初等数论§3同余
初等数论§3同余
这时，有40 46(mod6), 但20 23(mod6)不成立！
2019/4/3
8
⑥ a b c(mod m ) a c b(mod m )
证：a b c(mod m ) m c a b
m (c b ) a a (c b)(mod m ).
由71 1(mod4), 72 1(mod4), 76 1(mod4), 7 1 3(mod4)， r3
7
所以7 7r 7 3 7 2 7 ( 1) ( 3) 3(mod10).
77
即7 的个位数是3.
2019/4/3
77
13
一般地，求a 对模m的同余的步骤如下：
—— 7|a 7|a2a1a0 a5a4a3
7 11 13 1001 1000 1(mod7)
a n a n 1
a 0 a n a n 1
a3 1000 a2a1a0 a6
a2a1a0 anan1
(mod7).
a3 a2a1a0 a5a4a3 anan1
① 求出整数k，使ak 1 (mod m)；
bc
② 求出正整数r，r < k，使得bc r (mod k)；
——减小幂指数
③ a a (mod m )
r bc
练习：若a Z , 证明 10|a1985 a1949 . 提示： a 5 a(mod10)
2019/4/3
14
例4
3、9 的整除特征
——各位上的数字之和能被3（9）整除 10i 1mod(3)
初等数论 同余方程组
初等数论同余方程组初等数论是数学中的一个分支，主要研究自然数的性质和整数的性质。
同余方程组是初等数论中的一个重要概念，它涉及到数与数之间的整除关系。
本文将介绍同余方程组的定义、性质以及解法，并通过例题来加深理解。
一、同余方程组的定义同余方程组是由若干个同余方程组成的一组方程。
同余方程的定义如下：对于整数a、b和正整数m，如果m能整除(a-b)，即(a-b)能被m整除，则称a与b对于模m同余，记为a≡b(mod m)。
这里的≡表示同余关系。
二、同余方程组的性质1. 同余关系具有自反性、对称性和传递性。
即对于任意的整数a、b和正整数m，有a≡a(mod m)，a≡b(mod m)等价于b≡a(mod m)，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
2. 同余关系具有加法和乘法的性质。
即对于任意的整数a、b和正整数m，若a≡b(mod m)，则a+c≡b+c(mod m)，ac≡bc(mod m)。
三、同余方程组的解法1. 线性同余方程组的解法：线性同余方程组是形如ax≡b(mod m)的方程组，其中a、b为整数，m为正整数。
若a与m互质，则存在唯一的解x0，且x≡x0(mod m)。
若a与m不互质，且b可被a整除，则方程组有无穷多个解，否则无解。
2. 中国剩余定理：中国剩余定理适用于一组两两互质的模数的同余方程组。
设m1、m2、...、mn为两两互质的正整数，a1、a2、...、an为整数，则同余方程组：x≡a1(mod m1)x≡a2(mod m2)...x≡an(mod mn)有唯一的解x，且0≤x<m1m2...mn。
四、例题解析1. 解线性同余方程组：求解方程组2x≡3(mod 5)和3x≡4(mod 7)。
首先，对于第一个方程，由于2与5互质，所以存在唯一解x0。
根据扩展欧几里得算法，我们可以求出x0=4。
然后，将x0代入第二个方程，得到3*4≡4(mod 7)，即12≡4(mod 7)。
初等数论 同余
注意：这条与前面的(5)的推论和(7)不同, 模变了. 证明： m | (a－b) => km | k(a－b)
a b m a b mt t. d d d
2013年11月13日10时5分
我喜欢数学
性质(9)
若 a ≡b (mod m1), a ≡b (mod m2), m=[ m1, m2 ], 则 a ≡ b (mod m) . 证明： 由充要条件, 有 m2 | (a－b)， m1 | (a－b)
2013年11月13日10时5分
性质的应用：
由 10≡1（mod 9），有 102≡12（mod 9）， 103≡13（mod 9），…，10n≡1n（mod 9）,
an an 1 a2 a1a0 an 10n an 1 10n 1 a1 10 a0 an an 1 a1 a0 (mod 9).
性质⑺ 同余式的“除”.
性质⑻⑼⑽
涉及模的改变！分别与a，b和m的约 数，倍数，公约数，最小公倍数有关.
性质⑾是关于a，b和m最大公约数的。
2013年11月13日10时5分
例 2
分析
今天是星期二，101000天之后的那天是星期几？
由于1乘a为a ，1n=1，先求得某数的n次幂与1对模同余 是非常方便的. 我们已知 7 | 1001, 即103 ＋1≡0 (mod 7), ， 103 ≡－1(mod 7), 得106 ≡1 (mod 7).
又23m1 2(mod 7)， 从而当且仅当
23m 2 4(mod 7),
n 3m时, 7 2n 1.
（2）由23m 1 2(mod 7)，3m 1 1 3(mod 7), 23m 2 1 5(mod 7), 2 可知，对任何正整数n, 2n 1不能被7整除.
数论算法讲义3章（同余方程）
数论算法讲义3章（同余方程）第 3 章同余方程（一）内容：● 同余方程概念● 解同余方程● 解同余方程组（二）重点● 解同余方程（三）应用● 密码学，公钥密码学3.1 基本概念及一次同余方程(一) 同余方程（1）同余方程【定义3.1.1】（定义1）设m 是一个正整数，f(x)为n 次多项式()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ其中i a 是正整数（n a ≠0（mod m ）），则f (x)≡0（mod m ）（1）叫做模m 的（n 次）同余式（或模m 的（n 次）同余方程），n 叫做f(x)的次数，记为deg f 。
（2）同余方程的解若整数a 使得f (a)≡0（mod m ）成立，则a 叫做该同余方程的解。
（3）同余方程的解数若a 是同余方程（1）的解，则满足x ≡a （mod m ）的所有整数都是方程（1）的解。
即剩余类a C ＝{x ｜x ∈Z ，x ≡a （mod m ）}中的每个剩余都是解。
故把这些解都看做是相同的，并说剩余类a C 是同余方程(1)的一个解，这个解通常记为x ≡a （mod m ）当21,c c 均为同余方程(1)的解，且对模m 不同余时，就称它们是同余方程(2)的不同的解，所有对模m 的两两不同余的解的个数，称为是同余方程（1）的解数，记作()m f T ;。
显然()m f T ;≤m（4）同余方程的解法一：穷举法任意选定模m 的一组完全剩余系，并以其中的每个剩余代入方程（1），在这完全剩余系中解的个数就是解数()m f T ;。
【例1】（例1）可以验证，x ≡2，4（mod 7）是同余方程15++x x ≡0（mod 7）的不同的解，故该方程的解数为2。
50＋0＋1＝1≡3 mod 751＋1＋1＝3≡3 mod 752＋2＋1＝35≡0 mod 753＋3＋1＝247≡2 mod 754＋4＋1＝1029≡0 mod 755＋5＋1＝3131≡2 mod 756＋6＋1＝7783≡6 mod 7【例2】求同余方程122742-+x x ≡0（mod 15）的解。
三讲：初等数论3——同余的性质和应用
第三讲：初等数论3——同余的性质和应用三、巩固练习1. 今天是星期三，到第1000天是星期几？解：从今天到第1000天相隔999天，1000-1≡5(mod 7)，3+5-7=1，是星期一.2. 若1059，1417，2313分别被自然数x除时，所得余数都是y，则x-y= ．解：∵1059≡y(mod x) ，1417≡y(mod x) ， 2313≡y(mod x)，∴1417-1059=358≡0(mod x)，2313-1417=896≡0(mod x)， 2313-1059=1254≡0(mod x)又（358，896，1254）的最大公约数为2，则x=2， y=1，x-y=1．3. 若正整数a和1995对于模6同余，则a的值可以是（）A. 25B. 26C. 27D. 28解：1995除以6的余数是3，a≡1995 (mod 6)，a除以6的余数也是3，只有a=27，选C.4. 一个两位数被7除余1，它的反序数被7除也余1，那么这样的两位数共有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个解：列出满足条件的所有两位数：15，22，29，36，43，50，57，64，71，78，85，92，99 两位数据反序数也满足条件的有：22，29，92，99，选C.5. 设n为自然数，则32n+8被8除的余数是_________.解：由32n+8=9n+8，知32n+8≡1n+0(mod 8)≡1(mod 8) ，故32n+8被8除余1.6. 黑板上写着13个数：1908，1918，1928，1938，1948，1958，1968，1978，1988，1998，2008，2018，2028．小明第一次擦掉其中的一个数，第二次擦掉剩下数中的两个数，第三次擦掉剩下数中的三个数，第四次擦掉剩下数中的四个数，他想使得每次擦掉数后剩下的所有数之和为13的倍数，小明的意图能否达到？如果可以，给出一种可行的方法，不能请说明理由．答案：可以：依次擦掉（2028）；（1958，1968）；（1908，1938，1978）；（1918，1928，1998，2008）。
初等数论第三章课件
, n 1)时，每一项3i xi 各取3个值， 3x1 x0共通过3n 1 个数；
② 在这3n 1 个数中，若有 3n 1 xn 1 3n xn x0 =3n xn 3n 1 xn 1 3x1 3x1 x0 3n ( xn xn ) 3n 1 ( xn 1 xn 1 ) 则x0 x0 x0 x0 3 x0 x0 x1 ) 3( x1
同余的一个应用——检查因数的一些方法
A、一整数能被3（9）整除的充要条件是它的十进位 数码的和能被3（9）整除。
证：a Z , 将a写成十进位数的形式： a an10 an 110
n
i n n
n 1
a0 , 0 ai 10.
i n
因10 1(mod 3), 故10 1(mod 3), ai 10 ai (mod 3), 从而 ai 10i ai (mod 3),即a ai (mod 3).
n
n 1
3 x1 x
也是模3 =2H+1的绝对最小完全剩余系。（再由 模2H+1的绝对最小完全剩余系具有唯一性得到结论）
① 3n xn 3n 1 xn 1 xi 1, 0,1(i 0,1, 故3n xn 3n 1 xn 1
3x1 x0共有n 1项，当
i ! p( p 1)
( p i 1) Z i! ( p i 1)
当i 1, 2, 故C ip pq,
, p 1时, (i !, p) 1 即p C ip
i ! ( p 1)
( p i 1)，
例3、（ 1）求所有的正整数n，使得2n 1能被7整除； （2）证明：对于任何正整数n，2n +1不能被7整除。
初等数论(三)同余
初等数论（三）--同余基本性质：（1） 反身性：(mod )a a m ≡（2） 对称性：若(mod ),a b m ≡则(mod ),b a m ≡（3） 传递性：如果(mod ),a b m ≡(mod ),b c m ≡那么(mod ),a c m ≡以上三个性质说明∙“同余是一个等价关系，Z 中元素可以按照模m 分成m 个类，粗略地讲，用一类中的元素可以认为是相同的”（4） 如果(mod ),a b m ≡(mod ),c d m ≡那么(mod ),(mod ),a c b d m ac bd m ±≡±≡（5） 如果(mod ),a b m ≡那么(mod ),n n a b m ≡（6） 如果(mod )ac ab m ≡，不一定有(mod )c b m ≡（整数之间的乘法消去律不一定成立），（7） 若(mod ),ac bc m ≡则mod (,)m a b c m ⎛⎫≡ ⎪⎝⎭。
因此，(,)1c m =时，才会有(mod )a b m ≡。
例1.若质数5,p ≥并且21p +也是质数，证明：41p +是合数。
例2.对于任何n 个整数的集合，存在一个子集，该子集的元素之和被n 整除。
例3.证明表达式23,95x y x y ++按照相同的,x y 被17整除。
例4.设3p ≥为奇质数且111...21a p b +++=-， 证明：p a 。
作业：证明：3131421x x ++++被7整除。
例5.30对夫妻围着圆桌而坐。
证明：至少有两名妻子到各自丈夫的距离相等。
例6.设(,)1a m =，证明方程(mod )ax b m ≡在{0,1,2,3,...,1}m -中有唯一解。
例7.设01,,,,1,2,3,...n n a b x N x ax b n -∈=+=。
证明：数列12,,....,,...n x x x 不可能都是质数。
例8.证明方程2222x y z xyz ++=只有一个整数解0x y z ===。
同余关系的概念与定理
同余关系的概念与定理同余关系是离散数学中一个重要的概念，它在数论、代数和密码学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍同余关系的概念和相关定理。
一、同余关系的概念同余关系是数论中的一个基本概念，它描述了两个数之间的整除关系。
具体来说，给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相同，即a和b对m同余，记作a≡b(mod m)，则称a和b关于模m同余。
二、同余关系的性质同余关系具有以下三个性质：1.自反性：对于任意整数a，a≡a(mod m)恒成立。
即任意整数与自身关于模m同余。
2.对称性：对于任意整数a和b，若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
即若a与b关于模m同余，则b与a关于模m同余。
3.传递性：对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
即若a与b关于模m同余，且b与c关于模m同余，则a与c关于模m同余。
三、同余关系的定理1. 除法定理：对于任意整数a和正整数m，存在唯一的整数q和r，使得a=qm+r，其中0≤r<m。
即任意整数a可以表示为以m为模的除法形式。
2. 模运算性质：- 同余类的性质：对于任意整数a和正整数m，a关于模m的同余类可以表示为[a]m={b∈Z | b≡a(mod m)}，其中Z表示整数集合。
同余类[a]m是所有与a关于模m同余的整数构成的集合。
- 同余的运算性质：对于任意整数a、b和正整数m，若a≡a' (mod m)且b≡b' (mod m)，则有a+b≡a'+b' (mod m)，a-b≡a'-b' (mod m)，ab≡a'b' (mod m)。
3. 唯一性定理：对于给定的整数a、b和正整数m，存在整数x，使得a≡b (mod m)的充分必要条件是a和b对m的余数相同。
即a和b关于模m同余的充分必要条件是它们对m的余数相同。
4. 同余定理：对于任意整数a、b和正整数m，若a≡b (mod m)，则a^n≡b^n (mod m)，其中n是正整数。
同余的运算法则
同余的运算法则全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：同余的概念最早出现在数论领域，是一种描述整数间的模运算关系的数学概念。
同余的运算法则涉及到模运算的一系列性质和规律，对于解决一些数论问题和密码学中的加密算法起着至关重要的作用。
本文将介绍同余的概念及其运算法则，并讨论其在数学和应用方面的重要性。
1. 同余的定义在数论中，我们通常使用符号“≡”表示同余关系。
如果两个整数a和b除以一个正整数m的余数相等，即a除以m和b除以m的余数相等，我们就说a与b关于模m同余，记为a≡b(mod m)。
简单来说，同余就是指两个数除以同一个数的余数相等。
12和22关于模5同余，因为12除以5的余数为2，22除以5的余数也为2，即12≡22(mod 5)。
2. 同余的运算法则在模运算中，同余有着一系列的运算法则。
我们可以根据这些法则来简化模运算的计算，并处理一些复杂的数论问题。
（1）同余的传递性如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么可以推出a≡c(mod m)。
这就是同余关系的传递性，即如果两个数与同一个模同余，那么它们之间也是同余的。
举例来说，如果5≡15(mod 10)且15≡25(mod 10)，那么可以推出5≡25(mod 10)。
（2）同余的对称性和反对称性（3）同余的加法和乘法性质对于同余关系来说，加法和乘法都具有良好的性质。
（4）同余的幂运算性质如果a≡b(mod m)，那么对于任意正整数n，有a^n≡b^n(mod m)。
即同余数的幂运算后依然同余。
（5）同余的逆元如果a在模m下存在逆元，即存在整数b使得ab≡1(mod m)，那么我们称b是a的逆元。
对于素数模m来说，任意整数a在模m下都有逆元。
同余的概念在数论和密码学领域有着广泛的应用。
（1）同余在数论中的应用在数论中，同余可以用来证明一些整数性质和解决一些数论问题。
在证明费马小定理和欧拉定理等定理时就会用到同余的性质。
在密码学中，同余的概念有着重要的应用。
初等数论期末复习
2015年5月8日9时1分
二、剩余类与剩余系
定理2.2.1 设m为正整数，则全部整数可分成m个 集合,记作[0]，[1]，…，[m－1]，其中[r] (0 ≤ r ≤m－1)是由一切形如 mq + r (q∈Z) 的整数所组 成的，并且具有下列性质： (1)每一整数必包含在而且仅在上述的一个集合中.
(2) x3 + 2x－12≡0 (mod7)． 0, 1, …, 6逐一代入(2) 求解
定义: 如果 a , b 都是整数， m 是一个正整数，那么 当 a ≡ 0 ( mod m）时，我们把 ax ≡ b ( mod m ) 叫做 模m的一次同余方程（或同余式） . 定理 3.1.1 若设m为正整数, a , b为整数, (a，m)=1，
一次同余方程有解的解法 一、欧拉定理法解一次同余方程
定理 3.1.2 若 m 为正整数, a , b为整数, (a， m)=1，则一次同余方程ax ≡ b ( mod m )的唯 m 1 一解为 x ba mod m .
二．同余变形法（系数消去法）
根据同余性质，施行适当的变形求解a≡b(modm):
第二章
同余
一、同余的概念及基本性质
1、同余的概念:
定义2. 1
设m为正整数，称为模。若用m去除两 个整数 a 和 b 所得的余数相同，则称a 和b 对模 m 同余, 记作 a ≡b (mod m). （ 1） 读作a 同余于b 模m。 若a 和b 除以m 所得余数不同，则称a， b 对模m 不同余，记作 a b (mod m).
2015年5月8日9时1分
E
New
弃九法
正整数四则运算(含乘方) 的快速验算方法
若通过计算，a、b的和与积分别是s与p. 而r1、r2、
初等数论第三章同余
第三章同余§ 1同余的概念及其基本性质定义1设meZ\称之为模。
若用加去除两个整数“与b所得的余数相同，则称"上对模加【可余，记作：a = b (mod /n)；若所得的余数不同，则称w,〃对模加不同余，记作："圭b(mod〃2)。
例如，8 = 1 (mod 7),:所有偶数“三0 (mod 2),所有奇数“ =1 (mod 2)。
同余是整数之间的一种关系，它具有下列性质：R a = a (mod m)；(反身性)2、若"三b (mod加)，贝肪三a (mod m)；(对称性)3、若"三b (mod m), b = c (mod m),贝h 三 c (mod 加);(传递性) 故同余关系是等价关系。
定理1整数对模加同余的充分必要条件是RP a = b + mt,r eZo证明设"=+ b = mq2 + r v 0 < r2 < m,贝l] a = b (mod m) O 打=r2 O a — b = m(q{一⑴)O I (" 一b)°性质1(1)若％三S (mod m)> a2 = b2 (mod m)> 则a x + a2 +b2 (mod /n)；(2)若"+ h = c (mod 〃?)，贝ij a = c-b (mod m)o性质2 若=/?, (mod /??), a2 =b2 (mod m),则"]5 "心(mod m)：特别地，若a = b (mod m),则畑三kb (mod加)。
定理2若比…亞三〃叶・％(mod/),兀三片(mod皿)，j = 1,2,…人则艺比…致坊‘…場三另3时灼)吓…yj (mod/)；特别地,若％三化(mod加),i = OJ2・・・，n，则心* +"心]北1 + - - +u()=b n x n +/>n_|x71'1 + …+ "o (mod 加)。
同余的概念及其基本性质
4.证明：641 232 1 解：依次计算对模641的同余数
22 4，24 16，28 256， 216 256 256 154(mod641) 232 154 154 1(mod641) 232 1 0(mod641)
5.设a为奇数，则a2n 1(mod 2n2 ) (n 1). 解：设a = 2m 1， 当n = 1时，有 a2 = (2m 1)2 = 4m(m 1) 1 1 (mod 23)（*）成立。 设式(*)对于n = k成立，则有
a2k 1(mod 2k2 ) a2k 1 q 2k2 所以 a2k1 (1 q 2k2 )2 1 q 2k3 q2 2(k2)2 记 1 q'2k3 1(mod 2k3 ),q' Z. 这说明式(*)当n = k 1也成立。由归纳法得证.
一般地，求a bc 对模m的同余的步骤如下： ① 求出整数k，使ak 1 (mod m)；
② 求出正整数r，r < k，使得bc r (mod k)；
③ abc ar (mod m)
——减小幂指数
练习：若a Z ,证明 10|a1985 a1949 . 提示：a5 a(mod10)
一、问题的提出 1、今天是星期一，再过100天是星期几？ 再过1010 天呢？ 2、3145×92653=2910 93995的横线处漏写了一个 数字，你能以最快的办法补出吗？
3、13511，13903，14589被自然数m除所得余数 相同，问m最大值是多少？
【最新整理】初等数论同余
例2：证明5y+3=x2无解 证明：若5y+3=x2有解，则两边关于模5同余 有5y+3≡x2(mod 5) 即3≡x2(mod 5)
而任一个平方数x2≡0,1,4(mod 5) ∴ 3 ≡ 0,1,4(mod 5)，不可能 ∴ 即得矛盾，即5y+3=x2无解 注：在证明方程无解时，经常用不同余就不相等的 方法。
性质7 a b(modm).d|(a,b),(d,m)=1 则
a b (modm). dd
证： 因为 m | d( a b ) ，(d,m)=1 ，所以有
dd
m| a b dd
性质8 若a b(modm).则 (a,m)=(b,m) 证：由已知a=b+mt,故 (a,m)|a, (a,m)|m, 有(a,m)|b,所以有 (a,m)|(b,m), 同理可证(b,m)|(a,m), 即(a,m)=(b,m).
因为0 X，Y 9，所以有
21 21+X+Y 39，4 X-Y+13 22，由此
可知 21+X+Y=27，X-Y+13=11 或21+X+Y=36，X-Y+13=22 X+Y=6，X-Y=-2，或X+Y=15，X-Y=9， 解得X=2，Y=4。
例3 ：求111 被7除的余数。
50
解：∵111111被7整除，
(2)若 a b c(modm). 则 a c b(modm).
证：由（1）因为 b b(modm), 即得。
注4：性质2相当于等式中的两个等式相加和 移项. 结合前二条性质,我们来看几个例子.
例1:对任意整数a,8a+7不可能 是三个整数的平方.
同余问题知识点讲解
千里之行，始于足下。
同余问题学问点讲解同余问题是数论中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
同余问题的定义是：对于给定的整数a、b和正整数m，假如a-b能够被m整除，则称a与b对于模m同余，记作a≡b(mod m)。
同余问题的本质是数的剩余，即两个数除以某个正整数得到的余数相等。
通过同余问题的争辩，可以得到一些有关数的性质和关系。
同余问题有一些基本性质：1. 若a≡b (mod m) ，则对于任意的正整数k，有 a+k*m≡b+k*m (mod m) ，即同余关系对加法成立。
2. 若a≡b (mod m) ，则对于任意的正整数k，有 a*k≡b*k (mod m) ，即同余关系对乘法成立。
3. 若a≡b (mod m) ，且b≡c (mod m) ，则 a≡c (mod m) ，即同余关系对传递成立。
4. 若a≡b (mod m) ，则 a^n ≡ b^n (mod m) ，即同余关系对幂运算成立。
基于同余性质，我们可以进行一系列的运算和推导。
首先，同余问题可以用来简化计算。
例如，对于不便利计算的大数，可以通过取模运算将其转化为较小的数进行计算，而不转变其同余关系。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
同余问题还可以用来求解方程。
例如，对于形如ax≡b (mod m) 的方程，可以通过同余性质进行变形和推导，得到方程的解。
同余问题在密码学中也有重要应用。
例如，RSA算法中的模运算就是基于同余问题的。
同余问题还可以用来进行数字签名和数据加密等操作。
同余问题还与模运算有亲密的关系。
模运算是将一个数除以另一个数得到的余数，而同余问题是比较两个数的余数是否相等。
通过同余问题，可以推导出一些模运算的性质和规章。
最终，同余问题还有一些重要的定理，如中国剩余定理、费马小定理等。
这些定理在数论和密码学中有广泛的应用。
总结起来，同余问题是数论中的一个基本概念，它争辩的是两个数取模后的余数是否相等。
通过同余问题的争辩，可以推导出一些有关数的性质和关系，用来简化计算、求解方程、进行密码学操作等。
数论中的同余关系
数论中的同余关系数论作为数学的一个分支，研究的是整数及其性质。
其中，同余关系是数论中一个重要的概念。
本文将就数论中的同余关系进行探讨，以便深入理解这一概念。
1. 引言在数论中，同余是指两个整数除以一个给定的正整数所得的余数相等。
形式化定义为：对于整数a、b和正整数m，如果m|(a-b)，即m能被a-b整除，那么就称a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)，读作“a 同余于b模m”。
同余关系具有如下性质：(1) 自反性：对于任意整数a和正整数m，a≡a(mod m)；(2) 对称性：对于任意整数a、b和正整数m，如果a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)；(3) 传递性：对于任意整数a、b、c和正整数m，如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)。
2. 同余关系的性质同余关系具有一些重要的性质，这些性质对于解决数论问题非常有用。
(1) 同余的基本性质：- 同余关系是等价关系。
即满足自反性、对称性和传递性。
- 设a≡b(mod m)，那么对于任意的整数k，a+km≡b(mod m)。
- 设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a+c≡b+d(mod m)和ac≡bd(mod m)。
(2) 同余的运算性质：- 加法性质：设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a+c≡b+d(mod m)。
- 减法性质：设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a-c≡b-d(mod m)。
- 乘法性质：设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么ac≡bd(mod m)。
(3) 欧拉定理：欧拉定理是数论中的一个重要结果，描述了同余关系与指数运算之间的关系。
- 设a和m是两个互质的正整数，那么a^φ(m) ≡ 1(mod m)，其中φ(m)表示小于m且与m互质的正整数的个数。
3. 同余方程同余关系在解决某些问题时，经常涉及到同余方程的求解。
同余方程是指形如ax ≡ b(mod m)的方程，其中a、b和m都是整数，求解的目标是找到整数x满足这个方程。
第1讲初等数论中的同余问题复旦大学附属中学万军
第1讲初等数论中的同余问题复旦大学附属中学万军2011年协作体夏令营系列讲座(一)初等数论中的同余问题复旦附中万军同余的概念和性质：设为非零整数，如果整数满足，则称和对模同余，记为；否则称和对模不同余，记为．注意到，，故，所以我们总是可以假定为正整数．对于固定的模，同余有很多性质：1）同余是一种等价关系，即有①自反性：；②对称性：若，则；③传递性：若，，则．2）加法、减法、乘法和乘方运算：若，，则，，．3）除法运算：，则．特别地，若，则．4）同余组：同时成立的充要条件是剩余类与完全剩余系：设为一个给定的正整数，则全体整数可以分成个集，记为，其中，则称为模的剩余类．模的剩余类有下列性质：1）每个整数必属于且仅属于模的一个剩余类中；2）两个整数同在一个剩余类中的充要条件是这两个整数模同余．事实上，，0≤≤，有如果个整数中不存在两个数属于同一剩余类，则称为模的一个完全剩余系（或称完系）．最常用的剩余系称为模的非负最小完全剩余系．此外也常用到绝对值最小完全剩余系，它们是：当为奇数时，当为偶数时，或完全剩余系有下列性质：1）个整数作为模的一个完全剩余系的充要条件是它们两两模不同余；2）若是模的一个完全剩余系，，那么也是模的一个完全剩余系；也常这样描述：设是正整数，，若通过模的一个完全剩余系，则也通过模的一个完全剩余系．3）若是互质的两个正整数，而分别通过的一个完全剩余系，则通过的一个完全剩余系．如果一个模的剩余类里面的数与互质，就把它叫做一个与模互质的剩余类，在与模互质的全部剩余类中，从每一类各任取一个代表元所组成的数集，叫做模的一个简化剩余类系（或缩系）．定理1：模的剩余类是模互质的剩余类的充要条件是此类中有一个数与互质．因此与模互质的剩余类的个数是，模的每一个简化剩余类系是由与互质的个对模不同余的整数组成的．其中，（欧拉函数）是定义在正整数上的函数，它在正整数上的值是集合中与互质的数的个数．定理2：若是个与互质的数整，并且两两对模不同余，则是模的一个简化剩余类系．定理3：若，通过模的一个简化剩余系，则也通过模的一个完全剩余系．定理4：若是互质的两个正整数，而分别通过的一个简化剩余系，则通过的一个简化剩余系．推论：若是互质的两个正整数，则．下面的几个定理在处理数论问题时经常用到，并且它们本身的证明也是很好的例题．1、（欧拉函数）是定义在正整数上的函数，它在正整数上的值是集合中与互质的数的个数，求．2、（欧拉定理）设是正整数，且，则．3、（费尔马小定理）若是质数，是正整数，则．4、（拉格朗日定理）设为素数，多项式是一个模为次整系数多项式，则关于的同余方程（在模的意义下）至多有个不同的解．5、（威尔逊定理）设为素数，则．6、设为整数，为正整数，若存在，使得，则称为模的二次剩余，否则，称为模的二次非剩余．7、已知斐波那契数列，设为大于5的素数，证明：8、求所有满足下面两式的三元组，其中为奇素数，为大于1的整数．①②练习题：1、设为素数，证明：存在无穷多个，使得．2、对，如果对任意，只要，就有，那么就称具有性质．1）证明：每个素数都具有性质；2）是否存在无穷多个合数具有性质？3、求所有满足的正整数和素数．（其中欧拉函数）4、求不定方程的整数解为．（其中表示最接近整数的5的倍数）5、对于正奇数，若存在正奇数，满足，求满足条件的正奇数的总和．6、设，，正整数数组满足：，如果不能将分为和相等的两组数，那么称数组为“优秀的”，求所有的“优秀的”数组．讲座一参考答案 2011-7-18例题答案：1.解：设，其中是质数，是正整数，由定理4的推论得，由欧拉函数的定义知等于减去集合中与不互质的元素个数，也就是减去集合中与不互质的元素个数，又是质数，∴∴另证：本定理也可以用容斥原理来证明．设，其中是质数，是正整数，记，∴由容斥原理得2.证明：设是模的一个简化剩余系，则由定理3知，也是模的一个简化剩余系．∴与且仅与中的一个数对模同余，∴即（*）又是模的一个简化剩余系，故．∴∴由（*）知：．3.证明：若，则，结论显然成立；若，由欧拉定理知，即．注：费尔马小定理的另一种形式：若是质数，是正整数，，则．另证：对进行归纳，当时，结论显然成立；假设时，结论也成立，即则．（其中用到了，当时，）∴对任意，有．4.证明：对进行归纳．当时，由于，则无解，∴定理成立．假设定理对所有次数小于的多项式都成立，现设存在一个次多项式，使得同余方程有个（在模的意义下）不同的解．利用因式定理，可设，则在模的意义下是一个至多次的多项式．由都是的解，知对≤≤，都有，而，故，从而至少有根，与归纳假设矛盾，所以，定理对次整系数多项式也成立．综上，定理成立．5.证明：当时，显然成立；当为奇素数时，考虑多项式可以看到的最高次数为又当时，，由费尔马小定理知，∴由拉格朗日定理知，的展开式中各项系数都是的倍数，∴又为奇素数，为偶数，∴，得证．6.设为奇素数，且，证明：是模的二次剩余充要条件是；是模的二次非剩余充要条件是．证明：若为模的二次剩余，即存在，使得．由，可知，由费尔马小定理知，．反过来，若，则是同余方程的解，由拉格朗日定理知，该方程至多有个解，而都是该同余方程的解，∴它们就是该方程的全部解，∴存在，使得．另一方面，若是模的二次非剩余，则但由费尔马小定理，，即∴，即反过来，，又是模的二次剩余，则∴与为奇素数矛盾．7.证明：知斐波那契数列的通项公式（）对大于5的素数，由费尔马小定理可知，∴，又∴或如果（其中用到了，当时，，及费尔马小定理）∴如果，类似计算可得，则综上，8.解：显然是①的解，代入②解得，∴都是方程的解．另外，当或时，同样可以得出上述解．下设≥5，当时，由②知而∴或但是，∴上式不可能成立．∴≥3由①知同理可得，∴∴③又在≥4时，单调递增，∴≥∴③式≤≤矛盾．∴由于又，没有平方因数，∴∴≥7，≥11并且≤≤，∴≤与③式矛盾．∴本题的解只能是．练习题答案：1、设为素数，证明：存在无穷多个，使得．证明：当时，只需要取为偶数即可；当为奇素数时，由费尔马小定理知，，此时令，则．2、对，如果对任意，只要，就有，那么就称具有性质．1）证明：每个素数都具有性质；2）是否存在无穷多个合数具有性质？证明：对任意素数，由，可知，从而由费尔马小定理知，∴，可得，∴∴．2）存在无穷多个合数具有性质．例如：对奇素数，数都具有性质．事实上，，则为奇数，∴又，∴或若，由1）知；若，由费尔马小定理知，，这时，∴综上，总有，∴，即数都具有性质．3、求所有满足的正整数和素数．（其中欧拉函数）解：若时，，∴为偶数，且中所有的奇数均与互质，∴若为奇素数，设，其中是质数，是正整数，且∴，∴，又∴，但是，当时，，而∴，，∴∴综上：时，；时，；4、求不定方程的整数解为．（其中表示最接近整数的5的倍数）解：由，若，设，则，又，∴解得；若，设，则，又∴解得或．5、对于正奇数，若存在正奇数，满足，求满足条件的正奇数的总和．解：由为正奇数得：又由为正奇数得：∴另一方面：若，可以找到满足条件的正奇数当时，则；当时，∴共个正奇数的平方和．综上：，则其总和为．6、设，，正整数数组满足：，如果不能将分为和相等的两组数，那么称数组为“优秀的”，求所有的“优秀的”数组．解：设数组为“优秀的”，对1≤≤，考虑下面的个数：，其中由于不能将分为和相等的两组数，即其中没有若干个数之和等于，∴上面的个数中，除外，其余任意两项对模不同余，否则这两项之差等于．另外，上面的个数中，必有两个数模同余，∴对都成立∴又∴综上：当为奇数时，中有一个是，其余都是1，或；当为偶数时，中有一个是，其余都是1．。
初等数论第三章同余
第三章同余1 同余的概念及其基本性质定义1 设m Z ，称之为模。
若用m去除两个整数a与b所得的余数相同，则称a, b对模m同余，记作： a b (mod m)；若所得的余数不同，则称a, b对模m不同余，记作： a b (mod m)。
例如，8 1 (mod 7)，；所有偶数 a 0 (mod 2)，所有奇数 a 1 (mod 2)。
同余是整数之间的一种关系，它具有下列性质：1、 a a (mod m)；(反身性)2、若a b (mod m)，则 b a (mod m)；(对称性)3、若 a b (mod m)， b c (mod m)，则 a c (mod m)；(传递性)故同余关系是等价关系。
定理1 整数a, b 对模m 同余的充分必要条件是m | (a b)，即a b mt，t Z。
证明设 a mq1 r1， b mq2r2，0 r1 , r2m，则 a b (mod m) r1 r2 a b m(q1 q2 ) m | (a b)。
性质1 (1) 若a1 b1 (mod m)，a2 b2 (mod m)，则a1a2 b1 b2 (mod m)；(2) 若a b c (mod m)，则 a c b (mod m)。
性质2 若a1 b1 (mod m)，a2b2(mod m)，则a1a2b1b2(modm)；特别地，若 a b (mod m)，则 k a kb (mod m)。
定理2 若 A 1 k B 1 k (mod m)， x i y i (mod m)， i 1,2, , k ，B 1 k y 1 1y k k(mod m)；特别地，若 a i b i (mod m)，1kn n1i 0,1,2,, n ，则a n x a n 1x性质3 若 a a 1d ， b b 1d ， (d , m) 1， a b (mod m)，则 a 1 b 1 (mod m)。
性质4 (1) 若 a b (mod m)， k 0，则 ak bk (mod mk)；(2) 若 a b (mod m)， d 是 a, b 及 m 的任一公因数，则a b(mod m )。
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⑦ a b(mod m),a a1d ,b b1d , (d ,m) 1
a1 b1(mod m). 证：a b(mod m) m a b m (a1 b1)d
m (a1 b1) a1 b1(mod m). 注意：若没有(d , m) 1的条件，不能成立！
反例：取m 4,a 6,b 10,d 2,
有6 10(mod 4),但3 5(mod 4)不能成立.
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四、一些整数的整除特征 设a anan1 a0表示an 10n an1 10n1 a1 101 a0 (1) 3、9 的整除特征
——各位上的数字之和能被3（9）整除 10i 1mod(3) a an 10n a1 10 a0 an a1 a0 mod(3)
注：若没有条件(c, m) = 1，即为TH2③的逆命题， 不能成立。
反例：取m=6,c=2,a=20,b=23.
这时，有40 46(mod 6), 但20 23(mod 6)不成立！
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⑥ a b c(mod m) a c b(mod m)
证：a b c(mod m) m c a b m (c b) a a (c b)(mod m).
⑥ a b c(mod m) a c b(mod m)
⑦ a b(mod m),a a1d ,b b1d , (d ,m) 1 a1 b1(mod m).
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① a b (mod m)，dm，d > 0 a b (mod d)；
证：a b(mod m) m|a b d|a b a b(modd ).
第三章 同 余
同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数 问题的重要工作之一.本章介绍同余的基本概念，剩 余类和完全剩余系.
生活中我会经常遇到与余数有关的问题，比如： 某年级有将近400名学生。有一次演出节目排队时出 现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人 站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一 列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学 生多少名吗？
② a b (mod m)，k > 0，kN ak bk (mod mk)；
证：a b(mod m) m|a b mk|k(a b) ak bk(mod mk).
③ a b (mod mi )，1 i k a b (mod [m1, m2, , mk])
证：a b(mod mi ) mi a b [m1, , mk ] a b.
④ a b (mod m) (a, m) = (b, m)；
证：a mq1 r (a,m) (m,r),
同理，b 2020/7/8
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r (b,m)
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(m, r ).
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⑤ ac bc (mod m)，(c, m) = 1 a b (mod m);
证：ac bc(mod m) m ac bc m (a b)c m (a b) a b(mod m).
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§3.1 同余的概念及其基本性质
一、问题的提出 1、今天是星期一，再过100天是星期几？ 再过1010 天呢？ 2、3145×92653=2910 93995的横线处漏写了一个 数字，你能以最快的办法补出吗？ 3、13511，13903，14589被自然数m除所得余数 相同，问m最大值是多少？
4、你知道777 的个位数是多少吗？
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二、同余的定义 设a,b Z,m Z ,如果m|(a b),则称a与b对模m 同余，记作：a b(mod m). 否则，称a与b对模m不同余，记作：a b(mod m).
注：下面的三个表示是等价的：
(1) a b(mod m); (2)q Z ,使得a b qm; (3)q1,q2 Z ,使得a q1m r,b q2m r.
例1 检查5874192、435693 能否被3（9）整除。
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(2) 7、11、13 的整除特征 ——7|a 7|a2a1a0 a5a4a3
7 1113 1001 1000 1(mod7) anan1 a0 anan1 a3 1000 a2a1a0 a2a1a0 anan1 a3 a2a1a0 a5a4a3 anan1 a6 (mod7).
n
n
则： ai xi bi yi (mod m)
i0
i0
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TH4 下面的结论成立： ① a b (mod m)，dm，d > 0 a b (mod d)； ② a b (mod m)，k > 0，kN ak bk (mod mk)； ③ a b (mod mi )，1 i k a b (mod [m1, m2, , mk] ④ a b (mod m) (a, m) = (b, m)； ⑤ ac bc (mod m)，(c, m) = 1 a b (mod m);
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三、同余的性质
TH1 ① a a (mod m)； ② a b (mod m) b a (mod m)； ③ a b，b c (mod m) a c (mod m)。
TH2 设a，b，c，d，k是整数，并且 a b (mod m)， c d (mod m)，
则 ① a c b d (mod m)； ② ac bd (mod m); ③ak bk (mod m).
注：TH1、TH2是最简单、常用的性质。
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TH 3 设ai ,bi (0 i n)，x, y都是整数，
并且x y mod(m), ai bi mod(m), 0 i n.