广西南宁三中五象校区2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
广西壮族自治区南宁市兴宁区南宁市第三中学2024-2025学年高一上学期10月月考(一)数学试题
南宁三中2024~2025学年度上学期高一月考（一）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．如果，则正确的是（ ）A ．若a >b，则B ．若a >b ，则C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd3．设命题甲：，命题乙：，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既充分又必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知实数x ，y 满足，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若不等式的解集是或x >2}，则a ，b 的值为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，6．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在R 上定义运算：a ⊕b ＝(a ＋1)b .已知1≤x ≤2时，存在x 使不等式(m －x )⊕(m ＋x )<4成立，则实数m 的取值范围为（ ）{}22M x x =-<<{1,0,1,2}N =-M N = {1,0,1}-{0,1,2}{}12x x -<≤{}12x x -≤≤,,,R a b c d ∈11a b<22ac bc >{}3|0x x <<{|||}12x x <－14,23x y -<<<<z x y =-{|31}z z -<<{|42}z z -<<{|32}z z -<<{|43}z z -<<-20x ax b ++>{3x x <-1a =6b =1a =-6b =1a =6b =-1a =-6b =-2y ax bxc =++ay x=()y b c x =+A．{m|－2<m<2}B．{m|－1<m<2}C．{m|－3<m<2}D．{m|1<m<2}8．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2021年高一第一次(3月)月考数学试题 含答案
2021年高一第一次（3月）月考数学试题含答案一、选择题：共12小题，每小题5分1. 的值是（）A． B． C． D．2.设的内角的对边分别为，其中，则角（）A． B． C．或 D．或3.函数是奇函数，则的一个可能取值为（）A． B． C． D．5.函数的定义域是（）A． B． C． D．6.已知扇形的中心角为，半径为2，则其面积为（）A． B． C． D．7.函数在区间上递减，则的取值范围是（）A． B． C． D．8.三个数之间的大小关系是（）A． B． C． D．9.向量与的夹角为，，，则（）A． B． C．4 D．1210.已知，则（）A． B． C． D．11.设的内角的对边分别为，若，则的形状是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形12.已知四边形，，，则四边形的面积为（）A．1 B． C． D．2二、填空题（共4小题，每小题5分）13.已知向量，向量，且，则__________.14. 的值等于__________.15. 在中，已知是方程的两个实根，则__________.16. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10……，第个三角形数为.记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数正方形数五边形数六边形数……可以推测的表达试，由此计算__________.三、解答题（共4小题，44分）17.（本题12分）已知，且为锐角.（1）求的值；（2）求的值.18. （本题12分）设的内角的对边分别为，若，，且.（1）求角的大小；（2）若，三角形面积，求的值.19. （本题12分）在等差数列中，.（1）求通项；（2）求此数列前30项的绝对值的和.20. （本题12分）已知函数（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；（2）将的图象左移个单位，再向上移1个单位得到的图象，试求在区间的值域.21. （本题12分）已知二次函数是偶函数，且过点，，且（1）求的值以及的值域；（2）对任意，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由.22. （本题12分）已知函数对任意都有.（1）求和的值；（2）数列满足121(0)()()()(1)nna f f f f fn n n-=+++++，，求证：是等差数列.（3）在（2）的情况下，令，，若，对任意，不等式恒成立，求的取值范围.高一下学期第一次月考数学答案选择题（12*5=60分）1----5 CDCCA 6----10 DBCBB 11—12AC填空题（4*5=20分）13. 6 14. 15. -7 16. 5720解答题17（10分）解：(1)由，得：，解得(2) ∵为锐角，∴，∴18（12分）解：（1）∵＝，＝，且 ,∴ ,∴ , 即 , 即－，又，∴.（2），∴又由余弦定理得：∴16＝，故.19.（12分）（1）∵即.∴.∴．（2）由，则.∴=20.（12分）（1），；（2）．（1），的最小正周期为，令，解得，即函数的对称轴方程为；（2）将的图象左移个单位，得到的图象，再向上平移1个单位得到的图象，即；，，则，即，即函数的值域为．21（12分）（1）由题知a=1，b=0，故令，则，故，当时，的值域是。
2024~2025学年南宁三中高一数学上学期月考试卷(一)及答案解析
南宁三中2024~2025学年度上学期高一月考（一）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}22M x x =-<<，集合{1,0,1,2}N =-，则M N =I （ ）A. {1,0,1}-B. {0,1,2}C. {}12x x -<£ D. {}12x x -££【答案】A 【解析】【分析】利用交集的定义直接求解即可.【详解】因为{}22M x x =-<<，{1,0,1,2}N =-，所以{1,0,1}M N Ç=-，故A 正确.故选：A2. 如果,,,R a b c d Î，则正确的是（ ）A. 若a >b ，则11a b< B. 若a >b ，则22ac bc >C. 若a >b ，c >d ，则a +c >b +d D. 若a >b ，c >d ，则ac >bd【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A:取2,1a b ==-则11a b>，故A 错，对于B:若0c =，则22=ac bc ，故B 错误，对于C:由同号可加性可知：a >b ，c >d ，则a +c >b +d ，故C 正确，对于D:若2,1,2,3a b c d ===-=-，则4,3ac bd =-=-，ac bd <，故D 错误.故选：C3. 设命题甲为“03x <<”，命题乙为“12x -<“，那么甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先解绝对值不等式得到命题乙，再根据充分条件、必要条件判断即可；【详解】解：因为12x -<，所以212x -<-<，解得13x -<<，命题乙为“12x -<”，即命题乙：13x -<<因为命题甲为“03x <<”\甲Þ乙，乙推不出甲，故甲是乙的充分不必要条件．故选：A ．4. 已知实数x ，y 满足1423x ,y -<<<<，则z x y =-的取值范围是（ ）A. {}3|1z z -<< B. {}4|2z z -<< C. {}3|2z z -<< D. {}3|4z z -<<-【答案】B 【解析】【分析】根据不等式性质即可得到答案.【详解】由题意得32y -<-<-，则42x y -<-<，所以{}|42z z -<<.故选：B5. 若不等式20x ax b ++>的解集是{3x x <-或x >2}，则a ，b 的值为（ ）A. 1a =，6b = B. 1a =-，6b =C. 1a =，6b =- D. 1a =-，6b =-【答案】C 【解析】【分析】3,2-是方程20x ax b ++=的两个根，由韦达定理得到答案.【详解】由题意得3,2-是方程20x ax b ++=的两个根，故32,32a b -+=--´=，解得1,6a b ==-.故选：C.6. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例函数ay x=与正比例函数()y b c x =+在同一坐标系中的大致图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由二次函数图象可知a >0，c <0，再根据对称轴和x =1时的值，可得b +c <0，从而可判断.【详解】由二次函数图象可知a >0，c <0，由对称轴bx 02a=->，可知b <0，当x =1时，a +b +c <0，即b +c <0，所以正比例函数()y b c x =+经过二四象限，且经过原点，反比例函数ay x=图象经过一三象限，故选：B.7. 在R 上定义运算：a ⊕b ＝(a ＋1)b .已知1≤x ≤2时，存在x 使不等式(m －x )⊕(m ＋x )<4成立，则实数m 的取值范围为（ ）A. {m |－2<m <2}B. {m |－1<m <2}C. {m |－3<m <2}D. {m |1<m <2}【答案】C 【解析】【分析】根据定义求出(m －x )⊕(m ＋x )＝m 2－x 2＋m ＋x ，将不等式分离参数后，转化为最大值使不等式成立，根据二次函数求出最大值后，解一元二次不等式即可得解.【详解】依题意得(m －x )⊕(m ＋x )＝(m －x ＋1)(m ＋x )＝m 2－x 2＋m ＋x ，因为1≤x ≤2时，存在x 使不等式(m －x )⊕(m ＋x )<4成立，所以存在1≤x ≤2，使不等式m 2＋m <x 2－x ＋4成立，即当1≤x ≤2时，m 2＋m <(x 2－x ＋4)max .因为1≤x ≤2，所以当x ＝2时，x 2－x ＋4取最大值6，所以m 2＋m <6，解得－3<m <2.故选：C ．【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了不等式能成立问题，考查了二次函数求最值，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.8. 若“2340x x -->”是“223100x ax a -->”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是A. 635éù-êúëû， B. 425éù-êúëû，C. (][)635-¥-+¥U ，， D. ][425æö-¥-+¥ç÷èøU ，【答案】D 【解析】【分析】将2340x x -->的解集记为A ，223100x ax a -->的解集记为B ,由题意可知B 是A 的真子集，由子集的定义求解即可.【详解】将2340x x -->的解集记为A ，223100x ax a -->的解集记为B .由题意2340x x -->是223100x ax a -->的必要不充分条件可知B 是A 的真子集.2340x x -->，解得{|4A x x =>或1}x <-,223100x ax a -->,则()()520x a x a -+>,（1）当0a ³时，{|2B x x a =<-或5}x a >,则5421a a ³ìí-£-î（等号不能同时成立），解得45a ³.（2）当0a <时，{|5B x x a =<或2}x a >- ,则2451a a -³ìí£-î（等号不能同时成立），解得2a £-.由（1）（2）可得45a ³或2a £-.故选：D .【点睛】将两个不等式之间的必要不充分性转化为其解集之间的包含关系是本题解题的关键，解题过程中注意分类讨论思想的运用.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的有（ ）A. x A Î是x A B ÎÈ的必要不充分条件B. “1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件C. 若2:N,2n p n n $Î>，则2:N,2np n n Ø"ΣD. x ，y 为无理数是x y +为无理数的既不充分也不必要条件【答案】BCD 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断ABD ，根据全称量词命题的否定为特称量词命题的否定判断C.【详解】对于A ，若x A Î，则x A B ÎÈ，但由x A B ÎÈ不能推出x A Î，所以x A Î是x A B ÎÈ的充分不必要条件，故A 错误；对于B ，1,1a b >>时，1ab >一定成立，所以1,1a b >>是1ab >成立的充分条件，故B 正确；对于C ，命题2:N,2n p n n $Î>，则2:N,2n p n n Ø"Σ，故C 正确；对于D ，当x y ==0x y +=，当2,x y ==x y +为无理数，所以,x y 为无理数是x y +为无理数的既不充分也不必要条件，故D 正确.故选：BCD.10. 已知a ，b 均为正实数，且1a b +=，则（ ）A. ab 的最大值为14B.2b a b+的最小值为C. 222a b +的最小值为23D. 2221a b a b +++的最小值为14【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，利用基本不等式即可解得；对于B ，212121b a a b a b a b-+=+=+-结合1a b +=代换即可用基本不等式解决；对于C ，消元变为给定范围内二次函数最值问题；对于D ，()()222222112121a b a b a b a b +-+-+=+++++结合214a b +++=代换即可用基本不等式解决.【详解】对于A ，因为a ，b 均为正实数，且1a b +=，所以()2144a b ab +£=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，212121b a a b a b a b-+=+=+-()122131b a a b a b a b æöæö=++-=++-ç÷ç÷èøèø312-³+=+，当且仅当2b a a b=即1,2a b ==B 错误；对于C ，()22222212212321333a b b b b b b æö+=-+=-+=-+ç÷èø，当12,33b a ==时，222a b +的最小值为23，故C 正确；对于D ，()()222222112121a b a b a b a b +-+-+=+++++()()41241221a b a b =+-+++-+++41321a b a b =+++-++()141212421a b a b æö=++++-ç÷++èø()411252421b a a b +éù+=++-êú++ë115244é³+-=êêë，当且仅当()24112a b b a =++++即21,33a b ==时，等号成立，故D 正确.故选：ACD.11. 已知关于x 的不等式组23344a x xb £-+£，下列说法正确的是（ ）A. 当1a b <<时，不等式组的解集是ÆB. 当1a =，4b =时，不等式组的解集是{}04x x ££C. 如果不等式组的解集是{}x a x b ££，则4b a -=D. 如果不等式组的解集是{}x a x b ££，则43a =【答案】BC 【解析】【分析】因为二次函数23344y x x =-+最小值为1，由一元二次不等的求法可判断A 错误；当1a =，4b =时，可解出不等式组的解集，判断B 错误；当不等式组23344a x xb £-+£的解集是{}x a x b ££时，2min3344a x x æö£-+ç÷èø，即1a £，再由因此,x a x b ==时，二次函数23344y x x =-+的值都等于b ，可解出b 的值，从而求出a 的值，可判断C 正确，D 错误.【详解】因为二次函数23344y x x =-+最小值为1，又1a b <<，由一元二次不等的求法可知不等式组23344a x xb £-+£解集不是Æ，故A 错误；当1a =时，不等式23344a x x £-+即为2440x x -+³，解集为R ，当4b =时，不等式23344x x b -+£即为240x x -£，解集为||04|x x ££，所以不等式组的解集是{}04x x ££，故B 正确；当不等式组23344a x xb £-+£的解集是{}x a x b ££时，2min3344a x x æö£-+ç÷èø，即1a £，因此,x a x b ==时，二次函数23344y x x =-+的值都等于b ，所以23344b b b -+=，解得43b =或4b =，当43b =时，由2343443a a b -+==，解得43a =或83a =，不满足1a £，不符合题意；当4b =时，由233444a ab -+==，解得0a =或4a =，因为0a =满足1a £，所以0a =，此时404b a -=-=，所以C 正确，D 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 命题“21,10x x "³-<”否定是_______.【答案】2001,10x x $³-³【解析】【分析】由命题否定的定义即可求解.【详解】由命题否定的定义，可知命题“21,10x x "³-<”的否定是“2001,10x x $³-³”.故答案为：2001,10x x $³-³.13. 函数()()52(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为___________.【答案】9【解析】【分析】由题意得10x +>，原函数表达式可化为关于1x +的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案.【详解】因为1x >-，则10x +>，所以22710(1)5(1)411x x x x y x x ++++++==++的4(1)5591x x =+++³=+，当且仅当411x x +=+即1x =时等号成立，∴已知函数的最小值为9.故答案为：9.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题.14. 设0b >2+=b ，则ab的最小值为_____________．【答案】4-##4-+【解析】【分析】根据基本不等式即可求解.2+=b ，所以22(2)143a b b b =--=-+，所以3444a b b b =+-³-=-，当且仅当6a b =-=故答案为：4-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. （1）已知0,0x y >>，且236x y +=，求xy 的最大值；（2）已知0,0x y >>，191x y+=，求x y +的最小值．【答案】32；16.【解析】【分析】（1）根据已知条件，直接利用基本不等式，即可求得结果；（2）根据已知条件，利用基本不等式中“1”的妙用，即可求得结果.【详解】（1）因为0,0x y >>，则236x y +=³，则32xy £，当且仅当23x y =，且236x y +=，即3,12x y ==时取得等号.故xy 的最大值为32.（2）因为0,0x y >>，191x y+=，故()199101016x y x y x y x y y x æö+=++=++³+=ç÷èø，当且仅当9x y y x =，且191x y+=，即4,12x y ==时取得等号.故x y +的最小值为16.16. 设集合{}23P x x =-<<，{}31Q x a x a =<£+.（1）若Q ¹Æ且Q P Í，求a 的取值范围；（2）若P Q =ÆI ，求a 的取值范围.【答案】（1）21,32éö-÷êëø （2）(]1,3,2éö-¥-+¥÷êëøU 【解析】【分析】（1）根据Q ¹Æ且Q P Í，列不等式组求a 的取值范围；（2）分Q =Æ和Q ¹Æ两种情形进行讨论，根据P Q =ÆI ，列不等式组求a 的取值范围.【小问1详解】因为Q P Í，且Q ¹Æ，所以321331a a a a ³-ìï+<íï<+î，解得，2132a -£<，综上所述，a 的取值范围为21,32éö-÷êëø.【小问2详解】由题意，需分为Q =Æ和Q ¹Æ两种情形进行讨论：当Q =Æ时，31a a ³+，解得，12a ³，满足题意；当Q ¹Æ时，因为P Q =ÆI ，所以1231a a a +£-ìí<+î，解得3a £-，或3331a a a ³ìí<+î无解；综上所述，a 的取值范围为(]1,3,2¥¥éö--È+÷êëø.17. 解关于x 的不等式()()2440R ax a x a -++³Î．【答案】答案见解析【解析】【分析】对于一元二次不等式2(4)40ax a x -++³，当0a =时，不等式变为一次不等式；当0a ¹时，可根据二次函数2(4)4y ax a x =-++的图像性质求解.先将二次函数因式分解，再分情况讨论a 的取值范围来求解不等式.【详解】（1）当0a =时,此时不等式化为440x -+³，移项可得44x -³-，两边同时除以4-，根据不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，得到1x £.（2）当0a ¹时,将2(4)4ax a x -++因式分解，得到(4)(1)0ax x --³.（i ）当0<a 时,二次函数(4)(1)y ax x =--开口向下，方程(4)(1)0ax x --=的两个根为1x =和4x a =，且41<a .不等式的解为41x a££.（ii ）当>0a 时,二次函数(4)(1)y ax x =--开口向上，方程(4)(1)0ax x --=的两个根为1x =和4x a =.当41a=，即4a =时，不等式化为(44)(1)0x x --³，即2(1)0x -³，此时R x Î.当41a >，即0<4a <时，不等式的解为1x £或4x a³.当41a <，即4a >时，不等式的解为4x a £或1x ³.综上所得,当0a =时，不等式的解为{|1}x x £；当0a <时，不等式的解为4{|1}x x a££；当04a <<时，不等式的解为{|1x x £或4}x a ³；当4a =时，R x Î；当>4a 时，不等式的解为4{|x x a£或1}x ³.18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x 元，朱古力蜂果蛋糕单位为y 元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b 个，花费记为1S ;方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a 个，花费记为2S ．（其中4,4y x b a >>>>）（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；（2）若a ，b ，x ，y同时满足关系4224y x b a a =-=+-，求这两种购买方案花费的差值S 最小值（注：差值S =花费较大值-花费较小值）．【答案】（1）采用方案二；理由见解析（2）24【解析】【分析】（1）列出两种方案总费用的表达式，作差比较，即可求解；（2）根据题意，得到214(()4S S x a a -=-×+-，利用换元法和基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：方案一的总费用为1S ax by =+（元）；方案二的总费用为2S bx ay =+（元），由21()()()()()S S bx ay ax by a y x b x y y x a b -=+-+=-+-=--，因为4,4y x b a >>>>，可得0,0y x a b ->-<，所以()()0y x a b --<，即210S S -<，所以21S S <，所以采用方案二，花费更少【小问2详解】解：由（1）可知()()(1244S S y x b a x a a æö-=--=-×+ç÷-èø，令t =，则24x t =+，所以2224(1)33x t t t -=-+=-+³，当1t =时，即5x =时，等号成立，又因为4a >，可得40a ->，所以44(4)44844a a a a +=-++³+=--，的.当且仅当444a a -=-时，即6,14ab ==时，等号成立，所以差S 的最小值为2483=´，当且仅当5,8,6,14x y a b ====时，等号成立，所以两种方案花费的差值S 最小为24元.19. 对于一个函数给出如下定义：对于函数y ，若当a x b ££，函数值y 满足m y n ££，且满足()n m k b a -=-，则称此函数为“k 属和合函数”.例如：正比例函数2y x =-，当13x ££时，62y -££-，则2(6)(31)k ---=-，求得：2k =，所以函数2y x =-为“2属和合函数”.已知二次函数22362y x ax a a =-+++，（1）若把抛物线23y x =-先向右平移1个单位，再向上平移6个单位，可得到该二次函数的图像，求a 的值；（2）当11x -££时，该二次函数是“k 属和合函数”，求k 的取值范围.【答案】（1）1；（2）32éö+¥÷êëø，.【解析】【分析】(1)根据图像平行对解析式的影响，写出新的解析式，与二次函数解析式对比即可求得a 的值；(2)根据二次函数对称轴的位置求出二次函数的值域，根据题意求出k 与a 的关系即可求k 的范围.【小问1详解】把抛物线23y x =-先向右平移1个单位，再向上平移6个单位，得到函数23(1)6y x =--+，即2363y x x =-++26623a a a =ì\í+=î，1a \=；【小问2详解】二次函数22362y x ax a a =-+++的对称轴为直线x a =，其图像开口向下，当1x =-时，243y a a =--；当1x =时，283y a a =+-；当x a =时，242y a a =+.∵当11x -££时，该二次函数是“k 属和合函数”，①当1a £-时，,当1x =-时，有2max 43y a a --=；当1x =时，有2min 83y a a +-=；22((43)83)2a a a a k ---+-=\6,6k a k \=-\³；②当10a -<£时，当x a =时，2max 42y a a =+；当1x =时，2min 83y a a +-=；222)83)(42(a a a a k +-+-=\263(1)322a k k \\=£-<，；③当01a <£时，当x a =时，2max 42y a a =+；当1x =-时，有2min 43y a a --=；222)43)(42(a a a a k +---=\23(1)2k a \=+，∴362k <£；④当1a >时，当1x =时，2max 83y a a +-=；当1x =-时，有2min 43y a a --=；22((83)43)2a a a a k +----=\6,6a k k =\>\；综上，k 的取值范围为32éö+¥÷êëø，.。
2020-2021学年广西南宁市第三中学高一上学期月考(一)数学试卷及答案
一、选择题1.已知集合{}1A x x =>，{}1B x x =≥，则（ ）A. A ⊆BB. B ⊆AC. A∩B=φD. A ∪B=R2.设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =（）A. {1,1}-B. {0,1}C. {1,0,1}-D. {2,3,4}3.已知集合{}2230A x N x x =∈+-≤，则集合A 的真子集个数为（ ） A. 31B. 32C. 3D. 44.设集合{}2A x N x =∈≤，{}21B y y x==-，则A∩B=（）A. {}21x x -≤≤B. {}0,1C. {}1,2D. {}01x x ≤≤5.已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ）A.递增区间是(0,)+∞B.递减区间是(,1)-∞-C.递增区间是(,1)-∞-D.递增区间是(1,1)-6.设()f x 的定义域为R ，图像关于y 轴对称，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，则(2),()f f π--(3)f 的大小顺序是（ ）A. ()(2)(3)f f f π-<-<B. (2)(3)()f f f π-<<-C. ()(3)(2)f f f π-<<-D. (3)(2)()f f f π<-<-7.已知函数()f x =m 的取值范围是（ ）A. 04m <≤B. 01m ≤≤C. 4m ≥D. 04m ≤≤8.函数2()(32)5f x kx k x =+--，在[1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是（）A. (0,)+∞B. 2(,]5-∞C. 2[,)3+∞D. 2[,)5+∞9. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： (1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠． 某人单独购买A ，B 商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A ，B 两件商品，则应付款是( ) A. 413.7元B. 513.7元C. 546.6元D. 548.7元10.设21211()(())121,1x x f x f f x x ⎧--≤⎪==⎨>⎪+⎩则 ( )A.12B.413C. 95-D.254111.若函数()()g x xf x =的定义域为R ，图像关于原点对称，在(,0)-∞上是减函数，且(2)0,g =则使得()0f x <的x 的取值范围是（ ）A. （﹣∞，2）B. （2，+∞）C. （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D. （﹣2，2）12.设函数2()1,f x mx mx =--若对于[1,3]x ∈，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A. （﹣∞，0]B. 57[0,）C. 5(,0)(0,)7-∞⋃D. 5(,)7-∞二、填空题13.函数()1f x x =-的定义域为________ 14.已知2(1),f x x -=则 2()f x =_________15.若函数2(21)1,0()(2),0b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，那么b 的取值范围是_____．16.已知函数2()41f x x x =-+，若()f x 在区间[a ，2a+1]上的最大值为1，则a 的取值范围为_________．三、解答题17.已知集合A={x|4≤x ＜8}，B={x|5＜x ＜10}，C={x|x ＞a} （1）求A ∪B ；（∁R A ）∩B ； （2）若A∩C≠φ，求a 的取值范围．18.已知函数22(2),0()4,0(2),0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩（1）写出()f x 的单调区间； （2）若()16f x =，求相应x 的值．19.已知函数()f x =的定义域为集合A ，集合{|21}.B x m x m =≤≤- （1）当1m =-时，求A B ⋃；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围；（3）若,A B φ⋂=求实数m 的取值范围.20.设函数()f x 的定义域为（﹣3，3），满足()()f x f x -=-，且对任意,x y ，都有()()(),f x f y f x y -=-当0x <时，()0f x >，(1)2f =-．（1）求(2)f 的值；（2）判断()f x 的单调性，并证明；（3）若函数()(1)(32),g x f x f x =-+-求不等式()0g x ≤的解集．21.已知函数2()21.f x x ax a =-++-(1)1[1,6]()a x f x =∈-当时，在上求的最值；2[0,1]()0x f x a ∈>（）若时恒成立，求实数的取值范围。
广西高一高中数学月考试卷带答案解析
广西高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（）A．B．C．D．3.已知不共线向量，，（），，若，，三点共线，则实数（）A．B．C．D．4.，则的值为（）A．B．C．D．5.设，，，则（）A．B．C．D．6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度7.对于菱形，给出下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．9.已知定义在区间上的函数的图象如图所示，则的图象为（）10.关于的不等式的解集非空的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．11.如果，，那么角的终边在（）A．第一或第三象限B．第二或第四象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限12.函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在上的值域为，那么称函数为“成功函数”，若函数（，）是“成功函数”，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知函数，则．2.已知扇形的周长为，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为．3.设函数满足：，则函数在区间上的最小值为．4.给出命题：①函数是奇函数；②若、是第一象限角且，则；③在区间上的最小值是，最大值是；④是函数的一条对称轴．其中正确命题的序号是．三、解答题1.已知角的终边上一点，，且，求，的值．2.已知．（1）若，求的值；（2）若为第二象限角，且，求的值．3.已知函数（，）的图象中相邻两条对称轴间的距离为，且点是它的一个对称中心．（1）求的表达式；（2）若（）在上是单调递减函数，求的最大值．4.已知函数（，，）．（1）若的部分图像如图所示，求的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若在上是单调递增函数，求的最大值．5.已知函数．（1）已知，求单调递增区间；（2）是否存在实数，使的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．6.已知，．（1）若方程有三个解，试求实数的取值范围；（2）是否存在实数，（），使函数的定义域与值域均为？若存在，求出所有的区间，若不存在，说明理由．广西高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，集合，集合，所以，故选B．【考点】集合的运算．2.用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，设，则，所以，所以函数在区间有零点，即在区间方程有近似解，故选C．【考点】函数的零点的判定定理．3.已知不共线向量，，（），，若，，三点共线，则实数（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，三点共线，所以，即，所以，解得，故选B．【考点】共线向量的应用．4.，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，故选C．【考点】三角函数的化简求值．5.设，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由指数函数与对数函数的性质，可知，又为第二象限角，所以，所以，故选C．【考点】比较大小．6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】因为函数，将函数的图象的各点向左平移个单位长度，故选B．【考点】三角函数的图象变换．7.对于菱形，给出下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】由菱形的图象可知①是错误的；这两个向量的方向是不同的，但由另想的定义可知它们的模是相等的，所以②是正确确的；把第三个结果中的向量减去变为加法，等式两边都是二倍边长的模，所以③是正确的；由菱形的定义可知，④是正确的，故选C．【考点】相等向量与相反向量．【方法点晴】本题主要考查了向量的概念，其中解答中涉及到相等向量和相反向量的概念，向量的模，以及菱形的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的额能力，此类问题的解得中熟记向量的基本概念，牢记向量的几何特征和代数特征，借助于向量的加法与减法运算是解答的关键，试题比较基础属于基础题．8.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，因为函数的定义域为，即，所以，令，解得，即函数的定义域为，故选D．【考点】函数的定义域．9.已知定义在区间上的函数的图象如图所示，则的图象为（）【答案】B【解析】由定义在区间上的函数的图象，可得，当，即时，，当，即时，，所以函数的解析式为，根据一次函数的性质，结合选项可知选项B符合，故选B．【考点】函数的解析式与图象．10.关于的不等式的解集非空的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，当时，不等式化为，不等式的解集为；当时，要使得关于的不等式的解集非空，则，即，当时，不等式的解集非空，恒成立，所以关于的不等式的解集非空时，实数的取值范围是，所以关于的不等式的解集非空的一个必要不充分条件是，故选B．【考点】充要条件的判定及应用．11.如果，，那么角的终边在（）A．第一或第三象限B．第二或第四象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限【答案】A【解析】由，可知角的终边位于第二象限或第四象限，由，可知角的终边位于第二象限或第三象限，所以，则，所以角的终边在第一或第三象限，故选A．【考点】三角函数的符号及象限角的表示．【方法点晴】本题主要考查了三角函数的符号及象限角的表示，其中解答中涉及到正弦函数、余弦函数、正切函数的符号、以及角的终边和象限角的表示等知识点的综合考查，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记正弦函数和余弦函数、正切函数的符号，以及象限角的表示是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．12.函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在上的值域为，那么称函数为“成功函数”，若函数（，）是“成功函数”，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以或，都是递增函数，所以，即，即有两个实数根，令，所以有两个正根，所以，解得，故选D．【考点】函数性质的应用；函数的新定义问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的新定义问题和函数性质的应用，其中解答中涉及到函数的单调性、一元二次函数的图象与性质，指数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答的能力，以及转化与化归思想，本题的解答中熟记指数函数与对数函数的性质，以及合理转化是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．二、填空题1.已知函数，则．【答案】【解析】由函数，则．【考点】对数的运算．2.已知扇形的周长为，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为．【答案】【解析】由题意得，设扇形的所在圆的半径为，则弧长，即，解得，所以扇形的面积为．【考点】扇形的弧长公式及面积公式．3.设函数满足：，则函数在区间上的最小值为．【答案】【解析】因为，将用代入，得，整理得，令，记，所以，由得：，所以，则在单调递减，．【考点】函数的解析式及函数的最值．【方法点晴】本题主要考查了函数的解析式及函数的最值，其中解答中涉及到函数的解析式的求解，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中正确推导函数的解析式，合理利用导数研究函数的单调性与极值、最值是解答的关键，试题有一定难度，属于中档试题．4.给出命题：①函数是奇函数；②若、是第一象限角且，则；③在区间上的最小值是，最大值是；④是函数的一条对称轴．其中正确命题的序号是．【答案】①④【解析】①中，函数是奇函数，所以是正确的；②中，若、是第一象限角且，取时，则，所以不正确；③中，在区间上的最小值是，最大值是，所以不正确；④中，当时，函数，所以是函数的一条对称轴是正确的，故选①④．【考点】命题的真假判定及应用．【方法点晴】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到三角函数的奇偶性、三角函数的最值、三角函数的对称性及三角函数值的大小比较等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．三、解答题1.已知角的终边上一点，，且，求，的值．【答案】或．【解析】利用三角函数的定义，求得，即可求解，的值．试题解析：，即，．当时，，；当时，，．【考点】三角函数的定义．2.已知．（1）若，求的值；（2）若为第二象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据三角恒等变换的公式，化简，即可求解当时，的值；（2）由，解得，进而求解的值．试题解析：．（1）．（2），∴，∵是第二象限角，∴，∴．【考点】三角函数的化简求值．3.已知函数（，）的图象中相邻两条对称轴间的距离为，且点是它的一个对称中心．（1）求的表达式；（2）若（）在上是单调递减函数，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意得的最小正周期为，得，得到，再根据点是它的一个对称中心，得到的值，即可求解函数的解析式；（2）由（1）得，又由，进而得到，即可求解实数的最大值．试题解析：（1）由题意得的最小正周期为，∴，得．∴，又点是它的一个对称中心，∴，得，∴．（2）由（1）得，∵，∴欲满足条件，必须，∴，即的最大值为．【考点】三角函数的图象与性质．4.已知函数（，，）．（1）若的部分图像如图所示，求的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若在上是单调递增函数，求的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）根据函数的图象，即可确定的值，得到函数的解析式；（2）根据三角函数的平行关系，结合偶函数的性质，即可求得最小正实数的值；（3）根据三角函数的单调性和周期性之间的关系，建立不等关系式，即可求解实数的最大值．试题解析：（1）；（2）将的图象向左平移的单位可得函数的图象．∵是偶函数，∴直线是的一条对称轴，∴，∴，即（），令可得最小正实数．（3）当最大时，函数在一个周期内完整单调递增区间就是，故函数周期满足，故，解得．【考点】三角函数的图象与性质．5.已知函数．（1）已知，求单调递增区间；（2）是否存在实数，使的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）根据代入函数的解析式，解得，得到，求出函数的定义域，讨论真数对应的二次函数在函数定义域内的单调性，即可得到结论；（2）设存在实数，使最小值为0，由于底数为，可得真数恒成立，在结合二次含的性质，列出不等式，即可求解结论．试题解析：∵且，∴，∴，即，可得函数，∵真数为，∴函数的定义域为，令可得，当时，为关于的增函数，∵底数为，∴函数单调增区间为．（2）设存在实数，使最小值为0，由于底数为，可得真数恒成立，且真数最小值恰好为1，即为正数，且当时，值为1，所以∴．【考点】对数函数的图象与性质及其应用．【方法点晴】本题主要考查了对数函数的图象与性质及其应用问题，其中解答中涉及到对数函数的求值，对数函数的解析式的求解，对数函数的单调性，以及二次函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于中档试题．6.已知，．（1）若方程有三个解，试求实数的取值范围；（2）是否存在实数，（），使函数的定义域与值域均为？若存在，求出所有的区间，若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，，．【解析】（1）利用数形结合，分别爱同一个坐标系中画出和的图象，观察每组条件的的取值范围，即可得到结论；（2）分别讨论的情况，得到对应的方程的根，借助于图象直观的求出满足条件的实数．试题解析：（1）若方程有三个解，当时，方程成立，即当是方程的一个根，当时，等价为方程有两个不同的根，即，设，则作出函数的图象如图：则当时，有两个不同的交点，即此时有两个非零的根，有三个解，综上．（2）作出函数的图象如图：则函数的值域为，若使函数的定义域与值域均为，则，且至少有两个根．当时，，即，得或，当时，，即，得或，所以，区间可以为，，，由图形可知，不成立，故存在，时，即定义域为，此时函数的值域为，满足条件，时，即定义域为，此时函数的值域为，满足条件．【考点】根的存在性及根的个数的判断．【方法点晴】本题主要考查了根的存在性及根的个数的判断，其中解答中涉及到一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质的应用等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想与转化、化归思想的应用，本题的解答中正确作出相应函数的图象，利用图象求解结论是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．。
广西南宁市第三中学2020-2021学年高一上学期期中段考数学试卷 含答案
B. b a c
C. c b a
D. a b c
11.已知函数 f (x) mx2 2x 1 的值域为 0，+ ，则实数 m 的取值范围（ ）
A. 0,1
B. 0,1
C. ,1
D. 1,
12.已知函数
f
(x)
2x , x 0 x2 2x 1, x
0
，则方程 f ( f (x)) f (x) 0 的根个数为(
综合①②知 f (x) 8 的解集为 (, 6) . .。。。。。。。。。。12 分
20．解析：（1）
f
(x)
ax 1 x2
a(x
2) 1 x2
2a
a
1 2a x2
，
。。。。。。。。。2 分
f
( x)在(2,)
上为增函数，而
x
1
2
为减函数，
。。。。。。。。。。。。。。4 分
1 2a 0 ，即 a 1 ， 2
x
2
2,
x x
2 2
，
（1）求函数 f (x) 的值域；
4
（2）解不等式 f (x) 8 .
5
20.
（本题满分 12 分）已知函数
f (x)
ax 1 x2
在区间
2,
上为增函数.
（1）求实数 a 的取值范围；
（2）求证：对任意 x (,2), f (x) x 2 恒成立.
21. （本题满分 12 分）设函数 f（x）＝（x﹣a）|x﹣a|（a∈R）． （1）若函数 f（x）是奇函数，求 a 的值； （2）若存在 a∈[﹣1，1]，使方程 f（x）+2x2﹣2a|x|+2=0 在 x∈{x||x|≥t}上有实数解，求实数 t 的
广西高一高中数学月考试卷带答案解析
广西高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合,且,那么m的最大值是（）A．1B．2C．3D．42.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与3.已知幂函数的图象过点则 =（）A．B．1C．D．24.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是（）A．B．β且⊥,则C．D．,则∥6.设,,，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c7.若函数的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．8.若，则的值为（ ） A ．6B ．3C ．D ．9.函数在上为减函数，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．10.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．11.函数是上的增函数，是其图像上两点，则的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．12.如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ） A ．48 B ．18 C ．24 D ．36二、填空题1.已知则．2.若定义域为的函数是偶函数，则的递减区间是 ． 3.已知函数且．当时，函数的零点，则 ．三、解答题1.若函数，的定义域都是集合，函数和的值域分别为和．（Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若，且，求实数m 的值．2.在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：面； （Ⅱ）求点到面的距离．3.已知函数有最小值．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）设为定义在上的奇函数，且时，，求的解析式．4.如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）连结，求二面角的正弦值．5.已知二次函数满足，且．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值集合．6.已知函数是偶函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设,若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．广西高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知集合,且,那么m的最大值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】有意义，则，所以，，因为，所以，即，所以的最大值是，故选A．【考点】1、对数函数性质；2、集合的子集；3、集合的补集运算．2.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】D【解析】因为，与不同，所以A选项不正确，与不同，所以B选项不正确，与不同，所以C选项不正确，与相同，故选D．【考点】函数的概念．3.已知幂函数的图象过点则 =（）A．B．1C．D．2【答案】C【解析】因为是幂函数，所以，又因为过，代入解析式得：，所以，从而，故选C．【考点】幂函数的概念．4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图知，该组合体由底面圆半径为，高为的半圆柱与长宽高分别为，，长方体构成，所以体积为，选A．【考点】三视图．5.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是（）A．B．β且⊥,则C．D．,则∥【答案】B【解析】注意特例的情况，A中直线，可能是异面直线，所以不正确，C中，∥也满足条件，所以不正确，D中只有两条直线与相交时才成立，所以只有B正确，故选B．【考点】1、平行的判定与性质定理；2、垂直的判定与性质定理．6.设,,，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【答案】D【解析】，，，又因为，，，所以，故选D．【考点】1、对数的运算；2、换底公式．7.若函数的定义域为，则的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为函数的定义域为，所以要有意义，则，解得，故选B ．【考点】复合函数的定义域． 8.若，则的值为（ ） A ．6B ．3C ．D ．【答案】A 【解析】因为，所以，从而，又，故选A ．【考点】1、对数的运算法则；2、指数的运算法则．9.函数在上为减函数，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为，所以是减函数，又在上为减函数，所以是增函数，故，又真数大于零，所以，所以，故选B ． 【考点】1、一次函数的增减性；2、对数函数的增减性；3、复合函数的增减性．10.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意知底面积为，体积，所以，设是棱柱高，则是底面的中心，从而，又为直线和平面所成的角，所以，，故选B ．【考点】直线与平面所成的角．11.函数是上的增函数，是其图像上两点，则的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为是上的增函数，是其图象上两点，所以的解为，所以的解是，即，故选C ．【考点】1、函数的增减性；2、绝对值不等式；3、函数中替换的思想．【思路点晴】本题主要考查的是函数增减性的灵活运用、解绝对值不等式及函数中整体替换的思想，属于中档题．是其图象上两点，再根据函数是增函数，从而知当时，，这是本题的一个突破点，从而由整体替换思想知当时，，即解得：，这种替换思想在高中数学学习中非常重要．12.如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A．48B．18C．24D．36【答案】D【解析】取一条棱，它与两个面垂直，因为共12条棱，所以共有24个正交线面对，再取一个表面上的一条对角线，显然与一个对角面垂直，每个面上两条对角线，共两对正交线面对，共6个面，所以共12对正交线面对，综合上述分析，共有36对正交线面对，故选D．【考点】1、线面垂直的判定；2、正方体性质；3、分类讨论方法．【思路点晴】本题主要考查的是正方体中的垂直位置关系及分类讨论的思想，属于中档题．本题借助正方体图形，比较容易看出每条棱都有一对平行的对面与之垂直，所以这样的正交线面对共对，注意还可以发现每个面的对角线，有且只有一个正方体的对角面与之垂直，从而共有对正交线面对，这种情况容易遗漏，导致结果错误，因此解题时一定注意考虑问题要全面．二、填空题1.已知则．【答案】【解析】由分段函数解析式知：，所以答案应填：．【考点】分段函数的函数值．2.若定义域为的函数是偶函数，则的递减区间是．【答案】【解析】因为是偶函数，所以定义域关于原点对称，即，即，此时，由是偶函数，所以此时，即，因此，所以在上是减函数，所以答案应填：．【考点】1、偶函数的性质；2、函数图象的变换；3、函数的增减性．【方法点晴】本题主要考查的是偶函数的性质、函数的增减性及二次函数图象的变换，属于中档题．本由题关键是利用函数的偶函数性质，分析函数定义域关于原点对称，从而分析出函数解析式，在解此类题目时，特别注意函数定义域的问题，否则很容易出错，然后由图象得，再根据图象写出递减区间．3.已知函数且．当时，函数的零点，则．【答案】【解析】设函数，根据，函数，当时，，函数，所以两函数图象必有交点，在同一坐标系中画出两个函数的图象，判断两个函数的图象的交点在之间，∴函数的零点时，，所以答案应填：．【考点】1、函数零点；2、数形结合；3、对数函数图象．【方法点晴】本题主要考查的是函数的零点、对数函数的图象及数形结合方法求零点，属于中档题．求函数零点时，可以直接解方程，当不能解方程时，可考虑函数零点的存在性定理，即时，必在上有零点，也可以转化为用数形结合的方法去研究函数图象交点的个数或位置问题．三、解答题1.若函数，的定义域都是集合，函数和的值域分别为和．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，且，求实数m的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）当，函数的值域为，的值域为，由集合的求交集运算知；（Ⅱ）时，函数的值域为，的值域为，因为，所以，解得：．试题解析：（Ⅰ）因为，由二次函数性质知，在上递增，所以，因为是增函数，所以，从而．（Ⅱ）时，函数的值域为,的值域为，因为，所以，解得或(舍去)．【考点】1、函数的值域；2、函数的增减性；3、集合的交集运算．2.在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）求点到面的距离．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）取中点，连结，，∵，分别为，的中点，可证四边形是平行四边形，从而，故面；（Ⅱ）利用三棱锥体积的等积法，设点到面的距离为，，从而求出．试题解析：（1）如图所示，取中点，连结，，∵，分别为，的中点，∴可证得，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴面．（2）∵，∴【考点】1、线线平行判定；2、线面平行判定；3、三棱锥的体积．3.已知函数有最小值．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）设为定义在上的奇函数，且时，，求的解析式．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）含有绝对值的函数去掉绝对值可转化为分段函数，要使函数有最小值，则必为增函数，为减函数，从而；（Ⅱ）因为为定义在上的奇函数，所以时，，当时，，所以．综上可得的解析式．试题解析：（1），要使函数有最小值，需，即时，有最小值；（2）∵是上的奇函数，∴，设，则，∴，即．【考点】1、分段函数的最值；2、奇函数的性质；3、函数解析式．4.如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）连结，求二面角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）连结交于点，则，由三垂线定理知，，在平面内，连结交于点，由条件可证，，从而与互余，所以，从而易证平面；（Ⅱ））连结，连结，因为，所以，又因为，所以．故是二面角的平面角．在中求，，而，即可求出的正弦值．试题解析：依题设，，．（Ⅰ）连结交于点，则．由三垂线定理知，．3分在平面内，连结交于点，由于，故，，与互余．于是．与平面内两条相交直线都垂直，所以平面．6分（Ⅱ）连结，连结，因为，，所以，又因为所以故是二面角的平面角．8分，，又，．．所以 12分【考点】1、线线垂直的判定；2、线面垂直的判定；3、二面角的大小．5.已知二次函数满足，且．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值集合．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）已知函数是二次函数，用待定系数法，，再根据，求解得：，；（Ⅱ）采用分离参数法，由于，所以要分类讨论，当时，恒成立，即恒成立，有对勾函数的单调性知在单调递减，从而求其最大值，只须即，其他情况同理可得．试题解析：（1）设，∵，又故(2)因为x∈[-1，1]时，不等式f（x）≥2mx恒成立，①当时，恒成立，即恒成立，令，因为在单调递减，所以当时取得最大值，所以即．当时，恒成立，．③当时，恒成立，令，在上递减，所以当，取得最小值，，即，综上所述：实数的取值范围是．【考点】1、二次函数待定系数法求解析式；2、分离参数法；3、函数的最大值；4、分类讨论思想．【思路点睛】本题主要考查的是二次函数待定系数法求解析式，含参数不等式恒成立问题、分类讨论思想及研究函数最大值问题，属于难题．本题利用先利用待定系数法求解析式，含参不等式恒成立问题优先考虑分离参数法，本题在分离参数时需要分类讨论，然后注意利用函数的增减性质求最大值或最小值，从而得出的取值范围，注意对号函数性质的掌握．6.已知函数是偶函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设,若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）因为是偶函数，根据偶函数定义，即：, 对一切恒成立，从而只须即可；（Ⅱ）由题意，转化为方程有且只有一解，化简：有且只有一解，换元，令,则方程有且只有一正解，分析，不合题意，所以此方程为二次方程，分方程有两等根且为正，有两不等根且一正一负分类讨论，即可得出．试题解析：（Ⅰ）由于函数是上的偶函数，；,即：, 对一切恒成立；（Ⅱ）和的图象有且只有一个公共点，只需方程有且只有一个实根,化简方程:,即：方程有且只有一个实根，令,则方程有且只有一个正根,①,不合题意;②若或；若，则,不合题意；若 ,符合题意③若方程一个正根与一个负根,即综上所述：实数的取值范围是．【考点】1、偶函数的性质；2、对数指数的运算；3、含参方程式；4、分类讨论5、换元法．【思路点睛】本题主要考查的是偶函数的性质、函数图象相交问题及含参方程根的讨论，以及换元法分类讨论，属于难题题．本题利用偶函数的定义得恒等式，再根据恒等式确定的取值，研究函数图象有交点问题可以转化为方程根的个数问题，利用指对数的运算，化简为含参二次方程有且只有一正根问题，采用分类讨论的方法，利用二次方程方程知识处理，特别注意先研究二次项前系数是否为的问题，否则容易遗漏解的情况．。
2020-2021学年广西南宁市第三中学高一上学期月考(一)数学试题(解析版)
2020-2021学年广西南宁市第三中学高一上学期月考（一）数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x x =>，{}1B x x =≥，则（ ） A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A∩B=φD ．A ∪B=R【答案】A【解析】根据数轴判断两集合之间包含关系. 【详解】因为{}1A x x =>，{}1B x x =≥，所以A ⊆B ，选A. 【点睛】本题考查集合之间包含关系，考查基本判断分析能力.2．设集合{}1,2,3,4A =，{}1,0,2,3B =-，{}12C x R x =∈-≤<，则()AB C =（ ） A ．{}1,1- B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,3,4【答案】C 【解析】先求出A B ，然后再与C 求交集.【详解】由{}1,2,3,4A =，{}1,0,2,3B =-，则{}1,0,1,2,3,4A B =-又{}12C x R x =∈-≤<，所以(){}1,0,1A B C =-故选：C 【点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于基础题.3．已知集合A={x ∈N|x 2+2x ﹣3≤0}，则集合A 的真子集个数为 （ ） A ．3 B ．4C ．31D ．32【答案】A【解析】求出集合}1{0A =，，由此能求出集合A 的真子集的个数． 【详解】由题集合{}2{|230}{|31}01A x N x x x N x =∈+-≤=∈-≤≤=， ，∴集合A 的真子集个数为2213-= ． 故选A ． 【点睛】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．设集合{}2A x N x =∈≤，{}21B y y x ==-，则A ∩B =（ ）A ．{}21x x -≤≤ B ．{}0,1 C ．{}1,2D ．{}01x x ≤≤【答案】B【解析】根据绝对值不等式的解法，常用数集的符号意义，一元二次函数的性质即可求出集合,A B ，再根据集合的交集运算即可求解． 【详解】因为{}{}20,1,2A x N x =∈≤=，{}(]21,1B y y x ==-=-∞，所以{}0,1A B =．故选：B ． 【点睛】本题主要考查集合交集的运算，涉及绝对值不等式的解法，二次函数的性质应用，属于基础题．5．已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ） A ．递增区间是(0,)+∞ B ．递减区间是(,1)-∞- C ．递增区间是(,1)-∞- D ．递增区间是(1,1)-【答案】D【解析】根据绝对值的意义，将函数()f x 写成分段函数形式，作出图象即可判断． 【详解】因为函数222,0()22,0x x x f x x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨+<⎩，作出函数()f x 的图象，如图所示：由图可知，递增区间是(1,1)-，递减区间是(,1)-∞-和()1,+∞． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查分段函数性质的应用，属于基础题．6．设()f x 的定义域为R ，图象关于y 轴对称，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，则(2)f -，()f π-，(3)f 的大小顺序是（ ）A ．()(2)(3)f f f π-<-<B ．(2)(3)()f f f π-<<-C ．()(3)(2)f f f π-<<-D ．(3)(2)()f f f π<-<-【答案】B【解析】由图象的对称得函数是偶函数，这样可把自变量的值都化为正数，然后利用已知增函数的定义得出函数值的大小． 【详解】∵()f x 的定义域为R ，图象关于y 轴对称，∴()f x 是偶函数，∴(2)(2),()()f f f f ππ-=-=，又()f x 在[0,)+∞上为增函数，且23π<<，∴(2)(3)()f f f π<<， ∴(2)(3)()f f f π-<<-． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，利用偶函数的定义把自变量化到同一单调区间上，然后由单调性得出大小关系． 7．已知函数()21mx x f x m =++m 的取值范围是（ ）A ．04m <≤B ．01m ≤≤C ．4m ≥D ．04m ≤≤【答案】D【解析】试题分析：因为函数()f x =0m =时，函数1f x 对定义域上的一切实数恒成立；当0m >时，则240m m ∆=-≤，解得04m <≤，综上所述，可知实数m 的取值范围是04m ≤≤，故选D.【考点】函数的定义域.8．函数2()(32)5f x kx k x =+--，在[1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．2,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】根据二次项系数是否为零分类讨论，按照一次函数和二次函数的性质即可求出． 【详解】当0k =时，2()(32)525f x kx k x x =+--=--，函数()f x 在[1,)+∞单调递减，不符合题意；当0k ≠时，要函数()f x 在[1,)+∞单调递增，只需03212k k k>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得25k ≥．故选：D ． 【点睛】本题主要考查一次函数和一元二次函数的性质应用，属于基础题． 9．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： (1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人单独购买A ，B 商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A ，B 两件商品，则应付款是 A ．413.7元 B ．513.7元C ．546.6元D ．548.7元【答案】C【解析】依题意可得，因为168200<，所以购买A 商品没有优惠，则A 商品的价格为168元．当购买价值500元的物品时实际付款为5000.9450423⨯=>，所以购买B商品享受了9折优惠，则B 商品的原价为4234700.9=元．若一次性购买两件商品则付款总额为168+470=638元，则应付款(638500)0.75000.9546.6-⨯+⨯=元，故选C10．设()2|1|2,||11,||11x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，则12f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．12B ．413C ．95-D ．2541【答案】B【解析】先计算1()2f ，再计算1[()]2f f ． 【详解】由题意113()12222f =--=-，2314()32131()2f -==+-．故选：B. 【点睛】本题考查分段函数，求值时要注意自变量的范围不同，选取的表达式可能就不相同． 11．若函数()()g x xf x =的定义域为R ，图象关于原点对称，在(,0)-∞上是减函数，且，()00f =，(2)0=g ，则使得()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣2，2） 【答案】C【解析】根据函数的图象关于原点对称，可得知函数()g x 在()0,∞+上是减函数，即可利用其单调性在(,0)-∞和()0,∞+上解不等式即可． 【详解】函数()()g x xf x =的定义域为R ，图象关于原点对称，在(,0)-∞上是减函数，且()20g =，所以函数()g x 在()0,∞+上是减函数．当0x =时，()00f =，显然0x =不是()0f x <的解．当()0,x ∈+∞时，()0f x <，即()()0g x xf x =<，而()20g =，所以()()20g x g <=，解得2x >；当(),0x ∈-∞时，()0f x <，即()()0g x xf x =>，而()()220g g -==，所以()()2g x g >-，解得2x <-．综上，()0f x <的x 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）． 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用函数的性质解不等式，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题．12．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ≤0 B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <57【答案】D【解析】将()4f x m <-+恒成立转化为g (x ) = mx 2－mx ＋m －5 < 0恒成立，分类讨论m 并利用一元二次不等式的解法，求m 的范围 【详解】若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立 即可知：mx 2－mx ＋m －5 < 0在x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}上恒成立 令g (x )＝mx 2－mx ＋m －5，对称轴为12x = 当m ＝0时，－5 < 0恒成立当m < 0时，有g (x )开口向下且在[1,3]上单调递减∴在[1,3]上max ()(1)50g x g m ==-<，得m < 5，故有m < 0 当m >0时，有g (x ) 开口向上且在[1,3]上单调递增 ∴在[1,3]上max ()(3)750g x g m ==-<，得507m << 综上，实数m 的取值范围为57m < 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，将不等式恒成立等价转化为一元二次不等式在某一区间内恒成立问题，结合一元二次不等式解法，应用分类讨论的思想求参数范围二、填空题 13．函数()f x =的定义域为________【答案】[0,1)(1,2]⋃【解析】根据偶次根式下被开方数大于等于零，分母不为零即可列式求解． 【详解】由题意可得，22010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得01x ≤<或12x <≤．故答案为：[0,1)(1,2]⋃ 【点睛】本题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题． 14．已知2(1),f x x -=则 2()f x =_________【答案】22(1)x +【解析】根据换元法可求出函数()f x 的解析式，再利用代入法即可求解． 【详解】令1t x =-，则1x t =+，所以()()21f t t =+，即()()21f x x =+，因此222()(1)f x x =+．故答案为：22(1)x +． 【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于基础题．15．若函数2(21)1,0()(2),0b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，那么b 的取值范围是_____．【答案】[1,2]【解析】由已知1212()()0f x f x x x ->-得出单调增，然后由2210,02b b -->≥及10b -≥可得结论． 【详解】因为对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，所以()f x 为单调递增函数，因此21020210b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥⎪⎩，12b ∴≤≤． 故答案为：[1,2]．. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，分段函数在定义域内单调，需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函数值满足相应的大小关系．16．已知函数2()41f x x x =-+，若()f x 在区间[a ，2a+1]上的最大值为1，则a 的取值范围为_________． 【答案】13[,0]22⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭【解析】先作函数图象，结合图象分类确定最大值为1所满足的条件，解得结果. 【详解】因为211a a a <+∴>-，作函数()f x 图象：由图象得10013{0421021422a a a a a a -<≤>⎧∴-≤≤=⎨≥+≥+=⎩或或 【点睛】在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.三、解答题17．已知集合A ={x|4≤x ＜8}，B={x|5＜x ＜10}，C={x|x ＞a} （1）求A ∪B ；（∁R A ）∩B ； （2）若A∩C≠φ，求a 的取值范围． 【答案】（1）{x|8≤x ＜10}（2）a ＜8【解析】(1)根据数轴集合并集、交集以及补集定义求解，（2）集合数轴，确定A∩C≠φ满足的条件，解得a 的取值范围． 【详解】解：（1）A ∪B={x|4≤x ＜10}， ∵（C R A ）={x|x ＜4或x≥8}， ∴（C R A ）∩B={x|8≤x ＜10} （2）要使得A∩C≠φ，则a ＜8 【点睛】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．18．已知函数22(2),0(){4,0(2),0x x f x x x x +<==->（1）写出()f x 的单调区间； （2）若()16f x =，求相应x 的值．【答案】（1）单调增区间为[﹣2，0），（2，+∞），单调减区间为（﹣∞，﹣2），（0，2]．（2）6或﹣6．【解析】（1）结合二次函数性质分段讨论函数单调区间，（2）根据分段函数分类求满足方程的解. 【详解】解：（1）由题意知，当x ＜0时，f （x ）=（x+2）2，当x ＞0时，f （x ）=（x ﹣2）2； ∴函数的单调增区间为[﹣2，0），（2，+∞）， 单调减区间为（﹣∞，﹣2），（0，2]． （2）∵f （x ）=16，讨论下面两种情况： ∴当x ＜0时，（x+2）2=16，∴x=2（舍）或﹣6；当x ＞0时，（x ﹣2）2=16，∴x=6或﹣2（舍）．∴x 的值为6或﹣6．【点睛】求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.19．已知函数()f x =A ，集合{}21B x m x m =≤≤-.（1）当1m =-时，求AB ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围； （3）若AB =∅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[]2,3AB =-；（2）(],2-∞-；（3）[)0,+∞.【解析】（1）求出函数()y f x =的定义域，即集合A ，将1m =-代入集合B 可得出集合B ，再利用集合的并集的定义得出集合AB ；（2）由已知条件A B ⊆列不等式组可求出实数m 的取值范围；（3）分()21m m B >-=∅和()21m m B ≤-≠∅两种情况，结合条件A B =∅列不等式可求出实数m 的取值范围. 【详解】（1）对于函数()y f x =，有3010x x -≥⎧⎨->⎩，解得13x <≤，(]1,3A ∴=. 当1m =-时，[]2,2B =-，因此，[]2,3AB =-；（2）A B ⊆，则有2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-，因此，实数m 的取值范围是(],2-∞-；（3）当21m m >-时，即当13m >时，B =∅，此时，A B =∅，合乎题意； 当21m m ≤-时，即当13m ≤时， 由于AB =∅，则11m -≤或23m >，解得0m ≥或32m >，此时103m ≤≤. 综上所述，实数m 的取值范围是[)0,+∞. 【点睛】本题考查集合的计算，以及利用集合的包含关系与交集运算求参数的取值范围，解题时要充分利用数轴，结合已知条件列不等式（组）进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.20．设函数()f x 的定义域为（﹣3，3），满足()()f x f x -=-，且对任意,x y ，都有()()(),f x f y f x y -=-当0x <时，()0f x >，(1)2f =-．（1）求(2)f 的值；（2）判断()f x 的单调性，并证明；（3）若函数()(1)(32),g x f x f x =-+-求不等式()0g x ≤的解集．【答案】（1）-4（2）单调递减（3）（0，2]．【解析】试题分析：（1）通过赋值法，令x ＝2，y ＝1代入即得；（2）利用单调性定义证明即可；（3）由奇函数条件得到f (x －1)≤f (2x －3)，结合单调性和定义即可解得.试题解析：(1)在f (x )－f (y )＝f (x －y )中，令x ＝2，y ＝1，代入得：f (2)－f (1)＝f (1)，所以f (2)＝2f (1)＝－4.(2)f (x )在(－3,3)上单调递减．证明如下：设－3<x 1<x 2<3，则x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(－3,3)上单调递减．(3)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0，所以f (x －1)≤－f (3－2x )．又f (x )满足f (－x )＝－f (x )，所以f (x －1)≤f (2x －3)，又f (x )在(－3,3)上单调递减，所以3133233123x x x x -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-≥-⎩解得0<x ≤2，故不等式g (x )≤0的解集是(0,2]．点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则1212,,()()x x D f x f x 且∈>时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则12()()f x f x ≤，这与12()()f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当1212,,()()x x D f x f x 且∈>时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域(－3,3). 21．已知函数2()21f x x ax a =-++-(1)当1a =时，在[1,6]x ∈-上求()f x 的最值；(2)若[0,1]x ∈时()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1) max min ()1()24f x f x ，==-； (2) 01a <<【解析】（1）根据二次函数单调性确定最值取法，（2）根据二次函数图像性质确定最小值取法，列对应不等式组，解得结果【详解】解：（1）当1a =时，22()2(1)1f x x x x =-+=--+ ()f x ∴的对称轴为1x =，则()f x 在[1,1]-上增，在[1,6]上减max ()(1)1f x f ∴==又(1)3,(6)3612243f f -=-=-+=-<-min ()(6)24.f x f ∴==-（2）22()()1f x x a a a =--++-的对称轴为x a =，抛物线开口向下 }{min ()min (0),(1)f x f f =100a a ->⎧∴⎨>⎩ 0 1.a ∴<<【点睛】本题考查二次函数图像与最值，考查基本分析求解能力，属中档题.22．已知二次函数2()1()f x x mx m m R =-+-∈．（1）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为()g m ，求()g m 的解析式；（2）求（1）中()g m 的最大值；（3）若函数()y f x =在[2，4]上是单调增函数，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）0（3）m≤3或m≥8【解析】(1)根据对称轴与定义区间位置关系，分类求解最小值，按分段函数形式写()g m 的解析式；（2）根据一次函数与二次函数性质分段讨论函数最大值，最后取最大值中最大值，（3）先转化：f（x）在[2，4]上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，再根据对称轴以及单调性列方程组，解得实数m的取值范围．【详解】解：（1）f（x）=x2﹣mx+m﹣1=，对称轴为x=．①若，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，所以最小值g（m）=f（﹣1）=2m．②若，此时当x=时，函数f（x）最小，最小值g（m）=f（）=．③若，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，所以最小值g（m）=f（1）=0．综上g（m）=．（2）由（1）知g（m）=．当m＜﹣2时，g（m）=2m＜﹣4，当﹣2≤m≤2，g（m）==当m＞2时，g（m）=0．综上g（m）的最大值为0．（3）要使函数y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，则f（x）在[2，4]上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，∴，所以或，解得m≤3或m≥8．【点睛】研究二次函数最值或单调性，一般根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论.。
2020-2021学年广西南宁市第三中学高一第一学期数学第二次月考综合测试题【解析版】
2020-2021学年广西南宁市第三中学高一第一学期数学第二次月考综合测试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}210A x x =-<，(){}20B x x x =-≥，则()UAB =（ ） A ．{}02x x << B ．{}01x x <<C ．{}01x x ≤<D ．{}10x x -<<【答案】B【分析】求出集合A 、B ，利用补集和交集的定义可求得集合()UA B ∩.【详解】{}{}21011A x x x x =-<=-<<，(){}{200B x x x x x =-≥=≤或}2x ≥，U =R ，则{}02U B x x =<<，因此，(){}01U A B x x ⋂=<<.故选：B.2．已知集合{}2,1,1,2,4A =--，{}2|log 1,B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{}2,1,1--B ．{}1,1,2-C ．{}1,1-D ．{}2,1--【答案】C【分析】首先求出集合{}1,0,1B =-，再求AB 即可.【详解】因为{}2,1,1,2,4A =--，所以{}{}2|log 1,1,0,1B y y x x A ==-∈=-. 所以{}1,1A B =-.故选：C 3．若函数(21)()()()x x a f x a R x+-=∈为奇函数，则实数a =（ ）A ．12B ．0C ．1-D ．1【答案】A【分析】根据奇函数的定义()()f x f x -=-计算即可得出结论． 【详解】解：∵函数(21)()()()x x a f x a R x+-=∈为奇函数，∴(21)()()x x a f x x -+---=-(21)()x x a x -+=-(21)()()x x a f x x+-=-=-，∴(21)()(21)()x x a x x a -+=+-，即()()22221212x a a x x a a x -+-=-+-， 化简得()210a x -=，则12a =， 故选：A ．【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求参数，属于基础题．4．已知关于x 的不等式210ax bx +->的解集为()3,4，则实数a ，b 的值是（ ） A ．12a =，84b =- B ．12a =-，84b = C ．112a =， 712b =-D ． 112a =-，712b =【答案】D【分析】由不等式的解集可知0a <，且13x =，24x =是方程210+-=ax bx 的两根，利用根与系数的关系可得34b a +=-，12134x x a-=⨯=，即可求解. 【详解】因为关于x 的不等式210ax bx +->的解集为()3,4， 所以0a <，且13x =，24x =是方程210+-=ax bx 的两根， 所以1234b x x a +=+=-，12134x x a-=⨯=， 解得112a =-，712b =， 故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由题意得出对应方程210+-=ax bx 的两根是13x =，24x =，利用根与系数的关系可得实数a ，b 的值.5．已知定义域为[]1,21a a -+的奇函数()()321sin f x x b x x =+-+，则()()20f x b f x -+≥的解集为（ ）A ．[]1,3B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,2D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】由定义域为[]1,21a a -+的奇函数()()321sin f x x b x x =+-+，求得0a =，1b =，再结合初等函数的单调性，可得函数()3f x x x =+在定义域[]1,1-为单调递增函数，列出不等式组12111121x x x x -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-≥-⎩，即可求解.【详解】由题意，定义域为[]1,21a a -+的奇函数()()321sin f x x b x x =+-+，则有()()1210a a -++=，解得0a =，即定义域为[]1,1-，且()()()3232)1()sin()1()sin [(]0x b x x x b x x f x f x +--+-+=---+++=，解得1b =，即函数()3f x x x =+，结合初等函数的单调性，可得函数()3f x x x =+在定义域[]1,1-为单调递增函数，又由()()20f x b f x -+≥，即()()21()f x f x f x -≥-=-，则12111121x x x x-≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-≥-⎩，解得113x ≤≤，即不等式()()20f x b f x -+≥的解集为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数的单调性的综合应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性求得,a b 的值，再结合函数的单调性列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.6．设角θ的终边经过点()34P -，，那么sin 2cos θθ+= A ．15B ．15-C ．25-D ．25【答案】C【分析】本题考察的是对角的终边的理解，通过角的终边来确定sin θ和cos θ的值，最后得出结果．【详解】试题分析：根据三角函数定义知：()()222243sin ,cos 553434θθ====--+-+，所以原式4322555⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭，答案为：C. 【点睛】在计算任意角的三角函数时，一定要考虑到任意角的三角函数的正负． 7．函数()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[0,]π上的零点个数为（ ）A ．0B ．3C ．1D ．2【答案】D【分析】根据零点与方程根的关系，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解方程即可求解. 【详解】令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得2()62x k k Z πππ+=+∈，即()62k x k Z ππ=+∈.∵[0,]x π∈，∴0k =，6x π=；1k =，23x π=.故选：D.【点睛】本题主要了三角函数的值求角、函数零点的定义，属于基础题. 8．已知1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．0 B ．12C 3D ．1【答案】B【分析】由题意求出θ的值，然后代入sin 2πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可求出结果. 【详解】因为02πθ<<，所以663πππθ-<-<，又π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以66ππθ-=，所以 π3θ=， 所以sin 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1sin()cos 3232πππ+==， 故选：B ．9．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 【答案】B【分析】根据sin()y A x ωϕ=+图象变换规律，可得答案【详解】函数sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以将sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象向右平移12π个单位，可得函数sin 2sin 26126y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象.故选：B10．函数2221()log log ,22f x x x x ⎛⎫⎡⎤=-+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为（ ）A ．[0,)+∞B ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【分析】先令2log t x =，求出t 的范围，再利用二次函数的性质求得它的值域.【详解】由题，设2log t x =，由1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，可得[1,1]t ∈-， 则有2211()24g t t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，可得当12t =时，函数()g t 取得最大值为1124g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当1t =-时，函数()g x 取得最小值为(1)2-=-g ，因此()f x 的值域为12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D【点睛】本题考查根据对数函数和二次函数的性质求值域，运用了换元的方法.11．已知函数243,1()log ,1x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，则((1))f f -=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解.【详解】由题意，函数243,1()log ,1x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，可得2(1)(1)34f -=-+=，所以4((1))(4)log 41f f f -===.故选：A.12．已知()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，且()f x 在70,8π⎛⎫ ⎪⎝⎭有最小值，则ϕ的取值范围是（ ）A ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．,64ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】根据题意以及正弦函数的单调性，求出ϕ的范围，再由其有最小值，又可得到ϕ的范围，取交集即可．【详解】设2t x ϕ=-，由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可知，2,3t πϕϕ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，而02πϕ<<，且sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()sin 2f x x ϕ=-在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以232ππϕ-≤，即62ππϕ≤≤，所以当70,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，72,4t x πϕϕϕ⎛⎫=-∈-- ⎪⎝⎭，由()f x 在70,8π⎛⎫ ⎪⎝⎭有最小值，所以7342ππϕ->，解得4πϕ<，综上，,64ππϕ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭． 故选：B ．【点睛】本题主要考查正弦函数的性质的应用，属于中档题．二、填空题 13．已知3cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 【答案】3【分析】根据6πα-与43πα+的关系，结合诱导公式求解出4sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】设π6βα=-，则π6αβ=+， 故4π4ππ3π3sin sin sin cos 3362αβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：33-.14．若正数a ，b 满足()25log log lg a b a b ==+，则11a b+__________. 【答案】1【分析】先令()25log log lg a b a b x ==+=，得到2x a =，5=x b ，10+=x a b ，代入所求式子即可求出结果.【详解】令()25log log lg a b a b x ==+=， 所以2x a =，5=x b ，10+=x a b ，因此1110125++===⋅xx xa b a b ab . 故答案为1【点睛】本题主要考查对数与指数幂的运算，熟记对数的运算性质以及指数幂的运算性质即可，属于常考题型.15．若函数2()log (1)(0a f x x ax a =-+->且1)a ≠有最大值，则实数a 的取值范围是_______． 【答案】(2,)+∞；【详解】试题分析：由题令：21t x ax =-+-，则抛物线开口向下，∴函数t 有最大值，log a y t =在定义域上单调，且t ＞0∴要使函数2()log (1)a f x x ax =-+-有最大值，则log a y t =在定义域上单调递增，则a ＞1，又2221()124a a t x ax x =-+-=--+-，则由t ＞0得，2104a -> ，解得：2,a >或2,a <-，又因为1a >，则 2.a >即实数a 的取值范围是（2，+∞）． 【解析】对数型复合函数的单调性与最值.16．若将函数()()0n 4si f x x ωω<<=的图象向左平移3π个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数ω的值为__________. 【答案】32【分析】函数()()0n 4si f x x ωω<<=的图象向左平移3π个单位后得到函数()sin()33f x x ππωω+=+，由题意函数是偶函数，所以,32k k Z ππωπ=+∈，再结合ω的范围即可得到答案.【详解】由已知，函数()()0n 4si f x x ωω<<=的图象向左平移3π个单位后， 得到函数()sin()33f x x ππωω+=+，此函数的图象关于y 轴对称，则,32k k Z ππωπ=+∈，即33,2k k Z ω=+∈，又04ω<<，所以32ω=.故答案为：32【点睛】本题考查正弦型函数的平移问题，涉及到函数的对称性，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.三、解答题17．已知二次函数()f x 满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)4f =. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求()f x 在区间[]0,3上的值域.【答案】（1）2()24f x x x =-+；（2）[]3,7.【分析】（1）设出二次函数的解析式，根据题意结合待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的单调性求出()f x 在区间[]0,3上的值域.【详解】解：（1）根据题意，二次函数()f x 满足(0)4f =，设其解析式为2()4f x ax bx =++ 又由(1)()21f x f x x +-=-∴2[(1)(1)4]a x b x ++++2[4]ax bx -++22ax a b =++21x =-∴2221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得1a =，2b =-则2()24f x x x =-+；（2）由（1）的结论，22()24(1)3f x x x x =-+=-+ 又[0,3]x ∈当1x =时，()f x 取得最小值，且其最小值()13f = 当3x =时，()f x 取得最大值，且其最大值()37f =； 故()f x 在[]0,3上的值域为[]3,718．已知α是第二象限，且1tan 3α=-，计算： （1）sin()25cos sin()πααπα+--； （2）2sin cos()cos .απαα++ 【答案】（1）316；（2）65. 【分析】（1）首先根据诱导公式化简，再上下同时除以cos α 后，转化为正切表示的式子，求值；（2）首先利用诱导公式化简，再转化为齐次分式形式，转化为正切求值.【详解】（1）原式cos 5cos sin ααα=-，上下同时除以cos α后，得11315tan 1653α==-+； （2）原式2222sin cos cos sin cos cos cos sin αααααααα-+=-+=+， 上下同时除以2cos α后，得211tan 16311tan 519αα+-+==++ 19．已知()()()222121f x ax a x a =-+++，a R ∈.（1）当2a =时，解不等式()0f x ;（2）当0α，求关于x 的不等式()0f x 的解集. 【答案】（1）{|2x x ≤或5}2x ≥ (2)答案见解析【分析】（1）将2a =代入不等式，解一元二次不等式得答案；（2）()()()221f x x ax a ⎡⎤=--+⎣⎦，讨论0a =和1a =即0a >且1a ≠几种情况，计算得到答案.【详解】（1）对于()()()222121f x ax a x a =-+++，R a ∈，2a =时，不等式()0f x ≥，即229100x x -+≥，解得2x ≤或52x ≥，故不等式的解集为{|2x x ≤或5}2x ≥.（2）不等式()0f x ≥，即()()2221210ax a x a -+++≥.当0a =时，不等式即20x -+≥，求得2x ≤.当0a ≠时，令()()2221210ax a x a -+++=，解得11x a a=+，22x =. （ⅰ）当1a =时，12a a+=. 不等式()()2221210ax a x a -+++≥的解集为R .（ⅱ）当0a >且1a ≠时，由基本不等式得，12a a+>. 解不等式()()2221210ax a x a -+++≥，得2x ≤，或1x a a≥+. 综上所述当0a =时，不等式解集为{}2x x ≤； 当1a =时，不等式的解集为R ；当0a >且1a ≠时，不等式的解集为{|2x x x ≤或1}x a a≥+.20．已知函数32()32x xxxf x ---=+ （Ⅰ）判断函数()f x 在定义域上的单调性，并利用定义加以证明；（Ⅱ）若对于任意t R ∈，不等式22(2)(2)f t t f t k ->-+恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）()f x 是R 上的增函数，证明见解析；（Ⅱ）13k <-． 【分析】（Ⅰ）分离常数得()2161x f x =-+，利用函数单调性的定义即可证明； （Ⅱ）由函数的单调性可转化条件为2min (32)k t t <-，求得232t t -的最小值即可得解.【详解】（Ⅰ）∵32()32x x x xf x ---=+3216132161x x x x x x ⋅--==⋅++2161x =-+，其定义域为R ， ∴()f x 是R 上的增函数，证明如下：任取12,x x R ∈且12x x <，则211222()()6161x x f x f x -=-++12212(66)(61)(61)x x x x -=++ ∵12x x <，∴12660x x -<，2610x +>，1610x +>，∴12212(66)0(61)(61)x x xx -<++，即12()()f x f x <， 故()f x 是R 上的增函数； (Ⅱ）因为函数()f x 是R 上的增函数，所以不等式22(2)(2)f t t f t k ->-+恒成立⇔2222t t t k ->-+对任意t R ∈恒成立，⇔2min (32)k t t <-，而当13t =时，221132333y t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭取最小值为13-，故13k <-.21．已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x B A ωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示：（1）求()f x 的解析式及对称中心坐标； （2）将()f x 的图象向右平移3π个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()y g x =在7π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调区间.【答案】（1）()2sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；对称中心的坐标为(),126k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭--ππZ ；（2）单调增区间为50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间57,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先根据图象得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得,A B 的值，根据周期求得ω的值，根据图象上()112f π=求得ϕ的值，由此求得()f x 的解析式，进而求得()f x 的对称中心；（2）求得图象变换之后的解析式()2sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再整体替换求出()g x 的单调区间.【详解】（1）由图象可知：13A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，可得：2A =，1B =-.又由于7212122T πππ=-=， 可得：T π=，所以22Tπω==. 由图象知112f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2sin 21112πϕ⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭，sin(2)112πϕ⨯+= 又因为2363πππϕ-<+<，所以2122ππϕ⨯+=，3πϕ=. 所以()2sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令2()3x k k Z ππ+=∈，得：()26k x k Z ππ=-∈所以()f x 的对称中心的坐标为(),126k k ⎛⎫∈⎪⎝⎭--ππZ . （2）由已知的图象变换过程可得：()2sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭当70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5[,]336x πππ-∈-， 由332x πππ-≤-≤，得506x π≤≤，所以()g x 在50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 由5236x πππ≤-≤，得5766x ππ≤≤，所以()g x 在57,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 所以函数()g x 在70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间57,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】关键点睛：在求()f x 的对称中心时，对称中心的纵坐标为1-，不再是0，此点要特别注意.22．函数()3s 4in f x x m πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中06ω<<，28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且对于任意x ∈R ，都有()5988f x f f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎪⎝⎭⎭.（1）求ω和m ；（2）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求()f x 的值域. 【答案】（1）2ω=，1m =-；（2）321,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由不等式恒成立得最大值98f π⎛⎫⎪⎝⎭，最小值58f π⎛⎫⎪⎝⎭，由正弦定理的最值可求得ω的表达式，再利用06ω<<可得ω，然后由28f π⎛⎫=⎪⎝⎭求得m ； （2）求出52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，然后由正弦函数性质得值域． 【详解】（1）因为()5988f x f f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎪⎝⎭⎭恒成立，所以98f π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的最大值，58f π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的最小值， 所以192842k πππωπ⋅+=+，1k Z ∈.① 252842k πππωπ⋅+=-+，2k Z ∈.② ①-②得：()1222k k πωππ⋅=+-，所以()1224k k ω=+-因为12k k Z -∈，06ω<<，所以2ω=. 又因为3sin 22884f m πππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即32m +=，所以1m =-. （2）()3sin 214f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以2sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，从而()321,22f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦即函数()f x 的值域是321,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.． 【点睛】易错点睛，本题考查求三角函数的解析式与值域，解题时得出98f π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的最大值，58f π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的最小值时，应用正弦函数的最值求解是基本方法，这里易错占在于误认为9588ππ-是半个周期，从而解法上出现错误（当然这样求解结果不错，大家可以想一想为什么方法有小错误的？）．。
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20.已知 M x x2 3x 10 0 ， N x a 1 x 2a 1
（Ⅰ）若 M N M ，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）若 M N M ，求实数 a 的取值范围.
21.已知函数 f x 满足：对定义域内任意 x1 x2 ，都有 x1 x2 f x1 f x2 0 成立. （Ⅰ）若 f x 的定义域为0, ，且有 f a2 1 f 2a 2 成立，求 a 的取值范围；
② g x f x 2a 2 x x2 2ax 15 ， x 0, 2 对称轴 x a ，
当a
0 时，
g
x
max
g 0
15
当 0 a 2 时， g x g a a2 15 max
当a
2 时，
g
x
max
g 2
4a
11
15,a 0
综上所述，函数
g
x
在
x
0,
2
的最大值为
g
D.减函数且最小值是 3
8.已知全集U A B x N 0 x 10 ， A CU B 1,3,5, 7 ，则集合 B （ ）
A.2, 4,6,8 B.0, 2, 4, 6,8
C.2, 4, 6,8,9,10 D.2, 4, 6,8,9
9.若函数
f
x
x2
2ax 3, x
1
是减函数，则
2a 1 a 1
（Ⅱ）由 M N M 知 N M
①当 N 时，即 a 1 2a 1，有 a 2 ；
2 a 1 ②当 N ，则 5 2a 1 ，解得 2 a 3 ，
2a 1 a 1
综合①②得 a 的取值范围为 a 3
21.解：由题可知 f x 在定义域内单调递减
a2 1 0
D. 2 或 2
5.下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A. f x x2 ， g x x
B. f x x2 4 ， g x x 2 x 2
C. f x x ， g x x2
x
D.
f
x
x 1
， gx
x
1 x 1
x 1 x 1
6.已知集合 A 0, 4 ， B 0, 2 ，按对应关系 f 不能构成从 A 到 B 的映射的是（ ）
时，写出函数 g x 的解析式，作出函数的图像并写出函数的值域.
19.（Ⅰ）设函数 f x 定义域为 I ，叙述函数 f x 在定义域 I 内某个区间 D 上是减函数的定义；（2 分）
（Ⅱ）用单调性的定义证明函数
f
x
2x 1 x 1
在
x 2, 6 的单调性；（6
分）
（Ⅲ）当 x 2, 6 时，求函数 f x 2x 1 的值域.（4 分）
（2）求函数 g x 在 x 0, 2 的最大值
3
一、选择题 1-4DDCB 5-8DBBC 9-12AADD 二、填空题
参考答案
13.4,5 5,
14. f x x2 3x
15.
x
1
x
3
2
2
16. 2 三、三、解答题
17.（1）集合 A x x2 x 6 0 ， B x ax 1 0 ，若 B A ，求实数 a 的取值集合.
16a a2Βιβλιοθήκη 16a 8 aa 1
函数的解析式为 f x x2 2x 15
（Ⅱ）① f x x2 2x 15 ， g x f x 2a 2 x x2 2ax 15
而函数 g x 在 x 0, 2 上是单调函数
又对称轴 x a ，有 a 0 或 a 2
所以实数 a 的取值范围是 a a 0或a 2
a
a
2
15,
0
a
2
4a 11, a 2
6
（Ⅱ）若 f x 的定义域为 R ，求关于 x 的不等式 f mx2 2mx f x 2 的解集
22.二次函数 f x 的图像顶点为 A1,16 ，且图像在 x 轴上截得线段长为 8 .
（Ⅰ）求函数 f x 的解析式；
（Ⅱ）令 g x f x 2a 2 x
（1）若函数 g x 在 x 0, 2 上是单调函数，求实数 a 的取值范围；
南宁三中五象校区 2020~2021 学年度上学期高一月考（一） 数学试题
一、选择题（每题 5 分，12 小题共 60 分，每题只有一个正确答案）
1.已知集合 A 1,3,5, 7,9 ， B 0,3, 6,9,12 ，则 A B （ ）
A. 3, 5
B.3, 6
C.3, 7
D. 3, 9
2.下列函数是偶函数且在区间 , 0 上为增函数的是（
a
的取值范围是（
）
ax 1,
x 1
1
A.3, 1
B. , 1
C. 1, 0
D. 2, 0
10.已知不等式
ax2
bx
1
0 的解集是
x
1
x
1
，则不等式
x2
bx
a
0 的解集是（
）
2
3
A.x 2 x 3 B.x x 2或x 3
C.
x
1
x
1
3
2
D.
x
x
1
或x
1
3
2
11.设奇函数 f x 在 0, 单调递减，且 f 2020 0 ，则 f x f x 0 的解集为（ ）
B.
1 2
,
1 2
C.
,
1 2
1 2
,
0
D. , 22, 0
二、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）
13.函数 f x x 4 的定义域为________（用区间表示）
x 5
14.已知函数 f x 满足 f x 2 x2 7x 10 ，则 f x 的解析式为________.
x
A. ,0 2020,
B. , 2020 2020,
C. ,0 0, 2020
D. 2020,0 0, 2020
12.设奇函数 f x 在1,1 上是增函数，且 f 1 1，若对所有的 x 1,1 及任意的 m 1,1都满
足 f x t2 2mt 1 ，则 t 的取值范围是（ ）
A.2, 2
15,a 0
g
a
a
2
15,
0
a
2
4a 11, a 2
解：（1）设二次函数为 f x a x 12 16 ax2 2ax a 16a 0 ，
令 f x 0 ，得 x1 a
16a a
，
x2
a
16a a
因为图像在 x 轴上截得线段长为 8
所以 x1 x2 a
16a a a
x
x
2或x
1
；
m
③当
m
0
时，即求不等式
x
2
x
1 m
0
的解集
（i）当 1 2 即 m 1 时，不等式的解集为
m
2
（ii）当
1 m
2
即
m
1 2
时，不等式的解集为
x
2
x
1 m
5
（iii）当
1
2
即
1
m
0
时，不等式的解集为
x
1
x 2
m
2
m
22.【答案】（Ⅰ） f x x2 2x 15 ；（Ⅱ）① a a 0或a 2 ②函数 g x 在 x 0, 2 的最大值为
18.（略）分别写出分段函数解析式，作图
19.
（1）略，见课本
（2）证明：设 2
x1
x2
6
，
f
x1
f
x2
2x1 1 x1 1
2x2 1 x2 1
2 x1 x2
2 x1
x2 1 2x1x2 x1 1 x2 1
2 x2
x1
1
3 x2 x1 x1 1 x2 1
4
Q 2 x1 x2 6 ， x2 x1 0 ， x1 1 0 ， x2 1 0 ， f x1 f x2 0 ，即 f x1 f x2
A. y 2x
B. y 1 x
C. y x
3.函数 y x2 4x 3 ， x 0,3的值域为（ ）
）
D. y x2
A. 0, 3
B. 1, 0
C. 1, 3
D.0, 2
4.设函数
f
x
x
x
2
x 0 x 0
，若
f
a
4 ，则实数 a
（
）
A. 4 或 2
B. 4 或 2
C. 2 或 4
a 1或a 1
（1） 2a 2 0 ，解之得 a 1
，故1 a 3
a2 1 2a 2
1 a 3
（2）由题即求不等式 mx2 2mx x 2 0 的解集
即求 x 2mx 1 0 的解集
①当 m 0 时，不等式解集为 x x 2 ；
②当
m
0
时，不等式的解集为
【答案】
0,
1 2
,
1
3
（2）若 A x2, 2x 1, 4 ， B x 5,1 x,9 ， B A 9 ，求 A B
解：由 9 A ，可得 x2 9 或 2x 1 9 ，截得 x 3 或 5 。
当 x 3时， A 9,5, 4 ， B 2, 2,9 ，集合 B 中元素违反互异性，故舍去 x 3. 当 x 3 时， A 9, 7, 4 ， B 8, 4,9 ，满足题意，此时 A B 7, 4, 8, 4,9 . 当 x 5时， A 25,9, 4 ， B 0, 4,9 ，此时 A B 4,9 ，这与 A B 9 矛盾，故 x 5舍 去。综上知 A B 7, 4, 8, 4,9 .