学年浦东新区初三数学一模试卷

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2023上海浦东新区中考初三一模数学试题及答案

初三数学期末测试卷（时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题）1.下列图形，一定相似的是（）A.两个直角三角形B.两个等腰三角形C.两个等边三角形D.两个菱形2.己知抛物线()2213y x =-+，那么它的顶点坐标是（）A.(1,3)- B.(1,3)C.(2,1)D.(2,3)3.在Rt ABC 中，90B Ð=°，如果A α∠=，BC a =，那么AC 的长是（）A.tan a αB.cot a αC.cos aa D.sin a a4.小杰在一个高为h 的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30︒，旗杆与地面接触点的俯角为60︒，那么该旗杆的高度是（）A.23h B.45h C.43h D.54h 5.已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么点(,)P a b 在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.如图，DF AC ∥，DE BC ∥，下列各式中正确的是（）A.BD ABCE AC= B.AD BFBD FC= C.AD CEDE BD= D.AE BFCE CF=二、填空题：（本大题共12题）7.如果23a b =，那么b aa b -=+__________．8.如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是________9.已知点P 是线段MN 的黄金分割点，>MP PN ，如果8MN =，那么PM 的长是_____．10.如果在比例尺为1：1000000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离是_____千米．11.两个相似三角形的对应边上中线之比为2:3，周长之和为20cm ，则较小的三角形的周长为__________．12.将抛物线241y x x =+-向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是_______________．13.如图，已知AD ∥BE ∥CF ．如果 4.8AB =， 3.6DE =， 1.2EF =，那么AC 的长是_____．14.已知一条斜坡的长度是10米，高度是6米，那么坡角的角度约为_______．（备用数据tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos 53°≈0.6)15.在Rt ABC △中，90A ∠=︒，已知1AB =，2AC =，AD 是BAC ∠的平分线，那么AD 的长是_____．16.如图，点E 、F 分别在边长为1的正方形ABCD 的边AB 、AD 上，2BE AE =、2AF FD =，正方形A B C D ''''的四边分别经过正方形ABCD 的四个顶点，已知A D EF ''∥，那么正方形A B C D ''''的边长是_____．17.在ABC 中，2A B ∠=∠，如果4AC =，5AB =，那么BC 的长是_____．18.如图，正方形ABCD 的边长为5，点E 是边CD 上的一点，将正方形ABCD 沿直线AE 翻折后，点D 的对应点是点D ¢，联结CD '交正方形ABCD 的边AD 于点F ，如果AF CE =，那么AF 的长是______________．三、解答题：（本大题共7题）19.计算：cot 454sin 452tan 30cos30cos 60︒︒-︒︒+︒20.如图，在ABC 中，BE 平分ABC ∠，DE BC ∥，3AD =，2DE =．（1）求:AE AC 的值；（2）设AB a =，BC b = 求向量BE （用向量a b 、表示）．21.如图，在Rt EAC 中，90EAC ∠︒＝，45E ∠︒＝，点B 在边EC 上，BD AC ⊥，垂足为D ，点F 在BD 延长线上，5FAC EAB BF ∠∠＝，＝，tan AFB ∠＝34．求：（1）AD 的长；（2）cot DCF ∠的值．22.某地一段长为50米的混泥土堤坝，堤坝的横断面ABCD 是等腰梯形（如图所示），坝顶AD 宽为8米，坝高为4米，斜坡AB 的坡度为1:1.5．（1）求横断面ABCD 的面积；（2）为了提高堤坝的防洪能力，现需将原堤坝按原堤坝要求和坡度加高1米，求加高堤坝需要多少立方米的混泥土？（堤坝的体积=横断面的面积×堤坝的长度）23.如图，在ABC 中，点D 、F 分别是边BC 、AB 上的点，AD 和CF 交于点E ．（1）如果BF AB BD BC =，求证：EF CE DE AE =；（2）如果2AE BF AF DE =，求证：AD 是ABC 的中线．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++与x 轴的正、负半轴分别交于点B 、A ，与y 轴交于点C ，已知5AB =，tan 3CAB ∠=，:3:4OC OB =．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴分别与x 轴、BC 交于点E 、F ，求EF 的长；（3）在（2）的条件下，联结CE ，如果点P 在该抛物线的对称轴上，当CEP △和CEB 相似时，求点P 的坐标25.如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，10AC =，3tan 4C =，点D 是斜边AC 上的动点，连接BD ，EF 垂直平分BD 交射线BA 于点F ，交边BC 于点E ．（1）如图，当点D 是斜边AC 上的中点时，求EF 的长；（2）连接DE ，如果DEC 和ABC 相似，求CE 的长；（3）当点F 在边BA 的延长线上，且2AF =时，求AD 的长．初三数学期末测试卷（时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题）1.下列图形，一定相似的是（）A.两个直角三角形B.两个等腰三角形C.两个等边三角形D.两个菱形【答案】C【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解．【详解】解：A .两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；B .两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；C .两个等边三角形，角都是60°，故相似；D ..任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；故选C ．【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．2.己知抛物线()2213y x =-+，那么它的顶点坐标是（）A.(1,3)-B.(1,3)C.(2,1)D.(2,3)【答案】B【分析】根据二次函数的顶点式的特点即可得出答案．【详解】解：由抛物线的顶点式()2213y x =-+可得：该抛物线的顶点坐标为(1,3)，故选：B ．【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，关键是要牢记抛物线的顶点式的特点．3.在Rt ABC 中，90B Ð=°，如果A α∠=，BC a =，那么AC 的长是（）A.tan a αB.cot a αC.cos aa D.sin a a【答案】D【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】如图：在Rt ABC 中，AC sin BC A =sin aα=．故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系．4.小杰在一个高为h 的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30︒，旗杆与地面接触点的俯角为60︒，那么该旗杆的高度是（）A.23h B.45h C.43h D.54h 【答案】C【分析】过A 作AE BC ⊥于E ，在Rt ACE △中，已知了CE 的长，可利用俯角CAE ∠的正切函数求出AE 的值；进而在Rt ABE △中，利用仰角BAE ∠的正切函数求出BE 的长；从而可得答案．【详解】解：如图，过A 作AE BC ⊥于E ，则四边形ADCE 是矩形，CE AD h ==．∵在Rt ACE △中，CE h =，60CAE ∠=︒，∴3tan 603CE AE h ==︒，∵在Rt ABE △中，30BAE ∠=︒，∴331tan 30333BE AE h h =︒=⨯=，∴1433BC BE CE h h h =+=+=．即旗杆的高度为43h ．故选C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．5.已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么点(,)P a b 在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【分析】根据对称轴的位置、开口方向、即可判断出a 、b 符号，进而求出(,)P a b 的位置．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，又∵对称轴在y 轴右侧，∴02ba->，∴>0b ，∴(,)P a b 在第二象限故选：B【点睛】本题考查的是二次函数2y ax bx c =++系数符号的确定．根据对称轴的位置、开口方向、与y 轴的交点的位置判断出a 、b 、c 的符号是解题的关键．6.如图，DF AC ∥，DE BC ∥，下列各式中正确的是（）A.BD ABCE AC= B.AD BFBD FC= C.AD CEDE BD= D.AE BFCE CF=【答案】A【分析】由平行线分线段成比例可判断A ，B ，D ，证明四边形DFCE 是平行四边形，ADE DBF ∽，可得AD BDDE BF =，再利用等线段代换也不能证明AD CE DE BD=，可判断C ，从而可得答案．【详解】解：∵DE BC ∥，∴BD CEAB AC=，∴BD ABCE AC=，故A 符合题意；∵DF AC ∥，∴AD CFBD BF=，故B 不符合题意；∵DF AC ∥，DE BC ∥，∴四边形DFCE 是平行四边形，BDF A ∠=∠，ADE B ∠=∠，∴CE DF =，DE CF =，ADE DBF ∽，∴AD BDDE BF=，故C 不符合题意；∵DE BC ∥，DF AC ∥∴AE ADEC BD =，BF BD CF AD=，∴AE BFCE CF≠，故D 不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟练的利用平行线与相似三角形的性质证明成比例的线段是解本题的关键．二、填空题：（本大题共12题）7.如果23a b =，那么b aa b -=+__________．【答案】15【分析】设a=2k ，得到b=3k ，代入b aa b-+化简即可求解．【详解】解：设a=2k ，∵23a b =，∴b=3k ，∴3213255b a k k k a b k k k --===++．故答案为：15【点睛】本题主要考查了比例化简求值，理解比例的意义，用含k 的式子分别表示a 、b 是解题关键．8.如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是________【答案】2：3##23【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是4：9，两个相似三角形的相似比是2：3，∴它们对应高的比是2：3．故答案为：2：3．9.已知点P 是线段MN 的黄金分割点，>MP PN ，如果8MN =，那么PM 的长是_____．【答案】4##4-+【分析】根据黄金分割点的概念列式求解即可．【详解】解：∵点P 是线段MN 的黄金分割点，>MP PN ，8MN =，∴51518422PM MN --==⨯=-，故答案为：4．【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的概念．把一条线段分成两部分，使其叫做黄金比．10.如果在比例尺为1：1000000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离是_____千米．【答案】34【分析】根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解．【详解】解：设A 、B 两地的实际距离为cm x 则：3.4:1:1000000x =解得3400000cm 34x ==千米A 、B 两地的实际距离为34千米故答案为：34【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺=图上距离：实际距离是解题的关键．11.两个相似三角形的对应边上中线之比为2:3，周长之和为20cm ，则较小的三角形的周长为__________．【答案】8cm【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比来解答．【详解】解：因为该相似比为2：3，而周长比也等于相似比，则较小的三角形周长为20×25=8cm ，故答案为：8cm【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：①相似三角形周长的比等于相似比；②相似三角形面积的比等于相似比的平方；③相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．12.将抛物线241y x x =+-向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是_______________．【答案】224y x x =--【分析】利用二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减，从而可得答案．【详解】解：由题意可知，将抛物线向右平移3个单位后得：()()23435y x x =-+-+2694121x x x -++--=224x x =--，故答案为224y x x =--．【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，掌握函数的平移规律是解题的关键．13.如图，已知AD ∥BE ∥CF ．如果 4.8AB =， 3.6DE =， 1.2EF =，那么AC 的长是_____．【答案】6.4##325【分析】根据三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例，列出比例式解答即可．【详解】解：∵AD BE CF ∥∥，∴AB DEBC EF =，∵AB ＝4.8，DE ＝3.6，EF ＝1.2，∴4.8 3.61.2BC =，解得 1.6BC =，∴ 4.8 1.6 6.4AC AB BC =+=+=．故答案为：6.4．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用列出正确的比例式．14.已知一条斜坡的长度是10米，高度是6米，那么坡角的角度约为_______．（备用数据tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos 53°≈0.6)【答案】37°．【分析】画出图形，设坡角为α，根据sinα=ABAC，可求得α的度数．【详解】由题意，作出图形，设坡角为α，∵sina=AB AC即sina=0.6∴a=37°故答案为:37°.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形.15.在Rt ABC △中，90A ∠=︒，已知1AB =，2AC =，AD 是BAC ∠的平分线，那么AD 的长是_____．【答案】223【分析】过B 作BE AB ⊥交AD 的延长线于E ，先证ABE 是等腰直角三角形，推出1BE AB ==，AE ==，再证ACD EBD ∽，推出AC ADBE DE=，代入数值即可求解．【详解】解：过B 作BE AB ⊥交AD 的延长线于E ，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，∴45BAE ∠=︒，∴ABE 是等腰直角三角形，∴1BE AB ==，∴AE ==， 90BAC ∠=︒，BE AB ⊥，∴AC BE ∥，∴BED CAD ∠=∠，又 BDE CDA ∠=∠，∴ACD EBD ∽，∴AC AD BE DE=，∴21=，∴3AD =，故答案为：3．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是正确添加辅助线，构造相似三角形．16.如图，点E 、F 分别在边长为1的正方形ABCD 的边AB 、AD 上，2BE AE =、2AF FD =，正方形A B C D ''''的四边分别经过正方形ABCD 的四个顶点，已知A D EF ''∥，那么正方形A B C D ''''的边长是_____．【答案】355【分析】根据边长为1的正方形ABCD 中，2BE AE =、2AF FD =，得到23BE AF ==，13AE DF ==，根据勾股定理得到3EF ==，根据A D EF ''∥，得到A AB AEF '∠=，结合90A EAF ∠=∠='︒，推出A AB AEF '∽，得到AA AB AE EF '=，求出55A A '=，同理求出：255AD '=，推出355A D ''=．【详解】解：∵2BE AE =、2AF FD =，1AB AD ==，∴23BE =，13AE =，23AF =，13=DF ，∴EF==3，∵A D EF ''∥，∴A AB AEF ∠=∠'，又∵90A EAF ∠=∠='︒，∴A AB AEF '∽，∴'A A AB AE EF=，∴A A '=1331⨯=同理可求：255AD '=，∴A D ''=355，∴正方形A B C D ''''的边长为355．故答案为：355．【点睛】本题主要考查了正方形，相似三角形，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握正方形性质，相似三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形．17.在ABC 中，2A B ∠=∠，如果4AC =，5AB =，那么BC 的长是_____．【答案】6【分析】过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，在AB 上取点D ，连接CD ，使4CD AC ==，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得出AH 的值，最后根据勾股定理即可求解．【详解】过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，在AB 上取点D ，连接CD ，使4CD AC ==，∵4CD AC ==，∴2A CDA B ∠=∠=∠，∴B BCD ∠=∠，∴4BD CD ==，∴541AD AB AD =-=-=，∴10.52DH AH AD ===，∴2223154CH AC AH =-=，∵222BC BH CH =+，∴2234.5154BC =+，即6BC =，故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质和勾股定理，画出图形，合理构建辅助线是解题的关键．18.如图，正方形ABCD 的边长为5，点E 是边CD 上的一点，将正方形ABCD 沿直线AE 翻折后，点D 的对应点是点D ¢，联结CD '交正方形ABCD 的边AD 于点F ，如果AF CE =，那么AF 的长是______________．【答案】5-##5-+【分析】连接DD '，由折叠的性质及直角三角形的性质可得D DE DAE '∠=∠，再可证明ADE CDF V V ≌，则可得点D ¢是CF 的中点，设DF x =，则可得DD '，再可证明D DE DCD ''∽，由相似三角形的性质建立关于x 的方程，解方程即可求得x ，从而求得结果．【详解】解：连接DD '，如图，四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴=，90ADC ∠=︒，90AED DAE ∴∠+∠=︒，由折叠的性质得：DE D E '=，AE DD '⊥，90D DE AED '∴∠+∠=︒，D DE DAE '∴∠=∠，AF CE = ，AD AF CD CE ∴-=-，即DF DE =，90ADE CDF ∠=∠=︒ ，AD CD =，(SAS)ADE CDF ∴△≌△，DCF DAE ∴∠=∠，D DE DCF '∴∠=∠，CD DD ''∴=，90DCF CFD ∠+∠=︒ ，90D DE D DF ''∠+∠=︒，CFD D DF '∴∠=∠，D D D F CD '''∴==，即点D ¢是CF 的中点，设DF x =，则12DD CF '=，222225CF CD DF x =+=+ ，221(25)4DD x '∴=+，DE D E '= ，CD DD ''=，D DE DCF DD E ''∴∠=∠=∠，D DE DCD ''∴∽，DD DE CD CD '∴='，CD DD ''= ，2DD CD DE '∴=⋅，即21(25)54x x +=解得：110x =-210x =+（舍去），5(105AF AD DF ∴=-=--=故答案为：5-．【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，直角三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质建立一元二次方程是本题的关键与难点．三、解答题：（本大题共7题）19.计算：cot 454sin 452tan 30cos30cos 60︒︒-︒︒+︒【答案】【详解】试题分析：将特殊三角函数的值代入，利用实数的混合运算计算即可.解：原式=4×22-2×33×32+112-1+21.20.如图，在ABC 中，BE 平分ABC ∠，DE BC ∥，3AD =，2DE =．（1）求:AE AC 的值；（2）设AB a = ，BC b = 求向量BE （用向量a b 、表示）．【答案】（1）35AE AC =（2）3255BE b a =- 【分析】（1）先证明DEB EBC ∠=∠，ADE ABC △△∽，结合角平分线的定义可得DBE CBE ∠=∠，证明2DB DE ==，结合相似三角形的性质可得答案；（2）先求解AC AB BC a b =+=+ ，结合（1）可得25CE AC =，可得222555EC AC a b ==+ ，再利用BE BC EC =- ，从而可得答案．【小问1详解】解：∵BE 平分ABC ∠，∴DBE CBE ∠=∠，∵DE BC ∥，∴DEB EBC ∠=∠，ADE ABC △△∽，∴DBE DEB ∠=∠，而2DE =，∴2DB DE ==，而3AD =，∴5AB AD BD =+=，∵ADE ABC △△∽，∴35AE AD AC AB ==．【小问2详解】∵AB a = ，BC b =，∴AC AB BC a b =+=+ ，∵35AE AC =，∴25CE AC =，∴222555EC AC a b ==+ ，∴22325555BE BC EC b a b b a =-=--=- ．【点睛】本题考查了平面向量、相似三角形的判定与性质，注意熟练掌握相似三角形判定的方法，难度一般．21.如图，在Rt EAC 中，90EAC ∠︒＝，45E ∠︒＝，点B 在边EC 上，BD AC ⊥，垂足为D ，点F 在BD 延长线上，5FAC EAB BF ∠∠＝，＝，tan AFB ∠＝34．求：（1）AD 的长；（2）cot DCF ∠的值．【答案】（1）125（2）916【分析】（1）由各角之间的关系得出90BAF ∠=︒，再由正切函数及勾股定理求解得出34AB AF ==，，最后利用三角形等面积法求解即可；（2）由等面积法得出95BD =，结合图形得出95DC BD ==，再由余切函数的定义求解即可．【小问1详解】解：∵90EAC ∠=︒，∴90EAB BAC ∠∠+=︒，∵FAC EAB ∠∠=，∴90FAC BAC ∠∠+=︒，∴90BAF ∠=︒，∵3tan 4AB AFB AF ∠==，令3AB x =，则4AF x =，∵222BF AB AF =+，∴()()22234BF x x =+，∴55BF x ==，∴1x =，∴3344AB x AF x ====，，∵··2ABF BF AD AB AF S=＝，∴53412AD =⨯=，∴125AD =；【小问2详解】在Rt ABF 中，AD BF ⊥，∴2·AB BD BF =，∴95BD =，∴95BD =，∴165DF BF BD =-=，∵9045EAC E ∠∠=︒=︒，，∴45BCD ∠=︒，∴45DBC ∠=︒，∴95DC BD ==，∴9cot 16DC DCF DF ∠==．【点睛】本题主要考查三角函数解三角形及勾股定理解三角形，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．22.某地一段长为50米的混泥土堤坝，堤坝的横断面ABCD 是等腰梯形（如图所示），坝顶AD 宽为8米，坝高为4米，斜坡AB 的坡度为1:1.5．（1）求横断面ABCD 的面积；（2）为了提高堤坝的防洪能力，现需将原堤坝按原堤坝要求和坡度加高1米，求加高堤坝需要多少立方米的混泥土？（堤坝的体积=横断面的面积×堤坝的长度）【答案】（1）横断面ABCD 的面积为256m ．（2）加高堤坝需要的混泥土为：3325m ．【分析】（1）如图，过A 作AE BC ⊥于E ，过D 作DF BC ⊥于F ，再证明8AD EF ==，6BE CF ==，再利用梯形面积公式进行计算即可；（2）先画出图形，如图，过G 作GK AD ⊥于K ，过H 作HL AD ⊥于L ，结合题意可得：1KG HL ==，斜坡AG 的坡度是1:1.5，四边形GADH ，四边形GBCH 都是等腰梯形，同理可得：AK DL =，GH KL =，再求解1.5AK DL ==，5KL GH ==，可得四边形GADH 的面积为：213m 2，从而可得答案．【小问1详解】解：如图，过A 作AE BC ⊥于E ，过D 作DF BC ⊥于F ，由等腰梯形是轴对称图形可得：4AE DF==，BE CF =，四边形AEFD 是矩形，∴8AD EF ==，∵斜坡AB 的坡度为1:1.5，∴11.5AE BE =，∴4 1.56BE CF =⨯==，∴20BC BE EF CF =++=，∴横断面ABCD 的面积为()()21820456m 2+⨯=．【小问2详解】如图，过G 作GK AD ⊥于K ，过H 作HL AD ⊥于L ，结合题意可得：1KG HL ==，斜坡AG 的坡度是1:1.5，四边形GADH ，四边形GBCH 都是等腰梯形，同理可得：AK DL =，GH KL =，由斜坡AG 的坡度是1:1.5，∴11.5GK AK =，∴ 1.5AK DL ==，∴8 1.5 1.55KL AD AK DL GH =--=--==，∴四边形GADH 的面积为：()()21135+81m 22⨯=，∴加高堤坝需要的混泥土为：()31350325m 2⨯=．【点睛】本题考查的是等腰梯形的性质，坡度的应用，堤坝体积的计算，理解题意，作出符合题意的图形，利用数形结合的方法解题是关键．23.如图，在ABC 中，点D 、F 分别是边BC 、AB 上的点，AD 和CF 交于点E ．（1）如果BF AB BD BC =，求证：EF CE DE AE =；（2）如果2AE BF AF DE =，求证：AD 是ABC 的中线．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）先将等式化为比例式，可得到BF BC BD AB=，再根据角相等，证得ABD CBF ∽△△、∽AEF CED △△，从而能证得EF CE DE AE =；（2）过D 作DG AB ∥交CF 于G ，则DEG FEA △∽△，再根据比例式的代换得到12CD BC =，从而得出结论．【小问1详解】证明：∵BF AB BD BC =，∴BF BC BD AB=，∵B B ∠=∠，∴ABD CBF ∽△△，∴BAD BCF ∠=∠，又∵AEF CED ∠=∠，∴∽AEF CED △△，∴EF AE ED CE=,∴EF CE DE AE =；【小问2详解】过D 作DG AB ∥交CF 于G ，则DEG AEF ∽，∴AE AF ED DG=，∵2AE BF AF DE =，∴2AE AF ED BF =，∴2AF AF DG BF=，即122DG AF FB AF ==，∵CD DG BC FB=，∴12CD BC =，∴D 为BC 的中点，AD 是ABC 的中线．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握其判定定理及性质是解题的关键．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++与x 轴的正、负半轴分别交于点B 、A ，与y 轴交于点C ，已知5AB =，tan 3CAB ∠=，:3:4OC OB =．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴分别与x 轴、BC 交于点E 、F ，求EF 的长；（3）在（2）的条件下，联结CE ，如果点P 在该抛物线的对称轴上，当CEP △和CEB 相似时，求点P 的坐标【答案】（1）239344y x x =-++（2）158EF =（3）P 的坐标为：3,52⎛⎫⎪⎝⎭或39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）先利用抛物线的解析式求解C 的坐标，再求解B 的坐标，A 的坐标，设设抛物线为()()14y a x x =+-，把()0,3C 代入即可；（2）先求解抛物线的对称轴为直线14322x -+==，再求解直线BC 为334y x =-+，可得F 的坐标，从而可得答案；（3）如图，过E 作EH BC ⊥于H ，证明32EO EH ==，可得OCE BCE ∠=∠，而OC EF ∥，可得OCE CEF ∠=∠，则BCE CEF ∠=∠，当CEP △和CEB 相似时，显然CO 与对称轴没有交点，P 不在E 的下方，只能在E 的上方，且CEP ∠与BCE ∠是对应角，再分两种情况分别求解即可．【小问1详解】解：∵抛物线23y ax bx =++，当0x =，则3y =，即()0,3C ，∵:3:4OC OB =，∴4OB =，即()4,0B ，∵5AB =，∴1OA =，即()1,0A -，设抛物线为()()14y a x x =+-，把()0,3C 代入得：43a -=，解得：34a =-，∴抛物线的解析式为：()()2339143444y x x x x =-+-=-++．【小问2详解】∵()1,0A -，()4,0B ，∴抛物线的对称轴为直线14322x -+==，∵()4,0B ，()0,3C ，设直线BC 为3y kx =+，∴430k +=，解得：34k =-，∴直线BC 为334y x =-+，当32x =时，33153428y =-⨯+=，即315,28F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴158EF =．【小问3详解】如图，过E 作EH BC ⊥于H ，∵()4,0B ，()0,3C ，3,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴5BC ==，2CE ==，35422BE =-=，3sin 5ABC ∠=，∴35EH BE =，则32EH =，∴32EO EH ==，而90COE CHE ∠=∠=︒，∴OCE BCE ∠=∠，而OC EF ∥，∴OCE CEF ∠=∠，∴BCE CEF ∠=∠，当CEP △和CEB 相似时，显然CO 与对称轴没有交点，∴P 不在E 的下方，只能在E 的上方，且CEP ∠与BCE ∠是对应角，当CEB ECP ∽时，∴1BC CE EP CE==，∴5EP BC ==，∴3,52P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当CEB EPC ∽，∴CE BC EP CE=，∴2352PE =，解得：94PE =，∴39,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．综上：P 的坐标为：3,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的证明CEP ∠与BCE ∠是对应角是解（3）的关键．25.如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，10AC =，3tan 4C =，点D 是斜边AC 上的动点，连接BD ，EF 垂直平分BD 交射线BA 于点F ，交边BC 于点E．（1）如图，当点D 是斜边AC 上的中点时，求EF 的长；（2）连接DE ，如果DEC 和ABC 相似，求CE 的长；（3）当点F 在边BA 的延长线上，且2AF =时，求AD 的长．【答案】（1）12524EF =（2）327CE =或5CE =（3）16665AD =【分析】（1）如图，记BD ，EF 的交点为K ，证明52BK DK ==，BFK DBC C ∠=∠=∠，再利用锐角三角函数分别求解EK ，FK 即可；（2）先求解AB ，BC ，由DEC 和ABC 相似，分两种情况讨论即可；（3）如图，连接DF ，过F 作FT AD ⊥交DA 的延长线于T ，由4tan tan 3CB FAT CAB AB ∠=∠==，可得43FT AT =，求解85FT =，65AT =，结合垂直平分线的性质可得：8FD FB AF AB ==+=，由勾股定理可得TD ==，从而可得答案．【小问1详解】解：如图，记BD ，EF 的交点为K ，∵10AC =，点D 是斜边AC 上的中点，90ABC ∠=︒，∴152BD CD AC ===，∴∠=∠DBC C ，∵EF 垂直平分BD ∴52BK DK ==，90BKF BKE ABC ∠=∠=︒=∠，∴90BFK BEK BEK EBK ∠+∠=︒=∠+∠，∴BFK DBC C ∠=∠=∠，∵3tan 4C =，∴3tan 4EK EBK BK ∠==，3tan 4BK BFK FK ∠==，∴3515428EK =⨯=，5410233FK =⨯=，∴151********EF EK FK =+=+=．【小问2详解】∵90ABC ∠=︒，10AC =，3tan 4C =，∴3tan 4AB C BC==，设3AB m =，则4BC m =，∴510AC m ==，解得：2m =，∴6AB =，8BC =，∵DEC 和ABC 相似，如图，当DEC ABC △∽△时，∴DE CE AB CB=，由垂直平分线的性质可得：8BE DE CE ==-，∴868CE CE -=，解得：327CE =，如图，当DEC BAC ∽△△时，∴DE CE AB AC=，∴8610CE CE -=，解得：5CE =．【小问3详解】如图，连接DF ，过F 作FT AD ⊥交DA 的延长线于T ，∵4tan tan 3CB FAT CAB AB ∠=∠==，∴43FT AT =，而2AF =，同理可得：85FT =，65AT =，由垂直平分线的性质可得：8FD FB AF AB ==+=，∴TD ==∴6166655AD DT AT -=-==．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论，作出适当的辅助线构建相似三角形与直角三角形都是解本题的关键．。

上海市浦东新区华东师范大学第二附属中学2024-2025学年九年级上学期中考一模数学试题(含答案)

2024~2025学年上海市华东师范大学第二附属中学中考一模模拟卷数学试卷（考试时间100分钟满分150分）考生注意：1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊。

与考试无关的所有物品放置在考场外。

3.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分。

一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）1.航天科技集团所研制的天问一号探测器由长征五号运载火箭发射，并成功着陆于火星，距离地球约192000000千米．其中192000000用科学记数法表示为（）A．1.92×108B．0.192×109C．1.92×109D．1,92×1072.中华文化博大精深，以下是古汉字“雷”的四种写法，可以看作轴对称图形的是（）A．B．C．D．3.生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y（单位：IU）与温度x（单位：℃）的关系可以近似用二次函数y=―12x2+14x+142来表示，则当温度最适宜时，该种酶的活性值为（）A．14B．240C．3.5D．444.已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2-b2+ac-bc=0，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形5.若AB =―4CD，且|AD|=|BC|，则顺次链接四边形ABCD中点得到的四边形一定是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形6.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（）A．甲和乙B．乙和丁C．甲和丙D．甲和丁二.填空题（共12题，每题4分，满分48分）12.如图，AB与CD交于点O，且AC∥__________．13.从“等腰直角三角形”，“等腰梯形”，“平行四边形”，“菱形”中随机抽取一个，是中心对称图形的概率为_________14.等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 分别是AD,BC 的中点，DC=2,AB=4，设AB =a ，则EF 用向量a 表示可得EF =________15.小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，-4，-2，2，4这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________．（写出一个符合题意的数即可）（14题图）（15题图）（12题图）（11题图）16.如图，在△ABC 中，AB=4,AC=6,E 为BC 中点，AD 为△ABC 的角平分线，△ABC 的面积记为S 1，△ADE 的面积记为S 2，则S 2：S 1=_____．17.在平面直角坐标系中，过点A （m,0）,且垂直于x 轴的直线l 与反比例函数y=B ，将直线l 绕（16题图）三.解答题（满分78分）19.计算： 3tan30°-tan60°+13―2―（2024）020.在菱形ABCD 中，E ，F 为线段BC 上的点，且CD=2BE=4BF ，连接AE ，DF 交于点G ．（1）如图（1）所示，若∠BAE=∠ADF ，求：∠B 的余弦值的值；（2）连接CG ，在图（2）上求作CG 在AB 与AG 方向上的分向量（保留作图痕迹即可）21.如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有23.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，联结AE，CF．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形：（2）FG·BE=CE·AE25.新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形新定义2：将顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形①在一张矩形纸片的一端，利用图个正方形，然后把纸片展平②如图把纸片展平③折出内侧矩形的对角线中所示的④展平纸片，按照所得到的点（1）根据以上折纸法，求证：矩形BCDE 为黄金矩形（2）如图5，已知∠A=36°，△ABC 为黄金三角形，BC=1，求：AB 的长（3）在（2）的条件下，截取BD=BC 交AC 于D ，截取CE=CD 交线段BD 于E ，过E 作任意直线与边AB,BC 交于P,Q 两点，试判断：1BP +1BQ 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由（图5）参考答案及部分评分标准选择题（1~6题）ADBCCD填空题（7~18题）7．（3x+1）（3x―1）8．x≥19．a＜410．111．2012131415．016．1:1017．-2＜m＜0或m＞218．103解答题（19~25题）19．原式=0（10分）20．（1）58（5分）（2）图对即给分（5分）21．（1）90°76°（4分）（2）2km（3分）（3）24km（3分）22．任务1：y=―13+703任务2：w=-2x2+72x+3360（x≥10）（6分）任务3：雅19 风17 正34 最大利润（4分）23．（1）提示：△ADF≌△EDC（6分）（2）提示：△AFG∽△BEA（6分）24．（1）（0，0），y=ax2，（1，-1），-1,y=-x2（5分合理即可）（2）y=-（x-2）2（4分）（3）y=-（x-2-1）2+1或y=-（x+2-1）2+1（4分）25. （1）证明：CDBC =5―12即可（4分）（2）AB=5+1（5分）2（5分）（3）是定值，3+52。

2024届上海市浦东新区初三一模数学试题及答案

上海市浦东新区2024届初三一模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列函数中，是二次函数的是（）.A 21y x ；.B 21y x ；.C 221y x x ；.D 21y x．2.已知在Rt ABC 中，90C ，3AC ，4BC ，那么下列等式正确的是（）.A 3sin 3333.已知a .A a4..A 1:45..A .C 6..A .B .C .D 7.如果34x y ，那么x y y．8.计算：43a a b．9.已知线段2MN cm ，P 是线段MN 的黄金分割点，MP NP ，那么线段MP 的长度等于cm ．10.如果点G 是ABC 的重心，且6AG ，那么边BC 上的中线长为．11.已知在Rt ABC 中，90C ，6BC ，3sin 4A，那么AB 的长为．12.如图，ABC 是边长为3的等边三角形，D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，60ADE ，如果1BD ，那么CE．13.小明沿着坡度1:2.4i 的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了米．14.在一个边长为3的正方形中挖去一个边长为x （03x ）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是．15.已知点 2,A m ， 3,B n 都在二次函数 21y x 的图像上，那么m 、n的大小关系是：mn ．（填“ ”“ ”或“ ”）16.如图，正方形CDEF 的边CD 在Rt ABC 的直角边BC 上，顶点E 、F 分别在边AB 、AC 上．已知两条直角边BC 、AC 的长分别为5和12，那么正方形CDEF 的边长为．17.平行于梯形两底的直线与梯形的两腰相交，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD 18.在菱形落在点19.计算：20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2AD ，4DB ，3AE ，6EC ．（1）求DEBC的值；（2）联结DC ，如果DE a ，DA b ，试用a 、b 表示向量CD．21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，2AD ，3AB ，4BC ．（1）求BOC 的面积；（2）求ACD 的正弦值．第20题图第21题图221第22题图322.（本题满分10分）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B 组第2题及参考答案．的代数式表示，以下同），2BD t ；某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：如图1然后延长（1）（2）（3）如图2然后延长【拓展应用】如图3，在Rt ABC 中，90C ，18AC ，25BC ，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且5DC ，12EC ，联结AE 、BD 交于点P ．求证：tan 1BPE ．第23题图第24题图23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 相交于点E ，且DEC DCB ．（1）求证：AD ACCE CB；（2）点F 在DB 的延长线上，联结AF ，2AF AE AC ．求证：EC AF BC AE ．24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）题4分，第（3）题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:M y x bx c 过点 2,2A 、点 0,2B ，顶点为点C ，抛物线M 的对称轴交x 轴于点D ．（1）求抛物线M 的表达式和点C 的坐标；（2）点P 在x 轴上，当AOP 与ACD 相似时，求点P 坐标；（3）将抛物线M 向下平移t （0t ）个单位，得到抛物线N ，抛物线N 的顶点为点E ，再把点C 绕点E 顺时针旋转135 得到点F ．当点F 在抛物线N 上时，求t 的值．第25题图备用图备用图25.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（2）小题4分）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E 是射线BC 上一点（点E 不与点B 、C 重合），过点A 作AF AE ，交边CD 的延长线于点F ，直线EF 分别交射线AC 、射线AD 于点M 、N ．（1）当点E 在边BC 上时，如果15ND AN ，求BAE 的余切值；（2）当点E 在边BC 延长线上时，设线段BE x ，y EN MF ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当3CE 时，求EMC 的面积．浦东新区2023学年度第一学期期末练习卷初三数学参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B ；2．D ；3．D ；4．A ；5．C ；6．B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．74；8．3a b ；91 ；10．9；11．8；12．23；13．50；14．29y x ；15．<；16．6017；17．23；18．34．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）1922+121222……………………（5分）（每个三角比的值各1分）112…………………………………（3分）（后3个数据，各1分）=12．………………………………………（2分）（每个数据，各1分）20．解：（1）∵AD =2，DB =4，AE =3，EC =6，∴12 AD DB ，12 AE EC ．∴ AD AEDB EC．……………………………………（1分）∴DE//BC ．……………………………………………………………………（1分）∴ DE ADBC AB ．………………………………………………………………（1分）∵12 AD DB ，∴13 AD AB ．……………………………………………………（1分）∴13DE BC ．…………………………………………………………………（1分）（2）∵13 DE BC ，∴BC =3DE ．∵ BC 和 DE 方向相同，∴3 BC DE ．（1分）∵ DE a ，∴3BC a ．…………………………………………………（1分）∵12 AD DB ，∴DB =2AD ．∵ BD 和 DA 方向相同，∴2 BD DA ．……（1分）∵ DA b ，∴2BD b ．…………………………………………………（1分）∵ CD BD BC ，∴23CD b a ．………………………………………（1分）21．解：（1）∵AD//BC ，∴AD AOBC OC．…………………………………………（1分）∵AD =2，BC =4，∴1=2AO OC ．∴23OC AC ．………………………………（1分）∵△BOC 和△ABC 同高，∴2=3BOC ABC S OC S AC ．……………………………（1分）在Rt △ABC 中,∠ABC=90°，AB=3，BC =4，∴1=34=62ABC S ．…（1分）∴=4 OBC S ．……………………………………………………………………（1分）（2）过点D 作DM ⊥BC ，垂足为点M ，过点D 作DH ⊥AC ，垂足为点H ．在Rt △ABC 中,∠ABC=90°，AB=3，BC =4，∴AC =5．∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，DM ⊥BC ，∴AB =DM ．∴△ADC 和△ABC 等高．∴1==2ADC ABC S AD S BC ．∴=3 ACD S ．……………（1分）∴1=32 AC DH ．∴6=5DH ．………………………………………………（1分）∵DM ⊥BC ，∴∠DMC=90°．∵∠ABC =90°，∴∠ABC=∠DMC ．∴AB ∥DM ．∵AD ∥BC ，∴四边形ABMD 是平行四边形．∴BM=AD=2，DM=AB=3．∵BC =4，∴MC=2．…………………………（1分）在Rt △DMC 中,∠DMC=90°，DM=3，MC =2，∴ DC ．………（1分）在Rt △DHC 中,∵∠DHC=90°，6=5DH， DC，∴sin 65DH ACD CD ．…（1分）22．解：【问题探究】∠D=22.5°，BD，tan 22.51 ．……………（各1分）【知识迁移】∵BD=AB ，∴∠D =∠BAD ．∵∠ABC =∠D+∠BAD ，∴1=2D ABC ．………………………………（1分）在Rt △ABC 中,2tan 3ABC ，设AC=2k ，BC=3k，则 AB BD ．（1分）∴13tan tan 22AC ABC D DC ．……………………（1分）【拓展应用】联结DE ．………………………………………………………（1分）在Rt △EDC 中,∠ECD=90°，CD=5，CE =12，∴DE =13．∵CE =12，BC=25，∴BE =13．∴BE =DE ．∴∠EBD =∠EDB ．∵∠DEC =∠EBD+∠EDB ，∴1=2 DBE DEC ．∵CD =5，AC=18，∴AD =13．∴AD =DE ．∴∠DAE =∠DEA ．∵∠EDC =∠DAE+∠DEA ，∴1=2DAE EDC ．…………………………（1分）在Rt △EDC 中,∠ECD=90°，∴∠DEC +∠EDC=90°．∴∠DBE +∠DAE=45°．……………………………………………………（1分）在Rt △ABC 中,∠ACB=90°，∴∠ABC +∠BAC=90°．∴∠ABP +∠BAP=45°．∴∠BPE =∠ABP +∠BAP=45°．………………（1分）∴tan 1BPE ．23．证明：（1）∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠DCB=180°．……………………………（1分）又∵∠CEB +∠DEC=180°，∠DEC =∠DCB ，∴∠ADC =∠CEB ．……（1分）∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ECB ．……………………………………………（1分）∴△ADC ∽△CEB ．…………………………………………………………（2分）∴ AD AC CE CB．……………………………………………………………（1分）（2）∵∠AED =∠CEB ，∠ADC =∠CEB ，∴∠AED =∠ADC ．…………（1分）∵∠EAD =∠DAC ，∴△AED ∽△ADC ．……………………………………（1分）∴ AE AD AD AC．即2 AD AE AC ．…………………………………………（1分）∵2 AF AE AC ，∴22 AD AF ．∴AD =AF ．…………………………（1分）∵AD ∥BC ，∴AE ADEC BC．……………………………………………（1分）∴ AE AF EC BC．即 EC AF BC AE ．………………………………………………………（1分）24．解：（1）抛物线M ：2y x bx c 过点A （2，2）、点B （0，2），∴4222.，b c c ………………………………………………………（2分）∴2 b ，2 c ．∴抛物线M 的表达式是222 y x x ．………………………………（1分）∴点C 的坐标为（1，3）．…………………………………………………（1分）（2）由（1）得抛物线的对称轴是直线1 x ．……………………………（1分）过点A 作AH 垂直直线1 x ，垂足为点H ．∴点H 的坐标为（1，2）．过点A 作AG 垂直x 轴，垂足为点G ．∴点G 的坐标为（2，0）．在Rt △ACH 与Rt △AOG 中，根据题意可得tan 1 AH ACH CH ，tan 1 AGAOG OG．∴tan tan ACH AOP ，∴∠ACH =∠AOP ．……………………………（1分）∴当△AOP 与△ACD 相似时，有 CA CD OA OP 或CA CDOP OA．○1 CA CDOA OP 3 OP，OP =6．点P 的坐标是（6，0）．……………（1分）○2CA CDOP OA ， OP 43 OP ．点P 的坐标是（43，0）．………（1分）∴综上所述，点P 的坐标是（6，0）或（43，0）．（3）过点F 作FQ 垂直直线1 x ，垂足为点Q ．根据题意可得∠FEQ =45°，FE =CE =t ．……………………………………（1分）在Rt △EFQ 中,∵∠EQF=90°，∠FEQ =45°，FE =t ，∴EQ=FQ =2t ．∴点F 的坐标是（1+2t ，32t ）．………………………………（1分）∵当点F 在平移后的抛物线N ：21)3（y x t 上时，可得231)322（1+t t t ．……………………………（1分）解得10 t （舍），2 t 1分）25．解：（1）根据题意可得∠ABC =∠BAD=∠ADC=90°，AB =BC =CD =AD =6，AD ∥BC ．∴∠BAE +∠EAD=90°，∠ADF=∠ABC =90°．∵AF ⊥AE ，∴∠DAF +∠EAD=90°．∴∠BAE=∠DAF ．∴△BAE ≌△DAF ．∴DF =BE ．……………………………………………（1分）设BE=x ，则DF =BE =x ，EC =6－x ，FC =6＋x ．∵正方形ABCD 的边长为6，15ND AN ，∴ND=1，AN =5．………………（1分）∵AD ∥BC ，∴ ND FD EC FC ．即166xx x．……………………………（1分）整理得2560 x x ．解得12 x ，23 x ．……………………………（1分）当2 x 时，6cot 32 BE BAE AB ；当3 x 时，6cot 23BE BAE AB ．∴∠BAE 的余切值为2或3．………………………………………………（1分）（2）当点E 在边BC 延长线上时，根据条件可证△BAE ≌△DAF ．∴AE =AF ．∴∠AEF ＝∠AFE ．∵AF ⊥AE ，∴∠EAF=90°．∵∠EAF ＋∠AEF ＋∠AFE ＝180°，∴∠AEF ＝∠AFE=45°．∴∠ANE ＝∠AFE ＋∠FAD =45°＋∠FAD ．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAC=45°．∴∠MAF ＝∠DAC ＋∠FAD =45°＋∠FAD ．∴∠ANE ＝∠MAF ．∴△ANE ∽△MAF ．…………………………………………………………（2分）∴ EN AE FA MF．∴2== y EN MF AE FA AE ．…………………………（1分）在Rt △ABE 中,∠ABE=90°，AB =6，BE=x ，∴22=36 AE x ．即2=36 y x ．（x ＞6）…………………………………………………（2分）（3）有两种情况：点E 在边BC 上，点E 在边BC 延长线上．（i ）当点E 在边BC 上时．易证△EMC ∽△AMF ，△AMF ∽△AFC ．∴△EMC ∽△AFC ．∴2= （EMC AFC S EC S AC．…………………………………………………………（１分）∵EC =3，AC=1=96=272 AFC S ，∴27=8EMC S ．……………（1分）（ii ）当点E 在边BC 延长线上时．易证△EMC ∽△AMF ，△AMF ∽△AFC ．∴△EMC ∽△AFC ．∴2= （EMC AFC S EC S AC．…………………………………………………………（１分）∵EC =3，AC=1=156=452AFC S ，∴45=8EMC S ．……………（1分）综上所述，△EMC 的面积为278或458．。

2021-2022学年上海市浦东新区九年级上学期期末数学试卷(一模)(含答案解析)

2021-2022学年上海市浦东新区九年级上学期期末数学试卷(一模)一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 已知a b =c d ，则下列等式中不成立的是( ) A. a c =b dB. a−2b b =c−2d dC.b−a a =d−c c D. a+b b+c =c d 2. 如图，在△ABC 中，若∠C =Rt∠，则( )A. sinA =acB. sinA =b cC. cosB =b cD. cosB =b a3. 下列函数中，y 关于x 的二次函数的是( ) A. y =x 3+2x 2+3B. y =−1x 2C. y =x 2+xD. y =mx 2+x +1 4. 下列等式一定正确的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 5. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C 是弧BD 的中点．过点C 作AD 的垂线EF 交直线AD 于点E.若⊙O 的半径为2.5，AC 的长度为4，则CE 的长度为( )A. 3B. 203C. 125D. 1656.如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线(a<0)的图象上，则a的值为()A.B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果地图上A，B两处的图距是4cm，表示这两地实际的距离是20km，那么实际距离500km的两地在地图上的图距是______ cm．8.设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高x m，列方程，并化成一般形式是______．9.计算：√12+√13−sin60°=______ ．10.如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，现将两扇门推到如图2的位置(平面示意图)，其中tan∠DAB=512，tan∠CBA=34，测得C，D间的距离为4√130dm，则门槛AB的长为______dm．11.已知点A、B都在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，其横坐标分别是m、n(m<n).过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别是C、D；过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别是E、F，AC与BF交于点P.当点P在线段DE上，且m(n−2)=3时，m的值等于______．12.平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，对边AD和BC之间的距离是4cm，则对边AB和CD间的距离是______cm．13.若二次函数y=−(x+1)2+ℎ的图象与线段y=x+2(−3≤x≤1)没有交点，则ℎ的取值范围是______ ．14.y=x2+kx+1与y=x2−x−k的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k为______．15.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB=3，BC=5，则tan∠DAE的值为______．16.如图，已知梯形ABCD中，AB//CD，AB=12，CD=9，过对角线的交点O作底边平行线与两腰交于点E，F，则OE的长为______．17.如果A(−1,y1)，B(−2,y2)是二次函数y=x2+m图象上的两个点，那么y1______ y2(填“<”或者“>”)18.如图，一组等距的平行线，点A、B、C分别在直线l1、l6、l4上，AB交l3于点D，AC交l3于点E，BC交于l5点F，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.如图，已知两个不平行的向量a⃗、b⃗ ．(1)化简：2(3a⃗−b⃗ )−(a⃗+b⃗ )；a⃗ .(不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量)．(2)求作c⃗，使得c⃗=b⃗ −1220.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2−2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B．(1)直接写出点A的坐标为______ ，点B的坐标为______ ；(2)若函数y=x2−2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．21.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE//BC．(1)若AD=3，BD=6，AE=2.8，求EC的长；(2)若AB=12，BD=8，CE=7，求AE的长．22.如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC=20m，在点B，C处分别测得气球A的仰角∠ABD为30°，∠ACD为45°.求气球A离地面的高度AD(结果保留根号)．23.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．(1)求证：△BDE∽△EFC；(2)若BC=12，AFFC =12，求线段BE的长．24.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0,3)，且抛物线的顶点坐标为(1,4)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点D是第一象限抛物线上的一点，AD交y轴于点E，设点D的横坐标为m，设△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)；(3)在(2)的条件下，连接AC，是否存在这样的点D，使得∠DAB=2∠ACO，若存在，求点D的坐标及相应的S的值，若不存在，请说明理由．25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2.动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿A→C→B的方向向终点B运动(点P不与△ABC的顶点重合).点P关于点C的对称点为点D，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PD、PQ为边作▱PDEQ.设▱PDEQ与△ABC.重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t(s)(1)当点P在AC上运动时，用含t的代数式表示PD的长；(2)当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；(3)当▱PDEQ与△ABC重叠部分的图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式．参考答案及解析1.答案：D解析：解：A、∵ab =cd，∴ac =bd，成立；B、∵a−2bb =c−2dd，∴ad−2bd=cb−2bd，∴ab=bc，∴等式成立；C、∵b−aa =d−cc，cb−ca=ad−ac，∴bc=ad，∴等式成立；D、∵a+bb+c =cd，∴ad+bd=bc+c2，∴等式不成立；故选：D．直接利用比例的性质以及等式的性质将各选项化简进而得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．2.答案：A解析：解：在△ABC中，若∠C=Rt∠，sinA=ac ，cosB=ac，故选：A．根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．3.答案：C解析：本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可．解：A.是三次函数，故A 不符合题意；B .此函数关系的右边不是整式，故B 不符合题意；C .是二次函数，故C 符合题意；D .m =0时是一次函数，故D 不符合题意．故选C ．4.答案：D解析：解：A 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，故不符合题意． B 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，故不符合题意． C 、AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故不符合题意． D 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，故符合题意．故选：D ．根据相等向量、平行向量以及三角形法则解答．本题主要考查了平面向量的知识，解题时需要注意：平面向量既有大小，又有方向．5.答案：C解析：解：连接BC ，∵点C 是弧BD 的中点，∴∠EAC =∠CAB ，又∵AB 为直径，AE ⊥EF ，∴∠AEC =∠ACB =90°，∴△EAC∽△CAB ，∴AC AB =EC BC ，∴EC =AC⋅BC AB =4×√52−425=125．故选：C ．根据直径所对的角是90°和等弧对等角判定相似，然后根据相似三角形的性质结合勾股定理求出CE 的长度．本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质和圆心角、弧、弦的关系，关键是在圆中寻找相等的角判定相似．6.答案：C解析：解析：试题分析：连接0B，如图，OABC是边长为1的正方形，由勾股定理得OB=，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在y轴上的投影为=；OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在x轴上的投影为=，由图知，点B在第四象限，所以点B坐标为(，−)；点B在抛物线(a<0)的图象上，所以，解得a=，所以选C考点：正方形，抛物线，三角函数点评：本题考查正方形，抛物线，三角函数，解答本题需要考生熟悉正方形的性质，掌握抛物线的概念和性质，掌握三角函数的概念7.答案：100解析：先设实际距离500km的两地在地图上的图距是xcm，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于x的方程，解即可．本题考查了比例线段，解题的关键是根据比例尺不变得出等式．解：设实际距离500km的两地在地图上的图距是xcm，则4：2000000=x：50000000，解得x=100．故答案是100．8.答案：x2−6x+4=0解析：解：设雕像的上部高x m，则题意得：x 2−x =2−x2，整理得：x2−6x+4=0，故答案为：x2−6x+4=0设雕像的上部高x m ，则下部长为(2−x)m ，然后根据题意列出方程即可．本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．9.答案：76√3 解析：解：原式=2√3+√33−√32=76√3．故答案为：76√3．直接利用二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 10.答案：260解析：解：过D 作DF ⊥AB 于F ，过C 点作CG ⊥AB 于G ，过点D 作DE ⊥CG 于E ，则四边形DFGE 为矩形，∴DE =FG ，EG =DF ，∠DEC =90°，设AD =BC =x ，则AB =2x ，∵tan∠DAB =512，tan∠CBA =34， ∴sin∠A =513，sin∠B =35，∴DF =513x ，AF =1213x ，CG =35x ，BG =45x ，∴CE =CG −EG =CG −DF =35x −513x =1465x ， DE =FG =AB −AF −BG =2a −1213x −45x =1865x ，在Rt △CDE 中，DC =4√130dm ，DE 2+CE 2=DC 2，即(1865x)2+(1465x)2=(4√130)2，解得x =130，∴AB =2x =260dm ．过D 作DF ⊥AB 于F ，过C 点作CG ⊥AB 于G ，过点D 作DE ⊥CG 于E ，则四边形DFGE 为矩形，进而可得DE =FG ，EG =DF ，设AD =BC =x ，则AB =2x ，通过解直角三角形可求得CE =1465x ，DE =1865x ，利用勾股定理列式计算可求解x 值，进而求解AB 的值．本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角△CDE 是解题的关键．11.答案：1+√72 解析：本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y =kx (k ≠0)的图象是双曲线；当k >0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当k <0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．解：如图，A(m,6m )，B(n,6n )，则P(m,6n)， ∵点P 在线段DE 上，AD//CE ，∴△ADP∽△CEP ，∴ADCE =AP PC ，即mn−m =6m −6n 6n ，∴m 2=(n −m)2，而n >m >0， ∴m =n −m ，即n =2m ，把n =2m 代入m(n −2)=2得m(2m −2)=3，整理得2m 2−2m −3=0，解得m 1=1+√72，m 2=1−√72(舍去)，即m 的值为1+√72．故答案为1+√72．如图，A(m,6m )，B(n,6n)，则P(m,6n)，通过证明△ADP∽△CEP得到ADCE=APPC，即mn−m=6m−6n6n，从而得到n=2m，所以m(2m−2)=3，然后解关于m的方程即可．12.答案：8解析：解：设对边AB和CD间的距离是xcm，根据平行四边形的面积公式可得：6x=12×4，可得x=8．故答案为8．根据平行四边形的面积公式求解即可．“等面积法”是数学中的重要解题方法．在三角形和四边形中，以不同的边为底其高也不相同，但面积是定值，从而可以得到不同底的高的关系．13.答案：ℎ>7或ℎ<34解析：解：x=1时，y=x+2=3，将(1,3)代入y=−(x+1)2+ℎ并解得：ℎ=7，联立y=−(x+1)2+ℎ和y=x+2并整理得：x2+3x+(3−ℎ)=0，∵△=3−4(3−ℎ)<0，∴ℎ<34，故答案为ℎ>7或ℎ<34．将(1,3)代入y=−(x+1)2+ℎ并解得：ℎ=7，再根据△=3−4(3−ℎ)<0，即可求解．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．14.答案：2解析：解：根据题意可知，x2+kx+1=0，x2−x−k=0，即x2+kx+1=x2−x−k，(k+1)x=−(k+1)，解得x=−1，把x=−1代入x2+kx+1=0中，解得k=2．故答案为：2．根据题意可知交点在x轴上，即x2+kx+1=x2−x−k=0，解方程得x=−1，再把x=−1代入x2+kx+1=x2−x−k=0中即可得出答案．本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征，合理利用二次函数的性质进行计算是解决本题的关键．15.答案：13解析：解：由翻折变换可知，AD=AF=5，在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF=√AF2−AB2=√52−32=4，∴FC=BC−BF=5=4=1，设DE=x，则EF=x，EC=3−x，在Rt△EFC中，由勾股定理得，12+(3−x)2=x2，解得x=53，即DE=53，在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAD =535=13，故答案为：13．根据翻折变换和勾股定理可求出FC=1，再在Rt△EFC中，由勾股定理求出DE，最后根据锐角三角函数的定义求解即可．本题考查翻折变换，直角三角形的边角关系，理解翻折变换的性质和勾股定理是解决问题的关键．16.答案：367解析：解：∵AB//CD，AB=12，CD=9，∴DOOB =DCAB=34，∴DODB =COCA=37，∵EF//AB，∴EOAB =DODB=37，FOAB=COCA=37，∴EO=FO=37AB=37×12=367．由AB//CD，AB=12，CD=9，EF//AB，根据平行线分线段成比例即可求解；本题考查了梯形及平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.答案：<解析：解：∵二次函数y=x2+m中a=1>0，∴抛物线开口向上．∵x=−b2a=0，−1<−2，∴A(−1,y1)，B(−2,y2)在对称轴的左侧，且y随x的增大而减小，∴y1<y2.故答案为：<．根据函数解析式的特点，其对称轴为x=0，图象开口向上；利用对称轴左侧y随x的增大而减小，可判断y1<y2．本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．18.答案：154解析：解：连接DC，设平行线间的距离为ℎ，AD=2a，如图所示：∵S△DEF=12DE⋅2ℎ=DE⋅ℎ，S△ADE=12DE⋅2ℎ=DE⋅ℎ，∴S△DEF=S△DEA，又∵S△DEF=1，∴S△DEA=1，同理可得：S△DEC=12，又∵S △ADC =S △ADE +S △DEC ，∴S △ADC =32，又∵平行线是一组等距的，AD =2a ， ∴BD =3a ，又∵S △ADC =12AD ⋅k =ak ，S △BDC =12BD ⋅k =32ak ，∴S △BDC =32×32=94，又∵S △ABC =S △ADC +S △BDC ，∴S △ABC =94+32=154，故答案为154．在三角形中由同底等高，同底倍高求出S △ADC =32，根据三角形相似的判定与性质的运用，等距平行线间的对应线段相等求出S △BDC =94，最后由三角形的面积的和差法求得S △ABC =154．本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线间的距离相等，三角形的面积求法等知识，重点掌握三角形相似的判定与性质的运用，等距平行线间的对应线段相等，难点是作辅助线求三角形的面积．19.答案：解：(1)2(3a ⃗ −b ⃗ )−(a ⃗ +b ⃗ )=6a ⃗ −2b ⃗ −a ⃗ −b ⃗ =5a ⃗ −3b ⃗ ；(2)如图，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ =b ⃗ −12a ⃗ ． ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求．解析：(1)直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得，注意去括号时的符号变化；(2)利用三角形法则求解即可求得答案．此题考查了平面向量的运算与作法．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．20.答案：(0,1) (4,2)解析：解：(1)当x =0时，y =1，因此点A 的坐标为(0,1)，将点A 向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B ，因此点B 坐标为(4,2)，故答案为：(0,1)，(4,2)；(2)抛物线y =x 2−2mx +1的对称轴为x =−b 2a =−−2m 2=m ，抛物线恒过点A(0,1)，当函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 恰有一个公共点，就是抛物线与线段AB 除点A 以外没有其它的公共点，设线段AB 的关系式为y =kx +b ，把A(0,1)B(4,2)代入得，{b =14k +b =1，解得{k =14b =1， ∴线段AB 的关系式为y =14x +1(0≤x ≤4)，当函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 有两个公共点时，即方程x 2−2mx +1=14x +1有两个不相等的实数根，解得x 1=0，x 2=2m +14，∵函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 的交点在0到4之间，∴0<2m +14≤4，解得−18<m ≤158，即当−18<m ≤158，函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 有两个公共点， ∴当m ≤−18或m >158时，函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 恰有一个公共点时，综上所述，当m ≤−180或m >158时，函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 恰有一个公共点． (1)根据关系式可求出抛物线与y 轴的交点坐标，即点A 的坐标，再根据平移可得点B 坐标；(2)求出线段AB的关系式，而抛物线过点A，因此当函数y=x2−2mx+1的图象与线段AB有两个公共点时，就是抛物线与线段AB的关系式组成的方程组有两个不相等的实数根，进而求得m的取值范围，再得出函数y=x2−2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点时m的取值范围即可．本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．21.答案：解：(1)∵DE//BC，∴ADBD =AEEC，∵AD=3，BD=6，AE=2.8，∴36=2.8EC，解得：EC=5.6；(2)∵DE//BC，∴ABBD =ACEC，∵AB=12，BD=8，CE=7，∴128=AC7，解得：AC=212，∴AE=AC−EC=212−7=72．解析：(1)根据平行线分线段成比例定理得到ADBD =AEEC，代入计算即可；(2)根据平行线分线段成比例定理求出AC，结合图形计算，得到答案．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．22.答案：解：设AD=x，∵AD⊥CD，∠ACD=45°，∴CD=AD=x，∵AD⊥BD，∠ABD=30°，∴BD=√3AD=√3x，∵BC=BD−CD=20，∴√3x−x=20，解得：x=10√3+10；答：气球A离地面的高度AD为(10√3+10)m．解析：本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，属于基础题．设AD =x ，由题意得出CD =AD =x ，BD =√3AD =√3x ，由BC =BD −CD =20，得出方程√3x −x =20，解方程即可．23.答案：证明：(1)∵DE//AC ，∴∠DEB =∠FCE ，∵EF//AB ，∴∠DBE =∠FEC ，∴△BDE∽△EFC ；(2)∵EF//AB ，∴BE EC =AF FC =12， ∵EC =BC −BE =12−BE ，∴BE 12−BE =12，解得：BE =4．解析：(1)由平行线的性质可得∠DEB =∠FCE ，∠DBE =∠FEC ，可得结论；(2)由平行线分线段成比例可得BE EC =AF FC =12，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定是本题的关键． 24.答案：解：(1)设抛物线的表达式为：y =a(x −ℎ)2+k =a(x −1)2+4，将点C 的坐标代入上式并解得：a =−1，故抛物线的表达式为：y =−(x −1)2+4=−x 2+2x +3①；(2)点D 的横坐标为m ，则点D 的坐标为(m,−m 2+2m +3)，设直线AD 的表达式为：y =kx +t ，则{−m 2+2m +3=km +t 0=−k +t，解得{k =3−m t =3−m ，故直线AD 的表达式为：y =−(m −3)x +3−m ，故点E(0,3−m)，则CE =3−(3−m)=m ，则S =S △CED +S △CEA =12CE ×(x D −x A )=12m(m +1)=12m 2+12m ；(3)存在，理由：在OB 上截取OM =OA =1，故点M(1,0)，则∠MCO =∠ACO ，∵∠DAB =2∠ACO ，∴∠ACM =∠DAB ，在△ACM 中，设CM 边上的高为ℎ，AC =MC =√32+12=√10，则S △AMC =12AM ×CO =12×CM ×ℎ，即2×3=√10ℎ，解得：ℎ=√10，在△ACM 中，sin∠ACM =ℎAC =6√10√10=35=sin∠DAB ，则tan∠DAB =34，在Rt △AOE 中，OA =1，tan∠DAB =34，则OE =34，故点E(0,34)，由点A 、E 的坐标得，直线AE 的表达式为：y =34x +34②，联立①②并解得：x =94或−1(舍去−1)，故x =94=m ，故点D(94,3916) 由(2)知，S =12m 2+12m =11732， ∴点D 的坐标为(94,3916)，相应的S 的值为11732．解析：(1)设抛物线的表达式为：y =a(x −ℎ)2+k =a(x −1)2+4，将C 的坐标代入上式，即可求解；(2)S =S △CED +S △CEA =12CE ×(x D −x A )=12m(m +1)=12m 2+12m ；(3)求出sin∠ACM =ℎAC =sin∠DAB ，则tan∠DAB =34，得到直线AE 的表达式，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，综合性强，难度适中．25.答案：解：(1)由题意，得AP =2t ，CP =2−2t ， ∴PD =2CP =4−4t ；(2)①如图2−1，当点E 落在BC 边上时，过点Q 作QH ⊥AD 于H ，由题意知，△AQP 和△CED 为等腰直角三角形， ∴CE =HQ =12AP ，CE =CD ， ∵HQ =12AP =t ，CD =PC =2−2t ，∴t =2−2t ，∴t =23；②如图2−2，当点E 落在AC 边上时，过点Q 作QG ⊥BC 于G ，由题意知，△BQP 和△CED 为等腰直角三角形， ∴CE =GQ =12BP ，CE =CD ，∵GQ =12BP =12(4−2t)=2−t ，CD =PC =2t −2， ∴2−t =2t −2，∴t =43，综上所述，点E 落在△ABC 的直角边上时，t 的值为23或43；(3)如图3−1，当0<t ≤23时，S =S 梯形PQMC=12t(2−2t +2−t)=−32t 2+2t ；如图3−2，当43≤t ≤2时，S =S 梯形PQNC=12(2−t)(2t −2+t)=−32t 2+4t −2，综上所述，S ={−32t 2+2t(0<t ≤23)−32t 2+4t −2(43≤t <2)．解析：(1)由题意，可先写出AP 的长，再写出CP 的长，由对称的性质即可写出PD 的长；(2)①如图2−1，当点E 落在BC 边上时，过点Q 作QH ⊥AD 于H ，证明CE =HQ =12AP =CD ，即可列出关于t 方程，求出t 的值；②如图2−2，当点E 落在AC 边上时，过点Q 作QG ⊥BC 于G ，证明CE =GQ =12BP =CD ，即可列出关于t 的方程，求出t 的值即可； (3)如图3−1，当0<t ≤23时，求出梯形PQMC 的面积即可；如图3−2，当43≤t ≤2时，求出梯形PQCN 的面积即可．本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，四边形的面积等，解题关键是能够根据题意画出图形，并注意分类讨论思想的运用．。

2020-2021学年上海市浦东新区九年级中考一模数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市浦东新区九年级一模数学试卷一、选择题（共6小题）.1．A、B两地的实际距离AB＝250米，如果画在地图上的距离A′B′＝5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（）A．1：500B．1：5000C．500：1D．5000：12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的长等于（）A．B．2sinαC．D．2cosα3．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝（k﹣1）x2+3B．y＝+1C．y＝（x+1）（x﹣2）﹣x2D．y＝2x2﹣7x4．已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．||＝B．||＝C．＝D．＝5．如图，在△ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD＝∠B，DE∥BC，EF∥CD，下列结论不成立的是（）A．AE2＝AF•AD B．AC2＝AD•AB C．AF2＝AE•AC D．AD2＝AF•AB 6．已知点A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的点是（）A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C二、填空题（共12小题）.7．如果线段a、b满足＝，那么的值等于．8．已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是．9．计算：2sin30°﹣tan45°＝．10．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是度．11．已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD＝3，那么AF＝．12．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，那么向量关于、的分解式为．13．如果抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，那么该抛物线的开口方向．（填“向上”或“向下”）14．如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1y2．（填“＞”或“＜”）15．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE＝2DG，那么DG＝厘米．16．秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝．17．如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为．18．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．三、解答题（共7小题）.19．已知向量关系式（）＝，试用向量、表示向量．20．已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．21．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB ＝6，BC＝8．（1）求的值；（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．22．如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B＝54.5°，外口宽AD＝180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE＝26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据：sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5°≈1.40，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）23．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图象的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当△AMO与△ABP 相似时，求点M的坐标．25．四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC＝3CF．（1）如图1，当∠B＝90°时，求S△ABE与S△ECF的比值；（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求cos B的值；（3）如图3，联结AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．参考答案一、选择题（共6小题）.1．A、B两地的实际距离AB＝250米，如果画在地图上的距离A′B′＝5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（）A．1：500B．1：5000C．500：1D．5000：1解：取米作为共同的长度单位，那么AB＝250米，A'B'＝5厘米＝0.05米，所以＝＝，所以地图上的距离与实际距离的比为1：5000．故选：B．2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的长等于（）A．B．2sinαC．D．2cosα解：∵sin B＝sinα＝，AC＝2，∴AB＝＝，故选：A．3．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝（k﹣1）x2+3B．y＝+1C．y＝（x+1）（x﹣2）﹣x2D．y＝2x2﹣7x解：A、当k＝1时，不是二次函数，故此选项不合题意；B、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；C、化简后y＝﹣x﹣2，不是二次函数，故此选项不合题意；D、是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．4．已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．||＝B．||＝C．＝D．＝解：A、||＝计算正确，故本选项符合题意．B、||与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．C、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．D、与的模相等，方向不一定相同，故错误．故选：A．5．如图，在△ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD＝∠B，DE∥BC，EF∥CD，下列结论不成立的是（）A．AE2＝AF•AD B．AC2＝AD•AB C．AF2＝AE•AC D．AD2＝AF•AB 解：∵DE∥BC，EF∥CD，∴∠AEF＝∠ACD，∠ADE＝∠B，又∵∠ACD＝∠B，∴∠AEF＝∠ADE，∴△AEF∽△ADE，∴，∴AE2＝AF•AD，故选项A不合题意；∵∠ACD＝∠B，∠DAC＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AB•AD，故选项B不合题意；∵DE∥BC，EF∥CD，∴，，∴，∴AD2＝AB•AF，故选项D不合题意；由题意无法证明AF2＝AE•AC，故选项C符合题意，故选：C．6．已知点A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的点是（）A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C解：∵B、C两点的横坐标相同，∴抛物线y＝ax2+bx+1只能经过A，C两点或A、B两点，把A（1，2），C（2，1），代入y＝ax2+bx+1得．解得，；把A（1，2），B（2，3），代入y＝ax2+bx+1得．解得，（不合题意）；∴抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的A，C两点，故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．如果线段a、b满足＝，那么的值等于．解：∵＝，∴可设a＝5k，则b＝2k，∴＝＝．故答案为：．8．已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是2﹣2．解：∵线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，∴MP＝MN＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．9．计算：2sin30°﹣tan45°＝0．解：原式＝2×﹣1＝0．10．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是36度．解：如图所示：∵甲处看乙处为俯角36°，∴乙处看甲处为：仰角为36°，故答案为：36．11．已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD＝3，那么AF＝2．解：连接DE，∵AD、BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，DE∥AB，∴△AFB∽△DFE，∴＝＝2，∴AF＝2FD，∵AD＝3，∴AF＝2，故答案为：2．12．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，那么向量关于、的分解式为﹣．解：如图所示，＝，＝，则＝﹣＝﹣．故答案是：﹣．13．如果抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，那么该抛物线的开口方向向上．（填“向上”或“向下”）解：∵抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，∴m＝0，∴a＝4＞0，∴该抛物线的开口方向向上．故答案为：向上．14．如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1＜y2．（填“＞”或“＜”）解：∵y＝（x+1）2，∴a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，∵﹣1＜2＜3，∴y1＜y2．故答案为＜．15．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE＝2DG，那么DG＝15厘米．解：∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥BC，AH⊥BC，DG＝EF，∴AP⊥DG．设DG＝EF＝x，则GF＝DE＝2x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴＝，∵AH＝40厘米，BC＝60厘米，∴＝，解得x＝15．∴DG＝15厘米，故答案为：15．16．秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝．解：如图，作CH⊥AB，BG⊥DE于点H，G，∵DE∥AB，∴BG⊥AB，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝∠ABG＝∠BGD＝90°，∴四边形ADGB是矩形，∴BG＝AD＝0.4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝＝13，∵S△ABC＝BC•AC＝AB•CH，∴CH＝＝＝，∵DE∥AB，∴∠E＝∠ABC，∵∠FBE＝∠ACB＝90°，∴△FBE∽△ACB，∵CH⊥AB，BG⊥DE，∴＝，∴＝，∴BF＝．故答案为：．17．如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．解：设将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y ＝（x﹣1﹣m）2﹣1，将（3，3）代入，得（3﹣1﹣m）2﹣1＝3．整理，得4﹣m＝±2解得m1＝2，m2＝6．故新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．故答案是：y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．18．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为2．解：如图，∵点D是BC的中点，BC＝12，∴BD：CD＝2：1，∴BD＝8，CD＝4，过点M作MH∥AC交CD于H，∴△DHM∽△DAC，∴＝＝，∴点M是AD的中点，∴AD＝2DM，∵AC＝8，∴＝＝，∴MH＝4，DH＝2，过点M作MG∥AB交BD于G，同理得，BG＝DE＝4，∵AB＝10，BC＝12，AC＝8，∴△ABC的周长为10+12+8＝30，∵过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，∴CE+CF＝15，设BE＝x，则CE＝12﹣x，∴CF＝15﹣（12﹣x）＝3+x，EH＝CE﹣CH＝CE﹣（CD﹣DH）＝12﹣x﹣2＝10﹣x，∵MH∥AC，∴△EHM∽△ECF，∴，∴，∴x＝2或x＝9，当x＝9时，CF＝12＞AC，点F不在边AC上，此种情况不符合题意，即BD＝x＝2，故答案为：2．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．已知向量关系式（）＝，试用向量、表示向量．解：由（）＝，得＝2，所以7＝﹣2．所以＝（﹣2）．20．已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．解：∵y＝x2+2x+m﹣3＝（x+1）2+m﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣4），∵抛物线y＝x2+2x+m﹣3顶点在第二象限，∴m﹣4＞0，∴m＞4．故m的取值范围为m＞4．21．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB ＝6，BC＝8．（1）求的值；（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴＝＝＝；（2）过D点作DM∥AC交CF于M，交BE于N，如图，∵AD∥BN∥CM，AC∥DM，∴四边形ABND和四边形ACMD都是平行四边形，∴BN＝AD＝5，CM＝AD＝5，∴MF＝CF﹣CM＝19﹣5＝14，∵NF∥MF，∴＝＝，∴NE＝MF＝×14＝6，∴BE＝BN+NE＝5+6＝11．22．如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B＝54.5°，外口宽AD＝180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE＝26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据：sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5°≈1.40，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）解：如图，过点B作BG⊥DE于G，过点C作CH⊥AD于H．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝DC，∠BAD＝∠CDA，∴∠BAG＝∠CDH，∵∠BGA＝∠CHD＝90°，∴△BGA≌△CHD（AAS），∴AG＝DH，设AG＝DH＝x毫米，CH＝y毫米，则有，解得，∴BC＝GH＝AG+AD+DH＝100+180+100＝380（毫米）．23．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DEB，∴∠A＝∠DEB，∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA，∴∠CDA＝∠DEB，∴∠CDB＝∠CED，又∵∠DCE＝∠DCB，∴△DCE∽△BCD，∴＝，∴CD2＝CE•CB，∴CA2＝CE•CB；（2）如图，∵∠ACE是直角三角形，点M是AE中点，∴AM＝ME＝CM，∴∠MCE＝∠MEC，∵∠ACB＝∠ADE＝90°，∴点A，点C，点E，点D四点共圆，∴∠AEC＝∠ADC，∴∠AEC＝∠MCE＝∠ADC＝∠CAD，又∵∠MCE+∠ACH＝90°，∴∠CAD+∠ACH＝90°，∴CH⊥AB．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图象的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当△AMO与△ABP 相似时，求点M的坐标．解：（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（5，0）和O（0，0），∴设二次函数的解析式为y＝ax（x﹣5），将点A（2，4）代入y＝ax（x﹣5）中，得4＝a×2（2﹣5），∴a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣x（x﹣5）＝﹣x2+x；（2）如图1，连接OP，过点P作PD⊥x轴于D，∴∠ODP＝90°，∵A（2，4）、B（5，0）和O（0，0），∴OB＝5，AB＝＝5，∴OB＝AB，∵BC⊥OA，∴AC＝OC，∠OBC＝∠ABC，∵BP＝BP，∴△OBP≌△ABP（SAS），∴∠BOP＝∠BAP，∵AC＝OC，A（2，4），∴点C（1，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+①，由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+x②，联立①②解得，或，∴P（，），∴OD＝，PD＝，∴cot∠BAP＝cot∠BOP＝＝＝；（3）设M（2，m），∵A（2，4），B（5，0），P（，），∴AM＝|m﹣4|．OA＝2，AB＝5，BP＝＝，∵BC⊥OA，∴∠ACP＝∠BCP＝90°，∴∠ABP＜90°，∠APC＜90°，∵∠BOP＜90°，∴∠BAP＜90°，∴△ABP是锐角三角形，∵△AMO与△ABP相似，∴△AMO为锐角三角形，∴点M在点A的下方，∴AM＝4﹣m，如图2，AM与x轴的交点记作点E，与BC的交点记作点F，∵AM⊥x轴，∴∠AEB＝90°，∴∠OBP+∠BFE＝90°，∵∠AFP＝∠BFE，∴∠OBP+∠AFP＝90°，∵BC⊥OA，∴∠AFP+∠OAE＝90°，∴∠OAE＝∠OBP，由（2）知，∠OBP＝∠ABP，∴∠OAE＝∠ABP，∵△AMO与△ABP相似，∴①当△OAM∽△ABP时，∴，∴，∴m＝﹣，∴M（2，﹣），②当△MAO∽△ABP时，∴，∴，∴m＝﹣，∴M（2，﹣），即满足条件的点M的坐标为（2，﹣）或（2，﹣）．25．四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC＝3CF．（1）如图1，当∠B＝90°时，求S△ABE与S△ECF的比值；（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求cos B的值；（3）如图3，联结AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠B＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE≌△CEF，∴，∵EC＝3CF，设CF＝x，AB＝a，则EC＝3x，BE＝a﹣3x，∴，解得，a＝4.5x，∴；（2）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图2，则∠AME＝∠CNF＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴∠B＝∠FCN，设CF＝x，则CE＝3x，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝3x，AB＝BC＝2CE＝6x，∴BM＝AB•cos B＝6x cos B，AM＝AB•sin B＝6x sin B，CN＝CF•cos∠FCN＝x cos B，FN＝CF•sin∠FCN＝x sin B，∴ME＝BE﹣BM＝3x﹣6x cos B，EN＝EC+CN＝3x+x cos B，∵∠AEF＝90°，∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠NEF，∴△AME∽△ENF，∴，即，即，整理得，2sin2B＝3﹣5cos B﹣2cos2B，∴2＝3﹣5cos B，∴cos B＝；（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图3，则∠AME＝∠CNF＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴∠B＝∠FCN，∵∠AEF＝90°，∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠NEF，∴△AME∽△ENF，∴＝，∵∠AFE＝∠B，tan B＝，tan∠AFE＝，∴，∴，∴BM＝EN，设菱形ABCD的边长为a，则AB＝BC＝a，∴BM＝a cos B，CN＝CF•cos∠FCN＝CF•cos B，∴a cos B＝EC+CF•cos B，∵CF＝2，EC＝3CF，∴EC＝6，∴a cos B＝6+2cos B，∴cos B＝，∵，AM＝AB•sin B＝a sin B，EN＝6+2cos B，ME＝a﹣a cos B﹣6，NF＝CF•sin∠FCN＝2sin B，∴，化简得，2a（sin2B+cos2B）＝6a﹣4a cos B﹣12cos B﹣36，2a＝6a﹣4a cos B﹣12cos B﹣36，a﹣a cos B﹣3cos B﹣9＝0，∵cos B＝，∴a﹣﹣﹣9＝0，解得，a＝17，或a＝0（舍），∴菱形的边长为17．。

上海市浦东新区2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析

上海市浦东新区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，CD 是⊙O 的弦，O 是圆心，把⊙O 的劣弧沿着CD 对折，A 是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B 的度数是（）A ．100°B ．80°C ．60°D ．50°2．4的平方根是（）A ．2B ．±2C ．8D ．±83．改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A ．2017年第二季度环比有所提高B ．2017年第三季度环比有所提高C ．2018年第一季度同比有所提高D ．2018年第四季度同比有所提高4．一个数和它的倒数相等，则这个数是（）A ．1B ．0C ．±1D ．±1和05．下列运算正确的是（）A ．（a 2）4=a 6B ．a 2•a 3=a 6C 236=D 235=6．下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A ．棱柱B ．圆柱C ．棱锥D ．圆锥7．下列运算结果正确的是（）A ．3a 2－a 2 = 2B ．a 2·a 3= a 6C ．(－a 2)3 = －a 6D ．a 2÷a 2 = a8．2018年我市财政计划安排社会保障和公共卫生等支出约1800000000元支持民生幸福工程，数1800000000用科学记数法表示为（）A ．18×108B ．1.8×108C ．1.8×109D ．0.18×10109．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是（）A ．0x y +>B ．0x y ->C ．0x y +<D ．0x y -< 10．若分式有意义，则x 的取值范围是（） A ．x ＞3 B ．x ＜3 C ．x≠3 D ．x=311．如图，共有12个大不相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分．现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，则能构成这个正方体的表面展开图的概率是（）A ．17B ．27C ．37D ．4712．如图，在菱形纸片ABCD 中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上．则sin ∠AFG 的值为（）A ．217B ．277C ．5714D ．77二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，点P 从点B 出发，沿B －C －D 向终点D 匀速运动，设点P 走过的路程为x ，△ABP 的面积为S ，能正确反映S 与x 之间函数关系的图象是( )A ．B ．C ．D ．14．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，将ABE △沿AE 折叠得到AFE △，点F 落在对角线AC 上．若AB AC ⊥，3AB =，5AD =，则CEF △的周长为________．15．如图，将边长为6的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为_______平方单位．16．规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），例如：[1.3]=1，（1.3）=3，[1.3）=1．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）①当x=1.7时，[x]+（x ）+[x ）=6；②当x=﹣1.1时，[x]+（x ）+[x ）=﹣7；③方程4[x]+3（x ）+[x ）=11的解为1＜x ＜1.5；④当﹣1＜x ＜1时，函数y=[x]+（x ）+x 的图象与正比例函数y=4x 的图象有两个交点．17．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B= ______18．在平面直角坐标系中，已知，A （22，0），C （0，﹣1），若P 为线段OA 上一动点，则CP+13AP 的最小值为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）如图,矩形ABCD 中,点P 是线段AD 上一动点, O 为BD 的中点, PO 的延长线交BC 于Q .(1)求证: OP OQ =;(2)若=8AD cm ,6AB cm =,P 从点A 出发,以l /cm s 的速度向D 运动(不与D 重合).设点P 运动时间为()t s ,请用t 表示PD 的长;并求t 为何值时,四边形PBQD 是菱形.20．（6分）如图，ABC △中AB AC =，AD BC ⊥于D ，点E F 、分别是AB CD 、的中点.(1)求证：四边形AEDF 是菱形(2)如果10AB AC BC ===，求四边形AEDF 的面积S21．（6分）如图，抛物线y ＝12x 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （4，0）与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线1，交抛物线与点Q ．求抛物线的解析式；当点P 在线段OB 上运动时，直线1交BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形；在点P 运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（8分）如图，在ABC ∆中，AB ＝AC ，2A α∠=，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.（1）∠EDB ＝_____︒（用含α的式子表示）（2）作射线DM 与边AB 交于点M ，射线DM 绕点D 顺时针旋转1802α︒-，与AC 边交于点N. ①根据条件补全图形；②写出DM 与DN 的数量关系并证明；③用等式表示线段BM 、CN 与BC 之间的数量关系，（用含α的锐角三角函数表示）并写出解题思路. 23．（8分）某数学兴趣小组为测量如图（①所示的一段古城墙的高度，设计用平面镜测量的示意图如图②所示，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB ⊥BD 、CD ⊥BD ，且测得AB=1.2m ，BP=1.8m.PD=12m ，求该城墙的高度（平面镜的原度忽略不计）：请你设计一个测量这段古城墙高度的方案．要求：①面出示意图（不要求写画法）；②写出方案，给出简要的计算过程：③给出的方案不能用到图②的方法．24．（10分）解方程：252112x x x+--＝1． 25．（10分）观察下列各式：①()()2111x x x -+=-②()()23111x x x x -++=- ③()()324111x x x x x -+++=- 由此归纳出一般规律()()111n n x x x x --++⋅⋅⋅++=__________. 26．（12分）已知函数1y x =的图象与函数()0y kx k =≠的图象交于点()P m n ,. （1）若2m n =，求k 的值和点P 的坐标；（2）当m n ≤时，结合函数图象，直接写出实数k 的取值范围.27．（12分）小张同学尝试运用课堂上学到的方法，自主研究函数y=21x 的图象与性质．下面是小张同学在研究过程中遇到的几个问题，现由你来完成：（1）函数y=21x 自变量的取值范围是；（2）下表列出了y 与x 的几组对应值：x … ﹣2 ﹣32m ﹣34 ﹣12 12 34 1 32 2 … y … 14 49 1 169 4 4 169 1 49 14 …表中m 的值是；（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出以表中各组对应值为坐标的点，试由描出的点画出该函数的图象；（4）结合函数y=21x的图象，写出这个函数的性质：．（只需写一个）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】试题分析：如图，翻折△ACD，点A落在A′处，可知∠A=∠A′=100°，然后由圆内接四边形可知∠A′+∠B=180°，解得∠B=80°.故选：B2．B【解析】【分析】依据平方根的定义求解即可．【详解】∵（±1）1=4，∴4的平方根是±1．故选B．【点睛】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．3．C【解析】【分析】根据环比和同比的比较方法，验证每一个选项即可.【详解】2017年第二季度支出948元，第一季度支出859元，所以第二季度比第一季度提高，故A正确；2017年第三季度支出1113元，第二季度支出948元，所以第三季度比第二季度提高，故B正确；2018年第一季度支出839元，2017年第一季度支出859元，所以2018年第一季度同比有所降低，故C错误；2018年第四季度支出1012元，2017年第一季度支出997元，所以2018年第四季度同比有所降低，故D故选C．【点睛】本题考查折线统计图，同比和环比的意义；能够从统计图中获取数据，按要求对比数据是解题的关键．4．C【解析】【分析】根据倒数的定义即可求解.【详解】±1的倒数等于它本身，故C符合题意.故选：C.【点睛】主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数.5．C【解析】【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法计算即可.【详解】A、原式=a8，所以A选项错误；B、原式=a5，所以B选项错误；C、原式= ==C选项正确；D D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键.6．D【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【详解】由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心，符合题意的只有圆锥．故选D．本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识．7．C【解析】选项A，3a2－a2 = 2 a2；选项B，a2·a3= a5；选项C，(－a2)3 = －a6；选项D，a2÷a2 = 1.正确的只有选项C，故选C.8．C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：1800000000=1.8×109，故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．A【解析】两边都除以3，得x＞﹣y，两边都加y，得：x+y＞0，故选A．10．C【解析】【详解】试题分析：∵分式13x有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3；故选C．考点：分式有意义的条件．11．D【解析】【分析】由正方体表面展开图的形状可知，此正方体还缺一个上盖，故应在图中四块相连的空白正方形中选一块，再根据概率公式解答即可．【详解】因为共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，所以剩下7个小正方形．在其余的7个小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的小正方形有4个，因此先从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是47．故选D．【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，掌握概率公式是本题的关键．12．B【解析】【分析】如图：过点E作HE⊥AD于点H，连接AE交GF于点N，连接BD，BE．由题意可得：DE=1，∠HDE=60°，△BCD是等边三角形，即可求DH的长，HE的长，AE的长，NE的长，EF的长，则可求sin∠AFG的值．【详解】解：如图：过点E作HE⊥AD于点H，连接AE交GF于点N，连接BD，BE．∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠DAB=60°，∴AB=BC=CD=AD=4，∠DAB=∠DCB=60°，DC∥AB∴∠HDE=∠DAB=60°，∵点E是CD中点∴DE=12CD=1在Rt△DEH中，DE=1，∠HDE=60°∴DH=1，3∴AH=AD+DH=5在Rt△AHE中，22AH HE7∴7，AE⊥GF，AF=EF∵CD=BC，∠DCB=60°∴△BCD是等边三角形，且E是CD中点∴∵CD∥AB∴∠ABE=∠BEC=90°在Rt△BEF中，EF1=BE1+BF1=11+（AB-EF）1．∴EF=7 2由折叠性质可得∠AFG=∠EFG，∴sin∠EFG= sin∠AFG = 772ENEF==，故选B.【点睛】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度是本题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．C【解析】【分析】分出情况当P点在BC上运动，与P点在CD上运动，得到关系，选出图象即可【详解】由题意可知，P从B开始出发，沿B—C—D向终点D匀速运动，则当0＜x≤2，s=1 2 x当2＜x≤3，s=1所以刚开始的时候为正比例函数s=12x图像，后面为水平直线，故选C【点睛】本题主要考查实际问题与函数图像，关键在于读懂题意，弄清楚P的运动状态14．6.【解析】【分析】先根据平行线的性质求出BC=AD=5,再根据勾股定理可得AC=4，然后根据折叠的性质可得AF=AB=3，EF=BE，从而可求出CEF△的周长.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=22BC AB - =2253-=4∵ABE △沿AE 折叠得到AFE △，∴AF=AB=3，EF=BE ，∴CEF △的周长=CE+EF+FC=CE+BE+CF=BC+AC-AF=5+4-3=6故答案为6.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形的周长计算方法，运用转化思想是解题的关键.15．6﹣23【解析】【分析】由旋转角∠BAB′=30°，可知∠DAB′=90°﹣30°=60°；设B′C′和CD 的交点是O ，连接OA ，构造全等三角形，用S 阴影部分=S 正方形﹣S 四边形AB′OD ，计算面积即可．【详解】解：设B′C′和CD 的交点是O ，连接OA ，∵AD=AB′，AO=AO ，∠D=∠B′=90°，∴Rt △ADO ≌Rt △AB′O ，∴∠OAD=∠OAB′=30°，∴OD=OB′=2 ，S 四边形AB′OD =2S △AOD =2×122×6=23， ∴S 阴影部分=S 正方形﹣S 四边形AB′OD =6﹣23．【点睛】此题的重点是能够计算出四边形的面积．注意发现全等三角形．16．②③【解析】试题解析：①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=[1.7]+（1.7）+[1.7）=1+1+1=5，故①错误；②当x=﹣1.1时，[x]+（x）+[x）=[﹣1.1]+（﹣1.1）+[﹣1.1）=（﹣3）+（﹣1）+（﹣1）=﹣7，故②正确；③当1＜x＜1.5时，4[x]+3（x）+[x）=4×1+3×1+1=4+6+1=11，故③正确；④∵﹣1＜x＜1时，∴当﹣1＜x＜﹣0.5时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当﹣0.5＜x＜0时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当x=0时，y=[x]+（x）+x=0+0+0=0，当0＜x＜0.5时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，当0.5＜x＜1时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，∵y=4x，则x﹣1=4x时，得x=；x+1=4x时，得x=；当x=0时，y=4x=0，∴当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有三个交点，故④错误，故答案为②③．考点：1.两条直线相交或平行问题；1.有理数大小比较；3.解一元一次不等式组．17．【解析】如图,连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′,∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，∵∠C=90∘,AC=BC=，∴AB==2，∴BD=2×=，C′D=×2=1，∴BC′=BD−C′D=−1.故答案为：−1.点睛: 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．18．2 3【解析】【分析】可以取一点D（0，1），连接AD，作CN⊥AD于点N，PM⊥AD于点M，根据勾股定理可得AD＝3，证明△APM∽△ADO得PM APOD AD，PM＝13AP．当CP⊥AD时，CP+13AP＝CP+PM的值最小，最小值为CN的长．【详解】如图，取一点D （0，1），连接AD ，作CN ⊥AD 于点N ，PM ⊥AD 于点M ，在Rt △AOD 中，∵OA ＝2，OD ＝1，∴AD 22OA OD +3，∵∠PAM ＝∠DAO ，∠AMP ＝∠AOD ＝90°，∴△APM ∽△ADO ， ∴PM AP OD AD=，即13PM AP =， ∴PM ＝13AP ， ∴PC+13AP ＝PC+PM ， ∴当CP ⊥AD 时，CP+13AP ＝CP+PM 的值最小，最小值为CN 的长． ∵△CND ∽△AOD ， ∴CN CD AO AD=， 2322= ∴CN ＝23．所以CP+13AP 42．故答案为：423．【点睛】此题考查勾股定理，三角形相似的判定及性质，最短路径问题，如何找到13AP 的等量线段与线段CP 相加是解题的关键，由此利用勾股定理、相似三角形做辅助线得到垂线段PM ，使问题得解.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19． (1)证明见解析；(2) PD=8-t ，运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形．【解析】【分析】 (1)先根据四边形ABCD 是矩形，得出AD ∥BC ，∠PDO=∠QBO ，再根据O 为BD 的中点得出△POD ≌△QOB ，即可证得OP=OQ ；(2)根据已知条件得出∠A 的度数，再根据AD=8cm ，AB=6cm ，得出BD 和OD 的长，再根据四边形PBQD 是菱形时，利用勾股定理即可求出t 的值，判断出四边形PBQD 是菱形．【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠PDO=∠QBO ，又∵O 为BD 的中点，∴OB=OD ，在△POD 与△QOB 中，PDO QBO OD OBPOD QOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△POD ≌△QOB ，∴OP=OQ ；(2)PD=8-t ，∵四边形PBQD 是菱形，∴BP=PD= 8-t ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，在Rt △ABP 中，由勾股定理得：AB 2+AP 2=BP 2，即62+t 2=(8-t)2，解得：t=74，即运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题关键.注意数形结合思想的运用.20． (1)证明见解析；.【解析】【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=12AB=AE ，DF=12AC=AF ，再根据AB=AC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，即可得到AE=AF=DE=DF ，进而判定四边形AEDF 是菱形；（2）根据等边三角形的性质得出EF=5，AD=53，进而得到菱形AEDF 的面积S ．【详解】解：（1）∵AD ⊥BC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点， ∴Rt △ABD 中，DE=12AB=AE ， Rt △ACD 中，DF=12AC=AF ，又∵AB=AC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴AE=AF ，∴AE=AF=DE=DF ，∴四边形AEDF 是菱形；（2）如图，∵AB=AC=BC=10，∴EF=5，3，∴菱形AEDF 的面积S=12EF•AD ＝12×5×32532．【点睛】本题考查菱形的判定与性质的运用，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形；菱形的面积等于对角线长乘积的一半．21． (1) 213222y x x =--;(2) 当m ＝2时，四边形CQMD 为平行四边形;(3) Q 1（8，18）、Q 2（﹣1，0）、Q 3（3，﹣2）【解析】【分析】（1）直接将A （-1，0），B （4，0）代入抛物线y=12x 2+bx+c 方程即可；（2）由（1）中的解析式得出点C 的坐标C （0，-2），从而得出点D （0，2），求出直线BD ：y ＝−12x+2，设点M(m ，−12m+2)，Q(m ，12m 2−32m−2)，可得MQ=−12m 2+m+4，根据平行四边形的性质可得QM=CD=4，即−12m 2+m+4＝4可解得m=2；（3）由Q 是以BD 为直角边的直角三角形，所以分两种情况讨论，①当∠BDQ=90°时，则BD 2+DQ 2=BQ 2，列出方程可以求出Q 1（8，18），Q 2（-1，0），②当∠DBQ=90°时，则BD 2+BQ 2=DQ 2，列出方程可以求出Q 3（3，-2）．【详解】（1）由题意知，∵点A （﹣1，0），B （4，0）在抛物线y ＝12x 2+bx+c 上， ∴210214402b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩解得：322b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴所求抛物线的解析式为 213222y x x =-- （2）由（1）知抛物线的解析式为213222y x x =--，令x ＝0，得y ＝﹣2 ∴点C 的坐标为C （0，﹣2）∵点D 与点C 关于x 轴对称∴点D 的坐标为D （0，2）设直线BD 的解析式为：y ＝kx+2且B （4，0）∴0＝4k+2，解得：1k 2=- ∴直线BD 的解析式为：122y x =+ ∵点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线1，交BD 于点M ，交抛物线与点Q∴可设点M 1m,22m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Q 213,222m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ∴MQ ＝2142m m -++ ∵四边形CQMD 是平行四边形 ∴QM ＝CD ＝4，即2142m m -++=4 解得：m 1＝2，m 2＝0（舍去）∴当m ＝2时，四边形CQMD 为平行四边形（3）由题意，可设点Q 213,222m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭且B （4，0）、D （0，2）∴BQ 2＝22213(4)222m m m ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭DQ 2＝22213422m m m ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ BD 2＝20①当∠BDQ ＝90°时，则BD 2+DQ 2＝BQ 2， ∴2222221313204(4)22222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫++--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：m 1＝8，m 2＝﹣1，此时Q 1（8，18），Q 2（﹣1，0）②当∠DBQ ＝90°时，则BD 2+BQ 2＝DQ 2， ∴222222131320(4)242222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫+-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：m 3＝3，m 4＝4，（舍去）此时Q 3（3，﹣2）∴满足条件的点Q 的坐标有三个，分别为：Q 1（8，18）、Q 2（﹣1，0）、Q 3（3，﹣2）．【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了平行四边形及直角三角形的定义，要注意第3问分两种情形求解．22．（1）α；（2）（2）①见解析；②DM ＝DN ，理由见解析；③数量关系：sin BM CN BC α+=⋅【解析】【分析】（1）先利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B=∠C=90°﹣α，然后利用互余可得到∠EDB=α；（2）①如图，利用∠EDF=180°﹣2α画图；②先利用等腰三角形的性质得到DA 平分∠BAC ，再根据角平分线性质得到DE=DF ，根据四边形内角和得到∠EDF=180°﹣2α，所以∠MDE=∠NDF ，然后证明△MDE ≌△NDF 得到DM=DN ；③先由△MDE ≌△NDF 可得EM=FN ，再证明△BDE ≌△CDF 得BE=CF ，利用等量代换得到BM+CN=2BE ，然后根据正弦定义得到BE=BDsinα，从而有BM+CN=BC•sinα．【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C 12=（180°﹣∠A ）=90°﹣α． ∵DE ⊥AB ，∴∠DEB=90°，∴∠EDB=90°﹣∠B=90°﹣（90°﹣α）=α．故答案为：α；（2）①如图：②DM=DN．理由如下：∵AB=AC，BD=DC，∴DA平分∠BAC．∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，∠MED=∠NFD=90°．∵∠A=2α，∴∠EDF=180°﹣2α．∵∠MDN=180°﹣2α，∴∠MDE=∠NDF．在△MDE和△NDF中，∵MED NFDDE DFMDE NDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△MDE≌△NDF，∴DM=DN；③数量关系：BM+CN=BC•sinα．证明思路为：先由△MDE≌△NDF可得EM=FN，再证明△BDE≌△CDF得BE=CF，所以BM+CN=BE+EM+CF﹣FN=2BE，接着在Rt△BDE可得BE=BDsinα，从而有BM+CN=BC•sinα．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．23．（1）8m；（2）答案不唯一【解析】【分析】（1）根据入射角等于反射角可得∠APB=∠CPD ，由AB⊥BD、CD⊥BD 可得到∠ABP=∠CDP=90°，从而可证得三角形相似，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出CD的长.（2）设计成视角问题求古城墙的高度.【详解】（1）解：由题意，得∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP=90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴AB CD BP BP=，∴CD=1.212 1.8⨯=8.答：该古城墙的高度为8m（2）解：答案不唯一，如：如图，在距这段古城墙底部am 的E 处，用高h （m ）的测角仪DE 测得这段古城墙顶端A 的仰角为α.即可测量这段古城墙AB 的高度，过点D 作DC ⊥AB 于点C.在Rt △ACD 中，∠ACD=90°，tanα=AC CD， ∴AC=α tanα，∴AB=AC+BC=αtanα+h【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．24．12x =- 【解析】【分析】先把分式方程化为整式方程，解整式方程求得x 的值，检验即可得分式方程的解.【详解】原方程变形为2532121x x x -=--，方程两边同乘以（2x ﹣1），得2x ﹣5＝1（2x ﹣1），解得12x =- ．检验：把12x =-代入（2x ﹣1），（2x ﹣1）≠0， ∴12x =-是原方程的解， ∴原方程的12x =-．【点睛】本题考查了分式方程的解法，把分式方程化为整式方程是解决问题的关键，解分式方程时，要注意验根. 25．x n+1-1【解析】试题分析：观察其右边的结果：第一个是2x ﹣1；第二个是3x ﹣1；…依此类推，则第n 个的结果即可求得．试题解析：（x ﹣1）（n x +1n x -+…x+1）=11n x +-．故答案为11n x +-.考点：平方差公式．26．（1）12k =，222P ⎛⎫ ⎪⎪⎭，，或222P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，;(2) 1k ≥. 【解析】【分析】（1）将P （m ，n ）代入y=kx ，再结合m=2n 即可求得k 的值，联立y=1x 与y=kx 组成方程组，解方程组即可求得点P 的坐标；（2）画出两个函数的图象，观察函数的图象即可得.【详解】（1）∵函数()y kx k 0=≠的图象交于点()P m n ，，∴n=mk ，∵m=2n ，∴n=2nk ，∴k=12， ∴直线解析式为：y=12x ，解方程组112y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1122x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，2222x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， ∴交点P 的坐标为：（2，2）或（-2，-2）；（2）由题意画出函数1y x =的图象与函数y kx =的图象如图所示， ∵函数1y x=的图象与函数y kx =的交点P 的坐标为（m ，n ）， ∴当k=1时，P 的坐标为（1，1）或（-1，-1），此时|m|=|n|，当k>1时，结合图象可知此时|m|<|n|，∴当m n ≤时， k ≥1.【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点，待定系数法等，运用数形结合思想解题是关键.27．（1）x≠0；（2）﹣1；（3）见解析；（4）图象关于y 轴对称.【解析】【分析】（1）由分母不等于零可得答案；（2）求出y=1时x 的值即可得；（3）根据表格中的数据，描点、连线即可得；（4）由函数图象即可得．【详解】（1）函数y=21x 的定义域是x≠0，故答案为x≠0；（2）当y=1时，21x =1，解得：x=1或x=﹣1，∴m=﹣1，故答案为﹣1；（3）如图所示：（4）图象关于y 轴对称，故答案为图象关于y 轴对称．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数自变量的取值范围、函数值的求法、列表描点画函数图象及反比例函数的性质．。

浦东新区2024年初三数学一模试卷

浦东新区2024年初三数学一模试卷
浦东新区2024年初三数学一模试卷指的是在2024年，浦东新区为初三学生举办的第一次模拟考试中的数学试卷。

模拟考试通常用于评估学生的学习情况和准备程度，以便在正式的中考中取得更好的成绩。

以下是浦东新区2024年初三数学一模试卷题目：
1. 在一个等腰三角形中，已知其中一个底角为70°，则顶角的大小为多少？
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
2. 下列哪个数不能作为圆的半径？
A. 2
B. 3.5
C. -3
D. √2
3. 下列哪个数是无理数？
A. 1/2
B. π
C. √4
D. √3
4. 一个圆柱的侧面积是31.4厘米²，它的底面直径为4厘米，那么它的高为多少？
A. 2厘米
B. 3厘米
C. 4厘米
D. 5厘米
5. 若a > b，则下列不等式一定成立的是( )
A. a - c > b - c
B. a + c > b + c
C. ac > bc
D. a - c < b - c。

2024初三数学浦东一模卷

2024初三数学浦东一模卷一、选择题：1. 若函数f(x) = 2x³ + x² - 3x + 1，在x = 1 处处与y 轴相切，则导数f'(1) 的值为：A. 5B. 6C. 8D. 102. 设函数f(x) = |x + 2| + |x - 3|，则f(4) 的值为：A. -1B. 1C. 3D. 53. 已知等差数列{aₙ} 的前3 项分别为aₙ = 2，aₙ = 5，aₙ = 8。

若aₙ = 95，则n 的值为：A. 15B. 16C. 17D. 184. 设向量a = (3, -2)，向量b = (-1, 4)，则向量a 和向量b 的夹角的余弦值为：A. -5/√58B. 5/√58C. -√58/5D. √58/55. 已知直线Lₙ：2x + y = 3 和直线Lₙ：ax + 2y = 4 平行，则a 的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题：1. 已知f(x) = 2x² + bx + 3，若函数图像关于x 轴对称，则b 的值为________。

2. 函数y = (x - 1)² + 5 在点(1, 5) 处的切线方程为y = ________。

3. 一辆汽车从A 地出发，以每小时60 千米的速度向B 地行驶。

另一辆汽车同时以每小时80 千米的速度从B 地出发，向A 地行驶。

已知A 地与B 地相距600 千米，则当两辆汽车相遇时，它们离A 地的距离为________ 千米。

4. 已知复数z = 2 - i，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为________。

5. 函数f(x) = 3x² + 2ax + b 与y 轴相切，则函数f(x) 的判别式为________。

三、应用题：1. 某商品的需求函数为D(p) = 1000e⁻^0.01p，其中p 表示商品的价格，D(p) 表示商品的需求量。

求该商品的最高价格，使得该商品的需求量不为0。

浦东新区初三数学2024一模

浦东新区初三数学2024一模2024年初三数学一模试卷一、选择题1. 已知函数 f(x) 的图象经过点 (-1, 5)，则下列说法正确的是A. f(-1) = 5B. f(5) = -1C. f(-1) = -5D. f(5) = 1答案：A. f(-1) = 5解析：根据题目中已知条件，函数 f(x) 的图象经过点 (-1, 5)，因此 f(-1) = 5。

2. 已知三角形 ABC 中，AB = AC，∠B = 40°，∠C = 70°，则∠A 的度数为A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°答案：C. 60°解析：由已知条件可知，三角形 ABC 中，AB = AC，∠B = 40°，∠C = 70°。

由三角形内角和定理可知∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 70° = 70°。

3. 若两个数的和是7，差是3，求这两个数的积。

答案：12解析：设两个数分别为 x 和 y，根据题意可以列出以下两个方程：x + y = 7x - y = 3解方程组得到 x = 5，y = 2，因此这两个数的积为 5 * 2 = 10。

二、解答题1. 将 12a - 3b + 5c - 2a + b - 4c 合并同类项。

答案：10a - 2b + c解析：根据合并同类项的原则，将相同字母的项合并在一起，得到 12a - 2a -3b + b + 5c - 4c = 10a - 2b + c。

2. 用直线法解下列线性方程组：2x - 3y = 54x + 5y = 3答案：解为 x = 1，y = -1解析：根据直线法解线性方程组的步骤，首先将方程组变形为斜截式，得到2x - 3y = 5 和 4x + 5y = 3。

然后解方程组，将其中一个方程乘以一个适当的数使得两方程的 x 的系数相等，得到 10x - 15y = 25 和 10x + 12.5y = 7.5。

浦东初三数学一模试卷答案

一、选择题1. 下列选项中，绝对值最小的数是（）A. -2B. -1C. 0D. 1答案：C解析：绝对值表示一个数与0的距离，0的绝对值最小，故选C。

2. 已知一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式为Δ = b^2 - 4ac，则以下说法正确的是（）A. Δ > 0，方程有两个不相等的实数根B. Δ = 0，方程有两个相等的实数根C. Δ < 0，方程无实数根D. Δ 可以是任意实数答案：A解析：当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0 时，方程无实数根。

故选A。

3. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，∠BAC = 40°，则∠ABC的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°答案：B解析：等腰三角形的底角相等，所以∠ABC = ∠ACB = (180° - ∠BAC) / 2 = (180° - 40°) / 2 = 70°。

故选B。

4. 已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若OA = 4cm，OB = 6cm，则OC的长度是（）A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm答案：C解析：平行四边形的对角线互相平分，所以OC = OA = 4cm。

故选C。

5. 下列函数中，y = kx（k ≠ 0）的图象经过第一、二、三象限的是（）A. y = 2xB. y = -3xC. y = 0.5xD. y = -0.5x答案：A解析：当k > 0时，函数图象经过第一、二、三象限；当k < 0时，函数图象经过第二、三、四象限。

故选A。

二、填空题6. 若方程 2x - 3 = 5 的解为 x = 4，则方程 3x - 7 = 2 的解为 x =__________。

中考浦东新区一模数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -3/5D. 无理数2. 已知a、b是实数，且a+b=0，则（）A. a=0B. b=0C. a、b同时为0D. 无法确定3. 若m²=9，则m的值为（）A. ±3B. ±4C. ±5D. ±64. 下列函数中，一次函数是（）A. y=2x+1B. y=x²+1C. y=√xD. y=|x|5. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°6. 已知数列{an}中，a₁=2，an=an-1+3（n≥2），则数列{an}的通项公式为（）A. an=3n-1B. an=3n+1C. an=3n-2D. an=3n7. 已知x²-5x+6=0，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 68. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点为（）A.（2，-3）B.（-2，3）C.（2，-3）D.（-2，-3）9. 下列各组数据中，方差最小的是（）A. 1，2，3，4，5B. 2，3，4，5，6C. 3，4，5，6，7D. 4，5，6，7，810. 若函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为（h，k），则下列结论正确的是（）A. a>0，b<0，c>0B. a>0，b>0，c>0C. a<0，b<0，c<0D. a<0，b>0，c>011. 已知函数y=2x-3，下列图像表示该函数的是（）A. 一次函数图像B. 二次函数图像C. 线性函数图像D. 指数函数图像12. 下列关于不等式x²-4x+3<0的解集描述正确的是（）A. x∈（-∞，1）∪（3，+∞）B. x∈（1，3）C. x∈（-∞，1）∪（3，+∞） D. x∈（1，3）二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。

浦东数学一模初三试卷答案

浦东新区初三数学一模试卷答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 0.1010010001...D. -3答案：D2. 若a，b是方程x² - 5x + 6 = 0的两根，则a² + b²的值为（）A. 10B. 11C. 12D. 13答案：B3. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于y轴的对称点坐标是（）A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (-2, -3)D. (2, -3)答案：C4. 下列函数中，单调递增的是（）A. y = 2x - 1B. y = -x² + 1C. y = x³D. y = 1/x答案：C5. 若一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则这个三角形的面积是（）A. 24cm²B. 28cm²C. 32cm²D. 36cm²答案：C二、填空题（每题3分，共30分）6. 若sinα = 1/2，且α在第二象限，则cosα = _______。

答案：-√3/27. 二项式(2x - 3)³的展开式中，x²的系数是 _______。

答案：-98. 若等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差是 _______。

答案：39. 圆的半径增加1单位，其面积增加 _______单位。

答案：π10. 若函数f(x) = ax² + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(-1, 4)，则a = _______，b = _______。

答案：a > 0，b = -2a三、解答题（每题15分，共60分）11. （15分）已知函数f(x) = x² - 2x + 1，求f(x)的最小值。

解答：f(x) = (x - 1)²，当x = 1时，f(x)取得最小值，即f(1) = 0。

2019-2020学年上海市浦东新区初三数学第一学期中考一模试卷及解析

2019-2020学年上海市浦东新区初三数学第一学期中考一模试卷一、选择题1．（4分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果5BC =，13AB =，那么sin A 的值为( ) A ．513B ．512C ．1213D ．1252．（4分）下列函数中，是二次函数的是( ) A ．21y x =-B ．22y x=C ．21y x =+D ．22(1)y x x =--3．（4分）抛物线245y x x =-+的顶点坐标是( ) A ．(2,1)-B ．(2,1)C ．(2,1)--D ．(2,1)-4．（4分）如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，下列比例式不一定能推得//DE BC 的是()A ．AD AEBD CE=B ．AD DEAB BC=C ．AB ACBD CE=D ．AD AEAB AC=5．（4分）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3，它把物体从地面点A 处送到离地面3米高的B 处，则物体从A 到B 所经过的路程为( )A ．310B ．210C 10D ．9米6．（4分）下列说法正确的是( ) A ．()0a a +-=B ．如果a 和b 都是单位向量，那么a b =C ．如果||||a b =，那么a b =D ．如果1(2a b b =-为非零向量），那么//a b二、填空题7．（4分）已知3x y =，那么2x yx y+=+ ． 8．（4分）已知线段2AB cm =，P 是线段AB 的黄金分割点，PA PB >，那么线段PA 的长度等于 cm ． 9．（4分）如果两个相似三角形对应边之比是2:3，那么它们的对应中线之比是． 10．（4分）如果二次函数223y x x k =-+-的图象经过原点，那么k 的值是．11．（4分）将抛物线23y x =-向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为． 12．（4分）如果抛物线经过点(1,0)A -和点(5,0)B ，那么这条抛物线的对称轴是直线． 13．（4分）二次函数22(1)y x =-+的图象在对称轴左侧的部分是．（填“上升”或“下降”) 14．（4分）如图，在ABC ∆中，AE 是BC 边上的中线，点G 是ABC ∆的重心，过点G 作//GF AB 交BC 于点F ，那么EFEB= ．15．（4分）如图，已知////AB CD EF ，6AD =，3DF =，7BC =，那么线段CE 的长度等于．16．（4分）如图，将ABC ∆沿射线BC 方向平移得到DEF ∆，边DE 与AC 相交于点G ，如果6BC cm =，ABC ∆的面积等于29cm ，GEC ∆的面积等于24cm ，那么CF = cm ．17．（4分）用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列出了如下的表格：x⋯ 01 2 3 4⋯2y ax bx c =++⋯ 3- 0 1 0 3-⋯那么当5x =时，该二次函数y 的值为．18．（4分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，4BC =，点D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，将BDE ∆绕着点B 旋转，点D 、E 旋转后的对应点分别为点D '、E '，当直线D E ''经过点A 时，线段CD '的长为．三、解答题 19．（10分）计算：2tan 45cos60cot 602sin30︒-︒+︒︒20．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且2AE ED =，联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ，设BA a =，BC b =．（1）用a ，b 表示BE ，DF ；（2）先化简，在求作：3()2()2a b a b -++-（不要求写作法，但要写明结论）．21．（10分）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且3AD =，6AC =，4AE =，8AB =．（1）如果7BC =，求线段DE 的长；（2）设DEC ∆的面积为a ，求BDC ∆的面积（用a 的代数式表示）．22．（10分）为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC 的长度，在地面上点A 处测得避雷针底部B 和顶部C 的仰角分别为5558︒'和57︒，已知点A 与楼底中间部位D 的距离约为80米，求避雷针BC 的长度（参考数据：sin55580.83'︒≈，cos55580.56'︒≈，tan5558 1.48'︒≈，sin570.84︒≈，tan57 1.54)︒≈23．（12分）如图，已知ABC ∆和ADE ∆，点D 在BC 边上，DA DC =，ADE B ∠=∠，边DE 与AC 相交于点F ．（1）求证：AB AD DF BC ⋅=⋅；（2）如果//AE BC ，求证：BD DFDC FE=．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴相交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）联结AC 、BC ，求ACB ∠的正切值；（3）点P 在抛物线上，且PAB ACB ∠=∠，求点P 的坐标．25．（14分）在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，4AB =，3AC =，D 为AB 边上一动点（点D 与点A 、B 不重合），联结CD ，过点D 作DE DC ⊥交边BC 于点E ．（1）如图，当ED EB =时，求AD 的长；（2）设AD x =，BE y =，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；（3）把BCD ∆沿直线CD 翻折得CDB '∆，联结AB '，当CAB '∆是等腰三角形时，直接写出AD 的长．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：如图：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5BC =，13AB =， 5sin 13BC A AB ==．故选：A ．2．【解答】解：二次函数的标准形式为2(0)y ax bx c a =++≠，21y x ∴=+是二次函数，故选：C ． 3．【解答】解：2245(2)1y x x x =-+=-+，∴顶点坐标为(2,1)，故选：B ． 4．【解答】解：AD AEBD CE=， //DE BC ∴，AB ACBD EC =， //DE BC ∴，AD AEAB AC =， //DE BC ∴，故选：B ．5．【解答】解：:1:3BC AC =， 3:1:3AC ∴=， 9AC ∴=，22981310AB AC BC ∴=+=+=∴物体从A 到B 所经过的路程为故选：A ．6．【解答】解：A 、()0a a +-=，错误应该等于零向量．B 、如果a 和b 都是单位向量，那么a b =，错误，模相等，方向不一定相同．C 、如果||||a b =，那么a b =，错误，模相等，方向不一定相同．D 、如果1(2a b b =-为非零向量），那么//a b ，正确，故选：D ．二、填空题 7．【解答】解：3x y =，∴342325x y y y x y y y ++==++．故答案为：45． 8．【解答】解：根据黄金分割定义，得2PA AB PB =，22(2)PA PA =-解得1PA ．1．9．【解答】解：两个相似三角形对应边之比是2:3，∴它们的对应中线之比是2:3，故答案为：2:3．10．【解答】解：二次函数223y x x k =-+-的图象经过原点， 30k ∴-=，解得3k =，故答案为：3．11．【解答】解：抛物线23y x =-向下平移4个单位，∴抛物线的解析式为234y x =--，故答案为：234y x =--．12．【解答】解：抛物线经过点(1,0)A -和点(5,0)B ，∴抛物线的对称轴为直线1522x -+==．故答案为：2x =． 13．【解答】解：20-<，∴二次函数的开口向下，则图象在对称轴左侧的部分y 随x 值的增大而增大，故答案为上升．14．【解答】解：点G 是ABC ∆的重心， :1:2GE AG ∴=， :1:3GE AE ∴=， //GF AB ， EGF EAB ∆∆∽，∴13EF GE EB AE ==，故答案为13．15．【解答】解：////AB CD EF ，6AD =，3DF =，7BC =，∴AD BCDF CE =，即673CE=，解得：72CE =，故答案为：7216．【解答】解：//AB DE ，ABC GEC ∴∆∆∽，∴24()9GEC ABC S EC S BC ∆∆==， ∴263EC = 4EC cm ∴=， 6EF BC cm ==，642CF EF EC cm ∴=-=-=．故答案是：217．【解答】解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，设22(2)1y ax bx c a x =++=-+，从表格可知过点(0,3)-，代入得：23(02)1a -=-+，解得：1a =-，即2(2)1y x =--+，当5x =时，2(52)18y =--+=-，故答案为：8-．18．【解答】解：如图1，当点A 在E D ''的延长线上时，90C ∠=︒，2AC =，4BC =，2241625AB AC BC ∴=++=，点D 、E 分别是边BC 、AB 的中点， //DE AC ∴，112DE AC ==，122BD BC ==， 90EDB ACB ∴∠=∠=︒，将BDE ∆绕着点B 旋转，90BD E BDE ''∴∠=∠=︒，1D E DE ''==，2BD BD '==，在Rt ABC ∆和Rt BAD '∆中，2D B AC '==，AB BA =， Rt ABC Rt BAD (HL)'∴∆≅∆， AD BC '∴=，且AC D B '=，∴四边形ACBD '是平行四边形，且90ACB ∠=︒， ∴四边形ACBD '是矩形，25CD AB '∴==如图2，当点A 在线段D E ''的延长线上时，90AD B '∠=︒，222044AD AB D B ''∴=-=-， 3AE AD D E ''''∴=-=，将BDE ∆绕着点B 旋转， ABC E BD ''∴∠=∠，12BE BD AB BC ''==， ABE CBD ''∴∆∆∽，∴AE ABCD BC'='， ∴325CD ='， 65CD '∴=故答案为：2565三、解答题19．【解答】解：原式21132(122-=+⨯ 1123=+ 56=． 20．【解答】解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC b ==，//AB CD ，2AE ED =，∴2233AE AD b ==， ∴23BE BA AE a b =+=+，::1:2DF AB DE AE ==，12DF AB ∴=， ∴1122DF BA a ==．（2）331()2()22222a b a b a b a b a b -++-=-++-=-，取AB 的中点H ，连接HC ，CH 即为所求． 21．【解答】解：（1）4182AE AB ==，3162AD AC ==， ∴AE ADAB AC=，且DAE BAC ∠=∠， ADE ACB ∴∆∆∽，∴12AD DE AC BC ==， 1177222DE BC ∴==⨯=；（2）4AE =，6AC =，123EC AC ∴==， 33ACD DEC S S a ∆∆∴==，3AD =，8AB =，553BD AD ∴==， 553BDC ADC S S a ∆∆∴==．22．【解答】解：在Rt ABD ∆中，tan BDBAD AD∠=， 1.4880BD∴=， 80AD =米，118.4BD ∴=（米)，在Rt CAD ∆中，tan CDCAD AD∠=，1.54CD AD∴=，123.2CD∴=（米)，4.8BC CD BD∴=-=（米)．答：避雷针BC的长度为4.8米．23．【解答】（1）证明：DA DC=，DAC C∴∠=∠，又ADE B∠=∠，ABC FDA∴∆∆∽，∴AB BCDF AD=，AB AD DF BC∴⋅=⋅；（2）证明：ADE CDF B BAD∠+∠=∠+∠，ADE B∠=∠，CDF BAD∴∠=∠，//AE BC，E CDF∴∠=∠，C EAF∠=∠，BAD E∴∠=∠，又ADE B∠=∠，ABD EDA∴∆∆∽，∴BD AD AD AE=，DA DC=，DAC C∴∠=∠，EAF DAC∴∠=∠，即AC平分DAE∠，作FM AD⊥于M，FN AE⊥于N，则FM FN=，1212AD FMADF DF ADAEF EF AEAE FN⨯∆===∆⨯的面积的面积，∴BD DFDC FE=．方法二：B ADE∠=∠，BAD CDF E∠=∠=∠，ABD EDA ∴∆∆∽， ∴AD BD AE AD =， DA DC =，∴BD AD CD CD AE AE==①，又//AE BC ， DFC EFA ∴∆∆∽，∴CD DF AE FE=②，由①②得：BD DF DC FE =．24．【解答】解：（1）将点(1,0)A -，(3,0)B 代入抛物线2y x bx c =-++中，得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得，2b =，3c =，∴抛物线的表达式为223y x x =-++；（2）在223y x x =-++中，当0x =时，3y =，(0,3)C ∴，3OC OB ∴==， OBC ∴∆为等腰直角三角形，45OBC ∠=︒，232BC OC ∴=如图1，过点A 作AH BC ⊥于H ，则45HAB HBA ∠=∠=︒，AHB ∴∆是等腰直角三角形，4AB =，2222AH BH AB ∴===CH BC BH ∴=-=∴在Rt AHC ∆中，tan 2AH ACH CH ∠===，即ACB ∠的正切值为2；（3）①如图2，当PAB ACB ∠=∠时，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，设2(,23)P a a a -++，则(,0)M a ，由（1）知，tan 2ACB ∠=，tan 2PAM ∴∠=， ∴2PM AM=， ∴22321a a a -++=+，解得，11a =-（舍去），21a =，1(1,4)P ∴；②取点(1,4)P 关于x 轴的对称点(1,4)Q -，延长AQ 交抛物线于2P ，则此时2P AB PAM ACB ∠=∠=∠，设直线PQ 的解析式为y kx b =+，将(1,0)A -，(1,4)Q -代入，得，04k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得，2k =-，2b =-，22AQ y x ∴=--，联立，22223y x y x x =--⎧⎨=-++⎩，解得，10x y =-⎧⎨=⎩或512x y =⎧⎨=-⎩， 2(5,12)P ∴-；综上所述，点P 的坐标为(1,4)或(5,12)-．25．【解答】解：（1）ED EB=，EDB B∴∠=∠，CD DE⊥，90CDE A∴∠=∠=︒，90ACD ADC∠+∠=︒，90ADC EDH∠+∠=︒，ACD EDB B∴∠=∠=∠，tan tanACD B∴∠=∠，∴AD AC AC AB=，∴3 34 AD=，94 AD∴=．（2）如图1中，作EH BD⊥于H．在Rt ACB∆中，90A∠=︒，3AC=，4AB=，2222345BC AC BC∴+=+，BE y=，35EH y ∴=，45BH y =，445DH AB AD BH x y =--=--， 90A DHE ∠=∠=︒，ACD EDH ∠=∠，ACD HDE ∴∆∆∽，∴AC AD DH EH =， ∴343455x x y y =--， 2205(04)94x x y x x-∴=<<+．（3）①如图31-中，设CB '交AB 于K ，作AE CK ⊥于E ，DM CB ⊥'于M ，DN BC ⊥于N 3AC AB ='=，AE CB ⊥'，1522CE EB CB ∴='='=， 22225113()2AE AC CE ∴=--= 由ACE KCA ∆∆∽，可得311AK =，185CK =， 3114BK AB AK ∴=-=-DCK DCB ∠=∠，DM CM ⊥，DN CB ⊥，DM DN ∴=，∴181********2CDKCDB CK DM S DK CK S DB CB BC DN ∆∆⋅⋅=====⋅⋅， 251001511434343BD BK ∴==，10015117215114()43434343AD AB BD ∴=-=--=+． ②如图32-中，当CB '交BA 的延长线于K 时，同法可得251001511434343BD BK ==+， 7215114343AD AB BD ∴=-=-．。

上海市浦东区2023年九年级数学一模试题

上海市浦东区2023年九年级数学一模试题注意：以下是一个关于2023年上海市浦东区九年级数学一模试题的虚构文本，非真实试题。

2023年上海市浦东区九年级数学一模试题第一部分：选择题1.将下列分数由小到大排列：A. 1/4，2/3，5/6，3/4B. 2/5，4/7，1/2，5/8C. 3/8，7/12，5/9，2/5D. 3/5，1/3，4/7，2/52.一辆汽车行驶1000公里，前半程以每小时60公里的速度行驶，后半程以每小时80公里的速度行驶。

则整个行程共用时多长？A. 12小时B. 13小时C. 14小时D. 15小时3.若1+2+3+...+100的和可由一个等差数列表示，则这个等差数列的首项为多少？A. 1B. 2C. 3D. 1004.甲、乙两个数相等，若甲的一半减去乙的1/4等于5，则甲、乙两数的和是多少？A. 5B. 10C. 15D. 205.一个正方形的周长是64cm，这个正方形的面积是多少平方厘米？A. 256平方厘米B. 1024平方厘米C. 2024平方厘米D. 4096平方厘米第二部分：解答题1.旅行社在某次旅游活动中共组织了120人，其中男生占总数的3/5。

女生人数是男生人数的25%，问女生的人数是多少？2.已知等差数列前四项分别是50，48，46，44，求这个等差数列的首项与公差。

3.一位农夫种植了一片长方形的菜地，长是20米，宽是15米。

他计划在这片菜地中分成若干块，每块的面积都相等，且都是正方形。

问他最多能分成多少块？4.某公司购进一批衬衫，按进价加20%的价钱标售，然后又按标售价减10%的折扣出售给顾客。

如果每件衬衫的进价是200元，问每件衬衫最后以多少元的价格出售给顾客？第三部分：应用题1.某超市的某商品原价为200元，超市举办促销活动，将价格降低20%。

则现价是多少？2.某条小巷的长度是200米，人们沿着小巷步行，乘车速度为10米/分钟，步行速度为2米/分钟。

上海市浦东区2023年九年级数学一模试题

上海市浦东区2023年九年级数学一模试题
上海市浦东区2023年九年级数学一模试题是指上海市浦东区教育局组织的一次模拟考试中的数学试卷，旨在评估九年级学生的数学学习水平和备考能力。

以下是上海市浦东区2023年九年级数学一模试题示例题目：
选择题：
1.下列二次根式中，最简二次根式是（）
A.√24
B.√(x^2 + 1)
C. √(4a)
D. √(1/3)
2.已知点A（a，b），B（b，a）表示同一点，那么a，b的关系是（）
A.a = b
B.a = -b
C.a + b = 0
D. a - b = 0
填空题：
1.若（x - 3）^0 = 1，则x的取值范围是____．
2.若分式方程 x/(x - 2) - 2 = k/(x - 2) 有增根，则 k = ___．
判断题：
1.无理数都是无限小数。

（）
2.若 a、b 是无理数，则 a + b 一定是无理数。

（）
计算题：
1.(√3 + √2)^2 - (√3 - √2)^2
2.x + y = 5，xy = 6，求 (x - y)^2 的值。

总结：上海市浦东区2023年九年级数学一模试题是指上海市浦东区教育局组织的一次模拟考试中的数学试卷。

通过这份试卷，可以评估学生的数学知识和技能水平，并帮助学生发现自己的不足之处。

同时，这份试卷也可以作为教师评估教学质量和改进教学方法的参考。

浦东初三数学一模试卷

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列数中，有理数是（）A. √-1B. πC. 2.5D. √92. 下列代数式中，同类项是（）A. 3x^2yB. 4xy^2C. 5x^2y^2D. 2xy3. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，那么f(2)的值为（）A. 0B. 4C. 8D. 124. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于原点的对称点是（）A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (-2, -3)D. (2, 3)5. 下列图形中，轴对称图形是（）A. 正方形B. 等边三角形C. 等腰梯形D. 梯形二、填空题（每题5分，共25分）6. 计算：-3 + (-2) × 4 = _______7. 已知 a + b = 5，a - b = 3，求 a^2 - b^2 的值。

8. 若等差数列 {an} 的首项 a1 = 3，公差 d = 2，那么第10项 an 的值为_______9. 已知三角形ABC的三个内角分别为 A、B、C，且 A + B + C = 180°，那么sinA + sinB + sinC 的值等于 _______10. 若等比数列 {bn} 的首项 b1 = 2，公比 q = 3，那么第5项 bn 的值为_______三、解答题（每题10分，共40分）11. （10分）已知函数 f(x) = 2x - 3，求函数 f(x) 的定义域和值域。

12. （10分）已知一元二次方程 x^2 - 4x + 3 = 0，求该方程的两个实数根。

13. （10分）在直角坐标系中，点P(a, b)在第二象限，且点P到原点的距离为5，求点P的坐标。

14. （10分）已知等差数列 {an} 的首项 a1 = 1，公差 d = 2，求前n项和 Sn的表达式。

四、综合题（每题20分，共40分）15. （20分）已知函数 f(x) = x^2 - 2x - 3，求函数 f(x) 的最大值和最小值。

2022届上海浦东新区中考数学一模试卷及答案

2021学年第一学期期末质量测试九年级数学学科一、选择题1. 某两地的距离为3000米，画在地图上的距离是15厘米，则地图上的距离与实际距离之比是（）A . 1:200B . 1:2000C . 1:20000D . 1:2000002. 将抛物线2y x =−向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是（）A . ()3,2−B . ()3,2−−C .（3,2）D . ()3,2− 3. 已知3,2a b ==，且b 与a 的方向相反，那么下列结论中正确的是（）A . 32a b =B . 23a b =C . 32a b =−D . 23a b =−4. 已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP >BP ，则下列比例式能成立的是（）A . AB BP AP AB = B . BP AB AP BP =C . AP BP AB AP =D . AB BP AP PA =5. 在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（）A . 20cot αB . 20tan αC . 1.520tan α+D . 1.520cot α+6. 如图，在ABC 中，AC =2，BC =4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD =∠B ，若ADC 的面积为a ，则ABD 的面积为（）A . 2aB . 52aC . 3aD . 72a二、填空题7. 计算：()()32223a b a b −−−=____________8. 在Rt ABC 中，∠C =90°，AC BC ==，则∠B =____________°9. 在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x ，若剩下阴影部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是____________10. 抛物线()220y ax ax a =++≠的对称轴是直线____________ 11. 如果在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（3,4），射线OP 与x 轴的正半轴所夹的角α，那么α的余弦值等于____________12. 如图，平行四边形ABCD ，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使DE :AD =1:3，联结EF 交DC 于点G ，则:DEG CFG S S =____________13. 已知二次函数223y x x n =−−+−（n 为常数），若该函数图像与x 轴只有一个公共点，则n =__________14. 在Rt ABC 中，∠C =90°，点G 是ABC 的重心，CG =2，2sin 3ACG ∠=，则BC 的长是____________ 15. 如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，设,OA a OB b ==，那么向量AB 关于向量,a b 的分解式是____________16. 已知在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点P 是射线BC 上的一个动点，过点P 作PQ AP ⊥，交直线CD 于点Q ，那么当BP =5时，CQ 的值是____________17. 定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN 长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线3y x =−+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点B 恰好是抛物线()2y x m n =−−+的顶点，则此时抛物线关于直线y 的割距是____________18. 如图a //b //c ，直线a 与直线b c 与直线b 之间的距离为ABC 的三个顶点分别在直线a 、直线b 、直线c 上，则等边三角形的边长是____________三、解答题19. 求值：2cos 45tan 60cot 45sin 45︒︒−︒−︒（结果保留根号）20. 如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，且23DE BC =. （1）如果AC =6，求AE 的长；（2）设,AB a AC b ==，求向量ED （用向量,a b 表示）21. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动，如图，在一个坡度（或坡比）1:2:4i =的山坡AB 上发现一棵古树CD ，测得古树底端C 到山脚点A 的距离AC =26m ，在距山脚点A 处水平距离6m 的点E 处测得古树顶端D 的仰角∠AED =48°（古树CD 与山坡AB 的剖面、点E 在同一平面上，古树CD 所在直线与直线AE 垂直），则古树CD 的高度约为多少米?（结果精确到整数）（数据sin 480.74,cos480.67,tan 48 1.11︒≈︒≈︒≈）22. 如图，已知在Rt ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，3cos 5A =，点D 是AB 的中点，过点D 作直线CD 的垂线与边BC 相交于点E .（1）求线段CE 的长；（2）求sin ∠BDE 的值.23. 如图，在ABC 和ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，∠B =∠ADE =30°，AC 与DE 相交于点F ，联结CE ，点D 在边BC 上.（1）求证：ABD ACE ；（2）若AD BD =DF CF的值.24. 已知：二次函数2y x bx c =−++的图像与x 轴交于点()1,0A −，点B （3,0），与y 轴交点C . （1）求二次函数解析式；（2）设点E （t ,0）为x 轴上一点，且AE =CE ，求t 的值；（3）若点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，联结BC ，过点P 作PQ BC ⊥，交BC 于点Q ，求线段PQ的最大值及此时点P 的坐标.25. 在ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，BC =3，点O 是边AC 上的一个动点，过O 作OD AB ⊥，D 为垂足，在线段AC 上去OE =OD ，联结ED ，作EP ED ⊥，交射线AB 于点P ，交射线CB 于点F .（1）如图1所示，求证：ADE AEP ；（2）设,OA x AP y ==，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当BF =1时，求线段AP 的长.参考答案一、选择题1. C2. A3. D4. C5. C6. C二、填空题7. 23a b + 8. 30° 9. 28y x x =−+ 10. 12x =− 11. 35 12. 4913. 4 14. 4 15. a b −+ 16. 53 17. 18.三、解答题19. 220.（1）4（2）2233ED a b =−21. 约为23米22.（1）254（2）7sin 25BDE ∠=23.（1）证明略（2）324.（1）223y x x =−++（2）4（3）当点315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，PQ 25.（1）证明略（2）1625058y x x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭（3）2或6。

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2016学年浦东新区初三一模数学试卷数学试卷
数学试卷 2017/1/12
（满分：150分，考试时间：100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定位置上作答，在草稿纸，本试卷上大题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步
骤。

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
.
1．在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是………………………………………………（）（A ）2
2y x =；（B ）22y x =-；（C ）2
y ax =；（D ）2
a y x =
． 2．如果向量a b x 、
、满足32
()23
x a a b +=-，那么x 用a b 、表示正确的…………………（）（A ）2a b -；（B ）52a b -；（C ）2
3
a b -；（D ）12a b -
3．已知在Rt ABC ∆中，90O C ∠=，A α∠=，2BC =，那么AB 的长等于（）（A ）2sin α；（B ）2sin α；（C ）2
cos α
；（D ）2cos α
#
4．在ABC ∆中，点D E 、分别在边AB AC 、，如果2AD =，=4BD ，那么由下列条件能够判断DE BC ∥的是（）（A ）12AE AC =；（B ）13DE BC =；（C ）13AE AC =；（D ）1
2
DE BC =
5．如图，ABC ∆的两条中线AD CE 、交于点G ，且AD CE ⊥.联结BG 并延长与AC 交于点F ，如果912AD CE ==，，那么下列结论不正确的是（）
(A ) 10AC =； (B )15AB =；（C ）10BG =； (D )15BF =
—
6．如果抛物线21A y x =-：通过左右平移得到抛物线B ，再通过上下平移抛物线B 得到抛物线
222C y x x =-+：，那么抛物线B 的表达式为（）
（A ）22y x =+；（B ）221y x x =--；（C ）22y x x =- ；（D ）221y x x =-+；
…
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知线段34a cm b cm ==，，那么线段a b 、的比例中项等于 cm ； 8．已知P 是线段AB 上的黄金分割点，PB PA ＞，=2PB ，那么=PA ； 9．已知24a b ==，，且b 和a 反向，用向量a 表示b = ； 10．如果抛物线2(3)2y mx m x m =+--+经过原点，那么m = ； 11．如果抛物线2(3)2y a x =--有最低点，那么a 的取值范围是。

12．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为(02)x x ＜＜的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是__________.
13．如果抛物线221y ax ax =-+经过点(1,7)A -、(,7)B x ，那么x = 。

—
14．二次函数()2
1y x =-的图像上有两个点129
(3,)(,)2
y y 、
，那么1y 2y （填“＞”、“＝”或“＜”）. 15．如图，已知小鱼同学的身高（CD ）是米，她与树（AB ）在同一时刻的影子长分别为2DE =米，5BE =米，那么树的高度AB = 米.
16．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线BD 与中位线EF 交于点G ，如果2AD =，5EF =，那么FG = .
17．如图，点M 是ABC ∆的角平分线AT 的中点，点D E 、分别在AB AC 、边上，线段DE 过点M ，且ADE C ∠=∠，那么ADE ∆和ABC ∆的面积比是 .
18．如图，在Rt ABC ∆中，o =90C ∠，o =60B ∠，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转o 60，点B C 、分别落在点''B C 、处，联结'BC 与AC 边交于点D ，那么
'
BD
DC = 。

第15题图第16题图第17题图第18题图
，
三、（本大题共7题，满分78分） 19．计算：2
1
2cos 30sin 30cot 302sin 45
-+-
20．如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 上一点，且2DE =，3CE =，射线AE 与射线。

BC 相交于点F .
（1）求
EF
AF
的值；（2）如果AB a =，AD b =，求向量EF （用向量a 、b 表示）.
21．（本题满分10分）
如图，已知在ABC ∆中，4AC =，D 为BC 上一点，2CD =,且ADC ∆与ABD ∆的面积比为1:3. (1) ~ (2) 求证：ADC BAC ∆∆∽； (3) 当8AB =时，求sin B ；
22．（本题满分10分）
如图1是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，图2是该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为米，宽为米，轮椅专用坡道AB 的顶端有一个宽为2米的水平面BC .
、
《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定：
（1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB 是符合要求的说明理由；（2）求斜坡底部点A 与台阶底部点D 的水平距离AD ；
{
（第22题图2）
（第22题图1）
》
23．（本题满分12分）
如图，在△ABC 中，AB AC =，点D 、E 是边BC 上的两个点，且BD DE EC ==，过点C 作CF ∥AB 交AE 延长线于点F ，联结FD 并延长与AB 交于点G ；（1）求证：2AC CF =；
（2）联结A D 、，如果ADG B ∠=∠，求证：2CD AC CF =⋅；
》
24．（本题满分12分）
坡度
1:20 1:16 1:12
最大高度（米）
~
已知顶点为(2,1)
B，与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）；
A-的抛物线经过点(0,3)
{
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；
（3）点P在x轴正半轴上，如果45
APB︒
∠=，
求点P的坐标；
.
.
~
、
25．（本题满分14分）
如图，矩形ABCD中，3
⊥，
BC=，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF AE AB=，4
射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点M；
《
（1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；
（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE x
∠=，求y关于x的函数解析式，并写出x的取
=，tan MAG y
值范围；
（3）当△AGM与△ADF相似时，求BE的长；
…
&
%
参考答案：一. 选择题
1. A
2. D
3. A
4. C
5. B
6. C
二. 填空题 7. 2
3 8. 5-1 9. 10. 2 11. 3a 12. y=4-x 2
13. 3 14. < 15. 4 16. 4
17.
14 18. 23
三. 解答题 19.
1+3+2；
20.（1）
3
5
；（2
21. （1）略；（2）
158
； 22. （1）1:20；（2）; 23. 证明略； 24.（1）x
2
-4x +3;（2）3；
（3）(3+6,0) 25.（1）证明略；（2）12-3x 9+4x (0<x < 4 ) ; （3）1，3
2。