不等式12课时作业
《9.1.2不等式的性质》作业设计方案-初中数学人教版12七年级下册
《不等式的性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本课时的作业设计，旨在使学生巩固并掌握不等式的基本性质，包括不等式的基本运算法则、不等式的加减乘除性质、不等式的乘方与开方性质等。
同时，培养学生运用不等式性质解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和数学应用能力。
二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 复习巩固：回顾并复习之前学过的等式的基本性质，为学习不等式性质打下基础。
2. 掌握概念：通过练习题，让学生掌握不等式的基本概念和符号表示方法。
3. 练习运算法则：通过大量练习题，让学生熟练掌握不等式的基本运算法则，包括不等式的加减、乘除、乘方和开方等。
4. 实际问题应用：设计一些实际问题，让学生运用所学的不等式性质解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
三、作业要求1. 完成速度：要求学生按时完成作业，培养良好的时间管理习惯。
2. 准确性：要求学生答案准确，注重细节，避免因粗心导致的错误。
3. 创新性：鼓励学生在解决问题时尝试不同的方法，培养创新思维和解决问题的能力。
4. 独立思考：要求学生独立完成作业，培养自主学习的能力。
四、作业评价1. 评价标准：以准确性、速度、创新性和独立思考能力为评价标准。
2. 评价方式：采用教师评价、同学互评和自我评价相结合的方式，全面了解学生的学习情况。
3. 反馈方式：及时反馈学生的作业情况，指出错误并给出改进建议，鼓励学生继续努力。
五、作业反馈1. 个性化指导：针对学生的作业情况，给予个性化的指导和建议，帮助学生更好地掌握知识。
2. 课堂讨论：在下一课时的课堂上，针对学生作业中的共性问题进行讨论，加深学生对知识的理解。
3. 鼓励表扬：对表现优秀的学生给予表扬和鼓励，激发学生的学习积极性。
4. 家长沟通：与家长沟通学生的作业情况，让家长了解孩子的学习进度和问题，共同帮助孩子提高学习成绩。
通过以上是本课时作业设计方案的主要内容。
通过这样的作业设计，旨在让学生在掌握不等式性质的基础上，能够灵活运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力和自主学习能力。
红对勾·讲与练高中数学北师大必修五：课时作业 基本不等式 含解析
课时作业20 基本不等式时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝b B ．a ＝－b C ．a ＝|b | D ．|a |＝b【答案】 A【解析】 由基本不等式成立的条件易知． 2．x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4【答案】 C【解析】 xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y ＝2或x ＝y ＝－2时，等号成立，∴xy 的最大值为2.3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( ) A ．R <P <Q B ．P <Q <R C ．Q <P <R D ．P <R <Q【答案】 B【解析】 ∵a >b >1，∴lg a ·lg b <lg a ＋lg b 2. ∵a ≠b ，∴“＝”不成立．又∵lg a ＋lg b ＝lg ab <lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝2lg a ＋b 2， ∴lg a ＋b 2>12(lg a ＋lg b )，故选B. 4．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1x ≥2 B.x 2＋2x 2＋2≥ 2C.x 2＋3x 2＋4≥2D ．2－3x －4x ≥2【答案】 B【解析】 A 项中当x <0时，x ＋1x <0<2，∴A 错误． B 项中，x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2＋4－1x 2＋4， 当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝32<2，显然选项C 不正确．D 项中取x ＝1,2－3x －4x <2，∴D 错误． 5．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<b C ．a <ab <b <a ＋b2 D.ab <a <a ＋b2<b【答案】 B【解析】 ∵0<a <b ，∴a ·a <ab .∴a <ab .由基本不等式知ab <a ＋b2(a ≠b )，又∵0<a <b ，a ＋b <b ＋b ，∴a ＋b 2<b . ∴a <ab <a ＋b2<b .6．下列选项中正确的是( ) A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋ba ≥2a b ×b a ＝2B ．当a >1，b >1时，lg a ＋lg b ≥2lg a lg bC ．当a ∈R 时，a ＋9a ≥2a ×9a ＝6D ．当ab <0时，－ab －1ab ≤－2 【答案】 B【解析】 选项A 中，可能ba <0，所以A 不正确； 选项C 中，当a <0时，a ＋9a <0，所以C 不正确； 选项D 中，当ab <0时，－ab >0，－1ab >0， 则－ab －1ab ≥2，当且仅当－ab ＝－1ab ，即ab ＝－1时取等号，所以D 不正确； 很明显，选项B 中当a >1，b >1时，lg a >0，lg b >0， 则lg a ＋lg b ≥2lg a lg b 成立，所以B 正确．7．若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m ＋1恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，7)C ．(7，＋∞)D ．[7，＋∞)【答案】 B【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋xy ＋2≥8， 当且仅当4y x ＝xy ，即4y 2＝x 2时，等号成立， ∴m ＋1<8，∴m <7.二、填空题(每小题5分，共20分)8．对于任意正数a ，b ，设A ＝a ＋b2，G ＝ab ，则A 与G 的大小关系是________．【答案】 A ≥G【解析】 ∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab >0，∴A ≥G .9．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则ab 的取值范围是________． 【答案】 (0，14]【解析】 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝14. 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． ∴ab 的最大值为14.10．已知0<α<π，则2sin α＋12sin α的取值范围是________． 【答案】 [2，＋∞) 【解析】 ∵0<α<π，∴sin α>0. ∴2sin α＋12sin α≥22sin α×12sin α＝2，当且仅当2sin α＝12sin α，即sin α＝12时，等号成立． ∴2sin α＋12sin α的最小值为2.11．函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2n 的取值范围为________．【答案】 [8，＋∞)【解析】 由题意，得点A (2,1)，则1＝2m ＋n ， 又m ，n >0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋24＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时取等号，则1m ＋2n 的最小值为8.三、解答题(共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(14分)设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小．【解析】 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1， 又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ， ∴12log a t ≤log a t ＋12.13．(15分)已知y ＝x ＋9x (x ≠0)，试比较|y |与6的大小．【解析】 (1)当x >0时，由基本不等式，得y ＝x ＋9x ≥6，(当且仅当x ＝3取等号)，即y ≥6，∴|y |≥6；(2)当x <0时，－x >0，y ＝x ＋9x ＝－[(－x )＋9－x ]≤－6(当且仅当x＝－3时取等号)，即y ≤－6，∴|y |≥6.综上所述，|y |≥6.14．(16分)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. 【解析】 ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0. 同理，1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8.。
2020版高考数学一轮复习第七章不等式第2讲一元二次不等式的解法配套课时作业(理)(含解析)新人教A版
第2讲 一元二次不等式的解法配套课时作业1．(2019·潍坊模拟)函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3)答案 D解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．故选D.2．若集合A ＝{x |x 2－x <0}，B ＝{x |(x －a )(x ＋1)<0}，则“a >1”是“A ∩B ≠∅”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若A ∩B ≠∅，则只需要满足条件a >0即可， ∴“a >1”是“A ∩B ≠∅”的充分不必要条件．3．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q,1)，则p ＋q 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 B解析 依题意得q,1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1.故选B. 4．(2019·郑州模拟)已知关于x 的不等式ax －1x ＋1>0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则a 的值为( )A ．－1B ．12C ．1D ．2答案 D解析 由题意可得a ≠0且不等式等价于a (x ＋1)( x － ⎭⎪⎫1a>0，由解集的特点可得a >0且1a ＝12，故a ＝2.故选D. 5．(2019·江西九江模拟)不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，65 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2} 答案 B解析 当a ＝－2时，不等式解集为空集；当a ≠－2时，不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，即(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1<0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝a ＋22＋4a 2－4<0，解得－2<a <65综上可知a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65.故选B. 6．若关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52B.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 答案 A解析 令f (x )＝x 2－ax ＋1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f1≤0，f 2＞0，解得2≤a ＜52.7．(2019·黄冈模拟)若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]答案 C解析 函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16a －12－12a 2＋4a －5<0，解得1<a <19.综上1≤a ＜19.故选C.8．设实数a ∈(1,2)，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( )A ．(3a ，a 2＋2) B ．(a 2＋2,3a ) C ．(3,4) D ．(3,6)答案 B解析 由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，得(x －3a )(x －a 2－2)<0，∵a ∈(1,2)，∴3a >a 2＋2，∴关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为(a 2＋2,3a )．故选B.9．(2019·云南模拟)若关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]答案 B解析 原不等式等价于(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.故选B.10．(2019·山东临沂模拟)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 答案 C解析 ∵关于x 的不等式ax －b <0的解集为(1，＋∞)，∴a <0且ba＝1，即a ＝b ，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可转化为(x ＋1)(x －3)<0.解得－1<x <3，故选C.11．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 A解析 依题意，－12与－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－56，1a ＝－16，又a <0，不等式x 2－bx －a <0可化为1a x 2－b a x －1>0，即－16x 2＋56x －1>0，即x 2－5x ＋6<0，解得2<x <3.故选A.12．(2019·广西陆川中学月考)关于x 的不等式ax 2－2x ＋1 <0的解集非空的一个必要不充分条件是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．0<a <1D ．a <0答案 B解析 由题意得，当a ＝0时，原不等式化为－2x ＋1<0，原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >12；当a >0时，要使得关于x 的不等式的解集非空，则Δ＝4－4a >0⇒a <1，即0<a <1；当a <0时，不等式的解集非空恒成立．所以关于x 的不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空时，实数a 的取值范围是a <1.所以关于x 的不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是a ≤1，故选B.13．若不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1)解析 不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，a <2x －x ，x ∈[1,5]有解，显然g (x )＝2x－x 在[1,5]上递减，g max (x )＝g (1)＝1，∴a <1.14．若关于x 的不等式－12x 2＋2x >mx 的解集是{x |0<x <2}，则实数m 的值是________．答案 1解析 将原不等式化为12x 2＋(m －2)x <0，即x (x ＋2m －4)<0，故0,2是对应方程x (x ＋2m －4)＝0的两个根，代入得m ＝1.15．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 [－5，＋∞)解析 由题意得，a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，设f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]，则只要a ≥[f (x )]max ，由于函数f (x )在(0,1]上单调递增，所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.16．关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围是________．答案 [－3,2)解析 由x 2－x －2>0，可得x >2或x <－1，又由2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0，可得(2x ＋5)(x ＋k )<0，如图所示，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧－k >－52，－2<－k ≤3，解得－3≤k <2.17．(2019·日照模拟)已知x 1和x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立，且关于x 的不等式ax 2＋2x －1>0 有解，求实数a 的取值范围．解 ∵x 1，x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根， ∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－2， ∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝m 2＋8，∴当m ∈[－1,1]时，|x 1－x 2|max ＝3.由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立， 可得a 2－5a －3≥3，∴a ≥6或a ≤－1.① 又不等式ax 2＋2x －1>0有解，则 当a >0时，ax 2＋2x －1>0显然有解； 当a ＝0时，ax 2＋2x －1>0有解； 当a <0时，由Δ＝4＋4a >0，得－1<a <0. ∴不等式ax 2＋2x －1>0有解时a >－1，② 由①②可得实数a 的取值范围为[6，＋∞)． 18．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1； 当2a<－1，即a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥2a 或x ≤－1； 当－2<a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式的解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a . 19．已知关于x 的不等式2x －1>m (x 2－1)．(1)是否存在实数m ，使不等式对任意x ∈R 恒成立？并说明理由； (2)若对于m ∈[－2,2]不等式恒成立，求实数x 的取值范围．解 (1)原不等式等价于mx 2－2x ＋(1－m )<0， 若对于任意实数x 恒成立，当且仅当m <0且Δ＝4－4m (1－m )<0，不等式解集为∅，所以不存在实数m ，使不等式恒成立． (2)设f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)， 当m ∈[－2,2]时，f (m )<0恒成立． 而f (m )在m ∈[－2,2]时表示线段，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f 2<0，f－2<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－2x －1<0，①－2x 2－2x ＋3<0.②由①，得1－32<x <1＋32.由②，得x <－1－72或x >－1＋72.取交集，得－1＋72<x <1＋32.所以x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＋72<x <1＋32. 20．(2019·兰州模拟)已如函数f (x )＝mx 2－mx －1. (1)若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意，可得m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇔m ＝0或－4<m <0⇔－4<m ≤0， 故m 的取值范围是(－4,0]．(2)解法一：要使f (x )<5－m 在[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，则0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0， 所以m <6，则m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67.解法二：因为f (x )<5－m ⇔m (x 2－x ＋1)<6， 又因为x 2－x ＋1>0，所以m <6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立．只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数，则g (x )在[1,3]上为减函数，所以g (x )min ＝g (3)＝67，所以m <67，即m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.。
2023年中考数学备考学案+第12课时+《方程与不等式》之一次不等式(组)的解法
第12课时 一次不等式（组）的解法学习目标：1.理解一元一次不等式（组）的概念；2.会解一元一次不等式（组）.学习过程：一、问题唤醒1.关于x 的不等式x x >-23的解集是 ．2.不等式3)1(2+<+y y 的解集为 ．3.不等式123≥-x 的最小整数解为 ． 4.不等式组⎩⎨⎧>-+>71412x x x 的解集是 ． 5.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<-+≤+385107)1(4x x x x 的所有整数解的和为 ． 6.若12=+y x ，且10<<y ，则x 的取值范围为 ．二、问题导学问题1：如何解不等式（组），并在数轴上表示解集？例1、解不等式12331+-≥-x x ，并在数轴上表示解集．同质训练：解不等式21312->-x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．方法归纳：解不等式的步骤： 用数轴表示解集的方法： 例2、解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．⎪⎩⎪⎨⎧<--+≤-4211)1(314x x x x同质训练：解不等式组，并把解集在数轴上表示出来，写出它的所有整数解． ⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-23252)1(3x x x x方法归纳：解不等式组的步骤：问题3：已知解集，如何求参数的值或取值范围？例3、关于x 的一元一次不等式232-≤-x m 的解集为4≥x ，则m 的值为（ ） A ．14 B ．7C ．﹣2D ．2 同质训练：1.已知关于x 的一元一次不等式01>-ax 的解集是3>x ，则a 的值是 .2.若关于x 的不等式组⎩⎨⎧->+<423a x a x 无解，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≤﹣3B ．a ＜﹣3C ．a ＞3D ．a ≥3方法归纳：先解不等式，再根据解集情况列出关于参数的方程或不等式，最后求参数的值或范围.问题4：如何利用方程和不等式解的概念，求参数的取值范围？例4、如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为 该一元一次不等式组的关联方程．若方程0131=-x 是关于x 的不等式组 ⎩⎨⎧<-≤-0222x n n x 的关联方程，则n 的取值范围是 ．同质训练：已知关于x 的方程24x m x +=-的解为负数，则m 的取值范围是（ ）A ．43m <B ．43m > C ．4m < D ．4m >方法归纳：一般地，先解方程和不等式，再根据条件列出关于参数的不等式，最后求参数范围.三、自主小结四、适度作业A 层1.若n m >，则下列不等式中正确的是（ ）A ．22-<-n mB ．n m 2121->- C ．0>-m n D ．n m 2121-<-2.不等式312>+x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3.关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=--=-ky x k y x 2322的解中x 与y 的和不小于5，则k 的取值范围为（ ）A ．8≥kB ．8>kC ．8≤kD ．8<k4.定义新运算“⨂”，规定：a ⨂b ＝a ﹣2b ．若关于x 的不等式x ⨂m ＞3的解集为1->x ，则m 的值是（ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．1D ．25.不等式1312-<+-y y 的解集为 ．6.不等式组⎩⎨⎧>-≥+36042x x 的所有整数解的和为 ． 7.若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=++=-55343y x m y x 的解满足0≤+y x ，则m 的取值范围是 ．8. 解不等式（组）：(1))2(2443-+≤-x x (2)131221≤+-+x x(3)⎩⎨⎧-<+≥--1124)2(3x x x x (4)⎪⎩⎪⎨⎧≥--<-03113)1(23x x x -9.整式)31(3m -的值为P ． （1）当m ＝2时，求P 的值；（2）若P 的取值范围如图所示，求m 的负整数值．10.已知关于x 的不等式12122->-x mx m ． （1）当m ＝1时，求该不等式的解集；（2）若该不等式的解集2>x ，求m 的取值范围.B 层11.按如下程序进行运算：并规定：程序运行到“结果是否大于65”为一次运算，且运算进行4次才停止，则可输入的整数x 的个数是 ．12.已知非负实数a ，b ，c 满足cb a -=-=-322413，设c b a S 2++=的最大值为m ，最小值为n ，求mn 的值．。
高中数学人教A版第三章不等式 课时提升作业(二十一)
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课时提升作业(二十一)二元一次不等式组表示的平面区域(15分钟 30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2023·太原高二检测)能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是( )A.{0≤y ≤1,2x −y +2≤0B.{y ≤1,2x −y +2≥0C.{0≤y ≤1,2x −y +2≥0,x ≤0D.{y ≤1,x ≤0,2x −y +2≤0【解析】选C.由图中阴影部分可知，阴影在直线y=1的下方，在x 轴的上方，故有0≤y ≤1；又在y 轴的左侧，故有x ≤0；把(0，0)代入2x-y+2中，得2>0，又原点在区域内，所以2x-y+2≥0.【补偿训练】在直角坐标系中，图中的阴影部分表示的不等式(组)是( )A.{x +y ≥0,x −y ≥0B.{x +y ≤0,x −y ≥0≥0 ≤0【解析】选C.在阴影部分内取测试点(-1，0)，x-y=-1<0，x+y=-1<0.排除A ，B ，D ，选C.2.有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表.现在要在一天内运输至少2000t 粮食和1500t 石油，如果设需要安排x 艘轮船和y 架飞机，则安排的轮船和飞机应满足的条件为( )A.{6x +3y >0,5x +2y >0B.{6x +3y >0,5x +2y >0,x ≥0,y ≥0 C.{6x +3y ≥0,5x +2y ≥0,x >0,y >0 D.{6x +3y ≥40,5x +2y ≥30,x ≥0,y ≥0【解析】选D.因为安排x 艘轮船和y 架飞机，则{300x +150y ≥2 000,250x +100y ≥1 500,x ≥0,y ≥0.即{6x +3y ≥40,5x +2y ≥30,x ≥0,y ≥0.3.(2023·淄博高二检测)若不等式组{x ≥0,x +3y ≥4,3x +y ≤4所表示的平面区域被直线y=kx+43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34【解析】选A.不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.由{x+3y=4,3x+y=4,得A(1，1).又B(0，4)，C(0,43)，所以S△ABC=12(4−43)×1=43，设y=kx+43与3x+y=4的交点为D.则由S△BCD=12S△ABC=23，知x D=12，所以y D=52.所以52=k×12+43，k=73.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2023·合肥高二检测)医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，如果设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg，为了能够满足营养，则使用的甲、乙原料应满足的条件为________.【解析】因为甲、乙两种原料分别用10xg和10yg，由病人每餐至少需要35单位蛋白质，可得5x+7y≥35，同时病人每餐至少需要40单位铁质，可得10x+4y≥40，因此有{5x+7y≥35, 10x+4y≥40, x≥0,y≥0.答案：{5x+7y≥35, 10x+4y≥40, x≥0,y≥05.(2023·徐州高二检测)不等式|x|+|y|≤1所表示的平面区域的面积为________. 【解析】原不等式等价于{x+y≤1,x≥0,y≥0,x−y≤1,x≥0,y≤0,x−y≥−1,x≤0,y≥0,x+y≥−1,x≤0,y≤0.其表示的平面区域如图中阴影部分.所以S=(√2)2=2.答案：2【补偿训练】求由不等式y≤2及|x|≤y≤|x|+1所表示的平面区域的面积大小. 【解析】由题意知，这两个不等式可分解成如下两个不等式组：{x≥0,y≥x,y≤x+1,y≤2,或{x≤0,y≥−x,y≤−x+1,y≤2.上述两个不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示：它所围成的面积为S=12×4×2-12×2×1=3.三、解答题6.(10分)(2023·绍兴高二检测)画出不等式组{x −2y +1≤0,x +y −5≤0,2x −y −1≥0表示的平面区域，并求其面积.【解析】平面区域(阴影部分)如图所示：由方程组解得A(1，1)，B(3，2)，C(2，3)，|BC|=√2，A 点到BC 的距离d=|1+1−5|√12+12=3√2，故其面积S=12×√2×3√2=32(平方单位).【补偿训练】画出不等式组{x +2y −1≥0,2x +y −5≤0,y ≤x +2所表示的平面区域并求其面积.【解析】如图所示：其中阴影部分是不等式组{x +2y −1≥0,2x +y −5≤0,y ≤x +2所表示的平面区域.由{x −y +2=0,2x +y −5=0,得A(1，3).同理得B(-1，1)，C(3，-1).所以|AC|=√22+42=2√5，而点B 到直线2x+y-5=0的距离为d=|−2+1−5|√5=6√5，所以S △ABC =12|AC|·d=12×2√5×6√5=6.(15分钟 30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2023·南昌高二检测)某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天至少送180t 支援物资的任务.该公司有8辆载重6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；如果设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆.则x ，y 满足的条件为( )A.{x +y <10,24x +30y >180,0<x <8,0<y <4B.{x +y ≤10,24x +30y ≥180,0≤x ≤8,0≤y ≤4C.{x +y <10,24x +30y >180D.{x +y ≤10,24x +30y ≥180【解析】选型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆.列表分析数据.A 型车B 型车 限量 车辆数 x y 10 运物吨数24x30y180由表可知x ，y 满足的条件为{24x +30y ≥180,0≤x ≤8,0≤y ≤4.2.某人上午7：00乘汽车以v 1千米/时(30≤v 1≤100)匀速从A 地出发到距离300km 的B 地，在B 地不停留，然后骑摩托车以v 2千米/时(4≤v 2≤20)匀速从B 地出发到距离50km 的C 地，计划在当天16：00至21：00到达C 地，设乘汽车、骑摩托车行驶的时间分别是x ，y 小时，则在xOy 坐标系中，满足上述条件的x ，y 的范围阴影部分如图表示正确的是( )【解题指南】解答本题的关键是分析出关于x ，y 的不等式组.要注意xv 1=300，yv 2=50，v 1和v 2的取值范围的应用.【解析】选B.由题意得{x v 1=300,yv 2=50,9≤x +y ≤14,而30≤v 1≤100，4≤v 2≤20，则不等式组变化为{3≤x ≤10,2.5≤y ≤12.5,9≤x +y ≤14,可以用选项B 中的平面区域表示.二、填空题(每小题5分，共10分)3.能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是________.【解析】y ≥-1表示直线y=-1上方的部分，x+y ≤1表示直线x+y=1下方的部分，y ≤x表示直线y=x 下方的部分，均含边界直线.故满足阴影部分的不等式组为：{y ≤x,x +y ≤1,y ≥−1.答案：{y ≤x,x +y ≤1,y ≥−1【拓展延伸】已知平面区域求不等式组的策略已知平面区域求不等式组的关键是对平面区域的观察与分析，要注意以下三个方面： (1)注意图中点的坐标，以便求直线的方程. (2)选取恰当的特殊点，以便判断不等号的方向. (3)要从整体着眼，不要遗漏不等式.4.(2023·广州高二检测)已知不等式组{0≤x ≤2,x +y −2≥0,kx −y +2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为________.【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意可得A(2，2k+2)，B(0，2)，C(2，0)， 所以S △ABC =12AC ·d(d 为B 到AC 的距离)=12×(2k+2)×2=2k+2=4，所以k=1.答案：1 三、解答题5.(10分)不等式组{2x +y −2≥0,x −2y +4≥0,3x −y −3≤0表示的平面区域记为M.(1)画出平面区域M，并求出M包含的整点个数.(2)求平面区域M的面积.【解题指南】根据二元一次不等式组表示的平面区域，作出对应的平面图形，求出整点个数，利用图形特点求区域面积即可.【解析】(1)不等式组对应的平面区域如图：由图象可知平面区域M包含的整点个数为(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，3)，共5个.(2)平面区域M的面积等于梯形OABD的面积减去△OAC和△BCD的面积，即S=2+32×2-12×1×2-12×1×3=5-1-32=4-32=52.关闭Word文档返回原板块。
高中数学课时作业十二基本不等式的应用湘教版必修第一册
课时作业(十二) 基本不等式的应用[练基础]1．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．62．已知a >0，b >0，ab ＝1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．63．某工厂过去的年产量为a ，技术革新后，第一年的年产量增长率为p ()p >0，第二年的年产量增长率为q ()q >0，p ≠q ，这两年的年产量平均增长率为x ，则( )A ．x ＝p ＋q2 B ．x ＝pqC ．x >p ＋q2D ．x <p ＋q24．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．55．某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m 2的铁架框(铁管的粗细忽略不计)，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m6．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b (a <b )，其全程的平均速度为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝abC ．ab <v <a ＋b2D ．v ＝2aba ＋b7．已知x >0，y >0，若2y x ＋8xy>m ＋2恒成立，则实数m 的取值范围是________．8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．9．已知x >0，y >0，且x ＋4y ＝40. (1)求xy 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．10．某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A 产品，根据过去的经验，每月A 产品销售数量y (万件)与销售员的数量x (人)之间的函数关系式为y ＝920xx 2＋3x ＋1 600(x >0).在该月内，销售员数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？(精确到0.1万件)[提能力]11．(多选)若对于任意的x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 可能的值为( )A ．0B ．15C ．1D ．212．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 13．若两个正实数x ，y 满足4x＋1y＝1，且不等式x ＋4y >m 2－6m 恒成立，则实数m的取值范围是________．14．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．15．某单位决定用18.8万元把一会展中心(长方体状，高度恒定)改造成方舱医院，假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．问：(1)改造后方舱医院的面积S 的最大值是多少？(2)为使S 达到最大，且实际造价又不超过预算，那么正面复合板应设计为多长？[培优生]16．我们学习了二元基本不等式：设a >0，b >0，a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值．(1)对于三元基本不等式请猜想：设a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c3≥________，当且仅当a＝b ＝c 时，等号成立(把横线补全).(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明：设a >0，b >0，c >0，求证：(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )≥9abc . (3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值：设a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝1，求(1－a )(1－b )(1－c )的最大值．课时作业(十二) 基本不等式的应用1．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，故选B. 答案：B2．解析：∵a >0，b >0，ab ＝1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n ＝a ＋1a ＋b ＋1b ≥2a ·1a＋2b ·1b＝4， 当且仅当a ＝1a，b ＝1b即a ＝1，b ＝1时取等号． 故选B. 答案：B3．解析：由题意，可得a (1＋p )(1＋q )＝a (1＋x )2，即(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，因为(1＋p )(1＋q )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋1＋q 22，当且仅当p ＝q 时取等号，p ≠q ，所以(1＋p )(1＋q )<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋1＋q 22， 则1＋x <2＋p ＋q 2＝1＋p ＋q 2，即x <p ＋q 2，故选D. 答案：D4．解析：可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b＝2ba时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.答案：C5．解析：设直角三角形两直角边长分别为x m ，y m ，则12xy ＝1，即xy ＝2.周长l ＝x ＋y ＋x 2＋y 2≥2xy ＋2xy ＝22＋2≈4.83(m)， 当且仅当x ＝y 时等号成立．结合实际问题，可知选C. 故选C. 答案：C6．解析：设甲、乙两地之间的距离为s ，则全程所需的时间为s a ＋s b， ∴v ＝2ss a ＋s b＝2aba ＋b .∵b >a >0，由基本不等式可得ab <a ＋b2，∴v ＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab ， 另一方面v ＝2ab a ＋b <2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22a ＋b ＝a ＋b2，v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a2a ＋b ＝0，∴v >a ，则a <v <ab . 故选AD. 答案：AD7．解析：因为x >0，y >0，所以2y x ＋8x y ≥8，当且仅当2y x ＝8x y时，“＝”成立．所以m ＋2<8，解得m <6.答案：m <68．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：89．解析：(1)因为x >0，y >0，∴40＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy (当且仅当x ＝4y ，即x ＝20，y ＝5时等号成立) 所以xy ≤100， 因此xy 的最大值为100.(2)因为x ＋4y ＝40，即140(x ＋4y )＝1，所以1x ＋1y ＝140(x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝140⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4y x ＋x y ≥140⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24y x ·x y ＝940， (当且仅当x ＝2y ，即x ＝403，y ＝203时等号成立)所以1x ＋1y 的最小值为940.10．解析：依题意得y ＝920x ＋3＋1 600x(x ∈N *). 因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(万件).所以当销售员为40人时，销售量最大，最大销售量约为11.1万件． 11．解析：对于∀x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立．即对∀x >0，不等式1x ＋1x＋3≤a 恒成立．∵x ＋1x＋3≥3＋2x ·1x ＝5.当且仅当x ＝1时，取等号，所以1x ＋1x＋3的最大值为15.所以a ≥15. 故选BCD. 答案：BCD12．解析：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2y x ·axy＝1＋a ＋2a ， 当且仅当y x ＝axy，即y ＝ax 时取等号． 依题意得1＋a ＋2a ≥9，即(a －2)(a ＋4)≥0，又a ＋4>0， ∴a ≥2，解得a ≥4，故a 的最小值为4. 故选B. 答案：B 13．解析：∵4x＋1y＝1，∴x ＋4y ＝(x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝4＋16y x ＋x y＋4≥8＋216y x ·xy＝16.当且仅当x ＝16y ，即y ＝4且x ＝64时取等号．∵x ＋4y >m 2－6m 恒成立，则16>m 2－6m ，解得－2<m <8.答案：－2<m <814．解析：设两数分别为x ，y (x ，y ∈N *)，即4x ＋9y ＝60，1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 4x ＋9y 60 ＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4x y ＋9y x ≥160×(13＋12)＝512，当且仅当4x y ＝9yx，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6且y ＝4时，等号成立，故应分别填上6，4. 答案：6 415．解析：(1)设正面复合板长为x m ，侧面长为y m ，总造价为z 元，则方舱医院的面积S ＝xy ，总造价z ＝40x ＋2×45y ＋20xy ＝40x ＋90y ＋20xy .由条件知z ≤188 000，即4x ＋9y ＋2xy ≤18 800. ∵x >0，y >0， ∴y ≤18 800－4x 9＋2x .令t ＝9＋2x ，则x ＝t －92(t >9)，∴S ＝xy ≤t －92·18 800－（2t －18）t＝－t 2＋9 418t －9×9 409t＝－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋9×9 409t＋9 418 ≤－2t ·9×9 409t＋9 418＝－2×3×97＋9 418 ＝8 836，当且仅当t ＝9×9 409t，即t ＝291时等号成立．故S 的最大值为8 836 m 2.(2)由(1)知，当S ＝8 836 m 2时，t ＝291，t ＝9＋2x ，∴x ＝141，则y ＝8 836141＝1883.∴方舱医院的面积S 达到最大值8 836 m 2，实际造价又不超过预算时，正面复合板的长应设计为141 m ．16．解析：(1)对于三元基本不等式猜想：设a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(2)因为a >0，b >0，c >0，又因为a ＋b ＋c ≥33abc >0，a 2＋b 2＋c 2≥ 33a 2b 2c 2>0，所以(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )≥93a 3b 3c 3＝9abc ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 即(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )≥9abc ， (3)因为a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c3≥3abc ，所以abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33，又因为a ＋b ＋c ＝1，0<1－a <1，0<1－b <1，0<1－c <1，所以(1－a )(1－b )(1－c )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋1－b ＋1－c 33＝827，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．所以(1－a )(1－b )(1－c )的最大值为827.。
最新人教A版高中数学必修一培优课时作业(十二)基本不等式
课时作业(十二) 基本不等式[练基础]1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a ＝02．若a ≥0，b ≥0且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤33．“a ，b 为正数”是“a ＋b >2ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( ) A ．3 B ．3－2 2 C ．3－2 3 D ．－15．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则xy 的最大值是( )A.14 B ．4 C.18D ．8 6．(多选)设a ，b ∈R ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a 2＋b 2≥2abB ．a ＋1a≥2 C ．b 2＋1≥2b D.⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪a b ≥27．若a ＜1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是________． 8．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则1y ＋8x的最小值为________． 9．已知a >b >c ，你能比较出4与⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )的大小吗？10．(1)若x ＜3，求y ＝2x ＋1＋1x －3的最大值； (2)已知x ＞0，求y ＝2x x 2＋1的最大值．[提能力]11．(多选)下列命题中正确的是( )A ．y ＝x ＋1x()x <0的最大值是－2 B ．y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值是2 C ．y ＝2－3x －4x()x >0的最大值是2－43 D ．y ＝x ＋4x －1()x >1最小值是5 12．(多选)下列结论正确的是( ) A ．若x <0，则y ＝x ＋1x的最大值为－2 B ．若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22C ．若a >0，b >0，且a ＋4b ＝1，则1a ＋1b的最大值为9 D ．若x ∈[]0，2，则y ＝x 4－x 2的最大值为213．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝3，则xy 的最大值为________，3x ＋y xy的最小值为________． 14．已知5x 2y 2＋y 4＝1()x ，y ∈R ，则x 2＋2y 2的最小值是________．15．已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．[培优生]16．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图，在AB 上取一点C ，使得AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交半圆周于点D ，连接OD .作CE ⊥OD 交OD 于点E .由CD ≥DE 可以直接证明的不等式为( )A.ab ≥2ab a ＋b (a >0，b >0)B.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)C. a 2＋b 22≥a ＋b 2(a >0，b >0) D ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)课时作业(十二) 基本不等式1．解析：当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时，等号成立．故选B.答案：B2．解析：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)≥(a 2＋b 2)＋2ab ，即2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝4，所以a 2＋b 2≥2.故选C.答案：C3．解析：若a ，b 为正数，取a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2ab ，则“a ，b 为正数”不是“a ＋b >2ab ”的充分条件；若a ＋b >2ab ，取a ＝1，b ＝0，则b 不是正数，则“a ，b 为正数”不是“a ＋b >2ab ”的必要条件．故“a ，b 为正数”是“a ＋b >2ab ”的既不充分也不必要条件．故选D.答案：D4．解析：y ＝3－3x －1x ＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号．故选C.答案：C5．解析：由题意得，xy ＝12×2xy ≤12×⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22＝12×⎝⎛⎭⎫122＝18， 当且仅当x ＝14，y ＝12时等号成立，所以xy 的最大值是18.故选C. 答案：C6．解析：当a ，b ∈R 时，a 2＋b 2≥2ab 成立，故A 正确；当a ＞0时，a ＋1a≥2，等号成立的条件是a ＝1，当a ＜0时，a ＋1a≤－2，等号成立的条件是a ＝－1，故B 不正确；当b ∈R 时，b 2＋1－2b ＝(b －1)2≥0，所以b 2＋1≥2b ，故C 正确；⎪⎪⎪⎪b a ＞0，⎪⎪⎪⎪a b ＞0，所以⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪a b ≥2⎪⎪⎪⎪b a ×⎪⎪⎪⎪a b ＝2，等号成立的条件是当且仅当⎪⎪⎪⎪b a ＝⎪⎪⎪⎪a b ，即a 2＝b 2时，故D 正确．故选ACD.答案：ACD7．解析：因为a ＜1，即1－a >0，所以－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(1－a )·11－a＝2.即a ＋1a －1≤－1. 答案：a ＋1a －1≤－1 8．解析：因为x >0，y >0且x ＋2y ＝2，所以1y ＋8x ＝x ＋2y 2y ＋4x ＋8y x＝5＋x 2y ＋8y x ≥5＋2x 2y ·8y x ＝9(当且仅当x 2y ＝8y x ，即x ＝4y ＝43时取等号)，即1y ＋8x的最小值为9.答案：99．解析：⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )≥4，理由如下： 因为a －c ＝(a －b )＋(b －c )， 所以⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c [(a －b )＋(b －c )] ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c， 又a >b >c ，所以b －c a －b ＋a －b b －c≥2， 故⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )≥4， 当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c时，取“＝”． 10．解析：(1)因为x ＜3，所以3－x ＞0.又因为y ＝2(x －3)＋1x －3＋7＝－⎣⎡⎦⎤2(3－x )＋13－x ＋7，由基本不等式可得2(3－x )＋13－x ≥22(3－x )·13－x ＝22，当且仅当2(3－x )＝13－x，即x ＝3－22时，等号成立，于是－⎣⎡⎦⎤2(3－x )＋13－x ≤－22，－⎣⎡⎦⎤2(3－x )＋13－x ＋7≤7－22，故y 的最大值是7－2 2.(2)y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x.因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，所以0＜y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．故y 的最大值为1. 11．解析：对于A ，y ＝x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎫－x －1x ≤－2－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝－2，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时，等号成立，所以y ＝x ＋1x ()x <0的最大值是－2，故A 正确；对于B ，y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2>2，因为x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＋2＝1无解，即等号不成立，所以y ＝x 2＋3x 2＋2取不到最小值2，故B 错误；对于C ，y ＝2－3x －4x (x >0)＝2－(3x ＋4x )≤2－23x ·4x ＝2－43，当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时，等号成立，所以y ＝2－3x －4x(x >0)的最大值是2－43，故C 正确；对于D ，y ＝x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥2()x －1·4x －1＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立，所以y ＝x ＋4x －1()x >1最小值是5，故D 正确；故选ACD.答案：ACD 12．解析：A 选项，由x <0可得y ＝x ＋1x ＝－⎣⎡⎦⎤()－x ＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2()－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝－2，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时，等号成立；即y ＝x ＋1x 的最大值为－2；A 正确；B 选项，由a >0，b >0，可得⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－ab ＝a 2＋b 2－2ab 4＝⎝⎛⎭⎫a －b 22≥0，即ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，故B 正确；C 选项，若a >0，b >0，且a ＋4b ＝1，则1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ()a ＋4b ＝1＋4b a ＋a b ＋4≥5＋24b a ·a b ＝9，当且仅当4b a ＝a b，即⎩⎨⎧a ＝13b ＝16时，等号成立；即1a ＋1b 的最小值为9，故C 错；D 选项，因为0≤x ≤2，所以y ＝x 4－x 2≤x 2＋()4－x 22＝2，当且仅当x ＝4－x 2，即x ＝2时，等号成立，故D 正确．故选ABD.答案：ABD13．解析：∵x >0，y >0∴x ＋2y ＝3≥22xy ，解之得：xy ≤98. 当且仅当x ＝2y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立． ∴xy 的最大值为98. 3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝13()x ＋2y ⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝73＋13⎝⎛⎭⎫3x y ＋2y x ≥73＋233x y ·2y x ＝7＋263. 当且仅当3x y ＝2y x ，即x ＝36－35，y ＝18－3610时，等号成立． ∴3x ＋y xy 的最小值为7＋263. 另解： ∵x >0，y >0，且x ＋2y ＝3∴x ＝3－2y >0，∴0<y <32. ∴xy ＝y ()3－2y ＝－2y 2＋3y ＝－2⎝⎛⎭⎫y －342＋98. ∵0<y <32， ∴当y ＝34时，()xy max ＝98，此时x ＝32. 答案：98 7＋26314．解析：∵5x 2y 2＋y 4＝1∴y ≠0且x 2＝1－y 45y2 ∴x 2＋2y 2＝1－y 45y 2＋2y 2＝15y 2＋9y 25≥215y 2·9y 25＝65， 当且仅当15y 2＝9y 25，即x 2＝815，y 2＝13时取等号． ∴x 2＋y 2的最小值为65. 答案：6515．解析：因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当ay x ＝bx y， 即y x ＝b a时，等号成立， 所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18， 又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根， 所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.16．解析：由三角形相似，知CD 2＝DE ·OD ＝AC ·BC ，即DE ＝DC 2OD ＝ab a ＋b 2＝2ab a ＋b， 由CD ≥DE ，得ab ≥2ab a ＋b，故选A. 答案：A。
2023课时作业本人教版数学九年级上册
第一单元：数与代数
1.有理数的性质与运算
2.一元一次方程
3.一元一次不等式组
4.简单的函数
第二单元：几何
1.三角形和四边形
2.圆
3.圆的度量
4.轴对称图形和中心对称图形
第三单元：统计与概率
1.数据的收集与整理
2.数据的分析与处理
3.简单的概率
第四单元：数学与实践
1.直线与方程的应用
2.三角形与四边形面积的应用
3.圆面积和圆周长的应用
4.数据的应用
期末复习
1.数与代数
2.几何
3.统计与概率
4.数学与实践
课时作业
1.（填空题）一个三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形是（）三
角形。
2.（判断题）一个一元一次方程有唯一解，即（）。
3.（选择题）一个圆的半径为5，则这个圆的面积是（）。
4.（计算题）一个班级有30名学生，其中男生占60%，则这个班级中有多少
名男生？
5.（应用题）某商店销售一种商品，原价为100元，现在打八折销售，则这
种商品现在售价为多少元？
答案
1.直角
2.正确
3.25π
4.18
5.80。
新人教版高中数学必修第一册基本不等式在实际问题中的应用PPT课件及课时作业
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值.
在Rt△ADP中，
S△ADP＝12AD·DP＝12(12－x)12－7x2＝108－6x＋43x 2
(6<x<12). ∵6<x<12，∴6x＋43x2≥2
6x·43x2＝72 2，当且仅当 6x＝43x2，即 x＝
6 2时，等号成立. ∴S△ADP＝108－6x＋43x2≤108－72 2，∴当 x＝6 2时，△ADP 的面积
1234
4. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)， 矩形花园面积的最大值为__4_0_0__.
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由题意设矩形花园的长为x>0，宽为y>0，矩形花园 的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花园是矩 形，则△ADE与△ABC相似，所以 AAGF＝DBCE ，又因 为AG＝BC＝40， 所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40， 由基本不等式 x＋y≥2 xy，得 xy≤400， 当且仅当x＝y＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400.
内容索引
一、基本不等式在生活中的应用 二、基本不等式在几何中的应用
随堂演练 课时对点练
一
基本不等式在生活中的应用
问题 利用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？
提示 一正：x，y都得是正数； 二定：积定和最小，和定积最大； 三相等：检验等号成立的条件是否满足实际需要.
例1 (教材46页例3改编)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16m2的矩 形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏 的长度.
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设矩形模型的长和宽分别为x，y，则x>0，y>0， 由题意可得2(x＋y)＝8， 所以x＋y＝4， 所以矩形模型的面积 S＝xy≤x＋4y2＝442＝4， 当且仅当x＝y＝2时，等号成立， 所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.
人教版七年级下数学下不等式的应用教案教学设计教学案课时作业同步练习试卷含试题答案解析
不等式组的应用3【目标导航】经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式组解决实际问题的经验，体会分类思想，感知方程与不等式的内在联系【课堂操练】1．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格；（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．2．初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼物送给父母．已知：在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分．．．．每份可得0.2元．（1）请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份．（2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内．4．“六一”前夕，某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具x套，B种玩具y套，三种电动玩具的进价和售价如右表所示，⑴用含x、y的代数式表示购进C种玩具的套数；⑵求y与x之间的关系式；⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元．①求出利润P(元)与x(套)之间的函数关系式；②求出利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套．批树苗分给初三（1）班同学去栽种．如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．（1）设初三（1）班有x名同学，则这批树苗有多少棵？（用含x的代数式表示）．（2）初三（1）班至少有多少名同学？最多有多少名？5．为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户．（1）满足条件方案共有几种?写出解答过程．（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱．6．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1）若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.7．跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．【课后盘点】1．某公司计划生产甲、乙两种产品共20件，其总产值w（万元）满足：1150＜w＜1200，相关数据如下2．某校原有600张旧课桌急需维修，经过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B的工作效率相同，且都为C队的2倍，若由一个工程队单独完成，C队比A 队要多用10天．学校决定由三个工程队一齐施工，要求至多6天完成维修任务．三个工程队都按原来的工作效率施工2天时，学校又清理出需要维修的课桌360张，为了不超过6天时限，工程队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，A、B队提高的工作效率仍然都是C队提高的2倍．这样他们至少还需要3天才能成整个维修任务．⑴求工程队A原来平均每天维修课桌张数；⑵求工程队A提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围．3．为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次．．购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于．．．1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？4．响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过．．．132 000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1 200元/台、1 600元/台、2 000元/台．（1）至少购进乙种电冰箱多少台？（2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？5．星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完．（1）有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？（2）每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？6．为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？7．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？答案【课堂操练】解：(1)设每支钢笔和每本笔记本的价格分别为x ，y ，则⎩⎨⎧x+3y=182x+5y=31 解得⎩⎨⎧x=3y=5答：每支钢笔的价格是3元，每本笔记本的价格5元。
2023版新教材高中数学第二章等式与不等式-不等式及其性质课时作业新人教B版必修第一册
2．2.1 不等式及其性质必备知识基础练1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( ) A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤2002．下列结论中正确的是( )A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若>，则a＞b D．若<，则a＞b3．设M＝3x2－x＋1，N＝x2＋x－1，则( )A．M>NB．M<NC．M＝ND．M与N的大小关系与x有关4．已知c＞a＞b＞0，则________.(填“>”“<”或“＝”)5．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的取值范围是( )A．(－3，3] B．(－3，5)C．(－3，3) D．(1，4)6．(1)比较x2＋3与2x的大小；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．关键能力综合练7．下列不等式中，正确的是( )A．若a－c>b－d且c>d，则a>bB．若a>b且k∈N＋，则a k>b kC．若a>b>0，c>d，则ac>bdD．若a>b，则ac2>bc28．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为( )A.①②③ B．①③②C．②③① D．③①②9．要证明＋<2 可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( )A．综合法 B．分析法C．反证法 D．归纳法10．已知α∈(0，)，β∈[0，]，则2α－的取值范围是( )A．(0，) B．(－，)C．(0，1) D．(－，1)11．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( )A．若ab<0，bc－ad>0，则－>0B．若ab>0，－>0，则bc－ad>0C．若bc－ad>0，－>0，则ab>0D．若<<0，则<12．已知1<a<6，3<b<4，求a－b，的取值范围．核心素养升级练13．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；(2)该小组人数的最小值为________．14．已知a>0，b>0，试比较＋与＋的大小．2．2.1 不等式及其性质必备知识基础练1．解析：由题意可得，总的工资为50x＋40y，又因为现有工人工资预算2 000元，故50x＋40y≤2 000，化简可得5x＋4y≤200.答案：D2．解析：对于A，c＞0时，结论成立，故A不正确；对于B，a＝－2，b＝－1，满足a2＞b2，但a＜b，故B不正确；对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；对于D，a＝－1，b＝2，满足<，但a＜b，故D不正确．答案：C3．解析：因为M－N＝3x2－x＋1－(x2＋x－1)＝2x2－2x＋2＝2(x－)2＋>0，所以M>N.答案：A4．解析：因为c＞a，所以c－a＞0，又因为a＞b，所以＞.答案：>5．解析：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.答案：C6．解析：(1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，所以x2＋3>2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，因为a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0.所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.关键能力综合练7．解析：若a－c>b－d且c>d，则a>b，故A正确；当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故B错误；令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－3，满足a>b>0，c>d，但推不出ac>bd，故C错误；令c＝0可知D错误．答案：A8．解析：根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．答案：D9．解析：要证明＋<2最合理的方法是分析法．答案：B10．解析：因为α∈(0，)，β∈[0，]，所以2α∈(0，1)，∈[0，]，则－∈[－，0]，所以2α－∈(－，1).答案：D11．解析：对于A，若ab<0，bc－ad>0，不等式两边同时除以ab得－<0，所以A不正确；对于B，若ab>0，－>0，不等式两边同时乘以ab得bc－ad>0，所以B正确；对于C，若－>0，当两边同时乘以ab时可得bc－ad>0，所以ab>0，所以C正确；对于D，由<<0，可知b<a<0，所以a＋b<0，ab>0，所以<成立，所以D正确．答案：BCD12．解析：∵3<b<4，∴－4<－b<－3.∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3.又<<，∴<<，即<<2.综上，a－b的取值范围为(－3，3)，的取值范围为(，2).核心素养升级练13．解析：设男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，则x>y>z.(1)若教师人数为4，则4<y<x<8，当x＝7时，y取得最大值6.(2)当z＝1时，1＝z<y<x<2，不满足条件；当z＝2时，2＝z<y<x<4，不满足条件；当z＝3时，3＝z<y<x<6，y＝4，x＝5，满足条件．所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.答案：(1)6 (2)1214．解析：方法一 作差法(＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝＋＝＝.∵a>0，b>0，∴＋>0，>0，(－)2≥0，∴≥0，∴＋≥＋.方法二 作商法＝＝＝＝＝1＋≥1.∵a>0，b>0，∴＋>0，＋>0，∴＋≥＋.方法三 平方法∵(＋)2＝＋＋2，(＋)2＝a＋b＋2，∴(＋)2－(＋)2＝.∵a>0，b>0，∴≥0，∵＋＞0，＋＞0，∴＋≥＋.。
高效作业12[2.2 第1课时 基本不等式]
![高效作业12[2.2 第1课时 基本不等式]](https://img.taocdn.com/s3/m/ba0f384b6d175f0e7cd184254b35eefdc8d3158d.png)
高效作业12[2.2 第1课时 基本不等式](见学生用书P 227)[A 级 教材落实与巩固]1．下列各式中最小值为2的是( B )A ．y ＝t ＋1t(t >1) B ．y ＝t ＋1tC ．y ＝t ＋1t －1(t >1) D ．y ＝t ＋1t＋1(t >0) 2．3x 2＋6x 2＋1的最小值是( D ) A ．32 －3 B ．3C ．62D ．62 －33．“∀x >0，a ≤x ＋4x ＋2”的充要条件是( D ) A ．a >2 B ．a ≥2C ．a <2D ．a ≤2【解析】 因为x >0，所以x ＋4x ＋2 ＝x ＋2＋4x ＋2 －2≥2（x ＋2）·4x ＋2－2＝2， 当且仅当x ＋2＝4x ＋2，即x ＝0时等号成立． 因为x >0，所以x ＋4x ＋2>2， 所以“∀x >0，a ≤x ＋4x ＋2”的充要条件是“a ≤2”． 4．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值是( A )A ．400B ．100C ．40D ．20 【解析】 ∵xy ≤x ＋y 2 (x >0，y >0)，∴xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 2 2 ＝⎝⎛⎭⎫402 2 ＝400.当且仅当x ＝y ＝20时，等号成立．5．设x >0，则3－3x －1x的最大值是( D ) A ．3 B ．3－22C ．－1D ．3－23 【解析】 因为x >0，所以3x ＋1x ≥23x ·1x ＝23 ，当且仅当x ＝33时，等号成立，所以－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤－23 ，则3－3x －1x ≤3－23 . 6．已知a >0，b >0，则下列不等式中错误的是( D )A ．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2B ．ab ≤a 2＋b 22C ．1ab ≥2a 2＋b 2D ．1ab ≤⎝⎛⎭⎫2a ＋b 2 7．若x <0，则x ＋1x－2有( D ) A ．最小值0B ．最小值－4C ．最大值0D ．最大值－4【解析】 因为x <0，所以x ＋1x －2＝－⎝⎛⎭⎫－x ＋1－x －2≤－2（－x ）·1－x－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时等号成立，故x ＋1x －2有最大值－4. 8．[多选题]若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式恒成立的有( ACD )A ．ab ≤1B ． a ＋ b ≤2C ．a 2＋b 2≥2D ．1a ＋1b≥2 【解析】 因为ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2 ＝1，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，所以A 正确；因为( a ＋ b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，所以B 不正确；a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，所以C 正确； 1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ，因为ab ≤1，所以1a ＋1b≥2，所以D 正确． 9．已知t >0，则t 2－4t ＋1t的最小值为__－2__． 10．2024·舟山中学高一若把36写成两个正数的积，则这两个正数的和的最小值为__12__.【解析】 设这两个正数分别为a ，b ，则ab ＝36.∵a ＋b 2≥ab ，∴a ＋b ≥12， 当且仅当a ＝b ＝6时，等号成立．故这两个正数的和的最小值为12.11．已知x >0，y >0，且满足x 3 ＋y 4＝1，则xy 的最大值为__3__，取得最大值时y 的值为__2__．【解析】 因为x >0，y >0，所以1＝x 3 ＋y 4 ≥2x 3·y 4 ＝2xy 12 ，当且仅当x 3 ＝y 4 时取等号．由2xy 12 ≤1，得xy ≤3.由⎩⎨⎧x 3＝y 4，x 3＋y 4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2. 故xy 的最大值为3，此时y ＝2. 12．(1)已知x <52 ，求2x －1＋12x －5的最大值． (2)已知x >32 ，求函数y ＝x －1＋22x －3的最小值． 解：(1)因为x <52 ，所以2x －5<0，所以2x －1＋12x －5 ＝2x －5＋12x －5 ＋4＝－⎝⎛⎭⎫5－2x ＋15－2x ＋4≤－2（5－2x ）·15－2x＋4＝2， 当且仅当5－2x ＝15－2x，即x ＝2时等号成立． 所以2x －1＋12x －5的最大值为2. (2)由x >32 得x －32>0， 则函数y ＝x －1＋22x －3 ＝x －32 ＋1x －32 ＋12 ≥2⎝⎛⎭⎫x －32·1x －32＋12 ＝2＋12 ＝52 ， 当且仅当⎩⎨⎧x －32＝1x －32，x >32， 即x ＝52 时，等号成立，此时函数取得最小值52 . [B 级 基本方法与思维]13．若实数a ，b 满足ab >0，则a 2＋4b 2＋1ab的最小值为( C ) A ．8 B ．6C ．4D ．2【解析】 实数a ，b 满足ab >0，则a 2＋4b 2＋1ab ≥4ab ＋1ab≥4，当且仅当a ＝2b 且ab ＝12时等号成立． 14．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝4，则(1＋x )(1＋2y )的最大值为( B )A ．16B ．9C ．4D ．36【解析】 (1＋x )(1＋2y )≤⎣⎡⎦⎤（1＋x ）＋（1＋2y ）2 2 ＝⎝⎛⎭⎫2＋x ＋2y 2 2 ＝9，当且仅当1＋x ＝1＋2y ，即x ＝2，y ＝1时，等号成立． 15．若正数x ，y 满足x ＋2y ＝23 ，则xy 的最大值为__94__． 16．2024·潍坊一中高一已知a ，b ，c 为正数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c≥3. 证明：左边＝b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋b c－1 ＝⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c －3. 因为a ，b ，c 为正数，所以b a ＋a b≥2(当且仅当a ＝b 时取“＝”)， c a ＋a c≥2(当且仅当a ＝c 时取“＝”)， c b ＋b c ≥2(当且仅当b ＝c 时取“＝”). 从而⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥6(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号). 所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c －3≥3， 即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c≥3. [C 级 素养形成与创优]17．2024·深圳中学高一(1)若a ，b ，x ，y 是正实数，求证：a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y ，当且仅当ay ＝bx 时等号成立．(2)求2x ＋251－2x⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12 的最小值，并求此时x 的值． 解：(1)证明：因为⎝⎛⎭⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋ya 2x ＋xb 2y ＋b 2≥a 2＋2ya 2x ·xb 2y＋b 2＝(a ＋b )2，所以a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y， 当且仅当ya 2x ＝xb 2y，即ay ＝bx 时等号成立． (2)由(1)可得，42x ＋251－2x ＝222x ＋521－2x ≥（2＋5）22x ＋1－2x＝49， 当且仅当2(1－2x )＝5·2x ，即x ＝17 时等号成立，所以2x ＋251－2x的最小值为49，此时x ＝17.。
2022_2023学年新教材高中数学课时作业十二一元二次不等式的解法新人教A版必修第一册
课时作业(十二) 一元二次不等式的解法练 基 础1.设集合A ＝{}x |x 2－3x －4<0，B ＝{x |x <3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |x <－1}B ．{x |x <4}C ．{x |－4<x <1}D ．{x |－1<x <3}2．[2022·山东滕州高一期中]关于x 的不等式－x 2＋5x ＋6<0的解集为( ) A.{x |x <－2或x >3} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <6} D ．{x |x <－1或x >6}3．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )·(n ＋x )>0的解集是( ) A.{x |x <－n 或x >m } B ．{x |－n <x <m } C.{x |x <－m 或x >n } D ．{x |－m <x <n }4．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是{x |－1<x <2}，则b －a 的值等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．45．(多选)已知不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是{x |－2≤x ≤1}，则( ) A ．a <0 B ．a －b ＋c >0 C ．c >0 D ．a ＋b ＝06．若函数y ＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则不等式bx 2－ax －1>0的解集为________ .7．已知a <0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2<0的解集是________． 8．已知关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0，a >0. (1)若a ＝52，解不等式；(2)若不等式的解集为{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，且x 2－x 1≤12.求a 的取值范围．提 能 力9.已知b ，c ∈R ，关于x 的不等式x 2＋bx ＋c <0的解集为{x |－2<x <1}，则关于x 的不等式cx 2＋bx ＋1>0的解集为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <1B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >1 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >1210．(多选)已知集合{x |x 2＋ax ＋b ＝0，a >0}有且仅有两个子集，则下面正确的是( ) A ．a 2－b 2≤4 B ．a 2＋1b≥4C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为{x |x 1<x <x 2}，且|x 1－x 2|＝4，则c ＝411．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＝________，b ＝________.12．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0.(1)当a ＝－1，b ＝2，c ＝1时，求该不等式的解集；(2)从下面两个条件中任选一个，并求出此时该不等式的解集． ①a ＝1，b ＝－2－m ，c ＝2m ； ②a ＝m ，b ＝m －2，c ＝－2.培 优 生13.设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数解恰有3个，则( ).A.－1<a <0 B ．0<a <1 C ．1<a <3 D ．3<a <5课时作业(十二) 一元二次不等式的解法1．解析：由题意可得A ＝{x |－1<x <4}，则A ∩B ＝{x |－1<x <3}，故选D. 答案：D2．解析：由－x 2＋5x ＋6＝－(x －6)(x ＋1)<0，解得x <－1或x >6.故选D. 答案：D3．解析：不等式变形为(x －m )(x ＋n )<0，方程(x －m )(x ＋n )＝0的两根为m ，－n ，显然由m ＋n >0得m >－n ，所以不等式的解为－n <x <m .故选B. 答案：B4．解析：因为不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是{x |－1<x <2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0－b a ＝12a ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1a ＝－1，所以b －a ＝2，故选C. 答案：C5．解析：由已知得a <0，ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2和1， ∴－ba ＝(－2)＋1＝－1，c a＝(－2)×1＝－2， ∴b ＝a ，c ＝－2a, ∵a <0， ∴b <0，c >0，∴a －b ＋c ＝c >0，a ＋b ＝2a <0， 所以ABC 正确，D 错误；故选ABC. 答案：ABC6．解析：根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a 2×3＝－b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6，则不等式可化为－6x 2－5x －1>0⇒6x 2＋5x ＋1<0⇒(2x ＋1)(3x ＋1)<0⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－137．解析：因为x 2－4ax －5a 2<0，所以(x －5a )(x ＋a )<0， 又a <0，所以不等式x 2－4ax －5a 2<0的解集为{x |5a <x <－a }． 答案：{x |5a <x <－a }8．解析：(1)由题意，x 2－5x －50<0⇒(x ＋5)(x －10)<0，则不等式的解集为{x |－5<x <10}． (2)由题意，(x ＋2a )(x －4a )<0，而a >0，则－2a <x <4a ，所以x 1＝－2a ，x 2＝4a ，于是4a ＋2a ≤12⇒a ≤2，则0<a ≤2.9．解析：因为不等式x 2＋bx ＋c <0的解集为{x |－2<x <1}，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－2＋1c ＝－2×1即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1c ＝－2， 不等式cx 2＋bx ＋1>0等价于－2x 2＋x ＋1>0， 解得－12<x <1.故选A.答案：A10．解析：由于集合{x |x 2＋ax ＋b ＝0，a >0}有且仅有两个子集，所以Δ＝a 2－4b ＝0，a 2＝4b ，由于a >0，所以b >0.A ，a 2－b 2＝4b －b 2＝－(b －2)2＋4≤4，当b ＝2，a ＝22时等号成立，故A 正确．B ，a 2＋1b ＝4b ＋1b≥24b ·1b ＝4，当且仅当4b ＝1b ，b ＝12，a ＝2时等号成立，故B 正确．C ，不等式x 2＋ax －b <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，x 1x 2＝－b <0，故C 错误．D ，不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为{x |x 1<x <x 2}，即不等式x 2＋ax ＋b －c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，且|x 1－x 2|＝4，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b －c ，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2－4(b －c )＝4c ＝16，∴c ＝4，故D 正确，故选ABD. 答案：ABD11．解析：由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}， 则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}． 由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2. 答案：－1 －212．解析：(1)当a ＝－1，b ＝2，c ＝1时不等式为－x 2＋2x ＋1≥0，可化为x 2－2x －1≤0，解得1－2≤x ≤1＋2，所以不等式的解集为[1－2，1＋2]. (2)若选①，a ＝1，b ＝－2－m ，c ＝2m ，不等式为x 2－(2＋m )x ＋2m ≥0， 即(x －2)(x －m )≥0，当m >2时，不等式解集为{x |x ≤2或x ≥m }， 当m ＝2时，不等式解集为R ，当m <2时，不等式解集为{x |x ≤m 或x ≥2}，综上所述：当m >2时，不等式解集为{x |x ≤2或x ≥m }，当m ＝2时，不等式解集为R ，当m <2时，不等式解集为{x |x ≤m 或x ≥2}．若选②a ＝m ，b ＝m －2，c ＝－2.不等式为mx 2＋(m －2)x －2≥0， 若m ＝0，－2x －2≥0，不等式解集为{x |x ≤－1}， 若m ≠0，不等式可化为(mx －2)(x ＋1)≥0，当m >0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－1或x ≥2m ，当m <－2时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2m ，当m ＝－2时，不等式解集为{x |x ＝－1}，当－2<m <0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2m ≤x ≤－1， 综上所述：当m <－2时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2m ，当m ＝－2时，不等式解集为{x |x＝－1}，当－2<m <0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2m≤x ≤－1，当m ＝0时，不等式解集为{x |x ≤－1}，当m >0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－1或x ≥2m .13．解析：关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2，即(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0， ∵0<b <1＋a ，[(a ＋1)x －b ]·[(a －1)x ＋b ]<0的解集中的整数恰有3个， ∴a >1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－b a －1<x <b a ＋1，又0<b a ＋1<1，∴解集中的整数为－2，－1，0. ∴－3≤－b a －1<－2，即2<ba －1≤3，∴2a －2<b ≤3a －3, ∵b <1＋a ，∴2a －2<1＋a ，解得a <3， 综上，1<a <3.故选C. 答案：C。
数学一轮复习第六章第2讲基本不等式课时作业含解析
第2讲基本不等式组基础关1．设非零实数a，b,则“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab,而错误!＋错误!≥2成立的条件是ab＞0,所以“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2"成立的必要不充分条件．2．已知a>0，b〉0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋错误!，n＝a＋错误!，则m＋n的最小值是（)A．3 B．4C．5 D．6答案B解析由题意知ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b,n＝a＋错误!＝2a，∴m＋n＝2（a＋b)≥4错误!＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m ＋n的最小值为4.3．已知p＝a＋错误!,q＝错误!x2－2,其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是(）A．p≥q B．p＞qC．p＜q D．p≤q答案A解析由a＞2，故p＝a＋错误!＝（a－2)＋错误!＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2,所以q ＝错误!x2－2≤错误!－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A。
4．(2019·郑州外国语学校月考）若a＞b＞1,P＝错误!,Q＝错误!（lg a＋lg b),R＝lg 错误!，则()A．R＜P＜Q B．Q＜P＜RC．P＜Q＜R D．P＜R＜Q答案C解析因为a＞b＞1，所以lg a＞0，lg b＞0,且lg a≠lg b，所以错误!＜错误!（lg a＋lg b)，由错误!＜错误!，得lg错误!＜lg 错误!.所以错误!（lg a＋lg b)＜lg 错误!，综上知P＜Q＜R.5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30,则xy的最大值是（）A.错误!B．错误!C．2 D．错误!答案C解析由x>0，y〉0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y）＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30,即xy≤2，∴xy的最大值为2.6．《几何原本》第二卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上,点C在半径OB上，且OF⊥AB,设AC＝a，BC＝b,则该图形可以完成的无字证明为(）A.错误!≥错误!（a＞0，b＞0）B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)C.错误!≤错误!(a＞0，b＞0）D。
高二数学(人教版)选修4-5教案：第12课时 几个著名的不等式之——柯西不等式
课 题： 第12课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。
这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
证明：几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=•βα， 而22||b a +=α，22||d c +=β，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：211212)(∑∑∑===≥ni i i n i i ni ib a b a ，其中等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=ni i n i i i n i i b x b a x a x f 121212)(2)()(由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆，即：0))((4)(4121221≤-=∆∑∑∑===ni i ni i ni i i b a b a ，即：))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i ni i i b a b a ，等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ，即等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
课时作业13：不等关系与不等式
§1.4 不等关系与不等式课时精练1．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a －b >0⇒a >b ≥0⇒a >b ≥0⇒a 2>b 2， 但a 2－b 2>0⇏a －b >0，所以“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的充分不必要条件．2．已知非零实数a ，b 满足a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b 答案 C解析 若a <b <0，则a 2>b 2，故A 不成立；若⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a <b ，则a 2b <ab 2，故B 不成立； 若a ＝1，b ＝2，则b a ＝2，a b ＝12，b a >a b，故D 不成立，由不等式的性质知，C 正确． 3．如果x ＋y <0，且y >0，那么下列不等式成立的是( )A ．y 2>x 2>－xyB ．x 2>y 2>－xyC ．x 2<－xy <y 2D ．x 2>－xy >y 2答案 D解析 x 2－y 2＝(x －y )(x ＋y )，∵x ＋y <0且y >0，∴x <0，∴x －y <0，∴x 2－y 2>0，∴x 2>y 2，又xy ＋y 2＝y (x ＋y )，∵x ＋y <0，y >0，∴y (x ＋y )<0，∴y 2<－xy .又x2＋xy＝x(x＋y)>0，∴x2>－xy，综上，x2>－xy>y2.4．已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是() A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定答案 B解析M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N.5．(多选)已知c<b<a，且ac<0，那么下列不等式中，一定成立的是()A．ab>ac B．c(b－a)>0C．cb2<ab2D．ac(a－c)<0答案ABD解析由c<b<a且ac<0知a>0且c<0，b的正负不确定，由b>c且a>0知ba>ca，故A一定成立；∵b－a<0且c<0，∴c(b－a)>0，故B一定成立；当b＝0时，cb2＝ab2＝0，故C不一定成立；又a－c>0且ac<0，∴ac(a－c)<0，故D一定成立．6．(多选)有外表一样，重量不同的六个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，e，f，已知a ＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，a＋b＋f<c＋d＋e，a＋e<b.则下列判断正确的有() A．b>c>f B．b>e>fC．c>e>f D．b>e>c答案ABD解析因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，所以e－c>c－e，所以e>c，又因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋f<c＋d＋e，所以c－f>f－c，所以c>f，所以e>c>f，所以C错误；又因为a＋e<b，所以a<b，e<b，所以b>e>c，b>e>f，b>c>f均成立，所以ABD正确.7．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)答案>解析 M －N ＝x 2＋y 2＋z 2－2x －2y －2z ＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0，故M >N .8．已知非零实数a ，b 满足a >b ，则下列结论正确的是________(填序号)．①1a <1b；②a 3>b 3；③2a >2b ；④ln a 2>ln b 2. 答案 ②③解析 当a >0，b <0时，1a >0>1b，故①不正确； 由函数y ＝x 3，y ＝2x 的单调性可知，②③正确；当a ＝1，b ＝－1时，ln a 2＝ln b 2＝ln 1＝0，故④不正确．9．近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a 元/斤、b 元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠)________．(在横线上填甲或乙即可)答案 乙解析 由题意得甲购买产品的平均单价为3a ＋3b 6＝a ＋b 2，乙购买产品的平均单价为2010a ＋10b＝2ab a ＋b，由条件得a ≠b . ∵a ＋b 2－2ab a ＋b ＝(a －b )22(a ＋b )>0， ∴a ＋b 2>2ab a ＋b， 即乙的购买方式更优惠．10．(2021·浙江宁海中学月考)已知等比数列{a 1，a 2，a 3，a 4}满足a 1∈(0,1)，a 2∈(1,2)，a 3∈(2,3)，则a 4的取值范围是________．答案 (22，9)解析 设等比数列{a 1，a 2，a 3，a 4}的公比为q ，由a 1∈(0,1)，a 2∈(1,2)，a 3∈(2,3)可知，0<a 1<1①，1<a 1q <2②，2<a 1q 2<3③，由③÷②可得1<q <3，③÷①可得q 2>2，即q >2或q <－2，②÷①可得q >1， 所以2<q <3，所以a 4＝a 3q ∈(22，9)．11．已知a ＋b >0，试比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小． 解 a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2 ＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 12．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d； (2)已知c >a >b >0，求证：a c －a >b c －b. 证明 (1)∵bc ≥ad ，1bd >0，∴c d ≥a b， ∴c d ＋1≥a b ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋d d. (2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.∵a >b >0，∴1a <1b， 又∵c >0，∴c a <c b ，∴c －a a <c －b b， 又c －a >0，c －b >0，∴a c －a >b c －b.13．(多选)若0<a <1，b >c >1，则( )A.⎝⎛⎭⎫b c a >1B.c －a b －a >c b C ．c a －1<b a －1D ．log c a <log b a答案 AD解析 对于A ，∵b >c >1，∴b c>1.∵0<a <1，则⎝⎛⎭⎫b c a >⎝⎛⎭⎫b c 0＝1，故正确． 对于B ，若c －a b －a >c b，则bc －ab >bc －ac ，即a (c －b )>0，这与0<a <1，b >c >1矛盾，故错误． 对于C ，∵0<a <1，∴a －1<0.∵b >c >1，∴c a －1>b a －1，故错误．对于D ，∵0<a <1，b >c >1，∴log c a <log b a ，故正确．14．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案 ①6 ②12解析 设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z均为正整数．①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.15．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b ≤cB ．b ≤c <aC ．b <c <aD ．b <a <c答案 A解析 c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，两式相减得2b ＝2＋2a 2即b ＝1＋a 2，∴b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a ，∴a <b ≤c .16．观察以下运算：1×5＋3×6>1×6＋3×5，1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.(1)若两组数a 1，a 2与b 1，b 2，且a 1≤a 2，b 1≤b 2，则a 1b 1＋a 2b 2≥a 1b 2＋a 2b 1是否成立，试证明．(2)若两组数a 1，a 2，a 3与b 1，b 2，b 3且a 1≤a 2≤a 3，b 1≤b 2≤b 3，对a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1，a 1b 2＋a 2b 1＋a 3b 3，a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3进行大小顺序(不需要说明理由)．解 (1)成立，证明如下：∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，又a1≤a2，b1≤b2，∴(a1－a2)(b1－b2)≥0，即a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1.(2)a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3.。
课时作业12：第1课时 均值不等式
§3.2 均值不等式第1课时 均值不等式一、选择题1.不等式m 2＋1≥2m 中等号成立的条件是( )A.m ＝1B.m ＝±1C.m ＝－1D.m ＝0答案 A2.若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( )A.a 2＋b 2>2abB.a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，显然错误；对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2， 当且仅当a ＝b 时，等号成立.3.若x >0，y >0且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y ≥14B.1x ＋1y ≥1C.xy ≥2D.1xy ≥1 答案 B解析 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y 4＝1， ∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14×(2＋2)＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立.4.若0<a <b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A.12B.a 2＋b 2C.2abD.a 答案 B解析 a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2·⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝12. a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab .∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12. ∴a 2＋b 2最大.5.设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A.8 B.4 C.1 D.14答案 B解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a +b ＝3，所以a ＋b ＝1.因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立.6.已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是() A.a ＋b ＋1ab ≥2 2 B.(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥2ab D.2aba ＋b >ab答案 D解析 a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥ 22， 当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立，A 成立；(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab ＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，B 成立；∵a 2＋b 2≥2ab >0， ∴a 2＋b 2ab ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，C 成立；∵a ＋b ≥2ab ，且a ，b ∈(0，＋∞)，∴2aba ＋b ≤1，2aba ＋b ≤ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立，D 不成立.7.设0<a <1<b ，则一定有( )A.log a b ＋log b a ≥2B.log a b ＋log b a ≥－2C.log a b ＋log b a ≤－2D.log a b ＋log b a >2答案 C解析 ∵0<a <1<b ，∴log a b <0，log b a <0，－log a b >0，－log b a ＞0，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝⎛⎭⎫－1log a b ≥2，当且仅当ab ＝1时，等号成立，∴log a b ＋log b a ≤－2.二、填空题8.若a <1，则a ＋1a －1有最 (填“大”或“小”)值，为 . 答案 大 －1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2(当且仅当a ＝0时取等号)， ∴a －1＋1a －1≤－2， ∴a ＋1a －1≤－1. 9.已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是 . 答案 (a －b )(b －c )≤a －c 2解析 因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，所以a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )， 当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立.10.设a ＞1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a 2a ，则m ，n ，p 的大小关系是 .(用“＞”连接)答案 m ＞p ＞n解析 ∵a ＞1，∴a 2＋1＞2a ＞a ＋1，∴log a (a 2＋1)＞log a (2a )＞log a (a ＋1)，三、解答题11.设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 证明 ∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，ab c也都是正数. ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.12.已知x ＞y ＞0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2x －y≥2 2. 证明 ∵xy ＝1，x >y >0，∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝(x －y )2＋2x －y ＝(x －y )＋2x －y≥2(x －y )·2x －y ＝2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2x －y ，xy ＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6＋22，y ＝6－22时取等号.13.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明 ∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c. 由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立. 四、探究与拓展14.若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值是 .解析 由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，得a (a ＋b )＋(a ＋b )c ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－23，而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2(a ＋b )(a ＋c )＝24－23＝2(3－1)＝23－2. 当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立.15.已知k >16，若对任意正数x ，y ，不等式⎝⎛⎭⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立，求实数k 的最小值. 解 ∵x >0，y >0，∴不等式⎝⎛⎭⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立等价于⎝⎛⎭⎫3k －12x y ＋k y x ≥2恒成立. 又k >16，∴⎝⎛⎭⎫3k －12x y ＋k y x ≥2k ⎝⎛⎭⎫3k －12， ∴2k ⎝⎛⎭⎫3k －12≥2，解得k ≤－13(舍去)或k ≥12， ∴k min ＝12.。