初等数论§3同余

⑥ a b c(mod m) a c b(mod m)
⑦ a b(mod m),a a1d ,b b1d , (d ,m) 1 a1 b1(mod m).
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① a b (mod m)，dm，d > 0 a b (mod d)；
证：a b(mod m) m|a b d|a b a b(modd ).
② a b (mod m)，k > 0，kN ak bk (mod mk)；
证：a b(mod m) m|a b mk|k(a b) ak bk(mod mk).
③ a b (mod mi )，1 i k a b (mod [m1, m2, , mk])
证：a b(mod mi ) mi a b [m1, , mk ] a b.
则 ① a c b d (mod m)； ② ac bd (mod m); ③ak bk (mod m).
注：TH1、TH2是最简单、常用的性质。
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TH 3 设ai ,bi (0 i n)，x, y都是整数，
并且x y mod(m), ai bi mod(m), 0 i n.
n
n
则： ai xi bi yi (mod m)
i0
i0
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TH4 下面的结论成立： ① a b (mod m)，dm，d > 0 a b (mod d)； ② a b (mod m)，k > 0，kN ak bk (mod mk)； ③ a b (mod mi )，1 i k a b (mod [m1, m2, , mk] ④ a b (mod m) (a, m) = (b, m)； ⑤ ac bc (mod m)，(c, m) = 1 a b (mod m);
④ a b (mod m) (a, m) = (b, m)；
证：a mq1 r (a,m) (m,r),
同理，b 2020/7/8
mq2
r (b,m)
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(m, r ).
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⑤ ac bc (mod m)，(c, m) = 1 a b (mod m);
证：ac bc(mod m) m ac bc m (a b)c m (a b) a b(mod m).
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§3.1 同余的概念及其基本性质
一、问题的提出 1、今天是星期一，再过100天是星期几？ 再过1010 天呢？ 2、3145×92653=2910 93995的横线处漏写了一个 数字，你能以最快的办法补出吗？ 3、13511，13903，14589被自然数m除所得余数 相同，问m最大值是多少？
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三、同余的性质
TH1 ① a a (mod m)； ② a b (mod m) b a (mod m)； ③ a b，b c (mod m) a c (mod m)。
TH2 设a，b，c，d，k是整数，并且 a b (mod m)， c d (mod m)，
注：若没有条件(c, m) = 1，即为TH2③的逆命题， 不能成立。
反例：取m=6,c=2,a=20,b=23.
这时，有40 46(mod 6), 但20 23(mod 6)不成立！
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⑥ a b c(mod m) a c b(mod m)
证：a b c(mod m) m c a b m (c b) a a (c b)(mod m).
第三章 同 余
同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数 问题的重要工作之一.本章介绍同余的基本概念，剩 余类和完全剩余系.
生活中我会经常遇到与余数有关的问题，比如： 某年级有将近400名学生。有一次演出节目排队时出 现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人 站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一 列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学 生多少名吗？
4、你知道777 的个位数是多少吗？
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二、同余的定义 设a,b Z,m Z ,如果m|(a b),则称a与b对模m 同余，记作：a b(mod m). 否则，称a与b对模m不同余，记作：a b(mod m).
注：下面的三个表示是等价的：
(1) a b(mod m); (2)q Z ,使得a b qm; (3)q1,q2 Z ,使得a q1m r,b q2m r.
例1 检查5874192、435693 能否被3（9）整除。
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(2) 7、11、13 的整除特征 ——7|a 7|a2a1a0 a5a4a3
7 1113 1001 1000 1(mod7) anan1 a0 anan1 a3 1000 a2a1a0 a2a1a0 anan1 a3 a2a1a0 a5a4a3 anan1 a6 (mod7).
⑦ a b(mod m),a a1d ,b b1d , (d ,m) 1
a1 b1(mod m). 证：a b(mod m) m a b m (a1 b1)d
m (a1 b1) a1 b1(mod m). 注意：若没有(d , m) 1的条件，不能成立！
反例：取m 4,a 6,b 10,d 2,
有6 10(mod 4),但3 5(mod 4)不能成立.
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四、一些整数的整除特征 设a anan1 a0表示an 10n an1 10n1 a1 101 a0 (1) 3、9 的整除特征
——各位上的数字之和能被3（9）整除 10i 1mod(3) a an 10n a1 10 a0 an a1 a0 mod(3)