2019-2020学年广西南宁三中高一(下)期末数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年广西南宁三中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合U ={−3,−1,0，1，2，4}，A ={x ∈Z|x 2<4}，则∁U A =( )A. {−3,2，4}B. {−3,4}C. {−3,−1,4}D. {2,4}2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 2+πB. 1+πC. 2+2πD. 1+2π3. 下例说法正确的是( )A. 在研究身高和体重的相关性中，R 2=0.64，表明身高解释了64%的体重变化B. 若a ，b ，c ∈R ，有(ab)⋅c =a ⋅(bc)，类比此结论，若向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，有(a ⃗ ⋅b ⃗ )⋅c ⃗ =a ⃗ ⋅(b ⃗ ⋅c ⃗ )，C. 在吸烟与患肺癌是否相关的判断中，由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺癌有关系，那么在100个吸烟的人中，必有99个人患肺癌D. 若a ，b ∈R ，则a −b >0⇒a >b ，类比推出若a ，b ∈C ，则a −b >0⇒a >b4. 在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角α的终边经过点M(−cos π8,sin π8)，且0<α<2π，则α=( )A. π8 B. 3π8 C. 5π8 D. 7π8 5. 数列{a n }中，已知a 61=2 000，且a n+1=a n +n ，则a 1等于( )A. 168B. 169C. 170D. 1716. 若a >b >1,x =a +1a ,y =b +1b ，则x 与y 的大小关系是( )A. x >yB. x <yC. x ≥yD. x ≤y7. 已知点A(−1,1)、B(1,2)、C(−2,1)、D(3,4)，则向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在CB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( ) A. −3√52B. −3√152C. 3√22D. 3√1028. 已知数列{a n }满足a 1+a 2+⋯+a n =2a 2(n =1,2，3，…)，则( )A. a 1<0B. a 1>0C. a 1≠a 2D. a 2=0 9. 设a,b,c ∈R,ab =2,且c ≤a 2+b 2恒成立，则c 的最大值是( )A. 12B. 2C. 14D. 410. 锐角三角形ABC 中，若∠C =2∠B ，则ABAC 的取值范围是( )A. (0,2)B. (√2,2)C. (√2,√3)D. (√3,2)11. 已知圆A ：x 2+y 2=1，圆B ：(x −t +4)2+(y −at +2)2=1(t ∈R)，且圆A 与圆B 存在公共点，则圆A 与直线l ：x +y =a 的位置关系是( )A. 相切B. 相离C. 相交D. 相切或相交 12. 已知圆O ：x 2+y 2=4上三点A ，B ，C ，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 6B. −2√3C. −6D. 2√3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，a 3+a 8=5，则S 10= ______ ． 14. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +3≥0,x +2y ≥0,x ≤2,则z =3x +y 的最小值为________． 15. 已知tanα=2，则tan2α的值为__________.16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,−2)，B(1,−1)，P 为圆x 2+y 2=2上的一个动点，则PBPA的最大值是________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知直线l:y =kx +1与圆C:(x −2)2+(y −3)2=1相交于M 、N 两点．(1)求k 的取值范围； (2)当k =2时，求弦长|MN|．18. 已知数列{a n }，S n 是其前n 项和，且满足3a n =2S n +n(n ∈N ∗).(I)求证：数列{a n +12}为等比数列；(Ⅱ)记T n=S1+S2+⋯+S n，求T n的表达式．19.在△ABC中，AC=4√2，∠C=π6，点D在BC上，cos∠ADC=−13．(1)求AD的长；(2)若△ABD的面积为2√2，求AB的长；20.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c．(1)若cos(A+π6)=sinA，求角A;(2)若cosA=1，4b=c，求sin B的值．421.已知以点A(−1,2)为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切．过点B(0,5)的动直线l与圆A相交于M，N两点．(1)求圆A的方程；(2)若以弦MN为直径的圆经过原点时，求直线l的斜率．22.已知xy<0，则由4x2−9y2=36，能否确定一个函数关系y=f(x)?如果能，求出其解析式、定义域和值域：如果不能，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查补集的求法，考查补集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．先求出集合A，由此能求出C U A.【解答】解：∵集合U={−3,−1,0，1，2，4}，A={x∈Z|x2<4}={−1,0，1}，∴∁U A={−3,2，4}．故选：A．2.答案：A解析：【分析】本题考查了立体图形的三视图，以及几何体的体积.属于基础题．由三视图得到该几何体为一个长方体和半个圆柱组合而成.结合图形，得到其体积．【解答】解：根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合而成．π×12×2=2+π．V=1×1×2+12故选A．3.答案：A解析：解：在研究身高和体重的相关性中，R2=0.64，表明身高解释了64%的体重变化，故正确；(a⃗⋅b⃗ )⋅c⃗表示与c⃗共线的向量，a⃗⋅(b⃗ ⋅c⃗ )表示与a⃗共线的向量，故(a⃗⋅b⃗ )⋅c⃗=a⃗⋅(b⃗ ⋅c⃗ )不一定成立，故错误；在吸烟与患肺癌是否相关的判断中，由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，并不能认为吸烟与患肺癌有关系，那么在100个吸烟的人中，必有99个人患肺癌，故错误；虚数不能比较大小，故a，b∈C，则a−b>0⇒a>b不一定正确，故错误；故选：A根据相关系数的几何意义，可判断A；根据向量的运算法则，可判断B；根据独立性检验的意义，可判断C；根据虚数不能比较大小，可判断D．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了相关系数，向量运算，独立性检验，不等式的基本性质，难度基础．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属基础题．由题意利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，得出结论．【解答】解：∵角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角α的终边经过点M(−cosπ8,sinπ8)，且0<α<2π，则cosα=−cosπ8=cos7π8，sinα=sinπ8=sin7π8，∴α=7π8，故选：D．5.答案：C解析：【分析】本题考查了数列的递推关系，累加法的应用，属于基础题．【解答】解：∵a61=2000,a n+1−a n=n，则a 61=(a 61−a 60)+(a 60−a 59)+⋯+(a 2−a 1)+a 1=60+59+⋯+1+a 1 =60×(60+1)2+a 1=2000， ∴a 1=170． 故选C ．6.答案：A解析：x −y =a +1a −(b +1b )=a −b +b−a ab=(a−b)(ab−1)ab，由a >b >1，得ab >1,a −b >0，所以(a−b)(ab−1)ab>0，即x −y >0，所以x >y ．7.答案：D解析：解：∵点A(−1,1)，B(1,2)，C(−2,1)，D(3,4)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4×3+3×1=15，|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+12=10， ∴向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗|CB |=√10=3√102， 故选：D ．根据向量的坐标公式以及向量投影的定义进行求解即可．本题主要考查向量投影的计算，根据向量投影的定义以及向量数量积的公式进行求解是解决本题的关键．8.答案：D解析：解：数列{a n }满足a 1+a 2+⋯+a n =2a 2(n =1,2，3，…)， n =1时，a 1=2a 2； n =2时，a 1+a 2=2a 2， 可得a 2=0． 故选：D ．利用数列的递推关系式，通过n =1，2转化求解即可． 本题考查数列的递推关系式的应用，是基础题．9.答案：D解析：【分析】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a2+b2≥2|ab|，ab=2，且c≤a2+b2恒成立，当且仅当a=b时取等号．则c≤4，故选D．10.答案：C解析：解：∵∠C=2∠B，∴由正弦定理：ABsinC =ACsinB，得AB2sinBcosB =ACsinB，∴ABAC=2cosB．当∠C为最大角时，∵锐角三角形ABC中∠C<90°，∴B<45°．当A为最大角时，∵锐角三角形ABC中A<90°，∴B>30°∴30°<∠B<45°，∴2cos45°<2cosB<2cos30°∴√2<ABAC=2cosB<√3．故选：C．由∠C=2∠B，根据由正弦定理：ABsinC =ACsinB，得到AB2sinBcosB=ACsinB，所以ABAC=2cosB.由题设条件先推导出30°<∠B<45°，再由2cos45°<2cosB<2cos30°来求ABAC的取值范围．本题考查正弦定理的应用，看似简单，实则较难．解题时认真审题，注意合理地进行等价转化，易错点是求∠B的取值范围时容易忽视∠B>30°的情况．11.答案：C解析：解：根据题意，圆A：x2+y2=1，圆心A(0,0)，半径为1，圆B：(x−t+4)2+(y−at+2)2=1，圆心B(t−4,at−2)，半径为1，其圆心B在直线ax−y+ 4a−2=0上，若两圆有公共点，则必有圆心A到直线ax−y+4a−2=0的距离d=√1+a2≤2，变形可得：0≤a ≤43，圆A 的圆心A 到直线l ：x +y =a 的距离d′=|a|√2，又由0≤a ≤43，则有d′=√2<1， 则圆A 与直线l ：x +y =a 相交； 故选：C ．根据题意，由圆的方程分析两圆的圆心与半径，由B 的圆心分析可得圆心B 在直线ax −y +4a −2=0上；据此可得若两圆有公共点，则必有圆心A 到直线ax −y +4a −2=0的距离d =√1+a 2≤2，解可得a 的取值范围，求出圆心A 到直线l 的距离，结合a 的范围分析可得圆心A 到直线l ：x +y =a 的距离d′<1，由直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，注意分析a 的取值范围，属于基础题．12.答案：C解析：解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴O 、A 、B 、C 构成平行四边形OABC ， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． ∴△BOC 为等边三角形，∠BOC =60°，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2×2×(−12)−4=−6． 故选：C ．由已知画出图形，然后利用向量的减法法则结合数量积运算求解得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，属中档题．13.答案：25解析：解：等差数列{a n }中， ∵a 3+a 8=a 1+a 10=5 ∴S 10=10×(a 1+a 10)2=10×52=25．故答案为：25．根据等差数列{a n }的性质得出a 3+a 8=a 1+a 10，代入前n 项和公式，计算即可．本题考查了等差数列的应用问题，解题时利用等差数列的性质，结合前n 项和公式，即可求出正确的答案，是基础题．14.答案：−5解析：解：由实数x ，y 满足约束条件{x −y +3≥0x +2y ≥0x ≤2作出可行域如图， 联立{x −y +3=0x +2y =0，解得A(−2,1)，化目标函数z =3x +y 为y =−3x +z ， 由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×(−2)+1=−5．故答案为：−5．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：−43解析：tan2α=2tanα1−tan 2α=2×21−22=−43.16.答案：2解析：【分析】本题考查圆的方程，考查圆与圆位置关系的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．设出PBPA =t ，化简可得圆的方程，运用两圆相减得交线，考虑圆心到直线的距离不大于半径，即可得出结论．【解答】 解：设点P(x,y)，则x 2+y 2=2，所以PB 2PA 2=(x−1)2+(y+1)2x 2+(y+2)2=x 2+y 2−2x+2y+2x 2+y 2+4y+4=−2x+2y+44y+6=−x+y+22y+3.令λ=−x+y+22y+3，λ>0，所以x +(2λ−1)y +3λ−2=0.由题意知直线x +(2λ−1)y +3λ−2=0与圆x 2+y 2=2有公共点，所以|3λ−2|√1+(2λ−1)2≤√2，解得0<λ≤4，所以PBPA 的最大值为2． 故答案为2．17.答案：答案：解：(1)由题意可知，圆心O 到直线l 的距离为d =√1+k 2=√1+k 2<1，解得4−√73<k <4+√73；(2)当(a,+∞)时，圆心O 到直线l 的距离为d =2√55， 所以∴f(x)min =f(a)=lna +1−a =2√r 2−d 2=2√1−45=2√55．解析：解析：本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．(１)直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，可以得出ｋ的取值范围； (２)已知直线与圆的方程直接根据弦长公式即可计算．18.答案：证明：(I)当n =1时，3a 1=2S 1+1，所以a 1=1．当n ≥2时，由3a n =2S n +n① 得3a n−1=2S n−1+n −1②①−②得3a n −3a n−1=2S n +n −2S n−1−n +1=2(S n −S n−1)+1， =2a n +1，所以：a n =3a n−1+1， 则：a n +12=3(a n−1+12)，所以数列{a n +12}是以a 1+12=32为首项，3为公比的等比数列． (Ⅱ)由(I)得a n +12=32⋅3n−1，所以：a n =32⋅3n−1−12将其代入①得，S n =34⋅3n −14(2n +3) T n =S 1+S 2+S 3+⋯+S n ，=34(31+32+33+⋯+3n )−14(5+7+⋯+2n +3)， =34⋅3(3n −1)3−1−n(n+4)4， =98(3n −1)−n(n+4)4．解析：(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用构造新数列法得到数列{a n +12}是以a 1+12=32为首项，3为公比的等比数列．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步求出数列S n ，最后求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.答案：解：(1)∵cos∠ADC =−13，且0<∠ADC <π，∴sin∠ADC =√1−(13)2=2√23， 正弦定理有ADsin∠C =AC sin∠ADC ，得AD =ACsin∠Csin∠ADC =4√2×12×2√2=3；(2)∵sin∠ADB =sin(π−∠ADC)=sin∠ADC =2√23， ∵S △ABD =12AD ⋅BD ⋅sin∠ADB =√2BD ， ∴√2BD =2√2，得BD =2，又∵cos∠ADB =cos(π−∠ADC)=−cos∠ADC =13， 由余弦定理得AB 2=32+22−2×3×2×13=9， ∴AB =3．解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形的面积公式，诱导公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ADC 的值，利用正弦定理可求AD 的值． (2)由已知利用三角形的面积公式可求BD 的值，利用诱导公式可求cos∠ADB 的值，根据余弦定理可求AB 的值．20.答案：解：(1)在△ABC 中，若cos(A +π6)=sinA ，则有cosAcos π6−sinAsin π6=sinA ， 化简可得√32cosA =32sinA ，显然，cosA ≠0， 故tanA =√33，所以A =π6．(2)若cosA =14，4b =c ，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cosA ， 解得 a =√15b ，由于sinA =√1−cos 2A =√154，再由正弦定理可得√15bsinA=b sinB，解得sinB =14．解析：(1)在△ABC 中，由cos(A +π6)=sinA ，求得tanA =√33，从而得到A 的值．(2)若cosA =14，4b =c ，由余弦定理可得a =√15b ，利用同角三角函数的基本关系求得sin A 的值，再由正弦定理求得sin B 的值．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系、正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．21.答案：解：(1)设圆A 的半径为R ．∵圆A 与直线l 1：x +2y +7=0相切， ∴R =√5=2√5．∵圆A 的方程为(x +1)2+(y −2)2=20．(2)设直线l 的斜率为k ，则直线方程l 为y =kx +5， 直线l 与圆A 的交点为M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)， 若以弦MN 为直径的圆经过原点时，则，由得{x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=0y 1=kx 1+5y 2=kx 2+5, 有(k 2+1)x 1x 2+5k (x 1+x 2)+25=0(∗)， 联立{y =kx +5(x +1)2+(y −2)2=20, 有(k 2+1)x 2+(6k +2)x −10=0，得x 1+x 2=−(6k+2)k 2+1，x 1x 2=−10k 2+1，代入(∗)式，得：3k 2+2k −3=0，解得k =−1±√103．解析：本题考查了直线与圆的位置关系及判定，是中档题． (1)由圆A 与直线l 1：x +2y +7=0相切，得出R =√5=2√5，即可得出圆的方程；(2)若以弦MN 为直径的圆经过原点时，则OM ⊥ON ，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得{x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=0y 1=kx 1+5y 2=kx 2+5，联立{y =kx +5(x +1)2+(y −2)2=20求解得出k 即可． 22.答案：解：因为xy <0⇔{x >0y <0或{x <0y >0，因为4x 2−9y 2=36，故y 2=49x 2−4.又{x >049x 2−4≥0⇔x >3;或{x <049x 2−4≥0 ⇔x <−3．所以y =f(x)={ −√49x 2−4,(x >3)√49x 2−4,(x <−3)， 因为能确定一个函数关系y =f(x)，其定义域为(−∞,−3)∪(3,+∞)，值域为(−∞,0)∪(0,+∞)．解析：本题考查函数解析式，定义域，值域求法，因为xy <0⇔{x >0y <0或{x <0y >0，因为4x 2−9y 2=36，故y 2=49x 2−4. 所以y =f(x)={ −√49x 2−4,(x >3)√49x 2−4,(x <−3)从而求得定义域，值域．。