝∠BDC＝38°（角平分线定义），∴∠2＝∠ADC＝38°（已证），又∵DA⊥FA，AD∥CE，∴CE⊥AE，∴∠AEC＝90°（垂直定义），∵AD∥CE（已证），∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等），∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣38°＝52°．考点2：：命题【题型6 命题的判定】【典例6】（2022秋•白银期末）下列语句是命题的是（ ）A．你喜欢数学吗？B．小明是男生C．大庙香水梨D．加强体育锻炼【答案】B【解答】解：A、不是命题，故该项错误，不符合题意；B、是命题，故该项正确，符合题意；C、不是命题，故该项错误，不符合题意；D、不是命题，故该项错误，不符合题意；故选：B．【变式6-1】（2022秋•耒阳市期末）下列语句中不是命题的是（ ）A．两点之间线段最短B．连接ABC．锐角都相等D．两条直线不是相交就是平行【答案】B【解答】解：A、对一件事情做出判定，故是命题；B、因为这是一个陈述句，没有对一件事情做出判定，故不是命题，符合题意；C、对一件事情做出判定，故是命题；D、对一件事情做出判定，故是命题；故选：B．【变式6-2】（2022秋•余姚市期末）下列语言叙述是命题的是（ ）A．画两条相等的线B．等于同一个角的两个角相等吗？C．延长线段AO到C，使OC＝OAD．两直线平行，内错角相等【答案】D【解答】解：A、画两条相等的线，没有做错判断，不是命题；B、等于同一个角的两个角相等吗？没有做错判断，不是命题；C、延长线段AO到C，使OC＝OA，没有做错判断，不是命题；D、两直线平行，内错角相等，是命题；故选：D．【题型7 真假命题的判断】【典例7】（2023春•翁源县期末）下列各命题的逆命题是假命题的是（ ）A．两直线平行，同旁内角互补B．若两个数a+b＝0，则这两个数为相反数C．对顶角相等D．如果a2＝b2，那么a＝b【答案】C【解答】解：A、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；B、逆命题为如果两个数互为相反数，那么a+b＝0，是真命题，不符合题意；C、逆命题为相等的角为对顶角，是假命题，符合题意；D、逆命题为如果a＝b，那么a2＝b2，是真命题，不符合题意．故选：C．【变式7-1】（2022秋•项城市期末）下列四个命题中，真命题有（ ）①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②实数与数轴上的点是一一对应的；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本小题说法是假命题；②实数与数轴上的点是一一对应的，本选项说法是真命题；③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故本小题说法是假命题；④平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称，本小题说法是真命题；故选：B．【变式7-2】（2023秋•农安县期末）在下列各命题中，是假命题的是（ ）A．在一个三角形中，等边对等角B．全等三角形的对应边相等C．同旁内角相等，两直线平行D．等角的补角相等【答案】C【解答】解：A、在一个三角形中，等边对等角，正确，是真命题，不符合题意；B、全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，不符合题意；C、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，符合题意；D、等角的补角相等，正确，是真命题，不符合题意．故选：C．【变式7-3】（2022秋•鄄城县期末）下列四个命题中，是真命题的是（ ）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2C．三角形的一个外角大于任何一个内角D．无限小数都是无理数【答案】B【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题不是真命题；B、如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，是真命题；C、三角形的一个外角大于不相邻的内角，故原命题不是真命题；D、无限不循环小数都是无理数，故原命题不是真命题；故选：B．【变式7-4】（2022秋•金安区期末）下列命题是真命题的是（ ）A．若a＜b，b＞c，则a＜c B．若a＜b，则ac＜bcC．若a≠b，则ac≠bc D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c【答案】D【解答】解：若a＝2，b＝3，c＝1，满足a＜b，b＞c，但不能得到a＜c，故A是假命题，不符合题意；若c＜0，当a＜b时，有ac＞bc，故B是假命题，不符合题意；若c＝0，当a≠b时，有ac＝bc，故C是假命题，不符合题意；若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故D是真命题，符合题意；故选：D．【题型8 命题的改写】【典例8】（2022秋•辉县市期末）把命题“全等三角形对应边的高相等”改写成“如果…那么…”的形式是 如果两个三角形全等，那么它们对应边的高相等 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：命题“全等三角形对应边的高相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个三角形全等，那么它们对应边的高相等．故答案为如果两个三角形全等，那么它们对应边的高相等．【变式8-1】（2023•零陵区模拟）命题“等边对等角”的逆命题是“ 等角对等边 ”．【答案】见试题解答内容【解答】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边；故答案为：等角对等边．【变式8-2】（2023秋•成武县期中）将命题“两个锐角的和是钝角”改写成“如果……那么……”的形式是 如果两个角是锐角，那么它们的和为钝角 ．【答案】如果两个角是锐角，那么它们的和为钝角．【解答】解：如果两个角是锐角，那么它们的和为钝角．故答案为：如果两个角是锐角，那么它们的和为钝角．【变式8-3】（2023秋•蜀山区期中）已知命题：“对顶角相等．”写出它的逆命题： 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．【题型9 命题的证明过程】【典例9】（2022秋•新田县期末）如图，已知点A、D、C、F在同直线上，有下列关系式：①AB＝DE，②BC＝EF，③AD＝CF，④∠B＝∠E．（1）请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果 ①②③ ，那么 ④ ．（填写序号）（2）证明（1）中命题的正确性．【答案】（1）①②③，④；（2）见解析．【解答】（1）解：①②③，④（答案不唯一，或者①②④，③）（2）证明：∵AD＝CF，∴AD+DC＝CF+DC，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B＝∠E．【变式9-1】（2022秋•川汇区期末）如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②CE平分∠DCA；③AC＝BC．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．【答案】见解析．【解答】解：选择①②作为条件，③作为结论，命题正确，理由如下：∵AB∥CE，∴∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD，∵CE平分∠DCA，∴∠ECA＝∠ECD，∴∠A＝∠B，∴AC＝BC．【变式9-2】（2023春•西华县期末）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．（1）请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式： 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 ．（2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）．已知：如图，a⊥l， b⊥l ．求证： a∥b ．【答案】（1）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．（2）b⊥l，a∥b．【解答】（1）答案为：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．（2）证明：∵a⊥l，b⊥l，∴∠1＝∠2＝90°，∴a∥b．故答案为：b⊥l，a∥b．【变式9-3】（2023春•宿迁期末）如图，点F、D在△ABC的边BC上，点E、G分别在AB、AC上．请你从三个选项：①∠1+∠2＝180°，②∠DGC＝∠BAC，③EF∥AD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．【答案】条件是：①∠1+∠2＝180°，②∠DGC＝∠BAC；结论是③EF∥AD，证明过程见解答．【解答】解：条件是：①∠1+∠2＝180°，②∠DGC＝∠BAC；结论是③EF∥AD，证明：∵∠DGC＝∠BAC，∴DG∥AB，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠BAD＝180°，∴EF∥AD，一．选择题（共10小题）1．（2023•城中区校级开学）下列命题中正确的是（ ）A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直B．互补的两个角是邻补角C．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥cD．两直线平行，同旁内角相等【答案】A【解答】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，正确，符合题意；B、互补的两个角不一定是邻补角，故原命题错误，不符合题意；C、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，故原命题错误，不符合题意；D、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意．故选：A．2．（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）A．135°B．125°C．115°D．65°【答案】C【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠1＝65°，∴∠3＝∠1＝65°，∴∠2＝180°﹣∠3＝115°．故选：C．3．（2023春•凤城市期中）下列说法：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④同旁内角相等，两直线平行．正确的个数有（ ）个．A．1B．2C．3D．4【答案】A【解答】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题正确；②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误；④同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误．故选：A．4．（2023•柘城县模拟）如图，∠ECD＝50°，点M是EC上一点，过点M作AB∥CD，若MF平分∠AME，则∠AMF的度数为（ ）A．60°B．55°C．70°D．65°【答案】D【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EMB＝∠ECD＝50°，∴∠AME＝180°﹣∠EMB＝180°﹣50°＝130°，∵MF平分∠AME，∴∠AMF＝65°．故选：D．5．（2023春•房山区期末）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：选项A中的∠1和∠2是由直线AB与CD被第三条直线所截的一组同位角，∴由AB∥CD，可以得到∠1＝∠2；选项B中∠1和∠2是由直线AB与CD被第三条直线所截的一组同旁内角，∴由AB∥CD，不能得到∠1＝∠2；选项C中∠1和∠2是由直线AD与BC被直线AC所截的一组内错角，∴由AB∥CD，不能得到∠1＝∠2；选项C中∠1和∠2是由直线AD与BC被直线DC所截的一组同旁内角，∴由AB∥CD，不能得到∠1＝∠2．故选：A．6．（2023•枣庄二模）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E恰好落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为（ ）A．10°B．15°C．25°D．30°【答案】B【解答】解：∵FD∥BC，∴∠FDB＝∠ABC＝60°，又∵∠FDE＝45°，∴∠BDE＝60°﹣45°＝15°，故选：B．7．（2023•林州市模拟）如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝25°，则∠ADE为（ ）A．75°B．55°C．65°D．60°【答案】C【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠CBF＝25°，∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝65°，∵DE∥BF，∴∠ADE＝∠ABF＝65°，故选：C．8．（2023春•龙岗区校级期末）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）∠2+∠4＝90°；（3）∠3＝∠4；（4）∠4+∠5＝180°；（5）∠1+∠3＝90°．其中正确的共有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】A【解答】解：如图，根据题意得：AB∥CD，∠FEG＝90°，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4+∠5＝180°，∠2+∠4＝90°；故（1），（2），（3），（4）正确；∴∠1+∠3＝90°．故（5）正确．∴其中正确的共有5个．故选：A．9．（2023春•古田县期中）若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（2x+10）°，∠β＝（3x ﹣20）°，则∠α的度数为（ ）A．70°B．70°或86°C．86°D．30°或38°【答案】B【解答】解：∵∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（2x+10）°，∠β＝（3x﹣20）°，∴（2x+10）+（3x﹣20）＝180或2x+10＝3x﹣20，x＝38或30当x＝38时，∠α＝86°，当x＝30时，∠α＝70°，故选：B．10．（2023春•兴业县期中）将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝60°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C．正确的有（ ）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解答】解：∵∠1+∠2＝90°，∠2＝30°，∴∠1＝60°，∴∠CAD＝∠1+∠EAD＝150°，∵∠D＝30°，∴∠CAD+∠D＝180°，∴①的结论正确；∵∠BAE＝90°﹣∠1，∠CAD＝90°+∠1，∴∠BAE+∠CAD＝180°，∴②的结论正确；∵BC∥AD，∴∠3＝∠B＝45°．∴∠2＝90°﹣∠3＝45°．∴③的结论错误；∵∠CAD＝150°，∠D＝30°，∴∠CAD+∠D＝180°，∴AC∥DE．∴∠4＝∠C．∴④的结论正确．综上所述，正确的结论有：①②④，故选：B．二．填空题（共6小题）11．（2022秋•尧都区期末）如图，学生使用的小刀，刀身是长方形，刀片的上下边沿是平行的，刀片转动时会形成∠1和∠2，则∠1+∠2＝ 90° ．【答案】90°．【解答】解：如图，过点O作OP∥AB，则∠1＝∠AOP．∵AB∥CD，OP∥AB，∴∠2＝∠POC，∵∠AOP+∠POC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故答案为：90°．12．（2023秋•农安县期末）“若ab＞0，则a＞0，b＞0” 是 命题（选填“是”或“不是”）．【答案】是．【解答】解：若ab＞0，则a＞0，b＞0是命题，故答案为：是．13．（2022秋•邳州市校级期末）如图，D为△ABC中BA延长线上一点，AE∥BC，若∠1＝∠2，∠BAC＝36°，则∠B＝ 72 °．【答案】72．【解答】解：∵∠BAC＝36°，∠1+∠2+∠BAC＝180°，∴∠1+∠2＝144°，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝72°，∵AE∥BC，∴∠1＝∠B，∴∠B＝72°，故答案为：72．14．（2023春•宣恩县期中）命题“内错角相等，两直线平行”是 真 （填“真”或“假”）命题．【答案】见试题解答内容【解答】解：“内错角相等，两直线平行”是真命题．故答案为：真．15．（2023秋•江都区期中）如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m、n于点B，C，连接AB，BC．若∠1＝40°，则∠ABC＝ 70 °．【答案】70．【解答】解：∵m∥n，∴（∠1+∠2）+∠3＝180°，∵AB＝AC，∴∠2＝∠3，∵∠1＝40°，∴40°+2∠2＝180°，解得∠2＝70°，即∠ABC＝70°，故答案为：70．16．（2022秋•城关区期末）如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D 分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝ 72 °．【答案】72．【解答】解：∵AD∥CB，∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．∵∠H＝∠D＝90°，∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，∴∠GMN＝72°．故答案为：72．三．解答题（共3小题）17．（2022秋•汉台区期末）如图，AB∥EF，点G在EF上，B、C、G三点在同一条直线上，且∠1＝60°，∠2＝60°．求证：CD∥EF．【答案】见解答过程．【解答】证明：∵∠1＝60°，∠2＝60°，∴AB∥CD，∵AB∥EF，∴CD∥EF．18．（2023秋•长春期末）【感知】已知：如图①，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．将下列证明过程补充完整：证明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠ DCE （角平分线的定义），∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠ DCE （等量代换），∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．【探究】已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD．求证：∠1＝∠2．【应用】如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数．【答案】见试题解答内容【解答】【感知】解：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠DCE（角平分线的定义），∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠DCE（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：DCE；DCE；内错角相等，两直线平行；【探究】证明：∵CE平分∠ACD，∴∠2＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠1＝∠DCE，∴∠1＝∠2；【应用】∵BE平分∠DBC，∴∠ABE＝∠CBE，∵AE∥BC，∴∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE，∵∠ABC：∠BAE＝4：5，∴∠ABC＝80°，∴∠CBE＝40°，∴∠E＝∠CBE＝40°．19．（2022秋•禅城区期末）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB 上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．【答案】（1）见解答；（2）36°．【解答】解：（1）证明：∵DF∥CA，∴∠DFB＝∠A，又∵∠FDE＝∠A，∴∠DFB＝∠FDE，∴DE∥AB；（2）设∠EDC＝x°，∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，由（1）可知DE∥BA，∴∠DFB＝∠FDE＝2x°，∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，∴x＝36，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝36°．。
中考数学模拟题汇总《平行线的判定》专项练习(附答案解析)
中考数学模拟题汇总《平行线的判定》专项练习(附答案解析)一、综合题1．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．2．已知等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以A为顶点作等腰直角△ADE，其中AD＝DE．（1）如图1，点E在BA的延长线上，连接BD，若∠DBC＝30°，若AB＝6，求BD的值；（2）将等腰直角△ADE绕点A顺时针旋转至图2，连接BE，CE，过点D作DF⊥CE交CE的延长线于F，BE；交BE于M，求证：BM＝12（3）如图3，等腰直角△ADE的边长和位置发生变化的过程中，DE边始终经过BC的中点G，连接BE，N 为BE中点，连接AN，当AB＝6且AN最长时，连接NG并延长交AC于点K，请直接写出△ANK的面积．3．如图，一条抛物线经过原点和点C(8，0)，A、B是该抛物线上的两点，AB∥x轴，点A坐标为(3，4)，点E在线段OC上，点F在线段BC上，且满足∠BEF=∠AOC .（1）求抛物线的解析式；（2）若四边形OABE的面积为14，求S△ECF；（3）是否存在点E，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由. 4．如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所示二次函数y1 = x2 + 2x + 2与y2 = x2 - 2x + 2是“关于y轴对称二次函数”．（1）二次函数y= 2（x + 2）2 + 1的“关于y轴对称二次函数”解析式为；二次函数y = a（x - h）2 + k的“关于y轴对称二次函数”解析式为；（2）如备用图，平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式．（3）在第（2）题的情况下，如果M是两个抛物线上的一点，以点A，O，C，M为顶点能否构成梯形. 若能，求出此时M坐标；若不能，说明理由.5．如图1，我们把一副两个三角板如图摆放在一起，其中OA，OD在一条直线上，∠B＝45°，∠C＝30°，固定三角板ODC，将三角板OAB绕点O按顺时针方向旋转，记旋转角∠AOA'＝α（0＜α＜180°）．（1）在旋转过程中，当α为度时，A'B'∥OC，当α为度时，A'B'⊥CD；（2）如图2，将图1中的△OAB以点O为旋转中心旋转到△OA'B'的位置，求当α为多少度时，OB'平分∠COD；（3）当90°＜α＜120°时，连接A'D，利用图3探究∠B'A'D+∠B'OC+∠A'DC值的大小变化情况，并说明理由．6．如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D。
5.3平行线的性质(八大题型)(解析版 )
七年级下册数学《第五章相交线与平行线》5.3平行线的性质平行线性质定理性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．概念：判断一件事情的语句，叫做命题．【注意】（1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.（2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.命题的组成每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．【注意】在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.【注意】判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．【拓展】数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如直线公理：两点确定一条直线.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．【注意】（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.（2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；④书写证明过程.是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由垂线可得∠ACB＝90°，从而可求得∠B的度数，再结合平行线的性质即可求∠BCD的度数．【解答】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B＝40°．故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解题技巧提炼两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.【变式1-1】（2023秋•简阳市期末）如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，则∠4＝（）A．70°B．110°C．140°D．150°【分析】先根据a∥b，∠1＝40°得出∠2+∠3的度数，由平角的定义得出∠5的度数，再由∠2＝∠3得出∠2的度数，再得出∠2+∠5的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2+∠3＝180°﹣40°＝140°，∴∠5＝180°﹣140°＝40°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝70°，∴∠2+∠5＝70°+40°＝110°，∴∠4＝∠2+∠5＝110°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．【变式1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．35°【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（）A．200°B．210°C．220°D．230°【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为．【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD 平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．【分析】根据角平分线的定义，即可得到∠ACM的度数，进而得出∠OCB的度数，再依据平行线的性质，即可得到∠O的度数．【解答】解：∵CD平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠DCM．∵∠DCM＝60°，∴∠ACM＝120°．∵直线AB与OM交于点C，∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等），∵AB∥ON，∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠O＝60°．【点评】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2023秋•海门区期末）如图，直线CE，DF相交于点P，且CE∥OB，DF∥OA．（1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度数；（2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度数；（3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD称四边形PCOD的一组“对角”，则该四边形的另一组对角相等吗？请说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求得答案；（2）根据两直线平行，同位角相等及两直线平行，内错角相等即可求得答案；（3）根据两直线平行，同旁内角互补即可证得结论．【解答】解：（1）∵DF∥OA，∠AOB＝45°，∴∠PDB＝∠AOB＝45°；（2）∵CE∥OB，∴∠CPD＝∠PDB，∵DF∥OA，∴∠PDB＝∠AOB，∴∠AOB＝∠CPD，∵∠CPD＝45°，∴∠AOB＝45°；（3）相等，理由如下：∵CE∥OB，DF∥OA，∴∠OCP+∠AOB＝180°，∠CPD+∠ODP＝180°，∵∠AOB＝∠CPD，∴∠OCP＝∠ODP．【点评】本题考查平行线性质，熟练掌握并利用平行线的性质是解题的关键．【变式1-7】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠DAG和∠CAG度数，然后根据AP平分∠CAD，即可得到∠PAG 的度数．【解答】解：∵DB∥FG∥EC，∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，∴∠DAC＝96°，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝48°，∴∠PAG＝12°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-8】（2023秋•原阳县校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC．BE垂直于CE，求证：CE平分∠BCD．【分析】过E作EF∥AB交BC于点F，根据平行线的性质可求得∠ABC+∠BCD＝180°，再结合垂线的定义可得∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，再利用角平分线的定义可证明结论．【解答】证明：过E作EF∥AB交BC于点F，∴∠ABE＝∠FEB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠FEC，∵BE⊥CE，∴∠BEF+∠CEF＝∠ABE+∠DCE＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠DCE＝∠BCE，∴CE平分∠BCD．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，证明∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°是解题的关键．【例题2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【分析】由角平分线的定义和条件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可证明DA∥BC，再由平行线的性质可得到∠A＝90°，可证明DA⊥AB．【解答】证明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴DA⊥AB．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.【变式2-1】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．【解答】证明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF＝90°．∵∠1＝∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠BCD（等量代换），∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）∴CD⊥AB．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-2】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：过E作EF∥AD，交CD于F，则∠ADE＝∠DEF，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADE，∴∠1＝∠DEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DEF+∠FEC＝90°，∴∠2＝∠FEC，∵CE平分∠DCB，∴∠2＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴BC∥AD，∵DA⊥AB，∴BC⊥AB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，进而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠CGF＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠BAD，∴∠CGF=12∠BAD，∵CF平分∠DCE，∴∠FCG=12∠DCE，∴∠FCG=12∠B，∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，∴CF⊥AE．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理．【例题3】（2023秋•深圳期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（）A．88°B．89°C．90°D．91°【分析】依题意得AB∥OP∥CD，进而根据平行线的性质得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，从而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，进而可得∠OCD的度数．【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，∵∠BOC＝133°，∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，∴∠OCD＝∠POC＝89°．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．解题技巧提炼给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.【变式3-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是千米．【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，故答案为：8．【点评】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．【变式3-2】（2022春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45°C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．【变式3-3】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？【分析】根据平行线的性质结合条件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可证得∠5＝∠6，可证明l∥m，据此填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定义），即：∠5＝∠6（等量代换），∴l∥m．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式3-4】（2023秋•市南区期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝．【分析】由AB∥CD可求得∠BOD的度数，再根据OE∥DM即可求出∠ANM的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°，∴∠BOD＝∠ODC＝32°．∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠EOB＝90°+32°＝122°．∵OE∥DM，∠ANM＝∠EOB＝122°．故答案为：122°．【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．【变式3-5】（2023秋•东莞市校级期末）如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝．【分析】根据平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【解答】解：由题意得：DE∥AB，∴∠ABD＝∠EDC＝50°，∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°，∴∠DCE＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．【变式3-6】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．∵CG∥EF，∴∠EFA＝∠AGC＝80°．∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．【变式3-7】（2023春•岱岳区期末）如图，EF，MN分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【分析】先根据MN∥EF得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故可得出∠1+∠2＝∠3+∠4，再由∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），故可得出∠ABC＝∠BCD，据此得出结论．【解答】解：AB∥CD．理由：∵MN∥EF，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∵∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【例题4】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB ＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（）A．38°B．45°C．52°D．58°【分析】根据已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行线的性质即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2+∠3＝90°C．∠3+∠4＝180°D．∠1+∠2＝90°【分析】根据平行线的性质定理求解．【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；∠1+∠2不一定等于90°，故D符合题意；由题意可得：90°+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，故选项B不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴∠3+∠4＝180°，故选项C不符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．【变式4-2】（2023秋•榆树市校级期末）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为度．【分析】由题意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，由平行线的性质可得∠BDF＝∠ABC＝60°，从而可求∠BDE的度数．【解答】解：由题意得：∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，∵FD∥BC，∴∠BDF＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．故答案为：15．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【变式4-3】（2023秋•新野县期末）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝．【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案．【解答】解：由已知可得，∠3＝30°，∵∠2＝98°，∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°，∵m∥n，∴∠1＝∠4＝52°．故答案为：52°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质．【变式4-4】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．55°【分析】由题意得∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，由平行线的性质可求得∠CAE＝120°，从而可求得∠CAD＝30°，则∠BAD＝15°，即可求∠BAE的度数．【解答】解：由题意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∵AC∥DE，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．【变式4-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD 的度数．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式4-6】（2023秋•盐城期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠ECD＝90°，∠A＝45°，∠D＝60°．若AB∥DE，则∠ACD的度数为．【分析】过点C作CF∥AB，则有AB∥CF∥DE，从而可得∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，即可求∠ACD的度数．【解答】解：过点C作CF∥AB，如图，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，∴∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝105°．故答案为：105°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（）A．58°B．64°C．72°D．60°【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°，∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．【变式5-1】（2022秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（）A．77°B．64°C．26°D．87°【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折叠可得，∠α=12∠DEG=12×154°＝77°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【变式5-2】（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为．【分析】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵图案是由一张等宽的纸条折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵纸条的长边平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键．【变式5-4】（2023秋•阳城县期末）将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝．【分析】证明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性质解决问题．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠5，由翻折变换的性质可知∠4＝∠5，∴∠4＝∠2，∵∠1＝∠2+∠4＝110°，∴∠2＝∠4＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解翻折变换的性质，属于中考常考题型．【变式5-5】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1+∠2＝135°B．∠2﹣∠1＝15°C．∠1+∠2＝90°D．2∠2﹣∠1＝90°【分析】根据折叠的性质和平角的定义解答即可．【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，∴∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD，∴∠1+∠2＝135°，故选：A．【点评】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，由折叠的性质得到∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD是解题关键．【变式5-6】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（）A．72°或48°B．72°或36°C．36°或54°D．72°或54°【分析】设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．【解答】解：如图，设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，故选：A．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【例题6】（2023秋•仁寿县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，则下列结论：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线的性质得到AD⊥EF，故①符合题意；∠CEF＝∠BCE，根据余角的性质得到∠CEF ＝∠ACE，故③符合题意；根据角平分线的定义得到CE平分∠ACB，故②符合题意；根据已知条件无法证明AB∥CF，故④不符合题意．【解答】解：∵AD⊥BC，EF∥BC，∴AD⊥EF，故①符合题意；∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠BCE，∵EC⊥CF，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠F＝∠ACE+∠ACF＝90°，∵∠EFC＝∠ACF，∴∠CEF＝∠ACE，故③符合题意；∴∠ACE＝∠BCE，∴CE平分∠ACB，故②符合题意；∵EC⊥CF，要使AB∥CF，则CE⊥AB，∵CE平分∠ACB，但AC不一定与BC相等，∴无法证明AB∥CF，故④不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．【变式6-1】（2023秋•浚县期末）如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（）A．①③④B．①②③C．①②④D．②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．【解答】解：①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确；②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确；③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确；④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式6-2】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2＝180°+∠3C．∠1+∠3＝180°+∠2D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．【变式6-3】（2023春•镇江期中）如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根据∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，根据∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠CED＝71°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝29°．【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下：∵AB∥CF，∠ACF＝80°，∴∠BAC＝∠ACF＝80°，∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，∵∠ADE＝120°，∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，∴DE∥AB．（2）DE∥AB，∠CED＝71°，∴∠B＝∠CED＝71°，∵∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定．【变式6-4】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．【分析】（1）由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行判定BF∥EC，则同位角∠ACE＝∠F，再根据角平分线的性质即可求解；（2）结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠BCE＝∠G，则易证DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度数为60°；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．【变式6-5】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．。
平行线的判定及性质
平行线的判定及性质 Prepared on 22 November 2020平行线的判定及性质（一）【知识要点】一.余角和补角:1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余. ∵αβ+= 90o ∴αβ与互为余2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补. ∵αβ+= 180o ∴αβ与互为补角 二.余角和补角的性质: 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等. 三.对顶角的性质: 对角相等.四.“三线八角” ：1、同位角 2、内错角 3、同旁内角 五.平行线的判定: 1、同位角相等, 两直线平行.2、内错角相等, 两直线平行.3、同旁内角互补, 两直线平行.4、同平行于一条条直线平行.5、同垂直一条直线的两条直线平行. 六.平行线的性质：1. 两直线平行,同位角相等；2. 两直线平行, 内错角相等；3. 两直线平行, 同旁内角互补.【典型例题】一、余角和补角例1. 如图所示，互余角有_________________________________； 互补角有_________________________________；变式训练：1. 一个角的余角比它的的13还少20o ，则这个角为_____________。
2. 如图所示，已知∠AOB 与∠COB 为补角，OD是∠AOB 的角平分线，OE 在∠BOC 内，∠BO=12∠EOC, ∠DOE=72o, 求∠EOC 的度数。
二、“三线八角”例2 （1） 如图，哪些是同位角内错角同旁内角（2） 如图，下列说法错误的是（ ）A. ∠1和∠3是同位角B. ∠1∠5是同角C. ∠1和∠2是内角D. ∠5和∠6是内错角（3）如图，⊿ABC 中，DE 分别交B 、A 于D 和E,则图中共有ED CB A O AB C DE F1 2 3 4 567 8 2 3 4 5 6 11 23同位角 对，内错角 对，同旁内角 。
三、平行线的判定例3如右图 ① ∵ ∠1＝∠2∴ _____∥_____， （ ） ② ∵ ∠2＝_____∴ ____∥____， (同位角相等，两直线平行) ③ ∵∠3＋∠4＝180o∴ ____∥_____， （ ） ∴ AC ∥FG ， （ ）变式训练：1.如图, ∵ ∠1=∠B∴ ∥_____， （ ） ∵ ∠1/∠2∴ _____∥_____， ( ) ∵ ∠B ＋_____＝180o ，∴ AB ∥EF ( )例4. 如图，已知AE 、CE 分别平分∠BAC 和∠ACD, ∠1和∠2互余，求AB ∥CD ,变式训练：如图，已知直线a 、b 、e ，且∠1=∠2，∠3+∠4=180o, 则a ∥c 平行吗五、平行线的性质例5 如图所示，AB ∥EF ，若∠ABE=32°，∠ECD=160°，求 ∠BEC 的度数。
中考数学黄金知识点系列专题13平行线的证明
专题13 平行线的证明聚焦考点☆温习理解一.命题1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题.2.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题.3.假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫假命题．4.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.二、平行线的判定与性质（1）平行线的性质如果两直线平行，那么同位角相等；如果两直线平行，那么内错角相等；如果两直线平行，那么同旁内角互补.（2）平行线的判定同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.2.平行线的基本事实（即平行公理）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.名师点睛☆典例分类考点典例一、推理论证【例1】小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是选手答案题1 2 3 4 5 得分号小聪 B A A B A 40小玲 B A B A A 40小红 A B B B A 30【答案】BABBA【解析】考点：推理与论证．【点睛】解答推理问题，要先从已知条件出发，通过类比、分类讨论等方法找出矛盾点，得出结论，解题时容易出错的地方是不能根据得分推导小聪、小玲有可能做错的题目而导致结论错误.【举一反三】如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y=（）A．2 B．3 C．6 D．x+3【答案】B．【解析】考点：整式的加减．考点典例二、命题的真假【例2】（2016年福建龙岩第4题）下列命题是假命题的是（）A．若|a|=|b|，则a=bB．两直线平行，同位角相等C．对顶角相等D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根【答案】A.【解析】试题分析：选项A：若a=1，b=-1，则|a|=|b|，但a≠b，此命题为假命题；选项B：两直线平行，同位角相等是真命题；选项C：对顶角相等是真命题；选项D：若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根是真命题.故选A.考点：命题与定理.【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握有关的知识.．【举一反三】（2016内蒙古包头第10题）已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0=1；③两个全等的三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】D．【解析】考点：命题与定理．考点典例三、平行线的判定【例3】如图，能判定EB∥AC的条件是（）A．∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD C．∠C=∠ABC D．∠A=∠ABE【答案】D．【解析】试题分析：在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．试题解析：A、∠C=∠ABE不能判断出EB∥AC，故A选项不符合题意；B、∠A=∠EBD不能判断出EB∥AC，故B选项不符合题意；C、∠C=∠ABC只能判断出AB=AC，不能判断出EB∥AC，故C选项不符合题意；D、∠A=∠ABE，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB∥AC，故D选项符合题意．故选：D．考点：平行线的判定．【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．【举一反三】1.如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等【答案】A．【解析】考点：作图—基本作图；平行线的判定．2.如图，直线a，b被直线e，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（）.A. 55°B. 60°C.70°D. 75°【答案】A.【解析】试题分析：∵∠1=∠2，∴a∥b,∴∠3的对顶角＋∠4=180º，∠3的对顶角=∠3=125°，∴∠4=180º-125º=55º，故选A.考点：平行线的性质与判定.考点典例四、平行线的性质【例3】（2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第7题）如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（）A．40° B．30° C．70° D．50°【答案】A．【解析】考点：等腰三角形的性质；平行线的性质．【点睛】利用平行线的性质求角的大小的方法有两种：一是先根据平行线的性质求得与已知角互补或相等的角，再利用互补或相等关系得到答案；二是先求得与已知角互补或相等的角，再利用平行线的性质求得所求的角的大小.【举一反三】1.（2016贵州遵义第4题）如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1+∠2的值为（）A．90°B．85°C．80°D．60°【答案】A．【解析】考点：平行线的性质．2.（2016广西来宾第2题）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°【答案】C．【解析】试题分析：A．∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角，∴∠1=∠2，可以得到a∥b，∴不符合题意，B．∵∠2与∠3是直线a，b被c所截的一组内错角，∴∠2=∠3，可以得到a∥b，∴不符合题意，C．∵∠3与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，∴∠3=∠5，不能得到a∥b，∴符合题意，D．∵∠3与∠4是直线a，b被c所截的一组同旁内角，∴∠3+∠4=180°，可以得到a∥b，∴不符合题意，故选C．考点：平行线的判定．课时作业☆能力提升一、选择题1.（2016湖南永州第7题）对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理【答案】B ．【解析】考点：线段的性质；垂线段最短；圆的认识；三角形的稳定性．2. （2016湖南娄底第4题）下列命题中，错误的是（ ）A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B ．有一个角是直角的平行四边形是矩形C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D ．内错角相等【答案】D ．【解析】试题分析：选项A ，根据平行四边形的判定可知，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确．选项B ，根据矩形的判定可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确．选项C ，根据菱形的判定可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确．选项D ，内错角相等，错误，缺少条件两直线平行，内错角相等．故答案选D ．考点：命题.3.下列命题中，真命题的个数是（ ） ①若112x -<<- ，则121x -<<-； ②若12x -≤≤，则214x ≤≤；③凸多边形的外角和为360°；④三角形中，若∠A +∠B =90°，则sinA =cosB ．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B ．【解析】考点：命题与定理．4. （2016广西河池第2题）如图，AB∥CD，∠1=50°，则∠2的大小是（）A．50°B．120°C．130°D．150°【答案】C．【解析】试题分析：如图，∵AB∥CD，∴∠A+∠3=180°，∴∠3=130°，∴∠1=∠3=130°．故选C．考点：平行线的性质．5.（2016贵州贵阳第3题）如图，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1=38°，则∠2的度数为（）A．38°B．52°C．76°D．142°【答案】B．【解析】考点：平行线的性质．6.（2016青海第6题）如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线，若∠B=71°，则∠BAC= ．【答案】38°．【解析】试题分析：用平行线求性质可得∠EAD=∠B=71°，再用角平分线求出∠EAC=2∠EAD=2×71°=142°，最后用邻补角求出∠BAC=38°．考点：三角形的外角性质；平行线的性质．7.（2016辽宁营口第4题）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB 交于点E，则∠DEO的度数为（）A．85°B．70°C．75°D．60°【答案】C．【解析】试题分析：∵AB∥OC，∠A=60°，∴∠A+∠AOC=180°，∴∠AOC=120°，∴∠BOC=120°﹣90°=30°，∴∠DEO=∠C+∠BOC=45°+30°=75°；故选C．考点：平行线的性质．8.（2016江苏盐城第6题）如图，已知a、b、c、d四条直线，a∥b，c∥d，∠1=110°，则∠2等于（）A．50°B．70°C．90°D．110°【答案】B．【解析】考点：平行线的性质．二、填空题9.如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，则∠F= ．【答案】9.5°．【解析】考点：平行线的性质．10.如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠C＝27°则∠E的度数为__________.【答案】29°【解析】试题分析：因为AB∥CD，∠A＝56°所以∠DFE＝∠A＝56°，又因为∠DFE＝∠C+∠E，∠C＝27°所以∠E=∠DFE-∠C=56°-27°=29°，故答案为29°.考点：1.平行线的性质；2.三角形的外角性质.11.如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3=°.【答案】110.【解析】试题分析：∵∠1=∠2= 40°,∴∠1=MEN=40°,∴AB∥CD,∴∠EMB=180-40=140°,∵MN平分∠EMB,∴∠BMN=140÷2=70°,∴∠3=180-70=110°.考点：平行线的判定与性质的应用.12.如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是________．【答案】30°【解析】考点：三角形的内角和及其推论．13.（2016山东淄博第18题）（5分）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．【答案】OA∥BC，OB∥AC,理由详见解析.【解析】试题分析：根据已知可得∠1=∠2，∠2+∠3=180°，由同位角相等，两直线平行即可得OB∥AC，由同旁内角互补，两直线平行可得OA∥BC．试题解析：OA∥BC，OB∥AC,理由如下：∵∠1=50°，∠2=50°，∴∠1=∠2，∴OB∥AC，∵∠2=50°，∠3=130°，∴∠2+∠3=180°，∴OA∥BC．考点：平行线的判定.三、解答题[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．【答案】至少7分才能保证一定出线．【解析】若A队两胜一负，积6分．如表格所示，根据规则，这种情况下，A队不一定出线．同理，当A队积分是5分、4分、3分、2分时不一定出线．总之，至少7分才能保证一定出线．考点：推理与论证．【答案】50°【解析】考点：平行线的性质16.如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数．【答案】35°．【解析】试题分析：根据垂直定义和邻补角求出∠3，根据平行线的性质得出∠2=∠3，代入求出即可．试题解析：∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠1=55°，∴∠3=35°，∵a∥b，∴∠2=∠3=35°．考点：平行线的性质．。
浙教版七年级数学下第一章《平行线》常考题(解析版)
浙江七年级数学下第一章《平行线》常考题注意事项∶1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写,字体要工整,笔迹要清楚。
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分,满分100分。
考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题,每小题3分,共30分）1．(本题3分)（2021·浙江嘉兴·七年级期末）如图,直线a,b被直线c所截,∠1的同旁内角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【答案】A【分析】根据同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线（截线）的同旁,则这样一对角叫做同旁内角进行求解．【详解】解：直线a,b被直线c所截,∠1的同旁内角是∠2,故选：A．【点睛】本题考查了同旁内角的定义,能熟记同旁内角的定义的内容是解此题的关键,注意数形结合．2．(本题3分)（2021·浙江杭州·七年级期中）下列说法不正确的是（）A．过任意一点可作已知直线的一条平行线B．同一平面内两条不相交的直线是平行线C．在同一平面内,过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直D．平行于同一直线的两直线平行【答案】A【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断．【详解】解：A中,若点在直线上,则不可以作出已知直线的平行线,而是与已知直线重合,错误．B、C、D正确．故选：A．【点睛】本题主要考查平行线的定义及平行公理,熟练掌握公理、定理是解决本题的关键．3．(本题3分)（2021·浙江萧山·七年级期中）如图,下列条件能判断a//b的有（）A．∠2＝∠4 B．∠1+∠2＝180°C．∠1＝∠3 D．∠2+∠3＝180°【答案】A【分析】根据平行线的判定定理逐个判断即可．【详解】解：A．根据∠2=∠4能推出a∥b,故本选项符合题意；B．根据∠1+∠2=180°不能推出a∥b,故本选项不符合题意；C．根据∠1=∠3不能推出a∥b,故本选项不符合题意；D．根据∠2+∠3=180°不能推出a∥b,故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了平行线的判定定理,能熟记平行线的判定定理是解此题的关键,注意：平行线的判定定理有：①同位角相等,两直线平行,②内错角相等,两直线平行,③同旁内角互补,两直线平行．4．(本题3分)（2021·浙江浙江·七年级期中）北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的（如图）．下面四个图案中,可以通过平移图案得到的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据平移只改变图形的位置,不改变图形的形状与大小解答．【详解】解：观察各选项图形可知,A选项的图案可以通过平移得到．故选：A．【点睛】本题考查了图形的平移,掌握平移的定义及性质是解题的关键．5．(本题3分)（2021·浙江省衢州市衢江区实验中学七年级期末）如图,直线l1∥l2,直线l与l1,l2分别交于A,B两点,若∠1＝60°,则∠2的度数是（）A．60°B．100°C．120°D．140°【答案】C【分析】根据l1∥l2,∠1=60°,可以得到∠ABE=∠1=60°,再根据∠2+∠ABE=180°,即可求解．【详解】解：∵l1∥l2,∠1=60°,∴∠ABE=∠1=60°,∵∠2+∠ABE=180°,∴∠2=120°,故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质,求一个角的邻补角,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．6．(本题3分)（2021·浙江·杭州市丰潭中学七年级期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶,在两次转弯后,前进的方向仍与原来相同,那么这两次转弯的角度可以是（）A．先右转45°,再左转45°B．先左转45°,再右转135°C．先左转45°,再左转45°D．先右转45°,再右转135°【答案】A【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行,同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同,但角度相等画出图形,根据图形直接解答即可．【详解】解：A选项画图如下：可得平行,且与原来方向相同；B选项画图如下：可得不平行；C选项画图如下：可得不平行； D 选项画图如下：可得平行,但与原来方向相反； 故选A ． 【点睛】本题考查平行线的性质,根据题意画出图形是解答此题的关键．7．(本题3分)（2021·浙江杭州·七年级期中）如图,//l m ,1115∠=︒,295∠=︒,则3∠=（ ）A ．120︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒【答案】D 【分析】先根据两直线平行,同旁内角互补,求出∠4,再求出∠2的邻补角∠5,然后利用三角形外角性质即可求出∠3． 【详解】解：∵l ∥m ,∠1=115°, ∴∠4=180°－∠1=180°－115°=65°, 又∠5=180°－∠2=180°－95°=85°, ∴∠3=∠4+∠5=65°+85°=150°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质,解题的关键是作出辅助线,构造同旁内角． 8．(本题3分)（2021·浙江浙江·七年级期末）如图,点E 在BC 的延长线上,对于给出的四个条件：①∠1=∠3；②∠2+∠5=180°；③∠4=∠B ；④∠D +∠BCD =180°．其中能判断AD ∥BC 的是（ ）A ．①②B ．①④C ．①③D ．②④【答案】B 【分析】同位角相等,两直线平行；内错角相等,两直线平行；同旁内角互补,两直线平行,据此进行判断即可． 【详解】①∵∠1=∠3,∴AD ∥BC ；②∵∠2+∠5=180°,∵∠5=∠AGC ,∴∠2+∠AGC =180°,∴AB ∥DC ； ③∵∠4=∠B ,∴AB ∥DC ；④∵∠D +∠BCD =180°,∴AD ∥BC ． 综上,只有①④能判断AD ∥BC ． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定,解题时注意：同位角相等,两直线平行；内错角相等,两直线平行；同旁内角互补,两直线平行．9．(本题3分)（2021·浙江镇海·七年级期中）如图,已知AP 平分BAC ∠,CP 平分ACD ∠,1290∠+∠=︒．下列结论正确的有（ ）①//AB CD ；②180ABE CDF ∠+∠=︒；③//AC BD ；④若2ACD E ∠=∠,则2CAB F ∠=∠．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】由三个已知条件可得AB ∥CD ,从而①正确；由①及平行线的性质则可推得②正确；由条件无法推出AC ∥BD ,可知③错误；由2ACD E ∠=∠及CP 平分ACD ∠,可得∠ACP =∠E ,得AC ∥BD ,从而由平行线的性质易得2CAB F ∠=∠,即④正确． 【详解】∵AP 平分BAC ∠,CP 平分ACD ∠∴∠ACD =2∠ACP =2∠2,∠CAB =2∠1=2∠CAP ∵1290∠+∠=︒∴∠ACD +∠CAB =2(∠1+∠2)=2×90゜=180゜ ∴//AB CD 故①正确 ∵//AB CD ∴∠ABE =∠CDB ∵∠CDB +∠CDF =180゜ ∴180ABE CDF ∠+∠=︒ 故②正确由已知条件无法推出AC ∥BD 故③错误∵2ACD E ∠=∠,∠ACD =2∠ACP =2∠2 ∴∠ACP =∠E ∴AC ∥BD ∴∠CAP =∠F∵∠CAB =2∠1=2∠CAP ∴2CAB F ∠=∠ 故④正确故正确的序号为①②④故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,角平分线的定义,掌握这些知识是关键．10．(本题3分)（2021·浙江浙江·七年级期末）如果两个角的两边分别平行,而其中一个角比另一个角的3倍少20°,那么这两个角是（）A．50°、130°B．都是10°C．50°、130°或10°、10°D．以上都不对【答案】C【分析】首先由两个角的两边分别平行,可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°,由其中一个角比另一个角的3倍少20°,然后分别从两个角相等与互补去分析,即可求得答案,注意别漏解．【详解】解：∵两个角的两边分别平行,∴这两个角相等或互补．设其中一角为x°,若这两个角相等,则x＝3x﹣20,解得：x＝10,∴这两个角的度数是10°和10°；若这两个角互补,则180﹣x＝3x﹣20,解得：x＝50,∴这两个角的度数是50°和130°．∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．故选：C．【点睛】此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中,解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补,注意方程思想的应用．二、填空题（本题有7个小题,每小题3分,共21分）11．(本题3分)（2019·浙江·七年级课时练习）L1,l2,l3为同一平面内的三条直线,如果l1与l2不平行,l2与l3不平行,则l1与l3的位置关系是___________．【答案】相交或平行【解析】【分析】根据关键语句“若1l与2l不平行, 2l与3l不平行,”画出图形,图形有两种情况,根据图形可得答案．【详解】根据题意可得图形：根据图形可知：若1l与2l不平行,2l与3l不平行,则1l与3l可能相交或平行,故答案为：相交或平行.【点睛】本题主要考查了直线的位置关系,在同一平面内,两条直线的位置关系：平行或相交. 12．(本题3分)（2020·浙江浙江·七年级期末）如图,1∠与2∠是同位角的是__________．【答案】①②【分析】根据同位角的定义：在截线的同侧,并且在被截线的同一方的两个角是同位角．【详解】解：这四个图中,∠1与∠2有一条边在同一条直线上,另一条边在被截线的同一方,是同位角,符合的有图①②．故答案为：①②．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键,可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解,一定要紧扣概念中的关键词语,要做到对它们正确理解,对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．13．(本题3分)（2021·浙江浙江·七年级期中）如图,将三角形ABC沿水平方向向右平移1个单位到三角形DEF 的位置,已知3CE =,则BF 的长为________．【答案】5 【分析】根据平移的性质得BE =CF =1,从而易得BF 的长． 【详解】由平移的性质得：BE =CF =1 ∴BF =BE +CE +CF =1+3+1=5 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平移的性质,因此掌握平移的性质是解题的关键．14．(本题3分)（2021·浙江诸暨·七年级期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进,若第一次向左拐40°,则第二次向右拐的角度是__________度． 【答案】40° 【分析】因为最后汽车沿原来的方向前进,所以两次拐的方向相反,角的度数相等． 【详解】解：两次拐完汽车沿原来的方向前进,所以前后拐的方向应该相反,角的大小相等,拐的两角处在同位角的位置． 故答案为；40． 【点睛】考查了平行线的性质．解题的关键是注意两直线平行,同位角相等定理与数形结合思想的应用．15．(本题3分)（2020·浙江浙江·七年级期末）将一块三角板ABC （90BAC ∠=︒,30ABC ∠=︒）按如图方式放置,使A ,B 两点分别放在直线m ,n 上,对于给出的四个条件,①125.5∠=︒,25530'∠=︒；②2=21∠∠；③1290∠+∠=︒,④12ACB ∠=∠+∠；⑤21ABC ∠=∠-∠．能判断直线//m n 的有________（填序号）．【答案】①⑤ 【分析】根据平行线的判定解答即可． 【详解】解：①∵25.5°+∠ABC=55.5°=∠2=55°30',所以,m ∥n ； ②没有指明∠1的度数,当∠1≠30°,∠2≠∠1+30°,不能判断直线m ∥n,故∠2=2∠1,不能判断直线m ∥n ；③∠1+∠2=90°,不能判断直线m ∥n ； ④∠ACB=∠1+∠2,不能判断直线m ∥n ； ⑤∠ABC=∠2-∠1,判断直线m ∥n ； 故答案为：①⑤． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型． 16．(本题3分)（2021·浙江镇海·七年级期中）如图,已知//AB CD ,BF 平分ABE ∠,//BF DE ,且40D ∠=︒,则BED ∠的度数为______．【答案】140° 【分析】延长DE 交AB 的延长线于G ,根据两直线平行,内错角相等可得∠D ＝∠AGD ,再根据两直线平行,同位角相等可得∠AGD ＝∠ABF ,然后根据角平分线的定义得∠EBF ＝∠ABF ,再根据平行线的性质解答． 【详解】解：如图,延长DE 交AB 的延长线于G , ∵//AB CD ,∴∠D ＝∠AGD ＝40°,∵BF//DE,∴∠AGD＝∠ABF＝40°,∵BF平分∠ABE,∴∠EBF＝∠ABF＝40°,∵BF//DE,∴∠BED＝180°﹣∠EBF＝140°．故答案为：140°．【点睛】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,熟记性质并作辅助线是解题的关键．17．(本题3分)（2021·浙江乐清·七年级期末）将一副三角板如图1所示摆放,直线GH MN,现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转,同时三角板DEF绕点D //以每秒2°的速度顺时针旋转,设时间为t秒,如图2,∠BAH＝t°,∠FDM＝2t°,且0≤t≤150,若边BC与三角板的一条直角边（边DE,DF）平行时,则所有满足条件的t的值为___．【答案】30或120【分析】根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°,∠FDM＝2t°,（1）如图1,当DE//BC时,延长AC交MN于点P,分两种情况讨论：①DE在MN上方时,②DE在MN下方时,∠FDP＝2t°﹣180°,列式求解即可；（2）当BC//DF时,延长AC交MN于点I,①DF在MN上方时,∠FDN＝180°﹣2t°,②DF在MN下方时,∠FDN＝180°﹣2t°,列式求解即可．【详解】解：由题意得,∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°,∠FDM＝2t°,（1）如图1,当DE//BC时,延长AC交MN于点P,①DE在MN上方时,∵DE//BC,DE⊥DF,AC⊥BC,∴AP//DF,∴∠FDM＝∠MP A,∵MN//GH,∴∠MP A＝∠HAC,∴∠FDM＝∠HAC,即2t°＝t°+30°,∴t＝30,②DE在MN下方时,∠FDP＝2t°﹣180°,∵DE//BC,DE⊥DF,AC⊥BC,∴AP//DF,∴∠FDP＝∠MP A,∵MN//GH,∴∠MP A＝∠HAC,∴∠FDP＝∠HAC,即2t°﹣180°＝t°+30°,∴t＝210（不符合题意,舍去）,（2）当BC//DF时,延长AC交MN于点I,①DF在MN上方时,∠FDN＝180°﹣2t°,∵DF//BC,AC⊥BC,∴AI//DF,∴∠FDN+∠MIA＝90°,∵MN//GH,∴∠MIA＝∠HAC,∴∠FDN+∠HAC＝90°,即180°﹣2t°+t°+30°＝90°,∴t＝120,②DF在MN下方时,∠FDN＝180°﹣2t°,∵DF//BC,AC⊥BC,DE⊥DF,∴AC//DE,∴∠AIM＝∠MDE,∵MN//GH,∴∠MIA＝∠HAC,∴∠EDM＝∠HAC,即2t°﹣180°＝t°+30°,∴t＝210（不符合题意,舍去）,综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．故答案为：30或120．【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质．三、解答题（请写出必要的解题过程,本题共6个小题,共49分）18．(本题6分)（2020·浙江奉化·七年级期中）如图,已知BE平分∠ABC,点D在射线BA上,且∠ABE=∠BED ．（1）判断BC与DE的位置关系,并说明理由．（2）当∠ABE=25°时,求∠ADE的度数．【答案】（1）BC∥DE,理由见解析；（2）50°【分析】（1）根据BE平分∠ABC,可得∠EBC=∠ABE．再根据∠ABE=∠BED,即可得出∠BED=∠EBC,根据平行线的判定可得BC∥DE．（2）根据BE平分∠ABC,且∠ABE=25°,可得∠ABC=50°．再根据DE∥BC,即可得出∠ADE=∠ABC=50°．【详解】解：（1）BC∥DE ．理由：∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠EBC∵∠ABE=∠BED∴∠EBC=∠BED∴BC∥DE ．（2）∵BE平分∠ABC ,∠ABE=25°,∴∠ABC=2∠ABE=50°∵BC∥DE∴∠ADE=∠ABC=50°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质,角平分线的定义,能熟练地运用平行线的性质和判定进行推理是解题的关键,注意：平行线的性质有：①两直线平行,同位角相等,②两直线平行,内错角相等,③两直线平行,同旁内角互补．19．(本题6分)（2020·浙江浙江·七年级期中）根据图形填空： （1）若直线,ED BC 被直线AB 所截,则1∠和_____是同位角； （2）若直线,ED BC 被直线AF 所截,则3∠和_____是内错角； （3）1∠和3∠是直线,AB AF 被直线______所截构成的内错角； （4）2∠和4∠是直线AB ,______被直线BC 所截构成的_____角．【答案】（1）2∠；（2）4∠；（3）ED ；（4）AF ,同位 【分析】（1）根据图形及同位角的概念可直接进行求解； （2）根据图形及内错角的概念可直接进行求解； （3）根据图形及内错角的概念可直接进行求解； （4）根据图形及同位角的概念可直接进行求解． 【详解】 解：由图可得：（1）若直线,ED BC 被直线AB 所截,则1∠和2∠是同位角； 故答案为2∠；（2）若直线,ED BC 被直线AF 所截,则3∠和4∠是内错角； 故答案为4∠；（3）1∠和3∠是直线,AB AF 被直线ED 所截构成的内错角； 故答案为ED ；（4）2∠和4∠是直线AB ,AF 被直线BC 所截构成的同位角； 故答案为AF ,同位．【点睛】本题主要考查内错角及同位角的概念,熟练掌握同位角及内错角的概念是解题的关键．20．(本题8分)（2021·浙江东阳·七年级期末）如图,已知∠1＝∠2,∠B＝∠C,可推得AB∥CD．理由如下：∵∠1＝∠2（已知）,且∠l＝∠CGD（）∴∠2＝∠CGD∴．CE∥BF（）∴∠＝∠BFD（）又∵∠B＝∠C（已知）∴,∴AB∥CD（）【答案】见解析【分析】首先确定∠1=∠CGD是对顶角,利用等量代换,求得∠2=∠CGD,则可根据：同位角相等,两直线平行,证得：CE∥BF,又由两直线平行,同位角相等,证得角相等,易得：∠BFD=∠B,则利用内错角相等,两直线平行,即可证得：AB∥C D．【详解】解：∵∠1=∠2（已知）,且∠1=∠CGD（对顶角相等）,∴∠2=∠CGD（等量代换）,∴CE∥BF（同位角相等,两直线平行）,∴∠C=∠BFD（两直线平行,同位角相等）,又∵∠B=∠C（已知）,∴∠BFD=∠B（等量代换）,∴AB∥CD（内错角相等,两直线平行）．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质．注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．21．(本题8分)（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学七年级开学考试）如图,已知AB //CD,E是直线AB上的一点,CE平分∠ACD,射线CF⊥CE,∠1＝32°,（1）求∠ACE的度数；（2）若∠2＝58°,求证：CF//AG．【答案】（1）∠ACE＝32°；（2）见解析．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠1＝∠DCE＝32°,然后根据角平分线定义即可得到结论；（2）根据根据垂直的定义得∠FCE＝90°,再求出∠FCH＝58°,然后根据平行线的判定定理即可得到结论．【详解】（1）∵AB//CD,∴∠1＝∠DCE＝32°,∵CE平分∠ACD,∴∠ACE＝∠DCE＝32°；（2）∵CF⊥CE,∴∠FCE＝90°,∴∠FCH＝90°﹣32°＝58°,∵∠2＝58°,∴∠FCH＝∠2,∴CF//AG．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质,角平分线定义,正确的识别图形是解题的关键．22．(本题9分)（2021·浙江浙江·七年级期中）已知：直线EF分别与直线AB,CD相交于点G,H,并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1,求证：AB∥CD；（2）如图2,点M在直线AB,CD之间,连接GM,HM,求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3,在（2）的条件下,射线GH是∠BGM的平分线,在MH的延长线上取点N,∠FGN,求∠MHG的度数．连接GN,若∠N＝∠AGM,∠M＝∠N+12【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）60°【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等即可证明；（2）如图2,过点M作MR∥AB,可得AB∥CD∥MR．进而可以证明；（3）如图3,令∠AGM＝2α,∠CHM＝β,则∠N＝2α,∠M＝2α+β,过点H作HT∥GN,可得∠MHT＝∠N＝2α,∠GHT＝∠FGN＝2β,进而可得结论．【详解】（1）证明：如图1,∵∠AGE+∠DHE＝180°,∠AGE＝∠BGF．∴∠BGF+∠DHE＝180°,∴AB∥CD；（2）证明：如图2,过点M作MR∥AB,又∵AB∥CD,∴AB∥CD∥MR．∴∠GMR＝∠AGM,∠HMR＝∠CHM．∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如图3,令∠AGM ＝2α,∠CHM ＝β,则∠N ＝2α,∠M ＝2α+β,握平行线的判定与性质．23．(本题12分)（2021·浙江杭州·七年级期末）如图,已知直线12//l l ,点A B 、在直线1l 上,点C D 、在直线2l 上,点C 在点D 的右侧,()80,2,ADC ABC n BE ∠=︒∠=︒平分,ABC DE ∠平分ADC ∠,直线BE DE 、交于点E ．（1）若20n =时,则BED ∠=___________；（2）试求出BED ∠的度数（用含n 的代数式表示）；（3）将线段BC 向右平行移动,其他条件不变,请画出相应图形,并直接写出BED ∠的度数．（用含n 的代数式表示）【答案】（1）60°；（2）n °+40°；（3）n °+40°或n °-40°或220°-n ° 【分析】（1）过点E 作EF ∥AB ,然后根据两直线平行内错角相等,即可求∠BED 的度数； （2）同（1）中方法求解即可；（3）分当点B 在点A 左侧和当点B 在点A 右侧,再分三种情况,讨论,分别过点E 作EF ∥AB ,由角平分线的定义,平行线的性质,以及角的和差计算即可．【详解】解：（1）当n =20时,∠ABC =40°, 过E 作EF ∥AB ,则EF ∥CD ,∴∠BEF =∠ABE ,∠DEF =∠CDE ,∵BE 平分∠ABC ,DE 平分∠ADC ,∴∠BEF =∠ABE =20°,∠DEF =∠CDE =40°,∴∠BED =∠BEF +∠DEF =60°；（2）同（1）可知：∠BEF =∠ABE =n °,∠DEF =∠CDE =40°,∴∠BED =∠BEF +∠DEF =n °+40°；（3）当点B 在点A 左侧时,由（2）可知：∠BED =n °+40°；当点B在点A右侧时,如图所示,过点E作EF∥AB,∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=2n°,∠ADC=80°,∴∠ABE=12∠ABC=n°,∠CDG=12∠ADC=40°,∵AB∥CD∥EF,∴∠BEF=∠ABE=n°,∠CDG=∠DEF=40°,∵AB∥CD∥EF,∴∠BEF=∠ABG=n°,∠CDE=∠DEF=40°, ∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°；综上所述,∠BED的度数为n°+40°或n°-40°或220°-n°．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,以及角平分线的定义,正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键．。
平行线的判定例题与讲解
3平行线的判定1.平行线的判定公理(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行•简单记为：同位角相等，两直线平行.如图，推理符号表示为：•// 1=/ 2,••• AB// CD.(位置关系)，所以在推理过程中要先写(2)平行公理的推论：①垂直于同一条直线的两条直线平行.②平行于同一条直线的两条直线平行.②应用时，应先确定同位角及形成相等(数量关系)来确定两条直线平行，然后再写“两线平行”.a丄b, C丄b,贝U a / c;a/ b, c/ b,贝U a/ c.AB和CD是否平行，于是找来一根笔EGB和/ GFD的度数，就知道断.题中/ EGB和/ GFD是直线AB和直线CD(墙的上下边缘)被直线EF所截时形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可知只有/ EGB和/ GFD 相等时，墙壁的上下边缘才会平行.D答案：/ EGB和/ GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行.其依据是同位角相等，两直线平行.2.平行线的判定定理(1)判定定理1两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单记为：同旁内角互补，两直线平行. 符号表示：如下图，•••/••• AB// CD.谈重点同位角相等，两直线平行①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据; 同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角【例11工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量/ 墙壁的上下边缘是否平行了.请问：/ 才会平行？你的依据是什么？解析：判定两条直线是否平行，常根据两条直线“两角相等”EGB和/ GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘被第三条直线所截而构成的角来判谈重点 同旁内角互补，两直线平行①定理是根据公理推理得出的真命题， 可直接应用；②应用时，找准哪两个角是同旁内 角，使哪两条直线平行.(2)判定定理2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单记为：内错角相等，两直线平行.符号表示：如上图， •// 2=/ 4,.・.AB // CD.【例2— 11如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线 AB 和CD ,这是根据 _________ ，两直线平行.解析：由题图可看出，直线 AB 和CD 被直线BC 所截，此时两块相同的三角板的两个最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的. 答案：内错角相等【例2-21如图，下列说法中，正确的是 ().3. 平行线的判断方法平行线的判定方法主要有以下六种：(1) 平行线的定义(一般很少用). (2) 同位角相等，两直线平行. (3) 同旁内角互补，两直线平行. (4) 内错角相等，两直线平行.(5) 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行.(6) 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行. 析规律如何选择判定两直线平行的方法①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时， 旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是 角是否互补.A .因为/B .因为/C .因为/D .因为/ A +/ D = 180 °C +/D = 180 ° A +/ D = 180 ° A +/ C = 180 ° 所以 所以 所以 所以 AD // BC AB // CD AB // CD AB // CD错解：A 或B 或D错解分析：判定直线平行所需要的内错正解：C正解思路：/ A 与/ D 是直线AB 和CD 被直 角或同旁内角找不准.条件不能推出结 线AD 所截得到的同旁内角.因为 / A +/ D 论.葛本方法塔本能力=180° 所以 AB // CD.要分清同位角、内错角以及同•否相等，同旁内【例3】 如图，直线a , b 与直线c 相交，形成/ 1,/ 2，…，/ 8共八个角，请你填 上你认为适当的一个条件：解析：本题主要是考查平行线的三种判定方法.4. 平行线判定的应用 (1) 平行线的生活应用数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇 到.如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行， 工人师傅判定所制造的机器零件是否符 合平行的要求……对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等， 是利用直角尺判断同位角是否相等 ，从而判定两直线是否平行.(2) 平行线在数学中的运用平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直 .线平行，进一步解决其他有关的问题.常见的条件探索题就是其应用之一. 探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性.解决探索性问题，不仅能提高分析问题的 能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握.释疑点判定平行的关键判定两直线平行，关键是.确定角的位置关系及大小关系.【例4— 11如图，一个零件 ABCD 需要AB 边与CD 边平行•，现只有一个量角器，测 得拐角/ ABC =120° / BCD = 60°这个零件合格吗？ _________________________________ (填“合格”或“不合 格”).DG. JB解析：要判断AB 边与CD 边平行，则需满足同旁内角互补的条件. / BCD = 60°,•••/ ABC + / BCD = 120° + 60° = 180°.••• AB // CD.•••这个零件合格. 答案：合格若从"同位角相等，两直线平行 /8中的任意一个条件；若从“内错角相等，两直线平行 若从“同旁内角互补，两直线平行 一个条件；从其他方面考虑，还可以填 / 1= / 8, / 2 =/7, / 1 + /7= 180° / 2 +/8= 180° / 4 +/ 7=180° / 3+/ 8 = 180° / 2 + ./ 5= 180° / 1+/ 6= 180° 中的任意一个条件.答案：答案不唯一，如可填下列之一：/ 1 = / 5或/ 4 =/ 5或/ 3+/ 5 = 180°…【SOS 展创新磁用考虑，可填/ 1= / 5, / 2 = / 6, / 3= / 7, /.4 =/ 3= / 6, / 4=/5中的任意一个; 考虑，可填 ”考虑，可填 / 3+/ 5= 180° , / 4+/ 6= 180°中的比较常用的 AiE •••/ ABC = 120° ,【例4—21 已知：如图在四边形ABCD中，/ A =/ D , / B =/ C,试判断AD与BC 的位置关系，并说明理由.分析：根据四边形ABCD的内角和是360°，结合已知条件得到 / A +/ B = 180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AD // BC.解：AD与BC的位置关系是平行.理由：•••四边形ABCD的内角和是360°•••/ A+/ B+/ C+/ D = 360°•// A= / D, / B= / C,•••/ A+ / B= 180°••• AD // BC（同旁内角互补，两直线平行）•点评：本题考查四边形的内角和以及利用同旁内角互补，来判定两直线平行.。
第二章第02讲 平行线的判定和性质(10类热点题型讲练)(解析版)
第02讲平行线的判定和性质(10类热点题型讲练)1．掌握同位角、内错角、同旁内角的位置关系；2．掌握利用同位角、内错角、同旁内角判定判定两条直线平行的条件，并能解决一些问题；3．掌握平行线的性质与判定的综合运用；4．体会平行线的性质与判定的区别与联系．知识点01 同位角、内错角、同旁内角的概念1.同位角、内错角和同旁内角：填空：(1)如图，∠1和∠5，分别在直线AB，CD的上方（同一方），在直线EF的右侧（同侧）.具有这种位置关系的一对角是同位角.(2)如图，∠3和∠5，在直线AB，CD之间，在直线EF的两侧.具有这种位置关系的一对角叫做内错角.(3)如图，∠3和∠6，在直线AB，CD之间，在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角.(2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角.(3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角.知识点02 平行线的定义及表示(1)定义：在同一平面内内，不相交的两条直线.(2)表示：平行用“∥”符号表示，读作“平行于”.1.同一平面内，两条直线的位置关系：(1)平行 (2)相交2.利用直尺和三角尺画平行线：一“落”、二“靠”、三“移”、四“画”.【注意】平行线的画法四字诀1.“落”：三角板的一边落在已知直线上；2.“靠”：用直尺紧靠三角板的另一边；3.“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点；4.“画”：沿三角板过已知点的边画直线.知识点03 平行公理及推论(1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c.【注意】平行公理(1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性.(2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线.知识点04 平行线的判定方法平行线的判定方法1：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠1=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)，∴AB∥CD.平行线的判定方法2：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2=∠8(或者∠3=∠5)，∴AB∥CD.平行线的判定方法3：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)，∴AB∥CD.平行线的其他判定方法：(1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行.(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.【总结】判定两直线平行的方法方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线.方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.方法三：同位角相等，两直线平行.方法四：内错角相等，两直线平行.方法五：同旁内角互补，两直线平行.方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.知识点05 平行线的性质(1)文字表达：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；②简单说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错家相等；两直线平行，同旁内角互补；(2)几何语言表述：已知，如图所示，若AB∥CD，则①同位角：∠1=∠5(或∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)；②内错角：∠2=∠8(或∠3=∠5)；③同旁内角：∠2+∠5=180°(或∠3+∠8=180°).题型01 同位角、内错角、同旁内角的辨别【例题】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，下列结论正确的是（ ）A ．5Ð与4Ð是对顶角B ．1Ð与3Ð是同位角C ．2Ð与3Ð是同旁内角D ．1Ð与2Ð是同旁内角【答案】D【分析】本题考查同位角同旁内角、对顶角，根据同位角、同旁内角、对顶角的定义进行判断，熟练掌握各角的定义是解题的关键．【详解】A 、5Ð与23Ð+Ð是对顶角，故本选项错误，不符合题意；B 、1Ð与34Ð+Ð是同位角，故本选项错误，不符合题意；C 、2Ð与3Ð没有处在两条被截线之间，故本选项错误，不符合题意；D 、1Ð与2Ð是同旁内角；故本选项正确，符合题意；故选：D ．【变式训练】1．（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图所示，有下列五种说法：①1Ð和4Ð是同位角；②3Ð和5Ð是内错角；③2Ð和6Ð是同旁内角；④5Ð和2Ð是同位角；⑤1Ð和3Ð是同旁内角；其中正确的是（ ）A ．①②③⑤B ．①②③④C ．①②③④⑤D ．①②④⑤【答案】D 【分析】本题考查了同位角、 内错角以及同旁内角的定义，根据内错角、 同位角以及同旁内角的定义寻找出各角之间的关系， 再比照五种说法判断对错， 即可得出结论 ．【详解】解： 根据内错角、 同位角以及同旁内角的定义分析五种说法 ．①1Ð和4Ð是同位角， 即①正确；②3Ð和5Ð是内错角， 即②正确；③2Ð和6Ð是内错角， 即③不正确；④5Ð和2Ð是同位角， 即④正确；⑤1Ð和3Ð是同旁内角， 即⑤正确 ．2．（2023下·广东河源·七年级期中）如图，a ，b ，c 三条直线两两相交，下列说法错误的是（ ）A ．1Ð与2Ð是同位角B ．2Ð与4Ð是内错角C ．3Ð与4Ð是对顶角D ．1Ð与3Ð是同旁内角【答案】B 【分析】本题考查相交直线所成相关角的概念，解答关键是熟知同位角、内错角、同旁内角、对顶角的相关概念和判断方法．【详解】解：A ．1Ð与2Ð是直线a 、直线b 被直线c 所截，所得到的同位角，因此选项A 不符合题意；B ．2Ð与4Ð是直线a 、直线c 被直线b 所截，所得到的同位角，因此选项B 符合题意；C ．3Ð与4Ð是对顶角，因此选项C 不符合题意；D ．1Ð与3Ð是直线b 、直线c 被直线a 所截，所得到的同旁内角，因此选项D 不符合题意；故选：B ．题型02 同位角相等，两直线平行【例题】根据要求完成下面的填空：如图，直线AB ，CD 被EF 所截，若已知12Ð=Ð．23Ð=ÐQ （______），又12Ð=ÐQ （已知），\Ð______=Ð______，∴______∥______（______）．【详解】23Ð=ÐQ （对顶角相等），又12Ð=ÐQ （已知），AB CD \∥（同位角相等，两直线平行），故答案为：对顶角相等，1，3，AB ,CD ，同位角相等，两直线平行．【变式训练】1．请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据：如图，129023,,AB BC ^=°Ð+ÐÐ=Ð，BE 与DF 平行吗？为什么？解：BE DF ∥．理由如下：∵AB BC ^（已知），∴ABC Ð=________°即34Ð+Ð=________°（ ）又∵1290Ð+Ð=°（ ），且23ÐÐ=（已知）∴14Ð=Ð（ ）∴BE DF ∥（ ）【详解】解：BE DF ∥．理由如下：∵AB BC ^（已知），∴90ABC Ð=°，即3490Ð+Ð=°（等量代换）又∵1290Ð+Ð=°（已知），且23ÐÐ=（已知）∴14Ð=Ð（等角的补角相等）∴BE DF ∥（同位角相等，两直线平行）．故答案为：90,90，等量代换，已知，等角的补角相等，同位角相等，两直线平行．2．如图，已知AC AE ^，BD BF ^，135Ð=°，235Ð=°．AC 与BD 平行吗？AE 与BF 平行吗？阅读下面的解答过程，并填空或填写理由．解：AC 与BD 平行；AE 与BF 平行，理由如下：Q 135Ð=°，235Ð=°\12Ð=Ð\（________）∥（________）（________________________）；又Q AC AE^\EAC 90Ð=o\1EAB EAC Ð=Ð+Ð=（________）o同理可得2FBG FBD Ð=Ð+Ð=（________）o∴（________）∥（________）（_____________________________）．【详解】解：AC 与BD 平行；AE 与BF 平行，理由如下：Q 135Ð=°，235Ð=°\12Ð=Ð\AC ∥BD (同位角相等，两直线平行)；又Q AC AE^\90EAC Ð=°\1125EAB EAC Ð=Ð+Ð=°同理可得2125FBG FBD Ð=Ð+Ð=°\AE ∥BF (同位角相等，两直线平行)．题型03 内错角相等，两直线平行【例题】如图，EF 交AD 于O ，AB 交AD 于A ，CD 交AD 于D ，12Ð=Ð，34ÐÐ=，试判断AB 和CD 的位置关系，并说明为什么．【详解】解：AB CD P ．理由：12Ð=ÐQ ，34ÐÐ=，23ÐÐ=，14\Ð=Ð，∴AB CD P ．【变式训练】1．推理填空：已知：如图AB BC ^于B ，CD BC ^于C ，12Ð=Ð，求证：BE CF ∥．证明：∵AB BC ^于B ，CO ∴139024Ð+Ð=°Ð+Ð=，∴1Ð与3Ð互余，2Ð与4Ð又∵12Ð=Ð（ ），(1)求BOF Ð的度数；(2)试说明AB CD ∥的理由．【详解】（1）∵OA OB ，分别平分∴12AOE AOC COE ÐÐÐÐ==，∵180COE DOE Ð+Ð=°，题型04 同旁内角互补，两直线平行【例题】如图，已知直线AB CD 、被直线EF 所截，GE 平分AEF Ð，GF 平分EFC Ð，1290Ð+Ð=°，AB CD ∥吗？为什么？解：∵GE 平分AEF Ð，GF 平分EFC Ð（已知），∴2AEF ÐÐ=___________，2EFC ÐÐ=___________，∴AEF EFC ÐÐ+=___________（ ），∵1290Ð+Ð=°（ ），∴AEF EFC ÐÐ+=___________°，∴AB CD ∥．【详解】解：GE Q 平分AEF Ð，GF 平分EFC Ð（已知），21AEF \Ð=Ð，22EFC Ð=Ð，2(12)AEF EFC \Ð+Ð=Ð+Ð（等量代换）1290Ð+Ð=°Q （已知），180AEF EFC \Ð+Ð=°，AB CD \∥．【变式训练】1．如图，160,260,3120°°°Ð=Ð=Ð=．试说明,DE BC DF ∥∵160260,°°Ð=Ð=∴12Ð=Ð（等量代换）证明：∵12180Ð+Ð=°，∴a ∥______（______）．∵13Ð=Ð，∴a ∥______（______）．∴b c ∥（______）．【详解】证明：∵12180Ð+Ð=°，∴a ∥b （同旁内角互补，两直线平行）．∵13Ð=Ð，∴a ∥ c （同位角相等，两直线平行）．∴b c ∥（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．题型05 平行线及平行公理【详解】解：因为Ð13Ð=Ð（对顶角相等）所以Ð2=Ð3（等量代换）所以a ∥c （同位角相等，两直线平行）又因为a b ∥（已知）1．如图所示，直线AB CD ，相交于点O ，OD 平分EOB Ð，OF 平分AOE Ð，GH CD ^，垂足为点H ，GH 与FO 平行吗？说明理由．(1)判断CD与AB的位置关系；(2)求证：DF BE∥．^【详解】（1）解：∵AB MN∥．∴CD AB题型06添加一条件使两条直线平行Ð=Ð【答案】EAB【分析】本题主要考查了平行线的判定．要判断的位置关系，根据平行线的判定定理解答即可．∵180CDB B Ð+Ð=°，∴AB CD ∥（同旁内角互补，两直线平行）；故答案为：EAB C Ð=Ð（答案不唯一）．【变式训练】【答案】①②④【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断即可解答．【详解】解：①12Ð=Ð，能判断【答案】250Ð=°．（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定和性质进行解答即可．【详解】解：可以添加条件Ð∵EF MN ^，∴90EFM Ð=°【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．题型07 根据平行线的性质求角度【例题】（2023下·新疆阿克苏·七年级校考期末）如图，AB CD ∥，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分AEF Ð，135Ð=°，求2Ð的度数．【答案】110°【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义结合平角的定义即可求解．【详解】解：如图所示，∵AB CD ∥，135Ð=°∴3135Ð=Ð=°∵EG 平分AEFÐ∴3435Ð=Ð=°∴21803535110Ð=°-°-°=°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质、求出3135Ð=Ð=°是关键．【变式训练】1．（2023下·浙江金华·七年级校联考期末）如图，点E 在BC 的延长线上，连接DE ，作CED Ð的角平分线分别交线段AD ，DC 于点F ，点G ，已知AB CD ∥，AD BC ∥．(1)试说明2BED DFE Ð=Ð；(2)若105B Ð=°，28DFE Ð=°，求CDE Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)19CDE Ð=°【分析】（1）根据角平分线的性质得出2BED BEF Ð=Ð，根据平行线的性质可得DFE BEF Ð=Ð；（2）根据平行线的性质可得105DCE B Ð=Ð=°，根据平行线的性质得出105ADC DCE Ð=Ð=°，180ADE BED Ð+Ð=°，根据（1）的结论得出256BED DFE Ð=Ð=°，180124ADE BED Ð=°-Ð=°，进而根据CDE ADE ADC Ð=Ð-Ð，即可求解．【详解】（1）解：∵EF 平分CED Ð，∴2BED BEF Ð=Ð，∵AD BC∥∴DFE BEF Ð=Ð，（2）解：∵AB CD ∥，105B Ð=°，∴105DCE B Ð=Ð=°，∵AD BC ∥，∴105ADC DCE Ð=Ð=°，180ADE BED Ð+Ð=°．∵28DFE Ð=°，∴256BED DFE Ð=Ð=°，∴180124ADE BED Ð=°-Ð=°，∴12410519CDE ADE ADC Ð=Ð-Ð=°-°=°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2023下·贵州黔南·七年级统考期末）如图，已知AB CD ∥，AD BC ∥，90DCE Ð=°，点E 在线段AB 上，90FCG Ð=°，点F 在直线AD 上，90AHG Ð=°．(1)图中与D Ð相等的角有__________；(2)若25ECF Ð=°，求BCD Ð的度数；(3)在（2）的条件下，点C （点C 不与B ，H 两点重合）从点B 出发，沿射线BG 的方向运动，其他条件不变，求BAF Ð的度数．【答案】(1)DCG Ð，ECF Ð，BÐ(2)155°(3)25°或155°【分析】（1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与D Ð相等的角；（2）根据25ECF Ð=°，90DCE Ð=°，可得65FCD Ð=°，再根据90BCF Ð=°，即可得到6590155BCD Ð=°+°=°；（3）分两种情况讨论：当点C 在线段BH 上；点C 在BH 延长线上，根据平行线的性质，即可得到BAF Ð的度数为25°或155°．【详解】（1）解：AD BC ∥Q ，D DCG \Ð=Ð，90FCG Ð=°Q ，90DCE Ð=°，ECF DCG \Ð=Ð，D ECF \Ð=Ð，AB DC Q ∥，DCG B \Ð=Ð，D B \Ð=Ð；\与D Ð相等的角为DCG Ð，ECF Ð，B Ð；（2）解：25ECF Ð=°Q ，90DCE Ð=°，65FCD \Ð=°，90BCF Ð=°Q ，6590155BCD \Ð=°+°=°；（3）解：分两种情况进行讨论：①如图a ，当点C 在线段BH 上时，点F 在DA 的延长线上，此时25ECF DCG B Ð=Ð=Ð=°，AD BC ∥Q ，25BAF B \Ð=Ð=°；②如图b ，当点C 在BH 的延长线上时，点F 在线段AD 上．25B Ð=°Q ，AD BC ∥，18025155BAF \Ð=°-°=°，综上所述，BAF Ð的度数为25°或155°．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键．题型08平行线的性质在生活中的应用【答案】120°/120度【分析】首先过B作BF AE∥，根据100Ð=°Q，A\Ð=Ð=°，100ABF A又160ABC Ð=°Q ，16010060FBC \Ð=°-°=°，AE CD ∥Q ，FB CD \∥，180********C FBC \Ð=°-Ð=°-°=°，故答案为：120°．【点睛】此题主要考查了平行线性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式训练】【答案】17°/17度【分析】由平行线的性质可知D B C M B C M B D Ð=Ð-Ð求解即可．【详解】解：∵MN EF ∥，∴160M B C Ð=Ð=°．【答案】30°/30度【分析】过点B 作BF CE ∥．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出CBF Ð，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论．【详解】解：过点B 作BF CE ∥．CE l ∥Q ，BF l \∥．190ABF \Ð=Ð=°．140ABC Ð=°Q ，1409050CBF \Ð=°-°=°．BF CE ∥Q ，50ECB CBF \Ð=Ð=°．DCE DCB BCE\Ð=Ð-Ð8050=°-°30=°．故答案为：30°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题的关键．题型09 平行线的性质与判定综合应用【答案】（1）见解析；（2）F BMF DNFÐ=Ð-Ð；（3）20【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键．（1）过点E作EF AB∥，根据平行线的性质可求解；（2）如图②，过F作FH AB∥，根据平行线的性质即可得到结论；∥，根据平行线的性质即可得到结论．（3）如图③，过C作CG AB【详解】（1）证明：如图①，过点E作EF AB∥，则MEF BMEÐ=Ð，∥，又∵AB CD∥，∴EF CD\Ð=Ð，NEF DNEMEN MEF NEF\Ð=Ð+Ð，Ð=Ð+Ð；即MEN BME DNE（2）解：BMF MFN FNDÐ=Ð+Ð．P，证明：如图②，过F作FK AB\Ð=Ð，BMF MFK∥，∵AB CDP，∴FK CD\Ð=Ð，FND KFN\Ð=Ð-Ð=Ð-Ð，MFN MFK KFN BMF FND即：BMF MFN FND Ð=Ð+Ð．故答案为：BMF MFN FND Ð=Ð+Ð；（3）如图③，过C 作CG AB ∥，18060GCA BAC \Ð=°-Ð=°，∵AB DE ∥，∴CG DE ∥，80GCD CDE \Ð=Ð=°，20ACD \Ð=°，故答案为：20．【变式训练】1．（2023上·湖南岳阳·八年级校考开学考试）如图，12Ð=Ð，BAE BDE Ð=Ð，点F 在DE 的延长线上，点C 在AB 的延长线上，且EA 平分BEF Ð．(1)求证：AB DE ∥；(2)若40BAE Ð=°，求EBD Ð．【答案】(1)见解析(2)40°【分析】（1）根据对顶角相等结合题意推出1ABE Ð=Ð，根据“同位角相等，两直线平行”即可判定AB DE ∥；（2）根据平行线的性质结合题意推出AEF BDE Ð=Ð，即可判定AE BD P ，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．【详解】（1）证明：∵2ABE Ð=Ð（对顶角相等），又12Ð=Ð（已知），∴1ABE Ð=Ð（等量代换），∴AB DE ∥（同位角相等，两直线平行）；（2）解：由（1）已证AB DE ∥可得：40BAE AEF Ð=Ð=°（两直线平行，内错角相等），又∵BAE BDE Ð=Ð，∴AEF BDE Ð=Ð（等量代换），∴AE BD P （同位角相等，两直线平行），∴AEB EBD Ð=Ð（两直线平行，内错角相等），又∵EA 平分BEF Ð，∴AEB AEF Ð=Ð，∴40EBD AEB AEF BAE Ð=Ð=Ð=Ð=°，∴40Ð=°EBD ．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．2．（2023下·江苏泰州·七年级校考期中）如图，在ABC V 中，点D 、F 在BC 边上，点E 在AB 边上，点G 在AC 边上，EF 与GD 的延长线交于点H ，BDH B Ð=Ð，AEH ADH Ð=Ð．(1)EH 与AD 平行吗？为什么？(2)若40H Ð=°，求BAD Ð的度数．【答案】(1)平行，见解析(2)40°【分析】（1）EH AD ∥，理由如下：由已知条件，BDH B Ð=Ð，根据平行线的判定可得AB GH ∥，根据平行线的性质得180BAD ADH Ð+Ð=°，等量代换得到180BAD AEH Ð+Ð=°，即可得出答案；（2）结合（1）根据平行线的性质即可得解．【详解】（1）EH AD ∥，理由如下：BDH B Ð=ÐQ ，AB GH \∥，180BAD ADH \Ð+Ð=°，AEH ADH Ð=ÐQ ，180BAD AEH \Ð+Ð=°，EH AD \∥；（2）180BAD ADH Ð+Ð=°Q ，又EH AD Q ∥，180H ADH \Ð+Ð=°，H BAD \Ð=Ð，40H Ð=°Q ，40BAD \Ð=°．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键．题型10 根据平行线的性质与判定探究角的关系(1)123ÐÐÐ、、之间的关系为(2)如果点P 在A 、B 两点之间运动时，(3)如果点P （点P 和A 、【答案】(1)123Ð+Ð=Ð(2)123Ð+Ð=Ð(3)123Ð-Ð=Ð或2Ð-Ð∴52Ð=Ð（两直线平行，内错角相等），∵345Ð=Ð+Ð，∴123Ð+Ð=Ð（等量代换）；故答案为：123Ð+Ð=Ð；（2）解：由（1）的证明过程知，123ÐÐÐ、、之间的关系不发生变化；故答案为：123Ð+Ð=Ð；（3）解：过点P 作1PQ l ∥，∵12l l ∥，∴21PQ l l ∥∥；当点P 在AB 延长线上时，如左图，则24ÐÐ=，134CPQ Ð=Ð=Ð+Ð，∴132Ð=Ð+Ð，即123Ð-Ð=Ð；当点P 在BA 延长线上时，如右图，∵21PQ l l ∥∥，∴14Ð=Ð，234DPQ Ð=Ð=Ð+Ð，∴231Ð=Ð+Ð，即213Ð-Ð=Ð；综上，123Ð-Ð=Ð或213Ð-Ð=Ð．故答案为：123Ð-Ð=Ð或213Ð-Ð=Ð．【变式训练】(1)图中CBD Ð= °；(2)当ACB ABD Ð=Ð时，ABC Ð=(3)随点P 位置的变化，图中APB Ð【答案】(1)60P；(1)求证：AB CD(2)点G是射线MD上的一个动点∥交直线AB于点N，设HN EMβ=°①点G在点F右侧，且70∵EH 平分FEG Ð，∴HEF HEG Ð=Ð，∵HN EM ∥，∴EHN HEM HEF FEM Ð=Ð=Ð+Ð，∵FEM FME Ð=Ð，∴EHN HEF FME αÐ=Ð+Ð=，∵()180********EGF FME GEM FME FEM HEF FME HEF Ð=°-Ð-Ð=°-Ð-Ð-Ð=°-Ð+Ð，∴1802βα=°-，∵70β=°，∴701802α°=°-，解得55α=°．②α和β之间的数量关系为2βα=或1802βα=°-．理由如下：当点G 在点F 的右侧，由（2）得1802αβ=°-，当点G 在点F 的左侧时，如图2，∵EH 平分FEG Ð，∴HEF HEG Ð=Ð，∵HN EM ∥，∴EHN HEM Ð=Ð，∵FEM FME Ð=Ð，∴()222EGF FME GEM FEM GEM GEM HEG GEM GEM HEG HEM Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，∴2EGF EHN Ð=Ð，即2βα=，综上所述，α和β之间的数量关系为2βα=或1802βα=°-．【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．一、单选题1．（2023下·云南昭通·七年级统考阶段练习）如图，下列条件不能判定AB CD P 的是（ ）A ．13Ð=ÐB ．35Ð=ÐC ．12180Ð+Ð=°D ．15Ð=Ð【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理，对各项逐一进行判断即可．【详解】解：A 、13Ð=Ð，根据同位角相等，两直线平行可判定AB CD P ，故此选项不符合题意；B 、35Ð=Ð，对顶角相等，不能判定AB CD P ，故此选项符合题意；C 、12180Ð+Ð=°，根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB CD P ，此选项不符合题意；D 、15Ð=Ð，根据内错角相等，两直线平行可判定AB CD P ，故此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．2．（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图所示，以下说法错误的是（ ）A ．1Ð与2Ð是同位角B ．4Ð与3Ð是同位角C ．5Ð与3Ð是内错角D ．4Ð与5Ð是同旁内角【答案】C 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可．【详解】解：A 、1Ð与2Ð是同位角，正确，不符合题意；B 、4Ð与3Ð是同位角，正确，不符合题意；C 、5Ð与3Ð不是内错角，错误，符合题意；D 、4Ð与5Ð是同旁内角，正确，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角，解答的关键是理解定义：如果两条直线被第三条直线所截所形成的的角，在两条被截直线之间且在截线两侧的两个角互为内错角；在两条被截直线同一方且在截线同侧的两个角互为同位角；在两条被截线之间且在截线同侧的两个角互为同旁内角．3．（2023上·陕西铜川·八年级统考期末）如图，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（ ）A ．∵AD BC ∥，180BAD D \Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补）B ．∥Q AB CD ，180BCD ABC \Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补）C ．13Ð=ÐQ ，AB CD \∥（内错角相等，两直线平行）D ．DAM CBM Ð=ÐQ ，AD BC \∥（同位角相等，两直线平行）【答案】A【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，利用平行线的判定方法与性质逐一分析即可得到答案，熟记平行线的判定方法与平行线的性质是解本题的关键．【详解】解：∵AD BC ∥，180BAD ABC \Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补），故A 符合题意；∥Q AB CD ，180BCD ABC \Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补），故B 不符合题意；13Ð=ÐQ ，AB CD \∥（内错角相等，两直线平行），故C 不符合题意；DAM CBM Ð=ÐQ ，AD BC \∥（同位角相等，两直线平行），故D 不符合题意；故选A4．（2023上·陕西榆林·八年级校考期末）如图，直线a b P ，直线l 与直线a 相交于点P ，与直线b 相交于点Q ，PM l ^于点P ，若155Ð=°，则2Ð的度数为（ ）A ．35°B ．55°C ．125°D ．145°【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，根据两直线平行，同位角相等，平角的定义计算即可．【详解】如图，∵a b P ，155Ð=°，∵34180,2+Ð=°ÐÐ+Ð∴180324а--Ð==Ð故选A ．5．（2023上·四川宜宾·七年级四川省宜宾市第二中学校校考阶段练习）平分BAC Ð，A C CE ^A ．1个【答案】D 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来内角互补可得2BAC Ð+Ð212180Ð+Ð=°，可求得结果；二、填空题【答案】①②④【分析】根据同位角的定义，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】解：①∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角；②∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角；【答案】B DAB Ð=Ð【分析】根据“内错角相等，两直线平行【详解】解：由“内错角相等，两直线平行【答案】36°/36度【分析】由对顶角相等可得Ð件可求得B Ð，即可求解．【详解】解：如图，1108Ð=°Q ，31108\Ð=Ð=°，∵l AB ∥，3180A \Ð+Ð=°，2B Ð=Ð，【答案】3或7.5或12【分析】本题考查了平行线的性质．分类讨论Ð的大小即可求解．性质确定旋转角AFE∥时，如图所示：【详解】解：①当DE BC30AFE Ð=°∴30310t ==秒②当DE AB ∥时，如图所示：∵45FHD A Ð=Ð=°，∴45HFD Ð=°45AFE HFD EFD Ð=Ð+Ð=°+∴757.510t ==秒180120AFE E Ð=°-Ð=°∴1201210t ==秒综上所述：t 的值为3或7.5或12三、解答题11．（2023上·新疆克孜勒苏·七年级统考期末）如图，已知12180Ð+Ð=°，3B Ð=Ð，试判断C Ð与AED Ð的大小关系，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由．解：AED C Ð=Ð．理由如下：∵12180Ð+Ð=°（已知），1180DFE Ð+Ð=°（_______），∴2DFE Ð=Ð（_______），∴AB ∥ _______（_______），∴3ADE Ð=Ð（_______），∵3B Ð=Ð（已知），∴∠_______=Ð_______（_______），∴_______∥_______（_______），C AED Ð=Ð（_______）．【答案】平角的定义；等量代换；EF ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等：ADE ；B ；等量代换；DE ；BC ，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据证明的思路，把证明过程填写完整即可．【详解】AED C Ð=Ð．理由如下：∵12180Ð+Ð=°（已知），1180DFE Ð+Ð=°（平角的定义），∴2DFE Ð=Ð（等量代换），∴AB EF ∥（内错角相等，两直线平行），∴3ADE Ð=Ð（两直线平行，内错角相等），∵3B Ð=Ð（已知），∴ADE B Ð=Ð（等量代换），∴DE BC ∥（同位角相等，两直线平行），∴C AED Ð=Ð（两直线平行，同位角相等）．故答案为：平角的定义；等量代换；EF ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等：ADE ；B ；等量代换；DE ；BC ，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．12．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）在下列解答中，填空（理由或数学式）．如图，已知直线b c ∥，1116Ð=°，3=4ÐÐ．(1)求AOB Ð的度数；(2)求证：直线a c ∥．解：（1）∵1116Ð=° （已知）∴2116Ð=°（ ）．∵b c ∥（已知），∴2AOB Ð=Ð（ ）．故答案为：已知；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．13．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，已知AB CD P ，AC 与BD 相交于点E ，从点E 引一条射线EF 交线段AB 于点F ，若180AFE DCB Ð+Ð=°，A AEF Ð=Ð，求证：DCA ACB Ð=Ð．证明：∵AB CD P （已知），∴180ABC DCB Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补），又∵180AFE DCB Ð+Ð=°（已知），∴AFE ABC Ð=Ð（____________________），∴EF ∥__________（____________________），∴Ð=AEF __________（____________________），∵AB CD P （已知），∴A DCA Ð=Ð（____________________），∵A AEF Ð=Ð（已知），∴DCA ACB Ð=Ð（____________________）．【答案】见解析【分析】本题考查平行线的性质与判定，根据题目已知条件及现有步骤结合平行线的判定和性质定理，即可得到答案．【详解】证明：AB CD P （已知），∴180ABC DCB Ð+Ð=°（两直线平行同旁内角互补），又∵180AFE DCB Ð+Ð=°（已知），∴AFE ABC Ð=Ð（同角的补角相等）；∴ EF BC ∥（同位角相等，两直线平行），∴AEF ACB Ð=Ð（两直线平行，同位角相等），∵AB CD P （已知），∴A DCA Ð=Ð（两直线平行，内错角相等），∴A AEF Ð=Ð（已知），∴DCA ACB Ð=Ð（等量代换），故答案为：同角的补角相等；BC ；同位角相等，两直线平行；ACB Ð；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换．14．（2023上·重庆沙坪坝·八年级统考期中）已知：如图，在ABC V 中，点D 在BC 边上，EF AD ∥分别交AB ，CB 于点E ，F ，DG 平分ADC Ð，12180Ð+Ð=°，(1)求证：AB DG ∥；(2)若40B Ð=°，60DAC Ð=°，求DGC Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)100°【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和判定，是解决本题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【详解】（1）证明：∵EF AD ∥，∴1180BAD Ð+Ð=°．∵12180Ð+Ð=°．∴2BAD Ð=Ð．∴AB DG ∥；（2）解：∵AB DG ∥，40B Ð=°，∴40GDC B Ð=Ð=°，∵DG 平分ADC Ð，∴240GDC Ð=Ð=°，又∵60DAC Ð=°，∴2100DGC DAC Ð=Ð+Ð=°．15．（2023上·四川遂宁·七年级射洪中学校联考阶段练习）如图1，直线AD EF P ，点B C ，分别在EF 和AD 上，A ABC Ð=Ð，BD 平分CBF Ð．【探索】如图②，AM 平分BAC Ð，CAM CMA Ð=Ð，点E 在射线AB 上，点F 在线段CM 上，若AEF C Ð=Ð，求证：EF AC ∥．【拓展】如图③，将【探索】中的点F 移动到线段CM 的延长线上，其他条件不变，若357CAM MEF Ð=Ð=°，请直接写出AME Ð的度数．【答案】感知：BAM Ð；BAM Ð；探索：见解析；拓展：76AME =°∠【分析】感知：根据角平分线定义和平行线的性质进行解答即可；探索：先证明AB CD P ，得出AEF EFD Ð=Ð，在证明EFD C Ð=Ð，根据平行线的判定得出结论即可；拓展：根据角平分线定义得出57BAM CAM ==°∠∠， 257114BAC =´°=°∠，根据平行线的性质求出18066C BAC =°-=°∠∠，求出661947AEM =°-°=°∠，最后根据平行线的性质求出结果即可．【详解】解：感知：∵AM 平分BAC Ð，（已知），∴CAM BAM Ð=Ð（角平分线的定义），∵AB CD P （已知），∴CMA BAM Ð=Ð（两直线平行，内错角相等）∴CAM CMA Ð=Ð（等量代换）．故答案为：BAM Ð；BAM Ð．探索：∵AM 平分BAC Ð，∴CAM BAM Ð=Ð，∵CAM CMA Ð=Ð，∴A BAM CM =Ð∠，∴AB CD P ，∴AEF EFD Ð=Ð，∵AEF C Ð=Ð，∴EFD C Ð=Ð，∴EF AC ∥．拓展：∵357CAM MEF Ð=Ð=°，∴根据探索可知：57BAM CAM ==°∠∠，19MEF =°∠，∴257114BAC =´°=°∠，根据探索可知：AB CD P ，∴18066C BAC =°-=°∠∠，∴66AEF C ==°∠∠，∴661947AEM =°-°=°∠，∵AB CD P ，∴57AMC BAM ==°∠∠，47DME AEM ==°∠∠，∴18076AME AMC DME =°--=°∠∠∠．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．17．（2023上·内蒙古乌海·八年级统考期末）综合与实践：问题：如图1，直线AB 、BC 、AC 两两相交，交点分别为点A 、B 、C ，点D 在线段AB 上，过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ，过点E 作EF AB ∥交BC 于点F ．（1）若65ABC Ð=°，求DEF Ð的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空(理由或数学式)解：∵DE BC ∥，∴DEF Ð= ______（______），∵EF AB ∥，∴______ ABC =Ð（______），∴DEF ABC Ð=Ð（______），∵65ABC Ð=°，∴65DEF Ð=°．探究：如图2，直线AB 、BC 、AC 两两相交，交点分别为点A 、B 、C ，点D 在线段AB 的延长线上，过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ，过点E 作EF AB ∥交BC 于点F ．（2）在图2中，若65ABC Ð=°，求DEF Ð的度数并说明理由．（3）猜想：如果ABC Ð的两边分别平行于DEF Ð的两边，直接写出ABC Ð与DEF Ð这两个角之间有怎样的数量关系？【答案】（1）EFC Ð；两直线平行，内错角相等；EFC Ð；两直线平行，同位角相等；等量代换；（2）115DEF Ð=°，理由见解析；（3）ABC DEF Ð=Ð或180ABC DEF Ð+Ð=°【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．（1）由平行线的性质可得DEF EFC Ð=Ð，EFC ABC Ð=Ð，则有DEF ABC Ð=Ð，即可得解；（2）由平行线的性质得65ABC ADE Ð=Ð=°，180ADE DEF Ð+Ð=°，则可求DEF Ð得度数．（3）根据平行线的性质分析，即可获得答案．【详解】解：（1）∵DE BC ∥，∴DEF EFC Ð=Ð（两直线平行，内错角相等），∵EF AB ∥，∴EFC ABC Ð=Ð（两直线平行，同位角相等），∴DEF ABC Ð=Ð（等量代换），∵65ABC Ð=°，∴65DEF Ð=°．故答案为：EFC Ð；两直线平行，内错角相等；EFC Ð；两直线平行，同位角相等；等量代换；（2）115DEF Ð=°，理由如下：∵DE BC ∥，∴65ABC ADE Ð=Ð=°（两直线平行，同位角相等），∵EF AB ∥，∴180ADE DEF Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补），∴180115DEF ADE Ð=°-Ð=°；（3）ABC DEF Ð=Ð或180ABC DEF Ð+Ð=°，理由如下：如图1，ABC Ð的两边分别平行于DEF Ð的两边时，ABC DEF Ð=Ð；如图2，ABC Ð的两边分别平行于DEF Ð的两边时，180ABC DEF Ð+Ð=°．18．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，线段AB 与线段CD 平行，P 是平面内一点，连接PA PD ，，射线AM DN ，分别平分BAP CDP ÐÐ，．(1)当点P 在线段DA 的延长线上时：①在图1中，依题意补全图形；②请直接写出直线AM 与直线DN 的位置关系：___________；(2)如图2，当点P 在直线AB 与直线CD 之间时，射线AM ，DN 交于点Q ，探究P Ð与AQD Ð的数量关系，。
中考数学模拟试题平行线与垂直线的性质与计算
中考数学模拟试题平行线与垂直线的性质与计算中考数学模拟试题：平行线与垂直线的性质与计算一、引言在几何学中，平行线和垂直线是非常重要的概念。
掌握平行线和垂直线的性质以及相应的计算方法，对于解决几何题目和实际生活中的测量问题都具有重要意义。
本文将为大家详细介绍平行线和垂直线的性质，并结合数学模拟试题进行解析和计算。
二、平行线的性质1. 定义：在平面上，两条直线如果不相交并且在同一个平面内，那么我们称这两条直线是平行线。
2. 平行线的判定：若两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行线。
3. 平行线的性质：a) 平行线之间的夹角=0°。
b) 平行线的任意一对内角、外角、对顶角都相等。
c) 平行线与一条横截线所形成的内角之和为180°。
三、垂直线的性质1. 定义：在平面上，两条直线如果相交且相交的角度为90°，那么我们称这两条直线是垂直线。
2. 垂直线的判定：若两条直线的斜率乘积为-1，则这两条直线是垂直线。
3. 垂直线的性质：a) 垂直线之间的夹角=90°。
b) 垂直线形成的内角和=180°。
c) 垂直线的任意一对内角、外角、对顶角都相等。
四、平行线和垂直线的计算1. 平行线的计算：a) 已知一点和一条直线，要求通过这个点并且平行于给定直线的直线方程。
b) 已知两个点，要求通过这两个点的直线方程，并判断这两条直线是否平行。
c) 已知两条平行线的方程，要求求解交点的坐标。
2. 垂直线的计算：a) 已知一点和一条直线，要求通过这个点并且垂直于给定直线的直线方程。
b) 已知两个点，要求通过这两个点的直线方程，并判断这两条直线是否垂直。
c) 已知两条垂直线的方程，要求求解交点的坐标。
五、数学模拟试题解析现在，我们通过一些数学模拟试题来加深对平行线和垂直线的理解。
1. 已知直线L1的方程为2x - 3y = 4，点P(-1, 2)在直线L2上，且L2与L1平行。