2内切球外接球含习题

内切球，外接球

球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体（棱长为a ）的外接球半径R 与内切球半径r 之比为R ：r ＝3：1。外接球半径：a R 46=。内切球半径：a r 126= 结论：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径h r 41=(h 为正四面体的高)，且外接球的半径r R 3=．

正四面体的外接球问题：已知正四面体A BCD -，H 为底面的中心，O 为外接球的球心，设棱长为a ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，试求R. 方法一：易知R+r=AH=

63

a ，由等积法得：（ 可求外接球半径和内切球半径）

A BCD O ABC O BCD O CDA O DA

B V V V V V -----=+++ 所以：

11433BCD BCD AH S r S ∆∆⋅=⋅⋅ 故14r AH =,34

R AH = 所以 64

R a =.

方法二：如图AHM BNM ∆≅∆所

HM ON AM OA =，即13r R =,又由6可得 64R a =

. 方法三： 如图设延长AH 交球面上一点K,则AK=2R,在直角三角形ABK 中由射

影定理得2

AB AH AK

=⋅即2

6

2 3

a a R

=⋅故得

6

4

R a =.

方法四：如图正四面体可补成一个边长为

2

2

a的正方体，显然正方体的外接球

即为正四面体的外接球，而

2

3()2

2

a R

=故可得

6

4

R a

=.

四面体的内切球问题：关键是抓住球心到四面体的每个面的距离等于球的半径来找等量关系．

【例6】求棱长为a的正四面体内切球的体积．

练习

1.（球内接正四面体问题）（2003年江苏卷第12题）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）

ππππ6)33)4)3)D C B A

方法一：将这个正四面体放入一个正方体中，再将这个正方体放入球中与球相外接。因为正方体的对角线就是球的直径，而正四面体的棱就是正方体的侧面对角线。所以，设正方体的棱长为a ，则有

2a =2，a =1，.3,2

3,332π==∴==∴球S R a R 故选A 。此题是典型的考查转化、化归思想。 方法二：画图

3.（球内接正四面体问题） 如果三棱锥的每条侧棱长和底面边长都是a ，那么这个三棱锥的外接球的体积是（ A ）

（A ）

386a π （B ）32762a π （C ）3968a π （D ）36

6a π

4.（球内接正方体问题）（06年福建卷）已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为

323π，则正方体的棱长为334。

5.（球内接棱柱问题） 若一个底面边长为2的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为π2

9．

6. （球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为14π。

7. （正三棱柱内切球、外接球问题）一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的6个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 1∶5 。

8.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥S —ABC 中，侧棱SC 上侧面SAB ，侧棱SC=2 ，

9.（球内接正四棱锥问题）半径为R 的球内接一个各棱长都相等的四棱锥．求该四棱锥的体积．33

2R V =

10.（正三棱锥球内切问题） 正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．26-=R

说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决．